Matematikai modell- a modellező objektum hozzávetőleges leírása, használatával kifejezve matematikai szimbolika .

A matematikai modellek a matematikával együtt jelentek meg sok évszázaddal ezelőtt. A számítógépek megjelenése óriási lendületet adott a matematikai modellezés fejlődésének. Alkalmazás számítógépek sok olyan matematikai modell elemzését és gyakorlati alkalmazását tette lehetővé, amelyek korábban nem voltak alkalmasak analitikus kutatásra. Számítógéppel megvalósított matematikai modell hívott számítógépes matematikai modell, A célzott számítások elvégzése számítógépes modell segítségével hívott számítási kísérlet.

A számítógépes matematikai modellezés szakaszait az ábra mutatja. Első fázis- modellezési célok meghatározása. Ezek a célok eltérőek lehetnek:

1) modellre van szükség ahhoz, hogy megértsük, hogyan épül fel egy adott tárgy, mi a szerkezete, alapvető tulajdonságai, a fejlődés törvényei és a külvilággal való interakció (megértés);

2) modellre van szükség ahhoz, hogy megtanuljunk egy objektumot (vagy folyamatot) irányítani és meghatározni a legjobb módokat menedzsment adott célokkal és kritériumokkal (menedzsment);

3) a modell szükséges a megvalósítás közvetlen és közvetett következményeinek előrejelzéséhez adott módszereketés a tárgyra gyakorolt ​​hatás formái (előrejelzés).

Magyarázzuk meg példákkal. Legyen a vizsgálat tárgya egy folyadék vagy gáz áramlásának kölcsönhatása egy testtel, amely akadályozza ezt az áramlást. A tapasztalat azt mutatja, hogy a test áramlási ellenállásának ereje az áramlási sebesség növekedésével növekszik, de bizonyos kellően nagy sebességeknél ez az erő hirtelen csökken, így a sebesség további növelésével ismét nő. Mi okozta az ellenállási erő csökkenését? A matematikai modellezés lehetővé teszi, hogy egyértelmű választ kapjunk: az ellenállás hirtelen csökkenése pillanatában az áramvonalas test mögött a folyadék vagy gáz áramlásában keletkező örvények elkezdenek leszakadni tőle, és az áramlás elviszi őket.

Példa egy teljesen más területről: két, békésen együtt élt, stabil egyedszámmal rendelkező, közös táplálékkal rendelkező egyedfaj populációi „hirtelen” élesen megváltoztatják a számukat. És itt a matematikai modellezés lehetővé teszi (bizonyos fokú megbízhatósággal) az ok megállapítását (vagy legalábbis egy bizonyos hipotézis megcáfolását).

Egy objektum kezelési koncepciójának kidolgozása a modellezés másik lehetséges célja. Melyik repülőgép repülési módját válasszam, hogy a repülés biztonságos és gazdaságilag a legjövedelmezőbb legyen? Hogyan ütemezzünk több száz típusú munkát egy nagy létesítmény építésekor, hogy az a lehető legrövidebb időn belül elkészüljön? Sok ilyen probléma szisztematikusan felmerül a közgazdászok, a tervezők és a tudósok előtt.

Végül, az objektumra gyakorolt ​​bizonyos hatások következményeinek előrejelzése viszonylagos lehet egyszerű ügy egyszerűben fizikai rendszerek, és rendkívül összetett - a megvalósíthatóság határán - biológiai, gazdasági és társadalmi rendszerekben. Ha egy vékony rúdban viszonylag könnyen megválaszolható a hőeloszlás módjának változása az alkotó ötvözetében bekövetkezett változások miatt, akkor viszonylag könnyen nyomon követhető (jósolható) a nagyméretű pálca megépítésének környezeti és éghajlati következményei. vízerőmű ill társadalmi következményei az adójogszabályok megváltoztatása összehasonlíthatatlanul nehezebb. Talán itt is jelentősebb segítséget nyújtanak a jövőben a matematikai modellezési módszerek.

Második fázis: a modell bemeneti és kimeneti paramétereinek meghatározása; a bemeneti paraméterek felosztása változásaik kimenetre gyakorolt ​​hatásának fontossági foka szerint. Ezt a folyamatot rangsorolásnak vagy rang szerinti szétválasztásnak nevezik (lásd . “Formalizálás és modellezés”).

Harmadik szakasz: Építkezés matematikai modell. Ebben a szakaszban a modell absztrakt megfogalmazásáról át kell térni egy meghatározott matematikai reprezentációval rendelkező megfogalmazásra.

Matematikai modell- ezek egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségrendszerek, differenciálegyenletek vagy ilyen egyenletrendszerek stb.

Negyedik szakasz: matematikai modell tanulmányozási módszerének kiválasztása. Leggyakrabban itt használják numerikus módszerek, amelyek jól használhatók a programozásban. Egyazon probléma megoldására általában több módszer is alkalmas, amelyek pontosságban, stabilitásban stb. A teljes modellezési folyamat sikere gyakran a módszer helyes megválasztásán múlik.

Ötödik szakasz: algoritmus fejlesztése, számítógépes program összeállítása és hibakeresése nehezen formalizálható folyamat. A programozási nyelvek közül sok szakember a FORTRAN-t részesíti előnyben a matematikai modellezéshez: mind a hagyományok, mind a fordítók (számítási munkákhoz) felülmúlhatatlan hatékonysága és a benne írt matematikai módszerekhez szükséges szabványos programok hatalmas, gondosan hibakeresett és optimalizált könyvtárai miatt. . A feladat jellegétől és a programozó hajlamaitól függően olyan nyelvek is használatban vannak, mint a PASCAL, BASIC, C.

Hatodik szakasz: program tesztelése. A program működését egy tesztfeladaton teszteljük, amelyre korábban ismert válasz van. Ez csak a kezdete egy olyan tesztelési eljárásnak, amelyet nehéz formálisan átfogó módon leírni. Jellemzően a tesztelés akkor ér véget, amikor a felhasználó szakmai tulajdonságai alapján a programot helyesnek tartja.

Hetedik szakasz: valójában számítási kísérlet, melynek során megállapítják, hogy a modell megfelel-e egy valós objektumnak (folyamatnak). A modell teljesen megfelelő valódi folyamat, ha a folyamat számítógépen kapott egyes jellemzői adott fokú pontossággal egybeesnek a kísérletileg kapott jellemzőkkel. Ha a modell nem felel meg a valós folyamatnak, akkor visszatérünk az előző szakaszok valamelyikéhez.

Matematikai modellek osztályozása

A matematikai modellek osztályozása azon alapulhat különféle elvek. A modelleket tudományágak szerint osztályozhatja (matematikai modellek fizikában, biológiában, szociológiában stb.). Az alkalmazott matematikai apparátus szerint osztályozható (közönséges differenciálegyenletek használatán alapuló modellek, parciális differenciálegyenletek, sztochasztikus módszerek, diszkrét algebrai transzformációk stb.). Végül az alapján közös feladatok A modellezés a különböző tudományokban, függetlenül a matematikai apparátustól, a legtermészetesebb osztályozás a következő:

· leíró (leíró) modellek;

· optimalizálási modellek;

· többszempontú modellek;

· játékmodellek.

Magyarázzuk meg ezt példákkal.

Leíró (leíró) modellek. Például a Naprendszert megszálló üstökös mozgásának modellezése a repülési útvonal, a Földtől elhaladó távolság stb. Ebben az esetben a modellezési célok leíró jellegűek, mivel az üstökös mozgását nem lehet befolyásolni, vagy bármit megváltoztatni benne.

Optimalizációs modellek Az elérési kísérlet során befolyásolható folyamatok leírására szolgálnak adott cél. Ebben az esetben a modell egy vagy több befolyásolható paramétert tartalmaz. Például egy magtár termikus rezsimjének megváltoztatásakor célul tűzheti ki olyan rezsim kiválasztását, amely a maximális gabonabiztonságot biztosítja, pl. optimalizálja a tárolási folyamatot.

Többszempontú modellek. Gyakran előfordul, hogy egy folyamatot egyszerre több paraméter mentén kell optimalizálni, és a célok meglehetősen ellentmondásosak lehetnek. Például, ismerve az élelmiszerárakat és az ember élelmiszerszükségletét, meg kell szerveznie az étkezést nagy csoportok emberek (hadseregben, nyári gyerektáborban stb.) fiziológiailag helyes és egyben a lehető legolcsóbb. Jól látható, hogy ezek a célok egyáltalán nem esnek egybe, i.e. A modellezés során több szempontot is figyelembe kell venni, amelyek között egyensúlyt kell keresni.

Játékmodellek nemcsak azokra vonatkozhat számítógépes játékok, hanem nagyon komoly dolgokra is. Például egy csata előtt a parancsnoknak, ha hiányos információ áll rendelkezésre a szembenálló hadseregről, tervet kell készítenie: milyen sorrendben vezesse be az egyes egységeket a csatába stb. lehetséges reakció ellenség. A modern matematikának van egy speciális ága - a játékelmélet -, amely a hiányos információk körülményei között történő döntéshozatali módszereket vizsgálja.

Iskolai informatika tanfolyamon kezdeti bevezetés a számítógépbe matematikai modellezés a hallgatók az alaptanfolyam részeként kapnak. Középiskolában a matematikai modellezést behatóan lehet tanulni általános műveltségi tanfolyam fizika és matematika órákra, valamint választható szakkör keretében.

A középiskolai számítógépes matematikai modellezés oktatásának fő formái az előadások, a laboratóriumi és tesztórák. Az egyes új modellek létrehozásának és tanulmányozásának előkészítése általában 3-4 órát vesz igénybe. Az anyag bemutatása során olyan feladatok kerülnek kitűzésre, amelyeket a jövőben a tanulóknak önállóan kell megoldaniuk. általános vázlat felvázolják azok megoldásának módjait. Kérdések fogalmazódnak meg, amelyekre a válaszokat a feladatok elvégzésekor kell megszerezni. Jelzett kiegészítő irodalom, amely lehetővé teszi a segédinformációk beszerzését a feladatok sikeresebb elvégzéséhez.

Az új tananyag tanulmányozása során az órák szervezési formája általában egy előadás. A következő modell tárgyalásának befejezése után a hallgatók rendelkezésére állnak a további munkához szükséges elméleti információk és feladatsor. A feladat elvégzésére való felkészülés során a tanulók megfelelő megoldási módot választanak, és valamilyen jól ismert privát megoldással tesztelik a kidolgozott programot. A feladatok elvégzése során felmerülő nehézségek esetén konzultációt tartanak, és javaslatot tesznek ezeknek a szakaszoknak az irodalmi forrásokban való részletesebb tanulmányozására.

A számítógépes modellezés oktatásának gyakorlati részére a legmegfelelőbb a projektmódszer. A feladatot egy oktatási projekt formájában fogalmazzák meg a tanuló számára, és több órán keresztül hajtják végre, a fő szervezeti forma pedig a számítógép laboratóriumi munkák. A módszerrel történő modellezés oktatása oktatási projektek különböző szinteken valósítható meg.
Első- a projekt befejezésének folyamatának problematikus bemutatása a tanár vezetésével.
Második- a projekt megvalósítása a diákok által a tanár irányításával.
Harmadik- oktatási kutatási projekt hallgatói általi önálló megvalósítása.

A munka eredményeit számszerű formában, grafikonok és diagramok formájában kell bemutatni. Ha lehetséges, a folyamat dinamikusan jelenik meg a számítógép képernyőjén. A számítások elvégzése és az eredmények kézhezvétele után azokat elemzik, összevetik az elméletből ismert tényekkel, megerősítik a megbízhatóságot és érdemi értelmezést végeznek, amelyet ezt követően írásos jelentésben tükröznek.

Ha az eredmények kielégítik a tanulót és a tanárt, akkor a munka befejezettnek minősül, és végső szakasz jelentést kell összeállítani. A jelentés rövid elméleti információkat tartalmaz a vizsgált témáról, matematikai állítás problémák, megoldási algoritmus és indoklása, számítógépes program, programeredmények, eredmények elemzése és következtetések, irodalomjegyzék.

Amikor az összes jelentést összeállították, a tanulók bemutatják rövid üzenetek az elvégzett munkáról, védjék meg projektjüket. Ez hatékony forma a projektet végrehajtó csoport beszámolója az osztálynak, beleértve a feladat kitűzését, konstrukciót formális modell, a modellel végzett munka módszereinek megválasztása, a modell számítógépen való megvalósítása, a kész modellel való munkavégzés, a kapott eredmények értelmezése, előrejelzés. Ennek eredményeként a tanulók két osztályzatot kaphatnak: az elsőt - a projekt kidolgozottságáért és megvédésének sikerességéért, a másodikat - a programért, annak algoritmusának, felületének optimalitásáért stb. A tanulók az elméleti vetélkedők során is kapnak osztályzatokat.

Lényeges kérdés, hogy a matematikai modellezéshez milyen eszközöket kell használni egy iskolai informatika tanfolyamon? A modellek számítógépes megvalósítása elvégezhető:

· használva asztali processzor(általában MS Excel);

· programok létrehozásával hagyományos programozási nyelveken (Pascal, BASIC stb.), valamint azok nyelvén modern változatai(Delphi, Visual Basic for Application stb.);

· speciális szoftvercsomagok használata a megoldáshoz matematikai problémák(MathCAD stb.).

Alapiskolai szinten az első módszer tűnik előnyösebbnek. Azonban in Gimnázium, amikor a programozás a modellezés mellett kiemelt téma a számítástechnikában, kívánatos modellező eszközként használni. A programozási folyamat során a matematikai eljárások részletei a hallgatók rendelkezésére állnak; Ráadásul egyszerűen kénytelenek elsajátítani, és ez is hozzájárul a matematikai oktatáshoz. Ami a speciális szoftvercsomagok használatát illeti, ez megfelelő profil tanfolyam számítástechnika más eszközök kiegészítéseként.

Határozza meg a lokalizációs objektumok osztályozásának domináns jellemzőit, és dolgozzon ki matematikai modellt az arckifejezési képek elemzésére.

Feladatok

Arclokalizációs módszerek keresése, elemzése, domináns osztályozási jellemzők meghatározása, az arckifejezések felismerésének feladatához optimális matematikai modell kidolgozása.

Tantárgy

A vizsgálat előző szakaszában elvégzett, egy adott képosztályba tartozó, szemet gyönyörködtető objektumok megalkotásához optimális színtér meghatározása mellett a domináns osztályozási jellemzők meghatározása és az arckifejezési képek matematikai modelljének kidolgozása. is fontos szerepet játszanak.

A probléma megoldásához mindenekelőtt be kell állítani a rendszerben az arc videokamerával történő észlelésének feladatának módosítását, majd az ajakmozgások lokalizálását.

Ami az első feladatot illeti, ezeknek két típusát kell megkülönböztetni:
Arc lokalizáció;
Arckövetés.
Mivel egy arckifejezés-felismerő algoritmus kidolgozásával állunk szemben, logikus ezt feltételezni ezt a rendszert egy olyan felhasználó fogja használni, aki nem fogja túl sokat mozgatni a fejét. Ezért az ajakmozgás-felismerő technológia megvalósításához az észlelési probléma egyszerűsített változatát kell alapul venni, ahol egy és csak egy arc van a képen.

Ez azt jelenti, hogy egy arc keresése viszonylag ritkán (kb. 10 képkocka/mp vagy még ennél is kevesebb) végezhető. Ugyanakkor a beszélő ajkának mozgása beszélgetés közben meglehetősen aktív, ezért a körvonaluk értékelését nagyobb intenzitással kell elvégezni.

A képen szereplő arckeresés feladatát a meglévő eszközökkel is meg lehet oldani. Manapság számos módszer létezik az arc észlelésére és lokalizálására a képen, amelyek 2 kategóriába sorolhatók:
1. Empirikus felismerés;
2. Arcképmodellezés. .

Az első kategóriába azok a felülről lefelé haladó felismerési módszerek tartoznak, amelyek az arcképek invariáns tulajdonságain alapulnak, és azon a feltételezésen alapulnak, hogy a képen olyan arcok jelenlétére utaló jelek vannak, amelyek a felvételi körülmények szempontjából invariánsak. Ezek a módszerek 2 alkategóriára oszthatók:
1.1. Az arcképre jellemző elemek és vonások észlelése (szélek, fényesség, szín, arcvonások jellegzetes alakja stb.);
1.2. Az észlelt jellemzők elemzése, döntéshozatal az arcok számáról és elhelyezkedéséről (empirikus algoritmus, az elemek egymáshoz viszonyított helyzetének statisztikája, vizuális képfolyamatok modellezése, merev és deformálható sablonok használata stb.).

Az algoritmus megfelelő működéséhez létre kell hozni egy adatbázist az arcvonásokról, majd ezt követően tesztelni kell. Az empirikus módszerek pontosabb megvalósításához olyan modellek használhatók, amelyek figyelembe veszik az arctranszformáció lehetőségeit, és ezért vagy kibővített alapadatokkal rendelkeznek a felismeréshez, vagy olyan mechanizmussal, amely lehetővé teszi az alapelemeken történő transzformáció modellezését. A felhasználók széles körét megcélzó osztályozó adatbázis felépítésének nehézségei egyéni jellemzők, arcvonások és így tovább, segít csökkenteni ennek a módszernek a felismerési pontosságát.

A második kategóriába tartoznak a matematikai statisztika módszerei és gépi tanulás. Az ebbe a kategóriába tartozó módszerek képfelismerő eszközökön alapulnak, az arcfelismerés feladatát a felismerési feladat speciális esetének tekintve. A képhez egy bizonyos jellemzővektor van hozzárendelve, amely a képeket két osztályba sorolja: arc/nem arc. A jellemzővektor előállításának legáltalánosabb módja magának a képnek a használata: minden pixel a vektor komponensévé válik, és az n×m-es képet vektorrá alakítja az R^(n×m) térben, ahol n és m egész számok. pozitív számok. . Ennek az ábrázolásnak a hátránya a jellemzőtér rendkívül nagy mérete. A módszer előnye, hogy a teljes eljárásból kizárja a humán részvételi osztályozó felépítését, valamint annak a lehetőségét, hogy magát a rendszert egy adott felhasználó számára betanítsák. Ezért a képmodellezési módszerek alkalmazása az arc lokalizációjának matematikai modelljének felépítéséhez optimális a problémánk megoldásához.

Ami az arcprofil szegmentálását és az ajakpontok helyzetének követését illeti egy keretsorozatban, a probléma megoldásához szintén érdemes használni matematikai módszerek modellezés. Az arckifejezések mozgásának meghatározásának számos módja van, ezek közül a leghíresebb az aktív kontúrmodelleken alapuló matematikai modell használata:

Az arckifejezési terület lokalizálása az aktív kontúrmodellek matematikai modellje alapján

Az aktív kontúr (kígyó) egy olyan deformálható modell, amelynek sablonja paraméteres görbe formájában van megadva, kézzel inicializálva a bemeneti kép nyitott vagy zárt görbéjén elhelyezkedő vezérlőpontok halmazával.

Ahhoz, hogy az aktív kontúrt az arckifejezések képéhez igazítsuk, el kell végezni a vizsgált objektum megfelelő binarizálását, azaz egyfajta digitális raszteres képpé alakítását, majd a kép paramétereinek megfelelő értékelését. el kell végezni az aktív kontúrt és a jellemzővektor kiszámítását.

Az aktív kontúrmodell meghatározása a következő:
N pontkészlet;
Belterületekérdeklődésre számot tartó energia (belső rugalmas energia kifejezés);
Külső él alapú energia kifejezés.

A felismerés minőségének javítása érdekében két színosztályt különböztetünk meg: a bőrt és az ajkakat. A színosztály-tagsági függvény értéke 0 és 1 között lehet.

Az aktív kontúrmodell (kígyó) egyenletét a v(s) képlet ábrázolja:

Ahol E a kígyó energiája (aktív kontúrmodell). Az első két kifejezés az aktív kontúrmodell (kígyó) szabályossági energiáját írja le. A mi sarkunkban koordináta-rendszer v(s) = , s 0-tól 1-ig. A harmadik tag a kapcsolódó energia külső erő, a képről kapott, a negyedik - a nyomóerővel.

A külső erő meghatározása a fent leírt jellemzők alapján történik. Képes a vezérlőpontokat egy bizonyos intenzitásértékre eltolni. Kiszámítása a következőképpen történik:

A gradiens szorzót (derivált) a megfelelő radiális vonal mentén lévő kígyópontokban számítjuk ki. Az erő növekszik, ha a gradiens negatív, ellenkező esetben csökken. A színátmenet előtti együttható egy súlyozási tényező, amely a kép topológiájától függ. A nyomóerő egyszerűen egy állandó, a minimális súlytényező felével. A legjobb forma A kígyók értékét úgy kapjuk meg, hogy bizonyos számú iteráció után minimálisra csökkentjük az energiafunkciót.

Nézzük meg részletesebben az alapvető képfeldolgozási műveleteket. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy valamilyen módon már kiválasztottuk a beszélő szájának területét. Ebben az esetben a kapott kép feldolgozásának fő műveleteit, amelyeket végre kell hajtanunk, az ábra mutatja be. 3.

Következtetés

A képosztályozás domináns jellemzőinek meghatározásához a kutatómunka során a videokamerás arcfelismerés feladatának módosításának jellemzőit azonosítottam. Az arcok lokalizálására és a vizsgált arckifejezés területének kimutatására szolgáló összes módszer közül a legalkalmasabbak a mobileszközök univerzális felismerő rendszerének létrehozására az arcképmodellezés módszerei.
Az arcmozgásképek matematikai modelljének kidolgozása a vizsgált objektum binarizálásának aktív kontúrmodelljeinek rendszerén alapul. Mivel ez a matematikai modell lehetővé teszi, hogy a színtér RGB-ről YCbCr színmodellre váltása után hatékonyan átalakítsa a vizsgált objektumot, az aktív kontúrmodelleken alapuló későbbi elemzéshez és az arckifejezések egyértelmű határainak azonosításához a kép megfelelő iterációi után.

A felhasznált források listája

1. Vezhnevets V., Dyagtereva A. Arc észlelése és lokalizálása a képen. CGM Journal, 2003
2. Ugyanott.
3. E. Hjelmas és B.K. Alacsony, Arcfelismerés: A felmérés, Journal of Computer vision and image megértése, 83. kötet, pp. 236-274, 2001.
4. G. Yang és T.S. Huang, Emberi arcfelismerés összetett háttérben, Mintafelismerés, 27. kötet, 1. sz., 53-63. oldal, 1994
5. Sobottka K. és Pitas I., Új módszer az arc automatikus szegmentálására, arcvonások kivonására és nyomon követésére, Jelfeldolgozás: Képkommunikáció, 1. évf. 12, 3. szám, pp. 263-281, 1998. június
6. F. Smeraldi, O. Cormona és J. Big.un., Saccadic search Gabor funkciókkal szemészlelésre és valós idejű fejkövetésre, Image Vision Comput. 18, pp. 323-329, 200
7. Gomozov A.A., Krjukov A.F. Empirikus és matematikai felismerési algoritmusok elemzése emberi arc. Hálózati napló. Moszkva energetikai intézet (Technikai Egyetem). №1 (18), 2011

Folytatjuk

Az alapvető mentális folyamatok fejlesztése - memória, figyelem, képzelet, képzeletbeli gondolkodás, beszédek; információk átkódolása, pl. átalakulás absztrakt szimbólumokból képekké; önálló modellezési készség fejlesztése; fejlesztés finom motoros készségek részleges vagy teljes grafikai reprodukcióhoz. Fejlődés gyermekeknél kognitív érdeklődés matematikához A modellezés jelentősége az óvodáskorú gyermekek fejlődésében.

A modellezés használata a fejlesztésben matematikai ábrázolásokóvodások ad kézzelfogható pozitív eredményeket, nevezetesen: - lehetővé teszi a jelenségek közötti rejtett összefüggések azonosítását és hozzáférhetővé tételét a gyermek számára; - javítja a gyermek megértését egy tárgy vagy jelenség összetevőinek szerkezetéről és összekapcsolásáról; - növeli a gyermek megfigyelőképességét, lehetőséget ad neki, hogy észrevegye az őt körülvevő világ jellemzőit;

A modellekkel való munka szakaszai A modellezési módszer alkalmazásának négy lépéses sorozata. Az első szakasz magában foglalja az aritmetikai műveletek jelentésének megismerését. A második az, hogy megtanuljuk leírni ezeket a műveleteket a matematikai jelek és szimbólumok nyelvén. Harmadszor - a legegyszerűbb technikák elsajátítása számtani számítások A negyedik szakasz a problémák megoldásának megtanulása A modellekkel való munka szakaszai

Vizuális síkmodell „Ház, ahol a jelek és a számok élnek” Alkalmazás célja: - a gyerekek két kisebbből való számkomponálási képességének erősítése; számok összeadása és kivonása; - képet adjon a gyerekeknek a számok és mennyiségek megváltoztathatatlanságáról, figyelembe véve az összegzésbeli különbségeket; - megtanítani vagy erősíteni a számok összehasonlításának képességét (több, kevesebb, egyenlő).

Vizuális sík modell "Solar system" Csak idősebb gyermekeknek és előkészítő csoport. Alkalmazási célok: - gyerekeknek geometriai testekről és alakzatokról alkotott elképzeléseinek adása (vagy megszilárdítása) (kör, labda összehasonlítása más geometriai testekkel és alakzatokkal); - megtanítani a gyerekeket, hogy beszédben azonosítsák és tükrözzék a kialakuló csoport csoportosításának, osztályozásának, kapcsolatának és függőségének alapját. Naprendszer); - megtanítani (vagy megszilárdítani) a gyermekek képességét számos tárgy sorrendjének méret szerinti meghatározására; -a térbeli kapcsolatok megértésének kialakítása, egyes objektumok elhelyezkedésének meghatározása a többihez képest; -javítja a sorszám- és mennyiségi számlálást; - megszilárdítani azt a képességet, hogy hagyományos mértéket használjunk a távolságok mérésére; - erősíti a számtani feladatok megoldási képességét.

Vizuális síkmodell „Számolótorta” Alkalmazás célja: - megtanítani a gyerekeket számtani feladatok megoldására és a gyermek kognitív képességeinek fejlesztésére; - megtanulják felismerni a mennyiségek közötti matematikai összefüggéseket és eligazodni azokban.

Jaltai oktatási komplexum „9. számú Iskola-Líceum”

HR igazgatóhelyettesRomanova A.N.

„Modellezés a matematika órán Általános Iskola»

Gyakorlati szeminárium

A matematikát az iskolában kell tanítani

Továbbá, állítsa be a célt, hogy a tudás

aki ide kerülne, az lenne

elegendő a hétköznapokhoz

szükségletek az életben.

M. Lobacsevszkij

Jelentésterv

Új irányelvek a matematika oktatásában.

Módszertani alapismeretek modellezés. Matematikai modell.

A modellezési módszer alkalmazása általános iskolai matematika órákon.

A tanulók megismertetése a matematikai modellezés technikáival.

Modellezés alkalmazása egyenletek megoldásában.

Modellezés szöveges feladatok megoldása közben.

A modellezés használata a számozás, a számok összeadása és kivonása, valamint a hosszúság mértékegységeinek vizsgálata.

Új irányelvek a matematika oktatásában. (5 perc)

Köztudott, hogy a modellek a matematika nyelve, a modellezés pedig a beszédük. A matematika elsajátításának sikerét mindenekelőtt az határozza meg, hogy a gyermek mennyire tanult meg „beszélni” a nyelvét. Ezt nemcsak a hallgató tudományos és kognitív feladatok megoldásában elért tanulmányi eredménye határozza meg, hanem nagyobb mértékben siker az életben személyiségek - köszönömjelentkezési képesség matematikai módszerek az ezt igénylő gyakorlati, valós problémák megoldására. Egyetértek, ez is jó eredménye az iskolai matematika tanulásának.

Megtanítjuk diákjainknak a matematikai nyelvet? Vagy talán nehéz feladatnak tartjuk ezt az általános iskola számára? Vagy egyszerűen csak abban reménykedünk, hogy a napi példák és problémák megoldása során a gyerekek maguk is fokozatosan megtanulják használni?

A kijevi iskolákban végzett megfigyelési adatok, valamint az egész ukrán megfigyelés adatai azt mutatják, hogy a tanulók többsége (60%, illetve 53%) nem tudja, hogyan kell kész grafikus modellekkel dolgozni, teljesíteni. kreatív feladatok, a megszerzett ismereteket új helyzetekben alkalmazza egy probléma megoldására.

A matematikaoktatásnak ez az állapota vált indokolttá az iskolások matematikatanítására vonatkozó állami követelmények jelentős felülvizsgálatára. A „Szuverén Szabvány...” új kiadása, amely idén lépett életbe. A személyiségközpontú és kompetencia alapú megközelítés pozíciójából tulajdonképpen átirányítja a tanári tevékenységet.Kompetencia - a hatékony tevékenységekhez szükséges ismeretek és tapasztalatok jelenléte egy adott területen tárgykörben . Hasonlítsuk össze . Még bejelenlegi Az állami szabvány kimondja: „A matematika általános iskolai tanulása biztosítja, hogy a tanulók elsajátítsák a matematika és más tantárgyak továbbtanulásához szükséges ismereteket, készségeket és képességeket... A matematika tanulása hozzájárul a fejlődéshez kognitív képességek fiatalabb iskolások – memória, logikus és kreatív gondolkodás, képzelet, matematikai beszéd.”Az új kiadásban állami szabvány a cél a „matematika” oktatási területen már a „tantárgyi matematikai és fő kompetenciák szükséges a tanulók önmegvalósításához a gyorsan változó világban.” A tantárgyi matematikai kompetencia a „ személyes oktatás, amely azt jellemzi, hogy a tanuló képes matematikai modelleket alkotni a környező világban zajló folyamatokról, alkalmazni tudja a matematikai tevékenység tapasztalatait oktatási, kognitív és gyakorlatias jellegű problémák megoldása során.”

Ezért a matematikai beszéd elsajátítása – a matematikai modellek felépítésének képessége – válik a matematikatanítás fő céljává, ami a „matematikai terminológia, a szimbolikus és grafikus információk használatának képességének” kialakításán keresztül valósul meg a tanulókban.

A fejlesztő nevelés rendszere által felhalmozott pozitív tapasztalatok a diákok modellezés oktatásának (és nem csak a matematika órákon) során D.B. Elkonina – V.V. Davydov, amelynek célja a hallgatók teljes értékű oktatási tevékenységének fejlesztése, amelyek közül az egyik a modellezés.

A modellezési képesség kialakítása a tanulókban a fejlesztő nevelés egyik célja, a gyerekek által alkotott és használt modellek pedig mindenekelőtt a tanulási képességek fejlesztésének egyik módja (és nem csak a tisztánlátás módszere).

Mai szemináriumunk célja, hogy megértsük a modellezés kérdéseit, bemutassuk, hogyan lehet modellekkel megtanítani az általános iskolásokat egyenletek és feladatok megoldására, matematikai tulajdonságokra, valamint a számok összeadási és kivonási technikáira.

2. A modellezés módszertani alapjai. (8 perc)

A modellezés a valóság megértésének egyik eszköze. A modell bármilyen objektum (jelenség, folyamat) tanulmányozására, különféle problémák megoldására és megszerzésére szolgál új információ. Következésképpen a modell egy bizonyos objektum (rendszer), amelynek használata egy másik objektumról (eredetiről) való tudás megszerzésére szolgál.

A modellezés alkalmazását két szempontból vizsgáljuk:

először is, a modellezés az a tartalom, amelyet ennek eredményeként a gyerekeknek meg kell tanulniuk pedagógiai folyamat;

másodszor, a modellezés az a nevelési cselekvés és eszköz, amely nélkül a teljes értékű tanulás lehetetlen.

A modellek láthatósága a következő fontos mintán alapul: a modell létrehozása egy mentális modell előzetes megalkotása alapján történik - a modellezett objektumok vizuális képei, vagyis az alany önmagában hoz létre mentális kép ebből a tárgyból, majd (a gyerekekkel együtt) anyagi vagy figuratív modellt (vizuális) épít. A mentális modelleket felnőttek készítik, és bizonyos gyakorlati akciók segítségével vizuálissá alakíthatók (amelyben a gyerekek is részt vehetnek a már elkészített vizuális modellekkel).

Amikor gyerekekkel dolgozik, használhatja az objektumok helyettesítését: szimbólumok és jelek, sík modellek (tervek, térképek, rajzok, diagramok, grafikonok), háromdimenziós modellek, elrendezések.

A modellezési módszer használata segít megoldani egy sor nagyon fontos problémát:

a gyermekek produktív kreativitásának fejlesztése;

fejlesztés magasabb formák képzeletbeli gondolkodás;

korábban megszerzett ismeretek alkalmazása a megoldásban gyakorlati problémák;

a gyerekek által korábban megszerzett matematikai ismeretek megszilárdítása;

az üzleti együttműködés feltételeinek megteremtése;

a gyermekek matematikai szókincsének aktiválása;

a kéz finom motoros készségeinek fejlesztése;

új ötletek és készségek elsajátítása a munkafolyamat során;

a gyerekek legmélyebb megértése az eredetiek működési elveiről és felépítéséről modellek segítségével.

A modell nemcsak arra ad lehetőséget, hogy vizuális képet alkossunk a modellezett objektumról, hanem azt is, hogy képet alkossunk a modellben tükröződő legfontosabb tulajdonságairól. A modell fejlesztése során minden egyéb lényegtelen tulajdonságot figyelmen kívül hagyunk. Így a modellezett objektumról általánosított vizuális képet készítünk.

A modellezés tudományos alapja az analógia elmélete, amelyben a fő fogalom az analógia fogalma - a tárgyak hasonlósága minőségi és mennyiségi jellemzőik szerint. Mindezeket a típusokat az általánosított analógia – absztrakció – fogalma egyesíti. A hasonlat kifejezi különleges fajta megfeleltetés az összehasonlított objektumok, a modell és az eredeti között.

A modellezés többfunkciós, azaz sokféle módon, különböző célokra használják különböző szinteken a kutatás vagy az átalakítás (szakaszai). Ebben a tekintetben a modellhasználat évszázados gyakorlata a modellek formáinak és típusainak bőségét eredményezte.

Nézzük az L. M. Friedman által javasolt osztályozást. Az áttekinthetőség szempontjából az összes modellt két osztályba osztja:

lépés 1. 1-2

· anyag (valódi, igazi);

· tökéletes.

Az anyaghoz A modellek közé tartoznak azok, amelyek bármilyen anyagi objektumból épülnek fel.

2. lépés

Anyagmodellek, viszont oszthatóstatikus (helyhez kötött) ésdinamikus (jelenlegi).

3. lépés

A következő típusú dinamikus modellekanalóg és szimuláció , amelyek ezt vagy azt a jelenséget reprodukálják egy másik, bizonyos értelemben kényelmesebb segítségével. Például egy ilyen modell - a művese - ugyanúgy működik, mint a természetes (élő) vese, eltávolítja a méreganyagokat és egyéb anyagcseretermékeket a szervezetből, de természetesen teljesen másképp van kialakítva, mint egy élő vese.

Ideál A modelleket általában három típusra osztják:

4. lépés

· átvitt (ikonszerű);

· ikonszerű (jel-szimbolikus);

· szellemi (szellemi).

A modelleket különböző kritériumok szerint osztályozhatjuk:

1) a modellek jellege (vagyis a modellezés eszközei) alapján;

2) a modellezett objektumok természete szerint;

3) a modellezés alkalmazási területe szerint (technológiai modellezés, in fizikai tudományok, kémiában, élőfolyamatok modellezésében, psziché modellezésében stb.)

4) a modellezés szintjei („mélysége”) szerint.

A leghíresebb azosztályozás a modellek jellege szerint .

5. lépés.

Eszerint a következőket különböztetik meg:modellezés típusai :

6. lépés.

1. Témamodellezés , amelyben a modell egy objektum geometriai, fizikai, dinamikus vagy funkcionális jellemzőit reprodukálja. Például egy híd, egy gát, egy repülőgép szárny modellje stb.

7. lépés

2. Analóg modellezés , amelyben a modellt és az eredetit egyetlen matematikai kapcsolat írja le. Ilyen például a mechanikai, hidrodinamikai és akusztikai jelenségek tanulmányozására használt elektromos modellek.

8. lépés

3. Ikonikus modellezés , amelyben a modellek valamiféle szimbolikus képződmények: diagramok, grafikonok, rajzok, képletek, grafikonok, szavak és mondatok.

9. lépés

4. Szorosan kapcsolódik az ikonikushozmentális szimuláció , amelyben a modellek mentálisan vizuális karakterre tesznek szert.

10. lépés

5. Szimulált kísérlet – különleges fajta modellezés, ahol nem magát az objektumot használjuk, hanem annak modelljét.

A modellezés fő célja egy tárgyban a leggyakoribb összefüggések kiemelése és rögzítése vizsgálata céljából.

A modellezési módszer egy komplex, integratív oktatás. A didaktikai módszerek osztályozása szerint N.G. Kazansky és T.S. Nazarova szerint a modellezési módszer háromkomponensű szerkezetű

11. lépés(lásd az ábrát). Így a modellezési módszer felépítésébenkülső oldal - Ez a tanár és a diákok közötti interakció sajátos formája.Belső oldal – ez az általános oktatási technikák (elemzés, szintézis, általánosítás stb.) és a nevelő-oktató munka módszereinek összessége.Technológiai oldal - ez a módszer speciális technikáinak halmaza (előzetes elemzés, modell felépítése, vele való munka, információk átvitele a modellből a kívánt objektumra - az eredetire).

Szimulációs módszer

Külső oldal

Belső oldal

Technológiai oldal

Formák:

bemutatás

beszélgetés

önálló munkavégzés

Pszichológiai lényeg:

a nevelő-oktató munka dogmatikus módja;

a nevelőmunka heurisztikus módja

a nevelő-oktató munka kutatási módszere

Logikai entitás:

elemző;

szintetikus;

induktív;

deduktív;

analitikus-szintetikus

Modellkészítési technikák;

modelltranszformációs technikák;

a modell megadásának módszerei

Matematikai modell. Matematikai modellezés.

A matematikai modell a jelenségek egy osztályának hozzávetőleges leírása külvilág matematikai szimbolika segítségével. Például az A, B, C elemek közötti kapcsolatot az A+B=C képlet fejezi ki - egy matematikai modell.

A matematikai modellezés folyamata, i.e. A jelenségek matematikai modellekkel történő tanulmányozása négy szakaszra osztható.

12. lépés

Első fázis – egy tárgy lényeges jellemzőinek azonosítása.

13.

Második fázis – modell építése.

14 .

Harmadik szakasz – a modell tanulmányozása.

15 .

Negyedik szakasz – a modellekből nyert információk átvitele a vizsgált objektumra.

A modellezés sajátossága, hogy a láthatóság nem a természeti objektumok egyszerű bemutatása, hanem önállóságra serkent gyakorlati tevékenységek gyermekek. A tanulók képessége a modellel való munkavégzésre, annak tanulásra való átalakítása általános tulajdonságok fogalmak tanítása a tanulás egyik fő célkitűzése minden tantárgyi területen.

A modellezéshez különféle modelleket használnakmatematikai objektumok: numerikus képletek, numerikus táblázatok, szó szerinti képletek, függvények, algebrai egyenletek, sorozatok, geometriai ábrák, különféle gráfdiagramok, Euler-Venn diagramok, grafikonok.

3. A modellezési módszer alkalmazása általános iskolai matematika órákon. (1,5 perc)

Különböző pozíciókból igazolható az igény, hogy a kisiskolások elsajátítsák a modellezési módszert, mint megismerési módszert a tanulási folyamatban.

16. lépés

Először , ez hozzájárul a dialektikus-materialista világkép kialakulásához.

17.

Másodszor Amint azt a kísérletek mutatják, a modell és a szimuláció fogalmának bevezetése a tanítási tartalomba jelentősen megváltoztatja a tanulók hozzáállását akadémiai tantárgy, teszi őket oktatási tevékenységekértelmesebb és produktívabb.

18.

Harmadik , a modellezési módszer céltudatos és szisztematikus oktatása közelebb hozza a fiatalabb iskolásokat a tudományos ismeretek módszereihez, és biztosítja értelmi fejlődésüket. Ahhoz, hogy a tanulókat a modellezéssel, mint megismerési móddal „felvértezzük”, nem elég, ha a tanár pusztán különböző tudományos modelleket mutat fel nekik, és megmutatja az egyes jelenségek modellezésének folyamatát. Szükséges, hogy az iskolások maguk készítsenek modelleket, maguk tanulmányozzák az objektumokat vagy jelenségeket modellezés segítségével. Amikor a tanulók egy gyakorlati matematikai (cselekmény) feladat megoldása során megértik, hogy az egy valós helyzet szimbolikus modellje, létrehozzák annak különböző modelljeiből sorozatot, majd tanulmányozzák (megoldják) ezeket a modelleket, és végül lefordítják a kapott megoldást a nyelvre. az eredeti probléma, akkor A legtöbb iskolás elsajátítja a modellezési módszert.

A tanulók megismertetése a matematikai modellezés technikáival. (10 perc)

Híres pszichológus P. Galperin és munkatársai kidolgozták a mentális cselekvések lépésről lépésre történő kialakulásának elméletét. Ezen elmélet szerint a tanulási folyamatot úgy tekintik, mint a gyermek által a mentális cselekvések rendszerének elsajátítását, amely a külső gyakorlati tevékenységre adott válaszként az internalizáció (befelé történő átmenet) folyamatában következik be.

A gyermek gyakorlati cselekvéseket hajt végre tárgyakkal (először valós, majd képzeletbeli) - objektív cselekvésekkel. Tőlük ő, először a másolati rajzra támaszkodva, majd tovább tárgymodellek, áttér a grafikus modellekre. A mennyiségeket jelölő matematikai szimbólumok és betűk bevezetése után a tanuló képletekkel írja le a cselekvéseket, pl. szimbólum-betű modellek, majd verbális modellek (definíciók, szabályok).

Például a gyerekek konkrét gyakorlati feladatot kapnak, amelyhez két azonos térfogatú (különböző alakú) edényt kell találniuk.Fotó 19. lépés

Ezt követően a gyerekek (és nem a tanár) gyakorlati műveleteket hajtanak végre: öntsön vizet az egyik üvegbe, öntse a másikba. Ha az elsőből származó összes víz egy másik edénybe kerül, akkor ezeknek az üvegeknek a térfogata egyenlő. Célszerű felkérni a gyerekeket, hogy vegyék fel ezt a két csíkot, amelyek segítségével kommunikálni tudják a térfogatok és formák közötti összefüggéseket - akár azonosak, akár különbözőek. Ha a konzervdobozok térfogata azonos, a gyerekeknek két azonos hosszúságú csíkot kell felemelnie, és ha eltérőek, akkor különböző hosszúságúak.Fénykép

20. lépés

Ahhoz, hogy a gyerekeket rávegyük a grafikus modell használatára, ismét egy konkrét gyakorlati feladatot kell kitűzni: rajz segítségével mutassuk meg, hogy az egyik doboz térfogata nagyobb, mint a másiké. A tapasztalat azt mutatja, hogy a gyerekek elkezdik lerajzolni a konzervdobozok formáját, azaz. készítsen másolatrajzot, vagy húzzon csíkokat, amelyek segítségével megmutatják a konzervdobozok térfogatának arányát.

A rajzok megbeszélése után megállapítjuk: a konzervrajzolás sikertelen módszer (pontatlan rajzok, a dobozok térfogatának aránya nincs ábrázolva, a munka sok időt vesz igénybe). De a gyermekcsíkok szélessége és hosszúsága is eltérő, és ez is sok időt vesz igénybe.

Ennek eredményeként arra a következtetésre jutunk, hogy kényelmesebb, ha egyáltalán nem rajzoljuk meg a szalag szélességét, hanem csak a csík hosszát (azaz szegmenseket). Ha a mennyiségek (hosszúság, terület, tömeg, térfogat stb.) azonosak, akkor azonos hosszúságú szakaszaik vannak, ha pedig nem egyenlők, akkor a hosszuk legyen különböző.Fénykép a jegyzetfüzetben. 21. lépés.

Ily módon a mennyiségek képe szegmensek segítségével kerül bevezetésre. A gyerekek megtanulják a mennyiségeket sematikusan kijelölni, majd grafikus (lineáris) modelleket készíteni.

Célszerű még az 1. évfolyamon bevezetni az „egész” és a „rész” fogalmát, és fejleszteni a tanulók képességeit e fogalmak közötti kapcsolatteremtésre. Hogyan írhatjuk le matematikai nyelven, hogy például egy alma külön részekből áll? Ha az alma egész, akkor körrel jelöljük, az almahalmokat pedig háromszögekkel jelöljük, és a következő grafikus modellt kapjuk.

22. lépés7. dia

+ + + =

Egyszerűsítsünk, és legyen egy alapmodell:

23. lépés. + =

Az egész és a részek relatív fogalmak. Alaptulajdonságok ez az összefüggés (a természetes számok halmazán): az egész nem lehet kisebb a résznél, a rész pedig nem lehet nagyobb az egésznél; az egész egyenlő a részek összegével, a rész pedig az egész és a másik rész különbségével

24. lépés = -

Mindenki jól ismeri azokat a sugarakat, amelyeket hagyományosan a számok összetételének ábrázolására használnak.25. lépés8. dia

Tehát a részek és az egész kapcsolata jelgrafikus jelöléssel ábrázolható:

VAL VEL26. lépés

A |____________|_________________|

B A B

Az összeadás műveletét leíró diagram a fordított műveletet is leírja - kivonás:

27. lépés9. dia

A rész és egész fogalma lehetővé teszi a mennyiségek összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságainak bemutatását.10., 11. dia (2 lépés), 12

28., 29., 30. lépés

Csakúgy, mint az összeadás és kivonás tanulása, a szimulációk is használhatók szorzás és osztás megtanulására.

Hagyományosan a szorzást azonos kifejezések összeadásának tekintik. Adjuk hozzá az A értéket B-szer:dia 13.

31. lépés.A+A+A+A+A = AxB

Az A x B képlet így hangzik: „Vegyél B-szert A-ból” vagy „Vegyél B-szert A-ból”,

32. lépésahol A az a rész (mérés), amelyet egy háromszög jelölt meg.

B – mennyiség egyenlő részek(mérések száma), négyzettel jelölhetjük.

Az egész kijelölésére ugyanazt az ikont használjuk - egy kört.

Az egészet az A és B számok szorzásának aritmetikai műveletének eredményeként jellemezzük.

X = A x B = C Ezt a műveletet leíró séma:

|____|_A___|_________|

Nyilvánvaló, hogy ha az osztást objektív cselekvésnek tekintjük, amelynek célja a tartalom szerinti vagy egyenlő részekre osztás, akkor lehetőség nyílik a szorzás és az osztás közötti kapcsolat megteremtésére. Most a szorzási képlet mellett33. lépésAx B = C, az osztás két inverzét kapjuk34. lépés.C: A = B és35. lépés. C: B = A (c geometriai formák). Ez azt jelenti, hogy a szorzóáramkör osztásáramkör.

Modellezés alkalmazása egyenletek megoldásában. (10 perc)

Mert a helyes választás Az egyenletek megoldásához meg kell tudni találni az egész és a rész közötti kapcsolatot. Amikor ez a fogalom kialakul, a gyerekek elsajátítják azt a képességet, hogy az egészet a részeken és a részeken keresztül fejezzék ki. A mennyiségek összeadása és kivonása között a rész és az egész fogalmán alapuló összefüggések felállítása lehetővé teszi, hogy az egészet összehasonlítsuk az összeggel és a minuenddel, a részeket az összeadással vagy a részösszeggel és a különbséggel, és lássuk, különböző akciók: A+B=C, C-A=B, vagy C-B=A – a mennyiségek közötti azonos összefüggéseket jellemzik.

Az ismeretlen megtalálása az egyenletek megoldása során nemcsak a szabályokat segíti, hanem a részek és az egész közötti kapcsolatokat is, grafikus modell formájában bemutatva.14. dia 36. lépés.

Az egyenletek megoldásának megtanítására szolgáló algoritmus a következő:

Rajzoljuk fel az egyenlet diagramját. X +5 = 1237. lépés.

Az egészet és a részeket először a diagramban találjuk meg, majd az egyenletben (aláhúzzuk)

Az ismeretlen komponenst elnevezzük. Nézzük meg, mi ez: egy egész vagy egy rész.

Elemezzük, hogyan találjuk meg az ismeretlen mennyiséget.

TalálunkX. 38. lépés, 39

A felépített áramkör kivonási egyenletek megoldására használható. 12 – x = 5, mivel az összeadás műveletét leíró áramkör egyben kivonási kör is. Példák a jegyzetfüzet fotóira

Dia 15,16 (+1 lépés ), 17, 18.

Lépés, 40, 41, 41-a, 42,43

A feladat az, hogy ezeket az egyenleteket diagramokra bontsa, és egy kifejezést alkosson

dia 19 lépés 44, 45. 44-a, 45-b

A modellezést hasonlóképpen alkalmazzák a keresendő egyenletek megoldásánál ismeretlen szorzó, osztó és osztalék.

20. dia( 8 lépés ) 46. ​​lépés.

A szorzás és az osztás közötti kapcsolat megállapításánál célszerű bevezetni a terület fogalmát, a téglalap területének és az ismeretlen oldal megtalálásának képletét.21. dia (1 lépés)

Példaegyenlet. 22. dia ( 4 lépés)

Algoritmus az egyenlet megoldásához23. dia .

Mivel a szorzási séma osztási séma, egy egyenletből két osztási egyenlet készíthető. A terület egy egész, az oldalak hossza és szélessége részek.

Ezenkívül a modellezés lehetőséget ad az egyenletekkel kapcsolatos kreatív munka változatossá tételére. Tehát a tanár a következő típusú feladatokat ajánlhatja fel:

24. dia

A diagram segítségével hozzon létre és oldjon meg egy egyenletet.48. lépés

25. dia ( döntsön a vendégekkel )

(több egyenlet és egy diagram is megadva) Melyik egyenlethez fog illeszkedni ez a diagram? Találd meg és dönts.49. lépés

26., 27., 28., 29. dia.

Oldja meg az egyenleteket, miközben fejben számol. 50., 51., 52., 53. lépés

30. dia (10 lépés), 31

A feladat feltételeinek felvázolása az egyenletábra szerint.

Új bemutató. (2. szeminárium)

Modellezés szöveges feladatok megoldása közben (18 perc)

1. dia

Nem lehet egyet érteni azzal a véleménnyel modern oktatás- ez a tanuló azon képessége, hogy a valóságot nézze, élethelyzet fizikus, kémikus, történész, geográfus pozíciójából egyáltalán nem azért, hogy e terület kutatója lehessen, hanem azért, hogy utólag konkrét élethelyzetekben megoldást találjon.

Egy kisdiákból igazi kutató válhat szöveges feladatok megoldásával, amikor matematikát tanít kisiskolásoknak.

Egy Az egyik ilyen megközelítés az, hogy a tanulókban fejleszteni kell egy bizonyos típusú problémák megoldásának képességét (például különbség-összehasonlítási feladatok megoldása stb. a gyakorlás során). bizonyos típus feladatok).Egy másik a szemantikai és matematikai elemzés szöveges feladatok, amikor a feladat elemzése az adatoktól a célig (szintetikus módszer) és a céltól az adatig (analitikai) történik.Harmadik megközelítés megoldási módszer alapján oktatási feladatokat. A modellező cselekvés kialakulása a szöveges feladatok megoldási képességének minőségileg eltérő formálódását feltételezi.

Számtan és algebrai problémák az irodalomban cselekménynek is nevezik őket, mert mindig megvannak szóbeli leírás valamilyen esemény, jelenség, cselekvés, folyamat. Bármely cselekményprobléma szövege más módon (tantárgyilag, grafikusan, táblázatok, képletek stb. segítségével) újraalkotható, és ez az átmenet a verbális modellezésről a modellezés más formáira. Ezért a problémákon való munka során nagy figyelmet fordítunk a sematikus és szimbolikus modellek felépítésére, valamint arra, hogy a szegmensekkel dolgozhassunk, segítségével grafikusan lemodellezzünk egy szöveges problémát, felteszünk egy kérdést, meghatározzuk a megoldási és keresési algoritmust. válasz. Kisiskolás, mint ismeretes, nem rendelkezik megfelelő szinttel absztrakt gondolkodás. A mi feladatunk pedig éppen az, hogy fokozatosan megtanítsuk képzelni konkrét objektumok szimbolikus modell formájában segítsenek neki megtanulni egy szöveges feladatot lefordítani nyelvre matematikai nyelv. Úgy gondoljuk, hogy a szöveges feladat grafikus modellezése az, ami a legfontosabb valós lehetőség tisztán látni és meghatározni a megoldási algoritmust, és önállóan reflektálni az elvégzett feladatra.

De nem minden rekord lesz feladatmodell. Egy modell felépítéséhez, annak további átalakításához ki kell választani a feladatbancél, adott mennyiségek, minden kapcsolat, hogy e modell alapján tovább lehessen folytatni az elemzést, lehetővé téve a megoldásban való előrehaladást és az optimális megoldások keresését. Bármely probléma aritmetikai módszerrel történő megoldása egy aritmetikai művelet kiválasztásához kapcsolódik, melynek eredményeként meg lehet válaszolni a feltett kérdést. A matematikai modell keresésének megkönnyítése érdekében szükség van egy segédmodell használatára.2. dia (ismerkedés vele alkatrészek 1. osztályban).

A feladatkörülmények között kialakult helyzet újraalkotásához használhat egy sematikus rajzot, amely átmenetet biztosítana a feladat szövegétől egy bizonyos számtani művelet korrelációjához, ami hozzájárul a tudatos és erős asszimiláció kialakulásához. a feladat általános munkamódszere. Ez a modell lehetővé teszi, hogy a tanuló fejlessze azt a képességét, hogy elmagyarázza, hogyan kapta meg a választ a probléma kérdésére. A sematikus modell azonban csak akkor hatékony, ha minden tanuló számára érthető, és kifejlesztették a verbális modell diagram nyelvére történő lefordításának képességét. Az egyszerű összeadási és kivonási feladatok megoldásának megtanulásakor a következő fogalmak kerülnek bevezetésre: egész, rész és ezek kapcsolata.3. dia. (2 lépés)

Egy rész megtalálásához ki kell vonni egy másik részt az egészből.

Az egész megtalálásához hozzá kell adnia a részeket.

Az egyszerű szorzási és osztási feladatok megoldásának megtanulásakor egy diagramot és a megfelelő szabályokat javasoljuk:

Az egész megtalálásához meg kell szorozni a mértéket a mértékek számával.

Egy mérték megtalálásához az egész számot el kell osztani a mértékek számával.

A mértékek számának meghatározásához az egészet el kell osztani a mértékkel.

4. dia. (3 lépés)

Ez a megközelítés a tanításban lehetővé teszi, hogy eltávolodjon az egyszerű feladatok régi osztályozásától. Fontos, hogy az adatokat és a keresetteket úgy ábrázoljuk, hogy a mennyiségek közötti összefüggések kellően egyértelműek legyenek. Figyelembe véve a problémát, és kapcsolataikat.

Példaként bemutatok több szöveges feladatot és azok megoldását grafikus modellekkel.

1. probléma5. dia. (5 lépés)

Az akváriumban 4 nagy és 5 kicsi hal található. Hány hal van összesen az akváriumban?

Gyakorlatok képekből feladatok és kifejezések összeállításához (inverz feladatok)6. dia. ( 8 lépés)7. dia.

2. probléma8. dia

Lenának 5 körte van. És Mishának 4-gyel több van, mint Lenának. Hány körte van Misának?

Példa feladatra kép alapján feladatok megfogalmazására és a megoldás lejegyzésére.9. dia.

3. probléma10. dia. (5 lépés)

Lenának 10 körte van. Ez 3-mal több, mint az őszibarack. Hány őszibarackja van Lénának?

4. feladat.11. dia (4 lépés).

Sasha vett 5 notebookot 8 UAH-ért és egy vázlatfüzetet 33 UAH-ért. Mennyi pénzt fizetett Sasha a vásárlásért?

Egy notebook ára 8 UAH - ez egyetlen szegmens (mérés). Az egységszegmensek száma (5) a notebookok számát jelzi. A szegmens második része az albumok árát (33 UAH) és mennyiségét (1) tükrözi.

5. feladat.12. dia (7 lépés).Kétféleképpen hozhat létre diagramot. Két megoldás

Az üzemben 90 munkás kell: 50 esztergályos, 10 szerelő, a többi rakodó. Hány költöztetőre van szükség?

13. dia (3 lépés)összeállítás inverz probléma. ÁLLJ MEG

A feladatok elvégzésének technikái.

Az ismerkedés szakaszában használom a következő technikákat:

A modell egyes összetevőinek magyarázata.

Útmutató a modell elkészítéséhez.

Modellezés irányító kérdések segítségével és a séma lépésről lépésre történő megvalósítása.

A sematikus rajz megértésének szakaszában a következő technikákat használom:

A feladat szövegének megfogalmazása a javasolt cselekmény és szegmensdiagram szerint.

Diagram és numerikus kifejezés összefüggése.

A sablon kitöltése feladatadatokkal.

Hibák keresése a diagram kitöltésekor.

A probléma sémája kiválasztása.

Feladat kiválasztása a diagramhoz.

Feladatfeltételek kiegészítése.

A séma megváltoztatása.

A probléma körülményeinek megváltoztatása.

A feladat szövegének módosítása.

A sematikus rajz elkészítésének és megértésének elsajátításának eredménye a tanulók önálló problémamodellezése.

Szöveges feladatok megoldásánál egy modellező cselekvés kialakításán dolgozunk, és fordítva, mint jobb baba elsajátítja a modellezés műveletét, annál könnyebben tudja megoldani a problémákat.

A tanulókat be kell mutatni különféle módszerek szöveges feladatok megoldása: számtani, algebrai, geometriai, logikai és gyakorlati; az egyes módszerek alapjául szolgáló különböző típusú matematikai modellekkel; és azzal is különböző utak megoldásokat a választott módszeren belül. A szöveges feladatok megoldása gazdag anyagot biztosít a tanulók fejlesztéséhez, neveléséhez. Rövid megjegyzések szöveges feladatok feltételei - példák a használt modellekre kezdeti tanfolyam matematika. A matematikai modellezés módszere lehetővé teszi az iskolások tanítását:

a) elemzés (a probléma észlelésének és a megoldás megvalósításához vezető út kiválasztásának szakaszában);

b) kapcsolatok kialakítása a probléma tárgyai között, a legmegfelelőbb megoldási séma felépítése;

c) az eredeti probléma kapott megoldásának értelmezése;

d) feladatok összeállítása kész modellek segítségével stb.

Feladatokon dolgozó prezentációDiák15-22 .

Kombinatorika modelleken 1. osztálytól

2. évfolyam

Helyezze el a 4, 6, 8 számokat különböző utak:

3-4 évfolyamon

"Fa" (36 ebéd)

Fénykép a notebookból

Szimulációk használata a számozás, a számok összeadás és kivonás, valamint a hosszúság mértékegységeinek (5 perc) megtanítására

A számok elszámolási egységekre és mértékegységekre való átváltása legtöbbször nehézséget okoz. És itt célszerű a modellezési módszert használni segítségül. A „Tíz” koncentráció tanulmányozásával a gyerekek megtanulják az egységeket sematikusan ábrázolni pontok segítségével.25. dia. Tanuljon meg összeadni és kivonni a modellek segítségével.26. dia. (7 lépés)27. dia.

A „Száz” tanulása közben a gyerekek tízeseket ábrázolnak kis háromszögekkel. Megtanulják a számokat számolási egységekre (dec. és mértékegységekre) alakítani, és ezzel egyidejűleg a gyerekek megismerkednek a centiméterrel és deciméterrel. Ez lehetővé teszi, hogy analógiát vonjunk a hosszegységek átszámítására. Összeadás technikákat is tanítanak. kétjegyű számok numerikus diagramokon.28. dia

Az „Ezer” tanulmányozása során a gyerekek megtanulják, hogy 10 háromszöget (tízeseket) hagyományosan egy nagy háromszögként (100) ábrázolunk. Ugyanakkor a gyerekek egy új hosszegységet tanulnak - a mérőt. A számok számolási egységekre történő konvertálásakor hasonló munkát végzünk a hosszegységekkel.29. dia példa a 342-es számra30. dia (5 lépés)

Példa a 320-as számra31. dia (6 lépés)

Példa a 302-es számra32. dia (8 lépés)

Algoritmusok.33. és 34. dia(7 lépés)

Javaslatok a modellezési módszer használatához matematika órán (3 perc)

Meg kell érteni, hogy a modellezés a tanításban nem kívánatos, de szükséges, mivel megteremti a feltételeket a tanulók számára, hogy teljes mértékben és határozottan elsajátítsák a megismerési módszereket és az oktatási tevékenység módszereit.

A leckében a modellezés fő céljai a következők:

egy modell felépítése egy új cselekvési mód felépítésének módjaként.

modell felépítésének képzése a felépítés elveinek és módszereinek elemzése alapján.

Ne feledje, hogy az első órák a modellezéshez kapcsolódnak, valójában egy oktatási és gyakorlati feladat felállításának leckéi. A gyerekek problémája az, hogy nincs mód a megjelenítésre általános hozzáállás nincs elegük. Minden alkalommal, amikor egy új gyakorlati helyzet jelenik meg, a gyerekek új kapcsolatokat határoznak meg - és ismét felmerül a kérdés, hogyan lehet ezt grafikusan közvetíteni.

Olyan „absztrakt feladatok”, mint diagram rajzolása képlet segítségével, kapcsolat megállapítása több képlet részét képező mennyiségek között stb. ajánlat, amikor a kapcsolatokat feltárják, tájékozódnak, és ismételten táblákban és diagramokban jelenítik meg. A modell mögött minden gyermeknek rendelkeznie kell valódi tárgyakkal végzett cselekvésekkel, amelyeket most már képes képzeletében végrehajtani (mentális cselekvések).

A modell helyét a gyermek számára a feladattól függően határozzák meg

Az akciót modell kísérheti. Például, ha könnyebb egy módszert felépíteni egy modellre, a munka szakaszaként szöveges probléma(a mennyiségek közötti összefüggések sematikusan láthatóak az olvasás során).

A modell a műveletek befejezése után épül fel. Az elvégzett művelet megértéséhez diagramot kell készíteni külön kapcsolat. A diagram elkészítését olyan kérdések motiválják, mint: „Hogyan csináltad?”, „Hogyan tanítanál meg másokat ilyen feladatok elvégzésére?

És még néhány tipp.

Tanulással kell kezdeni szakirodalom. Ez például a matematika általános iskolai oktatásának módszertana és E. Alexandrova, L. Peterson tankönyvei.

A szülői értekezleten feltétlenül ismertesse meg a szülőket gyermekeik tanításának módszerével. Tanácsai és utasításai hasznosak lehetnek számukra.

Használjon ki minden lehetőséget, és vegyen részt matematikai modellezési mesterkurzusokon.

Ahova meghívlak.

A matematikai modellek típusai

Attól függően, hogy milyen eszközökkel, milyen feltételek mellett és milyen megismerési tárgyakkal kapcsolatban valósul meg a modellek valóságtükrözési képessége, nagy változatosság, és vele együtt - osztályozások. A meglévő osztályozások általánosításával az alkalmazott matematikai apparátus alapján azonosítjuk azokat az alapmodelleket, amelyek alapján speciális modelleket fejlesztünk (8.1. ábra).

8.1. ábra - A modellek formális osztályozása

A matematikai modellek a vizsgált objektumokat (folyamatokat, rendszereket) explicit funkcionális összefüggések formájában jelenítik meg: algebrai egyenlőségek és egyenlőtlenségek, integrál és differenciál, véges különbség és mások matematikai kifejezések(egy valószínűségi változó eloszlási törvénye, regressziós modellek stb.), valamint a matematikai logika összefüggései.

A matematikai modell felépítésének két alapvető jellemzője - az ok-okozati összefüggések leírásának típusa és időbeli változása - függvényében determinisztikus és sztochasztikus, statikus és dinamikus modelleket különböztetünk meg (8.2. ábra).

Az ábrán bemutatott diagram célja a következő jellemzők megjelenítése:

1) a matematikai modellek lehetnek determinisztikusak és sztochasztikusak is;

2) determinisztikus és sztochasztikus modellek lehet statikus és dinamikus is.

A matematikai modellt ún determinisztikus (determinisztikus), ha minden paramétere és változója egyedileg meghatározott mennyiség, és az információ teljes bizonyosságának feltétele is teljesül. BAN BEN másképp, az információs bizonytalanság körülményei között, amikor a modell paraméterei és változói valószínűségi változók, a modell ún. sztochasztikus (valószínűségi).

8.2. ábra – Matematikai modellek osztályai

A modell az ún dinamikus, ha legalább egy változó időnként változik, és statikus, ha elfogadjuk azt a hipotézist, hogy a változók nem változnak az idők során.

A legegyszerűbb esetben egyensúlyi modellek mérlegegyenlet formájában jár el, ahol a bal oldalon az esetleges bevételek összege, a jobb oldalon pedig a kiadási rész szerepel, szintén összeg formájában. Így kerül bemutatásra például egy szervezet éves költségvetése.

A statisztikai adatok alapján nem csak mérleg, hanem korrelációs és regressziós modellek is felépíthetők.

Ha az Y függvény nem csak az x 1, x 2, ... x n változóktól függ, hanem más tényezőktől is, akkor az Y és x 1, x 2, ... x n közötti kapcsolat pontatlan vagy korrelációs, ellentétben a pontos vagy funkcionális kapcsolat. Összefüggés például a legtöbb esetben az OPS kimeneti paraméterei és a belső, ill. külső környezet(lásd 5. téma).

Korrelációs-regressziós modellekúgy kapjuk meg, hogy statisztikai apparátus segítségével tanulmányozzuk a tényezők egész komplexumának egy adott jellemző értékére gyakorolt ​​hatását. Ebben az esetben nem csak a megállapítás a feladat korrelációs kapcsolat, hanem ennek az összefüggésnek az analitikus kifejezésére is, vagyis olyan egyenletek kiválasztására, amelyek ezt a korrelációs függőséget leírják (regressziós egyenlet).

Megtalálni numerikus érték A regressziós egyenlet paramétereihez a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk. Ennek a módszernek az a lényege, hogy olyan egyenest válasszunk ki, amelyből az egyes pontok Y ordinátáinak négyzetes eltéréseinek összege a legkisebb lenne.

A korrelációs-regressziós modelleket gyakran alkalmazzák a jelenségek tanulmányozása során, amikor két vagy több sorozat releváns jellemzői között kell kapcsolatot felállítani. Ebben az esetben főként a forma páros és többszörös lineáris regresszióját alkalmazzák

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

A legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásával megállapítható az a vagy a 1, a 2, ..., a n és b paraméterek értéke, majd a közelítés pontossága és a kapott regressziós egyenlet szignifikanciája. értékelik.

BAN BEN speciális csoport kioszt grafikus-analitikai modellek . Mást használnak grafikus képekés ezért jó láthatóságuk van.

A gráfelmélet az egyik elmélet diszkrét matematika, gráfokat tanulmányoz, amelyek pontok és az őket összekötő vonalak gyűjteményeként értendők. A gráf egy független matematikai objektum (először D. Koenig vezette be). A fa- és hálózati modellek leggyakrabban gráfelmélet alapján épülnek fel.

A famodell (fa) egy irányítatlan összekapcsolt gráf, amely nem tartalmaz ciklusokat vagy ciklusokat. Ilyen modell például a célfa.

Hálózati modellek megtalált széles körű alkalmazás a termelésirányításban. A hálózati modellek (grafikonok) a munkavégzés sorrendjét és az egyes munkák időtartamát tükrözik (8.3. ábra).

8.3. ábra - A munkatermelés hálózati modellje

A hálózati diagram minden sora némi munka. A mellette lévő szám a végrehajtás időtartamát jelzi.

A hálózati modellek lehetővé teszik az úgynevezett kritikus út megtalálását és a munka ütemezésének időbeli optimalizálását más erőforrások korlátozásával.

A hálózati modellek lehetnek determinisztikusak vagy sztochasztikusak. Ez utóbbi esetben a munka időtartamát a valószínűségi változók eloszlásának törvényei határozzák meg.

Optimalizációs modellek arra szolgál, hogy meghatározza a rendszer optimális pályáját a cél eléréséhez, miközben bizonyos korlátozásokat ír elő viselkedésének és mozgásának ellenőrzésére. Ebben az esetben az optimalizálási modellek különböző típusú problémákat írnak le néhány szélsőértékének megtalálására objektív funkció(optimalizálási kritériumok).

A korlátozott erőforrások - műszaki, anyagi, munkaerő- és pénzügyi - feltételek mellett a vezetési célok elérésének optimális módjának azonosítására műveleti kutatási módszereket alkalmaznak. Ide tartoznak a matematikai programozás módszerei (lineáris és nemlineáris, egészszámú, dinamikus és sztochasztikus programozás), analitikai és valószínűségi-statisztikai módszerek, hálózati módszerek, elméleti módszerek sorban állás, játékelmélet (konfliktushelyzetek elmélete) stb.

Az optimalizálási modelleket mennyiségi és ütemezési tervezésre, készletgazdálkodásra, az erőforrások és a munka elosztására, a berendezések cseréjére, paraméterezésére és szabványosítására, a szállítási hálózaton az árukészletek áramlásának elosztására és egyéb irányítási feladatokra használják.

A műveletelméleti kutatás egyik fő eredménye a vezetési modellek és a problémamegoldó módszerek tipizálása. Például megoldani közlekedési probléma, méretétől függően standard módszereket dolgoztak ki - a Vogel-módszer, a potenciálmódszer, a szimplex módszer. Valamint a készletgazdálkodási probléma megoldása során annak megfogalmazásától függően analitikai és valószínűségi-statisztikai módszerek, dinamikus és sztochasztikus programozási módszerek alkalmazhatók.

A menedzsmentben különleges jelentése hálózattervezési módszerekhez fűződik. Ezek a módszerek lehetővé tették egy új és nagyon kényelmes nyelvösszetett többlépcsős munkák, projektek leírására, modellezésére és elemzésére. Az operációkutatás jelentős hangsúlyt fektet a menedzsment fejlesztésére összetett rendszerek sorelméleti módszerekkel (lásd 8.3. fejezet) és a Markov-folyamatok apparátusával.

Markov véletlen folyamatok modelljei- Differenciálegyenlet-rendszer, amely a rendszer működését vagy folyamatait rendezett állapotok halmazaként írja le a rendszer viselkedésének bizonyos pályája mentén. A modelleknek ezt az osztályát széles körben használják összetett rendszerek működésének matematikai modellezésében.

Játékelméleti modellek az optimális stratégia kiválasztását szolgálja korlátozott véletlenszerű információ vagy teljes bizonytalanság mellett.

A játék egy valós konfliktushelyzet matematikai modellje, amelynek megoldása bizonyos szabályok és algoritmusok szerint történik, amelyek a döntéshozó bizonyos viselkedési stratégiáját írják le bizonytalanság körülményei között.

Vannak „játékok a természettel” és „játékok az ellenséggel”. A helyzet alapján meghatározzák a döntéshozatal értékelésének módszereit és kritériumait. Így amikor „játszunk a természettel”, a következő kritériumokat alkalmazzuk: Laplace, maximin (Wald-kritérium) és minimax, Hurwitz és Savage, valamint számos más algoritmikus szabály. Az „ellenféllel való játékokban” fizetési mátrixok, maximin és minimax kritériumok, valamint speciális matematikai transzformációk alapján döntenek, mivel a döntéshozó barátságtalan ellenféllel kerül szembe.

A számításba vett matematikai modelltípusok nem fedik le a lehetséges sokféleséget, csupán az egyes típusokat jellemzik az osztályozás elfogadott szempontjától függően. V.A. Kardash megpróbált létrehozni egy rendszert a modellek négy szempont szerinti osztályozására (8.4. ábra).

A - modellek a paraméterek térbeli differenciálása nélkül;

B - modellek a paraméterek térbeli differenciálásával

8.4. ábra - A modellek osztályozása a részletezés négy szempontja szerint

A számítástechnikai eszközök fejlődésével a döntéshozatal egyik legelterjedtebb módja az üzleti játék, amely egy ember aktív részvételével végzett numerikus kísérlet. Több száz van üzleti játékok. A menedzsment, a közgazdaságtan, a szervezetelmélet, a pszichológia, a pénzügy és a kereskedelem számos problémájának tanulmányozására használják őket.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete