A függőségek ábrázolási formái. Közvetlen arányos függés

Óraösszefoglaló számítástechnikáról és IKT-ról 11. osztályban

Szamarin Alekszandr Alekszandrovics, informatika tanár a Savinskaya Középiskolában, Savino faluban, Ivanovo régióban.
Téma:"A mennyiségek közötti függőségek modellezése."
Az anyag leírása: Ez az óra összefoglalója hasznos lesz azoknak a számítástechnika és IKT tanároknak, akik alkalmazzák általános oktatási programok 11. osztályban. A tanóra során a tanulók megismerkednek a matematikai modellezéssel és a mennyiségek modellezésének módszereivel. Ezt a leckét bevezetője az „Információs modellezési technológiák” témakörnek.
Cél: feltételek megteremtése a gyerekek számára a matematikai modellezési ismeretek elsajátítására és a munkavégzés készségeinek megszilárdítására Microsoft program Excel.
Feladatok:
- a matematikai modellezéssel kapcsolatos ismeretek fejlesztése;
- megszilárdítani a Microsoft Excel készségeit.
Tervezett eredmények:
Téma:
- ötleteket alkotni a matematikai modellezésről;
- ötleteket alkotni a funkcionális, táblázatos ill grafikusan szimulációk.
Metatárgy:
- az információhasználati készségek, képességek fejlesztésére és kommunikációs technológiák táblázatos és grafikus modellek készítéséhez;
- készségeket építeni racionális használat rendelkezésre álló eszközöket.
Személyes:
- megérteni az alapvető tudás szerepét a modern információs technológiák alapjaként.
Az óra előrehaladása:
Szervezési pillanat és tudásfrissítés
Tanár:„Sziasztok, srácok. Ma új nagy témát indítunk „Információs modellezési technológiák”. De előbb írjuk le házi feladat 36. §, 1,3 kérdések szóban készüljenek, 2. számú kérdés írásban füzetbe.” A házi feladatot kivetítik a képernyőre.
A gyerekek kinyitják a naplójukat, és leírják a feladatot. A tanár elmagyarázza a házi feladatot.
Tanár:„Srácok, emlékezzünk rá, mi a „modell”, „modellezés”, „ Számítógépes szimuláció». A „Let’s Remember” diát a képernyőre vetítjük.
Gyermekek:„A modell egy helyettesítő objektum, amely bizonyos feltételek mellett helyettesítheti az eredeti objektumot. A modell az eredeti minket érdeklő tulajdonságait és jellemzőit reprodukálja.
A modellezés tárgyak, folyamatok vagy jelenségek tanulmányozására és tanulmányozására tervezett modellek felépítése.
A számítógépes modellezés számítógépes technológiával megvalósított modellezés.”
Tanár:„Mit gondolsz, mi az matematikai modellezés? Mit jelképez?
Gyermekek:"Ezek a modellek matematikai képletekkel készültek."
Tanár:– Mondjon példákat egy matematikai modellre!
A gyerekek példákat adnak különféle képletekre.
Tanár:„Nézzünk egy példát. A példákat a képernyőre vetítik.
„A test leesésének ideje a kezdeti magasságától függ. A városlakók előfordulási aránya bronchiális asztma a városi levegőben lévő káros szennyeződések koncentrációjától függ.” A dia bemutatja egyes mennyiségek függőségét másoktól. Mai leckénk témája „A mennyiségek közötti függőségek modellezése”. A „Mennyiségek közötti függőségek modellezése” lecke témája kivetül a képernyőre.
A gyerekek jegyzetfüzetbe írják le a témát.
Új anyagok tanulása
Tanár:„A matematikai modell számítógépen való megvalósításához el kell sajátítania a mennyiségek közötti függőségek ábrázolásának technikáit. Mérlegeljük különféle módszerek függőségi nézetek. Minden kutatásnak a vizsgált tárgy mennyiségi jellemzőinek azonosításával kell kezdődnie. Az ilyen jellemzőket mennyiségeknek nevezzük. A „mennyiség” definíciója kivetül a képernyőre.
Emlékezzünk arra, hogy mi a mennyiség három fő tulajdonsága?
Gyermekek:"Név, érték, típus"
Tanár:"Jobbra. A mennyiség neve lehet szemantikai vagy szimbolikus. Például az „idő” egy szemantikai név, a „t” pedig egy szimbolikus név. Srácok, mondjatok példákat a szemantikai és szimbolikus nevekre." A nevek típusait és példáit a képernyőre vetítjük.
Példák gyerekekre.
Tanár:„Ha egy mennyiség értéke nem változik, akkor állandó mennyiségnek vagy állandónak nevezzük. Egy példa az állandóra a fény sebessége vákuumban – c = 2,998*10^8m/s. Az értékeket kivetítik a képernyőre.
És mit állandók tudjátok srácok?
Gyerekek válaszai.
Tanár: Szerinted mi a változó?
Gyerekek válaszai.
Tanár: Tehát a változó mennyiség olyan mennyiség, amelynek értéke változhat. Például egy test esési folyamatának leírásánál a változó mennyiségek a H magasság és a t esési idő.
A mennyiség harmadik tulajdonsága a típusa. A típus határozza meg azt az értékkészletet, amelyet egy érték felvehet. A mennyiségek alaptípusai: numerikus, szimbolikus, logikai. Számszerű mennyiségeket fogunk figyelembe venni. A főbb mennyiségek típusait a képernyőre vetítjük.
Most térjünk vissza például a földre zuhanó testhez. Jelöljük az összes változó mennyiséget és a méreteiket is (a méretek határozzák meg, hogy a mennyiségek milyen egységekben jelennek meg). Tehát t (s) az esés ideje, N (m) az esés magassága. Képviseljük a függőséget, figyelmen kívül hagyva a légellenállást; gyorsulás szabadesés g (m/s2) állandónak tekintendő. IN ebben a példában a mennyiségek közötti kapcsolat teljesen meghatározott: H értéke egyértelműen meghatározza t értékét. Az 1. példát a képernyőre vetítjük.
Most nézzünk meg közelebbről egy példát a bronchiális asztma előfordulásáról a városlakók körében. A légszennyezettséget a szennyeződések koncentrációja - C (mg/m2), az előfordulási arány - az 1000 lakosra jutó krónikus asztmások száma fogja jellemezni. ennek a városnak– P (bol./ezer). Ebben a példában az értékek közötti függőség nagyobb összetett karakter, hiszen azonos szennyezettségi szinten ben különböző hónapokban Ugyanabban a városban az előfordulási arány eltérő lehet, mivel azt más tényezők is befolyásolják. A 2. példát a képernyőre vetítjük.
E két példát figyelembe véve arra a következtetésre jutunk, hogy az első példában a függőség funkcionális, a másodikban viszont nem. Ha a mennyiségek közötti kapcsolat ábrázolható matematikai forma, akkor van egy matematikai modellünk. A kimenetet a képernyőre vetítjük.
A matematikai modell egy adott objektum (folyamat) mennyiségi jellemzőinek és a köztük lévő kapcsolatoknak a matematika nyelvén bemutatott összessége. Az első példa egy fizikai törvényt tükröz. Ez a függőség gyökér. Többben összetett feladatok a matematikai modelleket egyenlet vagy egyenletrendszer formájában ábrázolják. A második példában a függőséget nem in-ben ábrázolhatjuk funkcionális forma, és egy másikban (ezt a következő leckékben fogjuk megvizsgálni). A képernyőre vetítve, ami az 1. példát tükrözi.
Nézzünk egy példát egy asztalba zuhanó testre és grafikus forma. Vizsgáljuk meg a test egyetemes esésének törvényét kísérletileg(táblázatos és grafikus formában). Hat méter, 9 méter és így tovább (3 méter után) acéllabdát fogunk dobni, megmérve a labda kezdeti magasságát és az esés idejét. Az eredmények alapján táblázatot készítünk és grafikont rajzolunk. Az 1. példa grafikonja és táblázata kivetül a képernyőre.
Ha ebből a táblázatból minden egyes H és t értékpárt behelyettesítünk az első példa képletébe, akkor a képlet egyenlőséggé változik. Ez azt jelenti, hogy a modell jól működik.
Ebben a példában a mennyiségek modellezésének három módszerét vizsgáljuk: funkcionális (képlet), táblázatos és grafikus; viszont matematikai modell A folyamatot csak képletnek nevezhetjük. A modellezési módszereket a képernyőre vetítik.
Srácok, szerintetek melyik a leguniverzálisabb modellezési módszer? Egy kérdést vetítenek a képernyőre.
A képlet univerzálisabb, lehetővé teszi bármely magasságból leeső test idejének meghatározását; A képlet birtokában könnyen létrehozhat táblázatot és ábrázolhat grafikont.
A rendszerek időbeli fejlődését leíró információs modelleket dinamikus modelleknek nevezzük. A fizikában dinamikus modellekírja le a testek mozgását, biológiában - élőlények vagy állatpopulációk fejlődését, kémiában - az áramlást kémiai reakciók stb."
Testnevelés perc
Tanár:„Most pihenjünk egy kicsit. Srácok, üljetek kényelmesen egy székre, lazítsatok, egyenesítsétek ki a vállaitokat, íveljétek meg a hátatokat, nyújtsatok, fordítsátok el a fejeteket, "lógassátok a lábatokat". Most anélkül, hogy elfordítaná a fejét, nézzen jobbra, balra, felfelé, lefelé. Most figyeld a kezem mozgását." A tanár különböző irányokba mozgatja a kezét.
Gyakorlati munka
Tanár:"Srácok, most a megszerzett tudást a számítógépen végzett gyakorlati munkával fogjuk megszilárdítani." A gyakorlati munka feladatát a képernyőre vetítjük.
Gyakorlat
Szerkessze meg táblázatos és grafikus sebességfüggéseket az idő függvényében
v=v0+a*t, ha ismert, hogy t = 2 s-nál v = 8 m/s. A kezdeti sebesség v0 2 m/s.
A srácok teljesítik a feladatot a programban Microsoft Excel. Ezt követően a munka ellenőrzése megtörténik. A gyakorlati munka helyes válaszát a képernyőre vetítjük.
Reflexió és összegzés
Tanár:„Srácok, mi újat tanultatok ma? Mi volt nehéz neked? Milyen nehézségekkel találkozott az előadás során gyakorlati munka?» A tükröződés a képernyőre vetül.
Gyerekek válaszai.
Tanár:„Köszönöm az osztályban végzett munkáját. Búcsú".

A két mennyiséget ún egyenesen arányos, ha az egyik többszörösére növekszik, a másik ugyanannyival. Ennek megfelelően, ha az egyik többször csökken, a másik ugyanennyivel csökken.

Az ilyen mennyiségek közötti kapcsolat egyenesen arányos összefüggés. Példák az egyenes arányos függőségre:

1) at állandó sebesség a megtett távolság egyenesen arányos az idővel;

2) a négyzet kerülete és oldala egyenes arányos mennyiségek;

3) az egy áron megvásárolt termék költsége egyenesen arányos a mennyiségével.

A közvetlen arányosság és az inverz kapcsolat megkülönböztetéséhez használhatja a közmondást: "Minél beljebb az erdőbe, annál több tűzifa."

Kényelmes megoldani a közvetlenül arányos mennyiségekkel kapcsolatos problémákat az arányok használatával.

1) 10 alkatrész elkészítéséhez 3,5 kg fémre van szükség. Mennyi fémből készül 12 ilyen alkatrész?

(Így érvelünk:

1. A kitöltött oszlopban helyezzen el egy nyilat innen induló irányba több kevesebbre.

2. Minél több alkatrész, annál több fémre van szükség az elkészítéséhez. Ez azt jelenti, hogy ez egy egyenesen arányos kapcsolat.

Legyen x kg fém szükséges 12 alkatrész elkészítéséhez. Összeállítjuk az arányt (a nyíl elejétől a végéig):

12:10=x:3,5

A megtalálásához el kell osztani a szélső tagok szorzatát az ismert középső taggal:

Ez azt jelenti, hogy 4,2 kg fémre lesz szükség.

Válasz: 4,2 kg.

2) 15 méter szövetért 1680 rubelt fizettek. Mennyibe kerül 12 méter ilyen szövet?

(1. A kitöltött oszlopban helyezzen el egy nyilat a legnagyobb számtól a legkisebbig.

2. Minél kevesebb anyagot veszel, annál kevesebbet kell érte fizetni. Ez azt jelenti, hogy ez egy egyenesen arányos kapcsolat.

3. Ezért a második nyíl ugyanabban az irányban van, mint az első).

Legyen x rubel ára 12 méter szövet. Arányt készítünk (a nyíl elejétől a végéig):

15:12=1680:x

Az arány ismeretlen szélső tagjának meghatározásához osszuk el a középtagok szorzatát az arány ismert szélső tagjával:

Ez azt jelenti, hogy 12 méter ára 1344 rubel.

Válasz: 1344 rubel.

Egy valószínűségi változó függése egy másik valószínűségi változó által felvett értékektől ( fizikai jellemző), a statisztikákban általában regressziónak nevezik. Ha ennek a függőségnek analitikus formát adunk, akkor ezt az ábrázolási formát egy regressziós egyenlet reprezentálja.

A különböző numerikus halmazok közötti feltételezett kapcsolat megtalálásának eljárása általában magában foglalja következő lépések:

a köztük lévő kapcsolat jelentőségének megállapítása;

ennek a függőségnek a matematikai kifejezés (regressziós egyenlet) formájában való megjelenítésének lehetősége.

Az első szakasz a megadott statisztikai elemzés az úgynevezett korreláció vagy korreláció-függőség azonosítására vonatkozik. A korrelációt egy sorozat kapcsolatát jelző előjelnek tekintjük számsorozatok. Más szóval a korreláció az adatok kapcsolatának erősségét jellemzi. Ha ez két xi és yi numerikus tömb kapcsolatára vonatkozik, akkor ezt a korrelációt páronkénti kapcsolatnak nevezzük.

Ha korrelációs függést keresünk, az egyik mért x érték (a változásának bizonyos korlátozott tartományában, például x1-ről xn-re) és egy másik mért y érték között (amely ugyancsak bizonyos y1 ... yn intervallumban változik) valószínû kapcsolat. általában kiderült. Ebben az esetben két numerikus sorozattal lesz dolgunk, amelyek között statisztikai (korrelációs) kapcsolat meglétét kell megállapítanunk. Ebben a szakaszban még nem az a feladat, hogy meghatározzuk, hogy ezen valószínűségi változók egyike függvény-e, a másik pedig argumentum. Mennyiségi kapcsolat megtalálása közöttük egy konkrét formájában elemző kifejezés y = f(x) egy másik elemzés, a regresszió feladata.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, korrelációs elemzés lehetővé teszi, hogy következtetést vonjunk le az x és y adatpárok közötti kapcsolat erősségéről, és regressziós elemzés egy változó (y) előrejelzésére szolgál egy másik (x) alapján. Más szóval, ebben az esetben ok-okozati összefüggést próbálnak azonosítani az elemzett populációk között.

Szigorúan véve a numerikus halmazok közötti kapcsolatok két típusát szokás megkülönböztetni - lehet funkcionális függőség vagy statisztikai (véletlen) kapcsolat. Funkcionális kapcsolat megléte esetén a befolyásoló tényező (argumentum) minden értéke egy másik mutató (függvény) szigorúan meghatározott értékének felel meg, a ᴛ.ᴇ. az eredő karakterisztika változását teljes mértékben a faktoriális jellemző hatása határozza meg.

Analitikailag a funkcionális függést a következő formában mutatjuk be: y = f(x).

Statisztikai összefüggés esetén az egyik tényező értéke a vizsgált paraméter valamilyen közelítő értékének felel meg, annak pontos értéke megjósolhatatlan, megjósolhatatlan, ezért az eredményül kapott mutatók annak bizonyulnak valószínűségi változók. Ez azt jelenti, hogy az y effektív attribútum változása csak részben az x faktorattribútum befolyásának köszönhető, mert más tényezők befolyása is lehetséges, amelyek hozzájárulását є-vel jelöljük: y = f(x) + є.

A korrelációs kapcsolatok természetüknél fogva korrelatív kapcsolatok. Példa korrelációs kapcsolat A kereskedelmi tevékenység mutatója például az elosztási költségek összegének a kereskedelmi forgalom volumenétől való függése. Ebben a vonatkozásban az x tényezőkarakterisztikán (forgalomvolumen) kívül az y effektív jellemzőt (az elosztási költségek összegét) más tényezők is befolyásolják, beleértve az el nem számolt tényezőket is, amelyek az є hozzájárulást generálják.

Mert számszerűsítése A vizsgált valószínűségi változók közötti kapcsolat fennállása esetén speciális statisztikai mutatót használnak - az r korrelációs együtthatót.

Ha feltételezzük, hogy ez az összefüggés leírható egy y=a+bx típusú lineáris egyenlettel (ahol a és b állandók), akkor lineáris korreláció létezéséről szokás beszélni.

Az r együttható dimenzió nélküli mennyiség, 0 és ±1 között változhat. Minél közelebb van az együttható értéke egyhez (mindegy milyen előjel), annál biztosabban állítható, hogy lineáris kapcsolat van a két vizsgált változóhalmaz között. Más szóval, ezen valószínűségi változók (y) bármelyikének értéke jelentősen függ a másik (x) értékétől.

Ha kiderül, hogy r = 1 (vagy -1), akkor a tisztán funkcionális függés klasszikus esete következik be (ᴛ.ᴇ. ideális összefüggés valósul meg).

A kétdimenziós szórásdiagram elemzésekor különféle összefüggések fedezhetők fel. A legegyszerűbb lehetőség a lineáris kapcsolat, amely a pontok elhelyezésében fejeződik ki véletlenszerűen egyenes vonal mentén. A diagram az összefüggés hiányát mutatja, ha a pontok véletlenszerűen helyezkednek el, és balról jobbra haladva nem észlelhető lejtés (sem fel, sem le).

Ha a rajta lévő pontokat egy görbe vonal mentén csoportosítjuk, akkor a szórási diagramot nemlineáris kapcsolat jellemzi. Az ilyen helyzetek nagyon is lehetségesek

A matematika tanításának tervezett eredményei az 5-6

Aritmetika

Ismerje meg a funkciókat decimális rendszer számítás;

Használja a természetes számok oszthatóságával kapcsolatos fogalmakat;

A számokat egyenértékű formában fejezze ki, a legmegfelelőbbet választva attól függően konkrét helyzet;

Hasonlítsa össze és rendezze a racionális számokat;

Végezzen számításokat a racionális számok, szóbeli és írásbeli számítási módszereket kombinálva, számológép használata;

Megoldáskor használja a mennyiségek és százalékok arányosságával kapcsolatos fogalmakat, készségeket matematikai problémákatés a kapcsolódó tantárgyakból származó feladatokat, egyszerű gyakorlati számításokat végezni;

Elemezze a mennyiségek közötti összefüggések grafikonjait (távolság, idő, hőmérséklet stb.).

Ismerkedjen meg a 10-től eltérő bázisú helyzetszámrendszerekkel;

A természetes számokkal és az oszthatósági tulajdonságokkal kapcsolatos elképzelések elmélyítése és fejlesztése;

Tanulja meg a számításokat racionalizáló technikák használatát, sajátítsa el a számítások irányításának, a helyzetnek megfelelő módszer kiválasztásának készségét.

A tanfolyam elvégzése után a hallgató elsajátítja:

· Műveletek végrehajtása numerikus kifejezésekkel;

· szó szerinti kifejezések transzformációinak végrehajtása (zárójelek bővítése, öntés hasonló kifejezések);

· dönteni lineáris egyenletek, szöveges feladatok megoldása algebrai módszerrel.

A hallgatónak lehetősége lesz:

· ötletek kialakítása a szó szerinti kifejezésekről és azok átalakításáról;

· sajátítsa el az egyenletek megoldásának speciális technikáit, alkalmazza az egyenletapparátust szöveges és gyakorlati problémák.

Geometriai formák. Geometriai mennyiségek mérése

A tanfolyam elvégzése után a hallgató elsajátítja:

A lapos és térbeli geometriai alakzatok és elemeik felismerése rajzokon, rajzokon, modelleken és a környező világban;

Építsen szögeket, határozza meg fokmértéküket;

A kocka fejlődésének felismerése és ábrázolása, téglalap alakú paralelepipedon, szabályos piramis, henger és kúp;

Határozza meg az ábra fejlődésének lineáris méretei alapján! lineáris méretek maga a figura és fordítva;

Számítsd ki egy téglalap alakú paralelepipedon és egy kocka térfogatát!

A hallgatónak lehetősége lesz:

Tanulja meg kiszámítani a térbeli geometriai alakzatok térfogatát, amelyek négyszögletes paralelepipedonokból állnak;

A térbeli geometriai alakzatokkal kapcsolatos elképzelések elmélyítése és fejlesztése;

Tanulja meg alkalmazni a sweep fogalmát gyakorlati számítások elvégzéséhez.

A tanfolyam elvégzése után a hallgató elsajátítja:

Használja a statisztikai adatok bemutatásának és elemzésének legegyszerűbb módszereit;

Oldjon meg kombinatorikus feladatokat az objektumok vagy kombinációk számának meghatározásához.

A hallgatónak lehetősége lesz:

Szerezzen kezdeti tapasztalatot az adatgyűjtés megszervezésében egy felmérés során. közvélemény, elemzésüket elvégezni, a felmérés eredményeit táblázat, diagram formájában bemutatni;

Tanuljon meg néhány speciális technikát a kombinatorikus problémák megoldására.

Aritmetika

Természetes számok

Természetes számok sorozata. Tizedes jelölés természetes számok. Természetes számok kerekítése.

Koordináta nyaláb.

Természetes számok összehasonlítása. Természetes számok összeadása és kivonása. Az összeadás tulajdonságai.

Természetes számok szorzása és osztása. A szorzás tulajdonságai. Osztani a maradékkal. Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa.

Osztók és többszörösek természetes szám. Legnagyobb közös osztó. A legkisebb közös többszörös. A 2-vel, 3-mal, 5-tel, 9-cel, 10-zel való oszthatóság jelei.

Egyszerű és összetett számok. Számok faktorálása prímtényezőkké. „

Közönséges törtek. A tört fő tulajdonsága. Tört keresése egy számból. Szám keresése törtértéke alapján. Helyes és helytelen törtek. Vegyes számok.

Közönséges törtek összehasonlítása és vegyes számok. Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel és vegyes számokkal.

Tizedesjegyek. Tizedesjegyek összehasonlítása és kerekítése. Aritmetikai műveletek tizedesjegyekkel. A számítási eredmények becslései. Tizedes tört ábrázolása mint közönséges tört közönséges pedig tizedesjegy formájában. Végtelen periodikus tizedesjegyek. Közös tört tizedes közelítése.

Hozzáállás. Százalékos kapcsolat két szám között. Egy szám felosztása ebben a tekintetben. Skála.

Arány. Az arányosság fő tulajdonsága. Közvetlen és fordított arányos összefüggések. Kamat. Egy szám százalékos arányának megkeresése. Szám keresése százaléka alapján.

Megoldás szöveges feladatok aritmetikai módokon.

Racionális számok

Pozitív, negatív számokés a 0 szám.

Ellentétes számok. Szám modul.

Egész számok. Racionális számok. Racionális számok összehasonlítása. Aritmetikai műveletek racionális számokkal. Racionális számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai.

Koordináta vonal. Koordináta sík.

Mennyiségek. A mennyiségek közötti függőségek

Hosszúság, terület, térfogat, tömeg, idő, sebesség mértékegységei.

Példák a mennyiségek közötti függőségekre. Függőségek ábrázolása képletek formájában. Számítások képletekkel.

Szám- és betűkifejezések. Egyenletek

Numerikus kifejezések. Egy numerikus kifejezés értéke. Eljárás in numerikus kifejezések. Szó szerinti kifejezések. Bővülő zárójelek. Hasonló kifejezések, hasonló kifejezések csökkentése. Képletek.

Egyenletek. Az egyenlet gyökere. Alaptulajdonságok egyenletek. Szöveges feladatok megoldása egyenletek segítségével.

A statisztika elemei, valószínűségszámítás. Kombinatorikus problémák

Adatok bemutatása táblázatok, kör- és oszlopdiagramok, grafikonok formájában.

Számtani átlag. A mennyiség átlagos értéke.

Véletlen esemény. Megbízható és lehetetlen események. Egy véletlenszerű esemény valószínűsége. Kombinatorikus feladatok megoldása.

Geometriai formák. Geometriai mennyiségek mérése

Szegmens. Szegmens felépítése. A szakasz hossza, szaggatott vonal. Szakasz hosszának mérése, adott hosszúságú szakasz felépítése. Egy sokszög kerülete. Repülőgép. Egyenes. Gerenda.

Sarok. A szögek típusai. Fokozat mértéke sarok. Szögmérés és -szerkesztés szögmérő segítségével.

Téglalap. Négyzet. Háromszög. A háromszögek típusai. Kör és kör. Kerület. Szám.

A számok egyenlősége. A terület fogalma és tulajdonságai. Egy téglalap és négyzet területe. Egy kör területe. Egy ábra szimmetriatengelye.

Vizuális ábrázolások O térbeli alakok: téglalap alakú paralelepipedon, kocka, gúla, henger, kúp, golyó, gömb. Példák poliéder, henger, kúp fejlesztésére. A térfogat fogalma és tulajdonságai. Egy téglalap alakú paralelepipedon és egy kocka térfogata.

Kölcsönös álláspont két egyenes vonal. Merőleges vonalak. Párhuzamos vonalak.

Axiális és centrális szimmetriák.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete