Lineáris függőségÉs lineáris függetlenség vektorok.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

A nézőtéren egy kocsi csokoládéval, és ma minden látogató kap egy édes párost - elemző geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk egyszerre két részre terjed ki. felsőbb matematika, és meglátjuk, hogyan boldogulnak egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél egy Twixet! ...a fenébe is, micsoda hülyeség. Bár, oké, nem pontozok, végül is pozitívan kell hozzáállni a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, lineáris vektorfüggetlenség, vektorok alapjaés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a „vektor” fogalma a nézőpontból lineáris algebra- ez nem mindig a „hétköznapi” vektor, amit síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem Gismeteóba: – hőmérséklet ill légköri nyomás illetőleg. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az megérteni definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra érvényesek, de geometriai példákat is adunk. Így minden egyszerű, hozzáférhető és világos. A feladatokon túl analitikus geometria megnézünk néhányat tipikus feladatok algebra Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegye figyelembe a saját síkját számítógépes asztal(csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak megvan a hossza és a szélessége, így intuitív módon két vektorra lesz szükség az alap létrehozásához. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A kiválasztott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes objektumához.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el mutatóujj bal kéz az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely kisujj jobb kéz az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit mondhatunk a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineáris egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol valami nullától eltérő szám.

Erről a műveletről láthat egy képet az órán. Vektorok bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjaid alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilván nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak kizárólag irány, és egy síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A „lineáris”, „lineárisan” szavak azt a tényt jelzik, hogy in matematikai egyenletek, a kifejezések nem tartalmaznak négyzeteket, kockákat, egyéb hatványokat, logaritmusokat, szinuszokat stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy 0 vagy 180 foktól eltérő szög legyen közöttük. Két sík vektorlineáris Nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát megvan az alap. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „elferdült” különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármilyen sík vektor az egyetlen mód alapja szerint bővül:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták V ezen az alapon.

Azt is mondják vektorként mutatják be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapján vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például elmondhatjuk, hogy a vektort a sík ortonormális bázisa mentén bontjuk fel, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

Fogalmazzuk meg alap meghatározása formálisan: A sík alapja lineárisan független (nem kollineáris) vektorpárnak nevezzük, , míg bármilyen a síkvektor bázisvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényeges pontja az a tény, hogy a vektorokat felvesszük V egy bizonyos sorrendben . Alapok – ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kezed kisujját nem tudod kicserélni a jobb kezed kisujja helyett.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani egy koordináta rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat az asztal azon kis piszkos pontjaihoz, amelyek egy vad hétvége után megmaradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen tereptárgy mindenki számára ismerős pont - a koordináták eredete. Értsük meg a koordinátarendszert:

Kezdem az „iskolai” rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok bábokhoz Rávilágítottam néhány különbségre a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Íme a standard kép:

Amikor arról beszélnek derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban a koordináták origóját jelentik, koordináta tengelyekés skálázzuk a tengelyek mentén. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt úgy tűnik téglalap alakú rendszer A koordináták teljesen meghatározhatók ortonormális alapon. És ez majdnem igaz. A megfogalmazás hangzik alábbiak szerint:

származás, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű derékszögű sík koordinátarendszer . Vagyis a derékszögű koordináta-rendszer határozottan egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fentebb megadtam - a geometriai feladatokban gyakran (de nem mindig) mind a vektorokat, mind a koordinátatengelyeket megrajzolják.

Szerintem mindenki érti, hogy pont (eredet) és ortonormális alapot használunk BÁRMILYEN PONT a gépen és BÁRMILYEN VEKTOR a gépen koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: „a repülőn minden megszámlálható”.

A koordinátavektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és két tetszőleges nullától eltérő hosszúságú merőleges vektort:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A vektoros koordináták origóját egy koordináta-rács határozza meg, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak adott alapon megvannak a koordinátái. Például, ill. A nyilvánvaló kellemetlenség az, hogy a koordinátavektorok V általános eset van különféle hosszúságok, különbözik az egységtől. Ha a hosszúságok egyenlőek egységgel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! Jegyzet : ortogonális alapon, és alatta is affin bázisok a tengelyek menti sík- és téregységeket veszik figyelembe FELTÉTELES. Például egy egység az x tengely mentén 4 cm-t, egy az ordináta tengely mentén 2 cm-t tartalmaz. Ez az információ elegendő ahhoz, hogy szükség esetén a „nem szabványos” koordinátákat „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

A második kérdés, amelyre tulajdonképpen már válaszoltunk, az, hogy az alapvektorok közötti szögnek 90 fokkal kell-e egyenlőnek lennie? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún származás, És nem kollineáris vektorok, , készlet affin sík koordinátarendszer :

Néha egy ilyen koordináta-rendszert hívnak ferde rendszer. Példaként a rajz pontokat és vektorokat mutat be:

Mint érti, az affin koordinátarendszer még kevésbé kényelmes a vektorok és szegmensek hosszára vonatkozó képletek, amelyeket a lecke második részében tárgyaltunk, nem működnek benne; Vektorok bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való elosztására vonatkozó képletek, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

A következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb speciális esete a derékszögű téglalaprendszer. Ezért kell leggyakrabban látnod őt, kedvesem. ...Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor egy ferde szög (vagy valami más pl. poláris) koordinátarendszer. És a humanoidoknak tetszhetnek az ilyen rendszerek =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Minden feladat ezt a leckétérvényes mind a téglalap alakú koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag hozzáférhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti részletezése.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézzük meg, hogy létezik-e vektorokra arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Határozottan mesélek a „foppish” típusú alkalmazásról ennek a szabálynak, ami a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal alakítsuk ki az arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

A vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból készítsünk arányt:

Rövidítsük le:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat fordítva is elkészíthető, ez egy megfelelő lehetőség:

Önellenőrzéshez használhatja azt a tényt, hogy kollineáris vektorok lineárisan fejezik ki egymást. IN ebben az esetben egyenlőségek vannak . Érvényességük egyszerűen ellenőrizhető vektoros elemi műveletekkel:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). A vektorokat kollinearitás szempontjából vizsgáljuk . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Következtetés: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Készítsünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Ezt a lehetőséget általában nem utasítják el a véleményezők, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. így: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet itt az arányokat átdolgozni? (valóban, nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Kicsi kreatív példa Mert önálló döntés:

2. példa

A paraméter melyik értékénél vannak a vektorok kollineárisak lesznek?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitásának ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és adjuk hozzá ötödik pontként:

Két vektor esetén a síkok ekvivalensek a következő kijelentéseket :

2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függenek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok egymáson keresztül lineárisan kifejezhetők;
+ 5) egy determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, egyenlő nullával .

Ezt nagyon-nagyon remélem pillanatnyilag már érti az összes kifejezést és kijelentést, amellyel találkozik.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Döntsünk 1. példa a második módon:

a) Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból álló determinánst! :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst :
, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint egy arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak a vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem a szakaszok és egyenesek párhuzamossága is igazolható. Nézzünk meg néhány problémát konkrét geometriai alakzatokkal.

3. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot készíteni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzünk a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Olyan négyszöget nevezünk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és.

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor ("iskolai stílus" - egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb, ha a döntést egyértelműen, elrendezéssel formalizáljuk. Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak, és .

Következtetés: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég egyszerűen emlékezni arra, hogyan néz ki.

Ezt a feladatot egyedül kell megoldania. Komplett megoldás az óra végén.

És most itt az ideje, hogy lassan mozogjunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

A) ;
b)
V)

Megoldás:
a) Ellenőrizzük, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáira:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az „egyszerűsített” az arány ellenőrzésével formalizálódik. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térbeli vektorok kollinearitásának ellenőrzésére egy harmadrendű determináns segítségével, ezt a módszert foglalkozik a cikkben Vektor vektor szorzata.

A sík esethez hasonlóan a vizsgált eszközökkel térbeli szakaszok és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Vektorok lineáris függése és függetlensége háromdimenziós térben.
Téralap és affin koordinátarendszer

A síkon vizsgált minták közül sok az űrre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elméleti jegyzeteket, hiszen az információk oroszlánrészét már megrágták. Azt javaslom azonban, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések, fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett a háromdimenziós teret vizsgáljuk. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem kerülhetjük el a három dimenziót: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért egy alap létrehozásához háromra van szükség térbeli vektorok. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjainkon melegedünk. Kérem, emelje fel a kezét és tárja ki különböző oldalak hüvelykujj, index és középső ujj . Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, megvannak különböző hosszúságúés van különböző szögekből egymás között. Gratulálunk, a háromdimenziós tér alapja készen áll! Egyébként ezt nem kell a tanároknak demonstrálni, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nem lehet megkerülni =)

Ezután tegyünk fel magunknak egy fontos kérdést: alkot-e bármely három vektor bázist háromdimenziós tér ? Nyomja meg erősen három ujját a számítógépasztal tetejére. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik dimenziót - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Meg kell jegyezni, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük párhuzamos síkok(csak ne az ujjaiddal csináld, csak Salvador Dali húzott le így =)).

Meghatározás: vektorokat hívják egysíkú, ha van olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el újra, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, és a tér bármely vektora az egyetlen mód egy adott bázisra van felbontva, hol vannak a vektor koordinátái ebben a bázisban

Hadd emlékeztesselek arra, hogy azt is mondhatjuk, hogy a vektor az alakban van ábrázolva lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint az egypontos és bármely három lineáris esetet független vektorok:

származás, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Biztosan, koordináta rács„ferde” és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordinátarendszer lehetővé teszi határozottan meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni a tér affin koordinátarendszerében.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy mindenki sejti, az derékszögű tér koordinátarendszer:

Egy pont a térben ún származás, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű derékszögű tér koordinátarendszer . Ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismételten rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Szerintem az ellenkező állítások érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan determináns segítségével ellenőrzik (5. pont). Többi gyakorlati feladatokat kifejezett algebrai karaktere lesz. Ideje letenni a geometria botot, és hadonászni a lineáris algebra baseballütőjével:

Három térvektor akkor és csak akkor koplanárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra szeretném felhívni a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok számítási módszereit, vagy esetleg egyáltalán nem ismerik azokat, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e a háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában a teljes megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst (a determináns az első sorban látható):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és a háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok alapot képeznek

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében meg kell oldani egy egyenletet egy determinánssal. Lecsapunk a nullákra, mint a sárkányok a jerboákra – a legjobb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket végzünk, és a dolgot a legegyszerűbbre redukáljuk lineáris egyenlet:

Válasz: at

Ezt itt könnyű ellenőrizni, ha a kapott értéket be kell cserélni az eredeti determinánsba, és meg kell győződnie arról , nyissa ki újra.

Végezetül nézzünk még egyet tipikus feladat, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy megérdemel egy saját témát:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja a háromdimenziós tér alapját
és ebben az alapban keressük meg a 4. vektor koordinátáit

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok bázist képeznek a háromdimenziós térben, és keressük meg a vektor koordinátáit ebben a bázisban.

Megoldás: Először is foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és mint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Hogy mi ez az alap, az minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első szakasz teljesen egybeesik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és a háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták Szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncokban. Ellenkező esetben zavar lép fel a további megoldási algoritmusban.

Egy háromszög mediánja- ez egy szakasz, amely összeköti egy háromszög csúcsát ennek a háromszögnek a szemközti oldalának közepével.

A háromszög mediánok tulajdonságai

1. A medián egy háromszöget két egyenlő területű háromszögre oszt.

2. A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami a csúcstól számítva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Ezt a pontot nevezzük a háromszög súlypontjának (centroid).

3. A teljes háromszöget a mediánjai hat egyenlő háromszögre osztják.

Az oldalra húzott medián hossza: ( bizonyítás úgy, hogy paralelogrammára építünk, és az oldalak négyzetösszegének és az átlók négyzetösszegének kétszeresének megfelelő paralelogrammában lévő egyenlőséget használjuk )

T1. A háromszög három mediánja egy M pontban metszi egymást, amely a háromszög csúcsaiból számolva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Adott: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - mediánok
∆ABC. Bizonyítsuk be: és

D-vo: Legyen M az ABC háromszög CC 1, AA 1 mediánjainak metszéspontja. Jelöljük meg az A 2 -t - az AM szakasz közepét és C 2 -t - a CM szegmens közepét. Aztán A 2 C 2 - középvonal háromszög AMS. Eszközök, A 2 C 2|| AC

és A2C2=0,5*AC. VEL 1 A 1 - az ABC háromszög középvonala. Tehát A 1 VEL 1 || AC és A 1 VEL 1 = 0,5*AC.

Négyszög A 2 C 1 A 1 C 2- paralelogramma, mivel szemközti oldalai A 1 VEL 1 És A 2 C 2 egyenlő és párhuzamos. Ezért, A 2 M = MA 1 És C 2 M = MC 1 . Ez azt jelenti, hogy a pontokat A 2És M osztjuk a mediánt AA 2 három egyenlő részre, azaz AM = 2MA 2. Ugyanaz, mint a CM = 2MC 1 . Tehát két medián metszéspontjának M pontja AA 2És CC 2 Az ABC háromszög mindegyiket a háromszög csúcsaitól számítva 2:1 arányban osztja el. Teljesen hasonló módon bizonyított, hogy az AA 1 és BB 1 mediánok metszéspontja a háromszög csúcsaiból számolva mindegyiket 2:1 arányban osztja el.

Az AA 1 mediánon egy ilyen pont M pont, tehát pont Més ott van az AA 1 és BB 1 mediánok metszéspontja.

Így, n

T2. Bizonyítsuk be, hogy a súlypontot a háromszög csúcsaival összekötő szakaszok három egyenlő részre osztják. Adott: ∆ABC, - mediánja.

Bizonyítsuk be: S AMB =S BMC =S AMC .Bizonyíték. IN, közös bennük. mert bázisuk egyenlő és a csúcsból húzott magasság M, közös bennük. Majd

Hasonló módon bebizonyosodik az is S AMB = S AMC .Így, S AMB = S AMC = S CMB.n

Háromszögfelező Tételek a háromszögfelezőkkel. Képletek a felezők megtalálásához

Szögfelező- egy sugár, amelynek kezdete egy szög csúcsánál van, és a szöget két egyenlő szögre osztja.

A szögfelező az locus pontok egy szög belsejében, egyenlő távolságra a szög oldalaitól.

Tulajdonságok

1. Felezőtétel: Egy háromszög belső szögének felezője osztja a szemközti oldalt arányban, egyenlő az aránnyal két szomszédos oldalak

2. Egy háromszög belső szögeinek felezőpontjai egy pontban metszik egymást - a középpontban - a háromszögbe írt kör középpontjában.

3. Ha egy háromszögben két felező egyenlő, akkor a háromszög egyenlő szárú (Steiner-Lemus tétel).

A felező hossz kiszámítása

l c - a c oldalra húzott felezőszög hossza,

a,b,c - a háromszög A,B,C csúcsokkal szemközti oldalai, ill.

p a háromszög fél kerülete,

a l , b l - azon szakaszok hossza, amelyekre az l c felező osztja a c oldalt,

α,β,γ - belső sarkok háromszög at csúcsok A,B,C illetőleg,

h c a háromszög magassága, leengedve a c oldalra.

Területi módszer.

A módszer jellemzői. A névből az következik, hogy a fő objektum ezt a módszert az a terület. Számos ábra esetében, például egy háromszögnél, a területet egészen egyszerűen az ábra elemeinek különféle kombinációival fejezzük ki (háromszög). Ezért a technika összehasonlításkor nagyon hatékonynak bizonyul különféle kifejezések egy adott ábra területére. Ebben az esetben az ábra ismert és kívánt elemeit tartalmazó egyenlet keletkezik, amelynek megoldásával meghatározzuk az ismeretlent. Itt nyilvánul meg a területmódszer fő jellemzője - innen geometriai problémaő „csinálja” az algebrát, mindent egy egyenlet (és néha egyenletrendszer) megoldására redukálva.

1) Összehasonlítási módszer: sok azonos ábrájú S képlethez kapcsolódik

2) S relációs módszer: nyomkövetési támogatási problémákon alapul:

Ceva tétele

Legyenek A", B", C" pontok a háromszög BC, CA, AB egyenesein. Az AA", BB", CC" egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban

Bizonyíték.

Jelöljük a és a szakaszok metszéspontjával. Engedjük le a C és A pontból merőlegeseket a BB 1 egyenesre addig, amíg a K, illetve L pontokban nem metszik azt (lásd az ábrát).

Mivel a háromszögeknek van közös oldal, akkor területük az erre az oldalra húzott magasságokhoz viszonyul, azaz. AL és CK:

Az utolsó egyenlőség igaz, hiszen derékszögű háromszögekés hasonló hegyesszögben.

Hasonlóan kapunk És

Szorozzuk meg ezt a három egyenlőséget:

Q.E.D.

Megjegyzés. Egy szakasz (vagy egy szakasz folytatása), amely egy háromszög csúcsát köti össze egy ponton fekvő ponttal ellentétes oldalon vagy annak folytatását ceviana-nak nevezik.

tétel ( fordított tételÜldöz). Legyenek az A", B", C" pontok az ABC háromszög BC, CA és AB oldalain. Teljesüljön az összefüggés.

Ekkor az AA",BB",CC" szakaszok egy pontban metszik egymást.

Menelaosz tétele

Menelaus tétele. Hagyja, hogy az egyenes metsze egymást ABC háromszög, és C 1 az AB oldallal való metszéspontja, A 1 a BC oldallal való metszéspontja, B 1 pedig az AC oldal folytatásával való metszéspontja. Majd

Bizonyíték . Rajzoljunk AB-vel párhuzamos egyenest a C ponton keresztül. Jelöljük K-val a metszéspontját a B 1 C 1 egyenessel.

Az AC 1 B 1 és CKB 1 háromszögek hasonlóak (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Ezért,

A BC 1 A 1 és CKA 1 háromszögek is hasonlóak (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Eszközök,

Minden egyenlőségből kifejezzük a CK-t:

Ahol Q.E.D.

Tétel (Menelaus inverz tétele). Legyen adott az ABC háromszög. Legyen a C 1 pont az AB oldalon, az A 1 pont a BC oldalon, a B 1 pont pedig az AC oldal folytatásán, és álljon fenn a következő összefüggés:

Ekkor az A 1, B 1 és C 1 pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete