Hogyan találjuk meg az alapot egy háromszögben. Hogyan lehet megtalálni a derékszögű háromszög oldalait? A geometria alapjai

Utasítás

A „háromszög alapja” fogalmának nincs szigorú meghatározása. Általában ez a kifejezés a háromszögnek azt az oldalát jelöli, amelyre az ellenkező oldalról merőleges van húzva (a magasságot kihagyjuk). Ezt a kifejezést az „egyenlőtlen” oldalra is használják egyenlő oldalú háromszög. Ezért a „háromszögek” fogalma alatt ismert példák sokaságából kiválasztjuk azokat a lehetőségeket, amelyekben magasságok és egyenlő oldalú háromszögek fordulnak elő.
Ha egy háromszög magassága és területe, akkor a háromszög alapjának (annak az oldalának a hosszának a meghatározásához, amelyre a magasság le van engedve) a háromszög területének meghatározására szolgáló képletet használjuk, amely kimondja, hogy bármely háromszög területe kiszámítható úgy, hogy az alap hosszának felét megszorozzuk a magasság hosszával:
S=1/2*c*h, ahol:
S a háromszög területe,

c az alapja hossza,

h a háromszög magasságának hossza.
Ebből a képletből a következőket kapjuk:
с=2*S/h.
Például, ha egy háromszög területe 20 cm2, a magassága pedig 10 cm, akkor a háromszög alapja:
c=2*20/10=4 (cm).

Ha ismert oldalés egy egyenlő oldalú háromszög kerülete, akkor az alap hossza a következőképpen számítható ki:
c=P-2*a, ahol:
P a háromszög kerülete,

a a háromszög oldalának hossza,

c az alapjának hossza.

Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és az alapjával ellentétes szög értéke, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki:
с=а*√(2*(1-cosC)), ahol:

c az alapjának hossza.
(A képlet a koszinuszok egyenes következménye)
Ennek a képletnek van egy kompaktabb ábrázolása is:
c=2*a*sin(B/2)

Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és a vele bezárt szög nagysága, akkor az alap hossza a következő könnyen megjegyezhető képlettel számítható ki:
c=2*a*cosA
A az alappal szomszédos egyenlő oldalú háromszög szögének nagysága,

a a háromszög oldalának hossza.

c az alapjának hossza.
Ez a vetületi tétel következménye.

Ha ismert a körülírt kör sugara és az egyenlő oldalú háromszög alapjával ellentétes szög értéke, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki:
с=2*R*sinC, ahol:
C az egyenlő oldalú háromszög alapjával bezárt szög nagysága,

c az alapjának hossza.
Ez a képlet egyenes következménye a tételnek.

jegyzet

Először elvonatkoztassunk a részletektől, és nézzük meg, hogyan találjuk meg egy olyan háromszög alapját, amely nem egyenlő oldalú, nem egyenlő szárú és nem derékszögű. Mivel egy ilyen ábrán bármelyik oldal szolgálhat alapként, először kiválasztunk egy arcot, és „alapnak” nevezzük. Ennek megfelelően elforgatjuk a háromszöget úgy, hogy rajta álljon, és megkeressük a hosszát.

Hasznos tanács

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög alapját? Attól függően, hogy mi van benne adott háromszög. Ha egy egyenlő szárú háromszögnek van egy oldala és egy szöge, amely ellentétes az alappal, akkor ebből a szögből rajzolhatja meg a háromszög magasságát. Ennek eredményeként egy egyenlő oldalú háromszög tulajdonsága szerint két egyenlő téglalapot kapunk.

Források:

• Egy háromszög mediánja, felezőpontja és magassága

Az egyenlő oldalú háromszög olyan, amelynek három egyenlő oldala és három egyenlő szöge van. Ezt a háromszögtípust szabályosnak is nevezik. A csúcstól az alapig húzott magasság egyszerre felező és medián, amiből az következik, hogy ez az egyenes a csúcs szögét két egyenlő szögre osztja, az alapot pedig, amelyre leereszkedik, kettőre. egyenlő a szegmenssel. Ezeket a tulajdonságokat háromszög segít kiszámítani négyzet, felével egyenlő a magasság szorzata bármelyik oldalával.

Szükséged lesz

• - tudja, mi a magasság és annak tulajdonságai
• - tudja, mi az a derékszögű háromszög
• - tudni, hogy mi a hypotenusa és a lábak
• - tudjon egy változós egyenleteket zárójelben megoldani

Utasítás

Ellenkező oldal derékszög, a hypotenusa lesz, a másik kettő pedig a lábak. Tehát a magasság háromszög egy kisebb téglalap alakú lesz háromszög. A második láb egyenlő lesz a nagy oldalának felével háromszög, mivel a szabályos téglalap magassága kettéosztja, ami a medián.

A Pitagorasz-tétel szerint a hipotenusz négyzete a lábak négyzeteinek összege. Ezért annak érdekében, hogy megtudja a magasságot, a

A geometria az egyik iskolai tantárgyak, amely mindenki számára hasznos lesz a jövőben. Egy egyszerű okból - a geometria, majd a sztereometria fejlődik térbeli gondolkodás. És ha megérted azokat a törvényeket, amelyekre maga a Tér épül, akkor könnyebb lesz megérteni más, sokkal érdekesebb dolgokat, amelyek ebben a térben működnek.

Általános eset

De térjünk vissza a háromszögeinkhez. Először elvonatkoztassunk a részletektől, és nézzük meg, hogyan találjuk meg egy olyan háromszög alapját, amely nem egyenlő oldalú, nem egyenlő szárú és nem derékszögű. Mivel egy ilyen ábrán bármelyik oldal szolgálhat alapként, először kiválasztunk egy arcot, és „alapnak” nevezzük. Ennek megfelelően elforgatjuk a háromszöget úgy, hogy rajta álljon, és megkeressük a hosszát.

Ebben segítségünkre lesz a híres koszinusztétel, melynek speciális esete a Pitagorasz-tétel. A koszinusztétel kimondja, hogy a háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő az összeggel a háromszög másik két, előzőleg négyzetes oldala, mínusz ezen oldalak szorzata kettővel, és megszorozva a köztük lévő szög koszinuszával. Ha ismert két oldal hossza és a köztük lévő szög, akkor behelyettesítjük őket a képletbe, és a probléma megoldódik. Ha az adatok ettől eltérnek, akkor le kell csökkenteni a magasságot az alapig, így két derékszögű háromszöget kapunk. Nos, hogyan lehet megtalálni az alapot derékszögű háromszög- triviális feladat. A képarányok és szögek lehetővé teszik az alap hosszának minimális adatmennyiséggel történő kiszámítását. Mivel a tankönyvben szereplő problémáknak értelemszerűen megoldhatónak kell lenniük, minden megoldódik.

Egyenlő szárú háromszög

Egyszerűsítsük a feladatot. Egyes feladatokban a háromszög egyenlő szárúként van megadva. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenlő szárú háromszögnek két egyenlő oldala van. A harmadik fél tekintendő alapnak. Hogyan találjuk meg ebben az esetben egy egyenlő szárú háromszög alapját? Ismernie kell az egyik oldalt és az alappal ellentétes szöget. Mivel a csípő egyenlő, a második oldal ismert és egyenlő az elsővel. És akkor a koszinusztétel segítségével mégis megtaláljuk az alapot.

Derékszögű háromszög

Tündérmese diáknak. A derékszögű háromszög, más néven háromszög kilencven fokos szöggel, a legkényelmesebb háromszög. Hogyan lehet megtalálni a derékszögű háromszög alapjának hosszát, ez egy olyan kérdés, amely segít megtalálni a képarányokat más, nem derékszögű háromszögekben. Más problémákat gyakran redukálnak erre, ha magasságokat rajzolnak a háromszögbe, ami az ábrát két derékszögű háromszögre osztja. Ez itt lép életbe különleges eset koszinusztételek - Pitagorasz-tétel. Mivel a derékszög koszinusza egyenlő nullával, az oldalak szorzata nullává válik, így a jobb oldalon csak a lábak négyzeteinek összege marad, míg az egyenlőség bal oldalán a befogó négyzete van - a derékszöggel ellentétes oldal. Ennek megfelelően a derékszögű háromszög alapja bármely lábának tekinthető.

Egyenlő oldalú háromszög

Általában véve szokatlan kérdés, hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög alapját. Ennek a „bonyolult” problémának a megoldásához ismernie kell a háromszög legalább egyik oldalának hosszát. És mivel a háromszög minden oldala egyenlő (egyenlő oldalú), az alap egyenlő lesz az oldal hosszával. Ez a probléma inkább az intelligenciára vonatkozik, mint a geometriai ismeretekre.

A geometria az egyik olyan iskolai tantárgy, amely a jövőben mindenki számára hasznos lesz. Egy egyszerű okból - a geometria, majd a sztereometria fejleszti a térbeli gondolkodást. És ha megérted azokat a törvényeket, amelyekre maga a Tér épül, akkor könnyebb lesz megérteni más, sokkal érdekesebb dolgokat, amelyek ebben a térben működnek.

Általános eset

De térjünk vissza a háromszögeinkhez. Először elvonatkoztassunk a részletektől, és nézzük meg, hogyan találjuk meg egy olyan háromszög alapját, amely nem egyenlő oldalú, nem egyenlő szárú és nem derékszögű. Mivel egy ilyen ábrán bármelyik oldal szolgálhat alapként, először kiválasztunk egy arcot, és „alapnak” nevezzük. Ennek megfelelően elforgatjuk a háromszöget úgy, hogy rajta álljon, és megkeressük a hosszát.

Ebben segítségünkre lesz a híres koszinusztétel, melynek speciális esete a Pitagorasz-tétel. A koszinusztétel kimondja, hogy a háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a háromszög másik két oldalának előzőleg négyzetes összegével, mínusz ezen oldalak szorzata kettővel, és megszorozva a köztük lévő szög koszinuszával. Ha ismert két oldal hossza és a köztük lévő szög, akkor behelyettesítjük őket a képletbe, és a probléma megoldódik. Ha az adatok ettől eltérnek, akkor le kell csökkenteni a magasságot az alapig, így két derékszögű háromszöget kapunk. Nos, hogyan lehet megtalálni egy derékszögű háromszög alapját, az triviális feladat. A képarányok és szögek lehetővé teszik az alap hosszának minimális adatmennyiséggel történő kiszámítását. Mivel a tankönyvben szereplő problémáknak értelemszerűen megoldhatónak kell lenniük, minden megoldódik.

Egyenlő szárú háromszög

Egyszerűsítsük a feladatot. Egyes feladatokban a háromszög egyenlő szárúként van megadva. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenlő szárú háromszögnek két egyenlő oldala van. A harmadik fél tekintendő alapnak. Hogyan találjuk meg ebben az esetben egy egyenlő szárú háromszög alapját? Ismernie kell az egyik oldalt és az alappal ellentétes szöget. Mivel a csípő egyenlő, a második oldal ismert és egyenlő az elsővel. És akkor a koszinusztétel segítségével mégis megtaláljuk az alapot.

Derékszögű háromszög

Tündérmese diáknak. A derékszögű háromszög, más néven háromszög kilencven fokos szöggel, a legkényelmesebb háromszög. Hogyan lehet megtalálni a derékszögű háromszög alapjának hosszát, ez egy olyan kérdés, amely segít megtalálni a képarányokat más, nem derékszögű háromszögekben. Más problémákat gyakran redukálnak erre, ha magasságokat rajzolnak a háromszögbe, ami az ábrát két derékszögű háromszögre osztja. Itt a koszinusztétel egy speciális esete lép életbe - a Pitagorasz-tétel. Mivel a derékszög koszinusza nulla, az oldalak szorzata nullává válik, így a jobb oldalon csak a lábak négyzeteinek összege marad meg, míg az egyenlőség bal oldalán a befogó négyzete - a a derékszöggel ellentétes oldal. Ennek megfelelően a derékszögű háromszög alapja bármelyik lábának tekinthető.

Egyenlő oldalú háromszög

Általában véve szokatlan kérdés, hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög alapját. Ennek a „bonyolult” problémának a megoldásához ismernie kell a háromszög legalább egyik oldalának hosszát. És mivel a háromszög minden oldala egyenlő (egyenlő oldalú), az alap egyenlő lesz az oldal hosszával. Ez a probléma inkább az intelligenciára vonatkozik, mint a geometriai ismeretekre.

EGYÉB

Háromszög - szigorú geometriai alakzat, illeszkedik általános törvények, amelyre a tér vonatkozik. Pontosan ezek…

Egyenlőszárúnak nevezzük azt a háromszöget, amelynek két oldala egyenlő egymással. Ezeket az oldalakat laterálisnak és...

Először is, a háromszög egy geometriai alakzat, amelyet három olyan pont alkot, amelyek nem fekszenek ugyanazon az egyenesen...

A derékszögű háromszög olyan geometriai alakzat, amelyben az egyik szög szükségszerűen derékszögű. Háromszög jobb oldallal...

Háromszögek megoldásának problémáival foglalkozik (így hívják ezeket a problémákat) speciális szakasz geometria -...

A geometria egyik alapja a felező, a szöget felező sugár megtalálása. Egy háromszög felezője...

Ezt valószínűleg mindenki tudja egyszerű figura, amely három egymáshoz kapcsolódó vonalból áll, mint egy háromszög. Tól től…

Kíváncsi vagy, hogyan lehet kiszámítani és megtalálni egy háromszög középvonalát. Akkor kezdjük meg a hosszt középvonal…

A koszinusz egy jól ismert trigonometrikus függvény, ami egyben az egyik fő funkció...

A szögek szinuszait nemcsak derékszögű háromszögben kell kiszámítani, hanem bármely más háromszögben is. Ehhez kell...

A háromszög egy speciális alak a geometriában. Ő adta a nevet a matematika egy egész ágának - a trigonometriának. Ezért nagyon fontos...

Egyenlő szárú háromszög egy egyszerű sokszög három szöggel és három oldallal. Előtt…

Gyakran matematikai feladatok igényelnek mély elemzés, a megoldás keresésének és a szükséges állítások kiválasztásának képessége,...

Háromszög egy sokszög 3 oldallal (vagy 3 szöggel). A háromszög oldalait gyakran kis betűk jelzik, amelyek megfelelnek a nagybetűvel, fordított csúcsokat jelöl.

Akut háromszög háromszögnek nevezzük, amelyben mindhárom szög hegyesszögű.

Tompa háromszög háromszögnek nevezzük, amelyben az egyik szög tompaszögű.

Derékszögű háromszög háromszögnek nevezzük, amelyben az egyik szög derékszög, más szóval egyenlő 90°; derékszöget bezáró a, b oldalakat nevezzük lábak; a derékszöggel ellentétes c oldalt ún átfogó.

Egyenlő szárú háromszög háromszögnek nevezzük, amelynek két oldala egyenlő (a = c); ezeket az egyenlő oldalakat nevezzük oldalsó, a 3. felet hívják a háromszög alapja.

Egyenlő oldalú háromszög háromszögnek nevezzük, amelynek minden oldala egyenlő (a = b = c). Ebben az esetben egy háromszög egyik oldala sem egyenlő (abc), akkor ez egyenlő oldalú háromszög.

A háromszögek főbb jellemzői

Bármely háromszögben:

A háromszögek egyenlőségének jelei

A háromszögek egybevágóak, ebben az esetben egyenlőek:

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei

Két derékszögű háromszög egyenlő, ebben az esetben a következő kritériumok egyike teljesül:

Magasságháromszög- ez egy tetszőleges csúcsból az ellenkező oldalra (vagy annak folytatása) ejtett merőleges. Ezt az oldalt hívják a háromszög alapja. A háromszög három magassága mindig egy pontban metszi egymást a háromszög ortocentruma.

Egy hegyesszögű háromszög ortocentruma a háromszög belsejében található, az ortocentruma pedig tompa háromszög- kívül; A derékszögű háromszög ortocentruma egybeesik a derékszög csúcsával.

Középső- ez egy szakasz, amely összeköti a háromszög minden csúcsát a hátoldal közepével. A háromszög három mediánja egy pontban metszi egymást, amely mindig a háromszög belsejében van és a tömegközéppontja. Ez a pont minden mediánt 2:1 arányban oszt el, a csúcstól számítva.

Felezővonal- ez a szögfelező szakasza a csúcstól a metszéspontig hátoldal. A háromszög három felezőpontja egy pontban metszi egymást, amely mindig a háromszög belsejében van, és a beírt kör középpontja. A felező a hátoldalt a szomszédos oldalakkal arányos részekre osztja.

Medián merőleges-ből húzott merőleges középpont szegmens (oldal). A háromszög három középső merőlegese egy pontban metszi egymást, amely a körülírt kör középpontja.

BAN BEN hegyesszögű háromszög ez a pont a háromszögön belül van, egy tompa háromszögben - kívül, egy téglalap alakú háromszögben - a befogó közepén. A körülírt kör ortocentruma, tömegközéppontja, középpontja és a beírt kör középpontja kizárólag egy egyenlő oldalú háromszögben esik egybe.

Pitagorasz axióma

Egy derékszögű háromszögben a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével.

A Pitagorasz-axióma megerősítése

Szerkesszünk meg egy AKMB négyzetet, oldalként az AB hipotenuszt használva. Ezután folytatjuk a téglalap oldalait ABC háromszögígy egy négyzet alakú CDEF-t kapunk, amelynek oldala egyenlő a + b-vel. Most már világos, hogy a CDEF négyzet területe egyenlő (a + b) 2. Másrészt ez a terület egyenlő az összeggel négy négyzet derékszögű háromszögek és négyzet AKMB, más szóval,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

és nekünk van:

c 2 = a 2 + b 2 .

Képarány véletlenszerű háromszögben

BAN BEN általános eset(Mert véletlenszerű háromszög) nekünk van:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

ahol C az a és b oldal közötti szög.

Ezen kívül az oldalon:

A planimetria és a trigonometria problémáiban gyakran meg kell találni a háromszög alapját. Még több módszer is létezik erre a műveletre.

Szükséged lesz

• Számológép

Utasítás

• A „háromszög alapja” fogalmának nincs szigorú meghatározása a geometriában. Általában ez a kifejezés a háromszögnek azt az oldalát jelöli, amelyre a szemközti csúcsból merőleges van húzva (a magasságot kihagyjuk). Ezt a kifejezést általában egy egyenlő oldalú háromszög „egyenlőtlen” oldalára is használják. Ezért a matematikában a „háromszögek megoldása” fogalma alatt ismert példák egész sorából kiválasztjuk azokat a lehetőségeket, amelyekben magasságok és egyenlő oldalú háromszögek fordulnak elő.
  Ha a háromszög magassága és területe ismert, akkor a háromszög alapjának (az oldal hossza, amelyre a magasság le van engedve) megtalálásához a háromszög területének meghatározására szolgáló képletet használjuk. , amely kimondja, hogy bármely háromszög területe kiszámítható úgy, hogy az alap hosszának felét megszorozzuk a magasság hosszával:
  S=1/2*c*h, ahol:
  S- háromszög területe, s- alapjának hossza, h - a háromszög magasságának hossza.
  Ebből a képletből a következőket kapjuk:
  с=2*S/h.
  Például, ha egy háromszög területe 20 cm2, a magassága pedig 10 cm, akkor a háromszög alapja:
  c=2*20/10=4 (cm).
• Ha egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és kerülete ismert, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki:
  c=P-2*a, ahol:
  R - háromszög kerülete, és- oldalhossz a háromszög oldalai, a- az alapja hossza.
• Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és az alapjával ellentétes szög értéke, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki:
  с=а*√(2*(1-cosC)), ahol:
  C - az alappal ellentétes szög értéke egyenlő oldalú háromszög, és- a háromszög oldalának hossza c - az alapja.
  (A képlet a koszinusztétel egyenes következménye)
  Ennek a képletnek van egy kompaktabb ábrázolása is:
  c=2*a*sin(B/2)
• Ha ismert egy egyenlő oldalú háromszög oldaloldala és a vele bezárt szög nagysága, akkor az alap hossza a következő könnyen megjegyezhető képlettel számítható ki:
  c=2*a*cosA
  A egy egyenlő oldalú háromszög alapjával szomszédos szög nagysága, a a háromszög oldalának hossza c az alapja.
  Ez a képlet a vetületi tétel következménye.
• Ha ismert a körülírt kör sugara és az egyenlő oldalú háromszög alapjával ellentétes szög értéke, akkor az alap hossza a következő képlettel számítható ki:
  с=2*R*sinC, ahol:
  C - az alappal ellentétes szög értéke egyenlő oldalú háromszög, R- körben leírt sugár háromszög kör, azzal- az alapja hossza.
  Ez a képlet egyenes következménye a szinusztételnek.