Időpont: 2014.11.20

Mi az a származék?

Származékok táblázata.

A származék az egyik fő fogalom felsőbb matematika. Ebben a leckében bemutatjuk ezt a fogalmat. Csak ismerkedjünk, szigorúság nélkül matematikai megfogalmazásokés bizonyítékokat.

Ez az ismeretség lehetővé teszi, hogy:

Megérteni a származékos egyszerű feladatok lényegét;

Sikeresen oldja meg ezeket a legegyszerűbb feladatokat;

Készüljön fel a származékos ügyletekkel kapcsolatos komolyabb leckékre.

Először is egy kellemes meglepetés.)

A derivált szigorú meghatározása a határok elméletén alapul, és a dolog meglehetősen bonyolult. Ez felháborító. De a származékok gyakorlati alkalmazása általában nem igényel ilyen kiterjedt és mély tudás!

Mert sikeres megvalósítása elég tudni a legtöbb feladatot az iskolában és az egyetemen csak néhány kifejezést- a feladat megértéséhez, ill csak néhány szabály- megoldani. Ez minden. Ez boldoggá tesz.

Kezdjük az ismerkedést?)

Kifejezések és megnevezések.

Az elemi matematikában sokféle matematikai művelet létezik. Összeadás, kivonás, szorzás, hatványozás, logaritmus stb. Ha hozzáadunk még egy műveletet ezekhez a műveletekhez, az elemi matematika magasabb lesz. Ezt az új műveletet ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a meghatározását és jelentését külön leckékben tárgyaljuk.

Itt fontos megérteni, hogy a megkülönböztetés egyszerű matematikai művelet a funkció felett. Vegyünk bármilyen funkciót, és szerint bizonyos szabályokat, alakítsd át. Az eredmény egy új funkció lesz. Ennek az új függvénynek a neve: derivált.

Különbségtétel- művelet egy funkcióra.

Derivált- ennek az akciónak az eredménye.

Pont úgy, mint pl. összeg- az összeadás eredménye. Vagy magán- az osztás eredménye.

A kifejezések ismeretében legalább megértheti a feladatokat.) A megfogalmazások a következők: megkeresni egy függvény deriváltját; vegyük a származékot; megkülönböztetni a funkciót; számítsuk ki a származékot stb. Ez mind azonos. Természetesen vannak bonyolultabb feladatok is, ahol a derivált megtalálása (differenciálás) csak az egyik lépés lesz a probléma megoldásában.

A deriváltot kötőjel jelzi a függvény jobb felső sarkában. Mint ez: y" vagy f"(x) vagy Utca) stb.

Olvasás igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te, hát megérted...)

A prím egy adott függvény deriváltját is jelezheti, például: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" stb. A deriváltokat gyakran differenciálokkal jelölik, de ebben a leckében nem foglalkozunk ilyen jelölésekkel.

Tegyük fel, hogy megtanultuk megérteni a feladatokat. Már csak meg kell tanulni a megoldásukat.) Hadd emlékeztesselek még egyszer: a származék megtalálása az függvény transzformációja bizonyos szabályok szerint. Meglepő módon nagyon kevés ilyen szabály létezik.

Egy függvény deriváltjának megtalálásához mindössze három dolgot kell tudnod. Három pillér, amelyen minden megkülönböztetés áll. Ez a három pillér:

1. Származtatott táblázat (differenciálási képletek).

3. Származék összetett funkció.

Kezdjük sorban. Ebben a leckében a származékok táblázatát nézzük meg.

Származékok táblázata.

A világban - végtelen halmaz funkciókat. E fajta között vannak olyan funkciók, amelyek számára a legfontosabbak praktikus alkalmazás. Ezek a funkciók a természet minden törvényében megtalálhatók. Ezekből a függvényekből, mint a téglákból, megszerkesztheti az összes többit. Ezt a függvényosztályt ún elemi függvények. Ezeket a függvényeket tanulmányozzák az iskolában - lineáris, másodfokú, hiperbola stb.

A funkciók megkülönböztetése „a nulláról”, azaz. A derivált definíciója és a határok elmélete alapján ez elég munkaigényes dolog. És a matematikusok is emberek, igen, igen!) Szóval leegyszerűsítették az életüket (és minket is). Kiszámolták előttünk az elemi függvények deriváltjait. Az eredmény egy derivált táblázat, ahol minden készen áll.)

Íme, ez a lemez a legnépszerűbb funkciókhoz. A bal oldalon egy elemi függvény, a jobb oldalon a deriváltja.

	Funkció y	y függvény származéka y"
1	C (állandó érték)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – tetszőleges szám)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	bűn x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Javaslom, hogy ebben a derivált táblázatban a függvények harmadik csoportjára fordítsanak figyelmet. Derivált teljesítmény funkció- az egyik leggyakoribb képlet, ha nem a leggyakoribb! Érted a célzást?) Igen, célszerű fejből ismerni a származékok táblázatát. Mellesleg ez nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Próbálj meg dönteni több példa, maga az asztal emlékezetes marad!)

megtalálja táblázat értéke származéka, mint érti, a feladat nem a legnehezebb. Ezért az ilyen feladatokban nagyon gyakran vannak további chipek. Vagy a feladat megfogalmazásában, vagy benne eredeti funkciója, ami úgy tűnik, nincs a táblázatban...

Nézzünk néhány példát:

1. Határozzuk meg az y = x függvény deriváltját! 3

A táblázatban nincs ilyen funkció. De van egy deriváltja a hatványfüggvénynek Általános nézet(harmadik csoport). Esetünkben n=3. Tehát n helyett hármat helyettesítünk, és gondosan felírjuk az eredményt:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ez az.

Válasz: y" = 3x 2

2. Keresse meg az y = sinx függvény deriváltjának értékét az x = 0 pontban!

Ez a feladat azt jelenti, hogy először meg kell találnia a szinusz deriváltját, majd be kell cserélnie az értéket x = 0 pont ebbe a származékba. Pontosan ebben a sorrendben! Ellenkező esetben előfordul, hogy azonnal behelyettesítenek nullát az eredeti függvénybe... Nem az eredeti függvény értékét kell keresni, hanem az értéket. származéka. A derivált, hadd emlékeztessem önöket, egy új függvény.

A tábla segítségével megtaláljuk a szinust és a megfelelő deriváltot:

y" = (sin x)" = cosx

Behelyettesítjük a nullát a deriváltba:

y"(0) = cos 0 = 1

Ez lesz a válasz.

3. Különböztesse meg a függvényt:

Mit, inspirál?) A származékok táblázatában nincs ilyen függvény.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy függvény megkülönböztetése annyi, mint a függvény deriváltjának megtalálása. Ha elfelejtjük az elemi trigonometriát, akkor a függvényünk deriváltját meglehetősen nehézkes megkeresni. A táblázat nem segít...

De ha látjuk, hogy a funkciónk az koszinusz kettős szög , akkor azonnal minden jobb lesz!

Igen igen! Ne feledje, hogy átalakítja az eredeti függvényt a megkülönböztetés előtt egészen elfogadható! És előfordul, hogy ez nagyban megkönnyíti az életet. A kettős szög koszinusz képlet segítségével:

Azok. trükkös funkciónk nem más, mint y = cosx. És ez - táblázat funkció. Azonnal megkapjuk:

Válasz: y" = - sin x.

Példa haladóknak és hallgatóknak:

4. Keresse meg a függvény deriváltját:

A derivált táblázatban természetesen nincs ilyen függvény. De ha emlékszel alapvető matematika, fokozatokkal végzett műveletek... Akkor ezt a függvényt nagyon le lehet egyszerűsíteni. Mint ez:

És az x egy tized hatványára már táblázatos függvény! Harmadik csoport, n=1/10. Közvetlenül a képlet szerint írjuk:

Ez minden. Ez lesz a válasz.

Remélem, hogy minden világos a megkülönböztetés első pillérével - a származékok táblázatával. Marad a két megmaradt bálnával foglalkozni. A következő leckében megtanuljuk a megkülönböztetés szabályait.

Meghatározás. Legyen az \(y = f(x)\) függvény definiálva egy bizonyos intervallumban, amely az \(x_0\) pontot tartalmazza. Adjunk az argumentumnak egy \(\Delta x \) növekményt úgy, hogy ne hagyja el ezt az intervallumot. Keressük meg a \(\Delta y \) függvény megfelelő növekményét (ha az \(x_0 \) pontból a \(x_0 + \Delta x \) pontba megyünk) és állítsuk össze a \(\frac(\Delta) relációt y)(\Delta x) \). Ha ennek az aránynak van korlátja a \(\Delta x \rightarrow 0\\), akkor a megadott határértéket hívják függvény deriváltja\(y=f(x) \) az \(x_0 \) pontban, és jelölje \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Az y szimbólumot gyakran használják a derivált jelölésére. Vegye figyelembe, hogy az y" = f(x) egy új függvény, de természetesen kapcsolódik az y = f(x) függvényhez, amely minden olyan x pontban van meghatározva, ahol a fenti határérték létezik. Ezt a függvényt így hívják: az y = f(x) függvény deriváltja.

A származék geometriai jelentése az alábbiak. Ha lehetséges az y = f(x) függvény grafikonjának érintője az x=a abszcissza pontban, amely nem párhuzamos az y tengellyel, akkor f(a) az érintő meredekségét fejezi ki. :
\(k = f"(a)\)

Mivel \(k = tg(a) \), akkor a \(f"(a) = tan(a) \) egyenlőség igaz.

Most értelmezzük a derivált definícióját a közelítő egyenlőségek szemszögéből. Legyen az \(y = f(x)\) függvénynek deriváltja egy adott \(x\) pontban:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ez azt jelenti, hogy az x pont közelében a közelítő egyenlőség \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), azaz \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Az így kapott közelítő egyenlőség értelmes jelentése a következő: a függvény növekménye „majdnem arányos” az argumentum növekedésével, az arányossági együttható pedig a derivált értéke adott pont X. Például az \(y = x^2\) függvényre a \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) közelítő egyenlőség érvényes. Ha gondosan elemezzük egy derivált definícióját, azt találjuk, hogy tartalmaz egy algoritmust annak megtalálására.

Fogalmazzuk meg.

Hogyan találjuk meg az y = f(x) függvény deriváltját?

1. Javítsa ki az \(x\) értékét, keresse meg az \(f(x)\)
2. Adjon az \(x\) argumentumnak egy növekményt \(\Delta x\), lépjen a következőre: új pont\(x+ \Delta x \), keresse meg: \(f(x+ \Delta x) \)
3. Keresse meg a függvény növekményét: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Hozza létre a \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) relációt
5. Számítsa ki a $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ez a határérték a függvény deriváltja az x pontban.

Ha egy y = f(x) függvénynek van deriváltja egy x pontban, akkor azt egy x pontban differenciálhatónak nevezzük. Az y = f(x) függvény deriváltjának megtalálására szolgáló eljárást nevezzük különbségtétel függvények y = f(x).

Vizsgáljuk meg a következő kérdést: hogyan függ össze egy függvény folytonossága és differenciálhatósága egy ponton?

Legyen az y = f(x) függvény az x pontban differenciálható. Ekkor az M(x; f(x) pontban lévő függvény grafikonjára egy érintőt lehet húzni, és visszaidézve, az érintő szögegyütthatója egyenlő f "(x). Egy ilyen gráf nem „törhet" az M pontban, azaz a függvénynek folytonosnak kell lennie az x pontban.

Ezek „gyakorlati” érvek voltak. Adjunk egy szigorúbb érvelést. Ha az y = f(x) függvény az x pontban differenciálható, akkor teljesül a \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) egyenlőség. Ha ebben az egyenlőségben \(\Delta x) \) nullára hajlik, akkor \(\Delta y \) nullára, és ez a feltétele a függvény folytonosságának egy pontban.

Így, ha egy függvény egy x pontban differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.

A fordított állítás nem igaz. Például: függvény y = |x| mindenhol folytonos, különösen az x = 0 pontban, de a függvény grafikonjának érintője a „csomópontban” (0; 0) nem létezik. Ha egy függvény grafikonjára egy ponton nem lehet érintőt húzni, akkor a derivált abban a pontban nem létezik.

Még egy példa. Az \(y=\sqrt(x)\) függvény folytonos a teljes számegyenesen, beleértve az x = 0 pontot is. És a függvény grafikonjának érintője bármely pontban létezik, beleértve az x = 0 pontot is. De ezen a ponton az érintő egybeesik az y tengellyel, azaz merőleges az abszcissza tengelyre, egyenlete x = 0. Egy ilyen egyenesnek nincs szögegyütthatója, ami azt jelenti, hogy \(f) "(0)\) nem létezik.

Tehát megismerkedtünk egy függvény új tulajdonságával - a differenciálhatósággal. Hogyan lehet egy függvény grafikonjából arra következtetni, hogy differenciálható?

A válasz valójában fent van. Ha egy függvény grafikonjára egy ponton olyan érintőt lehet rajzolni, amely nem merőleges az abszcissza tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény differenciálható. Ha egy függvény grafikonjának érintője egy ponton nem létezik, vagy merőleges az abszcissza tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény nem differenciálható.

A megkülönböztetés szabályai

A derivált megtalálásának műveletét ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a végrehajtása során gyakran kell dolgozni hányadosokkal, összegekkel, függvények szorzataival, valamint „függvények függvényeivel”, azaz összetett függvényekkel. A derivált definíciója alapján levezethetünk differenciálási szabályokat, amelyek megkönnyítik ezt a munkát. Ha C egy állandó szám és f=f(x), g=g(x) néhány differenciálható függvény, akkor a következők igazak differenciálási szabályok:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Komplex függvény származéka:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Egyes függvények deriváltjainak táblázata

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Származékos számítás- az egyik legtöbb fontos műveletek V differenciálszámítás. Az alábbiakban egy táblázat található a származékok kereséséhez egyszerű funkciók. Több összetett szabályok differenciálás, lásd a többi leckét:

• Exponenciális és logaritmikus függvények deriváltjainak táblázata

Használja referenciaértékként a megadott képleteket. Segítenek dönteni differenciál egyenletekés feladatokat. A képen az egyszerű függvények származékait tartalmazó táblázatban található egy „csalólap” a derivált megtalálásának főbb eseteiről, használható formában, mellette minden esetre magyarázat.

Egyszerű függvények származékai

1. Egy szám deriváltja nulla
с´ = 0
Példa:
5´ = 0

Magyarázat:
A derivált azt mutatja meg, hogy egy függvény értéke milyen sebességgel változik, amikor az argumentuma megváltozik. Mivel a szám semmilyen körülmények között nem változik, változásának mértéke mindig nulla.

2. Változó származéka egyenlő eggyel
x' = 1

Magyarázat:
Az (x) argumentum minden egyes növelésével a függvény értéke (a számítások eredménye) ugyanannyival növekszik. Így az y = x függvény értékének változási sebessége pontosan megegyezik az argumentum értékének változási sebességével.

3. Egy változó és egy tényező deriváltja egyenlő ezzel a tényezővel
сx´ = с
Példa:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Magyarázat:
BAN BEN ebben az esetben, minden alkalommal, amikor a függvény argumentuma megváltozik ( x) értéke (y) bennövekszik Val vel egyszer. Így a függvény értékének változási sebessége az argumentum változási sebességéhez viszonyítva pontosan megegyezik az értékkel Val vel.

Honnan következik az
(cx + b)" = c
vagyis a differenciál lineáris függvény y=kx+b egyenlő lejtő az egyenes lejtése (k).

4. Egy változó modulo deriváltja egyenlő ennek a változónak a modulusának hányadosával
|x|"= x / |x| feltéve, hogy x ≠ 0
Magyarázat:
Mivel egy változó deriváltja (lásd a 2. képletet) egyenlő eggyel, a modul deriváltja csak annyiban tér el, hogy a függvény változási sebességének értéke a kiindulási pont áthaladásakor az ellenkezőjére változik (próbáljon meg rajzolni egy grafikont Az y = |x| függvényből pontosan ezt az értéket adja vissza, és az x / |x| kifejezést adja vissza< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - egy. Vagyis az x változó negatív értékeinél az argumentum változásának minden egyes növekedésével a függvény értéke pontosan ugyanazzal az értékkel csökken, pozitív értékek esetén pedig éppen ellenkezőleg, nő, de pontosan annyival. ugyanaz az érték.

5. Változó származéka hatványra egyenlő ennek a hatványnak a számának és egy változónak az eggyel csökkentett hatvány szorzatával
(x c)"= cx c-1, feltéve, hogy x c és cx c-1 definiált, és c ≠ 0
Példa:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Emlékezni a képletre:
Mozgassa le a változó mértékét tényezőként, majd magát a fokot csökkentse eggyel. Például x 2 esetén a kettő megelőzte az x-et, majd a csökkentett teljesítmény (2-1 = 1) egyszerűen 2x-et adott nekünk. Ugyanez történt x 3-mal is - „lefelé mozgatjuk” a hármast, csökkentjük eggyel, és kocka helyett négyzetet kapunk, azaz 3x 2-t. Kicsit "tudománytalan", de nagyon könnyen megjegyezhető.

6.Tört származéka 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Példa:
Mivel a tört értékre emelve ábrázolható negatív fokozat
(1/x)" = (x -1)", akkor alkalmazhatja a derivált táblázat 5. szabályának képletét
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Tört származéka tetszőleges fokozatú változóval a nevezőben
(1/x c)" = - c / x c+1
Példa:
(1/x2)" = -2/x3

8. A gyökér származéka(az alábbi változó származéka négyzetgyök)
(√x)" = 1 / (2√x) vagy 1/2 x -1/2
Példa:
(√x)" = (x 1/2)" azt jelenti, hogy alkalmazhatja az 5. szabály képletét
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Tetszőleges fok gyöke alatti változó származéka
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Megtanuljuk megtalálni az implicit módon meghatározott, azaz bizonyos változókat összekötő egyenletekkel meghatározott függvények deriváltjait. xÉs y. Példák az implicit módon megadott függvényekre:

,

,

Az implicit módon meghatározott függvények származékai vagy származékai implicit függvények, egészen egyszerűen megtalálhatók. Most nézzük meg a megfelelő szabályt és példát, majd nézzük meg, miért van erre általában szükség.

Ahhoz, hogy egy implicit módon meghatározott függvény deriváltját megtaláljuk, meg kell különböztetni az egyenlet mindkét oldalát x-hez képest. Azok a kifejezések, amelyekben csak X van jelen, a függvény X-ből szokásos deriváltjává alakulnak. A játék kifejezéseit pedig meg kell különböztetni az összetett függvény megkülönböztetésének szabályával, mivel a játék X függvénye. Egészen leegyszerűsítve, az x-szel rendelkező tag eredő deriváltja a következőt kapja: a függvény deriváltja az y-ből, megszorozva az y-ből származó deriválttal. Például egy kifejezés származéka így lesz írva, egy kifejezés származéka pedig . Ezután mindezekből ki kell fejezni ezt a „játékcsapást”, és megkapjuk az implicit módon megadott függvény kívánt deriváltját. Nézzük ezt egy példával.

1. példa

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát megkülönböztetjük x-hez képest, feltételezve, hogy i x függvénye:

Innen megkapjuk a feladathoz szükséges deriváltot:

Most valamit az implicit módon meghatározott függvények kétértelmű tulajdonságáról, és arról, hogy miért van szükség speciális szabályokra a megkülönböztetésükhöz. Bizonyos esetekben ellenőrizheti, hogy a helyettesítés be van-e kapcsolva adott egyenlet(lásd a fenti példákat) y helyett az x-en keresztüli kifejezése ahhoz vezet, hogy ez az egyenlet azonossággá válik. Így. A fenti egyenlet implicit módon a következő függvényeket határozza meg:

Miután a négyzetes játék kifejezését x-en keresztül behelyettesítettük az eredeti egyenletbe, megkapjuk az azonosságot:

.

Az általunk behelyettesített kifejezéseket a játék egyenletének megoldásával kaptuk.

Ha a megfelelő explicit függvényt megkülönböztetnénk

akkor az 1. példában szereplő választ kapnánk egy implicit módon megadott függvényből:

De nem minden implicit módon megadott függvény ábrázolható az űrlapon y = f(x) . Tehát például az implicit módon megadott függvények

nem elemi függvényekkel fejeződnek ki, vagyis ezek az egyenletek nem oldhatók fel a játék szempontjából. Ezért van egy implicit módon meghatározott függvény megkülönböztetésének szabálya, amelyet már tanulmányoztunk, és a továbbiakban következetesen alkalmazni fogunk más példákban.

2. példa Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját:

.

Kifejezzük az implicit módon megadott függvény prímjét és - a kimeneten - a deriváltját:

3. példa Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját:

.

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát megkülönböztetjük x-hez képest:

.

4. példa Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját:

.

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát megkülönböztetjük x-hez képest:

.

Kifejezzük és megkapjuk a származékot:

.

5. példa Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját:

Megoldás. Az egyenlet jobb oldalán lévő kifejezéseket átvisszük a bal oldalés hagyja nullát a jobb oldalon. Az egyenlet mindkét oldalát megkülönböztetjük x-hez képest.

Ebben a leckében megtanuljuk a képletek és a differenciálási szabályok alkalmazását.

Példák. Keresse meg a függvények deriváltjait.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. A szabály alkalmazása én, képletek 4, 2 és 1. Kapunk:

y’=7x6 +5x4 -4x3 +3x2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Hasonlóképpen oldjuk meg, ugyanazokat a képleteket és képleteket használjuk 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

A szabály alkalmazása én, képletek 3, 5 És 6 És 1.

A szabály alkalmazása IV, képletek 5 És 1 .

Az ötödik példában a szabály szerint én az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével, és most találtuk meg az 1. tag deriváltját (példa 4 ), ezért származékokat fogunk találni 2És 3 feltételek, és 1-re summand azonnal megírhatjuk az eredményt.

Tegyünk különbséget 2És 3 kifejezések a képlet szerint 4 . Ehhez a nevezőben szereplő harmadik és negyedik hatvány gyökereit c hatványaira alakítjuk át negatív mutatók, majd az által 4 képlet, hatványok származékait találjuk.

Megnézi ezt a példátés a kapott eredményt. Megfogtad a mintát? Bírság. Ez azt jelenti, hogy megkaptuk új képletés hozzáadhatjuk a derivált táblázatunkhoz.

Oldjuk meg a hatodik példát, és származtassunk egy másik képletet.

Használjuk a szabályt IVés képlet 4 . Csökkentsük a kapott törteket.

Nézzük ezt a funkciótés származéka. Természetesen megérti a mintát, és készen áll a képlet elnevezésére:

Tanulj új képleteket!

Példák.

1. Határozza meg az argumentum növekményét és az y= függvény növekményét x 2, ha az argumentum kezdeti értéke egyenlő volt a 4 , és új - 4,01 .

Megoldás.

Új argumentumérték x=x 0 +Δx. Helyettesítsük be az adatokat: 4.01=4+Δх, innen az argumentum növekménye Δx=4,01-4=0,01. Egy függvény növekménye értelemszerűen megegyezik a függvény új és korábbi értékei közötti különbséggel, pl. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Mivel van funkciónk y=x2, Azt Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Válasz: argumentumnövekmény Δx=0,01; funkciónövekmény Δу=0,0801.

A függvény növekménye másképpen is megtalálható: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Határozza meg a függvény grafikonjának érintőjének dőlésszögét! y=f(x) azon a ponton x 0, Ha f "(x 0) = 1.

Megoldás.

A derivált értéke az érintési pontban x 0és az érintőszög érintőjének értéke ( geometriai jelentése derivált). Nekünk van: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, mert tg45°=1.

Válasz: ennek a függvénynek a grafikonjának érintője -val alakul ki pozitív irány tengely Ox szög egyenlő 45°.

3. Vezesse le a függvény deriváltjának képletét! y=x n.

Különbségtétel egy függvény deriváltjának megtalálásának művelete.

A származékok keresésekor olyan képleteket használjon, amelyeket a derivált definíciója alapján származtattunk, ugyanúgy, ahogy a derivált fokozat képletét származtattuk: (x n)" = nx n-1.

Ezek a képletek.

Származékok táblázata Könnyebb lesz megjegyezni a szóbeli megfogalmazások kiejtésével:

1. Derivált állandó érték egyenlő nullával.

2. X prím egyenlő eggyel.

3. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből.

4. Egy fok deriváltja egyenlő e fok kitevőjének szorzatával azonos bázisú fokkal, de a kitevő eggyel kisebb.

5. Egy gyök származéka egyenlő egy osztva két egyenlő gyökkel.

6. Egy x-el osztott deriváltja egyenlő mínusz egy osztva x-szel négyzetesen.

7. A szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal.

8. A koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

9. Az érintő deriváltja egyenlő egy osztva a koszinusz négyzetével.

10. A kotangens deriváltja mínusz egy osztva a szinusz négyzetével.

tanítunk differenciálási szabályok.

1. Egy algebrai összeg deriváltja egyenlő algebrai összeg kifejezések származékai.

2. Egy szorzat deriváltja egyenlő az első és a második faktor deriváltjának szorzatával, plusz az első tényező és a második faktor deriváltjának szorzatával.

3. Az „y” deriváltja osztva „ve”-vel egyenlő egy törttel, amelyben a számláló „y prím szorozva „ve”-vel mínusz „y szorozva ve prímmel”, a nevező pedig „ve négyzet”.

4. Különleges eset képletek 3.

Tanuljunk együtt!

1/1 oldal 1

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete