Slough megoldás excelben. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása Excelben

Módszer legkisebb négyzetek egy matematikai eljárás a komponáláshoz lineáris egyenlet, amely a legjobban illeszkedik a rendezett párok halmazához, keresve az a és b értékeket, az együtthatókat az egyenes egyenletében. A legkisebb négyzetek célja az y és ŷ értékei közötti teljes négyzetes hiba minimalizálása. Ha minden pontra meghatározzuk az ŷ hibát, a legkisebb négyzetek módszere minimalizálja:

ahol n = a sor körüli rendezett párok száma. a lehető legközelebb az adatokhoz.

Ezt a koncepciót az ábra szemlélteti

Az ábra alapján az adatokhoz legjobban illeszkedő egyenes, a regressziós egyenes minimalizálja a grafikon négy pontjának össznégyzetes hibáját. A következő példában megmutatom, hogyan határozható meg ez a legkisebb négyzetek használatával.

Képzeljen el egy fiatal párt, akik nemrégiben költöztek össze, és egy mosdóasztalon osztoznak a fürdőszobában. A fiatalember kezdte észrevenni, hogy asztalának fele menthetetlenül zsugorodik, és teret veszít a hajhaboktól és a szójakomplexektől. Az elmúlt néhány hónapban a srác szorosan figyelemmel kísérte, hogy milyen ütemben növekszik az asztal oldalán lévő tárgyak száma. Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy a lány hány darabot halmozott fel a fürdőszobai mosdóján az elmúlt néhány hónapban.

Mivel az a célunk, hogy megtudjuk, hogy a tételek száma növekszik-e az idő múlásával, ezért a „Hónap” lesz a független változó, a „Cikk száma” pedig a függő változó.

A legkisebb négyzetek módszerével meghatározzuk az adatokhoz legjobban illeszkedő egyenletet az a, az y-metszet és a b, az egyenes meredekségének értékeinek kiszámításával:

a = y átl. - bx átl

ahol x avg az x, a független változó, az y avg az y, a független változó átlagos értéke.

Az alábbi táblázat összefoglalja az ezen egyenletekhez szükséges számításokat.

A fürdőkád példánk hatásgörbéjét a következő egyenlet adja meg:

Mivel az egyenletünk pozitív meredeksége 0,976, a srácnak bizonyítéka van arra, hogy az asztalon lévő tárgyak száma idővel növekszik átlagsebesség 1 tétel havonta. A grafikon a hatásgörbét mutatja rendezett párokkal.

A következő hat hónapra (16. hónapra) vonatkozó tételszámra vonatkozó várakozást a következőképpen számítjuk ki:

ŷ = 5,13 + 0,976x = 5,13 + 0,976(16) ~ 20,7 = 21 elem

Tehát itt az ideje, hogy hősünk tegyen valamit.

TREND függvény Excelben

Amint valószínűleg már sejtette, az Excelnek van egy funkciója az értékek kiszámítására legkisebb négyzetek módszere. Ennek a függvénynek a neve TREND. A szintaxisa a következő:

TREND (ismert Y értékek; ismert X értékek; új X értékek; állandó)

ismert Y értékek – függő változók tömbje, esetünkben az objektumok száma a táblán

ismert értékek X – független változók tömbje, esetünkben ez a hónap

új X értékek – új X értékek (hónapok), amelyekre TREND funkció a függő változók várható értékét adja vissza (elemek száma)

const - nem kötelező. Logikai érték, amely megadja, hogy a b konstansnak 0-nak kell lennie.

Az ábra például a TREND függvényt mutatja, amellyel meghatározható a fürdőszobai mosdókagylón a 16. hónapban várható cikkszám.

Példa.

Kísérleti adatok a változók értékeiről XÉs at táblázatban vannak megadva.

Az igazításuk eredményeképpen a függvényt kapjuk

Használata legkisebb négyzetek módszere, közelítse meg ezeket az adatokat lineáris függéssel y=ax+b(keresse meg a paramétereket AÉs b). Nézze meg, hogy a két egyenes közül melyik igazítja jobban (a legkisebb négyzetek módszere értelmében) a kísérleti adatokat. Készítsen rajzot.

A legkisebb négyzetek módszerének (LSM) lényege.

A feladat az, hogy megtaláljuk azokat a lineáris függőségi együtthatókat, amelyeknél két változó függvénye AÉs b elfogadja legkisebb érték. Vagyis adott AÉs b a kísérleti adatok négyzetes eltéréseinek összege a talált egyenestől lesz a legkisebb. Ez a legkisebb négyzetek módszerének lényege.

Így a példa megoldása két változó függvényének extrémumának megkeresésére vezet.

Levezetési képletek az együtthatók megtalálásához.

Összeállítunk és megoldunk egy két egyenletrendszert két ismeretlennel. Egy függvény parciális deriváltjainak megkeresése változók szerint AÉs b, ezeket a származékokat nullával egyenlővé tesszük.

A kapott egyenletrendszert bármilyen módszerrel megoldjuk (pl helyettesítési módszerrel vagy Cramer módszere), és kapjunk képleteket az együtthatók megtalálásához a legkisebb négyzetek módszerével (LSM).

Adott AÉs b funkció a legkisebb értéket veszi fel. Ennek a ténynek a bizonyítéka adott alább, az oldal végén található szövegben.

Ez a legkisebb négyzetek módszere. Képlet a paraméter megtalálásához a a ,,, és a paraméter összegeit tartalmazza n- kísérleti adatok mennyisége. Javasoljuk ezen összegek értékének külön kiszámítását. Együttható b számítás után találtuk meg a.

Ideje emlékezni az eredeti példára.

Megoldás.

Példánkban n=5. A táblázatot a szükséges együtthatók képleteiben szereplő összegek kiszámításának megkönnyítése érdekében töltjük ki.

A táblázat negyedik sorában szereplő értékeket úgy kapjuk meg, hogy minden számhoz megszorozzuk a 2. sor értékét a 3. sor értékével én.

A táblázat ötödik sorában szereplő értékeket úgy kapjuk meg, hogy a 2. sorban lévő értékeket minden számhoz négyzetre emeljük én.

A táblázat utolsó oszlopában szereplő értékek a sorok közötti értékek összegei.

Az együtthatók meghatározásához a legkisebb négyzetek módszerének képleteit használjuk AÉs b. A táblázat utolsó oszlopának megfelelő értékeit helyettesítjük beléjük:

Ezért, y = 0,165x+2,184- a kívánt közelítő egyenes.

Azt kell kideríteni, hogy melyik sorból y = 0,165x+2,184 vagy jobban közelíti az eredeti adatokat, azaz a legkisebb négyzetek módszerével becslést készít.

A legkisebb négyzetek módszerének hibabecslése.

Ehhez ki kell számítani az eredeti adatok e soroktól való eltérésének négyzetes összegét És , egy kisebb érték egy olyan vonalnak felel meg, amely jobban közelíti az eredeti adatokat a legkisebb négyzetek módszere értelmében.

Azóta, majd egyenesen y = 0,165x+2,184 jobban közelíti az eredeti adatokat.

A legkisebb négyzetek (LS) módszer grafikus ábrázolása.

A grafikonokon minden jól látható. A piros vonal a talált egyenes y = 0,165x+2,184, a kék vonal az , rózsaszín pöttyök az eredeti adatok.

A gyakorlatban a különböző folyamatok - különösen gazdasági, fizikai, műszaki, társadalmi - modellezésekor széles körben alkalmazzák a függvények közelítő értékeinek kiszámításának egyik vagy másik módszerét az ismert értékekből bizonyos rögzített pontokon.

Ez a fajta függvény közelítési probléma gyakran felmerül:

közelítő képletek összeállításakor a vizsgált folyamat jellemző mennyiségeinek értékeinek kiszámításához a kísérlet eredményeként kapott táblázatos adatok felhasználásával;

numerikus integrálásban, differenciálásban, megoldásban differenciálegyenletek stb.;

ha ki kell számítani a függvények értékét a vizsgált intervallum közbenső pontjain;

egy folyamat jellemző mennyiségeinek a figyelembe vett intervallumon kívüli értékeinek meghatározásakor, különösen előrejelzéskor.

Ha egy táblázat által meghatározott folyamat modellezéséhez olyan függvényt készítünk, amely megközelítőleg leírja ezt a folyamatot a legkisebb négyzetek módszere alapján, akkor azt közelítő függvénynek (regresszió) nevezzük, és magát a közelítő függvények megalkotásának problémáját nevezzük. közelítési probléma.

Ez a cikk az MS Excel csomag lehetőségeit tárgyalja az ilyen típusú problémák megoldására, emellett módszereket és technikákat ad táblázatos függvények regresszióinak (amely a regresszióanalízis alapja) készítésére (létrehozására).

Az Excel két lehetőséget kínál a regressziók létrehozására.

Kijelölt regressziók hozzáadása ( trendvonalak- trendvonalak) a vizsgált folyamatjellemző adattáblázata alapján felépített diagramba (csak konstruált diagram esetén érhető el);

Az Excel munkalap beépített statisztikai funkcióinak felhasználása, amely lehetővé teszi a regressziók (trendvonalak) lekérését közvetlenül a forrásadattábla alapján.

Trendvonalak hozzáadása a diagramhoz

Egy folyamatot leíró és diagrammal ábrázolt adattáblázathoz az Excel hatékony regresszióelemző eszközzel rendelkezik, amely lehetővé teszi:

építeni a legkisebb négyzetek módszere alapján, és hozzáadni ötöt a diagramhoz a regresszió típusai, amelyek változó pontossággal modellezik a vizsgált folyamatot;

add hozzá a diagramhoz a megszerkesztett regressziós egyenletet;

határozza meg, hogy a kiválasztott regresszió milyen mértékben felel meg a diagramon megjelenített adatoknak.

A diagramadatok alapján az Excel lehetővé teszi lineáris, polinomiális, logaritmikus, hatványos, exponenciális típusú regressziók lekérését, amelyeket a következő egyenlet határoz meg:

y = y(x)

ahol x egy független változó, amely gyakran veszi fel a természetes számok sorozatának értékeit (1; 2; 3; ...), és például visszaszámlálja a vizsgált folyamat idejét (karakterisztika).

1 . A lineáris regresszió jó olyan jellemzők modellezésére, amelyek értéke állandó sebességgel nő vagy csökken. Ez a legegyszerűbb modell a vizsgált folyamathoz. Az egyenletnek megfelelően épül fel:

y = mx + b

ahol m a dőlésszög érintője lineáris regresszió az abszcissza tengelyhez; b - a lineáris regresszió metszéspontjának koordinátája az ordináta tengellyel.

2 . A polinomiális trendvonal hasznos olyan jellemzők leírására, amelyeknek több különálló szélsőségük van (maximum és minimum). A polinomiális fokozat megválasztását a vizsgált jellemző szélsőértékeinek száma határozza meg. Így egy másodfokú polinom jól leírhat egy olyan folyamatot, amelynek csak egy maximuma vagy minimuma van; a harmadik fokú polinom - legfeljebb két szélsőség; a negyedik fokú polinom - legfeljebb három szélsőség stb.

Ebben az esetben a trendvonalat a következő egyenlet szerint állítjuk össze:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

ahol a c0, c1, c2,...c6 együtthatók olyan állandók, amelyek értékeit az építés során határozzák meg.

3 . A logaritmikus trendvonalat sikeresen alkalmazzák olyan jellemzők modellezésekor, amelyek értékei kezdetben gyorsan változnak, majd fokozatosan stabilizálódnak.

y = c ln(x) + b

4 . A hatványtörvény trendvonal jó eredményeket ad, ha a vizsgált kapcsolat értékeit a növekedési ütem állandó változása jellemzi. Ilyen függőségre példa az autó egyenletesen gyorsított mozgásának grafikonja. Ha az adatok nulla vagy negatív értékeket tartalmaznak, nem használhat teljesítménytrend vonalat.

Az egyenlet szerint készült:

y = c xb

ahol a b, c együtthatók állandók.

5 . Exponenciális trendvonalat kell használni, ha az adatok változási üteme folyamatosan növekszik. A nulla vagy negatív értékeket tartalmazó adatok esetében ez a fajta közelítés szintén nem alkalmazható.

Az egyenlet szerint készült:

y = c ebx

ahol a b, c együtthatók állandók.

Trendvonal kiválasztásakor az Excel automatikusan kiszámítja az R2 értékét, ami a közelítés megbízhatóságát jellemzi: minél közelebb van az R2 érték az egységhez, a trendvonal annál megbízhatóbban közelíti meg a vizsgált folyamatot. Szükség esetén az R2 értéke mindig megjeleníthető a diagramon.

A képlet határozza meg:

Trendvonal hozzáadása adatsorhoz:

aktiváljon egy diagramot egy adatsor alapján, azaz kattintson a diagram területen belülre. A Diagram elem megjelenik a főmenüben;

Az elemre kattintás után egy menü jelenik meg a képernyőn, amelyben a Trendvonal hozzáadása parancsot kell kiválasztani.

Ugyanezek a műveletek egyszerűen végrehajthatók, ha az egérmutatót az egyik adatsornak megfelelő grafikon fölé mozgatjuk, és jobb egérgombbal kattintunk; A megjelenő helyi menüben válassza a Trendvonal hozzáadása parancsot. Megjelenik a képernyőn a Trend Line párbeszédpanel a Típus fül megnyitásával (1. ábra).

Ezek után szüksége van:

Válassza ki a kívánt trendvonaltípust a Típus lapon (alapértelmezés szerint a Lineáris típus van kiválasztva). A Polinom típushoz a Fok mezőben adja meg a kiválasztott polinom fokszámát.

1 . A Beépített sorozat mezőben a kérdéses diagram összes adatsora látható. Ha trendvonalat szeretne hozzáadni egy adott adatsorhoz, válassza ki a nevét a sorozatra épített mezőben.

Ha szükséges, a Paraméterek fülre lépve (2. ábra) a következő paramétereket állíthatja be a trendvonalhoz:

módosítsa a trendvonal nevét a Közelítő (simított) görbe neve mezőben.

állítsa be az előrejelzés periódusainak számát (előre vagy hátra) az Előrejelzés mezőben;

jelenítse meg a trendvonal egyenletét a diagram területén, amelyhez engedélyeznie kell az egyenlet megjelenítése a diagramon jelölőnégyzetet;

jelenítse meg az R2 közelítési megbízhatósági értéket a diagram területén, amelyhez engedélyeznie kell a Közelítési megbízhatósági érték elhelyezése a diagramon (R^2) jelölőnégyzetet;

állítsa be a trendvonal metszéspontját az Y tengellyel, amelynél engedélyeznie kell a görbe Y tengellyel való metszéspontját egy pontban;

Kattintson az OK gombra a párbeszédpanel bezárásához.

A már megrajzolt trendvonal szerkesztésének megkezdéséhez három módszer áll rendelkezésre:

használja a Kijelölt trendvonal parancsot a Formátum menüben, miután előzőleg kiválasztotta a trendvonalat;

válasszuk a helyi menüből a Trendvonal formázása parancsot, amely a trendvonalra jobb gombbal kattintva hívható elő;

kattintson duplán a trendvonalra.

A képernyőn megjelenik a Trend Line Format párbeszédablak (3. ábra), amely három fület tartalmaz: Nézet, Típus, Paraméterek, és az utolsó kettő tartalma teljesen egybeesik a Trend Line párbeszédpanel hasonló füleivel (1. ábra). -2). A Nézet lapon beállíthatja a vonal típusát, színét és vastagságát.

Egy már megrajzolt trendvonal törléséhez válassza ki a törölni kívánt trendvonalat, és nyomja meg a Delete gombot.

A vizsgált regresszióelemző eszköz előnyei a következők:

a trendvonal felépítésének viszonylagos egyszerűsége a diagramokon anélkül, hogy adattáblázatot készítene hozzá;

a javasolt trendvonalak típusainak meglehetősen széles listája, és ez a lista tartalmazza a leggyakrabban használt regressziós típusokat;

a vizsgált folyamat viselkedésének előrejelzésének képessége tetszőleges szinten (azon belül józan ész) előre és hátra lépések száma;

a trendvonal-egyenlet analitikus formában való megszerzésének képessége;

szükség esetén a közelítés megbízhatóságának értékelésének lehetősége.

A hátrányok közé tartoznak a következők:

trendvonal felépítésére csak akkor kerül sor, ha van egy adatsorra épített diagram;

a vizsgált karakterisztikára vonatkozó adatsorok generálásának folyamata a rá kapott trendvonal-egyenletek alapján kissé zsúfolt: a szükséges regressziós egyenletek az eredeti adatsor értékeinek minden változásával frissülnek, de csak a diagram területén belül , míg adatsorok, a régi trendvonal egyenlet alapján generált változatlan marad;

A kimutatásdiagram jelentésekben a diagram vagy a kapcsolódó kimutatás nézetének módosítása nem őrzi meg a meglévő trendvonalakat, ami azt jelenti, hogy mielőtt trendvonalakat rajzolna vagy más módon formázna egy kimutatásdiagramot, meg kell győződnie arról, hogy a jelentés elrendezése megfelel a szükséges követelményeknek.

A trendvonalak a diagramokon, például grafikonon, hisztogramon, lapos, nem szabványosított területdiagramon, oszlopdiagramon, szóródási diagramon, buborékdiagramon és részvénydiagramon bemutatott adatsorok kiegészítésére használhatók.

Nem adhat trendvonalakat adatsorokhoz 3D, normalizált, radar-, kör- és fánkdiagramokban.

Az Excel beépített funkcióinak használata

Az Excel egy regressziós elemző eszközzel is rendelkezik a diagram területén kívüli trendvonalak ábrázolásához. Számos statisztikai munkalapfüggvény használható erre a célra, de mindegyik csak lineáris vagy exponenciális regressziók létrehozását teszi lehetővé.

Az Excel számos funkcióval rendelkezik a lineáris regresszió létrehozásához, különösen:

TREND;

• SLOPE és VÁGÁS.

Valamint számos funkció egy exponenciális trendvonal felépítéséhez, különösen:

LGRFPRIBL.

Meg kell jegyezni, hogy a TREND és a GROWTH függvények segítségével történő regressziók létrehozásának technikái szinte azonosak. Ugyanez mondható el a LINEST és az LGRFPRIBL funkciópárról is. Ehhez a négy függvényhez az értéktáblázat létrehozása Excel-funkciókat, például tömbképleteket használ, ami némileg megzavarja a regressziók létrehozásának folyamatát. Vegyük észre azt is, hogy a lineáris regresszió felépítése véleményünk szerint a legkönnyebben a SLOPE és INTERCEPT függvényekkel valósítható meg, ahol ezek közül az első a lineáris regresszió meredekségét, a második pedig a regresszió által elfogott szakaszt határozza meg. az y tengely.

A regressziós elemzéshez beépített függvényeszköz előnyei a következők:

meglehetősen egyszerű, egységes folyamat a vizsgált jellemző adatsorainak előállítására az összes trendvonalat meghatározó beépített statisztikai függvényhez;

szabványos módszertan generált adatsorok alapján trendvonalak felépítésére;

a vizsgált folyamat viselkedésének előrejelzésének képessége szükséges mennyiség előre vagy hátra lép.

A hátrányok közé tartozik, hogy az Excel nem rendelkezik beépített függvényekkel más (a lineáris és exponenciális) típusú trendvonalak létrehozására. Ez a körülmény gyakran nem teszi lehetővé a vizsgált folyamat kellően pontos modelljének kiválasztását, valamint a valósághoz közeli előrejelzések készítését. Ezenkívül a TREND és a GROWTH függvények használatakor a trendvonalak egyenlete nem ismert.

Megjegyzendő, hogy a szerzők nem tűzték ki célul a regresszióanalízis menetének teljes körű bemutatását. Fő feladata, hogy konkrét példákon keresztül bemutassa az Excel csomag képességeit közelítési feladatok megoldása során; bemutatni, milyen hatékony eszközei vannak az Excelnek a regressziók felépítéséhez és az előrejelzésekhez; szemléltesse, hogyan lehet viszonylag könnyen megoldani az ilyen problémákat még olyan felhasználó számára is, aki nem rendelkezik széles körű ismeretekkel a regressziós elemzésről.

Példák megoldásokra konkrét feladatokat

Fontolja meg konkrét problémák megoldását az Excel csomag felsorolt ​​eszközeivel.

1. probléma

Gépjármű-közlekedési vállalkozás 1995-2002. évi nyereségének adattáblázatával. a következőket kell tenned:

Készítsen diagramot.

Lineáris és polinomiális (négyzetes és köbös) trendvonalak hozzáadása a diagramhoz.

A trendvonal-egyenletek segítségével táblázatos adatokat kapjon a vállalati nyereségről az 1995-2004 közötti időszak minden egyes trendvonalához.

Készítsen előrejelzést a vállalkozás nyereségére vonatkozóan 2003-ra és 2004-re.

Probléma megoldás

Az Excel munkalap A4:C11 celláinak tartományába írja be az ábrán látható munkalapot. 4.

A B4:C11 cellák tartományának kiválasztása után diagramot készítünk.

Aktiváljuk a megszerkesztett diagramot, és a fent leírt módszer szerint a Trend Line párbeszédpanelen a trendvonal típusának kiválasztása után (lásd 1. ábra) felváltva lineáris, másodfokú és köbös trendvonalakat adunk a diagramhoz. Ugyanebben a párbeszédablakban nyissa meg a Paraméterek lapot (lásd 2. ábra), a Közelítő (simított) görbe neve mezőbe írja be a hozzáadandó trend nevét, és az Előrejelzés előre: időszakokra mezőben állítsa be a értéke 2, mivel a tervek szerint két évre előrejelzést készítenek. A regressziós egyenlet és az R2 közelítés megbízhatósági értékének diagramterületen való megjelenítéséhez engedélyezze az egyenlet megjelenítése a képernyőn jelölőnégyzeteket, és helyezze el a közelítés megbízhatósági értékét (R^2) a diagramon. A jobb vizuális érzékelés érdekében megváltoztatjuk a megszerkesztett trendvonalak típusát, színét és vastagságát, melyhez a Trend Line Format párbeszédpanel Nézet fülét használjuk (lásd 3. ábra). Az eredményül kapott diagram a hozzáadott trendvonalakkal az ábrán látható. 5.

Táblázatos adatok beszerzése a vállalati nyereségről az 1995-2004 közötti trendvonalakon.

Használjuk az ábrán bemutatott trendvonal-egyenleteket. 5. Ehhez a D3:F3 tartomány celláiba írjon be szöveges információkat a kiválasztott trendvonal típusáról: Lineáris trend, Kvadratikus trend, Köbtrend. Ezután írja be a lineáris regressziós képletet a D4 cellába, és a kitöltési marker segítségével másolja ezt a képletet a D5:D13 cellatartomány relatív hivatkozásaival. Meg kell jegyezni, hogy a D4:D13 cellatartományból származó lineáris regressziós képletű cellák argumentumaként egy megfelelő cellát tartalmaznak az A4:A13 tartományból. Hasonlóképpen, másodfokú regresszió esetén töltse ki az E4:E13, köbös regresszió esetén pedig az F4:F13 cellatartományt. Így elkészült a vállalkozás 2003. és 2004. évi nyereségére vonatkozó előrejelzés. három irányzatot használva. Az így kapott értéktáblázat az ábrán látható. 6.

Készítsen diagramot.

2. probléma

Adjon hozzá logaritmikus, hatványos és exponenciális trendvonalakat a diagramhoz.

Vezesse le a kapott trendvonalak egyenleteit, valamint mindegyikre az R2 közelítés megbízhatósági értékeit.

A trendvonal-egyenletek segítségével táblázatos adatokat kapjon a vállalat nyereségéről az 1995-2002 közötti időszak minden egyes trendvonalához.

Probléma megoldás

Az 1. feladat megoldásánál megadott módszertant követve egy diagramot kapunk, amelyhez hozzáadjuk a logaritmikus, hatvány- és exponenciális trendvonalakat (7. ábra). Ezután a kapott trendvonal-egyenletek felhasználásával kitöltjük a vállalkozás nyereségének értéktáblázatát, amely tartalmazza a 2003-as és 2004-es előrejelzett értékeket. (8. ábra).

ábrán. 5. és 3. ábra. látható, hogy a logaritmikus trendű modell a legalacsonyabb közelítési megbízhatóság értéknek felel meg

R2 = 0,8659

Az R2 legmagasabb értékei polinomiális trenddel rendelkező modelleknek felelnek meg: másodfokú (R2 = 0,9263) és köbös (R2 = 0,933).

3. probléma

Az 1. feladatban megadott, egy gépjármű-közlekedési vállalkozás 1995-2002. évi nyereségére vonatkozó adattáblázattal a következő lépéseket kell végrehajtania.

Szerezzen adatsorokat a lineáris és exponenciális trendvonalakhoz a TREND és a GROW függvények segítségével.

A TREND és GROWTH függvények segítségével készítsen előrejelzést a vállalkozás 2003. és 2004. évi nyereségére vonatkozóan.

Készítsen diagramot az eredeti adatokhoz és a kapott adatsorokhoz!

Probléma megoldás

Használjuk a munkalapot az 1. feladathoz (lásd 4. ábra). Kezdjük azzal TREND függvények:

válassza ki a D4:D11 cellák tartományát, amelyet fel kell tölteni a TREND függvény értékeivel, amelyek megfelelnek a vállalkozás nyereségére vonatkozó ismert adatoknak;

Hívja be a Funkció parancsot a Beszúrás menüből. A megjelenő Funkcióvarázsló párbeszédpanelen válassza ki a TREND függvényt a Statisztikai kategóriából, majd kattintson az OK gombra. Ugyanez a művelet elvégezhető a szabványos eszköztár (Funkció beszúrása) gombjára kattintva.

A megjelenő Függvényargumentumok párbeszédpanelen írja be a C4:C11 cellatartományt az Ismert_értékek_y mezőbe; az Ismert_értékek_x mezőben - a B4:B11 cellatartomány;

Ha a beírt képletet tömbképletté szeretné tenni, használja a + + billentyűkombinációt.

A képletsorba beírt képlet így fog kinézni: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).

Ennek eredményeként a D4:D11 cellák tartománya megtelik a TREND funkció megfelelő értékeivel (9. ábra).

A vállalkozás nyereségének előrejelzése 2003-ra és 2004-re. szükséges:

válassza ki a D12:D13 cellák tartományát, ahol a TREND függvény által előre jelzett értékek kerülnek beírásra.

hívja meg a TREND függvényt, és a megjelenő Függvényargumentumok párbeszédpanelen írja be a Known_values_y mezőbe - a C4:C11 cellatartományt; az Ismert_értékek_x mezőben - a B4:B11 cellatartomány; az Új_értékek_x mezőben pedig a B12:B13 cellatartomány.

alakítsa át ezt a képletet tömbképletté a Ctrl + Shift + Enter billentyűkombináció segítségével.

A beírt képlet így fog kinézni: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), és a D12:D13 cellák tartománya ki lesz töltve a TREND függvény előrejelzett értékeivel (lásd az ábrát). 9).

Az adatsort hasonlóan töltjük ki a GROWTH függvénnyel, amely a nemlineáris függőségek elemzésére szolgál, és pontosan ugyanúgy működik, mint a TREND lineáris megfelelője.

A 10. ábra a táblázatot képlet megjelenítési módban mutatja.

A kiinduló adatokhoz és a kapott adatsorokhoz az ábrán látható diagram. 11.

4. probléma

A gépjárművek diszpécserszolgálata által a tárgyhó 1-től 11-ig terjedő időszakra vonatkozó szolgáltatási igények beérkezésének adattáblázatával a következő műveleteket kell végrehajtania.

Adatsorok lekérése lineáris regresszióhoz: a SLOPE és INTERCEPT függvények használatával; a LINEST funkció használatával.

Szerezzen be egy adatsort az exponenciális regresszióhoz az LGRFPRIBL függvény segítségével.

A fenti funkciók segítségével készítsen előrejelzést a diszpécserszolgálathoz történő jelentkezések beérkezéséről a tárgyhó 12-től 14-ig terjedő időszakra.

Készítsen diagramot az eredeti és a kapott adatsorokhoz!

Probléma megoldás

Vegye figyelembe, hogy a TREND és GROWTH függvényekkel ellentétben a fent felsorolt ​​függvények (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) egyike sem regresszió. Ezek a függvények csak támogató szerepet játszanak, meghatározzák a szükséges regressziós paramétereket.

A SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB függvényekkel felépített lineáris és exponenciális regresszióknál az egyenleteik megjelenése mindig ismert, ellentétben a TREND és GROWTH függvényeknek megfelelő lineáris és exponenciális regressziókkal.

1 . Készítsünk lineáris regressziót a következő egyenlettel:

y = mx+b

a SLOPE és INTERCEPT függvények használatával, az m regressziós meredekséget a SLOPE függvény, a b szabad tagot pedig az INTERCEPT függvény határozza meg.

Ennek érdekében a következő műveleteket hajtjuk végre:

írja be az eredeti táblázatot az A4:B14 cellatartományba;

az m paraméter értéke a C19 cellában lesz meghatározva. Válasszon a kategóriából Statisztikai függvény Lejtő; írja be a B4:B14 cellatartományt az ismert_értékek_y mezőbe és az A4:A14 cellák tartományát az ismert_értékek_x mezőbe.

A képlet a C19 cellába kerül: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);

Ezután írja be a lineáris regressziós képletet a C4 cellába a következő formában: =$C*A4+$D. Ebben a képletben a C19 és D19 cellák abszolút hivatkozásokkal vannak írva (a cella címe nem változhat az esetleges másolás során). A $ abszolút referenciajel beírható a billentyűzetről vagy az F4 billentyűvel, miután a kurzort a cellacímre helyeztük.

2 A kitöltő fogantyú segítségével másolja ezt a képletet a C4:C17 cellatartományba. Megkapjuk a szükséges adatsorokat (12. ábra). Tekintettel arra, hogy a kérések száma egész szám, a Cellaformátum ablak Szám lapján a tizedesjegyek számának formátumát 0-ra kell állítani.

y = mx+b

. Most építsünk fel egy lineáris regressziót, amelyet az egyenlet ad meg:

a LINEST funkció használatával.

Ehhez tegye a következőket:

Írja be a LINEST függvényt a C20:D20 cellák tartományába tömbképletként: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). Ennek eredményeként megkapjuk az m paraméter értékét a C20 cellában, és a b paraméter értékét a D20 cellában;

írja be a képletet a D4 cellába: =$C*A4+$D;

3 másolja ezt a képletet a kitöltési marker segítségével a D4:D17 cellatartományba, és kapja meg a kívánt adatsort.

. Építünk egy exponenciális regressziót a következő egyenlettel:

az LGRFPRIBL funkció használatával hasonló módon hajtják végre:

A C21:D21 cellatartományban tömbképletként beírjuk az LGRFPRIBL függvényt: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). Ebben az esetben az m paraméter értéke a C21 cellában, a b paraméter értéke pedig a D21 cellában kerül meghatározásra;

a képlet az E4 cellába kerül: =$D*$C^A4;

a kitöltési marker segítségével ezt a képletet az E4:E17 cellatartományba másoljuk, ahol az exponenciális regresszió adatsorai lesznek (lásd 12. ábra).

ábrán. A 13. ábra egy táblázatot mutat, ahol láthatjuk az általunk használt függvényeket a szükséges cellatartományokkal, valamint képleteket. Nagyságrend 2 R hívott.

determinációs együttható

A regressziós függés megalkotásának feladata, hogy megtaláljuk az (1) modell m együtthatóinak azt a vektorát, amelynél az R együttható felveszi a maximális értéket.

Az R szignifikanciájának értékelésére Fisher-féle F-tesztet használnak, amelyet a képlet alapján számítanak ki n Ahol

- mintanagyság (kísérletek száma);

k a modell együtthatók száma. nÉs Ha F meghaladja az adatok valamelyik kritikus értékét k és az elfogadott megbízhatósági valószínűséget, akkor R értéke szignifikánsnak tekinthető. Táblázatok kritikus értékek

Így az R jelentőségét nemcsak az értéke határozza meg, hanem a kísérletek számának és a modell együtthatóinak (paramétereinek) számának aránya is. Valójában a korrelációs arány n=2 esetén egy egyszerű lineáris modell esetén 1 (egyetlen egyenes mindig húzható egy síkon 2 ponton keresztül). Ha azonban a kísérleti adatok véletlen változók, akkor az R ilyen értékében nagy körültekintéssel kell megbízni. Általában a szignifikáns R és megbízható regresszió elérése érdekében arra törekednek, hogy a kísérletek száma jelentősen meghaladja a modell együtthatók számát (n>k).

Lineáris regressziós modell felépítéséhez a következőkre lesz szüksége:

1) készítsen egy listát n sorból és m oszlopból, amelyek kísérleti adatokat tartalmaznak (a kimeneti értéket tartalmazó oszlop Y elsőnek vagy utolsónak kell lennie a listán); Vegyük például az előző feladat adatait, adjunk hozzá egy „Időszakszám” nevű oszlopot, számozzuk meg a periódusszámokat 1-től 12-ig. (ezek lesznek az értékek X)

2) lépjen az Adatok/Adatelemzés/Regresszió menübe

Ha az "Eszközök" menüből hiányzik az "Adatelemzés" pont, akkor ugyanebben a menüben lépjen a "Kiegészítők" menüpontra, és jelölje be az "Elemzési csomag" jelölőnégyzetet.

3) a "Regresszió" párbeszédpanelen állítsa be:

· Y beviteli intervallum;

· X beviteli intervallum;

· kimeneti intervallum - annak az intervallumnak a bal felső cellája, amelybe a számítási eredmények kerülnek (ajánlott új munkalapon elhelyezni);

4) kattintson az "Ok" gombra, és elemezze az eredményeket.

A legkisebb négyzetek módszere (LSM) lehetővé teszi a becslést különféle mennyiségben, sok véletlenszerű hibákat tartalmazó mérés eredményeit felhasználva.

Az MNE-k jellemzői

fő gondolat ezt a módszert abban áll, hogy a probléma megoldásának pontosságának kritériumaként a négyzetes hibák összegét veszik figyelembe, amelyet igyekeznek minimalizálni. Ennek a módszernek a használatakor mind numerikus, mind analitikus megközelítések használhatók.

A legkisebb négyzetek módszere numerikus megvalósításként azt jelenti, hogy a lehető legtöbbet kell végrehajtani több az ismeretlen mérései valószínűségi változó. Sőt, mint további számítások, annál pontosabb lesz a megoldás. A számítások ezen halmaza (kiindulási adatok) alapján egy másik becsült megoldáskészletet kapunk, amelyből azután kiválasztjuk a legjobbat. Ha a megoldások halmazát paraméterezzük, akkor a legkisebb négyzetek módszere a paraméterek optimális értékének meghatározására redukálódik.

Az LSM megvalósításának analitikus megközelítéseként egy kezdeti adathalmazon (mérések) és egy várt megoldáshalmazon meghatároznak egy bizonyosat (funkcionális), amelyet egy bizonyos hipotézisként kapott képlettel lehet kifejezni, amely megerősítést igényel. Ebben az esetben a legkisebb négyzetek módszere az eredeti adatok négyzetes hibáinak halmazán ennek a funkcionálisnak a minimumának megtalálásához vezet.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem maguk a hibák, hanem a hibák négyzetei. Miért? Az a tény, hogy gyakran eltérések a mérések pontos érték pozitívak és negatívak is. Az átlag meghatározásakor az egyszerű összegzés helytelen következtetést vonhat le a becslés minőségéről, mivel a pozitív és negatív értékek törlése csökkenti a többszörös mérési mintavétel erejét. És ennek következtében az értékelés pontossága.

Hogy ez ne forduljon elő, a négyzetes eltéréseket összegezzük. Sőt, a mért érték és a végső becslés dimenziójának kiegyenlítése érdekében a négyzetes hibák összegét kivonják.

Néhány MNC alkalmazás

Az MNC-t széles körben használják különböző területeken. Például a valószínűségszámításban ill matematikai statisztika a módszert a valószínűségi változó olyan jellemzőjének meghatározására használják, mint a szórás, amely meghatározza a valószínűségi változó értéktartományának szélességét.

Számos felhasználási területe van, mivel közelítő ábrázolást tesz lehetővé adott funkciót mások egyszerűbbek. Az LSM rendkívül hasznos lehet a megfigyelések feldolgozásában, és aktívan használják bizonyos mennyiségek becslésére más véletlenszerű hibákat tartalmazó mérési eredmények alapján. Ebből a cikkből megtudhatja, hogyan lehet a legkisebb négyzetek számításait végrehajtani az Excelben.

A probléma megfogalmazása konkrét példán keresztül

Tegyük fel, hogy két mutató van X és Y. Sőt, Y függ X-től. Mivel az OLS a regresszióanalízis szempontjából érdekel minket (az Excelben a metódusait beépített függvényekkel valósítják meg), azonnal át kell térnünk egy konkrét probléma.

Tehát legyen X egy élelmiszerbolt üzlethelyisége, mérve négyzetméter, Y pedig az éves forgalom, millió rubelben meghatározva.

Előrejelzést kell készíteni, hogy mekkora (Y) forgalma lesz az üzletnek, ha van ilyen vagy olyan üzlethelyisége. Nyilvánvalóan az Y = f (X) függvény növekszik, hiszen a hipermarket több árut ad el, mint a bódé.

Néhány szó az előrejelzéshez használt kiindulási adatok helyességéről

Tegyük fel, hogy van egy táblánk, amely n bolt adataiból készült.

A matematikai statisztikák szerint az eredmények többé-kevésbé helyesek, ha legalább 5-6 objektum adatait megvizsgáljuk. Ezenkívül „rendellenes” eredmények nem használhatók. Különösen egy elit kis butik forgalma többszöröse lehet a „masmarket” osztályba tartozó nagy kiskereskedelmi egységek forgalmának.

A módszer lényege

A táblázat adatai ábrázolhatók Descartes sík M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) pontok formájában. Most a feladat megoldása egy y = f (x) közelítő függvény kiválasztására lesz redukálva, amelynek gráfja a lehető legközelebb megy át az M 1, M 2, .. M n pontokhoz.

Természetesen polinomot is használhat magas fokú, de ezt a lehetőséget nemcsak nehéz megvalósítani, hanem egyszerűen helytelen is, mivel nem tükrözi a fő tendenciát, amelyet észlelni kell. A legtöbbet ésszerű döntés az y = ax + b egyenes megkeresése, amely a legjobban közelíti a kísérleti adatokat, pontosabban az a és b együtthatót.

Pontosság értékelése

Bármilyen közelítés mellett a pontosságának értékelése különösen fontos. Jelöljük e i-vel a funkcionális és a különbséget (eltérést). kísérleti értékek x i pontra, azaz e i = y i - f (x i).

Nyilvánvalóan a közelítés pontosságának értékeléséhez használhatja az eltérések összegét, azaz amikor egyenest választ X X Y-tól való függésének hozzávetőleges ábrázolásához, előnyben kell részesítenie azt, amelyiknek a legkisebb értéke van. az összeg e i minden figyelembe vett ponton. Azonban nem minden olyan egyszerű, mivel a pozitív eltérések mellett negatívak is lesznek.

A probléma megoldható eltérési modulok vagy azok négyzetei segítségével. Az utolsó módszer kapta a legtöbbet széles körben elterjedt. Számos területen használják, beleértve regressziós elemzés(Excelben a megvalósítás két beépített funkcióval történik), és régóta bizonyította hatékonyságát.

A legkisebb négyzetek módszere

Az Excel, mint tudod, rendelkezik egy beépített AutoSum funkcióval, amely lehetővé teszi a kiválasztott tartományban található összes érték értékének kiszámítását. Így semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy kiszámoljuk a kifejezés értékét (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

IN matematikai jelölésígy néz ki:

Mivel eredetileg úgy döntöttünk, hogy egy egyenest közelítünk, a következőt kaptuk:

Így az X és Y mennyiségek fajlagos függőségét legjobban leíró egyenes megtalálásának feladata két változó függvényének minimumának kiszámítása:

Ehhez az új a és b változók parciális deriváltjait nullával kell egyenlővé tenni, és meg kell oldani egy primitív rendszert, amely két egyenletből áll, és két ismeretlen alakú:

Néhány egyszerű átalakítás után, beleértve a 2-vel való osztást és az összegek manipulálását, a következőket kapjuk:

Megoldva például Cramer módszerével azt kapjuk álló pont bizonyos a * és b * együtthatókkal. Ez a minimum, vagyis annak előrejelzéséhez, hogy mekkora forgalmat bonyolít le az üzlet bizonyos terület, az y = a * x + b * egyenes alkalmas, ami az regressziós modell a kérdéses példához. Természetesen nem engedi, hogy megtalálja pontos eredmény, de segít képet alkotni arról, hogy kifizetődő-e egy adott terület bolti hitelre történő vásárlása.

A legkisebb négyzetek implementálása az Excelben

Az Excelnek van egy funkciója az értékek legkisebb négyzetek használatával történő kiszámítására. Megvan következő nézet: „TREND” (ismert Y értékek; ismert X értékek; új X értékek; állandó). Alkalmazzuk táblázatunkra az Excelben az OLS-számítás képletét.

Ehhez írja be a „=” jelet abba a cellába, amelyben az Excel legkisebb négyzetek módszerével végzett számítás eredményét meg kell jeleníteni, és válassza ki a „TREND” funkciót. A megnyíló ablakban töltse ki a megfelelő mezőket, kiemelve:

• Y ismert értékeinek tartománya (in ebben az esetben kereskedelmi forgalom adatai);
• tartomány x 1, …x n, azaz az üzlethelyiség mérete;
• x ismert és ismeretlen értékei, amelyekhez meg kell találnia a forgalom nagyságát (a munkalapon való elhelyezkedésükről lásd alább).

Ezenkívül a képlet tartalmazza a „Const” logikai változót. Ha 1-et ír be a megfelelő mezőbe, ez azt jelenti, hogy el kell végeznie a számításokat, feltételezve, hogy b = 0.

Ha egynél több x értékre kell megtudnia az előrejelzést, akkor a képlet beírása után ne nyomja meg az „Enter” gombot, hanem a „Shift” + „Control” + „Enter” kombinációt kell begépelnie a billentyűzeten.

Néhány funkció

A regressziós elemzés még a bábuk számára is elérhető. Excel képlet az ismeretlen változókból álló tömb értékének megjóslására - "TREND" - azok is használhatják, akik még soha nem hallottak a legkisebb négyzetek módszeréről. Elég csak ismerni a munkájának néhány jellemzőjét. Különösen:

• Ha az y változó ismert értékeinek tartományát egy sorban vagy oszlopban rendezi, akkor minden sor (oszlop) ismert értékek x-et a program külön változóként kezeli.
• Ha a TREND ablak nem jelez ismert x-szel rendelkező tartományt, akkor ha a függvényt használjuk Excel program egész számokból álló tömbként fogja kezelni, amelyek száma megfelel a -val tartománynak adott értékeket y változó.
• A „megjósolt” értékek tömbjének kiadásához a trend kiszámításához használt kifejezést tömbképletként kell megadni.
• Ha nincs megadva új x értékek, akkor a TREND függvény egyenlőnek tekinti azokat az ismertekkel. Ha nincsenek megadva, akkor az 1. tömböt veszi argumentumnak; 2; 3; 4;…, amely arányos a már megadott y paraméterek tartományával.
• Az új x értékeket tartalmazó tartománynak azonos ill több sorokat vagy oszlopokat adott y értékkel rendelkező tartományként. Más szóval, arányosnak kell lennie a független változókkal.
• Egy ismert x értékkel rendelkező tömb több változót is tartalmazhat. Ha azonban arról beszélünk csak egy, akkor szükséges, hogy a megadott x és y értékű tartományok arányosak legyenek. Több változó esetén szükséges, hogy a megadott y értékekkel rendelkező tartomány egy oszlopba vagy egy sorban elférjen.

PREDICTION funkció

Több funkcióval valósítva meg. Az egyik az úgynevezett „PREDICTION”. Hasonló a „TREND”-hez, azaz a legkisebb négyzetek módszerével végzett számítások eredményét adja meg. Azonban csak egy X-re, amelyre Y értéke ismeretlen.

Most már ismer olyan képleteket az Excelben, amelyek lehetővé teszik egy adott mutató jövőbeli értékének előrejelzését egy lineáris trend szerint.

A legkisebb négyzetek módszerének lényege egy olyan trendmodell paramétereinek megtalálásában, amely a legjobban leírja bármely véletlenszerű jelenség időbeni vagy térbeli fejlődési tendenciáját (a trend egy vonal, amely ennek a fejlődésnek a tendenciáját jellemzi). A legkisebb négyzetek módszerének (LSM) feladata nem csak egy trendmodell, hanem a legjobb vagy optimális modell megtalálása is. Ez a modell akkor lesz optimális, ha az összeg négyzetes eltérések a megfigyelt tényleges értékek és a megfelelő számított trendértékek között minimális (legkisebb):

ahol a megfigyelt tényleges érték közötti négyzetes eltérés

és a megfelelő számított trendérték,

A vizsgált jelenség tényleges (megfigyelt) értéke,

A trendmodell számított értéke,

A vizsgált jelenség megfigyelésének száma.

Az MNC-t meglehetősen ritkán használják önmagában. Általában a korrelációs vizsgálatok során leggyakrabban csak szükséges technikai technikaként használják. Emlékeztetni kell arra, hogy az MNC információs alapja csak megbízható lehet statisztikai sorozat, és a megfigyelések száma nem lehet kevesebb 4-nél, különben az OLS simító eljárások elveszíthetik a józan eszét.

Az MNC eszközkészlet a következő eljárásokból áll:

Első eljárás. Kiderül, hogy van-e egyáltalán tendencia az eredő attribútum megváltoztatására, amikor a kiválasztott faktor-argumentum megváltozik, vagy más szóval, van-e kapcsolat a „ at "És" X ».

Második eljárás. Meghatározzák, hogy melyik vonal (pálya) tudja legjobban leírni vagy jellemezni ezt a tendenciát.

Harmadik eljárás.

Példa. Tegyük fel, hogy van információnk a vizsgált gazdaság átlagos napraforgóterméséről (9.1. táblázat).

9.1. táblázat

Mivel hazánkban a napraforgótermesztés technológiai szintje az elmúlt 10 évben gyakorlatilag változatlan maradt, ez azt jelenti, hogy a vizsgált időszakban a terméshozam ingadozása nagymértékben függött az időjárási és éghajlati viszonyok ingadozásától. Ez tényleg igaz?

Az első OLS eljárás. A hipotézist a napraforgó terméshozamában az időjárási és éghajlati viszonyok változásától függően az elemzett 10 év alatti tendencia meglétére vonatkozó hipotézist teszteljük.

IN ebben a példában a " y " célszerű a napraforgó hozamát venni, és a " x » – a vizsgált év száma a vizsgált időszakban. Annak a hipotézisnek a tesztelése, hogy létezik-e bármilyen kapcsolat x "És" y » kétféleképpen végezhető: manuálisan és használatával számítógépes programok. Természetesen, ha van számítástechnika ezt a problémát magától megoldódik. De az MNC-eszközök jobb megértése érdekében tanácsos tesztelni azt a hipotézist, hogy létezik-e kapcsolat a „ x "És" y » manuálisan, amikor csak egy toll és közönséges számológép. Ilyen esetekben a trend létezésére vonatkozó hipotézist legjobban hely szerint lehet vizuálisan ellenőrizni grafikus kép elemzett dinamikasorozat - korrelációs mező:

Példánkban a korrelációs mező egy lassan növekvő vonal körül helyezkedik el. Ez önmagában azt jelzi, hogy a napraforgótermés változásában bizonyos tendencia van. Csak akkor nem lehet tendencia jelenlétéről beszélni, ha a korrelációs mező körnek, körnek, szigorúan függőleges vagy szigorúan vízszintes felhőnek néz ki, vagy kaotikusan szétszórt pontokból áll. Minden más esetben az a hipotézis, hogy létezik kapcsolat x "És" y ", és folytassa a kutatást.

Második OLS eljárás. Meghatározzuk, hogy melyik vonal (pálya) írja le vagy jellemezze legjobban a napraforgótermés változásának trendjét a vizsgált időszakban.

Ha rendelkezik számítástechnikával, az optimális trend kiválasztása automatikusan megtörténik. A „kézi” feldolgozás során az optimális funkció kiválasztása általában vizuálisan történik - a korrelációs mező helye alapján. Ez azt jelenti, hogy a gráf típusa alapján az empirikus trendhez (a tényleges pályához) legjobban illeszkedő egyenes egyenlete kerül kiválasztásra.

Mint ismeretes, a természetben nagyon sokféle funkcionális függőség létezik, ezért rendkívül nehéz vizuálisan elemezni még egy kis részét is. Szerencsére a valós gazdasági gyakorlatban a legtöbb összefüggés elég pontosan leírható akár parabolával, akár hiperbolával, akár egyenessel. Ebben a tekintetben a legjobb funkció kiválasztásának „kézi” opciójával csak erre a három modellre korlátozhatja magát.

Másodrendű parabola: :

Könnyen észrevehető, hogy példánkban a napraforgótermés változásának trendjét az elemzett 10 év alatt az egyenes vonal jellemzi legjobban, így a regressziós egyenlet egy egyenes egyenlete lesz.

Harmadik eljárás. A jellemző regressziós egyenlet paraméterei ezt a sort, vagy más szavakkal, meghatároznak egy analitikai képletet, amely leírja a legjobb trendmodellt.

A regressziós egyenlet paraméterei értékeinek megkeresése, esetünkben a és a paraméterek, az OLS magja. Ez a folyamat a rendszer megoldására redukálódik normál egyenletek.

(9.2)

Ez az egyenletrendszer meglehetősen könnyen megoldható Gauss-módszerrel. Emlékezzünk vissza, hogy a megoldás eredményeként példánkban a és a paraméterek értékei találhatók. Így a talált regressziós egyenlet a következő formában lesz: