Lineáris egyenletrendszer 4 ismeretlennel. Az inverz mátrix megtalálásának lehetőségei

Az az eset, amikor az egyenletek száma m több változó n, az ismeretlenek szekvenciális kiiktatásával az egyenletekből ahhoz az esethez vezet m= n vagy m n. Az első esetről korábban volt szó.

A második esetben, amikor az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma m nés az egyenletek függetlenek, kiemelkednek m fő változók és ( n- m)nem alapvető változók . A fő változók azok, amelyek teljesítik a feltételt: a determináns, amely e változók együtthatóiból áll, nem egyenlő nullával. A főbbek különböző változócsoportok lehetnek. Az ilyen csoportok teljes száma N megegyezik a kombinációk számával n elemek által m:

Ha egy rendszernek van legalább egy alapváltozócsoportja, akkor ez a rendszer az bizonytalan , vagyis sok megoldása van.

Ha a rendszernek nincs egyetlen alapváltozócsoportja, akkor a rendszer igen nem ízületi , vagyis nincs egyetlen megoldása.

Abban az esetben, ha egy rendszernek sok megoldása van, ezek közül megkülönböztetünk egy alapmegoldást.

Alapvető megoldás olyan megoldás, amelyben a kisebb változók nullával egyenlőek. A rendszernek nincs több mint alapvető megoldások.

A rendszermegoldások fel vannak osztva elfogadható És elfogadhatatlan .

Elfogadható Ezek olyan megoldások, amelyekben az összes változó értéke nem negatív.

Ha a változó legalább egy értéke negatív, akkor a megoldás meghívásra kerül elfogadhatatlan .

4.5. példa

Keressen alapvető megoldásokat az egyenletrendszerre

Határozzuk meg az alapmegoldások számát

.

Tehát a rendszer számos megoldása között nem több, mint három alapvető megoldás. Kiemeljünk két fő változót a három közül. Tegyük fel, hogy az x 1 és x 2. Ellenőrizzük ezek együtthatóiból a determinánst

.

Mivel ez a determináns nem egyenlő nullával, akkor a változók x 1 ,x 2 a fő.

Most tegyük fel, hogy x 3 =0. Ekkor kapunk egy rendszert a formában

Oldjuk meg a Cramer-képletekkel:

,
.

Tehát az első alapmegoldásnak megvan a formája

x 1 =1,x 2 =0,x 3 =0 .

Most nézzük meg, hogy a fő változók közé tartoznak-e a változók x 1 és x 3 .

.

Ezt értjük x 1 és x 3 - a fő változók második csoportja. Tegyük fel x 2 =0 és oldja meg a rendszert

,
.

A második alapmegoldásnak a formája van

x 1 =1,x 2 =0,x 3 =0.

Most nézzük meg, hogy a változók a fő változókhoz tartoznak-e x 2 és x 3 .

vagyis változók x 2 és x 3 kisebb. Tehát ennek a rendszernek összesen két alapvető megoldása van. Mindkét megoldás elfogadható.

Rendszer konzisztencia feltétele m lineáris egyenletek cn változókat a mátrix rang fogalma adja meg.

Mátrix rang – ez egy nullától eltérő kiskorú legmagasabb rendű szám.

Az A mátrixhoz

kiskorú k -edik sorrend bármely elemeiből összeállított determinánsként szolgál k vonalak és k oszlopok.

Például,

2. példa

Keresse meg a mátrix rangját

Számítsuk ki a mátrix determinánsát!

Ehhez az első sort szorozzuk meg (-4)-el és adjuk össze a második sorral, majd az első sort szorozzuk meg (-7)-tel és adjuk össze a harmadik sorral, ennek eredményeként megkapjuk a determinánst.

Mert a kapott determináns sorai arányosak, akkor
.

Ebből láthatjuk, hogy a 3. rendű moll egyenlő 0-val, a 2. rendű moll pedig nem egyenlő 0-val.

Ezért a mátrix rangja r=2.

Kiterjesztett Mátrix rendszernek van formája

Kronecker-Capelli tétel

Ahhoz, hogy egy lineáris rendszer konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a kiterjesztett mátrix rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával
.

Ha
, akkor a rendszer inkonzisztens.

Egyidejű lineáris egyenletrendszer esetén három eset lehetséges:

1) Ha
, akkor az LU rendszernek (m-r) lineárisan függő egyenletei vannak, ezek kizárhatók a rendszerből;

2) Ha
, akkor az LU rendszer rendelkezik egyetlen döntés;

3) Ha
, akkor az LU rendszernek számos megoldása van

Fogadott egyenletrendszerek széles körű alkalmazás a gazdasági szektorban matematikai modellezés különféle folyamatok. Például a termelésirányítási és tervezési problémák megoldása során a logisztikai útvonalak ( közlekedési probléma) vagy a felszerelés elhelyezését.

Az egyenletrendszereket nemcsak a matematikában, hanem a fizikában, a kémiában és a biológiában is alkalmazzák a populációméret meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.

A lineáris egyenletrendszer két vagy több többváltozós egyenlet, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.

Lineáris egyenlet

Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések azok az ismeretlenek, amelyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Ha egy egyenletet ábrázolással oldunk meg, az úgy fog kinézni, mint egy egyenes, amelynek minden pontja a polinom megoldása.

Lineáris egyenletrendszerek típusai

A legegyszerűbb példáknak két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek tekinthetők.

F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.

Egyenletrendszer megoldása - ez azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyekre a rendszer befordul igazi egyenlőség vagy határozza meg, hogy nem létezik megfelelő érték x és y számára.

Egy pont koordinátáiként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.

Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.

A homogén lineáris egyenletrendszerek rendszerek jobb rész ami egyenlő nullával. Ha az egyenlőségjel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer heterogén.

A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.

Amikor rendszerekkel szembesülnek, az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőleges számú lehet belőlük.

Egyszerű és összetett módszerek egyenletrendszerek megoldására

Nincs közös elemzési módszer megoldások az ilyen rendszerekre, minden módszer azon alapul numerikus megoldások. BAN BEN iskolai tanfolyam matematika, olyan módszerek, mint a permutáció, algebrai összeadás, helyettesítés, valamint a grafikus ill mátrix módszer, megoldás Gauss-módszerrel.

A megoldási módszerek tanítása során a fő feladat a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és műveleteit, hanem megértsük egy adott módszer használatának alapelveit.

Példák megoldása a 7. osztályos program lineáris egyenletrendszerére középiskola elég egyszerű és nagyon részletesen elmagyarázva. Bármely matematika tankönyvben kellő figyelmet fordítanak erre a részre. A lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó példák Gauss és Cramer módszerrel történő megoldását a felsőoktatás első éveiben részletesebben tanulmányozzuk.

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel

A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikban fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egy változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően

Adjunk megoldást egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre a helyettesítési módszerrel:

Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . Megoldás ezt a példát nem okoz nehézséget, és lehetővé teszi az Y érték megszerzését Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.

Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek összetettek lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes lesz a további számításokhoz. Ha 3-nál több ismeretlen van a rendszerben, akkor a helyettesítéssel történő megoldás sem megfelelő.

Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:

Megoldás algebrai összeadással

Amikor az összeadás módszerével megoldásokat keresünk a rendszerekre, az egyenleteket szóról szóra összeadjuk, és különböző számokkal megszorozzuk. A végső cél matematikai műveletek egy változós egyenlet.

Alkalmazásokhoz ez a módszer gyakorlat és megfigyelés szükséges. Egy lineáris egyenletrendszer megoldása az összeadás módszerével, ha 3 vagy több változó van, nem könnyű. Az algebrai összeadás kényelmesen használható, ha az egyenletek törteket és tizedesjegyeket tartalmaznak.

Megoldási algoritmus:

1. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy bizonyos számmal. Ennek eredményeként aritmetikai művelet a változó egyik együtthatójának egyenlőnek kell lennie 1-gyel.
2. Adja hozzá a kapott kifejezést kifejezésenként, és keresse meg az egyik ismeretlent.
3. Helyettesítse be a kapott értéket a rendszer 2. egyenletébe, és keresse meg a fennmaradó változót.

Megoldás módszere új változó bevezetésével

Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszer legfeljebb két egyenletre kíván megoldást találni, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több, mint kettő.

A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a bevezetett ismeretlenre oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.

A példa azt mutatja, hogy egy új t változó bevezetésével lehetséges volt a rendszer 1. egyenlete a szabványosra redukálni. másodfokú trinomikus. Egy polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhat meg.

Meg kell találni a diszkrimináns értéket a ismert képlet: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom tényezői. BAN BEN adott példa a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns Nulla felett, akkor két megoldás van: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor van egy megoldás: x = -b / 2*a.

A kapott rendszerekre a megoldást összeadás útján találjuk meg.

Vizuális módszer rendszerek megoldására

Alkalmas 3 egyenletrendszerhez. A módszer a továbbépítés koordináta tengely a rendszerben szereplő egyes egyenletek grafikonjai. A görbék és lesz a metszéspontjainak koordinátái általános döntés rendszerek.

A grafikus módszernek számos árnyalata van. Nézzünk meg néhány példát a lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.

Amint a példából látható, minden vonalhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon megjelöltük és egy vonallal összekötöttük.

A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.

A következő példa keresést igényel grafikus megoldás lineáris egyenletrendszerek: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.

Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.

A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Emlékeztetni kell arra, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy egy rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükséges gráfot készíteni.

A mátrix és fajtái

A mátrixokat arra használják rövid megjegyzés lineáris egyenletrendszerek. A mátrix egy táblázat speciális típus tele számokkal. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.

A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és a sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy oszlopból álló mátrix végtelen számú sorral. Azt a mátrixot, amelynek az egyik átlója mentén egyesek és más nullaelemek vannak, azonosságnak nevezzük.

Az inverz mátrix olyan mátrix, amellyel az eredeti egységmátrixmá alakul, csak az eredeti négyzetes mátrix esetében létezik.

Egyenletrendszer mátrixsá alakításának szabályai

Az egyenletrendszerek kapcsán az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait mátrixszámként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.

Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem nulla. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.

A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.

Egy mátrix szorzásakor a mátrix minden elemét szekvenciálisan megszorozzuk egy számmal.

Az inverz mátrix megtalálásának lehetőségei

Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 - inverz mátrix, és |K| a mátrix meghatározója. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.

A determináns könnyen kiszámítható egy két-két mátrixhoz, csak meg kell szorozni az átlós elemeket egymással. A „háromszor három” opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy emlékezhet arra, hogy minden sorból és minden oszlopból egy elemet kell vennie, hogy az oszlopok és elemsorok száma ne ismétlődjön meg a munkában.

Példák megoldása lineáris egyenletrendszerekre mátrix módszerrel

A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi, hogy csökkentse a nehézkes bejegyzéseket, amikor a rendszereket megoldja nagy mennyiség változók és egyenletek.

A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n változó, b n pedig szabad tag.

Rendszerek megoldása Gauss-módszerrel

BAN BEN felsőbb matematika A Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer megoldási módszernek nevezik. Ezeket a módszereket arra használják, hogy megtalálják változó rendszerek nagyszámú lineáris egyenlettel.

Gauss módszere nagyon hasonlít a helyettesítéseket és a helyettesítéseket alkalmazó megoldásokhoz algebrai összeadás, de szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-módszerrel történő megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz formájúvá redukáljuk. Által algebrai transzformációkés helyettesítések esetén egy változó értéke a rendszer egyik egyenletében található. A második egyenlet 2 ismeretlent tartalmazó kifejezés, míg a 3 és 4 3 és 4 változós.

Miután a rendszert a leírt formába hozzuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.

BAN BEN iskolai tankönyvek a 7. fokozat esetében a Gauss-módszerrel történő megoldás példáját a következőképpen írjuk le:

Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.

A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.

A Gauss-módszer nehezen érthető a tanulók számára Gimnázium, de az egyik legtöbb érdekes módokon a program keretében tanuló gyerekek találékonyságának fejlesztésére elmélyült tanulmányozása matematika és fizika órákon.

A rögzítés megkönnyítése érdekében a számításokat általában a következőképpen végezzük:

Az egyenletek és a szabad tagok együtthatói mátrix formájában vannak felírva, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja bal oldal egyenletek jobbról. A római számok a rendszerben található egyenletek számát jelölik.

Először írja le a feldolgozandó mátrixot, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és folytatja a szükséges végrehajtást algebrai műveletek az eredmény eléréséig.

Az eredmény egy olyan mátrix, amelyben az egyik átló egyenlő 1-gyel, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egységformára redukálódik. Nem szabad elfelejtenünk, hogy az egyenlet mindkét oldalán számokkal számoljunk.

Ez a felvételi módszer kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.

Bármilyen megoldási mód ingyenes használata körültekintést és némi tapasztalatot igényel. Nem minden módszer alkalmazott jellegű. A megoldások megtalálásának egyes módszerei előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások oktatási célokra léteznek.

Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. A négy ismeretlent tartalmazó egyenleteknek sok lehetséges megoldása lehet. A matematikában gyakran találkozhatunk ilyen típusú egyenletekkel. Az ilyen egyenletek helyes megoldásához az egyenletek összes jellemzőjét fel kell használni a megoldás egyszerűsítése és lerövidítése érdekében.

Nézzük a következő példa megoldását:

Az első és a második egyenlet részenkénti összeadásával egy nagyon egyszerű egyenletet kaphat:

\ vagy \

Végezzünk el hasonló műveleteket a 2. és 3. egyenlettel:

\ vagy \

Megoldjuk a kapott \ és \ egyenleteket

\ és \

A kapott számokat behelyettesítjük az 1. és 3. egyenletbe:

\ vagy \

\ vagy \

Ha ezeket a számokat a második és negyedik egyenletre cseréljük, akkor pontosan ugyanazokat az egyenleteket kapjuk.

De ez még nem minden, hiszen 2 egyenletet kell megoldani 2 ismeretlennel. Megoldás ebből a típusból A cikkekben található egyenleteket itt tekintheti meg.

Hol tudok online megoldani egy egyenletet négy ismeretlennel?

Megoldhat egyenleteket ismeretlenekkel online a https://site címen. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.

A 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2p x p= b 2 ,

........................................

A s 1 x 1 + a s 2 x 2 +...+ a s p x p= b s.

Elemi átalakításokat fogunk végrehajtani rajta. Ehhez írjuk ki az együtthatók mátrixát ismeretlen rendszerek(1) hozzáadott oszloppal ingyenes tagok, más szavakkal kiterjesztett mátrix Ā az (1) rendszerhez:

Tegyük fel, hogy az ilyen transzformációk segítségével a mátrix redukálható volt Ā az űrlaphoz:

......................................

b rr x r +...+b rn x n =c r ,

amelyet az (1) rendszerből egy bizonyos szám felhasználásával kapunk elemi átalakulásokés ezért egyenértékű az (1) rendszerrel. Ha a rendszerben (4) r=n, akkor az utolsó egyenletből, amelynek a formája van b nn x n =c n(Ahol b nn≠ 0), találjuk egyetlen jelentése x n, az utolsó előtti egyenletből – az érték xn-1(mert a x n már ismert), stb., végül az első egyenletből - az értékből x 1 . Szóval abban az esetben) r=n a rendszernek egyedi megoldása van. Ha r , akkor a (4) rendszer könnyen redukálható a következő formájú rendszerre: