Hogyan lehet kiszámítani a távolságot két egyenes között. Két párhuzamos egyenes távolsága: meghatározás és példák a megtalálásra

Bizonyíték.

Vegyünk egy pontot , amely az egyenesen fekszik a, akkor a pont koordinátái M1 kielégíti az egyenletet, vagyis az egyenlőség igaz, ahonnan van .

Ha font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> búgy néz kifont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, és ha, akkor az egyenes normálegyenlete búgy néz kifont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Aztán at font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">távolság a ponttólegyenesre b képlettel számítjuk ki, és amikor - a képlet szerint

Vagyis bármilyen értékre C2 távolság pontból egyenesre b képlettel lehet kiszámítani. És ha figyelembe vesszük az egyenlőséget, amelyet fent kaptunk, akkor az utolsó képlet alakját veszi felfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. A tétel bebizonyosodott.

2. Párhuzamos egyenesek távolságának megállapításával kapcsolatos feladatok megoldása

1. számú példa.

Keresse meg a párhuzamos egyenesek közötti távolságotÉs Megoldás.

Adott párhuzamos egyenesekre általános egyenleteket kapjunk.

Egyenesre betűméret: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">megfelel az egyenes vonal általános egyenletének. Haladjunk tovább parametrikus egyenletek egyenes kilátásfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">e sor általános egyenletéhez:

betűméret: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">A változók együtthatói xÉs y ben kapott általános egyenletek a párhuzamos egyenesek egyenlőek, így azonnal alkalmazhatjuk a képletet a síkon lévő párhuzamos egyenesek távolságának kiszámításához:.

Válasz: betűméret: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">2. példa.

A repülőn bemutatták téglalap alakú rendszer koordináták Oxyés adott két párhuzamos egyenes egyenleteÉs . Keresse meg a jelzett párhuzamos egyenesek közötti távolságot!

Megoldás:

Első megoldás.

A forma síkján lévő egyenes kanonikus egyenleteibetűméret: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">lehetővé teszi egy pont koordinátáinak azonnali rögzítését M1 ezen a vonalon fekszik:betűméret: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Távolság ettől a ponttól az egyenesigegyenlő a párhuzamos vonalak közötti szükséges távolsággal. Egyenletvan normál egyenlet egyenes, ezért azonnal ki tudjuk számítani a távolságot a ponttól egyenesre font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Második megoldás.

Az egyik adott párhuzamos egyenes általános egyenletét már megadtukfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Adjuk meg kanonikus egyenlet közvetlenaz egyenes általános egyenletéhez:. A változó együtthatói xáltalános egyenletekben az adott párhuzamos egyenesek egyenlőek (változóval y az együtthatók is egyenlőek - egyenlőek nullával), így használhat egy képletet, amely lehetővé teszi az adott párhuzamos egyenesek közötti távolság kiszámítását:.

Válasz: 8

3. Házi feladat

Önellenőrző feladatok

1. Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

4. KÖVETKEZTETÉS

Minden kitűzött célt és célkitűzést maradéktalanul teljesítettek. Két leckét dolgoztunk ki a „Tárgyak relatív elrendezése egy síkon” részből a „Távolság egy ponttól egy egyenesig” témában. Párhuzamos egyenesek távolsága” koordináta módszerrel. Az anyagot a hallgatók számára elérhető szinten választják ki, amely lehetővé teszi számukra, hogy egyszerűbb és szebb módszerekkel oldják meg a geometriai feladatokat.

5. IRODALOM

1) , Yudina. 7 – 9. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.

2) , Poznyak. Tankönyv a középiskola 10-11 osztályos számára.

3) , Nikolszkij matematika. Első kötet: Elemek lineáris algebraés analitikus geometria.

4) , Poznyak geometria.

6. ALKALMAZÁSOK

Referencia anyag

Az egyenes általános egyenlete:

Ah + Wu + C = 0 ,

Ahol AÉs IN egyszerre nem egyenlők nullával.

Esély AÉs IN a koordináták normál vektor egyenes vonal (azaz az egyenesre merőleges vektor). at A = 0 tengellyel párhuzamos egyenes Ó, at B = 0 tengellyel párhuzamos egyenes KÖRÜLBELÜL Y .

at IN0 kapunk meredekségű egyenes egyenlete :

Egy ponton átmenő egyenes egyenlete ( X 0 , at 0) és nem párhuzamos a tengellyelOY, a következő formában van:

at – at 0 = m (x – X 0) ,

Ahol m – lejtő , egyenlő az érintővel az adott egyenes által alkotott szög és pozitív irány tengelyek Ó .

at A font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

Ahol a = – C / A , b = – C / B . Ez az egyenes átmegy a pontokon (a, 0) és (0, b), azaz hosszúságú szegmenseket vág le a koordinátatengelyekenaÉs b .

Kettőn átmenő egyenes egyenlete különféle pontokat (X 1, at 1) és ( X 2, at 2):

Egy egyenes paraméteres egyenlete áthalad a ponton ( X 0 , at 0) és párhuzamos irány vektor egyenes vonal (a, b) :

Párhuzamos vonalak feltétele:

1) egyenes vonalakhoz Ah+ Wu+ C = 0 ésDx+Ey+F = 0: A.E. – BD = 0 ,

2) egyenes vonalakhoz at = m x+ k És at= p x+ q : m = p .

Ó-ó-ó-ó-ó... hát ez kemény, mintha egy mondatot olvasna fel magának =) A lazítás azonban később segít, főleg, hogy ma megvettem a megfelelő kiegészítőket. Ezért folytassuk az első szakaszt, remélem, hogy a cikk végére megtartom a vidám hangulatot.

Két vonal egymáshoz viszonyított helyzete

Ez az a helyzet, amikor a közönség kórusban énekel. Két egyenes lehet:

1) egyezés;

2) párhuzamos legyen: ;

3) vagy egyetlen pontban metszi egymást: .

Segítség a babáknak : kérlek emlékezz matematikai jel kereszteződésekben, ez nagyon gyakran előfordul. A jelölés azt jelenti, hogy az egyenes a pontban metszi az egyenest.

Hogyan határozható meg két vonal egymáshoz viszonyított helyzete?

Kezdjük az első esettel:

Két egyenes akkor és csak akkor esik egybe, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, vagyis van egy olyan „lambda” szám, amelyre az egyenlőségek teljesülnek

Tekintsük az egyeneseket, és készítsünk három egyenletet a megfelelő együtthatókból: . Minden egyenletből az következik, hogy tehát ezek az egyenesek egybeesnek.

Valóban, ha az egyenlet összes együtthatója szorozzuk meg –1-gyel (előjelek változása), és az egyenlet összes együtthatójával 2-vel vágva ugyanazt az egyenletet kapod: .

A második eset, amikor a vonalak párhuzamosak:

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a változók együtthatói arányosak: , De.

Példaként vegyünk két egyenest. Ellenőrizzük a változók megfelelő együtthatóinak arányosságát:

Ez azonban teljesen nyilvánvaló.

És a harmadik eset, amikor a vonalak metszik egymást:

Két egyenes akkor és csak akkor metszi egymást, ha a változók együtthatói NEM arányosak, azaz NINCS olyan „lambda”-érték, hogy az egyenlőségek teljesüljenek

Tehát az egyenesekhez egy rendszert hozunk létre:

Az első egyenletből az következik, hogy , a második egyenletből pedig: , ami azt jelenti a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a változók együtthatói nem arányosak.

Következtetés: a vonalak metszik egymást

IN gyakorlati problémák használhatja az imént tárgyalt megoldási sémát. Egyébként nagyon emlékeztet a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére szolgáló algoritmusra, amit az órán megnéztünk A vektorok lineáris (függetlenségének) fogalma. A vektorok alapja. De van egy civilizáltabb csomagolás is:

1. példa

Találd ki relatív helyzete közvetlen:

Megoldás egyenesek irányítóvektorainak tanulmányozása alapján:

a) Az egyenletekből megtaláljuk az egyenesek irányvektorait: .

, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak, és az egyenesek metszik egymást.

Minden esetre kirakok egy követ táblákkal a keresztútra:

A többiek átugranak a kövön, és követik tovább, egyenesen Kashcsejhez, a Halhatatlanhoz =)

b) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

A vonalak irányvektora megegyezik, ami azt jelenti, hogy párhuzamosak vagy egybeesnek. Itt nem kell a meghatározót számolni.

Nyilvánvaló, hogy az ismeretlenek együtthatói arányosak, és .

Nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség:

Így,

c) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

Számítsuk ki a determinánst, amely ezeknek a vektoroknak a koordinátáiból áll:
, ezért az irányvektorok kollineárisak. A vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.

A „lambda” arányossági együttható jól látható közvetlenül a kollineáris irányvektorok arányából. Ez azonban maguknak az egyenletek együtthatóinak segítségével is megtalálható: .

Most nézzük meg, hogy az egyenlőség igaz-e. Mindkét ingyenes tagok nulla, tehát:

A kapott érték kielégít ezt az egyenletet(általában bármilyen szám kielégíti).

Így a vonalak egybeesnek.

Válasz:

Hamarosan megtanulja (vagy már megtanulta), hogy a szóban megvitatott problémát szó szerint, pillanatok alatt megoldja. Ebben a tekintetben nem látom értelmét, hogy bármit is ajánljak érte önálló döntés, jobb, ha egy másik fontos téglát rakunk a geometriai alapba:

Hogyan készítsünk egy adott vonallal párhuzamos egyenest?

Ennek tudatlanságáért legegyszerűbb feladat Nightingale, a rabló szigorúan megbünteti.

2. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet a ponton átmenő párhuzamos egyenesre!

Megoldás: Jelöljük az ismeretlen sort a betűvel. Mit mond róla az állapot? Az egyenes átmegy a ponton. Ha pedig az egyenesek párhuzamosak, akkor nyilvánvaló, hogy a „tse” egyenes irányvektora a „de” egyenes megszerkesztésére is alkalmas.

Kivesszük az irányvektort az egyenletből:

Válasz:

A példa geometriája egyszerűnek tűnik:

Az analitikai tesztelés a következő lépésekből áll:

1) Ellenőrizzük, hogy az egyenesek azonos irányvektorral rendelkeznek-e (ha az egyenes egyenlete nincs megfelelően egyszerűsítve, akkor a vektorok kollineárisak lesznek).

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet.

A legtöbb esetben az analitikus tesztelés könnyen elvégezhető szóban. Nézze meg a két egyenletet, és sokan gyorsan meghatározzák az egyenesek párhuzamosságát minden rajz nélkül.

Az önálló megoldások példái ma kreatívak lesznek. Mert akkor is versenyeznie kell Baba Yagával, és ő, tudod, mindenféle rejtvények szerelmese.

3. példa

Írjon egyenletet az if egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre

Van egy racionális és egy nem annyira racionális racionális módon megoldásokat. A legrövidebb út a lecke végén van.

Kicsit dolgoztunk párhuzamos vonalakkal, és később visszatérünk rájuk. Az egybeeső vonalak esete kevéssé érdekes, ezért vegyünk egy olyan problémát, amelyről ismerős iskolai tananyag:

Hogyan találjuk meg két egyenes metszéspontját?

Ha egyenes pontban metszi egymást, akkor a koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek

Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.

Tessék geometriai jelentése két rendszer lineáris egyenletek két ismeretlennel- ez két metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.

4. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Megoldás: A megoldásnak két módja van - grafikus és analitikus.

Grafikus módszer egyszerűen meg kell rajzolni a megadott vonalakat, és közvetlenül a rajzból megtudni a metszéspontot:

Íme a lényeg: . Az ellenőrzéshez be kell cserélni a koordinátáit az egyenes minden egyenletébe, oda és oda is illeszkedniük kell. Más szóval, egy pont koordinátái a rendszer megoldása. Lényegében egy grafikus megoldást néztünk meg lineáris egyenletrendszerek két egyenlettel, két ismeretlennel.

A grafikus módszer természetesen nem rossz, de vannak észrevehető hátrányai. Nem, nem az a lényeg, hogy a hetedikesek döntsenek így, hanem az, hogy időbe telik egy helyes és PONTOS rajz elkészítése. Ráadásul néhány egyenest nem olyan egyszerű megépíteni, és maga a metszéspont is valahol a harmincadik birodalomban található a notebook lapon kívül.

Ezért célszerűbb a metszéspontot keresni elemzési módszer. Oldjuk meg a rendszert:

A rendszer megoldásához az egyenletek tagonkénti összeadásának módszerét alkalmaztuk. A releváns készségek fejlesztéséhez vegyen leckét Hogyan lehet egyenletrendszert megoldani?

Válasz:

Az ellenőrzés triviális – a metszéspont koordinátáinak ki kell elégíteniük a rendszer minden egyenletét.

5. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját, ha metszik egymást.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A feladatot kényelmes több szakaszra osztani. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel az egyenes egyenletét!
2) Írja fel az egyenes egyenletét!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.

A cselekvési algoritmus kidolgozása sokakra jellemző geometriai problémák, és többször is erre fogok összpontosítani.

Komplett megoldásés a válasz a lecke végén:

Még egy pár cipő sem volt elkopva, mielőtt a lecke második részéhez értünk:

Merőleges vonalak. Távolság egy ponttól egy vonalig.
Az egyenesek közötti szög

Kezdjük egy tipikus és nagyon fontos feladat. Az első részben megtanultuk, hogyan kell ezzel párhuzamos egyenest építeni, most pedig a csirkecombokon lévő kunyhó 90 fokkal elfordul:

Hogyan készítsünk egy adott vonalra merőleges egyenest?

6. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írjon fel egy egyenletet, amely merőleges a ponton átmenő egyenesre!

Megoldás: Feltétel alapján ismert, hogy . Jó lenne megtalálni a vonal irányító vektorát. Mivel a vonalak merőlegesek, a trükk egyszerű:

Az egyenletből „eltávolítjuk” a normálvektort: ​​, amely az egyenes irányítóvektora lesz.

Állítsuk össze az egyenes egyenletét egy pont és egy irányvektor segítségével:

Válasz:

Bővítsük ki a geometriai vázlatot:

Hmmm... Narancssárga égbolt, narancssárga tenger, narancssárga teve.

Az oldat analitikai ellenőrzése:

1) Az egyenletekből kivesszük az irányvektorokat és a segítségével vektorok skaláris szorzata arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek valóban merőlegesek: .

Egyébként használhatsz normál vektorokat is, ez még egyszerűbb.

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet .

A teszt ismét könnyen elvégezhető szóban.

7. példa

Ha ismert az egyenlet, keresse meg a merőleges egyenesek metszéspontját! és időszak.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A feladatban több cselekvés is található, így célszerű pontról pontra megfogalmazni a megoldást.

A miénk izgalmas utazás folytatja:

Távolság ponttól vonalig

Egyenes folyósáv van előttünk, és az a feladatunk, hogy a legrövidebb úton jussunk el hozzá. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőlegesen való mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.

A geometriában a távolságot hagyományosan jelölik görög levél„ro”, például: – az „em” pont és a „de” egyenes távolsága.

Távolság ponttól vonalig képlettel fejezzük ki

8. példa

Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát

Megoldás: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:

Válasz:

Készítsük el a rajzot:

A pont és az egyenes közötti távolság pontosan megegyezik a piros szakasz hossza. Ha rajzot rajzol rá kockás papír 1 egységnyi skálán. = 1 cm (2 cella), akkor a távolság közönséges vonalzóval mérhető.

Vegyünk egy másik feladatot ugyanazon a rajzon:

A feladat egy olyan pont koordinátáinak megkeresése, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom, hogy a lépéseket saját maga hajtsa végre, de felvázolok egy megoldási algoritmust köztes eredményekkel:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges az egyenesre!

2) Keresse meg a vonalak metszéspontját: .

Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak képletei találunk.

Érdemes lenne ellenőrizni, hogy a távolság is 2,2 egység legyen.

Számítási nehézségek adódhatnak itt, de a toronyban nagy segítség a mikrokalkulátor, amely lehetővé teszi a számítást közönséges törtek. Sokszor tanácsoltam már, és újra fogom ajánlani.

Hogyan találjuk meg a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez másik példaönálló döntésre. Adok egy kis tippet: végtelenül sokféleképpen lehet ezt megoldani. A lecke végén tájékoztató, de jobb, ha megpróbálod magad kitalálni, úgy gondolom, hogy a találékonyságod jól fejlődött.

Szög két egyenes között

Minden sarok egy karám:


A geometriában két egyenes közötti szöget a KISEBB szögnek vesszük, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szög nem tekinthető a metsző vonalak közötti szögnek. És a „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú"málna" sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike ​​tekinthető köztük lévő szögnek.

Hogyan különböznek a szögek? Tájolás. Először is alapvetően fontos a szög „görgetési” iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt neked? Úgy tűnik, a szokásos szögfogalommal boldogulunk. Az a helyzet, hogy a képletekben, amelyekkel szögeket találunk, könnyen kiderülhet negatív eredmény, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A rajzon negatív szög esetén feltétlenül jelölje a tájolását nyíllal (óramutató járásával megegyező irányba).

Hogyan lehet megtalálni a szöget két egyenes között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

MegoldásÉs 1. módszer

Tekintsünk két egyenest, egyenletek által adott V általános nézet:

Ha egyenes nem merőleges, Azt orientált A köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

A legtöbbet fokozott figyelmet fordítsuk meg a nevezőre – pontosan ez pont termék egyenesek irányító vektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője nulla lesz, és a vektorok merőlegesek, az egyenesek pedig merőlegesek lesznek. Éppen ezért fenntartással éltek az egyenesek nem merőlegességével kapcsolatban a megfogalmazásban.

A fentiek alapján célszerű a megoldást két lépésben formalizálni:

1) Számoljunk pont termék egyenesek irányító vektorai:
, ami azt jelenti, hogy a vonalak nem merőlegesek.

2) Keresse meg az egyenesek közötti szöget a következő képlet segítségével:

Használatával inverz függvény Könnyű megtalálni magát a sarkot. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd. Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

A válaszban jelezzük pontos érték, valamint egy hozzávetőleges érték (lehetőleg fokban és radiánban egyaránt), számológéppel kiszámítva.

Hát mínusz, mínusz, nem nagy ügy. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladatfelvetésben az első szám egy egyenes, és a szög „lecsavarása” pontosan ezzel kezdődött.

Ha valóban pozitív szöget szeretne kapni, akkor fel kell cserélnie a vonalakat, vagyis ki kell vennie az együtthatókat a második egyenletből , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

Ez a videó lecke hasznos lesz azok számára, akik önállóan szeretnék tanulmányozni a „Távolság egy ponttól a vonalig” témát. Párhuzamos vonalak közötti távolság." A lecke során megtanulod, hogyan kell kiszámítani a távolságot egy ponttól az egyenesig. Ezután a tanár megadja a párhuzamos egyenesek távolságának meghatározását.

Ebben a leckében megismerkedünk a fogalommal "távolság"általában. Meg is határozzuk ezt a koncepciót számítás esetén két pont távolsága, egy pont és egy egyenes, párhuzamos egyenesek

Nézzük az 1. ábrát. Két A és B pont látható. Két A és B pont közötti távolság egy szakasz, melynek vége adott pontokat, azaz az AB szegmens

Rizs. 1. AB - pontok közötti távolság

Figyelemre méltó, hogy a távolság nem tekinthető görbének ill szaggatott vonal két pontot összeköt. Távolság- ez a legrövidebb út egyik pontból a másikba. Az AB szakasz a legkisebb az A és B pontot összekötő összes lehetséges egyenes közül

Tekintsük a 2. ábrát, amely az egyenest mutatja A,és az A pont, amely nem tartozik ehhez az egyeneshez. Távolság a ponttól A egyenesre a merőleges AN hossza lesz.

Rizs. 2. AN - egy pont és egy egyenes közötti távolság

Fontos megjegyezni, hogy AN a legrövidebb távolság, mivel az AMN háromszögben ez a szakasz egy láb, és egy tetszőleges másik szakasz, amely összeköti az A pontot és az egyenest. A(V ebben az esetben- ez AM) lesz a hypotenusa. Mint tudod, a láb mindig kisebb, mint a hypotenusa

Távolság kijelölése:

Mérlegeljük párhuzamos vonalak a 3. ábrán látható a és b

Rizs. 3. A és b párhuzamos egyenesek

Rögzítsünk két pontot egy egyenesen aés ejtsünk belőlük merőlegeseket egy vele párhuzamos egyenesre b. Bizonyítsuk be, hogy ha

Rajzoljunk AM szegmenst a könnyebb bizonyítás kedvéért. Tekintsük a kapott AVM és ANM háromszögeket. óta , és , akkor . Hasonlóképpen,. Ezeknek a derékszögű háromszögeknek () van közös AM oldaluk. Ez a hipotenusz mindkét háromszögben. Az AMN és AMB szögek belső keresztszögek AB és NM párhuzamos egyenesekkel és AM metszővel. Által ismert ingatlan, .

A fentiek mindegyikéből az következik . A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy AN = BM

Tehát bebizonyítottuk, hogy a 3. ábrán az AN és a BM szakaszok egyenlőek. Ez azt jelenti párhuzamos vonalak közötti távolság a közös merőlegesük hossza, és a merőleges választása tetszőleges lehet. Így,

Ez fordítva is igaz: egy bizonyos egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza az adott egyenessel párhuzamos egyenest alkot.

Erősítsük meg tudásunkat és oldjunk meg több problémát

1. példa: 272. feladat a „Geometria 7-9” tankönyvből. Szerző - Atanasyan L.S.

Az ABC egyenlő oldalú háromszögben megrajzoljuk az AD felezőt. A D pont és az AC egyenes távolsága 6 cm. Határozza meg az A pont és a BC egyenes távolságát

Rizs. 4. Rajz például 1

Megoldás:

Az egyenlő oldalú háromszög háromszögből álló háromszög egyenlő oldalak(és ezért hárommal egyenlő szögek, azaz egyenként 60 0). Egyenlő oldalú háromszög az egyenlő szárú háromszög speciális esete, ezért az egyenlő szárú háromszögben rejlő összes tulajdonság érvényes az egyenlő oldalú háromszögre is. Ezért AD nemcsak felező, hanem magasság is, ezért AD ⊥BC

Mivel a D pont és az AC egyenes távolsága a D pontból az AC egyenesre húzott merőleges hossza, akkor DH adott távolság. Tekintsük az ÉS háromszöget. Ebben a H = 90 0 szög, mivel a DH merőleges az AC-ra (a pont és az egyenes távolságának meghatározása szerint). Ezen kívül be adott háromszög DH láb a szöggel szemben helyezkedik el, tehát AD = (cm) (Tulajdonság szerint)

Az A pont és a BC egyenes távolsága a BC egyenesre ejtett merőleges hossza. A bevált Kr. ⊥Kr. szerint azt jelenti.

Válasz: 12 cm.

2. példa: 277. feladat a „Geometria 7-9” tankönyvből. Szerző - Atanasyan L.S.

Az a és b párhuzamos egyenesek távolsága 3 cm, az a és c párhuzamos egyenesek távolsága pedig 5 cm. Határozzuk meg a b és c párhuzamos egyenesek távolságát

Megoldás:

Rizs. 5. Rajz például 2 (első eset)

Mivel , akkor = 5 - 3 = 2 (cm).

Ez a válasz azonban nem teljes. Van egy másik lehetőség az egyenes vonalak síkon történő elhelyezésére:

Rizs. 6. Rajz például 2 (második eset)

Ebben az esetben.

1. Egyetlen digitális gyűjtemény oktatási források ().
2. Matematika tanár ().

1. No. 280, 283. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I., edited by Tikhonov A. N. Geometry grades 7-9. M.: Felvilágosodás. 2010
2. A CE hipotenúza és az SK láb összege derékszögű háromszög SKE egyenlő 31 cm, különbségük 3 cm. Határozzuk meg a távolságot a C csúcstól a KE egyenesig
3. AB egyenlő szárúak alapján ABC háromszög Az oldalaktól egyenlő távolságra lévő M pontot vettük fel. Bizonyítsuk be, hogy CM az ABC háromszög magassága
4. Bizonyítsuk be, hogy a sík minden pontja, amely egy adott egyenes egyik oldalán és attól egyenlő távolságra van, az adott egyenessel párhuzamos egyenesen fekszik

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek ellentétes oldalak párhuzamosak, azaz párhuzamos vonalakon fekszenek (1. ábra).

1. tétel. A paralelogramma oldalainak és szögeinek tulajdonságairól. Egy paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek, ellentétes szögek egyenlőek, és a paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögek összege 180°.

Bizonyíték. Ebben ABCD paralelogramma rajzold meg az AC átlót és kapj kettőt ABC háromszögés ADC (2. ábra).

Ezek a háromszögek egyenlőek, mivel ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (párhuzamos egyenesek keresztirányú szögei), és az AC oldal közös. Az Δ ABC = Δ ADC egyenlőségből az következik, hogy AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Az egyik oldallal szomszédos szögek összege, például az A és D szögek, egyoldalúként egyenlő 180°-kal. párhuzamos vonalakhoz. A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés. A paralelogramma szemközti oldalainak egyenlősége azt jelenti, hogy a párhuzamosak által levágott párhuzamos szakaszok egyenlőek.

Következmény 1. Ha két egyenes párhuzamos, akkor az egyik egyenes minden pontja azonos távolságra van a másik egyenestől.

Bizonyíték. Valóban, legyen egy || b (3. ábra).

Rajzoljunk BA és CD merőlegeseket az a egyenesre a b egyenes két B és C pontjából. AB óta || CD, akkor ábra ABCD paralelogramma, ezért AB = CD.

A két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes tetszőleges pontjától a másik egyenesig mért távolság.

A bebizonyítottak szerint egyenlő az egyik párhuzamos egyenes valamelyik pontjából a másik egyenesre húzott merőleges hosszával.

1. példa A paralelogramma kerülete 122 cm. Az egyik oldala 25 cm-rel nagyobb, mint a paralelogramma.

Megoldás. Az 1. tétel szerint a paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek. Jelöljük a paralelogramma egyik oldalát x-szel, a másikat y-vel. Ekkor $$\left\(\begin(mátrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(mátrix)\jobbra feltétellel.$$ Ezt a rendszert megoldva x = 43, y = 18 Így tehát a paralelogramma oldalai 18, 43, 18 és 43 cm-esek.

2. példa

Megoldás. A 4. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Jelöljük AB-t x-szel, BC-t y-vel. A feltétel szerint a paralelogramma kerülete 10 cm, azaz 2(x + y) = 10, vagy x + y = 5. Az ABD háromszög kerülete 8 cm És mivel AB + AD = x + y = 5, majd BD = 8 - 5 = 3. Tehát BD = 3 cm.

3. példa Határozzuk meg a paralelogramma szögeit, tudva, hogy az egyik 50°-kal nagyobb, mint a másik.

Megoldás. Az 5. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Jelöljük az A szög fokmértékét x-szel. Majd fokmérő a D szög egyenlő x + 50°-kal.

A BAD és ADC szögek egyoldalú belső szögek AB és DC párhuzamos vonalakkal és AD szekánssal. Ekkor ezeknek a megnevezett szögeknek az összege 180° lesz, azaz.
x + x + 50° = 180° vagy x = 65°. Így ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

4. példa A paralelogramma oldalai 4,5 dm és 1,2 dm. Fentről hegyesszög felezőt húzunk. Milyen részekre oszlik? nagy oldala paralelogramma?

Megoldás. A 6. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Az AE egy paralelogramma hegyesszögének felezőpontja. Ezért ∠ 1 = ∠ 2.

Ez a videó lecke hasznos lesz azok számára, akik önállóan szeretnék tanulmányozni a „Távolság egy ponttól a vonalig” témát. Párhuzamos vonalak közötti távolság." A lecke során megtanulod, hogyan kell kiszámítani a távolságot egy ponttól az egyenesig. Ezután a tanár megadja a párhuzamos egyenesek távolságának meghatározását.

Ebben a leckében megismerkedünk a fogalommal "távolság"általában. Ezt a fogalmat a számításnál is megadjuk két pont távolsága, egy pont és egy egyenes, párhuzamos egyenesek

Nézzük meg az 1. ábrát. Két A és B pont látható. Két A és B pont közötti távolság egy adott pontban végződő szakasz, azaz az AB szakasz.

Rizs. 1. AB - pontok közötti távolság

Figyelemre méltó, hogy a távolság nem tekinthető két pontot összekötő görbének vagy szaggatott vonalnak. Távolság- ez a legrövidebb út egyik pontból a másikba. Az AB szakasz a legkisebb az A és B pontot összekötő összes lehetséges egyenes közül

Tekintsük a 2. ábrát, amely az egyenest mutatja A,és az A pont, amely nem tartozik ehhez az egyeneshez. Távolság a ponttól A egyenesre a merőleges AN hossza lesz.

Rizs. 2. AN - egy pont és egy egyenes közötti távolság

Fontos megjegyezni, hogy AN a legrövidebb távolság, mivel az AMN háromszögben ez a szakasz egy láb, és egy tetszőleges másik szakasz, amely összeköti az A pontot és az egyenest. A(jelen esetben AM) lesz a hypotenusa. Mint tudod, a láb mindig kisebb, mint a hypotenusa

Távolság kijelölése:

Mérlegeljük párhuzamos vonalak a 3. ábrán látható a és b

Rizs. 3. A és b párhuzamos egyenesek

Rögzítsünk két pontot egy egyenesen aés ejtsünk belőlük merőlegeseket egy vele párhuzamos egyenesre b. Bizonyítsuk be, hogy ha

Rajzoljunk AM szegmenst a könnyebb bizonyítás kedvéért. Tekintsük a kapott AVM és ANM háromszögeket. óta , és , akkor . Hasonlóképpen,. Ezeknek a derékszögű háromszögeknek () van közös AM oldaluk. Ez a hipotenusz mindkét háromszögben. Az AMN és AMB szögek belső keresztszögek AB és NM párhuzamos egyenesekkel és AM metszővel. A közismert tulajdonság szerint .

A fentiek mindegyikéből az következik . A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy AN = BM

Tehát bebizonyítottuk, hogy a 3. ábrán az AN és a BM szakaszok egyenlőek. Ez azt jelenti párhuzamos vonalak közötti távolság a közös merőlegesük hossza, és a merőleges választása tetszőleges lehet. Így,

Ez fordítva is igaz: egy bizonyos egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza az adott egyenessel párhuzamos egyenest alkot.

Erősítsük meg tudásunkat és oldjunk meg több problémát

1. példa: 272. feladat a „Geometria 7-9” tankönyvből. Szerző - Atanasyan L.S.

Az ABC egyenlő oldalú háromszögben megrajzoljuk az AD felezőt. A D pont és az AC egyenes távolsága 6 cm. Határozza meg az A pont és a BC egyenes távolságát

Rizs. 4. Rajz például 1

Megoldás:

Az egyenlő oldalú háromszög olyan háromszög, amelynek három egyenlő oldala van (és ezért három egyenlő szög, azaz mindegyik 60 0). Az egyenlő oldalú háromszög az egyenlő szárú háromszög speciális esete, ezért az egyenlő szárú háromszögben rejlő összes tulajdonság érvényes az egyenlő szárú háromszögre is. Ezért AD nemcsak felező, hanem magasság is, ezért AD ⊥BC

Mivel a D pont és az AC egyenes távolsága a D pontból az AC egyenesre húzott merőleges hossza, akkor DH ez a távolság. Tekintsük az ÉS háromszöget. Ebben a H = 90 0 szög, mivel a DH merőleges az AC-ra (a pont és az egyenes távolságának meghatározása szerint). Ráadásul ebben a háromszögben a DH láb a szöggel szemben helyezkedik el, tehát AD = (cm) (Tulajdonság szerint)

Az A pont és a BC egyenes távolsága a BC egyenesre ejtett merőleges hossza. A bevált Kr. ⊥Kr. szerint azt jelenti.

Válasz: 12 cm.

2. példa: 277. feladat a „Geometria 7-9” tankönyvből. Szerző - Atanasyan L.S.

Az a és b párhuzamos egyenesek távolsága 3 cm, az a és c párhuzamos egyenesek távolsága pedig 5 cm. Határozzuk meg a b és c párhuzamos egyenesek távolságát

Megoldás:

Rizs. 5. Rajz például 2 (első eset)

Mivel , akkor = 5 - 3 = 2 (cm).

Ez a válasz azonban nem teljes. Van egy másik lehetőség az egyenes vonalak síkon történő elhelyezésére:

Rizs. 6. Rajz például 2 (második eset)

Ebben az esetben.

1. Digitális oktatási források egységes gyűjteménye ().
2. Matematika tanár ().

1. No. 280, 283. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I., edited by Tikhonov A. N. Geometry grades 7-9. M.: Felvilágosodás. 2010
2. Az SKE derékszögű háromszög CE hipotenuszának és CK lábának összege 31 cm, különbségük 3 cm. Határozzuk meg a C csúcs és a KE egyenes távolságát
3. AB alapján egyenlő szárú háromszög Az ABC-t az oldalaktól egyenlő távolságra lévő M pontban vesszük fel. Bizonyítsuk be, hogy CM az ABC háromszög magassága
4. Bizonyítsuk be, hogy a sík minden pontja, amely egy adott egyenes egyik oldalán és attól egyenlő távolságra van, az adott egyenessel párhuzamos egyenesen fekszik

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete