Népszerű valószínűség-elmélet próbabábukhoz. Valószínűségi elmélet

12. rész Valószínűségszámítás.

1. Bemutatkozás

2. A valószínűségszámítás legegyszerűbb fogalmai

3. Események algebra

4. Egy véletlenszerű esemény valószínűsége

5. Geometriai valószínűségek

6. Klasszikus valószínűségek. Kombinatorikai képletek.

7. Feltételes valószínűség. Az események függetlensége.

8. Képlet teljes valószínűséggelés Bayes-képletek

9. Ismételt vizsgálati séma. Bernoulli formula és aszimptotikája

10. Véletlen változók (RV)

11. DSV terjesztési sorozat

12. Kumulatív eloszlásfüggvény

13. NSV eloszlási függvény

14. NSV valószínűségi sűrűsége

15. Numerikus jellemzők Véletlen változók

16. Példák fontos elosztások NE

16.1. Binomiális eloszlás DSV.

16.2. Poisson-eloszlás

16.3. Az NSV egyenletes eloszlása.

16.4. Normális eloszlás.

17. Határtételek Valószínűségi elmélet.

Bevezetés

A valószínűségszámítás, mint sok más matematikai tudományág, a gyakorlat szükségleteiből fejlődött ki. Ugyanakkor egy valós folyamat tanulmányozása során szükség volt a valós folyamat elvont matematikai modelljének megalkotására. Általában a fő, legjelentősebb vezető erők valós folyamat, figyelmen kívül hagyva a másodlagosakat, amelyeket véletlennek neveznek. Az persze külön feladat, hogy mi számít főnek és mi másodlagosnak. A kérdés megoldása határozza meg az absztrakció, az egyszerűség vagy a bonyolultság szintjét matematikai modellés a modell megfelelőségi szintje valódi folyamat. Lényegében minden absztrakt modell két ellentétes törekvés eredménye: az egyszerűség és a valóságnak való megfelelés.

Például a lövéselméletben meglehetősen egyszerű és kényelmes képleteket dolgoztak ki a lövedék repülési útvonalának meghatározására egy ponton elhelyezett fegyverből (1. ábra).

Bizonyos körülmények között elegendő az említett elmélet, például a masszív tüzérségi előkészítés során.

Nyilvánvaló azonban, hogy ha egy fegyverből a ugyanazok a feltételek adj le több lövést, a pályák közel lesznek, de mégis mások. Ha pedig a célméret kicsi a szóródási területhez képest, akkor konkrét kérdések merülnek fel a javasolt modellben nem vett tényezők hatásával kapcsolatban. Ugyanakkor további tényezők figyelembevétele túlságosan összetett modellhez vezet, amelyet szinte lehetetlen használni. Ezen kívül sok ilyen véletlenszerű tényező létezik, természetük legtöbbször ismeretlen.

A fenti példában olyan konkrét kérdések, amelyek túlmutatnak determinisztikus modell, például a következők: hány lövést kell leadni ahhoz, hogy bizonyos magabiztosság(például be) garantálja a célpont vereségét? hogyan kell lövöldözni annak érdekében, hogy a cél eltalálására költsenek legkevesebb mennyiség kagylók? stb.

Ahogy később látni fogjuk, a „véletlenszerű” és a „valószínűség” szavak szigorúbbakká válnak matematikai kifejezések. A mindennapi életben azonban nagyon gyakoriak köznyelvi beszéd. Úgy gondolják, hogy a „véletlen” melléknév a „természetes” ellentéte. Ez azonban nem így van, mert a természet úgy van kialakítva, hogy a véletlenszerű folyamatok mintákat tárnak fel, de bizonyos feltételek mellett.

A fő feltétel az ún tömegjelleg.

Például, ha feldob egy érmét, nem tudja megjósolni, hogy mi fog megjelenni, címert vagy számot, csak találgathat. Ha azonban feldobja ezt az érmét nagy szám szorzata, hogy a címerlemorzsolódás aránya nem sokban tér el egy bizonyos 0,5-hez közeli számtól (a továbbiakban ezt a számot nevezzük valószínűségnek). Ráadásul a dobások számának növekedésével az ettől a számtól való eltérés is csökkenni fog. Ezt a tulajdonságot ún fenntarthatóságátlagos mutatók (in ebben az esetben- címerrészvények). El kell mondanunk, hogy a valószínűségszámítás első lépéseiben, amikor a gyakorlatban is ellenőrizni kellett a stabilitás tulajdonságának meglétét, még a nagy tudósok sem tartották nehéznek saját ellenőrzésüket. Így Buffon jól ismert kísérlete, aki 4040-szer dobott fel egy érmét, és 2048-szor került elő a címer, ezért a tört (ill. relatív gyakoriság) a címer 0,508, ami intuitívan közel áll a várt 0,5 számhoz.

Ezért a meghatározást általában megadják a valószínűségszámítás tárgya, mint a matematikának a tömeg törvényeit vizsgáló ága véletlenszerű folyamatok.

El kell mondanunk, hogy annak ellenére, hogy a valószínűségszámítás legnagyobb vívmányai a múlt század elejére nyúlnak vissza, különösen annak köszönhetően, axiomatikus konstrukció elméletek A.N. munkáiban. Kolmogorov (1903-1987) érdeklődése a balesetek tanulmányozása iránt már régen megjelent.

A kezdeti érdeklődés a szerencsejátékok számszerű megközelítésére irányult. A valószínűségszámítás első egészen érdekes eredményeit általában L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) és N. Tartaglia (1556) munkáihoz kötik.

Később B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) rakták le az alapokat klasszikus elmélet valószínűségek. A 18. század elején J. Bernoulli (1654-1705) kialakította a véletlen esemény valószínűségének fogalmát, mint a kedvező esélyek számának és az összes lehetséges esély számának arányát. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) a halmaz mértéke fogalmának használatára építette elméletét.

A halmazelméleti szempontot a legteljesebb formában 1933-ban mutatták be. A.N. Kolmogorov „A valószínűségszámítás alapfogalmai” című monográfiájában. Ettől a pillanattól kezdve a valószínűségszámítás szigorú matematikai tudománnyá válik.

Hatalmas hozzájárulás Az orosz matematikusok, P.L., hozzájárultak a valószínűségszámítás kidolgozásához. Csebisev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) és mások.

A valószínűségszámítás napjainkban rohamosan fejlődik.

A valószínűségszámítás legegyszerűbb fogalmai

Mint minden matematikai tudományág, a valószínűségszámítás is a legegyszerűbb fogalmak bevezetésével kezdődik, amelyeket nem definiálnak, hanem csak megmagyaráznak.

Az egyik fő elsődleges fogalom az tapasztalat. A tapasztalat alatt olyan feltételeket értünk, amelyek korlátlan számú alkalommal reprodukálhatók. A komplexum minden egyes megvalósítását tapasztalatnak vagy tesztnek fogjuk nevezni. A kísérlet eredménye eltérő lehet, és itt jelenik meg a véletlen eleme. Egy élmény különféle eredményeit vagy kimeneteit nevezzük eseményeket(pontosabban véletlenszerű események). Így a kísérlet végrehajtása során előfordulhat ilyen vagy olyan esemény. Más szóval, egy véletlen esemény egy kísérlet eredménye, amely előfordulhat (megjelenhet), vagy nem következik be a kísérlet végrehajtása során.

A tapasztalatokat betűvel jelöljük, a véletlenszerű eseményeket pedig általában nagybetűvel

Egy kísérlet során gyakran előre azonosítható a legegyszerűbbnek nevezhető, egyszerűbbre nem bontható kimenetel. Az ilyen eseményeket ún elemi események(vagy esetek).

1. példa Hagyja feldobni az érmét. A kísérlet eredménye: a címer elvesztése (ezt az eseményt betűvel jelöljük); számok elvesztése (jelölése ). Ezután írhatjuk: tapasztalat = (érmefeldobás), eredmények: Világos, hogy ebben a kísérletben az elemi események. Más szóval, a tapasztalat összes elemi eseményének felsorolása teljesen leírja azt. Ezzel kapcsolatban azt fogjuk mondani, hogy a tapasztalat az elemi események tere, esetünkben a tapasztalat röviden a következő formában írható fel: = (érmefeldobás) = (G; C).

2. példa. =(az érmét kétszer dobják fel)= Íme az élmény szóbeli leírása és az összes elemi esemény felsorolása: ez azt jelenti, hogy először az érme első feldobásakor címer hullott, a másodikra ​​pedig a címer is; azt jelenti, hogy az érme első dobásánál a címer, a másodikon a szám, stb.

3. példa A koordinátarendszerben a pontok egy négyzetbe kerülnek. Ebben a példában az elemi események olyan pontok, amelyek koordinátái kielégítik az adott egyenlőtlenségeket. Ez röviden le van írva a következő módon:

A göndör zárójelben lévő kettőspont azt jelenti, hogy pontokból áll, de nem bármelyikből, hanem csak azokból, amelyek megfelelnek a kettőspont után megadott feltételnek (vagy feltételeknek) (példánkban ezek egyenlőtlenségek).

4. példa Az érmét addig dobják, amíg meg nem jelenik az első címer. Más szóval, az érmefeldobás addig folytatódik, amíg a fejet le nem érik. Ebben a példában elemi események is felsorolhatók, bár azok végtelen szám:

Vegyük észre, hogy a 3. és 4. példában az elemi események terének végtelen számú végeredménye van. A 4. példában felsorolhatók, pl. újraszámolni. Az ilyen halmazt megszámlálhatónak nevezzük. A 3. példában a tér megszámlálhatatlan.

Mutassunk be még két olyan eseményt, amelyek minden tapasztalatban jelen vannak, és amelyek nagy elméleti jelentőséggel bírnak.

Nevezzük az eseményt lehetetlen, kivéve, ha a tapasztalat eredményeként szükségszerűen nem következik be. Jellel fogjuk jelölni üres készlet. Ellenkezőleg, egy olyan eseményt, amely a tapasztalat eredményeként biztosan bekövetkezik, ún megbízható. A megbízható eseményt ugyanúgy jelöljük, mint magát az elemi események terét – betűvel.

Például kockadobásnál az esemény (9-nél kevesebb pontot dobott) megbízható, de az esemény (pontosan 9 pont dobott) lehetetlen.

Tehát az elemi események tere megadható szóbeli leírás, amely felsorolja az összes elemi eseményét, megadva azokat a szabályokat vagy feltételeket, amelyek alapján az összes elemi eseményét megkapjuk.

Események algebra

Eddig csak az elemi eseményekről beszéltünk, mint a tapasztalat közvetlen eredményeiről. A tapasztalat keretein belül azonban az elemieken kívül egyéb véletlenszerű eseményekről is beszélhetünk.

5. példa Kockadobásnál az egy, kettő,..., hatos kiesés elemi eseményein kívül egyéb eseményekről is beszélhetünk: (páros számból kiesés), (páratlan számból kiesés) , (olyan szám kihagyása, amelyik többszöröse háromnak), (4-nél kisebb szám kihagyása) és így tovább. BAN BEN ebben a példában Ezek az események a szóbeli feladaton kívül az elemi események felsorolásával adhatók meg:

Az új események létrehozása elemi, valamint más eseményekből az eseményeken végzett műveletek (vagy műveletek) segítségével történik.

Meghatározás. Két esemény szorzata egy olyan esemény, amely abban áll, hogy egy kísérlet eredményeként megtörténik És esemény, És esemény, azaz mindkét esemény együtt (egyidejűleg) fog bekövetkezni.

A termékjelet (pontot) gyakran kihagyják:

Meghatározás. Két esemény összege egy olyan esemény, amely abban áll, hogy a kísérlet eredményeként meg fog történni vagy esemény, vagy esemény, vagy mindkettő együtt (egy időben).

Mindkét definícióban szándékosan hangsúlyoztuk a kötőszavakat ÉsÉs vagy- annak érdekében, hogy felhívja az olvasó figyelmét a beszédére a problémák megoldása során. Ha az „és” kötőszót kiejtjük, akkor arról beszélünk események bekövetkezéséről; Ha a „vagy” kötőszót ejtik, akkor az eseményeket hozzá kell adni. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy a „vagy” kötőszó in mindennapi beszéd gyakran abban az értelemben használják, hogy a kettő közül az egyiket kizárják: „csak vagy csak”. A valószínűségszámításban ilyen kivételt nem feltételezünk: és , és , és egy esemény bekövetkezését jelenti

Ha az elemi események felsorolásával adjuk meg, akkor összetett események a fenti műveletek segítségével könnyen beszerezhető. A megszerzéséhez meg kell találni az összes elemi eseményt, amely mindkét eseményhez tartozik, ha nincs, akkor az Események összegét is könnyű összeállítani: vegyük a két esemény bármelyikét, és adjuk hozzá azokat az elemi eseményeket. a többi esemény, amely nem szerepel az elsőben.

Az 5. példában különösen azt kapjuk

A bevezetett műveleteket binárisnak nevezzük, mert két eseményre van meghatározva. A következő (egyetlen eseményre definiált) unáris műveletnek nagy jelentősége van: az eseményt hívják szemben esemény, ha abból áll, hogy egy adott élményben az esemény nem következett be. A definícióból világos, hogy minden eseménynek és ellentétének van a következő tulajdonságokat: A beírt művelet meghívásra kerül kiegészítés események A.

Ebből következik, hogy ha elemi események felsorolásával adjuk meg, akkor az esemény specifikációjának ismeretében könnyen beszerezhető, hogy az a tér összes elemi eseményéből áll, amelyek nem tartoznak például az eseményhez

Ha nincsenek zárójelek, akkor a következő prioritás van beállítva a műveletek végrehajtása során: összeadás, szorzás, összeadás.

Tehát a bevezetett műveletek segítségével az elemi események tere feltöltődik más véletlenszerű eseményekkel, amelyek az ún. események algebra.

6. példa. A lövő három lövést adott le a célpontra. Tekintsük az eseményeket = (a lövő a célpontot találta el i-edik lövés), i = 1,2,3.

Ezekből az eseményekből állítsunk össze néhány eseményt (ne feledkezzünk meg az ellenkezőekről sem). Nem adunk hosszas megjegyzéseket; Úgy gondoljuk, hogy az olvasó önállóan fogja levezetni őket.

B esemény = (mindhárom lövés célt talált). További részletek: B = ( És első, És második, És a harmadik lövés célt talált). Használt unió És, ezért az események megsokszorozódnak:

Hasonlóképpen:

C = (egyik lövés sem találta el a célt)

E = (egy lövés elérte a célt)

D = (céltalálat a második lövésnél) = ;

F = (két lövés eltalálta a célt)

N = (legalább egy találat eltalálja a célt)

Mint ismeretes, a matematikában nagyon fontos elemző objektumok, fogalmak és képletek geometriai értelmezésével rendelkezik.

Valószínűségelméletben kényelmes vizuális ábrázolás(geometriai értelmezése) tapasztalatok, véletlenszerű események és az azokon végzett műveletek formájában ún Euler-Venn diagramok. Lényege, hogy minden tapasztalatot egy bizonyos négyzetbe dobással azonosítanak (értelmeznek). A pontok véletlenszerűen kerülnek dobásra, így minden pontnak egyenlő esélye van arra, hogy bárhol leszálljon a négyzetben. A négyzet meghatározza a kérdéses élmény kereteit. Az élményen belül minden eseményt a tér egy bizonyos területével azonosítanak. Más szóval, egy esemény bekövetkezése ütést jelent véletlenszerű pont betűvel jelzett területen belül Ekkor az eseményekkel végzett műveletek geometriailag könnyen értelmezhetők (2. ábra)

V:

A + B: bármilyen

kikelés

A 2. a) ábrán az egyértelműség kedvéért az A eseményt függőleges, a B eseményt vízszintes árnyékolással emeljük ki. Ekkor a szorzási művelet egy kettős sraffozásnak felel meg - az esemény a négyzet azon részének felel meg, amelyet kettős sraffozás borít. Sőt, ha akkor összeegyeztethetetlen eseményeknek nevezzük. Ennek megfelelően az összeadás művelete bármilyen sraffozásnak megfelel - az esemény a négyzet bármely sraffozással árnyékolt részét jelenti - függőleges, vízszintes és dupla. A 2. b) ábrán az eseménynek a négyzet árnyékolt része felel meg - minden, ami nem szerepel a területen A beírt műveletek a következők: főbb tulajdonságait, amelyek egy része érvényes számokkal kapcsolatos azonos nevű műveletekre, de vannak speciálisak is.

10 . a szorzás kommutativitása;

20 . az összeadás kommutativitása;

harminc . a szorzás asszociativitása;

4 0 . összeadás asszociativitás,

50 . a szorzás eloszlása ​​az összeadáshoz viszonyítva,

6 0 . az összeadás eloszlása ​​a szorzáshoz viszonyítva;

9 0 . de Morgan kettősségi törvényei,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

7. példa. Iván és Péter megegyezett, hogy például T órás időintervallumban találkoznak, (0,T). Ugyanakkor megállapodtak abban, hogy a találkozóra érkezéskor mindegyikük legfeljebb egy órát vár a másikra.

Adjunk ennek a példának egy geometriai értelmezést. Jelöljük: Iván találkozóra érkezésének idejét; Péter érkezési ideje a találkozóra. Megállapodás szerint: 0 . Ekkor a koordinátarendszerben ezt kapjuk: = Könnyen észrevehető, hogy példánkban az elemi események tere négyzet. 1

0 x a négyzet azon részének felel meg, amely ezen egyenes felett helyezkedik el. Hasonlóképpen, a második egyenlőtlenség y≤x+ és; és nem működik, ha nem működik minden elem, pl. .Így a kettősség de Morgan második törvénye: akkor valósul meg, ha az elemek párhuzamosan kapcsolódnak.

A fenti példa bemutatja, hogy a valószínűségszámítást miért használják széles körben a fizikában, különösen a valós műszaki eszközök megbízhatóságának kiszámításakor.

A törvények tana, amelyek az ún. véletlenszerű jelenségek. Szótár idegen szavak, szerepel az orosz nyelvben. Chudinov A.N., 1910... Orosz nyelv idegen szavak szótára

Valószínűségi elmélet- - [L.G. Sumenko. Angol-orosz szótár az információtechnológiáról. M.: Állami Vállalat TsNIIS, 2003.] Témák információs technológiaáltalánosságban az EN valószínűségszámítási valószínűségszámítás elmélete ... Műszaki fordítói útmutató

Valószínűségi elmélet- a matematika része, amely a különböző események valószínűségei közötti összefüggéseket vizsgálja (lásd Valószínűség és statisztika). Soroljuk fel a tudományhoz kapcsolódó legfontosabb tételeket. Az egyik valószínűsége a több közül összeférhetetlen események egyenlő...... enciklopédikus szótár F. Brockhaus és I.A. Ephron

VALÓSZÍNŰSÉGI ELMÉLET- matematikai olyan tudomány, amely lehetővé teszi néhány véletlenszerű esemény valószínűségéből (lásd), hogy megtaláljuk a k.l-hez kapcsolódó véletlenszerű események valószínűségét. módon az elsőkkel. Modern T.v. axiomatika alapján (lásd Axiomatikus módszer) A. N. Kolmogorov. A…… Orosz Szociológiai Enciklopédia

Valószínűségi elmélet- a matematikának egy olyan ága, amelyben néhány véletlenszerű esemény adott valószínűségei alapján más, az elsőhöz valamilyen módon kapcsolódó események valószínűségét találják meg. A valószínűségszámítás a valószínűségi változókat és a véletlenszerű folyamatokat is tanulmányozza. Az egyik fő...... Fogalmak modern természettudomány. Alapfogalmak szószedete

Valószínűségi elmélet- tikimybių teorija statusas T terület fizika atitikmenys: engl. valószínűségszámítás vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. valószínűségszámítás, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Valószínűségi elmélet- ... Wikipédia

Valószínűségi elmélet- egy matematikai tudományág, amely véletlenszerű jelenségek mintázatait vizsgálja... A modern természettudomány kezdetei

VALÓSZÍNŰSÉGI ELMÉLET- (valószínűségelmélet) lásd Valószínűség... Nagy magyarázó szociológiai szótár

Valószínűségszámítás és alkalmazásai- ("A valószínűségelmélet és alkalmazásai") Tudományos Magazin A Szovjetunió Tudományos Akadémia Matematikai Osztálya. Eredeti cikkeket publikál és rövid üzenetek a valószínűségelmélet szerint, általános kérdéseket matematikai statisztikaés alkalmazásaik a természettudományban és... Nagy Szovjet enciklopédia

Könyvek

• Valószínűségi elmélet. , Ventzel E.S.. A könyv olyan tankönyv, amely a matematikában jártas, rendszeres főiskolai kurzus keretében jártas és a valószínűségszámítás technikai alkalmazásai iránt érdeklődő emberek számára készült, in... Vásárlás 1993 UAH-ért (csak Ukrajnában)
• Valószínűségi elmélet. , Ventzel E.S.. Ezt a könyvet az Ön megrendelésének megfelelően, Print-on-Demand technológiával állítjuk elő.

A könyv egy olyan tankönyv, amely a matematikát a hétköznapokban jártas emberek számára készült... A valóságban vagy a képzeletünkben megtörtént események 3 csoportra oszthatók. Ezek bizonyos események, amelyek biztosan meg fognak történni, lehetetlen események és véletlenszerű események. A valószínűségszámítás véletlenszerű eseményeket vizsgál, pl. események, amelyek megtörténhetnek, vagy meg sem. Ez a cikk bemutatásra kerül röviden

valószínűségszámítás, valószínűségszámítási képletek és feladatok megoldási példái, melyek az Egységes Államvizsga 4. feladatában lesznek matematikából (profilszint).

Miért van szükség a valószínűségszámításra? Történelmileg ezeknek a problémáknak az igénye a 17. században merült fel a szerencsejáték fejlődésével és professzionalizálódásával, valamint a kaszinók megjelenésével kapcsolatban. Ez volt igazi jelenség

, amely saját tanulmányozást és kutatást igényelt. A kártyázás, a kocka és a rulett olyan helyzeteket teremtett, amikor bármelyik véges szám ugyanúgy lehetséges események. Adni kellett számszerű becslések

egy adott esemény bekövetkezésének lehetősége. A 20. században kiderült, hogy ez a látszólag komolytalan tudomány játszik fontos szerep a mikrokozmoszban végbemenő alapvető folyamatok ismeretében. Elkészült modern elmélet

valószínűségek.

A valószínűségszámítás vizsgálatának tárgya az események és azok valószínűségei. Ha egy esemény összetett, akkor egyszerű komponensekre bontható, amelyek valószínűségét könnyű megtalálni.

Az A és B események összegét C eseménynek nevezzük, ami abból áll, hogy vagy A vagy B esemény, vagy A és B esemény egyidejűleg történt.

Az A és B események szorzata egy C esemény, ami azt jelenti, hogy A és B esemény egyaránt bekövetkezett.

Az A és B eseményeket inkompatibilisnek nevezzük, ha nem következhetnek be egyszerre.

Egy A eseményt lehetetlennek nevezünk, ha nem következhet be. Az ilyen eseményt a szimbólum jelzi.

Egy A eseményt akkor nevezünk bizonyosnak, ha biztosan megtörténik. Az ilyen eseményt a szimbólum jelzi.

Legyen minden A esemény társítva egy P(A) számmal. Ezt a P(A) számot az A esemény valószínűségének nevezzük, ha a következő feltételek teljesülnek ezzel a megfeleléssel.

Fontos speciális eset az a helyzet, amikor egyformán valószínűek elemi eredmények, és ezekből az eredményekből tetszőleges A eseményeket alkotnak. Ebben az esetben a valószínűséget a képlettel lehet megadni. Az így bevezetett valószínűséget ún klasszikus valószínűség. Bizonyítható, hogy ebben az esetben az 1-4 tulajdonságok teljesülnek.

A matematikai egységes államvizsgán megjelenő valószínűségszámítási problémák főként a klasszikus valószínűségszámításhoz kapcsolódnak. Az ilyen feladatok nagyon egyszerűek lehetnek. Különösen egyszerűek a valószínűségszámítási problémák demó opciók. Könnyen kiszámítható szám kedvező eredményeket, az összes eredmény száma közvetlenül a feltételben van írva.

A választ a képlet segítségével kapjuk.

Példa a matematika egységes államvizsga feladatára a valószínűség meghatározására vonatkozóan

20 pite van az asztalon – 5 káposztával, 7 almával és 8 rizzsel. Marina el akarja vinni a pitét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy elviszi a rizstortát?

Megoldás.

20 egyformán valószínű elemi kimenetel van, vagyis Marina a 20 pite bármelyikét el tudja venni. De meg kell becsülnünk annak valószínűségét, hogy Marina elviszi a rizspitét, vagyis ahol A a rizspitét választotta. Ez azt jelenti, hogy a kedvező kimenetelek száma (rizses pite választása) mindössze 8. Ekkor a valószínűséget a következő képlet határozza meg:

Független, ellentétes és önkényes események

Azonban in nyitott tégely Bonyolultabb feladatokkal kezdtek találkozni. Ezért hívjuk fel az olvasó figyelmét a valószínűségszámításban vizsgált egyéb kérdésekre.

Az A és B eseményeket függetlennek mondjuk, ha mindegyik valószínűsége nem függ attól, hogy a másik esemény bekövetkezik-e.

B esemény az, hogy az A esemény nem történt meg, azaz. B esemény ellentétes az A eseménnyel. Az ellenkező esemény valószínűsége egyenlő eggyel mínusz a közvetlen esemény valószínűsége, azaz. .

Valószínűségi összeadási és szorzási tételek, képletek

Mert önkényes események A és B, ezen események összegének valószínűsége egyenlő valószínűségeik összegével közös eseményük valószínűsége nélkül, azaz. .

Az A és B független események esetében ezen események bekövetkezésének valószínűsége egyenlő valószínűségeik szorzatával, azaz. ebben az esetben .

Az utolsó 2 állítást a valószínűségek összeadási és szorzási tételeinek nevezzük.

Az eredmények számának számolása nem mindig ilyen egyszerű. Bizonyos esetekben szükség van kombinatorikai képletekre. Ebben az esetben a legfontosabb, hogy megszámoljuk a kielégítő események számát bizonyos feltételek. Néha az ilyen típusú számítások önálló feladatokká válhatnak.

Hányféleképpen lehet 6 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen opciók mindegyike 5 módnak felel meg, hogy a második tanuló elfoglalja a helyét. A harmadik tanulónak 4 szabad hely maradt, a negyediknek 3, az ötödiknek 2, a hatodik pedig az egyetlen megmaradt helyet. Az összes opció számának megtalálásához meg kell találnia a terméket, amelyet a 6-os szimbólum jelöl! és „hat faktoriális” felirat olvasható.

BAN BEN általános eset Erre a kérdésre az n elem permutációinak képlete adja meg a választ.

Nézzünk most egy másik esetet diákjainkkal. Hányféleképpen lehet 2 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen opciók mindegyike 5 módnak felel meg, hogy a második tanuló elfoglalja a helyét. Az összes lehetőség kiválasztásához meg kell találnia a terméket.

Általában erre a kérdésre a választ az n elem k elem feletti elhelyezéseinek képlete adja meg

A mi esetünkben .

ÉS utolsó eset ebből a sorozatból. Hányféleképpen lehet kiválasztani 3 tanulót a 6-ból? Az első tanulót 6, a másodikat - 5, a harmadikat - négyféleképpen lehet kiválasztani. De ezek között a lehetőségek között ugyanaz a három diák hatszor jelenik meg. Az összes lehetőség számának meghatározásához ki kell számítania az értéket: . Általában erre a kérdésre a választ az elemek kombinációinak számának képlete adja meg elemenként:

A mi esetünkben .

Példák a matematika egységes államvizsga feladatmegoldására a valószínűség meghatározásához

Feladat 1. A gyűjteményből szerkesztette. Jascsenko.

30 pite van a tányéron: 3 húsos, 18 káposzta és 9 cseresznye. Sasha véletlenszerűen választ egy pitét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy cseresznyével végez.

.

Válasz: 0.3.

Feladat 2. A gyűjteményből szerkesztette. Jascsenko.

1000 izzóból álló tételenként átlagosan 20 hibás. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy tételből véletlenszerűen vett izzó működni fog.

Megoldás: A működő izzók száma 1000-20=980. Ekkor annak a valószínűsége, hogy egy kötegből véletlenszerűen vett izzó működni fog:

Válasz: 0,98.

0,67 annak a valószínűsége, hogy U tanuló 9-nél több feladatot old meg helyesen egy matematikai teszt során. Annak a valószínűsége, hogy U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani, 0,73. Határozza meg annak valószínűségét, hogy U pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani.

Ha elképzelünk egy számegyenest, és megjelöljük rajta a 8-as és 9-es pontot, akkor látni fogjuk, hogy az „U. pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani” szerepel az „U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani”, de nem vonatkozik az „U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani.”

Azonban az „U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani” az „U. több mint 8 problémát fog helyesen megoldani.” Így, ha eseményeket jelölünk: „U. pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani" - A-n keresztül, "U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani" - B-n keresztül, "U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani” – C. A megoldás így fog kinézni:

Válasz: 0,06.

A geometria vizsgán egy diák egy listából válaszol egy kérdésre vizsgakérdések. Annak a valószínűsége, hogy ez trigonometriai kérdés, 0,2. Annak valószínűsége, hogy ez a kérdés a külső szögekre vonatkozik, 0,15. Nincsenek olyan kérdések, amelyek egyszerre vonatkoznának erre a két témára. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy diák a vizsgán e két téma valamelyikében kap kérdést.

Gondoljuk végig, milyen rendezvényeink vannak. Két összeférhetetlen eseményt kapunk. Vagyis a kérdés vagy a „Trigonometria” vagy a „Külső szögek” témakörhöz kapcsolódik. A valószínűségi tétel szerint az összeférhetetlen események valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével, meg kell találnunk ezen események valószínűségeinek összegét, azaz:

Válasz: 0,35.

A helyiséget három lámpás lámpa világítja meg. Annak a valószínűsége, hogy egy lámpa egy éven belül kiég, 0,29. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy lámpa nem ég ki az év során.

Nézzük a lehetséges eseményeket. Három izzónk van, amelyek mindegyike más izzóktól függetlenül kiéghet, vagy nem. Ezek független események.

Ezután jelezzük az ilyen eseményekre vonatkozó lehetőségeket. Használjuk a következő jelöléseket: - a villanykörte ég, - a villanykörte kiégett. És közvetlenül ezután kiszámítjuk az esemény valószínűségét. Például egy olyan esemény valószínűsége, amelyben három bekövetkezik független események„kiégett a villanykörte”, „az izzó be van kapcsolva”, „az izzó be van kapcsolva”: , ahol a „villanykörte világít” esemény valószínűsége az ellentétes esemény valószínűségeként kerül kiszámításra. esemény „nem ég a villanykörte”, nevezetesen: .

„A balesetek nem véletlenek”... Úgy hangzik, mintha egy filozófus mondta volna, de valójában a balesetek tanulmányozása a sors nagyszerű tudomány matematika. A matematikában a véletlenekkel a valószínűségszámítás foglalkozik. A cikkben bemutatásra kerülnek a feladatok képletei és példái, valamint e tudomány alapvető definíciói.

Mi a valószínűségelmélet?

A valószínűségszámítás az egyik olyan matematikai tudományág, amely véletlenszerű eseményeket vizsgál.

Hogy egy kicsit érthetőbb legyen, mondjunk egy kis példát: ha feldobunk egy érmét, az a fejen vagy a farkon landolhat. Amíg az érme a levegőben van, mindkét valószínűség lehetséges. Vagyis a valószínűség lehetséges következményei az arány 1:1. Ha egy 36 lapból álló pakliból húzol egy lapot, akkor a valószínűség 1:36 lesz. Úgy tűnik, itt nincs mit felfedezni és megjósolni, különösen a segítséggel matematikai képletek. Ha azonban megismétli konkrét cselekvés sokszor meg lehet határozni egy bizonyos mintát, és ennek alapján megjósolni az események kimenetelét más körülmények között.

Összefoglalva a fentieket, a klasszikus értelemben vett valószínűségelmélet a lehetséges események valamelyikének számértékben történő előfordulásának lehetőségét vizsgálja.

A történelem lapjairól

A valószínűségelmélet, a képletek és az első feladatok példái a távoli középkorban jelentek meg, amikor először merültek fel kísérletek a kártyajátékok kimenetelének előrejelzésére.

Kezdetben a valószínűségszámításnak semmi köze nem volt a matematikához. Már letelepedett empirikus tények vagy egy esemény gyakorlatban reprodukálható tulajdonságai. Az első munkák ezen a területen, mint matematikai tudományágon a 17. században jelentek meg. Az alapítók Blaise Pascal és Pierre Fermat voltak. Hosszú idő tanultak szerencsejátékés láttak bizonyos mintákat, amelyekről úgy döntöttek, hogy elmondják a nyilvánosságnak.

Ugyanezt a technikát Christiaan Huygens találta ki, bár nem ismerte Pascal és Fermat kutatásának eredményeit. A tudományág történetében elsőként számon tartott „valószínűségelmélet” fogalmát, képleteket, példákat ő vezette be.

Nem kis jelentőségűek Jacob Bernoulli munkái, Laplace és Poisson tételei sem. Inkább matematikai diszciplínává tették a valószínűségszámítást. A valószínűségszámítás, a képletek és az alapvető feladatok példái Kolmogorov axiómáinak köszönhetően kapták jelenlegi formáját. Minden változás eredményeként a valószínűségszámítás a matematikai ágak közé került.

A valószínűségszámítás alapfogalmai. Események

Ennek a tudományágnak a fő fogalma az „esemény”. Háromféle esemény létezik:

• Megbízható. Azok, amelyek úgyis megtörténnek (leesik az érme).
• Lehetetlen. Olyan események, amelyek semmilyen körülmények között nem történnek meg (az érme a levegőben lóg).
• Véletlen. Azok, amelyek meg fognak történni, vagy nem fognak megtörténni. Különféle, nagyon nehezen megjósolható tényezők befolyásolhatják őket. Ha érméről beszélünk, akkor véletlenszerű tényezők, amelyek befolyásolhatják az eredményt: fizikai jellemzőkérmék, formája, kiindulási helyzete, dobóereje stb.

A példákban minden esemény nagybetűvel van jelölve latin betűkkel, kivéve a P-t, amelynek más szerepe van. Például:

• A = „diákok jöttek előadásra”.
• Ā = „a hallgatók nem jöttek el az előadásra.”

BAN BEN gyakorlati feladatokat Az eseményeket általában szavakkal rögzítik.

Az egyik a legfontosabb jellemzőket események – egyenlő esélyük. Azaz, ha feldob egy érmét, a kezdeti esés minden lehetősége lehetséges, amíg le nem esik. De az események sem egyformán lehetségesek. Ez akkor fordul elő, ha valaki szándékosan befolyásolja az eredményt. Például "megjelölt" játékkártya vagy dobókocka, amelyben középpont eltolódott gravitáció.

Az események kompatibilisek és inkompatibilisek is lehetnek. A kompatibilis események nem zárják ki egymás előfordulását. Például:

• A = „a hallgató eljött az előadásra.”
• B = „a hallgató eljött az előadásra.”

Ezek az események függetlenek egymástól, és egyikük bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezését. Az összeférhetetlen eseményeket az határozza meg, hogy az egyik bekövetkezése kizárja a másik bekövetkezését. Ha ugyanarról az érméről beszélünk, akkor a „farok” elvesztése lehetetlenné teszi a „fejek” megjelenését ugyanabban a kísérletben.

Műveletek az eseményeken

Az események ennek megfelelően szorozhatók és összeadhatók, a tudományágban bevezetik az „ÉS” és „VAGY” logikai összefüggéseket.

Az összeget az határozza meg, hogy akár A, akár B, akár kettő történhet egyszerre. Ha nem kompatibilisek, akkor az A vagy a B nem lehetséges.

Az események szorzása abból áll, hogy A és B egyszerre jelenik meg.

Most több példát is hozhatunk, hogy jobban emlékezzünk az alapokra, a valószínűségszámításra és a képletekre. Példák a probléma megoldására alább.

1. Feladat: A cég háromféle munkára vesz részt egy pályázaton. Lehetséges események, amelyek előfordulhatnak:

• A = „a cég megkapja az első szerződést”.
• És 1 = „a cég nem kapja meg az első szerződést”.
• B = "a cég kap egy második szerződést."
• B 1 = „a cég nem kap második szerződést”
• C = "a cég kap egy harmadik szerződést."
• C 1 = "a cég nem kap harmadik szerződést."

Az eseményekkel kapcsolatos műveletek segítségével megpróbáljuk kifejezni a következő helyzeteket:

• K = "a vállalat megkapja az összes szerződést."

BAN BEN matematikai forma az egyenletnek a következő alakja lesz: K = ABC.

• M = „a vállalat egyetlen szerződést sem kap.”

M = A 1 B 1 C 1.

Bonyolítsuk a feladatot: H = „egy szerződést kap a cég”. Mivel nem ismert, hogy a cég melyik szerződést kapja (első, második vagy harmadik), ezért a lehetséges események teljes sorozatát rögzíteni kell:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Az 1 BC 1 pedig egy olyan eseménysorozat, ahol a cég nem kapja meg az első és a harmadik szerződést, hanem a másodikat. A többi lehetséges eseményt a megfelelő módszerrel rögzítettük. A υ szimbólum a tudományágban az összekötő „VAGY”-ot jelöli. Ha a fenti példát lefordítjuk arra emberi nyelv, akkor vagy a harmadik szerződést kapja meg a cég, vagy a másodikat, vagy az elsőt. Hasonló módon Más feltételeket is leírhat a „valószínűségszámítás” tudományágban. A fent bemutatott képletek és problémamegoldási példák segítenek ebben.

Valójában a valószínűség

Talán ebben a matematikai diszciplínában egy esemény valószínűsége az központi fogalom. A valószínűségnek három definíciója van:

• klasszikus;
• statisztikai;
• geometriai.

Mindegyiknek megvan a maga helye a valószínűség vizsgálatában. A valószínűségszámítás, a képletek és a példák (9. osztály) főként a klasszikus definíciót használják, ami így hangzik:

• Az A helyzet valószínűsége megegyezik az előfordulását kedvező kimenetelek számának az összes lehetséges kimenetelhez viszonyított arányával.

A képlet így néz ki: P(A)=m/n.

A valójában egy esemény. Ha az A-val ellentétes eset jelenik meg, akkor Ā vagy A 1 -ként írható fel.

m a lehetséges kedvező esetek száma.

n - minden esemény, ami megtörténhet.

Például A = „húzz egy kártyát a szív színéből”. Egy szabványos pakliban 36 kártya van, ebből 9 szív. Ennek megfelelően a probléma megoldásának képlete így fog kinézni:

P(A)=9/36=0,25.

Ennek eredményeként 0,25 lesz annak a valószínűsége, hogy a pakliból szív színű kártyát húznak.

A felsőbb matematika felé

Ma már kicsit ismertté vált, hogy mi a valószínűségszámítás, képletek és példák a problémák megoldására iskolai tananyag. A valószínűségszámítás azonban megtalálható a felsőbb matematikában is, amelyet az egyetemeken tanítanak. Leggyakrabban geometriai ill statisztikai meghatározások elméletek és összetett képletek.

A valószínűségelmélet nagyon érdekes. Képletek és példák ( felsőbb matematika) érdemes kicsiben kezdeni a tanulmányozást - a valószínűség statisztikai (vagy gyakorisági) definíciójával.

A statisztikai megközelítés nem mond ellent a klasszikusnak, hanem kissé kibővíti azt. Ha az első esetben meg kellett határozni, hogy milyen valószínűséggel fog bekövetkezni egy esemény, akkor ennél a módszernél meg kell jelölni, hogy milyen gyakran fordul elő. Itt bevezetik a „relatív frekvencia” új fogalmát, amelyet W n (A)-val jelölhetünk. A képlet nem különbözik a klasszikustól:

Ha klasszikus formula előrejelzésre számított, majd statisztikai - a kísérlet eredményei szerint. Vegyünk például egy kis feladatot.

A technológiai ellenőrzési osztály a termékek minőségét ellenőrzi. 100 termék közül 3-at találtak rossz minőségűnek. Hogyan találjuk meg a minőségi termék gyakorisági valószínűségét?

A = „egy minőségi termék megjelenése”.

Wn(A)=97/100=0,97

Így a minőségi termék gyakorisága 0,97. Honnan vetted a 97-et? 100 ellenőrzött termékből 3 rossz minőségűnek bizonyult. 100-ból kivonunk 3-at és 97-et kapunk, ez a minőségi áru mennyisége.

Egy kicsit a kombinatorikáról

A valószínűségszámítás másik módszere a kombinatorika. Alapelve, hogy ha egy bizonyos A választás megtehető m különböző utak, és B választása n féleképpen történik, akkor A és B kiválasztása szorzással történhet.

Például 5 út vezet A városból B városba. B városból C városba 4 út vezet. Hányféleképpen juthatsz el A városból C városba?

Egyszerű: 5x4=20, vagyis húsz különböző módon lehet eljutni A pontból C pontba.

Bonyolítsuk a feladatot. Hányféleképpen lehet kártyákat kirakni pasziánszban? 36 kártya van a pakliban – ez a kiindulópont. A módok számának megismeréséhez egyszerre egy kártyát kell „kivonni” a kiindulási pontból, és meg kell szorozni.

Vagyis 36x35x34x33x32...x2x1= az eredmény nem fér ki a számológép képernyőjére, így egyszerűen 36-nak jelölhető!. Jelölje meg a "!" a szám mellett azt jelzi, hogy a teljes számsort összeszorozták.

A kombinatorikában vannak olyan fogalmak, mint a permutáció, az elhelyezés és a kombináció. Mindegyiknek megvan a maga képlete.

Egy halmaz elemeinek rendezett halmazát elrendezésnek nevezzük. Az elhelyezések ismételhetők, azaz egy elem többször is használható. És ismétlés nélkül, amikor az elemek nem ismétlődnek. n minden elem, m olyan elem, amely részt vesz az elhelyezésben. Az ismétlés nélküli elhelyezés képlete a következőképpen néz ki:

A n m =n!/(n-m)!

n elem olyan kapcsolatait, amelyek csak az elhelyezési sorrendben különböznek egymástól, permutációnak nevezzük. A matematikában így néz ki: P n = n!

Az m n elemének kombinációi azok a vegyületek, amelyekben fontos, hogy milyen elemek voltak és mik azok teljes. A képlet így fog kinézni:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli képlete

A valószínűségszámításban és minden tudományágban vannak olyan kiváló kutatók munkái a szakterületükön, akik elhozták új szint. Az egyik ilyen munka a Bernoulli-képlet, amely lehetővé teszi egy adott esemény független feltételek melletti bekövetkezésének valószínűségének meghatározását. Ez azt sugallja, hogy az A előfordulása egy kísérletben nem függ ugyanazon esemény előfordulásától vagy elmaradásától a korábbi vagy későbbi kísérletekben.

Bernoulli egyenlet:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Az (A) esemény bekövetkezésének valószínűsége (p) minden próba esetében állandó. Annak valószínűségét, hogy a helyzet pontosan m-szer fordul elő n számú kísérletben, a fent bemutatott képlettel számítjuk ki. Ennek megfelelően felmerül a kérdés, hogyan lehet kideríteni a q számot.

Ha az A esemény p számú alkalommal következik be, ennek megfelelően előfordulhat, hogy nem következik be. Az egység egy szám, amelyet egy tudományágban egy helyzet összes kimenetelének megjelölésére használnak. Ezért a q egy olyan szám, amely azt jelzi, hogy egy esemény nem következik be.

Most már ismeri Bernoulli képletét (valószínűségelmélet). Az alábbiakban a problémamegoldásra (első szint) fogunk példákat venni.

2. feladat: Az üzlet látogatója 0,2 valószínűséggel vásárol. 6 látogató önállóan lépett be az üzletbe. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a látogató vásárolni fog?

Megoldás: Mivel nem ismert, hogy hány látogatónak kell vásárolnia, egyet vagy mind a hatot, minden lehetséges valószínűséget ki kell számítani a Bernoulli képlet segítségével.

A = „a látogató vásárolni fog.”

Ebben az esetben: p = 0,2 (a feladatban jelezve). Ennek megfelelően q=1-0,2=0,8.

n = 6 (mivel 6 vásárló van az üzletben). Az m szám 0-tól (egyetlen vásárló sem fog vásárolni) 6-ig (az üzlet minden látogatója vásárolni fog) között változik. Ennek eredményeként a következő megoldást kapjuk:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Egyik vásárló sem fog 0,2621 valószínűséggel vásárolni.

Hogyan másként használják a Bernoulli-féle képletet (valószínűségelméletet)? Példák problémamegoldásra (második szint) alább.

A fenti példa után kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy hova ment C és r. A p-hez viszonyítva a 0 hatványához tartozó szám egyenlő lesz eggyel. Ami a C-t illeti, ez a következő képlettel kereshető:

C n m = n! /m!(n-m)!

Mivel az első példában rendre m = 0, C = 1, ami elvileg nem befolyásolja az eredményt. Használata új képlet, próbáljuk meg kideríteni, mekkora a valószínűsége annak, hogy két látogató árut vásárol.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

A valószínűségelmélet nem olyan bonyolult. Bernoulli képlete, amelyre példákat fentebb mutatunk be, közvetlenül arra bizonyíték.

Poisson-képlet

A Poisson-egyenletet kis valószínűségű véletlenszerű helyzetek kiszámítására használják.

Alapképlet:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ) .

Ebben az esetben λ = n x p. Itt van egy egyszerű Poisson-képlet (valószínűségelmélet). Az alábbiakban a problémamegoldás példáit tekintjük át.

3. feladat: A gyár 100 000 alkatrészt gyártott. Hibás alkatrész előfordulása = 0,0001. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tételben 5 hibás alkatrész lesz?

Amint látja, a házasság nem valószínű esemény, ezért a Poisson-képletet (valószínűségelmélet) használják a számításokhoz. Az ilyen jellegű feladatok megoldására szolgáló példák nem különböznek a tudományág többi feladatától, a szükséges adatokat behelyettesítjük az adott képletbe:

A = "egy véletlenszerűen kiválasztott alkatrész hibás lesz."

p = 0,0001 (a feladat feltételei szerint).

n = 100000 (alkatrészek száma).

m = 5 (hibás alkatrészek). Behelyettesítjük az adatokat a képletbe, és a következőt kapjuk:

100 000 R (5) = 10 5 /5! Xe-10 = 0,0375.

Csakúgy, mint a Bernoulli-képlet (valószínűségelmélet), amelyre a megoldás példáit fentebb leírtuk, a Poisson-egyenletnek is van egy ismeretlen e.

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Vannak azonban speciális táblázatok, amelyek szinte az összes e-értéket tartalmazzák.

De Moivre-Laplace tétel

Ha a Bernoulli-sémában a kísérletek száma kellően nagy, és az A esemény bekövetkezésének valószínűsége minden sémában azonos, akkor az A esemény bizonyos számú előfordulásának valószínűsége egy tesztsorozatban meghatározható Laplace képlete:

Рn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Hogy jobban emlékezzünk Laplace képletére (valószínűségelmélet), az alábbiakban példákat találunk a problémákra.

Először keressük meg X m-t, cseréljük be az adatokat (ezek mind fent vannak) a képletbe, és kapjunk 0,025-öt. Táblázatok segítségével megtaláljuk a ϕ(0,025) számot, melynek értéke 0,3988. Most behelyettesítheti az összes adatot a képletbe:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Így annak a valószínűsége, hogy a szórólap pontosan 267-szer fog működni, 0,03.

Bayes képlet

A Bayes-képlet (valószínűség-elmélet), amelynek segítségével az alábbiakban a problémák megoldására mutatunk be példákat, egy egyenlet, amely leírja egy esemény valószínűségét a vele összefüggésbe hozható körülmények alapján. Az alapképlet a következő:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A és B határozott események.

P(A|B) egy feltételes valószínűség, vagyis az A esemény bekövetkezhet, feltéve, hogy B esemény igaz.

P (B|A) - a B esemény feltételes valószínűsége.

Így, utolsó rész kis tanfolyam „Valószínűségelmélet” - Bayes képlete, példák a problémák megoldására az alábbiakban.

5. feladat: Három cég telefonja került a raktárba. Ugyanakkor az első üzemben gyártott telefonok aránya 25%, a másodikban - 60%, a harmadikban - 15%. Az is ismert, hogy az első gyárban a hibás termékek átlagos százaléka 2%, a másodikban 4%, a harmadikban pedig 1%. Meg kell találnia annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott telefon hibás lesz.

A = „véletlenszerűen kiválasztott telefon”.

B 1 - az első gyár által gyártott telefon. Ennek megfelelően megjelenik a bevezető B 2 és B 3 (a második és harmadik gyár számára).

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2)=0,6; P (B 3) = 0,15 - így megtaláltuk az egyes opciók valószínűségét.

Most meg kell találnia a kívánt esemény feltételes valószínűségét, vagyis a hibás termékek valószínűségét a vállalatoknál:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2)=0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Most cseréljük be az adatokat a Bayes-képletbe, és kapjuk:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

A cikk valószínűségszámítást, képleteket és példákat mutat be a problémamegoldásra, de ez csak a jéghegy csúcsa egy hatalmas tudományágban. És minden leírt után logikus lesz feltenni a kérdést, hogy szükség van-e a valószínűségelméletre az életben. Az egyszerű embernek Nehéz válaszolni, jobb, ha megkér valakit, aki többször használta, hogy megnyerje a főnyereményt.

Sokan, amikor szembesülnek a „valószínűségelmélet” fogalmával, megijednek, és azt gondolják, hogy ez valami elsöprő, nagyon összetett dolog. De valójában nem minden olyan tragikus. Ma megvizsgáljuk a valószínűségszámítás alapfogalmát, és megtanuljuk, hogyan kell konkrét példákon keresztül megoldani a problémákat.

A tudomány

Mit tanulmányoz a matematikának egy olyan ága, mint a „valószínűségszámítás”? Megjegyzi a mintákat és a mennyiségeket. A tudósok először a tizennyolcadik században érdeklődtek a kérdés iránt, amikor a szerencsejátékot tanulmányozták. A valószínűségszámítás alapfogalma egy esemény. Bármilyen tény, amelyet tapasztalat vagy megfigyelés állapít meg. De mi a tapasztalat? A valószínűségszámítás másik alapfogalma. Ez azt jelenti, hogy ez a körülmény nem véletlenül jött létre, hanem azzal konkrét cél. Ami a megfigyelést illeti, itt maga a kutató nem vesz részt a kísérletben, hanem egyszerűen tanúja ezeknek az eseményeknek, semmilyen módon nem befolyásolja a történéseket.

Események

Megtudtuk, hogy a valószínűségszámítás alapfogalma egy esemény, de nem vettük figyelembe az osztályozást. Mindegyik a következő kategóriákba sorolható:

• Megbízható.
• Lehetetlen.
• Véletlen.

Függetlenül attól, hogy milyen eseményekről van szó, amelyeket megfigyeltek vagy hoztak létre az élmény során, mindegyikre vonatkozik ez a besorolás. Meghívjuk Önt, hogy ismerkedjen meg minden típussal külön-külön.

Megbízható rendezvény

Ez egy olyan körülmény, amelyre a szükséges intézkedéscsomagot megtették. A lényeg jobb megértése érdekében jobb néhány példát hozni. A fizika, a kémia, a közgazdaságtan és a felsőfokú matematika e törvény hatálya alá tartozik. A valószínűségszámítás ezt tartalmazza fontos fogalom megbízható eseményként. Íme néhány példa:

• Dolgozunk és bér formájában kapunk ellenszolgáltatást.
• Jól vizsgáztunk, sikeresen teljesítettük a versenyt, ezért jutalmat kapunk felvételi formájában oktatási intézmény.
• Pénzt fektettünk a bankba, és ha kell, visszakapjuk.

Az ilyen események megbízhatóak. Ha mindent befejeztünk a szükséges feltételeket, akkor biztosan megkapjuk a várt eredményt.

Lehetetlen események

Most a valószínűségszámítás elemeit vizsgáljuk. Javasoljuk, hogy térjünk át a következő eseménytípus, nevezetesen a lehetetlen magyarázatára. Kezdésként határozzuk meg a legtöbbet fontos szabály- a lehetetlen esemény valószínűsége nulla.

Ettől a megfogalmazástól nem lehet eltérni a problémák megoldása során. Az egyértelműség kedvéért íme példák az ilyen eseményekre:

• A víz plusz tíz hőmérsékleten megfagyott (ez lehetetlen).
• A villamos energia hiánya semmilyen módon nem befolyásolja a termelést (ugyanúgy lehetetlen, mint az előző példában).

Nem érdemes több példát hozni, mivel a fent leírtak nagyon egyértelműen tükrözik ennek a kategóriának a lényegét. Lehetetlen esemény soha semmilyen körülmények között nem fog bekövetkezni a kísérlet során.

Véletlenszerű események

A valószínűségszámítás elemeinek tanulmányozása, Speciális figyelemérdemes odafigyelni ezt a fajt eseményeket. Ezeket tanulmányozza ezt a tudományt. Az élmény hatására történhet valami, vagy nem. Ezenkívül a teszt elvégezhető korlátlan mennyiségben egyszer. Élénk példák szolgálhat:

• Az érme feldobása élmény vagy próbatétel, a fejek leszállása esemény.
• A zsákból vakon kihúzni egy próbatétel, és így tovább.

Korlátlan számú ilyen példa lehet, de általában a lényegnek világosnak kell lennie. Az eseményekről szerzett ismeretek összegzésére és rendszerezésére táblázatot adunk. A valószínűségszámítás az összes bemutatott közül csak az utolsó típust vizsgálja.

Név	meghatározás
Megbízható	Olyan események, amelyek bizonyos feltételek teljesülése esetén 100%-os garanciával fordulnak elő.	Jó felvételi vizsga esetén felvétel oktatási intézménybe.
Lehetetlen	Olyan események, amelyek soha semmilyen körülmények között nem fognak megtörténni.	Plusz harminc Celsius-fokos léghőmérséklet mellett havazik.
Véletlen	Esemény, amely egy kísérlet/teszt során előfordulhat, de előfordulhat, hogy nem.	Találat vagy kihagyás, amikor egy kosárlabdát karikába dobnak.

Törvények

A valószínűségszámítás egy olyan tudomány, amely egy esemény bekövetkezésének lehetőségét vizsgálja. A többihez hasonlóan ennek is vannak szabályai. A következő valószínűségszámítási törvények léteznek:

• Valószínűségi változók sorozatainak konvergenciája.
• A nagy számok törvénye.

Valami összetett lehetőség kiszámításakor egyszerű események komplexét használhatja, hogy könnyebben és könnyebben elérje az eredményt. gyors út. Megjegyzendő, hogy a törvények bizonyos tételekkel könnyen bebizonyíthatók. Javasoljuk, hogy először ismerkedjen meg az első törvénnyel.

Valószínűségi változók sorozatainak konvergenciája

Vegye figyelembe, hogy a konvergenciának többféle típusa van:

• A valószínűségi változók sorozata valószínűség szerint konvergál.
• Szinte lehetetlen.
• Átlagos négyzetkonvergencia.
• Eloszlási konvergencia.

Tehát rögtön nagyon nehéz megérteni a lényeget. Íme a definíciók, amelyek segítenek megérteni ezt a témát. Kezdjük az első nézettel. A sorozat az ún valószínűség szerint konvergens, ha találkozunk következő feltétel: n a végtelenbe hajlik, az a szám, amelyre a sorozat hajlik, Nulla felettés közel áll az egységhez.

Menjünk tovább következő nézet,majdnem biztosan. A sorozat állítólag konvergál majdnem biztosan olyan valószínűségi változóhoz, amelyben n a végtelenbe, P pedig egységhez közeli értékre hajlik.

A következő típus az átlagos négyzetes konvergencia. Az SC konvergencia alkalmazásakor a vektoros véletlenszerű folyamatok vizsgálata a koordináta véletlenszerű folyamataik vizsgálatára redukálódik.

Marad az utolsó típus, nézzük meg röviden, hogy közvetlenül a problémák megoldására térjünk át. Az elosztási konvergenciának van egy másik neve - „gyenge”, és később elmagyarázzuk, miért. Gyenge konvergencia az eloszlásfüggvények konvergenciája a korlátozó eloszlásfüggvény folytonosságának minden pontján.

Mindenképpen betartjuk ígéretünket: a gyenge konvergencia abban különbözik a fentiektől véletlenszerű érték számára nincs meghatározva valószínűségi tér. Ez azért lehetséges, mert a feltételt kizárólag eloszlási függvények segítségével alakítjuk ki.

A nagy számok törvénye

A valószínűségszámítás tételei, mint pl.

• Csebisev egyenlőtlensége.
• Csebisev tétele.
• Általánosított Csebisev-tétel.
• Markov tétele.

Ha mindezeket a tételeket figyelembe vesszük, akkor ez a kérdés több tucat lapig is eltarthat. Fő feladatunk a valószínűségszámítás gyakorlati alkalmazása. Javasoljuk, hogy ezt azonnal tegye meg. De előtte nézzük meg a valószínűségszámítás axiómáit, ők lesznek a fő asszisztensek a problémák megoldásában.

Axiómák

Az elsővel már akkor találkoztunk, amikor lehetetlen eseményről beszéltünk. Ne feledjük: a lehetetlen esemény valószínűsége nulla. Egy nagyon szemléletes és emlékezetes példát adtunk: harminc Celsius-fok léghőmérsékleten esett a hó.

A második a következő: egy megbízható esemény valószínûséggel történik egyenlő eggyel. Most megmutatjuk, hogyan kell ezt matematikai nyelven írni: P(B)=1.

Harmadszor: Egy véletlenszerű esemény megtörténhet, de előfordulhat, hogy nem, de a lehetőség mindig nullától egyig terjed. Minél közelebb van az érték egyhez, annál nagyobb az esély; ha az érték megközelíti a nullát, annak a valószínűsége nagyon kicsi. Ezt írjuk le matematikai nyelv: 0<Р(С)<1.

Tekintsük az utolsó, negyedik axiómát, amely így hangzik: két esemény összegének valószínűsége megegyezik azok valószínűségeinek összegével. Matematikai nyelven írjuk: P(A+B)=P(A)+P(B).

A valószínűségszámítás axiómái a legegyszerűbb szabályok, amelyeket nem nehéz megjegyezni. Próbáljunk meg néhány problémát megoldani a már megszerzett ismereteink alapján.

Sorsjegy

Először is nézzük a legegyszerűbb példát - egy lottót. Képzeld el, hogy vettél egy lottószelvényt a szerencse kedvéért. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább húsz rubelt nyer? Összesen ezer jegy vesz részt a forgalomban, ezek közül egynek ötszáz rubel a nyeremény, tíznek egyenként száz rubel, ötvennek húsz rubel, száznak pedig ötös a nyereménye. A valószínűségi problémák a szerencse lehetőségének megtalálásán alapulnak. Most együtt elemezzük a fenti feladat megoldását.

Ha az A betűt használjuk az ötszáz rubel nyeremény jelölésére, akkor az A megszerzésének valószínűsége 0,001 lesz. Hogyan kaptuk ezt? Csak el kell osztani a „szerencsés” jegyek számát a teljes számukkal (jelen esetben: 1/1000).

B egy száz rubel nyeremény, a valószínűség 0,01 lesz. Most ugyanazon az elven jártunk el, mint az előző akcióban (10/1000)

C - a nyeremény húsz rubel. Megtaláljuk a valószínűséget, ez egyenlő 0,05-tel.

A fennmaradó jegyekre nem vagyunk kíváncsiak, mivel nyereményalapjuk kevesebb, mint a feltételben meghatározott. Alkalmazzuk a negyedik axiómát: A legalább húsz rubel nyerési valószínűsége P(A)+P(B)+P(C). A P betű egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöli, amelyet már korábban is találtunk. Nincs más hátra, mint összeadni a szükséges adatokat, és a válasz 0,061. Ez a szám lesz a válasz a feladat kérdésére.

Kártya pakli

A valószínűségszámítás problémái bonyolultabbak lehetnek, vegyük például a következő feladatot. Előtted van egy harminchat lapból álló pakli. Az Ön feladata, hogy két lapot húzzon egymás után a pakli megkeverése nélkül, az első és a második lapnak ásznak kell lennie, a szín nem számít.

Először is keressük meg annak valószínűségét, hogy az első lap ász lesz, ehhez osztunk négyet harminchattal. Félretették. Kivesszük a második lapot, három harmincötöd valószínűségű ász lesz. A második esemény valószínűsége attól függ, hogy melyik lapot húztuk először, kíváncsiak vagyunk, hogy ász volt-e vagy sem. Ebből az következik, hogy B esemény az A eseménytől függ.

A következő lépés az egyidejű bekövetkezés valószínűségének meghatározása, azaz megszorozzuk A-t és B-t. A szorzatukat a következőképpen kapjuk meg: az egyik esemény valószínűségét megszorozzuk egy másik esemény feltételes valószínűségével, amit kiszámítunk, feltételezve, hogy az első esemény történt, vagyis az első lappal ászt húztunk.

Hogy minden világos legyen, adjunk egy ilyen elemet eseményeknek. Kiszámítása feltételezve, hogy A esemény bekövetkezett. Kiszámítása a következőképpen történik: P(B/A).

Folytassuk a feladat megoldását: P(A * B) = P(A) * P(B/A) vagy P(A * B) = P(B) * P(A/B). A valószínűség egyenlő: (4/36) * ((3/35)/(4/36). A legközelebbi századra kerekítéssel számolunk. A következőt kaptuk: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Annak a valószínűsége, hogy egymás után két ászt húzunk, nagyon kicsi az érték, ami azt jelenti, hogy az esemény bekövetkezésének valószínűsége rendkívül kicsi.

Elfelejtett szám

Javasoljuk további, a valószínűségszámítás által vizsgált feladatváltozatok elemzését. Ebben a cikkben már láthatott néhány példát ezek megoldására. Próbáljuk meg megoldani a következő problémát: a fiú elfelejtette barátja telefonszámának utolsó számjegyét, de mivel a hívás nagyon fontos volt, elkezdett egyenként tárcsázni. . Ki kell számolnunk annak a valószínűségét, hogy legfeljebb háromszor fog hívni. A probléma megoldása akkor a legegyszerűbb, ha ismerjük a valószínűségszámítás szabályait, törvényeit és axiómáit.

Mielőtt megnézné a megoldást, próbálja meg saját maga megoldani. Tudjuk, hogy az utolsó számjegy lehet nullától kilencig, azaz összesen tíz érték. Annak a valószínűsége, hogy megkapja a megfelelőt, 1/10.

Ezután mérlegelnünk kell az esemény eredetének lehetőségeit, tegyük fel, hogy a fiú jól tippelt, és azonnal beírta a megfelelőt, egy ilyen esemény valószínűsége 1/10. Második lehetőség: az első hívás kimarad, a második pedig célba ért. Számítsuk ki egy ilyen esemény valószínűségét: szorozzuk meg a 9/10-et 1/9-cel, és ennek eredményeként szintén 1/10-et kapunk. A harmadik lehetőség: az első és a második hívásról kiderült, hogy rossz címre érkezett, csak a harmadikkal jutott oda a fiú, ahová akart. Kiszámoljuk egy ilyen esemény valószínűségét: 9/10 szorozva 8/9-el és 1/8-cal, így 1/10-et kapunk. A probléma körülményei szerint más lehetőségek nem érdekelnek, így csak össze kell adni az eredményeket, a végén megvan a 3/10. Válasz: annak a valószínűsége, hogy a fiú legfeljebb háromszor fog hívni, 0,3.

Kártyák számokkal

Kilenc kártya van előtted, mindegyikre egytől kilencig egy szám van írva, a számok nem ismétlődnek. Dobozba rakták és alaposan összekeverték. Ki kell számolni annak a valószínűségét

• páros szám jelenik meg;
• két számjegyű.

Mielőtt rátérnénk a megoldásra, határozzuk meg, hogy m a sikeres esetek száma, n pedig az összes opció száma. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a szám páros lesz. Nem lesz nehéz kiszámolni, hogy négy páros szám van, ez lesz a mi m-ünk, összesen kilenc lehetőség van, azaz m=9. Ekkor a valószínűség 0,44 vagy 4/9.

Tekintsük a második esetet: az opciók száma kilenc, és egyáltalán nem lehet sikeres kimenet, azaz m egyenlő nullával. Annak a valószínűsége, hogy a kihúzott kártya kétjegyű számot tartalmaz, szintén nulla.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete