- Ky është një poliedron, i cili formohet nga baza e piramidës dhe një seksion paralel me të. Mund të themi se një piramidë e cunguar është një piramidë me një majë të prerë. Kjo shifër ka shumë veti unike:

• Faqet anësore të piramidës janë trapezoide;
• Brinjët anësore të një piramide të rregullt të cunguar janë me të njëjtën gjatësi dhe të prirur nga baza në të njëjtin kënd;
• Bazat janë shumëkëndësha të ngjashëm;
• Në një piramidë të rregullt të cunguar, fytyrat janë trapezoide identike izoscele, sipërfaqja e së cilës është e barabartë. Ata janë gjithashtu të prirur drejt bazës në një kënd.

Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar është shuma e sipërfaqeve të anëve të saj:

Meqenëse anët e piramidës së cunguar janë trapezoide, do të duhet të përdorni formulën për të llogaritur parametrat zona trapezoide. Për një piramidë të rregullt të cunguar, mund të zbatohet një formulë tjetër për llogaritjen e sipërfaqes. Meqenëse të gjitha anët, faqet dhe këndet e saj në bazë janë të barabarta, është e mundur të zbatohen perimetrat e bazës dhe apotemës, si dhe të nxirret zona përmes këndit në bazë.

Nëse, sipas kushteve në një piramidë të cunguar të rregullt, jepet apotema (lartësia e anës) dhe gjatësitë e brinjëve të bazës, atëherë sipërfaqja mund të llogaritet përmes gjysmëproduktit të shumës së perimetrave të bazat dhe apotema:

Le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar.
Jepet një piramidë e rregullt pesëkëndore. Apotemë l\u003d 5 cm, gjatësia e fytyrës në bazën e madhe është a\u003d 6 cm, dhe fytyra është në bazën më të vogël b\u003d 4 cm. Llogaritni sipërfaqen e piramidës së cunguar.

Së pari, le të gjejmë perimetrat e bazave. Meqenëse na është dhënë një piramidë pesëkëndëshe, kuptojmë se bazat janë pesëkëndëshe. Kjo do të thotë se bazat janë një figurë me pesë anët identike. Gjeni perimetrin e bazës më të madhe:

Në të njëjtën mënyrë, gjejmë perimetrin e bazës më të vogël:

Tani mund të llogarisim sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar. Ne i zëvendësojmë të dhënat në formulën:

Kështu, ne llogaritëm sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar përmes perimetrit dhe apotemës.

Një mënyrë tjetër për të llogaritur sipërfaqen anësore piramida e saktë, kjo është formula përmes qosheve në bazë dhe zonës së këtyre bazave.

Le të shohim një shembull të llogaritjes. Mos harroni se formula e dhënë vlen vetëm për një piramidë të rregullt të cunguar.

Le të jepet një piramidë e rregullt katërkëndore. Skaji i bazës së poshtme a \u003d 6 cm, dhe buza e pjesës së sipërme b \u003d 4 cm. kënd dihedral në bazë β = 60°. Gjeni sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt të cunguar.

Së pari, le të llogarisim sipërfaqen e bazave. Meqenëse piramida është e rregullt, të gjitha faqet e bazave janë të barabarta me njëra-tjetrën. Duke qenë se baza është një katërkëndësh, kuptojmë se do të jetë e nevojshme të llogaritet sipërfaqe katrore. Është produkt i gjerësisë dhe gjatësisë, por në katror, ​​këto vlera janë të njëjta. Gjeni sipërfaqen e bazës më të madhe:


Tani ne përdorim vlerat e gjetura për të llogaritur sipërfaqen anësore.

Duke ditur disa formula të thjeshta, ne llogaritëm lehtësisht sipërfaqen e trapezit anësor të një piramide të cunguar përmes vlerave të ndryshme.

Një shumëfaqësh në të cilin njëra nga faqet është një shumëkëndësh dhe të gjitha faqet e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët, quhet piramidë.

Këta trekëndësha që përbëjnë piramidën quhen fytyrat anësore, dhe shumëkëndëshi i mbetur është bazë piramidat.

Në bazën e piramidës shtrihet figura gjeometrike– n-gon. Në këtë rast quhet edhe piramida n-thëngjill.

Quhet një piramidë trekëndore, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta katërkëndësh.

Skajet e një piramide që nuk i përkasin bazës quhen anësore, dhe e tyre pikë e përbashkët- Kjo kulm piramidat. Skajet e tjera të piramidës zakonisht quhen partitë e fondacionit.

Piramida quhet korrekte nëse baza e saj është shumëkëndëshi i rregullt, dhe të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Distanca nga maja e piramidës deri në rrafshin e bazës quhet lartësia piramidat. Mund të themi se lartësia e piramidës është një segment, pingul me bazën, skajet e së cilës janë në majë të piramidës dhe në rrafshin e bazës.

Për çdo piramidë, ekzistojnë formulat e mëposhtme:

1) S e plotë \u003d ana S + S kryesore, Ku

S plot - zona sipërfaqe të plotë piramidat;

S sipërfaqja anësore - anësore, d.m.th. shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore të piramidës;

Baza S - zona e bazës së piramidës.

2) V = 1/3 S N kryesore, Ku

V është vëllimi i piramidës;

H është lartësia e piramidës.

Për piramida e saktë ndodh:

Ana S = 1/2 P h kryesore, Ku

P kryesore - perimetri i bazës së piramidës;

h është gjatësia e apotemës, domethënë gjatësia e lartësisë së faqes anësore të ulur nga maja e piramidës.

Pjesa e piramidës e mbyllur midis dy rrafsheve - rrafshi i bazës dhe rrafshi sekant, i tërhequr paralel me bazën, quhet piramidë e cunguar.

Baza e piramidës dhe seksioni i piramidës plan paralel thirrur bazat piramidë e cunguar. Pjesa tjetër e fytyrave quhen anësore. Distanca ndërmjet rrafsheve të bazave quhet lartësia piramidë e cunguar. Skajet që nuk i përkasin bazave quhen anësore.

Përveç kësaj, bazat e piramidës së cunguar n-gone të ngjashme. Nëse bazat e një piramide të cunguar janë shumëkëndësha të rregullt, dhe të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë një piramidë e tillë e cunguar quhet korrekte.

Për piramidë e cunguar arbitrare vlejnë formulat e mëposhtme:

1) S e plotë \u003d ana J + S 1 + S 2, Ku

S e plotë - sipërfaqja totale;

S sipërfaqja anësore - anësore, d.m.th. shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore të piramidës së cunguar, të cilat janë trapezoide;

S 1, S 2 - zonat bazë;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))H, Ku

V është vëllimi i piramidës së cunguar;

H është lartësia e piramidës së cunguar.

Për piramida e rregullt e cunguar ne gjithashtu kemi:

Ana S \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h, Ku

P 1, P 2 - perimetrat e bazave;

h - apotemë (lartësia e faqes anësore, e cila është një trapez).

Konsideroni disa probleme në një piramidë të cunguar.

Detyra 1.

Në një piramidë trekëndore të cunguar me lartësi 10, anët e njërës prej bazave janë 27, 29 dhe 52. Përcaktoni vëllimin e piramidës së cunguar nëse perimetri i bazës tjetër është 72.

Zgjidhje.

Konsideroni piramidën e cunguar ABCA 1 B 1 C 1 të paraqitur në Figura 1.

1. Vëllimi i një piramide të cunguar mund të gjendet me formulën

V = 1/3H (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)), ku S 1 është sipërfaqja e njërës prej bazave, mund të gjendet duke përdorur formulën Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

sepse Problemit i jepen gjatësitë e tre brinjëve të një trekëndëshi.

Ne kemi: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.

2. Piramida është e cunguar, që do të thotë se poligone të ngjashëm shtrihen në baza. Në rastin tonë trekëndëshi ABC ngjashëm me trekëndëshin A 1 B 1 C 1 . Për më tepër, koeficienti i ngjashmërisë mund të gjendet si raport i perimetrave të trekëndëshave të konsideruar, dhe raporti i sipërfaqeve të tyre do të jetë i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë. Kështu, kemi:

S 1 / S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Prandaj S 2 \u003d 4S 1 / 9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.

Pra, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Përgjigje: 1900.

Detyra 2.

Në një piramidë të cunguar trekëndore, një rrafsh tërhiqet përmes anës së bazës së sipërme paralele me skajin e kundërt. Në çfarë raporti ndahet vëllimi i piramidës së cunguar nëse anët përkatëse të bazave lidhen si 1:2?

Zgjidhje.

Konsideroni ABCA 1 B 1 C 1 - një piramidë e cunguar e përshkruar në oriz. 2.

Meqenëse në bazat brinjët lidhen si 1: 2, atëherë sipërfaqet e bazave lidhen si 1: 4 (trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A 1 B 1 C 1).

Atëherë vëllimi i piramidës së cunguar është:

V = 1/3h (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)) = 1/3h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, ku S 2 është sipërfaqja e ​baza e sipërme, h është lartësia.

Por vëllimi i prizmit ADEA 1 B 1 C 1 është V 1 = S 2 h dhe, për rrjedhojë,

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 orë S 2 - h S 2 \u003d 4/3 orë S 2.

Pra, V 2: V 1 \u003d 3: 4.

Përgjigje: 3:4.

Detyra 3.

Anët e bazave të një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar janë 2 dhe 1, dhe lartësia është 3. Një rrafsh vizatohet përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve të piramidës paralele me bazat e piramidës, duke e ndarë piramidën në dy pjesë. . Gjeni vëllimin e secilit prej tyre.

Zgjidhje.

Konsideroni piramidën e cunguar ABCD 1 B 1 C 1 D 1 të paraqitur në oriz. 3.

Le të shënojmë O 1 O 2 \u003d x, pastaj OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Konsideroni trekëndëshin B 1 O 2 D 1 dhe trekëndëshin BO 2 D:

këndi B 1 O 2 D 1 e barabartë me këndin BO 2 D si vertikale;

këndi VDO 2 është i barabartë me këndin D 1 B 1 O 2 dhe këndi O 2 ВD është i barabartë me këndin B 1 D 1 O 2 si i shtrirë në mënyrë tërthore në B 1 D 1 || BD dhe sekantet B1D dhe BD1, respektivisht.

Prandaj, trekëndëshi B 1 O 2 D 1 është i ngjashëm me trekëndëshin BO 2 D dhe raporti i brinjëve ndodh:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / OO 2 ose 1/2 \u003d x / (x - 3), prej nga x \u003d 1.

Merrni parasysh trekëndëshin В 1 D 1 В dhe trekëndëshin LO 2 B: këndi В është i përbashkët, dhe ka gjithashtu një çift këndesh të njëanshme në B 1 D 1 || LM, atëherë trekëndëshi B 1 D 1 B është i ngjashëm me trekëndëshin LO 2 B, prej nga B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, d.m.th.

LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.

Atëherë S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Pra, V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Përgjigje: 152/27; 37/27.

blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Aftësia për të llogaritur volumin figurat hapësinoreështë e rëndësishme në zgjidhjen e një serie detyra praktike nga gjeometria. Një nga format më të zakonshme është piramida. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë piramidat, të plota dhe të cunguara.

Piramida si një figurë tredimensionale

Të gjithë e dinë për Piramidat egjiptiane, pra, është e përfaqësuar mirë se cila shifër do të diskutohet. Sidoqoftë, strukturat e gurit egjiptian janë vetëm një rast i veçantë i një klase të madhe piramidash.

Konsiderohet objekt gjeometrik në rast i përgjithshëmështë një bazë poligonale, çdo kulm i së cilës lidhet me një pikë të hapësirës që nuk i përket rrafshit të bazës. Ky përkufizimçon në një figurë të përbërë nga një n-këndësh dhe n trekëndësha.

Çdo piramidë përbëhet nga n+1 faqe, 2*n skaje dhe n+1 kulme. Meqenëse figura në shqyrtim është një shumëfaqësh i përsosur, numrat e elementëve të shënuar i binden ekuacionit të Euler-it:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Shumëkëndëshi i vendosur në bazë jep emrin e piramidës, për shembull, trekëndësh, pesëkëndësh, etj. Set i piramidave me baza të ndryshme treguar në foton më poshtë.

Pika në të cilën lidhen n trekëndësha të figurës quhet maja e piramidës. Nëse një pingul ulet prej tij në bazë dhe e pret atë në qendra gjeometrike, atëherë një figurë e tillë do të quhet një vijë e drejtë. Nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë ekziston një piramidë e prirur.

Një figurë e drejtë, baza e së cilës është formuar nga një kënd barabrinjës (barakëndësh) n, quhet i rregullt.

Formula e vëllimit të piramidës

Për të llogaritur vëllimin e piramidës, ne përdorim llogaritjen integrale. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë figurën duke prerë aeroplanët paralel me bazën në numër i pafund shtresa të holla. Figura më poshtë tregon një piramidë katërkëndore me lartësi h dhe gjatësi anësore L, në të cilën një shtresë e hollë seksionale është shënuar me një katërkëndësh.

Sipërfaqja e secilës shtresë të tillë mund të llogaritet me formulën:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Këtu A 0 është zona e bazës, z është vlera e koordinatës vertikale. Mund të shihet se nëse z = 0, atëherë formula jep vlerën A 0 .

Për të marrë formulën për vëllimin e piramidës, duhet të llogarisni integralin në të gjithë lartësinë e figurës, domethënë:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Duke zëvendësuar varësinë A(z) dhe duke llogaritur antiderivativin, arrijmë në shprehjen:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Ne kemi marrë formulën për vëllimin e një piramide. Për të gjetur vlerën e V, mjafton të shumëzoni lartësinë e figurës me sipërfaqen e bazës, dhe më pas të ndani rezultatin me tre.

Vini re se shprehja që rezulton është e vlefshme për llogaritjen e vëllimit të një piramide të një lloji arbitrar. Kjo do të thotë, mund të jetë i prirur, dhe baza e tij mund të jetë një n-gon arbitrar.

dhe vëllimi i tij

Marrë në paragrafin e mësipërm formulë e përgjithshme për vëllim mund të specifikohet në rastin e një piramide me themeli i duhur. Sipërfaqja e një baze të tillë llogaritet me formulën e mëposhtme:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Këtu L është gjatësia anësore e një shumëkëndëshi të rregullt me ​​n kulme. Simboli pi është numri pi.

Duke zëvendësuar shprehjen për A 0 në formulën e përgjithshme, marrim vëllimin e një piramide të rregullt:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Për shembull, për një piramidë trekëndore, kjo formulë çon në shprehja e mëposhtme:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Për të saktën piramidë katërkëndore formula e vëllimit merr formën:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Përcaktimi i vëllimeve të piramidave të rregullta kërkon njohjen e anës së bazës së tyre dhe lartësisë së figurës.

Piramida e cunguar

Supozoni se kemi marrë një piramidë arbitrare dhe kemi prerë një pjesë të sipërfaqes së saj anësore që përmban kulmin. Figura e mbetur quhet një piramidë e cunguar. Ai tashmë përbëhet nga dy baza n-gonale dhe n trapezoide që i lidhin ato. Nëse rrafshi i prerjes ishte paralel me bazën e figurës, atëherë formohet një piramidë e cunguar me baza paralele të ngjashme. Domethënë, gjatësitë e brinjëve të njërës prej tyre mund të merren duke shumëzuar gjatësitë e tjetrës me një koeficient k.

Figura e mësipërme tregon një të rregullt të cunguar.Shihet se baza e sipërme e saj, si ajo e poshtme, është e formuar nga një gjashtëkëndësh i rregullt.

Një formulë që mund të nxirret duke përdorur diçka të tillë llogaritja integrale, duket si:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Ku A 0 dhe A 1 janë respektivisht zonat e bazave të poshtme (të mëdha) dhe të sipërme (të vogla). Ndryshorja h tregon lartësinë e piramidës së cunguar.

Vëllimi i piramidës së Keopsit

Është kurioze të zgjidhet problemi i përcaktimit të vëllimit që përmban piramida më e madhe egjiptiane.

Në vitin 1984, egjiptologët britanikë Mark Lehner dhe Jon Goodman themeluan dimensionet e sakta Piramida e Keopsit. Lartësia e saj fillestare ishte 146.50 metra (aktualisht rreth 137 metra). Gjatësia mesatare secila nga katër anët e strukturës ishte 230.363 metra. Baza e piramidës është katrore me saktësi të lartë.

Le të përdorim figurat e dhëna për të përcaktuar vëllimin e këtij gjiganti prej guri. Meqenëse piramida është një katërkëndëshe e rregullt, atëherë formula është e vlefshme për të:

Duke futur numrat, marrim:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Vëllimi i piramidës së Keopsit është pothuajse 2.6 milion m 3. Për krahasim, vërejmë se pishina olimpike ka një vëllim prej 2.5 mijë m 3. Domethënë, për të mbushur të gjithë piramidën e Keopsit, do të nevojiten më shumë se 1000 pishina të tilla!

Piramida. Piramida e cunguar

Piramida quhet shumëkëndësh, njëra nga fytyrat e të cilit është shumëkëndësh ( bazë ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore ) (Fig. 15). Piramida quhet korrekte , nëse baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore në të cilën të gjitha skajet janë të barabarta katërkëndësh .

Brinjë anësore piramidë quhet ana e faqes anësore që nuk i përket bazës Lartësia piramida është distanca nga maja e saj në rrafshin e bazës. Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha faqet anësore janë të barabarta trekëndëshat dykëndësh. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi quhet apotemë . seksion diagonal Një pjesë e një piramide quhet një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Sipërfaqja anësore piramida quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Sipërfaqja e plotë është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore dhe bazës.

Teorema

1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.

2. Nëse në piramidë të gjitha skajet anësore kanë gjatësi të barabarta, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.

3. Nëse në piramidë të gjitha faqet janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë.

Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula është e saktë:

Ku V- vëllimi;

S kryesore- zona e bazës;

Hështë lartësia e piramidës.

Për një piramidë të rregullt, formulat e mëposhtme janë të vërteta:

Ku fq- perimetri i bazës;

h a- apotemë;

H- lartësia;

S plot

Ana S

S kryesore- zona e bazës;

Vështë vëllimi i një piramide të rregullt.

piramidë e cunguar quhet pjesa e piramidës e mbyllur midis bazës dhe rrafshit sekant, paralel me bazën piramidat (Fig. 17). Korrigjo piramidën e cunguar quhet pjesa e një piramide të rregullt, e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës.

themelet piramida e cunguar - shumëkëndësha të ngjashëm. Fytyrat anësore - trapezoid. Lartësia piramida e cunguar quhet distanca ndërmjet bazave të saj. Diagonale Një piramidë e cunguar është një segment që lidh kulmet e saj që nuk shtrihen në të njëjtën faqe. seksion diagonal Një pjesë e një piramide të cunguar quhet një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Për një piramidë të cunguar, formulat janë të vlefshme:

(4)

Ku S 1 , S 2 - zonat e sipërme dhe bazat e poshtme;

S plotështë sipërfaqja e përgjithshme;

Ana Sështë sipërfaqja anësore;

H- lartësia;

Vështë vëllimi i piramidës së cunguar.

Për një piramidë të rregullt të cunguar, formula e mëposhtme është e vërtetë:

Ku fq 1 , fq 2 - perimetra bazë;

h a- apotema e një piramide të rregullt të cunguar.

Shembulli 1 Në të djathtë piramidë trekëndore këndi dihedral në bazë është 60º. Gjeni tangjenten e pjerrësisë brinjë anësore në rrafshin bazë.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 18).

Piramida është e saktë, do të thotë në bazë trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Këndi dihedral në bazë - ky është këndi i prirjes së faqes anësore të piramidës në rrafshin e bazës. Këndi linear do të ketë një kënd a ndërmjet dy pingulave: d.m.th. Maja e piramidës është projektuar në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethit të rrethuar dhe rrethi i brendashkruar në trekëndësh ABC). Këndi i prirjes së brinjës anësore (për shembull SB) është këndi midis vetë skajit dhe projeksionit të tij në rrafshin bazë. Për brinjë SB ky kënd do të jetë këndi SBD. Për të gjetur tangjenten duhet të njihni këmbët KËSHTU QË Dhe OB. Lëreni gjatësinë e segmentit BD eshte 3 A. pika RRETH segmenti i linjës BD ndahet në pjesë: dhe Nga gjejmë KËSHTU QË: Nga gjejmë:

Përgjigje:

Shembulli 2 Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndëshe të cunguar nëse diagonalet e bazave të saj janë cm dhe cm dhe lartësia është 4 cm.

Zgjidhje. Për të gjetur vëllimin e një piramide të cunguar, ne përdorim formulën (4). Për të gjetur zonat e bazave, duhet të gjeni anët e katrorëve të bazës, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht 2 cm dhe 8 cm. Kjo do të thotë sipërfaqet e bazave dhe duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar:

Përgjigje: 112 cm3.

Shembulli 3 Gjeni sipërfaqen e faqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore të cunguar, anët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 19).

Faqja anësore e kësaj piramide është trapez izosceles. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, duhet të dini bazat dhe lartësinë. Bazat jepen me kusht, nuk dihet vetëm lartësia. Gjeni nga ku A 1 E pingul nga një pikë A 1 në rrafshin e bazës së poshtme, A 1 D- pingul nga A 1 në AC. A 1 E\u003d 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Për gjetjen DE do të bëjmë një vizatim shtesë, në të cilin do të përshkruajmë një pamje të sipërme (Fig. 20). Pika RRETH- projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. pasi (shih Fig. 20) dhe Nga ana tjetër Ne rregullështë rrezja e rrethit të brendashkruar dhe OMështë rrezja e rrethit të brendashkruar:

MK=DE.

Sipas teoremës së Pitagorës nga

Zona anësore e fytyrës:

Përgjigje:

Shembulli 4 Në bazën e piramidës shtrihet një trapez izoscelular, bazat e të cilit A Dhe b (a> b). Secili fytyra anësore formon një kënd me rrafshin e bazës së piramidës j. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCDështë e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe sipërfaqes së trapezit ABCD.

Ne përdorim pohimin se nëse të gjitha faqet e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. Pika RRETH- projeksioni i kulmit S në bazën e piramidës. Trekëndëshi SODështë projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin bazë. Nga teorema e zonës projeksion ortogonal figurë e sheshtë marrim:

Në mënyrë të ngjashme, do të thotë Kështu, problemi u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD. Vizatoni një trapezoid ABCD veçmas (Fig. 22). Pika RRETHështë qendra e një rrethi të gdhendur në një trapez.

Meqenëse një rreth mund të futet në një trapez, atëherë ose nga teorema e Pitagorës kemi

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike