Sistemi i ekuacioneve lineare me 4 të panjohura. Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Rasti kur numri i ekuacioneve m më shumë variabla n, duke eleminuar vazhdimisht të panjohurat nga ekuacionet çojnë në rastin m= n ose m n. Rasti i parë u diskutua më herët.

Në rastin e dytë, kur numri i ekuacioneve është më pak se numri i të panjohurve m n dhe ekuacionet janë të pavarura, bien në sy m variablat kryesore Dhe ( n- m)variablat jo-thelbësore . Variablat kryesore janë ato që plotësojnë gjendjen: përcaktori, i përbërë nga koeficientët e këtyre ndryshoreve, nuk i bën e barabartë me zero. Ato kryesore mund të jenë grupe të ndryshme të variablave. Numri i përgjithshëm i grupeve të tilla N e barabartë me numrin e kombinimeve të n elementet nga m:

Nëse një sistem ka të paktën një grup variablash bazë, atëherë ky sistem është i pasigurt dmth ka shume zgjidhje.

Nëse sistemi nuk ka një grup të vetëm variablash bazë, atëherë sistemi është jo të përbashkët , pra nuk ka një zgjidhje të vetme.

Në rastin kur një sistem ka shumë zgjidhje, midis tyre dallohet një zgjidhje bazë.

Zgjidhja bazë është një zgjidhje në të cilën ndryshoret minore janë të barabarta me zero. Sistemi nuk ka më shumë se zgjidhjet bazë.

Zgjidhjet e sistemit ndahen në e pranueshme Dhe e papranueshme .

E pranueshme Këto janë zgjidhje në të cilat vlerat e të gjitha variablave janë jonegative.

Nëse të paktën një vlerë e ndryshores është negative, atëherë thirret zgjidhja e papranueshme .

Shembulli 4.5

Gjeni zgjidhjet themelore të sistemit të ekuacioneve

Le të gjejmë numrin e zgjidhjeve themelore

.

Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është X 1 dhe X 2. Le të kontrollojmë përcaktorin nga koeficientët e tyre

.

Meqenëse kjo përcaktor nuk është e barabartë me zero, atëherë variablat X 1 ,X 2 janë kryesoret.

Tani le të supozojmë se X 3 = 0. Pastaj marrim një sistem në formë

Le ta zgjidhim duke përdorur formulat e Cramer:

,
.

Pra, zgjidhja e parë themelore ka formën

X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0 .

Le të kontrollojmë tani nëse variablat i përkasin atyre kryesore X 1 dhe X 3 .

.

Ne e kuptojmë atë X 1 dhe X 3 - grupi i dytë i variablave kryesore. Le të vendosim X 2 =0 dhe zgjidhni sistemin

,
.

Zgjidhja e dytë bazë ka formën

X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0.

Tani le të kontrollojmë nëse variablat i përkasin atyre kryesore X 2 dhe X 3 .

pra variabla X 2 dhe X 3 e mitur. Pra, ky sistem ka dy zgjidhje themelore në total. Të dyja këto zgjidhje janë të pranueshme.

Kushti i konsistencës për sistemin m ekuacionet lineare variablat cn jepen nga koncepti i renditjes së matricës.

Rangu i matricës - ky është një numër i barabartë me rendin më të lartë të një minori tjetër nga zero.

Për matricën A

e mitur k - urdhri shërben si përcaktues i përbërë nga elementë të ndonjë k linjat dhe k kolonat.

Për shembull,

Shembulli 2

Gjeni gradën e një matrice

Le të llogarisim përcaktorin e matricës

Për ta bërë këtë, shumëzojeni rreshtin e parë me (-4) dhe shtoni me rreshtin e dytë, pastaj shumëzojeni rreshtin e parë me (-7) dhe shtoni me rreshtin e tretë, si rezultat marrim përcaktorin

Sepse atëherë rreshtat e përcaktorit që rezulton janë proporcionale
.

Nga kjo mund të shohim se minorja e rendit të tretë është e barabartë me 0, dhe minorja e rendit të dytë nuk është e barabartë me 0.

Prandaj, rangu i matricës është r=2.

Matrica e zgjeruar sistemi ka formën

Teorema Kronecker-Capelli

Në mënyrë që një sistem linear të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së zgjeruar të jetë i barabartë me gradën e matricës kryesore.
.

Nëse
, atëherë sistemi është i paqëndrueshëm.

Për një sistem të njëkohshëm ekuacionesh lineare, janë të mundshme tre raste:

1) Nëse
, atëherë sistemi LU ka (m-r) ekuacione të varura lineare, ato mund të përjashtohen nga sistemi;

2) Nëse
, atëherë sistemi LU ka vetëm vendim;

3) Nëse
, atëherë sistemi LU ka shumë zgjidhje

Sistemet e ekuacioneve të marra aplikim të gjerë në sektorin ekonomik me modelimi matematik procese të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhen problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugët e logjistikës ( problem transporti) ose vendosja e pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në matematikë, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Një sistem ekuacionesh lineare është dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e variablave, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e një ekuacioni duke e vizatuar do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje të polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Shembujt më të thjeshtë konsiderohen të jenë sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve - kjo do të thotë gjetja e vlerave (x, y) në të cilat kthehet sistemi barazi e vërtetë ose përcaktoni që nuk ekzistojnë vlera të përshtatshme për x dhe y.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinatat e një pike, quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ekziston asnjë zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme pjesa e djathtë që është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës së barabartë ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë është heterogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ose më shumë ndryshore.

Kur përballen me sisteme, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat; mund të ketë aq sa dëshironi.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë të përbashkët metodë analitike zgjidhjet për sisteme të tilla, të gjitha metodat bazohen në zgjidhje numerike. NË kursi shkollor matematika, metoda të tilla si ndërrimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe grafike dhe metoda e matricës, zgjidhje me metodën Gaussian.

Detyra kryesore kur mësoni metodat e zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e përdorimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare të programit të klasës së 7-të shkolla e mesme mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në vitet e para të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore në terma të të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë me një ndryshore. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një zgjidhje për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës 7 duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhje ky shembull nuk shkakton vështirësi dhe ju lejon të merrni vlerën Y. Hapi i fundit është kontrollimi i vlerave të marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja me zëvendësim është gjithashtu e papërshtatshme.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkoni zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën e mbledhjes, ekuacionet shtohen term pas termi dhe shumëzohen me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar operacionet matematikoreështë një ekuacion me një ndryshore.

Për Aplikimet këtë metodë kërkohet praktikë dhe vëzhgim. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes kur ka 3 ose më shumë ndryshore nuk është e lehtë. Shtimi algjebrik është i përshtatshëm për t'u përdorur kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe dhjetore.

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër të caktuar. Si rezultat veprim aritmetik një nga koeficientët e ndryshores duhet të jetë i barabartë me 1.
2. Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
3. Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi kërkon gjetjen e një zgjidhjeje për jo më shumë se dy ekuacione; numri i të panjohurave gjithashtu duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet për të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Shembulli tregon se duke futur një ndryshore të re t, ishte e mundur të reduktohej ekuacioni i parë i sistemit në atë standard. trinom kuadratik. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera diskriminuese nga formula e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë faktorët e polinomit. NË shembulli i dhënë a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi Mbi zero, atëherë ka dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë ka një zgjidhje: x = -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Metoda vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për 3 sisteme ekuacionesh. Metoda është të ndërtohet mbi boshti koordinativ grafikët e çdo ekuacioni të përfshirë në sistem. Koordinatat e pikave të prerjes së kthesave dhe do të jenë vendim i përgjithshëm sistemeve.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, për secilën rresht janë ndërtuar dy pika, vlerat e ndryshores x janë zgjedhur në mënyrë arbitrare: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, janë gjetur vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinatat (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

Shembulli i mëposhtëm kërkon gjetje zgjidhje grafike sistemet e ekuacioneve lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse një sistem ka një zgjidhje apo jo; është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për shënim i shkurtër sistemet e ekuacioneve lineare. Një matricë është një tabelë lloj i veçantë e mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë e një kolone me një numër pafundësisht të mundshëm rreshtash. Një matricë me ato përgjatë njërës prej diagonaleve dhe elementëve të tjerë zero quhet identitet.

Një matricë e kundërt është një matricë kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale kthehet në një matricë njësi; një matricë e tillë ekziston vetëm për atë katrore origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe termat e lirë të ekuacioneve shkruhen si numra matricë; një ekuacion është një rresht i matricës.

Një rresht matricë thuhet se është jozero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 - matricë e anasjelltë, dhe |K| është përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy; ju vetëm duhet të shumëzoni elementët diagonale me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre", ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në punë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Metoda e matricës për të gjetur një zgjidhje ju lejon të reduktoni hyrjet e rënda kur zgjidhni sisteme me sasi e madhe variablat dhe ekuacionet.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variabla dhe b n janë terma të lirë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën Gaussian

NË matematikë e lartë Metoda Gaussian studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së zgjidhjeve për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur sisteme të ndryshueshme me një numër të madh ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit është shumë e ngjashme me zgjidhjet që përdorin zëvendësime dhe shtimi algjebrik, por më sistematike. Në kursin e shkollës, zgjidhja me metodën Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të zvogëlojë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Nga transformimet algjebrike dhe zëvendësimet, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, ndërsa 3 dhe 4 janë, përkatësisht, me 3 dhe 4 ndryshore.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

NË tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje me metodën Gaussian përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione: 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e ndonjë prej ekuacioneve do t'ju lejojë të zbuloni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda e Gausit është e vështirë për t'u kuptuar nga studentët gjimnaz, por është një nga më së shumti mënyra interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve që studiojnë në kuadër të programit studim i thelluar në orët e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit, llogaritjet zakonisht bëhen si më poshtë:

Koeficientët e ekuacioneve dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan ana e majte ekuacionet nga e djathta. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Fillimisht shkruani matricën me të cilën do të punohet, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe vazhdon të kryejë të nevojshmen operacionet algjebrike derisa të arrihet rezultati.

Rezultati duhet të jetë një matricë në të cilën një nga diagonalet është e barabartë me 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë njësi. Nuk duhet të harrojmë të kryejmë llogaritjet me numra në të dy anët e ekuacionit.

Kjo metodë regjistrimi është më pak e rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Përdorimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe përvojë. Jo të gjitha metodat janë të një natyre aplikative. Disa metoda për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllime edukative.

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Ekuacionet me katër të panjohura mund të kenë shumë zgjidhje të mundshme. Në matematikë, shpesh hasen ekuacione të këtij lloji. Për të zgjidhur saktë ekuacione të tilla, është e nevojshme të përdoren të gjitha tiparet e ekuacioneve për të thjeshtuar dhe shkurtuar zgjidhjen e tij.

Le të shohim zgjidhjen e shembullit të mëposhtëm:

Duke shtuar ekuacionet e para dhe të dyta sipas pjesëve, mund të merrni një ekuacion shumë të thjeshtë:

\ ose \

Le të kryejmë veprime të ngjashme me ekuacionet 2 dhe 3:

\ ose \

Ne zgjidhim ekuacionet rezultuese \ dhe \

Ne marrim \ dhe \

Ne i zëvendësojmë numrat që rezultojnë në ekuacionet 1 dhe 3:

\ ose \

\ ose \

Zëvendësimi i këtyre numrave me ekuacionin e dytë dhe të katërt do të japë saktësisht të njëjtat ekuacione.

Por kjo nuk është e gjitha, pasi kanë mbetur 2 ekuacione për t'u zgjidhur me 2 të panjohura. Zgjidhje të këtij lloji Ju mund të shikoni ekuacionet në artikujt këtu.

Ku mund të zgjidh një ekuacion me katër të panjohura në internet?

Ju mund të zgjidhni ekuacione me të panjohura në internet në https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Një 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2p x f= b 2 ,

........................................

A s 1 x 1 + a s 2 x 2 +...+ a s p x p= b s.

Ne do të kryejmë transformime elementare mbi të. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë një matricë koeficientësh për sisteme të panjohura(1) me kolonë të shtuar anëtarë të lirë, me fjale te tjera matricë e zgjeruar Ā për sistemin (1):

Le të supozojmë se me ndihmën e transformimeve të tilla ishte e mundur të zvogëlohej matrica Ā në formën:

......................................

b rr x r +...+b rn x n =c r,

e cila merret nga sistemi (1) duke përdorur një numër të caktuar transformimet elementare dhe, për rrjedhojë, është ekuivalente me sistemin (1). Nëse në sistemin (4) r=n, pastaj nga ekuacioni i fundit, i cili ka formën b nn x n =c n(ku b nn≠ 0), gjejmë kuptim i vetëm x n, nga ekuacioni i parafundit – vlera xn-1(sepse x n tashmë e njohur), etj., më në fund, nga ekuacioni i parë - vlera x 1 . Pra, në rast) r=n sistemi ka një zgjidhje unike. Nëse r , atëherë sistemi (4) reduktohet lehtësisht në një sistem të formës: