Hány gyöke van egy trigonometrikus egyenletnek? Hogyan néznek ki az elemi trigonometrikus egyenletek? Óra és előadás a témában: "Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása"

Trigonometrikus egyenletek. A matematika vizsga részeként az első részben egy egyenlet megoldásához kapcsolódó feladat - ez egyszerű egyenletek, melyek percek alatt megoldódnak, szóban is sok fajta megoldható. Tartalmazza: lineáris, másodfokú, racionális, irracionális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a trigonometrikus egyenleteket. Megoldásuk mind a számítások mennyiségében, mind összetettségében eltér az ebben a részben szereplő többi feladattól. Ne ijedjen meg, a „nehézség” szó a többi feladathoz képest relatív nehézségükre utal.

Amellett, hogy megtaláljuk az egyenlet gyökereit, meg kell határozni a legnagyobb negatívot vagy a legkisebbet pozitív gyökér. Annak a valószínűsége, hogy a vizsgán trigonometrikus egyenletet kap, természetesen kicsi.

Az egységes államvizsga ezen részében kevesebb mint 7%-uk van. De ez nem jelenti azt, hogy figyelmen kívül kell hagyni őket. A C részben egy trigonometrikus egyenletet is meg kell oldania, így a megoldási technika és az elmélet megértése egyszerűen szükséges.

A matematika trigonometriai szakaszának megértése nagymértékben meghatározza számos probléma megoldásában elért sikerét. Emlékeztetlek arra, hogy a válasz egész vagy véges szám decimális. Miután megkapta az egyenlet gyökereit, BIZTOSAN ellenőrizze. Nem fog sok időt igénybe venni, és megóvja Önt a hibáktól.

A jövőben más egyenleteket is megvizsgálunk, ne hagyd ki! Emlékezzünk vissza a trigonometrikus egyenletek gyökereinek képleteire, ismernie kell őket:

Ezeknek az értékeknek az ismerete szükséges, ez az „ABC”, amely nélkül sok feladattal nem lehet megbirkózni. Remek, ha jó a memóriád, könnyen megtanultad és megjegyezted ezeket az értékeket. Mi a teendő, ha ezt nem tudja megtenni, zűrzavar van a fejében, de csak összezavarodott a vizsgán. Kár lenne pontot veszíteni, mert rossz értéket írtál le a számításaidban.

Ezek az értékek egyszerűek, a hírlevélre való feliratkozás utáni második levélben kapott elméletben is szerepel. Ha még nem iratkoztál fel, tedd meg! A jövőben azt is megvizsgáljuk, hogy ezek az értékek hogyan határozhatók meg trigonometrikus kör. Nem véletlenül hívják „a trigonometria aranyszívének”.

Hadd magyarázzam el azonnal a félreértések elkerülése végett, hogy az alábbiakban tárgyalt egyenletekben az arcszinusz, arkoszinusz, arktangens definíciói adottak a szög használatával. x a megfelelő egyenletekhez: cosx=a, sinx=a, tgx=a, ahol x kifejezés is lehet. Az alábbi példákban argumentumunkat pontosan egy kifejezés határozza meg.

Tehát nézzük a következő feladatokat:

Keresse meg az egyenlet gyökerét:

Írd le válaszodban a legnagyobb negatív gyökeret!

A cos x = a egyenlet megoldása két gyök:

Definíció: Az a szám modulusban ne haladja meg az egyet. Egy szám ív koszinusza a 0 és Pi közötti tartományban lévő x szög, amelynek koszinusza egyenlő a-val.

Eszközök

Kifejezzük x:

Keressük meg a legnagyobb negatív gyökeret. Hogyan kell csinálni? Cseréljük különböző jelentések n a kapott gyökökbe, számolja ki és válassza ki a legnagyobb negatívot.

Kiszámoljuk:

n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

Ha n = 0 x 1 = 3,0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3,0 – 5,5 = – 5,5

Ha n = 1 x 1 = 3,1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3,1 – 5,5 = – 2,5

Ha n = 2 x 1 = 3,2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3,2 – 5,5 = 0,5

Azt találtuk, hogy a legnagyobb negatív gyök –1,5

Válasz: –1.5

Döntsd el magad:

Oldja meg az egyenletet:

A sin x = a egyenlet megoldása két gyök:

Bármelyik (a fentieket ötvözi):

Definíció: Az a szám modulusban ne haladja meg az egyet. Egy szám arcszinusza a – 90° és 90° közötti tartományban lévő x szög, amelynek szinusza egyenlő a-val.

Eszközök

Fejezzük ki x-et (az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 4-gyel, és elosztjuk Pi-vel):

Keressük meg a legkisebb pozitív gyökeret. Itt azonnal világos, hogy ha n negatív értékeit helyettesítjük, azt kapjuk negatív gyökerek. Ezért behelyettesítjük n = 0,1,2...

Ha n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Ha n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Ha n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Ellenőrizzük: n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Tehát a legkisebb pozitív gyök 4.

Válasz: 4

Döntsd el magad:

Oldja meg az egyenletet:

Írd válaszodba a legkisebb pozitív gyökeret!

Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.

Bármilyen bonyolultságú trigonometrikus egyenlet megoldása végső soron a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásához vezet. És ebben a trigonometrikus kör ismét a legjobb asszisztensnek bizonyul.

Idézzük fel a koszinusz és a szinusz definícióit.

A szög koszinusza az egységkör egy pontjának abszcisszája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely egy adott szögön át történő elforgatásnak felel meg.

A szög szinusza az egységkör egy pontjának ordinátája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely egy adott szögön keresztüli elforgatásnak felel meg.

A trigonometrikus kör pozitív mozgási iránya az óramutató járásával ellentétes. A 0 fokos (vagy 0 radiános) elforgatás egy (1;0) koordinátájú pontnak felel meg.

Ezeket a definíciókat egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldására használjuk.

1. Oldja meg az egyenletet!

Ezt az egyenletet kielégíti a forgásszög minden olyan értéke, amely megfelel a kör azon pontjainak, amelyek ordinátája egyenlő .

Jelöljünk egy pontot ordinátával az ordinátatengelyen:

Rajzoljon egy vízszintes vonalat párhuzamosan az x tengellyel, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk, amelyek a körön fekszenek, és van egy ordináta. Ezek a pontok az elforgatási szögeknek és radiánoknak felelnek meg:

Ha a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő pontot elhagyva egy teljes kört megkerülünk, akkor a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő és azonos ordinátájú ponthoz jutunk. Vagyis ez az elforgatási szög is kielégíti az egyenletünket. Annyi „üres” fordulatot tehetünk, amennyit csak akarunk, visszatérve ugyanabba a pontba, és ezek a szögértékek kielégítik az egyenletünket. Az „üresjárati” fordulatok számát a (vagy) betű jelöli. Mivel ezeket a forradalmakat mind pozitívan, mind pedig belül meg tudjuk csinálni negatív irány, (vagy ) tetszőleges egész értéket vehet fel.

Vagyis az eredeti egyenlet megoldásainak első sorozatának alakja:

, , - egész számok halmaza (1)

Hasonlóképpen, a megoldások második sorozatának formája a következő:

, Ahol , . (2)

Amint azt sejteni lehetett, ez a megoldássorozat a kör azon pontján alapul, amely megfelel az elforgatási szögnek.

Ez a két megoldássorozat egy bejegyzésben kombinálható:

Ha ebben a bejegyzésben veszünk (vagyis párost), akkor megkapjuk az első megoldássorozatot.

Ha ebben a bejegyzésben veszünk (vagyis páratlant), akkor a második megoldássort kapjuk.

2. Most oldjuk meg az egyenletet

Mivel ez az egységkör egy pontjának abszcissza, amelyet egy szögben elforgatva kapunk, a pontot az abszcisszával jelöljük a tengelyen:

Rajzolj egy függőleges vonalat párhuzamosan a tengellyel, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk a körön fekve és egy abszcisszával. Ezek a pontok az in és radián elforgatási szögeknek felelnek meg. Emlékezzünk vissza, hogy az óramutató járásával megegyező irányba mozgatva negatív elforgatási szöget kapunk:

Írjunk két megoldássorozatot:

,

,

(Beszállunk kívánt pont, áthaladva a fő teljes körből, azaz.

Foglaljuk össze ezt a két sorozatot egy bejegyzésben:

3. Oldja meg az egyenletet!

Az érintő egyenes átmegy az egységkör OY tengellyel párhuzamos koordinátáinak (1,0) pontján

Jelöljünk rajta egy pontot 1-gyel egyenlő ordinátával (azt keressük, amelyik szögeinek az érintője egyenlő 1-gyel):

Kössük össze ezt a pontot a koordináták origójával egy egyenessel, és jelöljük meg az egyenes metszéspontjait az egységkörrel. Az egyenes és a kör metszéspontjai megfelelnek a forgásszögeknek és:

Mivel az egyenletünket kielégítő elforgatási szögeknek megfelelő pontok radiánnyi távolságra helyezkednek el egymástól, a megoldást így írhatjuk fel:

4. Oldja meg az egyenletet!

A kotangensek vonala átmegy azon a ponton, ahol az egységkör koordinátái a tengellyel párhuzamosak.

Jelöljünk a kotangens egyenesen egy pontot -1 abszcisszával:

Kapcsoljuk össze ezt a pontot az egyenes origójával, és folytassuk addig, amíg nem metszi a kört. Ez az egyenes metszi a kört azokban a pontokban, amelyek megfelelnek az in és radián elfordulási szögeinek:

Mivel ezeket a pontokat egyenlő távolság választja el egymástól, akkor közös döntés Ezt az egyenletet így írhatjuk fel:

A megadott példákban a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását szemléltetve táblázatos értékeket használtunk trigonometrikus függvények.

Ha azonban az egyenlet jobb oldala nem táblázatos értéket tartalmaz, akkor az értéket behelyettesítjük az egyenlet általános megoldásába:

KÜLÖNLEGES MEGOLDÁSOK:

Jelöljük a kör azon pontjait, amelyek ordinátája 0:

Jelöljünk egy pontot a körön, amelynek ordinátája 1:

Jelöljünk a körön egyetlen pontot, amelynek ordinátája egyenlő -1-gyel:

Mivel a nullához legközelebbi értékeket szokás feltüntetni, a megoldást a következőképpen írjuk:

Jelöljük a kör azon pontjait, amelyek abszcissza 0:

5.
Jelöljünk a körön egyetlen pontot, amelynek abszcisszán 1:

Jelöljünk egy olyan pontot a körön, amelynek abszcissza értéke -1:

És kicsit bonyolultabb példák:

1.

Sinus egyenlő eggyel, ha az argumentum egyenlő

A szinuszunk argumentuma egyenlő, így kapjuk:

Osszuk el az egyenlőség mindkét oldalát 3-mal:

Válasz:

2.

Koszinusz egyenlő nullával, ha a koszinusz argumentum egyenlő

A koszinuszunk argumentuma egyenlő -val, így kapjuk:

Kifejezzük, ehhez először jobbra haladunk ellenkező előjellel:

Egyszerűsítsük a jobb oldalt:

Mindkét oldalt elosztjuk -2-vel:

Figyeljük meg, hogy a kifejezés előtti előjel nem változik, mivel k tetszőleges egész értéket vehet fel.

Válasz:

És végül nézze meg a „Gyökök kiválasztása trigonometrikus egyenletben trigonometrikus kör segítségével” című videóleckét.

Ezzel véget is ért az egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldásáról folytatott beszélgetésünk. Legközelebb arról beszélünk, hogyan döntsünk.

A trigonometrikus egyenletek nem könnyű téma. Túl sokfélék.) Például ezek:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = kiságy (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Stb...

De ezekben (és az összes többi) trigonometrikus szörnyben két közös dolog van: kötelező jellemzők. Először – el sem hiszed – trigonometrikus függvények vannak az egyenletekben.) Másodszor: minden x-szel rendelkező kifejezés megtalálható ugyanezen funkciókon belül.És csak ott! Ha X megjelenik valahol kívül, Például, sin2x + 3x = 3, ez már egyenlet lesz vegyes típusú. Az ilyen egyenletek megkövetelik egyéni megközelítés. Ezeket itt nem fogjuk figyelembe venni.

Ebben a leckében sem fogunk gonosz egyenleteket megoldani.) Itt azzal fogunk foglalkozni a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Miért? Igen, mert a megoldás Bármi A trigonometrikus egyenletek két szakaszból állnak. Az első szakaszban a gonosz egyenletet egyszerűvé redukálják különféle transzformációk révén. A másodiknál ​​ezt a legegyszerűbb egyenletet oldjuk meg. Nincs más mód.

Tehát, ha problémái vannak a második szakaszban, az első szakasznak nincs sok értelme.)

Hogyan néznek ki az elemi trigonometrikus egyenletek?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Itt A bármely számot jelöl. Bármi.

Egyébként egy függvényen belül lehet, hogy nem tiszta X, hanem valamilyen kifejezés, mint pl.

cos(3x+π /3) = 1/2

stb. Ez bonyolítja az életet, de nem befolyásolja a trigonometrikus egyenlet megoldásának módszerét.

Hogyan lehet trigonometrikus egyenleteket megoldani?

A trigonometrikus egyenletek kétféleképpen oldhatók meg. Első út: logika és trigonometrikus kör. Itt megnézzük ezt az utat. A második módszerről - a memória és a képletek használatával - a következő leckében lesz szó.

Az első út világos, megbízható és nehezen felejthető.) Jó trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek és mindenféle trükkös megoldásra. nem szabványos példák. Logikák erősebb az emlékezetnél!)

Egyenletek megoldása trigonometrikus kör segítségével.

Beleértjük az elemi logikát és a trigonometrikus kör használatának képességét. Nem tudod hogyan? Azonban... Nehéz dolgod lesz a trigonometriában...) De nem számít. Vessen egy pillantást a "Trigonometrikus kör...... Mi ez?" és "Szögek mérése trigonometrikus körön". Ott minden egyszerű. A tankönyvekkel ellentétben...)

Ó, tudod!? És még elsajátította a „Gyakorlati munkát a trigonometrikus körrel”!? Gratulálunk. Ez a téma közel áll és érthető lesz számodra.) Ami különösen kellemes, hogy a trigonometrikus körnek nem mindegy, milyen egyenletet oldasz meg. Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens – nála minden ugyanaz. Csak egy megoldási elv létezik.

Tehát bármilyen elemi trigonometrikus egyenletet felveszünk. Legalább ezt:

cosx = 0,5

Meg kell találnunk X-et. Ha beszélünk emberi nyelv, kell keressük meg azt a szöget (x), amelynek koszinusza 0,5.

Hogyan használtuk korábban a kört? Rajzoltunk rá egy szöget. Fokban vagy radiánban. És azonnal fűrész ennek a szögnek a trigonometrikus függvényei. Most tegyük az ellenkezőjét. Rajzoljunk egy koszinuszot a körre, amely egyenlő 0,5-tel, és azonnal meglátjuk sarok. Már csak a választ kell leírni.) Igen, igen!

Rajzolj egy kört, és jelöld meg a koszinusz 0,5-tel. Természetesen a koszinusz tengelyen. Mint ez:

Most rajzoljuk meg azt a szöget, amelyet ez a koszinusz ad nekünk. Vigye az egeret a kép fölé (vagy érintse meg a képet táblagépén), és látni fogod pont ezt a sarkot X.

Melyik szög koszinusza 0,5?

x = π /3

kötözősaláta 60°= cos( π /3) = 0,5

Vannak, akik szkeptikusan röhögnek, igen... Például érdemes volt egy kört tenni, amikor már minden világos... Lehet persze röhögni...) De tény, hogy ez egy hibás válasz. Vagy inkább elégtelen. A kör ínyencei megértik, hogy van itt egy csomó más szög is, amelyek szintén 0,5-ös koszinuszot adnak.

Ha elfordítja a mozgó oldalt OA teljes fordulat, az A pont visszatér eredeti helyzetébe. Ugyanaz a koszinusz 0,5. Azok. a szög megváltozik 360°-kal vagy 2π radiánnal, és koszinusz - nem. Új szög 60° + 360° = 420° is megoldás lesz az egyenletünkre, mert

Ilyen teljes forradalmak végtelen számot tekerhetsz fel... És ezek az új szögek a trigonometrikus egyenletünk megoldásai lesznek. És mindegyiket le kell írni valahogy válaszként. Minden. Egyébként a döntés nem számít, igen...)

A matematika ezt egyszerűen és elegánsan meg tudja csinálni. Írd le egy rövid válaszban végtelen halmaz döntéseket. Így néz ki az egyenletünkhöz:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

megfejtem. Még írj értelmesen Kellemesebb, mint bután rejtélyes betűket rajzolni, igaz?)

π /3 - ez ugyanaz a sarok, mint mi fűrész a körön és eltökélt a koszinusz táblázat szerint.

2π egy teljes forradalom radiánban.

n - ennyi a teljesek száma, i.e. egész fordulat Egyértelmű, hogy n egyenlő lehet 0, ±1, ±2, ±3.... és így tovább. Ahogy mondták rövid megjegyzés:

n ∈ Z

n tartozik ( ∈ ) egész számok halmaza ( Z ). Egyébként a levél helyett n betűk jól használhatók k, m, t stb.

Ez a jelölés azt jelenti, hogy bármilyen egész számot vehet n . Legalább -3, legalább 0, legalább +55. Amit csak akarsz. Ha ezt a számot behelyettesíti a válaszba, akkor egy meghatározott szöget kap, amely minden bizonnyal megoldása lesz a kemény egyenletünkre.)

Vagy más szóval, x = π /3 az egyetlen gyökere végtelen szám. Az összes többi gyökér megszerzéséhez elegendő tetszőleges számú teljes fordulatot hozzáadni π /3-hoz ( n ) radiánban. Azok. 2πn radián.

Minden? Nem. Szándékosan meghosszabbítom az élvezetet. Hogy jobban emlékezzünk.) Az egyenletünkre adott válaszoknak csak egy részét kaptuk meg. A megoldás első részét így írom le:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nem csak egy gyökér, hanem egy egész sor gyökér, rövid formában leírva.

De vannak olyan szögek is, amelyek szintén 0,5-ös koszinust adnak!

Térjünk vissza a képünkhöz, amelyről felírtuk a választ. Itt is van:

Vigye az egeret a kép fölé, és látjuk egy másik szög az 0,5 koszinuszát is ad. Szerinted mivel egyenlő? A háromszögek ugyanazok... Igen! Ő szöggel egyenlő x , csak negatív irányban késik. Ez itt a sarok -X. De már kiszámoltuk x-et. π /3 vagy 60°. Ezért nyugodtan írhatjuk:

x 2 = - π /3

Nos, természetesen hozzáadjuk a teljes fordulatszámon elért összes szöget:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Most ennyi.) A trigonometrikus körön mi fűrész(aki érti, persze)) Minden szögek, amelyek 0,5 koszinuszot adnak. És röviden leírta ezeket a szögeket matematikai forma. A válasz két végtelen gyökérsorozatot eredményezett:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ez a helyes válasz.

Remény, trigonometrikus egyenletek megoldásának általános elve kör használata egyértelmű. Jelöljük a körön a koszinuszát (szinusz, érintő, kotangens). mögött adott egyenlet, rajzolja meg a megfelelő szögeket, és írja le a választ. Természetesen rá kell jönnünk, milyen sarkok vagyunk fűrész a körön. Néha ez nem olyan nyilvánvaló. Nos, mondtam, hogy itt logika kell.)

Nézzünk például egy másik trigonometrikus egyenletet:

Felhívjuk figyelmét, hogy a 0,5 nem az egyetlen szám lehetséges szám egyenletekben!) Egyszerűen kényelmesebb leírnom, mint a gyököket és a törteket.

Az általános elv szerint dolgozunk. Rajzolunk egy kört, jelöljük meg (természetesen a szinuszos tengelyen!) 0,5. Az ennek a szinusznak megfelelő összes szöget egyszerre rajzoljuk meg. Ezt a képet kapjuk:

Először foglalkozzunk a szöggel x az első negyedévben. Felidézzük a szinusztáblázatot, és meghatározzuk ennek a szögnek az értékét. Ez egy egyszerű dolog:

x = π /6

Emlékszünk a teljes forradalmakra és azzal tiszta lelkiismeret, leírjuk a válaszok első sorozatát:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

A munka fele kész. De most meg kell határoznunk második sarok... Bonyolultabb, mint koszinuszokat használni, igen... De a logika megment minket! Hogyan határozzuk meg a második szöget x-en keresztül? Igen Könnyű! A képen látható háromszögek ugyanazok, és a piros sarok x szöggel egyenlő x . Csak azt számoljuk a π szögből negatív irányba. Ezért piros.) A válaszhoz pedig szükségünk van egy helyesen mért szögre a pozitív féltengely OX-ból, azaz. 0 fokos szögből.

Vigyük a kurzort a rajz fölé, és mindent látunk. Az első sarkot eltávolítottam, hogy ne bonyolítsam a képet. A minket érdeklő szög (zöld színnel rajzolva) egyenlő lesz:

π - x

X ezt tudjuk π /6 . Ezért a második szög a következő lesz:

π - π /6 = 5π /6

Ismét emlékezünk a teljes fordulatok hozzáadására, és írjuk le a válaszok második sorozatát:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ez minden. A teljes válasz két gyökérsorozatból áll:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Az érintő- és kotangens egyenletek könnyen megoldhatók a trigonometrikus egyenletek megoldásának ugyanazon általános elvével. Ha persze tudja, hogyan rajzoljon érintőt és kotangenst egy trigonometrikus körre.

A fenti példákban a szinusz és a koszinusz táblázatértékét használtam: 0,5. Azok. azon jelentések egyike, amelyeket a tanuló ismer kell. Most bővítsük ki képességeinket minden más érték. Dönts, hát dönts!)

Tehát tegyük fel, hogy meg kell oldanunk ezt a trigonometrikus egyenletet:

Ilyen koszinusz érték ben rövid táblázatok Nem. Ezt a szörnyű tényt hidegen figyelmen kívül hagyjuk. Rajzolj egy kört, jelöld be a 2/3-ot a koszinusz tengelyen és rajzold meg a megfelelő szögeket. Ezt a képet kapjuk.

Nézzük először a szöget az első negyedévben. Bárcsak tudnám, miért egyenlő x-szel, rögtön le is írták volna a választ! Nem tudjuk... Kudarc!? Nyugodt! A matematika nem hagyja bajban a saját népét! Erre az esetre ív koszinuszokat talált ki. Nem tudom? Hiába. Tudja meg, ez sokkal könnyebb, mint gondolná. Ezen a linken egyetlen trükkös varázslat sincs az „inverz trigonometrikus függvényekről”... Ez ebben a témában felesleges.

Ha tisztában vagy vele, csak mondd magadnak: „X olyan szög, amelynek koszinusza 2/3.” És azonnal, pusztán az arc koszinusz definíciója alapján írhatjuk:

Emlékezzünk a további fordulatokra, és nyugodtan írjuk le trigonometrikus egyenletünk gyökeinek első sorozatát:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A második szög gyökeinek második sorozata szinte automatikusan le van írva. Minden a régi, csak az X (arccos 2/3) lesz mínuszos:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

És ez az! Ez a helyes válasz. Még egyszerűbb, mint a táblázatos értékekkel. Nem kell semmire sem emlékezni.) Egyébként a legfigyelmesebbek észreveszik, hogy ezen a képen az ív koszinuszon keresztül látható a megoldás lényegében nem különbözik a képen láthatótól cosx egyenletek = 0,5.

Pontosan! Általános elv Ezért általános! Szándékosan rajzoltam két majdnem egyforma képet. A kör a szöget mutatja x koszinuszával. Hogy ez egy táblázatos koszinusz-e vagy sem, mindenki számára ismeretlen. Hogy ez milyen szög, π /3, vagy mekkora az ív koszinusz - ezt mi döntjük el.

Ugyanaz a dal a szinuszossal. Például:

Rajzolj újra egy kört, jelöld meg a szinust 1/3-dal, rajzold meg a szögeket. Ezt a képet kapjuk:

És megint csaknem ugyanaz a kép, mint az egyenletnél sinx = 0,5. Ismét a sarokból indulunk az első negyedben. Mire egyenlő X, ha a szinusza 1/3? Nincs mit!

Most elkészült az első csomag gyökér:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Foglalkozzunk a második szöggel. A 0,5-ös táblázatértékkel rendelkező példában ez egyenlő volt:

π - x

Itt is pontosan így lesz! Csak x különbözik, arcsin 1/3. És akkor mi van!? Nyugodtan leírhatja a második gyökércsomagot:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ez egy teljesen helyes válasz. Bár nem tűnik túl ismerősnek. De remélem egyértelmű.)

Így oldják meg a trigonometrikus egyenleteket kör segítségével. Ez az út világos és érthető. Ő az, aki elment trigonometrikus egyenletekben a gyökök kiválasztásával egy adott intervallumon, in trigonometrikus egyenlőtlenségek- ezeket általában szinte mindig körben oldják meg. Röviden, minden olyan feladatban, amely egy kicsit nehezebb, mint a szokásos.

Alkalmazzuk a tudást a gyakorlatban?)

Oldja meg a trigonometrikus egyenleteket:

Először is egyszerűbb, egyenesen ebből a leckéből.

Most már bonyolultabb a helyzet.

Tipp: itt a körre kell gondolnia. Személyesen.)

És most már külsőleg egyszerűek... Különleges eseteknek is nevezik őket.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tipp: itt egy körben kell kitalálni, hogy hol van két válaszsorozat és hol egy... És hogyan írjunk egyet két válaszsorozat helyett. Igen, hogy egy gyökér se legyen belőle végtelen szám nem veszett el!)

Nos, nagyon egyszerű):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tipp: itt tudnod kell, mi az az arcszinusz és az arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens? A legtöbb egyszerű meghatározások. De ne feledd, nem táblázat értékeit Nincs szükség!)

A válaszok Természetesen káosz):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nem minden sikerül? Megtörténik. Olvasd el újra a leckét. Csak elgondolkodva(van ilyen elavult szó...) És kövesse a linkeket. A fő linkek a körről szólnak. Enélkül a trigonometria olyan, mintha bekötött szemmel kelnénk át az úton. Néha működik.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Sikeres megoldáshoz trigonometrikus egyenletek kényelmesen használható redukciós módszer korábban megoldott problémákra. Nézzük meg, mi ennek a módszernek a lényege?

Bármely javasolt feladatnál látnia kell egy korábban megoldott problémát, majd a következőt kell használnia ekvivalens transzformációk próbáld egyszerűbbre redukálni a rád bízott feladatot.

Így a trigonometrikus egyenletek megoldása során általában alkotnak néhányat véges sorozat ekvivalens egyenletek, amelyek utolsó láncszeme egy nyilvánvaló megoldású egyenlet. Csak azt fontos megjegyezni, hogy ha a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásához szükséges készségek nem alakulnak ki, akkor a megoldás több összetett egyenletek nehéz és hatástalan lesz.

Ezenkívül a trigonometrikus egyenletek megoldása során soha nem szabad megfeledkezni arról, hogy többféle megoldási mód létezik.

1. példa Határozza meg a cos x = -1/2 egyenlet gyökeinek számát az intervallumon.

Megoldás:

I. módszerÁbrázoljuk az y = cos x és y = -1/2 függvényeket, és keressük meg közös pontjaik számát az intervallumon (1. ábra).

Mivel a függvénygráfoknak kettő van közös pontok intervallumon, akkor az egyenlet két gyöket tartalmaz ezen az intervallumon.

Módszer II. Egy trigonometrikus kör segítségével (2. ábra) megtudjuk a pontok számát intervallumhoz tartozó, amelyben cos x = -1/2. Az ábrán látható, hogy az egyenletnek két gyöke van.

III módszer. A trigonometrikus egyenlet gyökeinek képletével oldjuk meg a cos x = -1/2 egyenletet.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – egész szám (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – egész szám (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – egész szám (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – egész szám (k € Z).

Az intervallum a 2π/3 és -2π/3 + 2π gyököket tartalmazza, k egész szám. Így az egyenletnek két gyöke van egy adott intervallumon.

Válasz: 2.

A jövőben a trigonometrikus egyenleteket a javasolt módszerek valamelyikével oldják meg, ami sok esetben nem zárja ki más módszerek alkalmazását sem.

2. példa Határozza meg a tg (x + π/4) = 1 egyenlet megoldásainak számát a [-2π; 2π].

Megoldás:

A trigonometrikus egyenlet gyökeinek képletével a következőt kapjuk:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – egész szám (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – egész szám (k € Z);

x = πk, k – egész szám (k € Z);

A [-2π; 2π] a -2π számokhoz tartoznak; -π; 0; π; 2π. Tehát az egyenletnek öt gyöke van egy adott intervallumon.

Válasz: 5.

3. példa Határozza meg a cos 2 x + sin x · cos x = 1 egyenlet gyökeinek számát a [-π; π].

Megoldás:

Mivel 1 = sin 2 x + cos 2 x (alap trigonometrikus azonosság), akkor az eredeti egyenlet a következő alakot veszi fel:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. A szorzat egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy legalább az egyik tényezőnek nullának kell lennie, ezért:

sin x = 0 vagy sin x – cos x = 0.

Mivel annak a változónak az értékei, amelynél cos x = 0 nem a második egyenlet gyökei (azonos szám szinusza és koszinusza nem lehet egyenlő egyszerre nullával), a második egyenlet mindkét oldalát elosztjuk. cos x által:

sin x = 0 vagy sin x / cos x - 1 = 0.

A második egyenletben azt a tényt használjuk, hogy tg x = sin x / cos x, akkor:

sin x = 0 vagy tan x = 1. Képletekkel a következőket kapjuk:

x = πk vagy x = π/4 + πk, k – egész szám (k € Z).

Az első gyöksorozattól a [-π; π] a -π számokhoz tartoznak; 0; π. A második sorozatból: (π/4 – π) és π/4.

Így az eredeti egyenlet öt gyöke a [-π; π].

Válasz: 5.

4. példa Határozza meg a tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 egyenlet gyökeinek összegét a [-π; 1,1π].

Megoldás:

Írjuk át az egyenletet a következőképpen:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0, és végezzen cserét.

Legyen tg x + сtgx = a. Tegyük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. Bővítsük ki a zárójeleket:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Mivel tg x · сtgx = 1, akkor tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, ami azt jelenti,

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Most az eredeti egyenlet így néz ki:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta tételét felhasználva azt találjuk, hogy a = -1 vagy a = -2.

Végezzük el a fordított helyettesítést, így van:

tg x + сtgx = -1 vagy tg x + сtgx = -2. Oldjuk meg a kapott egyenleteket.

tg x + 1/tgx = -1 vagy tg x + 1/tgx = -2.

Két kölcsönösen inverz szám tulajdonságával meghatározzuk, hogy az első egyenletnek nincs gyöke, a második egyenletből pedig:

tg x = -1, azaz. x = -π/4 + πk, k – egész szám (k € Z).

A [-π; 1,1π] a gyökökhöz tartozik: -π/4; -π/4 + π. Az összegük:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Válasz: π/2.

5. példa Keresse meg az átlagot számtani gyökök sin 3x + sin x = sin 2x egyenletek a [-π intervallumon; 0,5π].

Megoldás:

Használjuk ki képlet bűnα + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), akkor

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x és az egyenlet

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Vegyük ki közös szorzó sin 2x ki a zárójelből

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Oldja meg a kapott egyenletet:

sin 2x = 0 vagy 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 vagy cos x = 1/2;

2x = πk vagy x = ±π/3 + 2πk, k – egész szám (k € Z).

Tehát gyökereink vannak

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – egész szám (k € Z).

A [-π; 0,5π] a -π gyökökhöz tartozik; -π/2; 0; π/2 (az első gyöksorozatból); π/3 (a második sorozatból); -π/3 (a harmadik sorozatból). Számtani átlaguk:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Válasz: -π/6.

6. példa Határozza meg a sin x + cos x = 0 egyenlet gyökeinek számát a [-1,25π; 2π].

Megoldás:

Ez az egyenlet homogén egyenlet első fokozat. Osszuk el mindkét részét cosx-szel (annak a változónak az értékei, amelynél cos x = 0, nem ennek az egyenletnek a gyökei, mivel ugyanannak a számnak a szinusza és koszinusza nem lehet egyenlő nullával egyszerre). Eredeti egyenlet a következő formában van:

x = -π/4 + πk, k – egész szám (k € Z).

Az intervallum [-1,25π; 2π] a -π/4 gyökökhöz tartoznak; (-π/4 + π); és (-π/4 + 2π).

És így, adott intervallum az egyenlet három gyökéhez tartoznak.

Válasz: 3.

Tanulja meg megtenni a legfontosabb dolgot - világosan képzeljen el egy tervet egy probléma megoldására, és akkor bármilyen trigonometrikus egyenlet kéznél lesz.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete