A véletlenszerű folyamatok elméletének alapfogalmai.

2 Forgalmazási és gyűjtési szezon

Bevezetés

A véletlenszerű folyamatok (véletlenszerű függvények) elmélete a matematikai tudomány egyik ága, amely a véletlenszerű jelenségek mintázatait vizsgálja fejlődésük dinamikájában. Jelenleg nagy mennyiségű irodalom jelent meg közvetlenül a sorbanállás elméletével, matematikai vonatkozásainak fejlesztésével, ill. különböző területeken

alkalmazásai - katonai, egészségügyi, közlekedési, kereskedelmi, repülési stb.

A sorban állás elmélete a valószínűségszámításon és a matematikai statisztikákon alapul. A sorbanálláselmélet kezdeti fejlődése A.K. dán tudós nevéhez fűződik. Erlang (1878-1929), telefonközpontok tervezése és üzemeltetése terén végzett munkáival. A sorelmélet az alkalmazott matematikának egy olyan területe, amely a termelési, szolgáltatási és irányítási rendszerek folyamatainak elemzésével foglalkozik, amelyekben homogén események sokszor ismétlődnek, például a fogyasztói szolgáltató vállalkozásoknál; információk fogadására, feldolgozására és továbbítására szolgáló rendszerekben; automata gyártósorok stb. Nagyszerű hozzájárulás Ezt az elméletet dolgozta ki orosz matematikusok

A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel et al. A sorbanálláselmélet tárgya függőségek megállapítása a kérések áramlásának jellege, a szolgáltatási csatornák száma, az egyes csatorna teljesítménye és a hatékony szolgáltatás között. a legjobb módokat e folyamatok menedzselése. A sorbanálláselmélet problémái optimalizálási jellegűek, és végső soron magukban foglalják gazdasági szempont

definíció szerint egy olyan rendszeropció, amely minimális összköltséget biztosít a szolgáltatásra való várakozásból, a szolgáltatáshoz szükséges idő- és erőforrásveszteségből, valamint a szolgáltatási csatornák leállásából.

A kereskedelmi tevékenységekben a sorbanállási elmélet alkalmazása még nem találta meg a kívánt eloszlást. Ennek oka elsősorban a feladatok meghatározásának nehézsége, a kereskedelmi tevékenységek tartalmának mélyreható megértése, valamint a megbízható és pontos eszközök, amelyek lehetővé teszik a számításokat a kereskedelmi tevékenységekben. különféle lehetőségeket következményei.

vezetői döntések

Az X(t) véletlenszerű folyamat olyan folyamat, amelynek értéke a t argumentum bármely értékére egy valószínűségi változó.

Vagyis a véletlenszerű folyamat egy olyan függvény, amely a tesztelés eredményeként előre nem ismert, ilyen vagy olyan meghatározott formát ölthet. Rögzített t = to esetén X(to) egy közönséges valószínűségi változó, azaz. egy véletlenszerű folyamat keresztmetszete időpontban tо.

Az X (t, w) véletlenszerű folyamat megvalósítása egy nem véletlenszerű x(t) függvény, amelybe az X(t) véletlenszerű folyamat a tesztelés eredményeként (fix w esetén) átalakul, azaz. az X(t) véletlenszerű folyamat által felvett konkrét forma, pályája.

Így az X (t, w) véletlenszerű folyamat egy valószínűségi változó és egy függvény jellemzőit egyesíti. Ha rögzítjük a t argumentum értékét, akkor a véletlenszerű folyamat egy közönséges valószínűségi változóvá változik, ha rögzítjük w-t, akkor minden teszt eredményeként egy közönséges nem véletlen függvény lesz.

A véletlenszerű változókhoz hasonlóan egy véletlenszerű folyamat is leírható numerikus jellemzők.

Az X(t) véletlenszerű folyamat matematikai elvárása egy nem véletlenszerű függvény a x (t), amely a t változó bármely értékére egyenlő az X(t) véletlenfolyamat megfelelő szakaszának matematikai elvárásával, azaz. fejsze (t) = M.

Az X(t) véletlenszerű folyamat varianciája nem véletlenszerű függvény. D x (t), a t változó bármely értékére egyenlő a szórással az X(t) véletlen folyamat megfelelő szakasza, azaz. Dx (t) = D.

Szórás Az X(t) véletlenszerű folyamatot hívjuk számtani érték szórásának négyzetgyöke, azaz.

Egy véletlenszerű folyamat matematikai elvárása minden lehetséges megvalósításának átlagos pályáját, szórása vagy szórása pedig az implementációk átlagos pályához viszonyított szórását jellemzi.

Az X(t) véletlenszerű folyamat korrelációs függvénye nem véletlenszerű függvény

két változó t1 és t 2, amely minden t1 és t2 változópár esetén egyenlő a megfelelő X(t1) és X(t) szakaszok kovarianciájával 2) véletlenszerű folyamat.

Az X(t) véletlenszerű folyamat normalizált korrelációs függvénye a függvény

A véletlenszerű folyamatok osztályozhatók attól függően, hogy a rendszer állapotai, amelyekben előfordulnak, zökkenőmentesen vagy hirtelen változnak, ezen állapotok halmaza véges (megszámlálható) vagy végtelen stb. A véletlen folyamatok között külön helyet foglal el a Markov véletlenszerű folyamat. Előbb azonban ismerkedjünk meg a sorbanálláselmélet alapfogalmaival

2. Alapfogalmak sorban állás elmélet

A gyakorlatban gyakran találkozhatunk olyan rendszerekkel, amelyeket erre terveztek újrafelhasználható hasonló problémák megoldása során. A keletkező folyamatokat szolgáltatási folyamatoknak, a rendszereket pedig queuing rendszereknek (QS) nevezzük. Ilyen rendszerek például a telefonrendszerek, javítóműhelyek, számítógép-komplexumok, jegyirodák, üzletek, fodrászok stb.

Minden QS meghatározott számú szolgáltatási egységből (műszerek, eszközök, pontok, állomások) áll, amelyeket szervizcsatornáknak nevezünk. A csatornák lehetnek kommunikációs vonalak, működési pontok, számítógépek, eladók stb. A csatornák száma alapján a közös piacszervezéseket egycsatornásra és többcsatornásra osztják.

A kérelmeket a QS általában nem rendszeresen, hanem véletlenszerűen kapja, úgynevezett véletlenszerű pályázati folyamot (követelményeket) alkotva. Általánosságban elmondható, hogy a kérések kiszolgálása is folytatódik egy bizonyos ideig. Az alkalmazások áramlásának és a szolgáltatási időnek a véletlenszerűsége a QS egyenetlen terhelését eredményezi: bizonyos időszakokban nagyon sok alkalmazás halmozódik fel (vagy sorba kerül, vagy kiszolgálatlanul hagyja a QS-t), míg más időszakokban a QS alulterheléssel vagy üresjárattal működik.

A sorelmélet tárgya olyan matematikai modellek felépítése, amelyek a QS adott működési feltételeit (a csatornák számát, termelékenységét, a kérések áramlásának jellegét stb.) összekapcsolják a QS teljesítménymutatóival, amelyek leírják. képes megbirkózni a kérések áramlásával.

A QS hatékonyságának mutatói a következők: az időegység alatt kiszolgált alkalmazások átlagos száma; a sorban álló kérelmek átlagos száma; átlagos várakozási idő a szolgáltatásra; a szolgáltatás várakozás nélküli megtagadásának lehetősége; annak a valószínűsége, hogy a sorban lévő alkalmazások száma meghalad egy bizonyos értéket stb.

A QS két fő típusra (osztályra) oszlik: a hibás QS és a várakozással (queue) rendelkező QS. A visszautasításokkal járó QS-ben egy olyan kérelem, amely akkor érkezik, amikor minden csatorna foglalt, elutasítást kap, elhagyja a QS-t és további folyamat szolgáltatás nem érintett (például egy telefonbeszélgetésre irányuló kérést akkor, amikor minden csatorna foglalt, a rendszer elutasítja, és a QS szolgáltatás nélkül marad). Várakozó QS-ben egy olyan kérés, amely akkor érkezik, amikor minden csatorna foglalt, nem távozik, hanem sorba kerül a szolgáltatásra.

A várakozással járó sorok a sor felépítésétől függően különböző típusokra oszthatók: korlátozott vagy korlátlan sorhosszúságú, korlátozott várakozási idővel stb.

3. Markov véletlenszerű folyamat fogalma

A QS folyamat véletlenszerű folyamat.

Egy folyamatot diszkrét állapotú folyamatnak nevezünk, ha lehetséges állapotai S1, S2, S3... előre felsorolhatók, és a rendszer állapotból állapotba való átmenete azonnal (ugrásszerűen) megtörténik. Folyamatos idejű folyamatnak nevezzük azt a folyamatot, ha a rendszer lehetséges állapotból állapotba való átmenetének pillanatai nem előre rögzítettek, hanem véletlenszerűek.

A QS működési folyamat egy véletlenszerű folyamat diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel. Ez azt jelenti, hogy a QS állapota véletlenszerű pillanatokban hirtelen megváltozik, amikor valamilyen esemény bekövetkezik (például új kérés érkezése, szolgáltatás vége stb.).

Egy QS műveletének matematikai elemzése jelentősen leegyszerűsödik, ha ennek a műveletnek a folyamata Markov-féle. Egy véletlenszerű folyamatot Markov-folyamatnak vagy véletlenszerű utóhatás nélküli folyamatnak nevezünk, ha egy időpillanatig a folyamat valószínűségi jellemzői a jövőben csak a folyamat állapotától függenek. pillanatnyilagés nem attól függ, hogy a rendszer mikor és hogyan jutott ebbe az állapotba.

Példa egy Markov-eljárásra: S rendszer egy taxióra. A rendszer állapotát t pillanatban az autó által eddig a pillanatig megtett kilométerek (tized kilométerek) száma jellemzi. Hagyja, hogy a számláló jelenjen meg. Annak a valószínűsége, hogy pillanatnyilag t > a számlálónak ennyit vagy annyi kilométert (pontosabban, megfelelő szám rubel) S1, a So-tól függ, de nem attól, hogy a mérőállás mely időpontokban változott a pillanat előtt.

Sok folyamat megközelítőleg markovinak tekinthető. Például a sakkozás folyamata; az S rendszer sakkfigurák csoportja. A rendszer állapotát az adott pillanatban a táblán maradt ellenséges figurák száma jellemzi. Annak a valószínűsége, hogy abban a pillanatban t > anyagi előnybe kerül valamelyik ellenfél oldalán, elsősorban attól függ, hogy a rendszer éppen milyen állapotban van, és nem attól, hogy mikor és milyen sorrendben tűntek el a bábu board to moment to.

Egyes esetekben a vizsgált folyamatok előtörténete egyszerűen elhanyagolható, és Markov-modellek segítségével tanulmányozható.

A diszkrét állapotú véletlenszerű folyamatok elemzésekor kényelmesen használható geometriai séma- az úgynevezett állapotgráf. A rendszerállapotokat jellemzően téglalapok (körök) és ill lehetséges átmenetekállapotról állapotra - nyilakkal (irányított ívek), összekötő állapotokat.

Egy QS-ben diszkrét állapotú és folytonos idejű Markov véletlenszerű folyamat matematikai leírásához megismerkedünk a valószínűségszámítás egyik fontos fogalmával - az események áramlásának fogalmával.

. Eseményfolyamok

Az események áramlásán olyan homogén események sorozatát értjük, amelyek az idő néhány véletlenszerű pillanatában egymás után következnek (például hívásfolyam egy telefonközpontban, számítógépes meghibásodások áramlása, ügyfelek áramlása stb.).

Az áramlást X intenzitás jellemzi - az események előfordulási gyakorisága vagy a QS-be belépő események átlagos száma egységnyi idő alatt.

Az események áramlását szabályosnak nevezzük, ha az események bizonyos egyenlő időközönként követik egymást. Például a termékek áramlása egy összeszerelősoron (a állandó sebesség mozgás) szabályos.

Egy eseményfolyamot stacionáriusnak nevezünk, ha valószínűségi jellemzői nem függnek az időtől. Konkrétan az álló áramlás intenzitása állandó érték: Például egy városi sugárúton az autók áramlása nem áll a nap folyamán, de ez az áramlás állónak tekinthető a nap egy bizonyos szakaszában, például csúcsforgalom. Ebben az esetben az időegység alatt (például percenként) elhaladó autók tényleges száma jelentősen változhat, de átlagos számuk állandó, és nem függ az időtől.

Egy eseményfolyamot utóhatás nélküli folyamnak nevezünk, ha bármely két nem átfedő T1 és T2 időtartamban az egyikre eső események száma nem függ a többire eső események számától. Például a metróba belépő utasok áramlásának gyakorlatilag nincs utóhatása. És mondjuk a pultból vásárlással távozó vásárlók áramlásának már van utóhatása (már csak azért is, mert az egyes ügyfelek közötti időintervallum nem lehet rövidebb, mint az egyes ügyfelek minimális kiszolgálási ideje).

Az események folyamatát közönségesnek nevezzük, ha a valószínűség két vagy több esemény bekövetkezése egy kis (elemi) At időintervallumban ehhez képest elhanyagolható Velegy esemény bekövetkezésének valószínűsége. Más szóval, egy eseményfolyam közönséges, ha az események egyenként és nem csoportosan jelennek meg benne. Például az állomáshoz közeledő vonatok áramlása hétköznapi, de az autók áramlása nem hétköznapi.

Az eseményfolyam ún a legegyszerűbb(vagy álló Poisson), ha egyidejűleg álló, közönséges és nincs utóhatása. A „legegyszerűbb” elnevezés azzal magyarázható, hogy a legegyszerűbb áramlású QS-nek van a legegyszerűbbje matematikai leírás. A szabályos áramlás nem a legegyszerűbb, mivel van egy utóhatása: az események bekövetkezésének pillanatai egy ilyen áramlásban szigorúan rögzítettek.

A legegyszerűbb áramlás mint határ a véletlenszerű folyamatok elméletében éppolyan természetes, mint a valószínűségelméletben normál eloszlás a valószínűségi változók összegének határértékeként kapjuk meg: kellően nagy számú független, stacionárius és közönséges áramlás (egymással összehasonlítható intenzitásban Ai (i = 1,2...n)) felvetésével (szuperpozíciójával) a olyan áramlást kapunk, amely közel áll a legegyszerűbbhez X intenzitással, egyenlő a bejövő áramlások intenzitásának összegével, azaz:

Binomiális törvény disztribúciók:

paraméterekkel

Binomiális eloszlás paraméterrel a Poisson-eloszlásra hajlik

amelyre egy valószínűségi változó matematikai elvárása megegyezik a varianciájával:

Pontosabban annak a valószínűsége, hogy a t idő alatt (t = 0) nem történik esemény, egyenlő

A valószínűségi sűrűség vagy eloszlásfüggvény által adott eloszlás exponenciális. Így a két szomszéd közötti időintervallum véletlenszerű események a legegyszerűbb áramlás exponenciális eloszlású, amelyre a matematikai elvárás megegyezik a valószínűségi változó szórásával:

és fordítva az áramlás intenzitása szerint

Az exponenciális eloszlás legfontosabb (csak az exponenciális eloszlásban rejlő) tulajdonsága a következő: ha az exponenciális törvény szerint elosztott időtartam már eltart egy ideig t, akkor ez semmilyen módon nem befolyásolja az eloszlási törvényt. az intervallum fennmaradó részéből (T - t): ez ugyanaz lesz, valamint a teljes T intervallum eloszlási törvénye.

Más szóval, egy exponenciális eloszlású folyam két egymást követő szomszédos eseménye közötti T időintervallumra vonatkozóan semmilyen információ arról, hogy ez az intervallum mennyi ideig tartott, nem befolyásolja a fennmaradó rész eloszlási törvényét. Az exponenciális törvénynek ez a tulajdonsága lényegében az „utóhatás hiányának” újabb megfogalmazása – a legegyszerűbb áramlás fő tulajdonsága.

A legegyszerűbb intenzitású áramlás esetén annak a valószínűsége, hogy legalább egy áramlási esemény bekövetkezik egy elemi (kis) At időintervallumban, egyenlő:

(Ez a hozzávetőleges képlet, amelyet úgy kapunk, hogy a függvényt az At hatványaiban csak az első két tagra cseréljük, pontosabb, minél kisebb At).

5. Kolmogorov-egyenletek. Állapotok valószínűségének korlátozása

A megfelelő folyamatállapot-grafikont az ábra mutatja. a feladathoz. Feltételezzük, hogy a rendszer minden átmenete Si állapotból Sj állapotba egyszerű intenzitású eseményfolyamok hatására megy végbe. (én , j = 0, 1, 2, 3); Így a rendszer átmenete az S0 állapotból a Az S1 az első csomópont meghibásodásainak folyama alatt következik be, és az S0 állapotból az S1 állapotba fordított átmenet az első csomópont „javításának befejezése” folyamatának hatására stb.

A rendszer állapotok grafikonját a nyilaknál jelölt intenzitásokkal címkézettnek nevezzük (lásd a fenti ábrát). A vizsgált S rendszernek négy lehetséges állapota van: S0 , S1 S2, S3. Az i-edik állapot valószínűsége annak pi(t) valószínűsége, hogy t pillanatban a rendszer Si állapotba kerül. Nyilvánvaló, hogy bármely t pillanatban az összes állapot valószínűségeinek összege egyenlő eggyel:

Tekintsük a rendszert a t időpontban, és egy kis At intervallumot beállítva keressük meg annak a valószínűségét po (t + At), hogy a rendszer t+At időpontban S0 állapotba kerül. Ez megvalósul különböző módokon.

1.A rendszer a t pillanatban po (t) valószínűséggel S0 állapotban volt, de az At idő alatt nem hagyta el.

Ebből az állapotból a rendszert a legegyszerűbb intenzitású összárammal hozhatjuk ki (lásd a grafikont az ábrán a feladathoz). , körülbelül egyenlő valószínűséggel

És annak a valószínűsége, hogy a rendszer nem hagyja el az S0 állapotot, egyenlő . Annak a valószínűsége, hogy a rendszer S0 állapotba kerül, és At idő alatt nem hagyja el, egyenlő, a valószínűségi szorzási tétel szerint:

A rendszer a t pillanatban p1(t) (vagy p2(t)) valószínűséggel S1 vagy S2 állapotban volt, és At idő alatt átment állapotba

Áramlási intenzitás a rendszer So állapotba kerül körülbelül egyenlő valószínűséggel . Annak a valószínűsége, hogy a rendszer So állapotba kerül, ennek a módszernek megfelelően egyenlő (vagy )

A valószínűségi összeadás tételét alkalmazva kapjuk:

Átlépés a határig: At 0 (hozzávetőleges egyenlőségek pontos lesz), megkapjuk az egyenlet bal oldalán található deriváltot (az egyszerűség kedvéért jelöljük):

Egy elsőrendű differenciálegyenletet kapunk, azaz. egy egyenlet, amely magát az ismeretlen függvényt és annak elsőrendű deriváltját is tartalmazza.

Hasonlóan érvelve az S rendszer más állapotaira, kaphatunk egy Kolmogorov-differenciálegyenlet-rendszert az állapotok valószínűségére:

Fogalmazzuk meg a Kolmogorov-egyenletek összeállításának szabályát. Mindegyik bal oldalán az i-edik állapot valószínűségének deriváltja található. A jobb oldalon az összes állapot valószínűségének szorzatának összege (amelyből a nyilak egy adott állapotba mennek) a megfelelő eseményfolyamok intenzitásával mínusz az összes olyan áramlás teljes intenzitása, amely a rendszert kivezeti egy adott állapotból. állapot, megszorozva egy adott (i-edik állapot) valószínűségével

A fenti rendszerben eggyel kevesebb független egyenlet van, mint az egyenletek teljes száma. Ezért a rendszer megoldásához össze kell adni az egyenletet

A differenciálegyenletek megoldásának sajátossága általában, hogy szükség van az úgynevezett kezdeti feltételek felállítására, ebben az esetben - a rendszer valószínűségei a kezdő pillanat t = 0. Így például természetes egy egyenletrendszer megoldása, feltéve, hogy a kezdeti pillanatban mindkét vezérlő megfelelően működik, és a rendszer So állapotban volt, azaz. kezdeti feltételek mellett

A Kolmogorov-egyenletek lehetővé teszik az állapotok összes valószínűségének meghatározását az idő függvényében. Különösen érdekesek a rendszervalószínűségek p én (t) korlátozó álló üzemmódban, azaz at , amelyeket állapotok korlátozó (végső) valószínűségeinek nevezünk.

A véletlenszerű folyamatok elméletében bebizonyosodott, hogy ha egy rendszer állapotainak száma véges, és mindegyikből lehetséges (véges számú lépésben) bármely másik állapotba jutni, akkor léteznek korlátozó valószínűségek.

Az Si állapot korlátozó valószínűsége világos jelentése: az átlagot mutatja relatív idő a rendszer ebben az állapotban marad. Például, ha a So állapot határvalószínűsége, azaz. p0=0,5, ez azt jelenti, hogy átlagosan az idő felében a rendszer S0 állapotban van.

Mivel a korlátozó valószínűségek állandóak, a Kolmogorov-egyenletekben szereplő deriváltjaikat nulla értékekkel helyettesítve lineáris rendszert kapunk. algebrai egyenletek, amely a stacionárius rendszert írja le.

A halál és a szaporodás folyamatai

A sorbanálláselméletben a véletlenszerű folyamatok egy speciális osztálya elterjedt - az ún a halál és a szaporodás folyamatai.Ez az elnevezés számos biológiai problémához kapcsolódik, ahol ez a folyamat a biológiai populációk számának változásának matematikai modelljeként szolgál.

Tekintsük az S rendszer rendezett állapothalmazát 0, S1, S2,…, Sk. Bármely állapotból csak szomszédos számokkal rendelkező állapotokba lehet átmenetet végrehajtani, pl. az Sk-1 állapotból vagy az állapotba, vagy az S k+11 állapotba átmenet lehetséges .

Az ilyen egyenletek összeállítására vonatkozó szabálynak (Kolmogorov-egyenlet) megfelelően a következőt kapjuk: S0 állapotra

Következtetés

Ez az absztrakt feltárja azokat a fogalmakat, amelyek a véletlenszerű sorbanállási folyamat elméletének rendszerelemeihez vezetnek, nevezetesen: véletlenszerű folyamat, szolgáltatás, szolgáltatási rendszer, sorban állási rendszer.

Felhasznált irodalom

véletlenszerű tömeg Markovian Kolmogorov

1. N.Sh. Kremer „Valószínűségelmélet és matematikai statisztika” egység, Moszkva, 2003.

Korrepetálás

Segítségre van szüksége egy téma tanulmányozásához?

Szakembereink tanácsot adnak vagy oktatói szolgáltatásokat nyújtanak az Önt érdeklő témákban.
Nyújtsa be jelentkezését a téma azonnali megjelölésével, hogy tájékozódjon a konzultáció lehetőségéről.

Előadásjegyzet a „Véletlen folyamatok elmélete” tudományágról

1. TÉMAKÖR. A VÉLETLENSZERŰ FOLYAMATOK ELMÉLETE ALAPVETŐ FOGALMAI 2
1.1. Véletlenszerű folyamat definíciója. A véletlenszerű folyamatok meghatározásának alapvető megközelítései. A megvalósítás és a szakasz fogalma. Elemi véletlenszerű folyamatok. 2
1.2. A véletlen folyamatok néhány osztálya és típusa 3
2. TÉMAKÖR. A VÉLETLENSZERŰ FOLYAMATOK KORRELÁCIÓ ELMÉLETE 4
2.1. A véletlen folyamatok korrelációelméleti koncepciója 4
2.2. Véletlenszerű folyamat matematikai elvárása és varianciája. Szórás 5
2.3. Egy véletlen folyamat korrelációs függvénye és tulajdonságai. Normalizált korrelációs függvény 5
2.4. Két véletlenszerű folyamat keresztkorrelációs függvénye és normalizált keresztkorrelációs függvénye 6
2.5 Két valószínűségi változó összegének valószínűségi jellemzői 6
3. TÉMAKÖR. A VÉLETLENSZERŰ ELEMZÉS ELEMEI 7
3.1. Konvergencia és folytonosság 7
3.2. Véletlenszerű folyamat származéka és tulajdonságai 8
3.3. Egy véletlen folyamat integrálja és tulajdonságai 9
4. TÉMAKÖR. VÉLETLENSZERŰ FOLYAMATOK KANONIKUS KITERJESZTÉSE 10
4.1. Egy véletlenszerű folyamat kanonikus kiterjesztésének fogalma 10
4.2. Az általánosított függvény fogalma. Dirac delta függvény. Véletlenszerű folyamatok integrált kanonikus ábrázolása. 11
4.3. Véletlenszerű folyamatok lineáris és nemlineáris transzformációi 12
FEJEZET 5. HELYZETES VÉLETLENSZERŰ FOLYAMATOK 14
5.1. Stacionárius véletlen folyamat fogalma. Stacionaritás szűk és tág értelemben 14
5.2 Stacionárius véletlenszerű folyamat valószínűségi jellemzőinek tulajdonságai 15
5.3. Stacionárius kapcsolt véletlenszerű folyamatok. Stacionárius véletlen folyamat deriváltja és integrálja 15
5.4. Ergodikus stacionárius véletlenszerű folyamatok és jellemzőik 16
5.5. Eseményfolyamok 17
6. TÉMA MARKOV LÁNCOK 19
6.1. Markov láncok. 19

TÉMAKÖR 1. A VÉLETLENSZERŰ FOLYAMATOK ELMÉLETE ALAPVETŐ FOGALMAI

1.1. Véletlenszerű folyamat definíciója. A véletlenszerű folyamatok meghatározásának alapvető megközelítései. A megvalósítás és a szakasz fogalma. Elemi véletlenszerű folyamatok.

A véletlenszerű (sztochasztikus, valószínűségi) folyamat egy t valós változó függvénye, amelynek értékei a megfelelő X(t) valószínűségi változók.
A véletlen folyamatok elméletében t-t a valós számok (t T, T R) valamely T részhalmazából vett időértékként kezeljük.
A klasszikuson belül matematikai elemzés az y=f(t) függvény alatt a t és y változók olyan típusú függőségét értjük, amikor a t argumentum egy meghatározott számértéke egy egyedinek felel meg. számérték függvények y. Véletlenszerű folyamatok esetében a helyzet alapvetően más: egy konkrét t argumentum megadása egy X(t) valószínűségi változó megjelenéséhez vezet ismert eloszlási törvény mellett (ha diszkrét valószínűségi változó), vagy adott eloszlássűrűséggel (ha az folytonos valószínűségi változó). Más szóval, a vizsgált jellemző minden időpontban véletlenszerű természetű, nem véletlenszerű eloszlású.
Azok az értékek, amelyeket az y=f(t) közönséges függvény minden időpillanatban felvesz, teljesen meghatározzák ennek a függvénynek a szerkezetét és tulajdonságait. A véletlenszerű folyamatok esetében más a helyzet: itt nem elég ismerni az X(t) valószínűségi változó eloszlását minden t értéknél a várható változásokról és azok valószínűségéről, vagyis a mértékről kell tudni a véletlen folyamat közelgő értékének a hátterétől való függése.

Legtöbb általános megközelítés A véletlenszerű folyamatok leírásában annak összes többdimenziós eloszlásának megadása áll, amikor a következő események egyidejű bekövetkezésének valószínűségét határozzuk meg:

T1, t2,…,tn T, n N: X(ti)≤xi; i=1,2,…,n;

F(t1;t2;…;tn;x1;x2;…;xn)=P(X(t1)≤ x1; X(t2)≤x2;…; X(tn)≤xn).

A véletlenszerű folyamatok leírásának ez a módszere univerzális, de nagyon nehézkes. A jelentős eredmények elérése érdekében azonosítják a legfontosabb speciális eseteket, amelyek lehetővé teszik egy fejlettebb analitikai apparátus használatát. Különösen célszerű az X(t, ω) véletlenszerű folyamatot két változó függvényének tekinteni: t T, ω Ω, amely t T bármely rögzített értékére a következőn definiált valószínűségi változóvá válik. valószínűségi tér(Ω, A, P), ahol Ω az ω elemi események nem üres halmaza; A az Ω halmaz részhalmazainak σ-algebrája, azaz az események halmaza; P az A-n meghatározott valószínűségi mérték.

Az x(t)=X(t,ω0) nem véletlenszerű numerikus függvényt az X(t, ω) véletlenszerű folyamat megvalósulásának (pályájának) nevezzük.
Az X(t, ω) véletlenszerű folyamat keresztmetszete egy valószínűségi változó, amely megfelel a t=t0 értéknek.

Ha a t argumentum az összes valós értéket vagy az összes értéket valamilyen T intervallumból veszi valódi tengely, akkor folytonos idejű véletlenszerű folyamatról beszélünk. Ha t csak rögzített értékeket vesz fel, akkor diszkrét idejű, véletlenszerű folyamatról beszélünk.
Ha egy véletlen folyamat keresztmetszete diszkrét valószínűségi változó, akkor az ilyen folyamatot diszkrét állapotú folyamatnak nevezzük. Ha bármely szakasz folytonos valószínűségi változó, akkor a véletlenszerű folyamatot folytonos állapotú folyamatnak nevezzük.
IN általános eset analitikusan lehetetlen véletlenszerű folyamatot meghatározni. Kivételt képeznek az úgynevezett elemi véletlen folyamatok, amelyek formája ismert, és paraméterként a valószínűségi változók szerepelnek:
X(t)=Х(t,A1,…,An), ahol Ai, i=1,…,n tetszőleges, meghatározott eloszlású valószínűségi változók.

1.2. A véletlen folyamatok néhány osztálya és típusa

1.1.1. Gauss véletlenszerű folyamatok

Egy X(t) véletlenszerű folyamatot Gauss-nak nevezünk, ha minden véges dimenziós eloszlása ​​normális, azaz
t1, t2,…,tn T
véletlen vektor
(X(t1); X(t2);…; X(tn))
a következő eloszlási sűrűséggel rendelkezik:

ahol ai=MX(ti); =M(X(ti)-ai)2; сij= M((X(ti)-ai)(X(tj)-aj)); ;
-algebrai komplementer elem cij.

1.1.2. Véletlenszerű folyamatok független növekményekkel

Az X(t) véletlenszerű folyamatot független növekményű folyamatnak nevezzük, ha a nem átfedő időintervallumokra vonatkozó növekményei nem függenek egymástól:
t1, t2,…,tn T: t1 ≤t2 ≤…≤tn,
valószínűségi változók
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); ...; X(tn)-X(tn-1)
független.

1.1.3. Véletlenszerű folyamatok nem korrelált lépésekkel

Az X(t) véletlenszerű folyamatot korrelálatlan növekményű folyamatnak nevezzük, ha következő feltételekkel:
1) t T: MX2(t)< ∞;
2) t1, t2, t3, t4 T: t1 ≤t2 ≤ t3≤ t4: М((X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3)))=0.

1.1.4. Stacionárius véletlen folyamatok (lásd 5. fejezet)

1.1.5. Markov véletlenszerű folyamatok

Korlátozzuk magunkat egy diszkrét állapotú és diszkrét idejű Markov véletlenszerű folyamat definíciójára (Markov-lánc).

Legyen az A rendszer az A1 inkompatibilis állapotok egyikében; A2;…;An, és egyúttal annak a valószínűsége, hogy Pij(s), hogy az s-edik próba során a rendszer állapotból Aj állapotba kerül, nem függ a rendszer állapotától az s-1. próba előtti kísérletekben . Véletlenszerű folyamat ebből a típusból Markov-láncnak hívják.

1.1.6. Poisson véletlenszerű folyamatok

Az X(t) véletlenszerű folyamatot Poisson-folyamatnak nevezzük a (a>0) paraméterrel, ha a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) t T; Т= a négyzetes átlag határértékének nevezzük λ→0 (n→0) értéknél.

Integrál összegek ahol si (ti; ti+1); λ=max(ti+1-ti), i=0,…,n-1.

4. Tétel. Az integrál matematikai elvárása egy véletlen folyamatból egyenlő a matematikai elvárás integráljával: , .
5. Tétel. Az X(t) véletlen folyamat integráljának korrelációs függvénye egyenlő a korrelációs függvényének kettős integráljával: .
6. Tétel. Az X(t) véletlenszerű folyamat és integrálja keresztkorrelációs függvénye egyenlő az X(t) véletlenszerű folyamat korrelációs függvényének integráljával:

4. TÉMAKÖR. VÉLETLENSZERŰ FOLYAMATOK KANONIKUS BONTÁSAI

4.1. Egy véletlenszerű folyamat kanonikus kiterjesztésének fogalma

Egy V valószínűségi változót központosítottnak nevezünk, ha matematikai elvárása 0. Egy elemi központú véletlenszerű folyamat egy V központú valószínűségi változó és egy φ(t) nem véletlenszerű függvény szorzata: X(t)=V φ(t). Egy elemi központú véletlenszerű folyamat a következő jellemzőkkel rendelkezik:

Az alak kifejezése, ahol φk(t), k=1;2;… nem véletlenszerű függvények; , k=1;2;…-korrelálatlan központú valószínűségi változók, az X(t) véletlenfolyamat kanonikus kiterjesztésének, a valószínűségi változókat pedig a kanonikus expanzió együtthatóinak nevezzük; és a φk(t) nem véletlen függvények a kanonikus bővítés koordinátafüggvényei.

Tekintsük egy véletlenszerű folyamat jellemzőit

Mivel az állapot szerint akkor

Nyilvánvalóan ugyanaz a véletlenszerű folyamat különféle típusok kanonikus bővítés a koordinátafüggvények megválasztásától függően. Sőt, még a választott koordinátafüggvények mellett is van önkényesség a Vк valószínűségi változók eloszlásában. A gyakorlatban a kísérletek eredményei alapján becsléseket kapunk a matematikai elvárásra és a korrelációs függvényre: . Dupla Fourier-sorozattá való bővítés után koordináta függvényekφк(t):

Megkapjuk a Vk valószínűségi változók varianciáinak értékeit.
4.2. Az általánosított függvény fogalma. Dirac delta függvény. Véletlenszerű folyamatok integrált kanonikus ábrázolása.

Az általánosított függvény egy egyparaméteres család sorozatának határértéke folyamatos funkciók.
A Dirac delta függvény egy általánosított függvény, amely a függvénycsalád at határértékéhez való átlépés eredménye

A -függvény tulajdonságai közül a következőket jegyezzük meg:
1.
2.
3. Ha f(t) folytonos függvény, akkor

Egy X(t) véletlenszerű folyamatot, amelynek korrelációs függvénye alakja van, nemstacionárius „fehér zajnak” nevezzük. Ha W(t1)=W - const, akkor X(t) stacionárius „fehér zaj”.

Ahogy a definícióból következik, nincs két, akármilyen közeli „fehér zaj” szakasz sem korrelál. A W(t) kifejezést „fehér zaj” intenzitásnak nevezzük.

Integrál kanonikus ábrázolás Az X(t) véletlenszerű folyamatot egy olyan alakú kifejezésnek nevezzük, ahol egy véletlenközpontú függvény; - folytonos argumentumok nem véletlenszerű függvénye

Egy ilyen véletlenszerű folyamat korrelációs függvénye a következőképpen alakul:
.
Megmutatható, hogy létezik olyan G(λ) nem véletlenszerű függvény, hogy

ahol G(λ1) a diszperziós sűrűség; δ(x) a Dirac delta függvény. Megkapjuk
Ezért az X(t) véletlenszerű folyamat varianciája:
.

4.3. Véletlenszerű folyamatok lineáris és nemlineáris transzformációi

A következő problémát vizsgáljuk: az S rendszer (eszköz, konverter) bemenetére egy X(t) véletlenszerű folyamat karakterű „bemeneti jel” kerül. A rendszer „kimeneti jellé” alakítja át Y(t):
.
Formálisan egy X(t) véletlenszerű folyamat Y(t)-vé való átalakulása az úgynevezett At rendszeroperátor segítségével írható le:
Y(t)=At(X(t)).
A t index azt jelzi, hogy ez az operátor időkonverziót hajt végre. A véletlenszerű folyamat átalakítási problémájának alábbi megfogalmazásai lehetségesek.
1. Az S rendszer bemenetén lévő X(t) véletlenszerű folyamat eloszlási törvényei vagy általános jellemzői ismertek, az S rendszer At operátora adott, meg kell határozni az eloszlási törvényt, vagy a rendszer általános jellemzőit. véletlenszerű Y(t) folyamat az S rendszer kimenetén.
2. Az X(t) véletlenszerű folyamat eloszlási törvényei (általános jellemzői) és az Y(t) véletlenszerű folyamat követelményei ismertek; meg kell határozni az S rendszer At operátorának típusát, a lehető legjobb módon megfelel az Y(t)-re meghatározott követelményeknek.
3. Az Y(t) véletlenszerű folyamat eloszlási törvényei (általános jellemzői) ismertek és az S rendszer At operátora adott; meg kell határozni az X(t) véletlenszerű folyamat eloszlási törvényeit vagy általános jellemzőit.
Az S rendszer At operátorainak következő osztályozása elfogadott:

Rendszerüzemeltetők

Lineáris L Nemlineáris N

Lineáris homogén L0 Lineáris inhomogén Lн

1. Tekintsük egy lineáris inhomogén rendszer hatását!
Lн(...)=L0(…)+φ(t)
egy véletlenszerű X(t) folyamathoz, amely a következő kanonikus kiterjesztéssel rendelkezik:
.
Kapunk:

Bemutatjuk a jelölést

Ekkor Y(t) kanonikus kiterjesztése a következő alakot ölti:
.
Az Y(t) véletlenszerű folyamat matematikai elvárása:

Az Y(t) véletlenszerű folyamat korrelációs függvénye:

Ezért,
.
A másik oldalon

Az Y(t) véletlenszerű folyamat varianciája:

A bekezdés végén megjegyezzük, hogy a véletlen folyamatok differenciálásának és integrációjának operátorai lineárisan homogének.
2. A másodfokú transzformációt tekintjük:
Y(t)=(X(t))2,
Vk-központú valószínűségi változók, amelyek eloszlása ​​nulla körül szimmetrikus; bármelyik négy együttesen független. Majd

Mutassunk be nem véletlenszerű függvényeket

És a valószínűségi változók

Ekkor az Y(t) véletlenszerű folyamat felveszi a formát

Az Y(t) véletlenszerű folyamat kanonikus kiterjesztését kapjuk. Y(t) korrelációs függvény:

Diszperzió:

FEJEZET 5. STATIONÁRIS VÉLETLENSZERŰ FOLYAMATOK

5.1. Stacionárius véletlen folyamat fogalma. Stacionaritás szűk és tág értelemben

Egy véletlenszerű folyamatot stacionáriusnak (időben homogénnek) nevezünk. statisztikai jellemzők amelyek nem változnak az időben, vagyis invariánsak az időeltolódások tekintetében.
Léteznek stacionárius véletlenszerű folyamatok tág és szűk értelemben.

A szűk értelemben vett stacionárius véletlen folyamat egy X(t) véletlenszerű folyamat, amelynek minden valószínűségi jellemzője nem változik az időben, vagyis úgy, hogy a feltétel teljesül.
F(t1; t2;… ;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;… ;tn+τ; x1; x2;…; xn), és ezért minden n-dimenziós az eloszlások nem függnek a t1 időpillanatoktól; t2;… ;tn és a τi időintervallumok időtartamáról:

Konkrétan, az egydimenziós eloszlássűrűség egyáltalán nem függ a t időtől:

Metszetek kétdimenziós sűrűsége t1 és t2 időpontokban

szakaszok N-dimenziós sűrűsége t1 időpontokban; t2...; tn:

Az X(t) véletlenszerű folyamatot stacionáriusnak nevezzük tág értelemben, ha első és másodrendű momentumai invariánsak az időeltolódáshoz képest, azaz matematikai elvárása nem függ a t időtől és állandó, a korrelációs függvény pedig csak a között eltelt idő hosszától függ. szakaszok:
Nyilvánvaló, hogy a szűk értelemben vett stacionárius véletlen folyamat egyben tág értelemben vett stacionárius véletlen folyamat is; a fordított állítás nem igaz.

5.2 Stacionárius véletlen folyamat valószínűségi jellemzőinek tulajdonságai
1.

3. Egy stacionárius véletlen folyamat korrelációs függvénye páros:

4. Egy stacionárius véletlenszerű folyamat varianciája állandó egyenlő
korrelációs függvényének értéke a pontban:

5.
6. Egy stacionárius véletlenszerű folyamat korrelációs függvénye az
pozitív határozott, azaz

Egy stacionárius véletlen folyamat normalizált korrelációs függvénye is páros, pozitív határozott és egyben

5.3. Stacionárius kapcsolt véletlenszerű folyamatok. Stacionárius véletlen folyamat deriváltja és integrálja

Az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatokat stacionáriusnak nevezzük, ha kölcsönös korrelációs függvényük csak a τ =t2-t1 argumentumok különbségétől függ: RXY(t1;t2)=rXY(τ).

Maguk az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok stacionaritása nem jelenti azok stacionárius kapcsolatát.
Jegyzet alapvető tulajdonságait stacionárius véletlen folyamatok, stacionárius véletlen folyamatok deriváltja és integrálja,
1) rXY(τ)=rYX(-τ).
2)
3)
4)
Ahol
5) hol
6) ;

5.4. Ergodikus stacionárius véletlenszerű folyamatok és jellemzőik

A stacionárius véletlen folyamatok között vannak speciális osztály ergodikusnak nevezett folyamatok, amelyek rendelkeznek a következő tulajdonság: az összes implementáció halmazának átlagolásával kapott jellemzőik egybeesnek egy implementáció időbeli átlagolásával kapott megfelelő jellemzőkkel, amelyeket a (0, T) kellően hosszú időtartamú intervallumban figyeltek meg. Ez azt jelenti, hogy kellően nagy időintervallumon keresztül bármely implementáció bármely állapoton áthalad, függetlenül attól, hogy t=0-nál mi volt a rendszer kezdeti állapota; és ebben az értelemben minden megvalósulás teljes mértékben reprezentálja a megvalósítások összességét.

Birkhoff-Khinchin ergodikus tétele
Minden szűk értelemben vett stacionárius véletlenszerű X(t) folyamatnak, amelynek véges matematikai elvárása van 1 valószínűséggel, van egy határ
folyamatos idővel rendelkező BSC esetében,
diszkrét idejű SSP-hez.
Ha X(t) ergodikus stacionárius véletlenszerű folyamat, akkor
A tétel feltételében - az X(t) véletlenszerű folyamat Jx-hez viszonyított feltételes matematikai elvárása; Jx – X(t)-hez képest invariáns események algebra; egy A eseményt invariánsnak mondunk X(t) alatt, ha B olyan, hogy A=(ω: X(ω,t) B).

Elegendő feltételek az ergodikitáshoz
1. Tétel. Az X(t) stacionárius véletlenszerű folyamat ergodikus a következőhöz képest
matematikai elvárás, ha annak korrelációs függvénye
nullára hajlik, mint τ→∞;
ugyanakkor: .

2. Tétel. Az X(t) stacionárius véletlenszerű folyamat ergodikus a következőhöz képest
diszperzió, ha a stacionárius eset korrelációs függvénye
teafolyamat Y(t)=X2(t) nullára hajlik, mint τ→∞;
ebben az esetben:

3. Tétel. Az X(t) stacionárius véletlenszerű folyamat ergodikus a következőhöz képest
korrelációs függvény, ha nullára hajlik, mint τ→∞ kor-
stacionárius véletlenszerű folyamat relációs függvénye
Z(t, τ)=;
ebben az esetben:

A gyakorlati számításoknál a (0;T) intervallumot n-re osztjuk egyenlő részek minden intervallumban kiválasztunk egy ti pontot (például a középsőt). Ha a téglalapok képletére szorítkozunk, azt kapjuk

5.5. Eseményfolyamok
Az eseményfolyam véletlenszerű időpontban bekövetkező események sorozata.

Eseményfolyam tulajdonságai:
1) Álló áramlás.
Egy áramlást stacionáriusnak nevezünk, ha m esemény valószínűsége bármely τ időintervallumban csak az m események számától és a τ intervallum hosszától függ, és nem függ attól az időponttól, amikor ez az intervallum kezdődött.
2) Nincs utóhatás.
Egy eseményfolyamról azt mondjuk, hogy nincs utóhatás, ha annak valószínűsége, hogy m esemény bármely időintervallumban megjelenik, nem függ attól, hogy az események az adott intervallumot közvetlenül megelőző pillanatokban jelentek-e meg vagy sem.
Az áramlás története nem befolyásolja a közeljövő eseményeinek előfordulását. Ha az áramlásnak nincs utóhatás tulajdonsága, akkor az események nem átfedő intervallumokon történő előfordulásának valószínűségi változói függetlenek egymástól.
3) Hétköznapiság.
Azt mondják, hogy egy áramlásnak akkor van közönséges tulajdonsága, ha végtelenül rövid idő alatt legfeljebb 1 esemény következhet be, pl. 2 vagy több esemény bekövetkezése rövid időn belül gyakorlatilag lehetetlen.
4) Poisson-áramlás
Ha egy áramlás egyszerre rendelkezik a stacionaritás, az utóhatás hiánya és a hétköznapiság tulajdonságaival, akkor azt a legegyszerűbb (Poisson) áramlásnak nevezzük.

Tétel. Ha az áramlás nagyszámú független álló áramlás összege, amelyek mindegyikének hatása elhanyagolható, akkor a teljes áramlás, feltéve, hogy közönséges, közel van a legegyszerűbbhez.
Az áramlás intenzitása az időegység alatt bekövetkező események átlagos száma.
Ha az áramlás állandó intenzitású, akkor m esemény bekövetkezésének valószínűségét τ időtartamra a Poisson-képlet segítségével számítjuk ki.
– Poisson áramlás.
Egyszerű távíróhullám probléma.
Van olyan eszköz, amelyre jelet küldenek. Ezek a jelek alkotják a legegyszerűbb adatfolyamot.
X(t) a -a
P 1/2 1/2
Vizsgálja meg az SP X(t) jellemzőit, amely tetszőleges időpontokban vesz fel ±a értékeket. Diszkrét SP folyamatos idővel. M(X(t)) = 0

X(t1)X(t2) a2 -a2
P Páros P Páratlan
Legyen t1< t2 => τ > 0

Ezért a távíróhullám ergodikus SSP.
Indoklás – a következő tulajdonságoknak kell teljesülniük
1) Stacionaritás – nincs függés az időszak megválasztásától.
2) Utóhatás hiánya – az időpillanatok nem jelennek meg a képletben.
3) Hétköznapiság
Egynél több esemény valószínűsége
Az 1. esemény valószínűsége
2-nél több esemény valószínűsége
at =>
kis τ esetén nullára hajlamos négyzetnél nem kisebb sebességgel.

6. TÉMA MARKOV LÁNCOK

6.1. Markov láncok.

A Markov-lánc olyan események sorozata, amelyek mindegyikében csak az A1,A2...Ak összeegyeztethetetlen események egyike jelenik meg, míg az s. próba feltételes valószínűsége pij(s), hogy az Ai esemény bekövetkezik, és az a feltétel, az s-1 próbában az Aj e esemény az előző események eredményétől függ.
A diszkrét idejű Markov-lánc olyan áramkör, amelynek állapotai meghatározott időpontokban változnak.
A folytonos idejű Markov-lánc olyan lánc, amelynek állapotai tetszőleges időpontban változnak.
Egy Markov-láncot homogénnek nevezünk, ha az Ai-ból Aj állapotba való átmenet feltételes valószínűsége pij(i) nem függ a próba számától, s-n.
Azt a valószínűséget, hogy a rendszer a tesztelés eredményeként Ai-ből Aj-ba kerül, egy homogén Markov-lánc átmeneti valószínűségeinek nevezzük.
Az átmeneti valószínűségek i=1;…;k átmeneti valószínűségek mátrixát alkotják
Markov egyenlőség
Pij(n) – a rendszer Ai állapotból Aj állapotba való átmenetének valószínűsége n kísérletben

Következmények
1) n=2; m=1
; Pij(1)=pi,j; P2=(Pi,j(2))=P1P1=P2
2) n=3; m=2
; P3=P3
3) Pn=P12.