A planimetria az egész elmélet. A planimetria egyszerűvé vált

Ez az oldal olyan planimetriai tételeket tartalmaz, amelyeket a matematika oktatója fel tud készíteni egy komoly vizsgára: olimpiára vagy vizsgára a Moszkvai Állami Egyetemen (a Moszkvai Állami Egyetem mechanikai és matematikai szakára készülve), egy olimpiára a következő címen: Felső Iskola Közgazdaságtan, az olimpiára Pénzügyi Akadémiaés a MIPT-nél. Ezen tények ismerete nagyszerű lehetőségeket nyit a tutor számára a versenyproblémák megfogalmazására. Elég, ha az említett tétel egy részét a számokon „játszad ki”, vagy elemeit egészítjük ki egyszerű kapcsolatokkal másokkal matematikai objektumok, és kapsz egy elég tisztességes olimpiai problémát. Sok tulajdonság van jelen erős iskolai tankönyvek bizonyítási feladatokként, és nem szerepelnek kifejezetten a bekezdések címsoraiban és szakaszaiban. Ezt a hiányosságot próbáltam kijavítani.

A matematika hatalmas téma, és végtelen a tételként azonosítható tények száma. Egy matektanár nem tud fizikailag mindent és nem emlékezhet mindenre. Ezért a geometriai objektumok közötti trükkös kapcsolatok minden alkalommal újra feltárulnak a tanár előtt. Fizikailag lehetetlen mindet egy lapra összegyűjteni. Ezért fokozatosan fogom kitölteni az oldalt, ahogy használom a tételeket az óráimon.

Azt tanácsolom a kezdő matematika oktatóknak, hogy legyenek óvatosak a kiegészítők használatakor referencia anyagok, mivel az iskolások nem ismerik a legtöbb ilyen tényt.

Matematika oktató a geometriai formák tulajdonságairól

1) A háromszög oldalának merőleges felezője metszi a vele szemközti szög felezőjét egy kb. adott háromszög. Ez következik azon ívek egyenlőségéből, amelyekre a merőleges felező osztja az alsó ívet, és a körbe írt szögre vonatkozó tételből.

2)Ha egy háromszög egyik csúcsából húzunk egy b felezőt, egy m mediánt és egy h magasságot, akkor a felező két másik szakasz között lesz, és az összes szakasz hossza engedelmeskedik. kettős egyenlőtlenség.

3) BAN BEN tetszőleges háromszög bármelyik csúcsától az ortocentrumáig (a magasságok metszéspontja) a távolság 2-szer nagyobb távolság a háromszög köré körülírt kör középpontjától a csúcsponttal szemközti oldalig. Ennek bizonyítására a háromszög magasságával párhuzamos egyeneseket húzhatunk a háromszög csúcsain keresztül. Ezután használja az eredeti és a kapott háromszög hasonlóságát.

4) Bármely háromszög M mediánjának metszéspontja (súlypontja) a H háromszög ortocentrumával és a körülírt kör középpontjával (O pont) együtt ugyanazon a prímán van, és . Ez következik az előző tulajdonságból és a mediánok metszéspontjának tulajdonságából.

5) Két egymást metsző kör közös húrjának kiterjesztése két egyenlő részre osztja közös érintőjük szakaszát. Ez a tulajdonság a metszéspont természetétől (vagyis a körök középpontjainak elhelyezkedésétől) függetlenül igaz. Ennek bizonyítására használhatja az érintőszakasz négyzetének tulajdonságát.

6) Ha egy háromszög szögfelezőjét tartalmazza, akkor a négyzete egyenlő a szög oldalainak szorzatával és azon szakaszokkal, amelyekre a felező osztja a szemközti oldalt.

Vagyis a következő egyenlőség áll fenn

7) Ismeri azt a helyzetet, amikor a csúcstól számított magasságot a hipotenuszhoz húzzuk? derékszög? Biztosan. Tudtad, hogy az összes eredményül kapott háromszög hasonló? Biztosan tudod. Akkor valószínűleg nem tudja, hogy ezeknek a háromszögeknek bármely megfelelő eleme olyan egyenlőséget alkot, amely megismétli a Pitagorasz-tételt, azaz például ahol és a kis háromszögekbe írt körök sugara, és a beírt kör sugara egy nagy háromszögben.

8)Ha egy önkényes négykarral találkozik az összes ismert oldalak a,b,cés d, akkor a területe könnyen kiszámítható a Heron-képletre emlékeztető képlettel:
, ahol x egy négyszög bármely két szemközti szögének összege. Ha egy adott négyszöget körbe írunk, akkor a képlet a következő alakot ölti:
és úgy hívják Brahmagupta képlete

9)Ha a négyszög egy kör körül van körülírva (vagyis a kör bele van írva), akkor a négyszög területét a képlet számítja ki

Először is mutassunk be néhány alapvető tulajdonságot különféle típusok szögek:

• A szomszédos szögek 180 fokosak.
• Függőleges szögek egyenlőek egymással.

Most térjünk át a háromszög tulajdonságaira. Legyen egy tetszőleges háromszög:

Akkor, háromszög szögeinek összege:

Emlékezz arra is a háromszög bármely két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal. Egy háromszög területe két oldallal és a köztük lévő szöggel mérve:

Egy háromszög oldalát átmenő területe és a ráesett magassága:

A háromszög fél kerületét a következő képlet határozza meg:

Heron képlete egy háromszög területére:

Egy háromszög területe a kör sugara szerint:

Medián képlet (a medián egy adott csúcson és a szemközti oldal közepén áthúzott egyenes egy háromszögben):

A mediánok tulajdonságai:

• Mindhárom medián egy pontban metszi egymást.
• A mediánok egy háromszöget hat egyenlő területű háromszögre osztanak.
• A metszéspontban a mediánokat a csúcsokból számolva 2:1 arányban osztjuk fel.

Egy szögfelező tulajdonsága (a felező olyan egyenes, amely egy bizonyos szöget két egyenlő szögre, azaz felére oszt):

Fontos tudni: A háromszögbe írt kör középpontja a felezők metszéspontjában található(mindhárom szögfelező ebben az egy pontban metszi egymást). Felező képletek:

A háromszög magasságának fő tulajdonsága (a háromszög magassága a háromszög másik oldalára merőleges csúcsán áthaladó egyenes):

Egy háromszögben mindhárom magasság egy pontban metszi egymást. A metszéspont helyzetét a háromszög típusa határozza meg:

• Ha a háromszög hegyes, akkor a magasságok metszéspontja a háromszög belsejében van.
• Egy derékszögű háromszögben a magasságok a derékszög csúcsában metszik egymást.
• Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságok metszéspontja a háromszögön kívül van.

Egy másik hasznos ingatlan háromszög magassága:

Koszinusz tétel:

Szinusztétel:

A háromszög körülírt körének középpontja a merőleges felezők metszéspontjában található. Mindhárom merőleges felezőszög ebben az egy pontban metszi egymást. A merőleges felező egy olyan egyenes, amelyet egy háromszög rá merőleges oldalának közepén húznak.

Szabályos háromszögbe írt kör sugara:

Egy egyenlő oldalú háromszögre körülírt kör sugara:

Szabályos háromszög területe:

Pitagorasz tétel Mert derékszögű háromszög (c- hypotenus, aÉs b- lábak):

Egy derékszögű háromszögbe írt kör sugara:

Egy derékszögű háromszög köré körülírt kör sugara:

Egy derékszögű háromszög területe ( h- a hypotenusáig süllyesztett magasság):

A derékszögű háromszög hipotenuszára süllyesztett magasság tulajdonságai:

Hasonló háromszögek- háromszögek, amelyekben a szögek rendre egyenlőek, és az egyik oldala arányos a másik hasonló oldalaival. Hasonló háromszögekben a megfelelő egyenesek (magasságok, mediánok, felezők stb.) arányosak. Hasonlóságok hasonló háromszögek- egyenlő szögben egymással szemben fekvő oldalak. Hasonlósági együttható- szám k, egyenlő az aránnyal hasonló háromszögek hasonló oldalai. A hasonló háromszögek kerületének aránya megegyezik a hasonlósági együtthatóval. A felezők, a mediánok, a magasságok és a merőleges felezők hosszának aránya megegyezik a hasonlósági együtthatóval. A hasonló háromszögek területének aránya megegyezik a hasonlósági együttható négyzetével. A háromszögek hasonlóságának jelei:

• Két sarkon. Ha egy háromszög két szöge egy másik háromszög két szögével egyenlő, akkor a háromszögek hasonlóak.
• Két oldalon és a köztük lévő szögben. Ha egy háromszög két oldala arányos egy másik háromszög két oldalával, és az oldalak közötti szögek egyenlőek, akkor a háromszögek hasonlóak.
• Három oldalról. Ha egy háromszög három oldala arányos egy másik három hasonló oldalával, akkor a háromszögek hasonlóak.

Trapéz alakú

Trapéz alakú- egy négyszög pontosan egy pár szemközti oldallal párhuzamos. Hossz középvonal trapéz:

Trapéz terület:

A trapézok néhány tulajdonsága:

• A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal.
• A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő az alapok különbségének felével.
• A trapézban az alapok felezőpontja, az átlók metszéspontja és az oldalsó oldalak nyúlványainak metszéspontja ugyanazon az egyenesen van.
• A trapéz átlói négy háromszögre osztják. Azok a háromszögek, amelyeknek az oldalai alapok, hasonlóak, és azok a háromszögek, amelyeknek az oldalai oldalain- egyenlő méretű.
• Ha a trapéz bármely alapjában a szögek összege 90 fok, akkor az alapok felezőpontjait összekötő szakasz az alapok különbségének felével egyenlő.
• U egyenlő szárú trapéz Bármely alap szögei egyenlőek.
• Egy egyenlő szárú trapéznak egyenlő átlói vannak.
• Egy egyenlőszárú trapézban a csúcstól a nagyobb alapig leengedett magasság két részre osztja, amelyek közül az egyik az alapok összegének felével, a másik az alapok különbségének felével egyenlő.

Paralelogramma

Paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, azaz párhuzamos egyeneseken fekszenek. Egy oldalt átmenő paralelogramma területe és az arra süllyesztett magasság:

A paralelogramma két oldalát átívelő területe és a köztük lévő szög:

A paralelogramma néhány tulajdonsága:

• A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek.
• A paralelogramma ellentétes szögei egyenlőek.
• A paralelogramma átlói metszik egymást, és a metszéspontban felezik.
• Az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180 fok.
• A paralelogramma összes szögének összege 360 ​​fok.
• Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegének kétszeresével.

Négyzet

Négyzet- olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő, és minden szöge 90 fokkal egyenlő. Egy négyzet területe az oldalának hosszában:

Egy négyzet területe az átlója hosszában:

A négyzet tulajdonságai- ezek mind a paralelogramma, a rombusz és a téglalap tulajdonságai egyszerre.

Gyémánt és téglalap

Rombusz olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő. A rombusz területe (az első képlet két átlón, a második az oldal hosszán és az oldalak közötti szögön keresztül történik):

A rombusz tulajdonságai:

• A rombusz paralelogramma. Ellentétes oldalai páronként párhuzamosak.
• A rombusz átlói derékszögben metszik egymást, és a metszéspontban ketté vannak osztva.
• A rombusz átlói a szögfelezők.

Téglalap olyan paralelogramma, amelyben minden szög derékszög (egyenlő 90 fokkal). Egy téglalap területe két szomszédos oldalon keresztül:

A téglalap tulajdonságai:

• Egy téglalap átlói egyenlőek.
• A téglalap paralelogramma - annak ellentétes oldalak párhuzamos.
• A téglalap oldalai egyben a magassága is.
• Egy téglalap átlóját négyzetre állítjuk egyenlő az összeggel két nem ellentétes oldalának négyzete (a Pitagorasz-tétel szerint).
• Egy kör bármely téglalap körül körülírható, és a téglalap átlója megegyezik a körülírt kör átmérőjével.

Ekkor azonban a tanulót megkérték, hogy bizonyítsa be, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°. A hallgató a párhuzamos egyenesek tulajdonságaira hivatkozott. De elkezdte bizonyítani a párhuzamos egyenesek tulajdonságait a párhuzamos egyenesek jelei alapján. A kör bezárult. Ezért az elmélet megismétlésekor legyen következetes és figyelmes. A tétel bizonyításának elolvasásakor Speciális figyelemÜgyeljen arra, hogy a bizonyításban hol használjuk a tétel feltételeit, és milyen korábban bizonyított tételeket.
Ebben a részben a tételek megfogalmazásait A. V. Pogorelov „Geometria. 7-9 évfolyam."

A planimetria alaptételei és következményei azokból

1. Tételek egyenesekről (párhuzamosság és merőlegesség a síkon)

Párhuzamos egyenesek tulajdonságai.
Két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos (57. ábra).
(a||c, b||c) ? a||b.

Ha két párhuzamos egyenest egy harmadik egyenes metsz, akkor a belső keresztirányú szögek egyenlőek, és a belső egyoldali szögek összege 180° (58. ábra).
a||b ? ? = ?
? + ? = 180°.

Párhuzamos vonalak jelei.
Ha két egyenes metszi a harmadikat, a metsző belső szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak (59. ábra):
Egyenlőek-e az egymással keresztbe eső belső szögek? a||b.

Ha két egyenes metszi a harmadikat, a kapott belső egyoldali szögek összege 180°, akkor az egyenesek párhuzamosak (60. ábra):
a||b.

Ha két egyenes metszi a harmadikat, a kapott megfelelő szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak (61. ábra):
a||b.

Tételek egy egyenesre merőleges létezéséről és egyediségéről. Egy egyenes minden pontján keresztül húzhatunk rá merőleges vonalat, és csak egyet (62. ábra).

Bármely pontból, amely nem egy adott egyenesen fekszik, leengedhet egy merőlegest erre az egyenesre, és csak egyet (63. ábra).

A b egyenes az egyetlen egyenes, amely az a-ra merőleges A ponton megy át.

A párhuzamosság és a merőlegesség kapcsolata.
Két, a harmadikra ​​merőleges egyenes párhuzamos (64. ábra).
(a? c, b? c) ? a||b.

Ha egy egyenes merőleges az egyik párhuzamos egyenesre, akkor merőleges a másikra is (65. ábra):
(a? b, b||c) ? A? Val vel.

Rizs. 65.

2 Tételek a szögekről. Szögek egy háromszögben. Körbe írt szögek

A függőleges szögek tulajdonságai.
A függőleges szögek egyenlőek (66. ábra):
? = ?.

A szögek tulajdonságai egyenlő szárú háromszög. Egy egyenlő szárú háromszögben az alapszögek egyenlőek. A fordított tétel is igaz: ha egy háromszögben két szög egyenlő, akkor egyenlő szárú (67. ábra):
AB = BC? ?A = ?C.

Tétel a háromszög szögeinek összegéről.
Összeg belső sarkok háromszög egyenlő 180°-kal (68. ábra):
? + ? + ? = 180°.

Tétel egy konvex n-szög szögeinek összegéről.
Egy konvex n-szög szögeinek összege 180°?(n – 2) (69. ábra).

Példa: ?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.

Tétel a háromszög külső szögéről.
Egy háromszög külső szöge egyenlő a vele nem szomszédos két belső szög összegével (70. ábra):
? = ? + ?.

Tétel a körbe írt szög nagyságáról.
Körbe írt szög felével egyenlő megfelelő q központi szög(71. ábra):

Rizs. 71.

3. Alaptételek háromszögekről

A háromszögek egyenlőségének jelei. Ha egy háromszög két oldala és a köztük lévő szög egyenlő egy másik háromszög két oldalával és a köztük lévő szöggel, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak (72. ábra).

ABC = ?A1B1C1, mert AB = A1B1, AC = A1C1 és?A = ?A1.
Ha egy háromszög oldal- és szomszédos szögei megegyeznek egy másik háromszög oldal- és szomszédos szögeivel, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak (73. ábra).

ABC = ?A1B1C1, mert AC = A1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.

Ha egy háromszög három oldala egy másik háromszög három oldalával egyenlő, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak (74. ábra).

ABC = ?A1B1C1, mert AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1.

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei.
Ha az egyik háromszög befogója és szára megegyezik egy másik háromszög befogójával és szárával, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak (75. ábra).

ABC = ?A1B1C1, mert ?A=?A1=90°; BC = B1C1; AB = A1B1.
Ha az egyik háromszög befogó- és hegyesszöge megegyezik egy másik háromszög befogó- és hegyesszögével, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak (76. ábra).

ABC = ?A1B1C1, mert AB = A1B1, ?A = ?A1 a ?C = ?C1 = 90°.

Egy egyenlő szárú háromszög mediánjának tulajdonsága.
Egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz húzott medián a felező és a magasság (77. ábra).

(AB = BC, AM = MS)? (AAVM=AMVS, AAMV=ABMC=90°).

A háromszög középvonalának tulajdonsága.
A háromszög középvonala, amely e két oldal felezőpontját összeköti, párhuzamos a harmadik oldallal, és egyenlő a felével (78. ábra).

EF||AC, EF = 1/2AC, mivel AE = EB és BF = FC.

Szinusztétel.
A háromszög oldalai arányosak a szemközti szögek szinuszaival (79. ábra).

Rizs. 79.

A koszinusz tétel.
A háromszög bármely oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével anélkül kétszerese a terméknek ezeket az oldalakat a köztük lévő szög koszinuszával (80. ábra).

A2= b2+ c2– 2bc cos?.
Pitagorasz tétel ( különleges eset koszinusz tétel).
Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével (81. ábra).

C2= a2+ b2.

4. Arányosság és hasonlóság síkon

Thalész tétele.
Ha egy szög oldalait metsző párhuzamos egyeneseket az egyik oldalon levágjuk egyenlő szegmensek, majd a másik oldalán egyenlő szegmenseket vágnak le (82. ábra).

(AB = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q és р – szöget alkotó sugarak?.
a, b, c – a szög oldalait metsző egyenesek.

Tétel kb arányos szegmensek(Thalész-tétel általánosítása).
Egy szög oldalait metsző párhuzamos egyenesek arányos szakaszokat vágnak le a szög oldalaiból (83. ábra).

Rizs. 83.

Vagy

Egy háromszög felezőjének tulajdonsága.
Egy háromszög szögfelezője a vele szemközti oldalt a másik két oldallal arányos szakaszokra osztja (84. ábra).

Ha? = ?, akkor

Vagy

A háromszögek hasonlóságának jelei.
Ha egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak (85. ábra).

Az ABC és az A1B1C1 háromszögek hasonlóak, mert ? = ?1 és? = ?1.
Ha egy háromszög két oldala arányos egy másik háromszög két oldalával, és az ezen oldalak által alkotott szögek egyenlőek, akkor a háromszögek hasonlóak (86. ábra).

Az ABC és az A1B1C1 háromszögek hasonlóak, mert

ÉS? = ?1.
Ha az egyik háromszög oldalai arányosak egy másik háromszög oldalaival, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak (87. ábra).

Az ABC és az A1B1C1 háromszögek hasonlóak, mert

5. Geometriai alapegyenlőtlenségek

A ferde és a merőleges hosszának aránya.
Ha egy pontból merőleges és ferde vonalat húzunk egy egyenesre, akkor bármelyik ferde nagyobb a merőlegesnél, az egyenlő ferdék egyenlő vetületűek, két ferde közül pedig a nagyobb vetületű a nagyobb (88. ábra):
AA"< АВ < АС; если А"С >A"B, majd AC > AB.

Háromszög egyenlőtlenség.
Bármi legyen is a három pont, a két pont közötti távolság nem több, mint az összeg távolságok tőlük a harmadik pontig. Ebből következik, hogy bármely háromszögben minden oldal kisebb, mint a másik két oldal összege (89. ábra):
AC< АВ + ВС.

Az oldalak és a szögek nagysága közötti kapcsolat egy háromszögben.
Egy háromszögben a nagyobb szöggel szemben fekszik nagy oldala, a nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben helyezkedik el (90. ábra).
(IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.< AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).

Rizs. 90.

6. Pontok geometriai alaphelyzetei a síkon

Geometrikus hely a sík szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontjai felezőszögek lesznek adott szög(91. ábra).

AK = AT, ahol A a felező tetszőleges pontja.
A két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok geometriai helye az ezeket a pontokat összekötő szakaszra merőleges és annak közepén áthaladó egyenes lesz (92. ábra).

MA = MB, ahol M egy tetszőleges pont az AB szakasz felező merőlegesén.
A pontok geometriai helye a síkban egyenlő távolságra adott pont, ezen a ponton egy kör lesz a középponttal (93. ábra).

Az O pont egyenlő távolságra van a kör pontjaitól.

A háromszög körülírt kör középpontjának helye.
A háromszögre körülírt kör középpontja az ezen oldalak felezőpontjain át húzott háromszög oldalaira merőlegesek metszéspontja (94. ábra).

A, B, C a körön fekvő háromszög csúcsai.
AM = MV és AK = KS.
Az M és K pontok az AB, illetve AC oldalra merőlegesek alapjai.

A háromszögbe írt kör középpontjának helye.
A háromszögbe írt kör középpontja a felezők metszéspontja (95. ábra).

Az ABC-ben az AT és SC szakaszok felezők.

7. Tételek négyszögekről

A paralelogramma tulajdonságai.
A paralelogrammának vannak egymással ellentétes oldalai, amelyek egyenlőek. A paralelogrammánál ellentétes szögek egyenlőek.
A paralelogramma átlói metszik egymást és a metszéspontban ketté vannak osztva (96. ábra).

AB = CD, BC = AD, ?BAD = ?BCD, ?ABC = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

A paralelogramma jelei.
Ha egy négyszögnek két oldala párhuzamos és egyenlő, akkor paralelogramma (97. ábra).

BC||Kr.e., BC = Kr. u. Az ABCD egy paralelogramma.

Ha egy négyszög átlói metszik egymást és a metszésponttal kettéosztjuk, akkor ez a négyszög paralelogramma (98. ábra).

AO = OS, VO = OD? Az ABCD egy paralelogramma.

A téglalap tulajdonságai.
A téglalapnak megvan a paralelogramma összes tulajdonsága (a téglalap szemközti oldalai egyenlőek; a téglalap átlói egyenlőek (90°); a téglalap átlói metszik egymást, és a metszéspont felezi őket).
A téglalap átlói egyenlőek (99. ábra):
AC = BD.

Téglalap jel.
Ha egy paralelogrammának minden szöge egyenlő, akkor téglalapról van szó.

A rombusz tulajdonságai.
A rombuszra a paralelogramma összes tulajdonsága jellemző (a rombusz szemközti oldalai egyenlőek - általában minden oldal egyenlő a definíció szerint; a rombusz ellentétes szögei egyenlőek; a rombusz átlói metszik egymást, és a metszéspont által kettéosztják pont).
A rombusz átlói derékszögben metszik egymást.
A rombusz átlói a szögfelezők (100. ábra).

AC? BD, ?ABD = ?DBC = ?CDB = ?BDA, ?BAC = ?CAD = ?BCA = ?DCA.

Gyémánt jel.
Ha egy paralelogrammának vannak merőleges átlói, akkor az rombusz.

A négyzet tulajdonságai.
A négyzet téglalap és rombusz tulajdonságaival rendelkezik.

Négyzet alakú jel.
Ha egy téglalap átlói derékszögben metszik egymást, akkor négyzetről van szó.

A trapéz középvonalának tulajdonsága.
A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével (101. ábra).

Rizs. 101.

A beírt és körülírt négyszögek kritériumai.
Ha egy kör leírható egy négyszög körül, akkor szemközti szögeinek összege 180° (102. ábra).
α + αC = αB + αD = 180°.

Ha egy kör beírható egy négyszögbe, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő (103. ábra).
AB + CD = AD + BC.

Rizs. 103.

8. Körtételek

Az akkordok és szekánsok tulajdonságai.
Ha egy kör AB és CD húrjai az S pontban metszik egymást, akkor AS? BS = CS? DS (104. ábra).

Ha az S pontból két szekánst húzunk egy körbe, amelyek a kört az A, B, illetve C, D pontokban metszik, akkor AS ? BS = CS? DS (105. ábra).

Szám?.
A kör kerületének és átmérőjének aránya nem függ a kör sugarától, vagyis bármely két körre azonos. Ez a szám egyenlő? (106. ábra).

Rizs. 106.

9. Vektorok

Tétel egy vektor bázishoz viszonyított felbontásáról.
Ha a síkon két nem kollineáris a és b vektor és bármely másik c vektor adott, akkor létezik egyes számok n és m, így c = na + mb (107. ábra).
Ahol

Tétel a vektorok skaláris szorzatáról.
A vektorok skaláris szorzata egyenlő az abszolút q értékük (hosszúságaik) szorzatával a közöttük lévő szög koszinuszával (108. ábra).
OA? OB = OA? O.B.? kötözősaláta?.

Rizs. 108.

Alapvető planimetriai képletek

Háromszög esetén (109. ábra):

Rizs. 109.

ahol a, b, c a háromszög oldalai;
?, ?, ? – velük ellentétes szögek;
r és R a beírt és körülírt kör sugarai;
ha, ma, la – magasság, medián és felező az a oldalra húzva;
S – a háromszög területe;

– háromszög félkerete.
A háromszög mediánjait a csúcstól számítva 2:1 arányban osztjuk el a metszésponttal (110. ábra).

Rizs. 110.

Négyszögeknél:

ahol a, b az alapok hossza;
h – a trapéz magassága.

Az a, b oldallal és szöggel rendelkező paralelogramma területe? közöttük az S = ab sin? képlettel számítjuk ki. Használhatja a képletet is:

Hol d1, d2 az átlók hossza, ? – a köztük lévő szög (vagy S = aha, ahol ha a magasság).
Egy tetszőleges konvex négyszöghez (111. ábra):

Normál n-gon esetén:

(R és r a körülírt és beírt kör sugarai, аn a szabályos n-szög oldalának hossza).
Egy körhöz és egy körhöz (112. ábra):

Rizs. 112.

És 1\2R2?, ha? radiánban kifejezve.
Szegmens = Szektor – Háromszög.

Analitikai planimetriai képletek

Ha az A(x1; y1) és B(x2; y2) pont adott, akkor

Az AB egyenes egyenlete:

Könnyen redukálható ax + alakra + c = 0-val, ahol az n = (a, b) vektor merőleges az egyenesre.
Az A(x1; y1) pont és az ax + x + c = 0 egyenes távolsága a + c = 0

Az ax + x + c1 = 0 és az ax + by + c2 = 0 párhuzamos egyenesek távolsága

Az a1x + BLу + c1 = 0 és a2x + b2y + c2 = 0 egyenesek közötti szöget a következő képlettel számítjuk ki:

Az O(x0, y0) pontban középponttal és R sugarú kör egyenlete:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.

3.2. Önellenőrző kérdések

1. a) Milyen tulajdonságát ismeri a függőleges szögek? (1)
2. a) Fogalmazzon meg egy kritériumot a két oldal mentén elhelyezkedő háromszögek és a köztük lévő szög egyenlőségére! (1)
3. a) Fogalmazzon meg kritériumot egy oldal és két szög mentén lévő háromszögek egyenlőségére! (1)
b) Bizonyítsd be ezt a jelet! (1)
4. a) Lista alapvető tulajdonságait egyenlő szárú háromszög. (1)
c) Igazoljuk a próbatételt egyenlő szárú háromszögre! (1)
5. a) Fogalmazzon meg egy kritériumot a háromszög egyenlőségére! (1)
b) Bizonyítsd be ezt a jelet! (1)
6. Bizonyítsuk be, hogy két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos. (2)
7. a) Fogalmazza meg az egyenesek párhuzamosságának jeleit! (1)
c) Bizonyítsa be a fordított tételeket! (1)
8. Bizonyítsa be a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételt! (1)
9. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög külső szöge egyenlő két vele nem szomszédos belső szög összegével. (1)
10. a) Fogalmazd meg a derékszögű háromszögek egyenlőségének kritériumait! (1)
b) Igazolja a befogó és a szár mentén álló derékszögű háromszögek egyenlőségének kritériumait! a hypotenusa és a hegyesszög mentén. (1)
11. a) Bizonyítsuk be, hogy egy adott egyenesen nem fekvő pontból egyetlen merőleges is ejthető erre az egyenesre. (1)
b) Bizonyítsuk be, hogy egy adott egyenesen fekvő ponton keresztül lehetséges az adott egyenesre merőleges egyedi egyenest húzni. (1)
12. a) Hol van a háromszög körülírt körének középpontja? (1)
13. a) Hol van a háromszögben a beírt kör középpontja? (1)
b) Igazoljuk a megfelelő tételt! (1)
14. Igazolja a kör érintőjének tulajdonságát! (1)
15. a) Milyen tulajdonságait ismeri a paralelogramma? (1)
b) Bizonyítsa be ezeket a tulajdonságokat! (1)
16. a) Milyen paralelogramma jeleit ismeri? (1)
b) Bizonyítsd be ezeket a jeleket! (1)
17. a) Milyen tulajdonságait és jellemzőit ismeri a téglalapnak? (1)
18. a) Milyen tulajdonságait és jeleit ismeri a rombusznak? (1)
b) Bizonyítsa be ezeket a tulajdonságokat és jeleket! (1)
19. a) Milyen tulajdonságait és jeleit ismeri a négyzetnek? (1)
b) Bizonyítsa be ezeket a tulajdonságokat és jeleket! (1)
20. a) Állítsa be Thalész tételét. (1)
b) Bizonyítsa be ezt a tételt! (1)
21. a) Fogalmazzuk meg az általánosított Thalész-tételt (tétel az arányos szegmensekről). (1)
b) Bizonyítsa be ezt a tételt! (2)
22. a) Milyen tulajdonságait ismeri a háromszög középvonalának? (1)
b) Bizonyítsa be ezeket a tulajdonságokat! (1)
23. a) Milyen tulajdonságait ismeri a trapéz középvonalának? (1)
b) Bizonyítsa be ezeket a tulajdonságokat! (1)
24. a) Fogalmazd meg a Pitagorasz-tételt! (1)
b) Bizonyítsa be a Pitagorasz-tételt! (1)
c) Fogalmazd meg és bizonyítsd fordított tétel. (2)
25. Bizonyítsuk be, hogy bármely ferde nagyobb, mint a merőleges, és két ferde közül a nagyobb vetületű. (1)
26. a) Adja meg a háromszög egyenlőtlenséget! (1)
b) Igazoljuk a háromszög egyenlőtlenséget! (2)
27. Az A(x1; y1) és B(x2; y2) pontok koordinátái adottak.
a) Milyen képlettel számítjuk ki az AB szakasz hosszát? (1)
b) Vezesd le ezt a képletet! (1)
28. Vezesse le egy kör egyenletét, amelynek középpontja az A(x0; y0) pontban van, és sugara R. (1)
29. Bizonyítsuk be, hogy bármely sor be Derékszögű koordináták x, y egyenlete ax + x + c = 0. (2)
30. Írja fel az A(x1; y1) és B(x2; y2) pontokon átmenő egyenes egyenletét! Válasz: indokold meg. (2)
31. Igazolja, hogy az y = kx + b egyenes egyenletében a k szám a k egyenes dőlésszögének érintője pozitív irány abszcissza tengely. (2)
32. a) Milyen alapvető mozgástulajdonságokat ismer? (2)
b) Bizonyítsa be ezeket a tulajdonságokat! (3)
33. Bizonyítsa be, hogy:
a) a szimmetria transzformációja egy pont körül mozgás; (3)
b) az egyenes körüli szimmetria transzformációja mozgás; (3)
c) a párhuzamos fordítás mozgás. (3)
34. Igazolja a létezés és az egyediség tételét! párhuzamos átvitel. (3)
35. Bizonyítsd be abszolút érték ka vektor egyenlő |k|-val ? |a|, míg a ka vektor iránya a? O egybeesik az a vektor irányával, ha k > 0, és ellentétes az a vektor irányával, ha k< 0. (1)
36. Bizonyítsuk be, hogy bármely a vektor kibontható b és c vektorokká (mindhárom vektor ugyanazon a síkon van). (1)
37. Adott a = (a1; a2) és b = (BL; b2) vektorok. Bizonyítsd

Ahol? – vektorok közötti szög.
38. a) Milyen tulajdonságokat ismer? pont termék vektorok? (1)
b) Bizonyítsa be ezeket a tulajdonságokat! (2)
39. Bizonyítsuk be, hogy a homotitás a hasonlóság átalakulása. (1)
40. a) Milyen tulajdonságait ismeri a hasonlósági transzformációnak? (1)
b) Bizonyítsuk be, hogy a hasonlósági transzformáció megőrzi a sugarak közötti szögeket. (2)
41. a) Fogalmazzon meg egy tesztet a háromszögek kétszögű hasonlóságára! (1)
42. a) Fogalmazzon meg egy kritériumot a háromszögek hasonlóságára két oldal és a köztük lévő szög alapján! (1)
b) Bizonyítsd be ezt a jelet! (1)
43. a) Fogalmazzon meg egy kritériumot a háromszögek három oldalának hasonlóságára! (1)
b) Bizonyítsd be ezt a jelet! (2)
44. a) Adja meg a háromszög felezőjének tulajdonságát! (1)
b) Bizonyítsuk be, hogy a háromszög felezője a szemközti oldalt a másik két oldallal arányos szakaszokra osztja. (1)
45. a) Adja meg a körbe írt szög tulajdonságát! (1)
b) Bizonyítsa be ezt a tulajdonságot! (1)
46. ​​a) Bizonyítsuk be, hogy ha egy kör AB és CD húrjai az S pontban metszik egymást, akkor AS? BS = CS? D.S. (1)
b) Bizonyítsuk be, hogy ha az S pontból két szekánst húzunk egy körbe, amelyek a kört az A, B, illetve C, D pontokban metszik, akkor AS ? BS = CS? D.S. (1)
47. a) Fogalmazd meg egy háromszög koszinusztételét! (1)
b) Bizonyítsa be ezt a tételt! (1)
48. a) Fogalmazd meg a szinusztételt! (1)
b) Bizonyítsa be ezt a tételt! (1)
c) Bizonyítsuk be, hogy a szinusztételben mindhárom összefüggés:

Egyenlő 2R-rel, ahol R a háromszögre körülírt kör sugara. (1)
49. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszögben a nagyobb szög a nagyobb oldallal, a nagyobb oldal pedig a nagyobb szöggel szemben van. (2)
50. a) Mennyi egy konvex n-szög szögeinek összege? (1)
b) Vezesse le egy konvex n-szög szögösszegének képletét! (1)
51. a) Bizonyítsuk be, hogy egy kör beírható szabályos sokszögbe. (1)
b) Bizonyítsd be, hogy kb szabályos sokszög le tud írni egy kört. (1)
52. Adott egy szabályos n-szög, amelynek oldala a. Vezesd le a képleteket:
a) beírt és körülírt körök sugarai; (1)
b) az n-szög területe; (1)
c) csúcsszög. (1)
53. Bizonyítsuk be, hogy a kör kerületének és átmérőjének aránya nem függ a kör méretétől! (3)
54. Hogyan lehet átváltani a szögeket fokról radiánra és fordítva? (1)
55. Bizonyítsuk be, hogy egy téglalap területe egyenlő a téglalap hosszának és szélességének szorzatával. (3)
56. a) Milyen képlettel számítjuk ki a paralelogramma területét? (1)
b) Vezesd le ezt a képletet! (1)
57. a) Milyen képlettel számítjuk ki a háromszög területét? (az alapon és a magasságon keresztül). (1)
b) Vezesd le ezt a képletet! (1)
c) Vezesd le a Heron-képletet! (1)
58. a) Milyen képlettel számítjuk ki a trapéz területét? (1)
b) Vezesd le ezt a képletet! (1)
59. Vezesd le a képleteket:

ahol a, b, c a háromszög oldalainak hossza;
S – területe;
R és r a körülírt és beírt körök sugarai. (1)
60. Legyen F1 és F2 kettő hasonló figurák k hasonlósági együtthatóval. Hogyan kapcsolódnak ezeknek az ábráknak a területei? Válasz: indokold meg. (1)
61. a) Milyen képlettel számítjuk ki a kör területét? (1)
b) Vezesd le ezt a képletet! (3)
62. Vezesse le a kör alakú szektor területének képletét! (2)
63. Vezesse le egy körszakasz területének képletét! (2)
64. a) Igazoljuk, hogy a háromszög felezői egy pontban metszik egymást. (2)
b) Bizonyítsuk be, hogy a háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást. (2)
c) Bizonyítsuk be, hogy a háromszög magasságai (vagy kiterjesztéseik) egy pontban metszik egymást. (2)
d) Bizonyítsd be merőleges felezők a háromszög oldalai egy pontban metszik egymást. (1)
65. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög területe egyenlő a két oldala és a közöttük lévő szög szinuszának szorzatának felével. (1)
66. a) Állítsa be Ceva tételét! (3)
b) Bizonyítsa be ezt a tételt! (3)
67. a) Állítsa be Menlay tételét. (3)
b) Bizonyítsa be ezt a tételt! (3)
c) Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a fordított tételt! (3)
68. a) Bizonyítsuk be, hogy ha az egyik szög oldalai párhuzamosak egy másik szög oldalaival, akkor ezek a szögek egyenlőek vagy 180°-osak. (2)

A cikk a legfontosabb elméleti tudnivalókat és a szükséges megoldásokat tartalmazza konkrét feladatokat képletek. A polcokon a figurák fontos kijelentései és tulajdonságai vannak elhelyezve.

Meghatározás és fontos tények

A planimetria a geometriának egy olyan ága, amely sík, kétdimenziós felületen lévő tárgyakkal foglalkozik. Néhány alkalmas példa azonosítható: négyzet, kör, rombusz.

Többek között érdemes kiemelni a pontot és az egyenest. Ez a planimetria két fő fogalma.

Minden más rájuk épül, például:

Axiómák és tételek

Nézzük meg részletesebben az axiómákat. A planimetriában ez a legfontosabb szabályokat, amelyen minden tudomány dolgozik. És nem csak benne. A-priory, arról beszélünk bizonyítást nem igénylő állításokról.

Az alábbiakban tárgyalandó axiómák az úgynevezett euklideszi geometriába tartoznak.

• Két pont van. Mindig egyetlen egyenes vonalat húzhat rajtuk keresztül.
• Ha van vonal, akkor vannak olyan pontok, amelyek ráfekszenek, és olyan pontok, amelyek nem fekszenek rá.

Ezt a két állítást általában tagsági axiómának, a következőket pedig sorrendi axiómának nevezik:

• Ha három pont van egy egyenesen, akkor az egyik szükségszerűen a másik kettő között helyezkedik el.
• Egy síkot tetszőleges egyenes két részre oszt. Ha egy szegmens végei az egyik felén fekszenek, akkor az egész objektum hozzá tartozik. Ellenkező esetben az eredeti egyenesnek és a szakasznak metszéspontja van.

A mértékek axiómái:

• Minden szegmens nullától eltérő hosszúságú. Ha egy pont több részre osztja, akkor ezek összege megegyezik az objektum teljes hosszával.
• Minden szögnek megvan a sajátja fokmérő, ami nem egyenlő nullával. Ha egy gerendával megtöri, akkor az eredeti szög egyenlő lesz a kialakult szögek összegével.

Párhuzamosság:

• Egyenes vonal van a síkon. Bármely ponton keresztül, amely nem tartozik hozzá, csak egy egyenes húzható párhuzamosan az adott ponttal.

A planimetria tételei már nem teljesen alapvető állítások. Általában tényként fogadják el, de mindegyiknek van egy bizonyítéka, amely a fent említett alapfogalmakra épül. Ráadásul nagyon sok van belőlük. Elég nehéz lesz mindent kitalálni, de néhányuk jelen lesz a bemutatott anyagban.

A következő kettővel érdemes korán megismerkedni:

• Összeg szomszédos sarkok 180 fokkal egyenlő.
• A függőleges szögek azonos méretűek.

Ez a két tétel hasznos lehet a megoldásban geometriai problémák n-gonokhoz kapcsolódik. Nagyon egyszerűek és intuitívak. Érdemes emlékezni rájuk.

Háromszögek

A háromszög az geometriai alakzat, amely három sorba kapcsolt szegmensből áll. Több szempont szerint osztályozzák őket.

Az oldalakon (az arányok a nevekből derülnek ki):

A sarkokon:

• hegyesszögű;
• négyszögletes;
• tompa.

Két szög a helyzettől függetlenül mindig hegyes lesz, a harmadikat pedig a szó első része határozza meg. Azaz egy derékszögű háromszög egyik szöge 90 fokkal egyenlő.

Tulajdonságok:

• Minél nagyobb a szög, annál nagyobb a szemközti oldal.
• Az összes szög összege 180 fok.
• A terület a következő képlettel számítható ki: S = ½ ⋅ h ⋅ a, ahol a az oldal, h a hozzá húzott magasság.
• Mindig beírhat egy kört egy háromszögbe, vagy körülírhatja.

Az egyikről kb alapképletek A planimetria a Pitagorasz-tételt mondja. Kizárólag derékszögű háromszögre működik, és így hangzik: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével: AB 2 = AC 2 + BC 2.

A hipotenusz az oldalt jelenti szemközti sarok 90 °, és a lábak alatt - szomszédos.

Négyszögek

Ebben a témában hatalmas mennyiségű információ áll rendelkezésre. Az alábbiakban csak a legfontosabbakat közöljük.

Néhány fajta:

1. Parallelogramma - a szemközti oldalak páronként egyenlőek és párhuzamosak.
2. A rombusz egy olyan paralelogramma, amelynek oldalai azonos hosszúságúak.
3. Téglalap - négy derékszögű paralelogramma
4. A négyzet egyben rombusz és téglalap is.
5. Trapéz - csak két ellentétes oldal párhuzamos.

Tulajdonságok:

• A belső szögek összege 360 ​​fok.
• A terület mindig kiszámítható a következő képlettel: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), ahol p a kerület fele, a, b, c, d az ábra oldalai.
• Ha egy kör leírható egy négyszög körül, akkor konvexnek nevezem, ha nem, akkor nem konvexnek.

Magyarázó jegyzet

A felajánlott jegyek szóbeli használatra készültek elméletiátadás éves vizsga planimetriával 9. osztályos tanulók középiskola, valamint a 10. és 11. évfolyamon az egységes államvizsgára való felkészülés érdekében. A javasolt anyagok teljes mértékben összhangban vannak a matematikai programmal és a számára készült programmal speciális képzés.

A jegyek tíz kérdésből állnak, amelyek tükrözik a geometria tanfolyam fő irányait.

A kérdések a tárgy fogalmi apparátusának elsajátításának tesztelésére és a fontos ismeretek szintjének azonosítására irányulnak. elméleti tények. Némelyikük megköveteli a bemutatott anyag bizonyítását, amely az alapvető ismereteket mutatja elméleti rendelkezéseket természetesen és az igazolásuk képességét.

Ezek a kérdések a kézikönyvekből származnak:

Geometria. Bizonyítási problémák. Smirnov V.A., Smirnova I.M.

Geometria. Tankönyv 7-9. Atanasyan, Butuzov, Kadomtsev és mások.

Geometria. Tankönyv 7-11 évfolyamnak A.V.

A TANULÓK VÁLASZAI ÉRTÉKELÉSÉNEK KRITÉRIUMAI

A tanulói válaszok értékelésekor a következő kritériumokat használhatja.

A jegyen szereplő összes kérdésre adott teljes és helyes válaszért „5” pontot adunk. A „3” osztályzat megszerzéséhez elegendő nyolc kérdésre válaszolni a jegyen.

Minden más esetben a pontszám „4”.

Teszt a planimetriában

1.opció

A háromszögek egyenlőségének jelei.

A háromszög középvonalának tulajdonsága.

Háromszög magasságának meghatározása.

Mekkora a beírt és körülírt kör sugara egy derékszögű háromszögben?

Hasonló figurák tulajdonságai.

Hogyan mérik a központi szöget?

A kör akkordjainak tulajdonsága.

Egy derékszögű háromszög körülírt körének középpontja.

Egy 30 fokos hegyesszögű derékszögű háromszög tulajdonsága.

Határozza meg a merőleges felezőt.

2. lehetőség

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei.

Háromszög mediánjának meghatározása.

Pitagorasz tétel.

Mennyi a paralelogramma átlóinak négyzetösszege?

A szabályos háromszög területének képlete.

A trapéz területe.

A beírt szögek tulajdonsága.

Egy körülírt négyszög tulajdonsága.

Ívhossz.

Szinusz, koszinusz, 30 fokos szög érintője.

3. lehetőség

Tétel a háromszög szögeinek összegéről.

A háromszög mediánjainak tulajdonságai.

Háromszög felezőjének meghatározása.

A koszinusz tétel.

A háromszög felezőjének képlete.

Egy paralelogramma területe (3).

Miért szöge egyenlő a körön kívül metsző két szekáns között.

Egy beírt négyszög tulajdonsága.

Körméret.

Az akkordok alapvető tulajdonságai.

4. lehetőség

Egyenlőszárú háromszög tulajdonságai.

A merőleges felezők tulajdonsága.

A háromszög mediánjainak képlete.

Szinusztétel.

Milyen elemek vannak benne egyenlő oldalú háromszög(magasság, sugarak, terület)?

Egyenlőszárú trapéz tulajdonságai.

Az ugyanabból a pontból kiinduló érintő és metsző egyenesek tulajdonsága.

Mekkora a szög a metsző akkordok között?

Szinusz, koszinusz, 60 fokos szög érintője.

Hol van a beírt kör középpontja egy háromszögben?

5. lehetőség

Háromszög egyenlőtlenség.

Tétel a háromszög magasságairól.

Hasonló háromszögek területei.

A háromszög területeinek képletei (6).

A paralelogramma jelei.

Tétel a trapéz középvonaláról.

Gém-képlet egy négyszögre.

Mekkora szöget zár be az érintő és az érintési pontból húzott húr?

Ágazati terület.

Szinusz, koszinusz, 45 fokos szög érintője.

6. lehetőség

Háromszög középvonalának meghatározása.

Háromszögfelező tétel.

A háromszögek hasonlóságának jelei.

A koszinusz tétel.

Heron képlete.

A paralelogramma tulajdonságai.

Rombusz területe.

A beírt és körülírt kör középpontja egy háromszögben.

Határozza meg a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens hegyesszög derékszögű háromszög



Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete