Az aranymetszés digitális sorozata. "Magamnak születtem, segíts másnak"

Az élet ökológiája. Kognitív: A természet (beleértve az embert is) azon törvények szerint fejlődik, amelyek ebbe a számsorba ágyazódnak...

A Fibonacci-számok olyan numerikus sorozatok, ahol a sorozat minden következő tagja egyenlő az előző két szám összegével, azaz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 26099398980000, .. 422297015649 812000, .. A Fibonacci-sorszámok összetett és elképesztő tulajdonságait a legkülönfélébb hivatásos tudósok és a matematika rajongói tanulmányozták.

1997-ben több furcsa vonások sorozatot írta le Vlagyimir Mihajlov kutató, aki meg volt győződve arról A természet (beleértve az embert is) azon törvények szerint fejlődik, amelyek ebbe a számsorba ágyazódnak.

A Fibonacci-számsor figyelemre méltó tulajdonsága, hogy a sorozatok számainak növekedésével a sorozat két szomszédos tagjának aránya aszimptotikusan megközelíti az aranyarány pontos arányát (1:1,618), amely a szépség és a harmónia alapja a világban. a minket körülvevő természet, beleértve az emberi kapcsolatokat is.

Figyeld meg, hogy Fibonacci maga fedezte fel az övét híres sor, gondolva arra a problémára, hogy hány nyulak kell egy párból egy éven belül születni. Kiderült, hogy a második után minden következő hónapban a nyúlpárok száma pontosan követi a most a nevét viselő digitális sorozatot. Ezért nem véletlen, hogy maga az ember is a Fibonacci-sorozat szerint épül fel. Minden szerv a belső vagy külső kettősség szerint van elrendezve.

A Fibonacci-számok azzal vonzották a matematikusokat, hogy a legváratlanabb helyeken is megjelentek. Megfigyelték például, hogy a Fibonacci-számok egyen átvett arányai megfelelnek a növényszáron lévő szomszédos levelek közötti szögnek, pontosabban azt mondják, hogy ez a szög a fordulat hányadosa: 1/2 - szil és hárs, 1/3 - bükk, 2/5 - tölgy és alma, 3/8 - nyár és rózsa, 5/13 - fűz és mandula stb. Ugyanezeket a számokat találja a magvak a napraforgó spiráljaiban, a két tükörről visszaverődő sugarak számában, a méhek egyik sejtből a másikba való átkúszási útvonalainak számában, számos matematikai játékban és trükkben.

Mi a különbség az aranymetszetű spirálok és a Fibonacci spirálok között? Az aranymetszés spirál ideális. A harmónia Elsődleges Forrásának felel meg. Ennek a spirálnak nincs se eleje, se vége. Ez végtelen. A Fibonacci spirálnak van egy kezdete, ahonnan elkezd „kioldódni”. Ez egy nagyon fontos tulajdonság. Lehetővé teszi a Természet számára, hogy a következő zárt ciklus után új spirált építsen a semmiből.

Azt kell mondani, hogy a Fibonacci spirál lehet dupla. Számos példa van ezekre a kettős hélixekre szerte a világon. Így a napraforgó spirálok mindig korrelálnak a Fibonacci sorozattal. Ezt még egy közönséges fenyőtobozban is láthatod kettős spirál Fibonacci. Az első spirál az egyik, a második a másik irányba halad. Ha megszámolja az egyik irányba forgó spirál skáláinak számát, és egy másik spirálban lévő skálák számát, akkor láthatja, hogy ez mindig a Fibonacci sorozat két egymást követő száma. Ezeknek a spiráloknak a száma 8 és 13. A napraforgóban spirálpárok vannak: 13 és 21, 21 és 34, 34 és 55, 55 és 89. És ezektől a pároktól nincs eltérés!..

Egy személy kromoszómakészletében szomatikus sejt(23 pár van) az örökletes betegségek forrása 8, 13 és 21 pár kromoszóma...

De miért éppen ez a sorozat játszik meghatározó szerepet a Nature-ben? Erre a kérdésre átfogó választ adhat a hármasság fogalma, amely meghatározza önfenntartásának feltételeit. Ha a triász „érdekegyensúlyát” az egyik „partnere” megsérti, a másik két „társ” „véleményét” módosítani kell. A hármasság fogalma különösen nyilvánvaló a fizikában, ahol „majdnem” minden elemi részecske kvarkokból épül fel. Ha emlékezünk arra, hogy a kvark részecskék törttöltéseinek arányai egy sorozatot alkotnak, és ezek a Fibonacci sorozat első tagjai, amelyek más elemi részecskék kialakulásához szükségesek.

Lehetséges, hogy a Fibonacci spirál döntő szerepet játszhat a korlátozott és zárt hierarchikus terek mintázatának kialakításában. Valóban, képzeljük el, hogy a Fibonacci-spirál az evolúció egy szakaszában elérte a tökéletességet (az aranymetszés-spiráltól megkülönböztethetetlenné vált), és emiatt a részecskét a következő „kategóriába” kell átalakítani.

Ezek a tények ismét megerősítik, hogy a kettősség törvénye nemcsak minőségi, hanem mennyiségi eredményeket is ad. Elhitetik velünk, hogy a körülöttünk lévő Makróvilág és Mikrovilág ugyanazon törvények szerint fejlődik – a hierarchia törvényei szerint, és hogy ezek a törvények ugyanazok az élő és az élettelen anyagra.

Mindez arra utal a Fibonacci-számsor egy bizonyos titkosított természeti törvényt képvisel.

A civilizáció fejlődésének digitális kódja a számmisztika különböző módszereivel meghatározható. Például a komplex számok egyjegyűre redukálásával (például 15 az 1+5=6 stb.). Hasonló összeadási eljárás végrehajtása minden komplex számok Fibonacci sorozat, Mihajlov a következő számsorokat kapta: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, majd minden megismétlődik 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,... és ismétlődik újra és újra... Ez a sorozat is a Fibonacci sorozat tulajdonságaival rendelkezik, minden végtelenül következő tag egyenlő az előzőek összegével. Például a 13. és 14. tag összege 15, azaz. 8 és 8=16, 16=1+6=7. Kiderült, hogy ez a sorozat periodikus, 24 tagból álló periódussal, amely után a teljes számsor megismétlődik. Miután megkapta ezt az időszakot, Mikhailov előterjesztette érdekes feltevés - A 24 számjegyből álló halmaz nem egyfajta digitális kód a civilizáció fejlődéséhez? közzétett

ELŐFIZETÉS Ekonet.ru YouTube-csatornánkra, amely lehetővé teszi az emberi egészségről és a fiatalításról szóló ingyenes videók online megtekintését, letöltését a YouTube-ról. Szeretet mások és önmaga iránt,mint a magas rezgések érzése - fontos tényező wellness - weboldal

A pisai Leonardo, Fibonacci néven ismert, Európa első nagy matematikusa volt a késő középkorban. Jómódú kereskedő családban született Pisában, és pusztán gyakorlati igényből érkezett a matematikába, hogy üzleti kapcsolatokat létesítsen. Fiatal korában Leonardo sokat utazott, és elkísérte apját üzleti utakra. Például tudjuk, hogy hosszú ideig tartózkodott Bizáncban és Szicíliában. Az ilyen utazások során sokat kommunikált a helyi tudósokkal.

A ma nevét viselő számsorozat abból a nyúlproblémából nőtt ki, amelyet Fibonacci vázolt fel 1202-ben írt Liber abacci című könyvében:

Egy férfi egy pár nyulat egy karámba helyezett, amelyet minden oldalról fal vett körül. Hány pár nyulat teremhet ez a pár egy évben, ha tudjuk, hogy minden hónapban, a másodiktól kezdődően, minden nyúl pár hoz egy párat?

Biztos lehet benne, hogy a párok száma a következő tizenkét hónap mindegyikében lesz

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Más szóval, a nyúlpárok száma egy sorozatot hoz létre, amelyben minden tag az előző kettő összege. Úgy ismerik Fibonacci sorozatés maguk a számok - Fibonacci számok. Kiderült, hogy ennek a sorozatnak matematikai szempontból számos érdekes tulajdonsága van. Íme egy példa: feloszthat egy vonalat két szegmensre, így a nagyobb és a kisebb szakasz aránya arányos a teljes vonal és a nagyobb szakasz arányával. Ez az arányossági tényező, amely megközelítőleg egyenlő 1,618-cal, az úgynevezett aranymetszés. A reneszánsz idején azt hitték, hogy pontosan ezt az arányt figyelték meg építészeti szerkezetek, leginkább kellemes a szemnek. Ha a Fibonacci sorozatból egymás után párokat veszünk, és az egyes párok nagyobb számát elosztjuk a kisebb számmal, az eredmény fokozatosan megközelíti az aranymetszés mértékét.

Mióta Fibonacci felfedezte sorozatát, még olyan természeti jelenségeket is találtak, amelyekben úgy tűnik, ez a szekvencia fontos szerepet játszik. Egyikük - filotaxis(levélelrendezés) - az a szabály, amellyel például a magvakat napraforgóvirágzatba rendezik. A magvak két spirálsorban vannak elrendezve, amelyek közül az egyik az óramutató járásával megegyező, a másik az óramutató járásával ellentétes irányban halad. És mennyi a magok száma minden esetben? 34 és 55.

Fibonacci sorozat. Ha felülről nézzük a növény leveleit, észrevehetjük, hogy spirálisan virágoznak. A szomszédos levelek közötti szögek szabályosak matematikai sorozat Fibonacci szekvenciaként ismert. Ennek köszönhetően minden egyes fán növekvő levél a maximumot kapja elérhető mennyiség melegség és fény.

Piramisok Mexikóban

Nemcsak az egyiptomi piramisokat építették az aranymetszés tökéletes arányai szerint, ugyanezt a jelenséget a mexikói piramisoknál is megtalálták. Felmerül az ötlet, hogy az egyiptomi és a mexikói piramist is megközelítőleg egy időben emelték közös származású emberek.
A piramis keresztmetszete egy lépcsőhöz hasonló alakot mutat. Az első szint 16, a második 42, a harmadik pedig 68 lépcsőből áll.
Ezek a számok a következő Fibonacci-arányon alapulnak:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68

A sorozat első néhány száma után bármelyik tagjának aránya a következőhöz képest körülbelül 0,618, az előzőhöz pedig 1,618. A több sorozatszám a sorozat tagja, tehát közelebbi hozzáállás a phi számhoz, amely egy irracionális szám és egyenlő 0,618034-gyel... A sorozat egy számmal elválasztott tagjai közötti arány körülbelül 0,382, inverze pedig 2,618. ábrán. A 3-2. ábra az összes Fibonacci-szám arányát mutatja 1-től 144-ig.

F jelentése egyedülálló, amely 1-hez hozzáadva az inverzét adja: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Az összeadási és szorzási eljárások közötti kapcsolat a következő egyenletsorozathoz vezet:

Ha ezt a folyamatot folytatjuk, 13 x 21, 21 x 34 stb. téglalapokat fogunk létrehozni.

Most nézd meg. Ha a 13-at elosztod 8-cal, akkor 1,625-öt kapsz. És ha a nagyobb számot elosztja a kisebb számmal, ezek az arányok egyre közelebb kerülnek az 1,618-hoz, amelyet sokan Arany arányként ismernek, és ez a szám évszázadok óta lenyűgözi a matematikusokat, tudósokat és művészeket.

Fibonacci arány táblázat

Ahogy az új progresszió növekszik, a számok egy harmadik sorozatot alkotnak, amely a négy és a Fibonacci-szám szorzatához hozzáadott számokból áll. Ez ennek köszönhetően lehetséges. hogy a sorozat két pozíciónyi távolságra lévő tagjai közötti arány 4.236. ahol a 0,236 szám a 4,236 reciproka és. emellett a 4,236 és a 4 közötti különbség. Más tényezők más szekvenciákhoz vezetnek, amelyek mindegyike Fibonacci-arányokon alapul.

1. A kettő közül egyik sem egymást követő számok A Fibonacci-számoknak nincs közös tényezője.

2. Ha a Fibonacci-sorozat tagjait 1-re, 2-re, 3-ra, 4-re, 5-re, 6-ra, 7-re stb. számozzuk, azt találjuk, hogy a negyedik tag (a 3-as szám) kivételével bármely Az a Fibonacci-szám, amely prímszám (azaz önmagán és egyen kívül nincs osztója), szintén egyszerű tiszta. Hasonlóképpen, a Fibonacci-sorozat negyedik tagjának (3-as szám) kivételével a sorozattagok összes összetett száma (vagyis azoké, amelyeknek legalább két osztója van, kivéve önmagát és egyet) az összetett Fibonacci-számoknak felel meg, mivel a az alábbi táblázat mutatja. Ennek a fordítottja nem mindig igaz.

3. A sorozat bármely tíz tagjának összegét elosztjuk tizeneggyel.

4. Az összes Fibonacci-szám összege a sorozat egy bizonyos pontjáig plusz egy megegyezik a Fibonacci-számmal, amely két pozícióval van távolabb az utolsó hozzáadott számtól.

5. Az első 1-gyel kezdődő, egymást követő tagok négyzetösszege mindig egyenlő lesz a sorozat utolsó (egy adott mintából vett) számával megszorozva a következő taggal.

6. A Fibonacci-szám négyzete mínusz a sorozat második tagjának négyzete csökkenő irányban mindig a Fibonacci-szám lesz.

7. Bármely Fibonacci-szám négyzete egyenlő a sorozat előző tagjával, megszorozva a sorozat következő számával, plusz vagy mínusz eggyel. Egy alternatív összeadása és kivonása a sorozat előrehaladtával.

8. Az Fn szám négyzetének és a következő F Fibonacci-szám négyzetének összege egyenlő az F, Fibonacci-számmal. Az F - + F 2 = F„ képlet derékszögű háromszögekre vonatkozik, ahol a két rövidebb oldal négyzetösszege megegyezik a leghosszabb oldal négyzetével. A jobb oldalon egy példa az F5, F6 és F5 használatára Négyzetgyök az Fn.

10. Az egyik elképesztő jelenség, amelyről tudomásunk szerint még nem esett szó, hogy a Fibonacci-számok közötti arányok megegyeznek más Fibonacci-számok ezredrészéhez közel álló számokkal, a különbség ezredrészével egyenlő egy másik Fibonacci szám (lásd 3-2. ábra). Így emelkedő irányban két azonos Fibonacci-szám aránya 1, vagyis 0,987 plusz 0,013: a szomszédos Fibonacci-számok aránya 1,618. vagy 1,597 plusz 0,021; A sorozat valamely tagjának mindkét oldalán elhelyezkedő Fibonacci-számok aránya 2,618, vagy 2,584 plusz 0,034, és így tovább. Ellenkező irányban a szomszédos Fibonacci-számok aránya 0,618. vagy 0,610 plusz 0,008: a sorozat valamely tagjának mindkét oldalán elhelyezkedő Fibonacci-számok aránya 0,382 vagy 0,377 plusz 0,005; Azon Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat két tagja található, aránya 0,236 vagy 0,233 plusz 0,003: A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat három tagja található, aránya 0,146. vagy 0,144 plusz 0,002: Fibonacci-számok, amelyek között négy A sorozat tagjainak aránya 0,090, vagy 0,089 plusz 0,001: A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat öt tagja található, aránya 0,056. vagy 0,055 plusz 0,001; A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat hat-tizenkét tagja helyezkedik el, maguk is a Fibonacci-számok ezredrészei, 0,034-től kezdve. Érdekes módon ebben az elemzésben a Fibonacci-számokat összekötő együttható, amelyek között a sorozat tizenhárom tagja található, ismét a 0,001-es számmal kezdi a sorozatot, a kezdeti szám ezredrészétől! Az összes számítással tulajdonképpen egy hasonlóságot vagy „önreprodukciót végtelen sorozatban” kapunk, amely felfedi „a matematikai összefüggések legerősebb kapcsolatának” tulajdonságait.

Végül vegye figyelembe, hogy (V5 + 1)/2 = 1,618 és [\^5- 1)/2 = 0,618. ahol V5 = 2,236. 5 bizonyul a legfontosabbnak hullám elve szám, négyzetgyöke pedig az f szám matematikai kulcsa.

Az 1,618 (vagy 0,618) számot aranymetszésnek vagy aranyátlagnak nevezik. A hozzá kapcsolódó arányosság szemnek és fülnek kellemes. Megnyilvánul a biológiában, a zenében, a festészetben és az építészetben. A Smithsonian Magazine 1975 decemberében megjelent cikkében William Hoffer ezt mondta:

„...A 0,618034:1 arány a matematikai alapja a játékkártya és a Parthenon, a napraforgó és a kagyló, a görög vázák és a világűr spirálgalaxisainak alakjának. Ez az arány a görögök számos műalkotásának és építészetének az alapja. "Arany középútnak" hívták.

A termékeny Fibonacci nyuszik a legváratlanabb helyeken bukkannak fel. A Fibonacci számok kétségtelenül egy misztikus természetes harmónia részei, amely jól érzi magát, jól néz ki, sőt még jól is hangzik. A zene például egy nyolchangú oktávra épül. A zongorán ezt 8 fehér és 5 fekete billentyű képviseli - összesen 13. Nem véletlen, hogy a legnagyobb örömet okozó zenei intervallum a hatodik. Az "E" hang 0,62500 arányban rezeg a "C" hanghoz képest. Ez csak 0,006966 távolságra van a pontos arany középúttól. A hatodik aránya kellemes rezgéseket közvetít a középfül csigájához - egy olyan szervhez, amely logaritmikus spirál alakú is.

A Fibonacci-számok és az aranyspirál állandó előfordulása a természetben pontosan megmagyarázza, miért olyan kellemes a 0,618034:1 arány a műalkotásokban. Az ember a művészetben az élet tükörképét látja, amelynek középpontjában az arany középút áll.”

A természet az aranymetszetet használja a legtökéletesebb alkotásaiban – az agy és a DNS-molekulák mikrokonvolúcióitól (lásd a 3. 9. ábrát) egészen a galaxisok méretéig. Olyan különféle jelenségekben nyilvánul meg, mint a kristálynövekedés, a fénytörés fénysugárüvegben, agyszerkezetben és idegrendszer, zenei konstrukciók, növények és állatok szerkezete. A tudomány egyre több bizonyítékot szolgáltat arra vonatkozóan, hogy a természetnek megvan az arányosság alapelve. Egyébként ezt a könyvet az öt ujja közül kettővel tartja, és mindegyik ujja három részből áll. Összesen: öt egység, amelyek mindegyike három részre oszlik - 5-3-5-3 progresszió, hasonló a hullámelv alapjául szolgálóhoz.

Szimmetrikus és arányos forma, elősegíti a legjobb vizuális észlelésés a szépség és a harmónia érzését kelti. A teljes kép mindig részekből áll különböző méretű, amelyek bizonyos kapcsolatban állnak egymással és az egésszel. Aranymetszés - legmagasabb megnyilvánulása az egész és részei tökéletesítése a tudományban, a művészetben és a természetben.

Egy egyszerű példával élve az aranymetszés egy szegmens két részre osztása olyan arányban, hogy a legtöbbúgy vonatkozik a kisebbre, mint az összegük (a teljes szegmens) a nagyobbra.

Ha a teljes c szakaszt 1-nek vesszük, akkor az a szegmens 0,618, a b szegmens 0,382 lesz, csak így teljesül az aranymetszés feltétele (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . c és a aránya 2,618, c és b aránya 1,618. Ezek ugyanazok a Fibonacci-arányok, amelyeket már ismerünk.

Természetesen van arany téglalap, arany háromszög és még arany téglalap is. Arányok emberi test sok tekintetben közel áll az Aranymetszethez.

De a móka akkor kezdődik, amikor egyesítjük a megszerzett tudásunkat. Az ábrán jól látható a kapcsolat a Fibonacci-sorozat és az aranyarány között. Az első méretű két négyzetből indulunk ki. Adjunk a tetejére egy második méretű négyzetet. Rajzolj mellé egy négyzetet oldallal összeggel egyenlő oldala az előző kettőnek, harmadik méret. Hasonlatosan egy ötös méretű négyzet jelenik meg. És így tovább, amíg el nem fárad, a lényeg az, hogy minden következő négyzet oldalának hossza egyenlő legyen az előző kettő oldalhosszának összegével. Egy sor téglalapot látunk, amelyek oldalhossza Fibonacci-szám, és furcsa módon Fibonacci-téglalapoknak hívják őket.

Ha sima vonalakat húzunk a négyzeteink sarkain, nem kapunk mást, mint egy Arkhimédész-spirált, melynek növekménye mindig egyenletes.

Az arany logaritmikus sorozat minden tagja az aranyarány hatványa ( z). A sorozat egy része valahogy így néz ki: ... z -5 ; z 4 ; z-3; z-2; z-1; z 0; z 1; z 2; z 3; z 4 ; z 5... Ha három tizedesjegyre kerekítjük az aranyarány értékét, akkor azt kapjuk z=1,618, akkor a sorozat így néz ki: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Minden következő tag nem csak az előzőt megszorozva szerezhető meg 1,618 , hanem a két előző hozzáadásával is. Így egy sorozatban az exponenciális növekedés két szomszédos elem egyszerű hozzáadásával érhető el. Ez egy sorozat eleje és vége nélkül, és a Fibonacci-szekvencia is erre igyekszik hasonlítani. Miután elég határozott kezdet, az ideálisra törekszik, anélkül, hogy azt valaha is elérné. Ez az élet.

És mégis, mindazzal kapcsolatban, amit láttunk és olvastunk, egészen logikus kérdések merülnek fel:
Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez a világegyetem építésze, aki megpróbálta ideálissá tenni? Minden úgy volt, ahogy akarta? És ha igen, miért romlott el? Mutációk? Szabad választás? Mi lesz ezután? A spirál göndörödik vagy letekercselődik?

Ha megtalálta a választ egy kérdésre, megkapja a következőt. Ha megoldod, kapsz két újat. Ha megbirkózik velük, megjelenik még három. Ha ezeket is megoldotta, akkor öt megoldatlan marad. Aztán nyolc, majd tizenhárom, 21, 34, 55...

• Fordítás

Bevezetés

A programozóknak mostanra elegük kell a Fibonacci-számokból. Számításukra mindvégig példákat használunk. Minden attól függ, mit adnak ezek a számok legegyszerűbb példa rekurzió. Ezek is jó példái a dinamikus programozásnak. De szükséges-e ezeket így kiszámítani egy valós projektben? Nincs szükség. Sem a rekurziós, sem a dinamikus programozás nem az ideális lehetőségek. És nem egy lebegőpontos számokat használó zárt képlet. Most elmondom, hogyan kell helyesen csinálni. De először nézzük meg az összes ismert megoldási lehetőséget.

A kód Python 3-hoz készült, bár a Python 2-vel is működnie kell.

Először is hadd emlékeztesselek a definícióra:

Fn = Fn-1 + Fn-2

És F 1 = F 2 =1.

Zárt képlet

A részleteket kihagyjuk, de az érdeklődők megismerkedhetnek a képlet levezetésével. Az ötlet az, hogy feltételezzük, hogy van olyan x, amelyre F n = x n, majd keressük meg x-et.

Mit jelent

Csökkentse x n-2

A másodfokú egyenlet megoldása:

Itt nő az „aranymetszés” ϕ=(1+√5)/2. Az eredeti értékeket behelyettesítve és további számításokat végezve a következőket kapjuk:

Ezt használjuk az Fn kiszámításához.

__jövő__ import részlegből import math def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Jó:
Gyors és egyszerű kis n
A rossz:
Lebegőpontos műveletek szükségesek. A nagy n nagyobb pontosságot igényel.
Gonosz:
A komplex számok használata az F n kiszámításához matematikai szempontból szép, de számítógépes szempontból csúnya.

Rekurzió

A legkézenfekvőbb megoldás az, amelyet már sokszor látott, valószínűleg a rekurzió példájaként. A teljesség kedvéért még egyszer megismétlem. Pythonban egy sorba írható:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2), ha n > 2 különben 1

Jó:
Egy nagyon egyszerű megvalósítás, amely követi a matematikai definíciót
A rossz:
Exponenciális végrehajtási idő. Nagy n esetén nagyon lassú
Gonosz:
Stack Overflow

Memorizálás

A rekurziós megoldás rendelkezik egy nagy probléma: metsző számítások. A fib(n) meghívásakor a fib(n-1) és a fib(n-2) megszámlálódik. De amikor a fib(n-1)-t megszámoljuk, a fib(n-2)-t ismét függetlenül számolja – vagyis a fib(n-2)-t kétszer számolja. Ha folytatjuk az érvelést, látni fogjuk, hogy a fib(n-3) háromszor lesz megszámolva stb. Túl sok kereszteződés.

Ezért csak emlékeznie kell az eredményekre, hogy ne számolja újra. Ez a megoldás lineárisan időt és memóriát fogyaszt. A megoldásomban szótárt használok, de egy egyszerű tömb is használható.

M = (0:0, 1:1) def fib(n): ha n az M-ben: visszatérés M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) visszatérés M[n]

(Pythonban ez a functools.lru_cache dekorátorral is megtehető.)

Jó:
Csak alakítsa át a rekurziót memóriamegoldássá. Az exponenciális végrehajtási időt lineáris végrehajtássá alakítja, ami több memóriát fogyaszt.
A rossz:
Sok memóriát pazarol
Gonosz:
Lehetséges veremtúlcsordulás, akárcsak a rekurzió

Dinamikus programozás

A memorizálással való megoldás után világossá válik, hogy nem az összes korábbi eredményre van szükségünk, hanem csak az utolsó kettőre. Továbbá, ahelyett, hogy a fib(n)-ből kezdenénk és visszafelé haladnánk, kezdhetjük a fib(0)-ból, és haladhatunk előre. A következő kód lineáris végrehajtási idővel és fix memóriahasználattal rendelkezik. A gyakorlatban a megoldási sebesség még nagyobb lesz, mivel nincs rekurzív függvényhívás és kapcsolódó munka. És a kód egyszerűbbnek tűnik.

Ezt a megoldást gyakran emlegetik a dinamikus programozás példájaként.

Def fib(n): a = 0 b = 1 __ esetén az(n) tartományban: a, b = b, a + b visszatér a

Jó:
Gyorsan működik kis n-es, egyszerű kódokhoz
A rossz:
Még mindig lineáris végrehajtási idő
Gonosz:
Semmi különös.

Mátrix algebra

És végül a legkevésbé megvilágított, de a legtöbb helyes megoldás okosan használja az időt és a memóriát. Bármilyen homogén lineáris szekvenciára kiterjeszthető. Az ötlet a mátrixok használata. Elég csak ezt látni

És ennek az általánosítása ezt mondja

Az x két korábban kapott értéke, amelyek közül az egyik az aranymetszés volt sajátértékek mátrixok. Ezért a zárt képlet származtatásának másik módja a használata mátrix egyenletés lineáris algebra.

Miért hasznos tehát ez a megfogalmazás? Mivel a hatványozás logaritmikus időben is elvégezhető. Ez négyzetre emeléssel történik. A lényeg az

Ahol az első kifejezést páros A-ra használjuk, a másodikat páratlanra. Már csak a mátrixszorzások rendszerezése van hátra, és minden készen áll. Ez a következő kódot eredményezi. Létrehoztam a pow rekurzív megvalósítását, mert könnyebben érthető. Lásd az iteratív verziót itt.

Def pow(x, n, I, mult): """ Az x-et n hatványára adja vissza. Feltételezi, hogy I az azonosságmátrix, amelyet mult-tal szorozunk, és n egy pozitív egész """, ha n == 0: I visszatérés elif n == 1: return x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identitásmátrix (n): """ Visszatér identitásmátrix n by n""" r = lista(tartomány(n)) return [ for j in r] def matrix_multiply(A, B): BT = list(zip(*B)) return [ for row_a in A] def fib( n): F = pow([, ], n, azonosságmátrix(2), mátrix_szorzás) return F

Jó:
Rögzített memóriaméret, logaritmikus idő
A rossz:
A kód bonyolultabb
Gonosz:
Mátrixokkal kell dolgozni, bár nem olyan rosszak

Teljesítmény-összehasonlítás

Csak a dinamikus programozás és a mátrix változatát érdemes összehasonlítani. Ha összehasonlítjuk őket az n szám karaktereinek számával, akkor kiderül, hogy mátrix megoldás lineáris, a megoldás pedig azzal dinamikus programozás– exponenciálisan. Gyakorlati példa a fib(10 ** 6) kiszámítása, amely szám több mint kétszázezer számjegyből áll.

N=10**6
A fib_mátrix kiszámítása: fib(n) mindössze 208988 számjegyből áll, a számítás 0,24993 másodpercet vett igénybe.
A fib_dynamic kiszámítása: fib(n) mindössze 208988 számjegyből áll, a számítás 11,83377 másodpercet vett igénybe.

Elméleti megjegyzések

Bár nem kapcsolódik közvetlenül a fenti kódhoz, ez a megjegyzés mégis érdekes. Tekintsük a következő grafikont:

Számoljuk meg az n hosszúságú utak számát A-tól B-ig. Például n = 1 esetén egy utunk van, 1. n = 2 esetén ismét egy utunk van, 01. n = 3 esetén két út van, 001 és 101 Egész egyszerűen kimutatható, hogy az n hosszúságú utak száma A-tól B-ig pontosan F n. A gráf szomszédsági mátrixának felírásával ugyanazt a mátrixot kapjuk, amelyet fentebb leírtunk. Ez ismert eredmény gráfelméletből, hogy egy A szomszédsági mátrix mellett az A n-beli előfordulások a gráf n hosszúságú utak számát jelentik (a Good Will Hunting című filmben említett egyik probléma).

Miért vannak ilyen jelölések a bordákon? Kiderült, hogy ha figyelembe veszünk egy végtelen szimbólumsorozatot egy grafikonon lévő végtelen útvonalon, akkor valami úgynevezett "véges típusú aleltolást" kapunk, amely a szimbolikus dinamikai rendszer egy típusa. A véges típusnak ezt a bizonyos részeltolását „aranymetszés-eltolódásnak” nevezik, és a „tiltott szavak” halmaza határozza meg (11). Más szavakkal, olyan bináris sorozatokat fogunk kapni, amelyek mindkét irányban végtelenek, és nem lesz párja egymás mellett. Ennek a dinamikus rendszernek a topológiai entrópiája egyenlő a ϕ aranymetszővel. Érdekes, hogy ez a szám periodikusan hogyan jelenik meg különböző területeken matematika.

Címkék: Címkék hozzáadása

Kanalieva Dana

Ebben a munkában a Fibonacci-sorszámok megnyilvánulását tanulmányoztuk és elemeztük a minket körülvevő valóságban. Meglepő matematikai összefüggést fedeztünk fel a növényekben lévő spirálok száma, a vízszintes síkban lévő ágak száma és a Fibonacci-sorszámok között. Az emberi szerkezetben is szigorú matematikát láttunk. Az emberi DNS molekula, amelyben az emberi lény teljes fejlődési programja titkosítva van, légzőrendszer, a fül szerkezete - mindenre bizonyos számszerű arányok vonatkoznak.

Meggyőződésünk, hogy a természetnek megvannak a maga törvényei, amelyeket a matematika fejez ki.

A matematika pedig nagyon a megismerés fontos eszköze a természet titkai.

Letöltés:

Előnézet:

MBOU "Pervomaiskaya Középiskola"

Orenburg körzet, Orenburg régió

KUTATÁS

"A számok rejtélye"

Fibonacci"

Készítette: Kanalieva Dana

6. osztályos tanuló

Tudományos tanácsadó:

Gazizova Valeria Valerievna

A legmagasabb kategóriájú matematikatanár

n. Kísérleti

2012

Magyarázó megjegyzés………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bevezetés. A Fibonacci-számok története……………………………………………………… 4.

1. fejezet Fibonacci számok az élő természetben.........……. ……………………………………… 5.

2. fejezet Fibonacci spirál................................................ .............................................. 9.

3. fejezet Fibonacci-számok az emberi találmányokban......................................................................

4. fejezet Kutatásaink………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. fejezet Következtetések, következtetések………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Felhasznált szakirodalom és internetes oldalak listája………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Tanulmányi tárgy:

Ember, ember által létrehozott matematikai absztrakciók, emberi találmányok, a környező növény- és állatvilág.

Tanulmányi tárgy:

a vizsgált tárgyak és jelenségek formája és szerkezete.

A tanulmány célja:

tanulmányozza a Fibonacci-számok megnyilvánulását és az aranymetszés kapcsolódó törvényét az élő és élettelen tárgyak szerkezetében,

találjon példákat a Fibonacci-számok használatára.

Munkacélok:

Ismertessen egy módszert a Fibonacci-sorozat és a Fibonacci-spirál felépítésére!

Lásd a matematikai mintákat az emberi szerkezetben, növényvilágÉs élettelen természet az Aranymetsző jelenség szempontjából.

A kutatás újdonsága:

A Fibonacci-számok felfedezése a minket körülvevő valóságban.

Gyakorlati jelentősége:

A megszerzett ismeretek és kutatási készségek felhasználása más iskolai tantárgyak tanulása során.

Készségek és képességek:

A kísérlet megszervezése és lebonyolítása.

Szakirodalom felhasználása.

Az áttekintés képességének elsajátítása összegyűjtött anyagot(riport, előadás)

Munkatervezés rajzokkal, diagramokkal, fényképekkel.

Aktív részvétel a munkájáról szóló vitákban.

Kutatási módszerek:

empirikus (megfigyelés, kísérlet, mérés).

elméleti (a megismerés logikai szakasza).

Magyarázó jegyzet.

„A számok uralják a világot! A szám az istenek és halandók felett uralkodó hatalom!” - ezt mondták az ókori pitagoreusok. Vajon Pythagoras tanításának ez az alapja ma is aktuális? Amikor az iskolában a számtudományt tanuljuk, meg akarunk győződni arról, hogy valóban az egész Univerzum jelenségei bizonyos numerikus összefüggéseknek vannak kitéve, hogy megtaláljuk ezt a láthatatlan kapcsolatot a matematika és az élet között!

Tényleg minden virágban benne van,

Mind a molekulában, mind a galaxisban,

Numerikus minták

Ez a szigorú „száraz” matematika?

Egy modern információforráshoz fordultunk - az internethez, és olvastunk a Fibonacci-számokról, a mágikus számokról, amelyek elrejtik. nagy rejtély. Kiderült, hogy ezek a számok megtalálhatók a napraforgókban és a fenyőtobozokban, a szitakötők szárnyaiban és tengeri csillag, az emberi szív ritmusában és a zenei ritmusokban...

Miért olyan gyakori ez a számsorozat a mi világunkban?

Szerettünk volna tudni a Fibonacci-számok titkairól. Ez a kutatómunka tevékenységünk eredménye.

Hipotézis:

a minket körülvevő valóságban minden elképesztően harmonikus törvények szerint épül fel matematikai pontossággal.

A világon mindent a legfontosabb tervezőnk, a Természet gondol ki és számít ki!

Bevezetés. A Fibonacci sorozat története.

Elképesztő számokat fedezett fel a Pisai Leonardo, ismertebb nevén Fibonacci olasz középkori matematikus. Keleten járva megismerkedett az arab matematika vívmányaival, és hozzájárult azok Nyugatra való átültetéséhez. Egyik művében „A számítások könyve” címmel bemutatta Európának az egyiket legnagyobb felfedezések minden idők és népek - decimális rendszer Leszámolás

Egyik nap a megoldáson tört a fejében matematikai probléma. Megpróbált egy képletet alkotni a nyulak szaporodási sorrendjének leírására.

A megoldás egy számsor volt, amelynek minden következő száma az előző két szám összege:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Az ezt a sorozatot alkotó számokat „Fibonacci-számoknak”, magát a sorozatot pedig Fibonacci-sorozatnak nevezzük.

"És akkor mi van?" - azt mondod: „Tényleg tudunk magunk is hasonló számsorokat kitalálni, adott progresszió szerint növekedve?” Valójában a Fibonacci-sorozat megjelenésekor senki sem sejtette, hogy milyen közel sikerült eljutnia a megoldáshoz, még ő maga sem. legnagyobb titkait az univerzumból!

Fibonacci visszahúzódó életmódot folytatott, sok időt töltött a természetben, és az erdőben sétálva észrevette, hogy ezek a számok szó szerint kísérteni kezdték. A természetben mindenhol újra és újra találkozott ezekkel a számokkal. Például a növények szirmai és levelei szigorúan illeszkednek egy adott számsorba.

A Fibonacci-számokban van érdekes tulajdonság: a következő Fibonacci-szám elosztásának az előzővel való hányadosa, ahogy maguk a számok nőnek, 1,618-ra hajlik. Ezt az állandó osztásszámot nevezték a középkorban isteni aránynak, ma pedig aranymetszetnek vagy arany aránynak nevezik.

Az algebrában ezt a számot a görög phi betű (Ф) jelöli.

Tehát φ = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Mindegy, hogy hányszor osztjuk el egymást, a vele szomszédos számot mindig 1,618-at kapunk, és ha ennek az ellenkezőjét tesszük, vagyis elosztjuk a kisebb számot a nagyobbal, akkor 0,618-at kapunk, ez a 1,618 inverze, amelyet aranymetszésnek is neveznek.

A Fibonacci-sorozat csak matematikai incidens maradhatott volna, ha nem az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az arany törvényének számtani kifejezésére. osztály.

A tudósok ennek a számsornak a további alkalmazását elemzik természetes jelenségés a folyamatok során felfedezték, hogy ezek a számok az élő természet szó szerint minden tárgyában megtalálhatók: növényekben, állatokban és emberekben.

Egy csodálatos matematikai játékról kiderült, hogy mindenbe egyedi kód van beágyazva természeti tárgyak maga az Univerzum Teremtője.

Nézzünk olyan példákat, ahol a Fibonacci-számok előfordulnak az élő és az élettelen természetben.

Fibonacci számok az élő természetben.

Ha megnézzük a körülöttünk lévő növényeket és fákat, láthatjuk, hány levél van mindegyiken. Távolról úgy tűnik, hogy az ágak és a levelek a növényeken találhatók véletlenszerűen, nem meghatározott sorrendben. Azonban minden növényben csodálatos módon, matematikailag precíz módon melyik ág honnan fog kinőni, hogyan helyezkednek el az ágak, levelek a szár, törzs közelében. A növény megjelenése első napjától pontosan követi fejlődésében ezeket a törvényszerűségeket, vagyis egyetlen levél, egyetlen virág sem jelenik meg véletlenül. A növény megjelenése előtt már pontosan be van programozva. Hány ág lesz a leendő fán, hol nőnek az ágak, hány levél lesz az egyes ágakon, és hogyan és milyen sorrendben helyezkednek el a levelek. Együttműködés botanikusok és matematikusok világítanak rá ezekre elképesztő jelenségek természet. Kiderült, hogy a Fibonacci-sorozat a levelek elrendezésében egy ágon (phylotaxis), a száron lévő fordulatok számában, a ciklusban lévő levelek számában nyilvánul meg, így az aranymetszés törvénye is megnyilvánul. maga.

Ha numerikus mintákat keres az élő természetben, észre fogja venni, hogy ezek a számok gyakran megtalálhatók különféle spirális formákban, amelyek oly gazdagok a növényvilágban. Például a levéldugványok a szár mellett egy spirálban helyezkednek el, amely között futkét szomszédos levél: teljes fordulat- a mogyorófánál,- a tölgyfa mellett, - a nyár- és körtefáknál,- a fűznél.

A napraforgó, az Echinacea purpurea és sok más növény magjai spirálban helyezkednek el, a spirálok száma minden irányban a Fibonacci-szám.

Napraforgó, 21 és 34 spirál. Echinacea, 34 és 55 spirálok.

A virágok tiszta, szimmetrikus formája is szigorú törvény hatálya alá tartozik.

Sok virág esetében a szirmok száma pontosan megegyezik a Fibonacci sorozatból származó számokkal. Például:

írisz, 3p. boglárka, 5 lep. aranyvirág, 8 lep. szarkaláb,

13 lep.

cikória, 21 lep. őszirózsa, 34 lep. százszorszép, 55 lep.

A Fibonacci sorozat jellemzi szerkezeti szervezet sok élő rendszer.

Korábban már említettük, hogy a Fibonacci-sorban a szomszédos számok aránya φ = 1,618. Kiderült, hogy maga az ember egyszerűen a phi számok tárháza.

Arányok különböző részek testünk az aranymetszéshez nagyon közel álló szám. Ha ezek az arányok egybeesnek az aranymetszés képletével, akkor a személy megjelenése vagy teste ideális arányúnak tekinthető. Az emberi test aranymértékének kiszámításának elve diagram formájában ábrázolható.

M/m = 1,618

Az aranymetszés első példája az emberi test felépítésében:

Ha az emberi test középpontjának a köldökpontot vesszük, és mértékegységnek a lábfej és a köldökpont távolságát, akkor egy személy magassága 1,618-nak felel meg.

Emberi kéz

Elég, ha közelebb viszi a tenyerét, és alaposan megnézi mutatóujj, és azonnal megtalálja benne az aranymetszés képletét. A kezünk minden ujja három falangból áll.
Az ujj első két fülének összege az ujj teljes hosszához viszonyítva adja az aranymetszés számát (kivéve hüvelykujj).

Ezenkívül a középső ujj és a kisujj aránya is megegyezik az aranymetszéssel.

Egy személynek 2 keze van, mindkét kéz ujjai 3 ujjból állnak (a hüvelykujj kivételével). Mindegyik kézen 5 ujj található, azaz összesen 10, de két két falanxos hüvelykujj kivételével csak 8 ujj jön létre az aranymetszés elve szerint. Míg mindezek a 2, 3, 5 és 8 számok a Fibonacci-sorozat számai.

Az aranymetszés az emberi tüdő szerkezetében

Az amerikai fizikus B.D. és Dr. A.L. Goldberger fizikai és anatómiai vizsgálatok során megállapította, hogy az aranymetszés az emberi tüdő szerkezetében is létezik.

Az emberi tüdőt alkotó hörgők sajátossága az aszimmetriájukban rejlik. A hörgők két fő légútból állnak, amelyek közül az egyik (bal) hosszabb, a másik (jobb) rövidebb.

Azt találták, hogy ez az aszimmetria a hörgők ágaiban folytatódik, minden kisebb légutak. Ezenkívül a rövid és hosszú hörgők hosszának aránya egyben az aranymetszés is, és egyenlő 1:1,618-cal.

Művészek, tudósok, divattervezők, tervezők az aranymetszés aránya alapján készítik számításaikat, rajzaikat vagy vázlataikat. Emberi testből származó méréseket használnak, amelyet szintén az aranymetszés elve alapján hoztak létre. Leonardo Da Vinci és Le Corbusier remekműveik elkészítése előtt az emberi test paramétereit vették figyelembe, amelyeket az Aranyarány törvénye szerint hoztak létre.
Van egy másik, prózaibb alkalmazása az emberi test arányainak. A bűnügyi elemzők és régészek például ezeket a kapcsolatokat felhasználva az emberi testrészek töredékeit használják fel az egész megjelenésének rekonstruálására.

Arany arányok a DNS-molekula szerkezetében.

Minden információ a élettani jellemzők az élőlények, legyen az növény, állat vagy ember, egy mikroszkopikus DNS-molekulában raktározódnak, melynek szerkezete az aranyarány törvényét is tartalmazza. A DNS-molekula két függőlegesen összefonódó hélixből áll. Ezen spirálok mindegyikének hossza 34 angström, szélessége 21 angström. (1 angström a centiméter százmilliomod része).

Tehát a 21 és 34 a Fibonacci-számok sorozatában egymást követő számok, vagyis a DNS-molekula logaritmikus spiráljának hosszának és szélességének aránya az 1:1,618 aranymetszés képletét hordozza.

Nemcsak a felálló gyaloglók, hanem minden úszó, mászó, repülő és ugró lény sem kerülte el a phi szám sorsát. Az emberi szívizom térfogatának 0,618-ára húzódik össze. A csigaház szerkezete megfelel a Fibonacci-arányoknak. És rengeteg ilyen példa van - ha van vágy a természeti objektumok és folyamatok feltárására. A világot annyira áthatják a Fibonacci-számok, hogy néha úgy tűnik, az Univerzum csakis ezekkel magyarázható.

Fibonacci spirál.

A matematikában nincs más forma, amelyen ugyanez lenne egyedi tulajdonságok, mint egy spirál, mert
A spirál felépítése az Aranyarány szabályon alapul!

Megérteni matematikai konstrukció spirálok, ismételjük meg, mi az Arany arány.

Az aranymetszés egy szegmens olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szegmens a nagyobb részhez kapcsolódik, mint ahogy maga a nagyobb rész a kisebbhez, vagy más szóval a kisebb szegmens kapcsolódik a nagyobb részhez. a nagyobb, mint a nagyobb az egészhez.

Azaz (a+b) /a = a / b

A pontosan ilyen képarányú téglalapot arany téglalapnak nevezték el. Hosszú oldalai a rövid oldalakhoz viszonyítva 1,168:1 arányban vannak.
Az arany téglalapnak számos szokatlan tulajdonsága van. Négyzet kivágása egy arany téglalapból, amelynek oldala egyenlő a téglalap kisebbik oldalával,

ismét egy kisebb arany téglalapot kapunk.

Ez a folyamat a végtelenségig folytatható. Ahogy folytatjuk a négyzetek levágását, egyre kisebb arany téglalapokat kapunk. Sőt, logaritmikus spirálban helyezkednek el, ami fontos matematikai modellek természeti tárgyak.

Például a spirális alak a napraforgómag elrendezésében, az ananászban, a kaktuszokban, a rózsaszirom szerkezetében stb.

Meglep és örömet okoz a kagylók spirális szerkezete.

A legtöbb héjjal rendelkező csigánál a héj spirál alakban nő. Kétségtelen azonban, hogy ezeknek az ésszerűtlen lényeknek nemhogy fogalmuk sincs a spirálról, de még a legegyszerűbb matematikai ismeretekkel sem rendelkeznek ahhoz, hogy spirál alakú héjat alkossanak maguknak.
De akkor hogyan tudtak ezek az ésszerűtlen lények maguk határozni és választani tökéletes forma növekedés és létezés spirálhéj formájában? Vajon ezek az élőlények, akik tudósok világa primitív életformáknak nevezi, számolja ki, hogy egy héj spirális alakja ideális lenne a létezésükhöz?

A legprimitívebb életforma eredetét bizonyos természeti körülmények véletlenszerű kombinációjával próbálni magyarázni, enyhén szólva is abszurd. Nyilvánvaló, hogy ez a projekt tudatos alkotás.

A spirálok az emberekben is léteznek. A spirálok segítségével ezt halljuk:

Ezenkívül az emberi belső fülben van egy Cochlea ("Csiga") nevű szerv, amely a hangrezgés továbbítását végzi. Ez a csontos szerkezet folyadékkal van megtöltve, és arany arányú csiga alakban jön létre.

A tenyerünkön és az ujjainkon spirálok vannak:

Az állatvilágban is számos példát találhatunk a spirálokra.

Az állatok szarvai és agyarai spirál alakúak, az oroszlánok karmai és a papagájok csőrei logaritmikus formák, és egy spirálra hajlamos tengely alakjára emlékeztetnek.

Érdekes, hogy egy hurrikán és egy ciklon felhői spirálszerűen kanyarognak, és ez jól látható az űrből:

Az óceánban és tenger hullámai a spirál matematikailag ábrázolható 1,1,2,3,5,8,13,21,34 és 55 pontokkal rendelkező grafikonon.

Egy ilyen „hétköznapi” és „prózai” spirált is mindenki felismer.

Hiszen a víz spirálisan szökik ki a fürdőszobából:

Igen, és spirálban élünk, mert a galaxis az Aranyarány képletének megfelelő spirál!

Tehát rájöttünk, hogy ha vesszük az Arany Téglalapot, és kisebb téglalapokra bontjukpontosan a Fibonacci-sorrendben, majd újra és újra elosztva mindegyiket ilyen arányban, kapunk egy Fibonacci-spirál nevű rendszert.

Ezt a spirált a legváratlanabb tárgyakban és jelenségekben fedeztük fel. Most már világos, hogy miért nevezik a spirált az „élet görbéjének”.
A spirál az evolúció szimbólumává vált, mert minden spirálban fejlődik.

Fibonacci számok az emberi találmányokban.

Miután megfigyelték a természetben a Fibonacci-számok sorozatával kifejezett törvényt, a tudósok és művészek megpróbálják utánozni, és megtestesíteni ezt a törvényt alkotásaikban.

A phi arány lehetővé teszi a festészet remekeinek létrehozását és az építészeti struktúrák helyes illeszkedését a térbe.

Nemcsak a tudósok, hanem az építészek, a tervezők és a művészek is lenyűgözik a nautilushéj tökéletes spirálját,

a legkevesebb helyet foglalják el és a legkisebb hőveszteséget biztosítják. Az amerikai és thaiföldi építészek, akiket a „kamrás nautilus” példája ihletett abban a kérdésben, hogy a maximumot helyezzék el a minimális helyen, a megfelelő projektek kidolgozásával vannak elfoglalva.

Ősidők óta az aranymetszés aránya a tökéletesség, a harmónia, sőt az isteniség legmagasabb aránya. Arany hozzáállás megtalálhatók a szobrokban, sőt a zenében is. Ilyen például Mozart zenei művei. Még a tőzsdeárfolyamok és a héber ábécé is aranymetszést tartalmaz.

De itt szeretnénk megállni egyedi példa hatékony napelemes rendszer létrehozása. Egy New York-i amerikai iskolás, Aidan Dwyer összegyűjtötte tudását a fákkal kapcsolatban, és felfedezte, hogy a hatékonyság naperőművek matematika segítségével javítható. Téli séta közben Dwyer azon töprengett, miért van szükségük a fáknak ilyen ágak és levelek „mintájára”. Tudta, hogy a fákon az ágak a Fibonacci-sorrend szerint vannak elrendezve, és a levelek fotoszintézist hajtanak végre.

Valamikor egy okos kisfiú úgy döntött, hogy megnézi, vajon az ágak ilyen helyzete segít-e többet gyűjteni napfény. Aidan kísérleti üzemet épített a hátsó udvarában kicsivel napelemek levelek helyett, és működés közben tesztelte. Kiderült, hogy a szokásos lakáshoz képest napelem„fája” 20%-kal több energiát gyűjt össze, és 2,5 órával tovább működik hatékonyan.

Dwyer napelemfa modell és grafikonok, amelyeket egy diák készített.

"És egy ilyen telepítés is szükséges kevesebb hely 50%-kal jobb, mint egy lapos panel több nap télen ott is, ahol nem délre néz, és nem halmoz fel havat ilyen mennyiségben. Ráadásul a fa formájú kialakítás sokkal jobban illik a városi tájhoz” – jegyzi meg a fiatal feltaláló.

Aidant felismerték 2011 egyik legjobb fiatal természettudósa. A 2011-es Young Naturalist versenynek a New York-i Természettudományi Múzeum adott otthont. Aidan jelentkezett előzetes jelentkezés hogy szabadalmaztassa találmányát.

A tudósok továbbra is aktívan fejlesztik a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletét.

Yu Matiyasevics Fibonacci számok segítségével megoldja Hilbert 10. feladatát.

Elegáns módszerek vannak kialakulóban számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására a Fibonacci-számok és az aranymetszés segítségével.

Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.

Tehát azt látjuk, hogy a Fibonacci számsorozat hatóköre nagyon sokrétű:

A természetben előforduló jelenségek megfigyelése során a tudósok megdöbbentő következtetéseket vontak le arra vonatkozóan, hogy az életben előforduló események teljes sorozata, forradalmak, összeomlások, csődök, jóléti időszakok, törvények és fejlődési hullámok a részvény- és devizapiacon, ciklusok. családi élet, és így tovább, időskálán szerveződnek ciklusok, hullámok formájában. Ezek a ciklusok és hullámok is a szerint oszlanak el számsorozat Fibonacci!

Ezen ismeretek alapján az ember megtanulja megjósolni és kezelni a különböző eseményeket a jövőben.

4. Kutatásunk.

Folytattuk megfigyeléseinket és tanulmányoztuk a szerkezetet

fenyőtoboz

cickafark

szúnyog

személy

És megbizonyosodtunk arról, hogy ezekben az első pillantásra annyira különböző objektumokban láthatatlanul ugyanazok a Fibonacci-sorozatok számai vannak.

Tehát, 1. lépés.

Vegyünk egy fenyőtobozt:

Nézzük meg közelebbről:

Két Fibonacci spirálsorozatot észlelünk: az egyik - az óramutató járásával megegyező, a másik - az óramutató járásával ellentétes, a számuk 8 és 13.

2. lépés.

Vegyük a cickafarkot:

Gondosan mérlegeljük a szárak és virágok szerkezetét:

Vegye figyelembe, hogy a cickafark minden új ága a hónaljból nő, és új ágak nőnek az új ágból. A régi és az új ágak összeadásával minden vízszintes síkban megtaláltuk a Fibonacci-számot.

3. lépés

Megjelennek-e a Fibonacci-számok a morfológiában? különféle organizmusok? Tekintsük a jól ismert szúnyogot:

Látjuk: 3 pár láb, fej 5 antennák, a has fel van osztva 8 szegmens.

Következtetés:

Kutatásunk során azt láttuk, hogy a körülöttünk lévő növényekben, élő szervezetekben, sőt az emberi szerkezetben is Fibonacci szekvenciából származó számok jelennek meg, ami szerkezetük harmóniáját tükrözi.

A fenyőtoboz, a cickafark, a szúnyog és az ember matematikai pontossággal van elrendezve.

Arra a kérdésre kerestük a választ: hogyan jelenik meg a Fibonacci-sorozat a minket körülvevő valóságban? De válaszolva egyre több kérdés érkezett hozzánk.

Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez a világegyetem építésze, aki megpróbálta ideálissá tenni? A spirál göndörödik vagy letekercselődik?

Milyen csodálatos az embernek megtapasztalni ezt a világot!!!

Miután megtalálta a választ egy kérdésre, megkapja a következőt. Ha megoldja, kap két újat. Miután foglalkozik velük, megjelenik még három. Miután ezeket is megoldotta, lesz öt megoldatlan. Aztán nyolc, majd tizenhárom, 21, 34, 55...

Felismered?

Következtetés.

maga az alkotó által minden tárgyba

Egyedi kód van megadva

És aki barátságos a matematikával,

Ő tudni fogja és megérti!

Tanulmányoztuk és elemeztük a Fibonacci-sorszámok megnyilvánulását a minket körülvevő valóságban. Azt is megtudtuk, hogy ennek a számsornak a mintázatai, beleértve az „Arany” szimmetria mintáit is, az elemi részecskék energiaátmeneteiben, bolygó- és kozmikus rendszerekben, élő szervezetek génstruktúráiban nyilvánulnak meg.

Meglepő matematikai összefüggést fedeztünk fel a növényekben lévő spirálok száma, a vízszintes síkban lévő ágak száma és a Fibonacci-szekvencia számai között. Láttuk, hogy a különféle organizmusok morfológiája is engedelmeskedik ennek a titokzatos törvénynek. Az emberi szerkezetben is szigorú matematikát láttunk. Az emberi DNS-molekula, amelyben az ember teljes fejlődési programja titkosítva van, a légzőrendszer, a fül felépítése - minden engedelmeskedik bizonyos numerikus összefüggéseknek.

Megtudtuk, hogy a fenyőtobozok, a csigaházak, az óceán hullámai, az állati szarvak, a ciklonfelhők és a galaxisok mind logaritmikus spirálokat alkotnak. Még az emberi ujj is, amely három, egymáshoz viszonyított aranyarányú fülből áll, összenyomva spirális alakot vesz fel.

Örökkévalóság idő és fényév tér választja el a fenyőtobozt és spirálgalaxis, de a szerkezet ugyanaz marad: együttható 1,618 ! Talán ez a természeti jelenségeket szabályozó elsődleges törvény.

Így a harmóniáért felelős speciális numerikus minták létezésére vonatkozó hipotézisünk beigazolódik.

Valóban, a világon mindent a legfontosabb tervezőnk - a Természet - gondolt és számított ki!

Meggyőződésünk, hogy a természetnek megvannak a maga törvényei, amelyek felhasználásával fejeződnek ki matematika. A matematika pedig nagyon fontos eszköz

megismerni a természet titkait.

Irodalom és internetes oldalak listája:

1. Vorobiev N. N. Fibonacci számok. - M., Nauka, 1984.
2. Ghika M. Arányesztétika a természetben és a művészetben. - M., 1936.

3. Dmitriev A. Káosz, fraktálok és információ. // Tudomány és Élet, 2001. 5. sz.
4. Kashnitsky S. E. Paradoxonokból szőtt harmónia // Kultúra és

Élet. - 1982.- 10. sz.
5. Maláj G. Harmónia - a paradoxonok azonossága // MN. - 1982.- 19. sz.
6. Sokolov A. Az aranymetszet titkai // Ifjúsági technológia. - 1978.- 5. sz.
7. Sztakhov A. P. Az arany arány kódjai. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu A. A természet szimmetriája és a szimmetria természete. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. Aranymetszet // Természet. - 1968.- 11. sz.

10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Arany arány/Három

Pillantás a harmónia természetébe.-M., 1990.

11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Szimmetria a tudományban és a művészetben. -M.:

Hallottad már, hogy a matematikát „minden tudomány királynőjének” nevezik? Egyetértesz ezzel az állítással? Amíg a matematika unalmas feladatsor marad számodra egy tankönyvben, aligha tapasztalhatod meg ennek a tudománynak a szépségét, sokoldalúságát, sőt humorát.

De vannak olyan témák a matematikában, amelyek segítenek érdekes megfigyeléseket tenni a számunkra megszokott dolgokról és jelenségekről. És még az Univerzumunk létrejöttének rejtélyének fátylát is próbálja meg áthatolni. Vannak érdekes minták a világon, amelyek matematikával leírhatók.

A Fibonacci számok bemutatása

Fibonacci számok nevezd meg egy számsorozat elemeit. Ebben a sorozat minden következő számát a két előző szám összegzésével kapjuk.

Példasorozat: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Ezt így írhatod:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Negatív értékekkel indíthat Fibonacci-számok sorozatát n. Sőt, a sorozat ebben az esetben kétoldalas (azaz negatív és pozitív számok) és mindkét irányban a végtelenbe hajlik.

Példa egy ilyen sorozatra: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

A képlet ebben az esetben így néz ki:

F n = F n+1 - F n+2 vagy ezt teheted: F -n = (-1) n+1 Fn.

Amit ma „Fibonacci-számoknak” nevezünk, az ókori indiai matematikusok már jóval azelőtt ismerték, hogy Európában elkezdték volna használni. És ez a név általában egy folyamatos történelmi anekdota. Kezdjük azzal a ténnyel, hogy maga Fibonacci életében soha nem nevezte magát Fibonaccinak – ezt a nevet csak néhány évszázaddal halála után kezdték alkalmazni Pisai Leonardora. De beszéljünk mindent sorban.

Pisai Leonardo, más néven Fibonacci

Egy kereskedő fia, akiből matematikus lett, majd az utókor Európa első jelentős matematikusaként ismerték el a középkorban. Nem bent végső megoldás a Fibonacci-számoknak köszönhetően (amelyeket, emlékezzünk, még nem így hívták). amiben benne van eleje XIII századi „Liber abaci” („Abakusz könyve”, 1202) című művében ismertetett.

Apámmal utaztam keletre, Leonardo matematikát tanult arab tanárokkal (és akkoriban a legjobb szakemberek közé tartoztak ebben a kérdésben és sok más tudományban). Az ókor és az ókori India matematikusainak műveit olvasta arab fordításban.

Miután alaposan megértett mindent, amit olvasott, és saját kíváncsi elméjét használta, Fibonacci számos tudományos értekezések matematikában, beleértve a fent említett „Abakusz könyvet”. Ezen kívül létrehoztam:

• "Practica geometriae" ("A geometria gyakorlata", 1220);
• "Flos" ("Virág", 1225 - tanulmány a köbös egyenletekről);
• "Liber quadratorum" ("Négyzetek könyve", 1225 - problémák határozatlan másodfokú egyenletekkel).

Nagy rajongója volt a matematikai versenyeknek, ezért értekezéseiben nagy figyelmet fordított a különféle matematikai problémák elemzésére.

Nagyon kevés maradt meg Leonardo életéről életrajzi információkat. Ami a Fibonacci nevet illeti, amellyel a matematika történetébe lépett, csak a XIX.

Fibonacci és problémái

Miután Fibonacci marad nagy szám problémák, amelyek a következő évszázadokban nagyon népszerűek voltak a matematikusok körében. Megnézzük a nyúlproblémát, amelyet Fibonacci számok segítségével oldanak meg.

A nyulak nemcsak értékes szőrme

Fibonacci a következő feltételeket szabta: van egy pár újszülött nyúl (hím és nőstény), olyan érdekes fajtából, hogy rendszeresen (a második hónaptól kezdve) hoz utódokat - mindig egy pár új nyúlat. Továbbá, ahogy sejtheti, egy hím és egy nőstény.

Ezek a feltételes nyulak zárt térben vannak elhelyezve, és lelkesedéssel szaporodnak. Azt is előírják, hogy egyetlen nyúl sem pusztul el valamilyen rejtélyes nyúlbetegségben.

Ki kell számolnunk, hány nyulat kapunk egy évben.

• 1 hónap elején van 1 pár nyúlunk. A hónap végén párosodnak.
• A második hónap - már van 2 pár nyulak (egy párnak vannak szülei + 1 pár az utóda).
• Harmadik hónap: Az első pár új párt szül, a második pár párosodik. Összesen - 3 pár nyúl.
• Negyedik hónap: Az első pár új párat szül, a második pár nem vesztegeti az időt, és szintén új párt szül, a harmadik pár még csak párosodik. Összesen - 5 pár nyúl.

A bent lévő nyulak száma n hónap = az előző hónap nyúlpárjainak száma + újszülött párok száma (annyi nyúlpár van, mint 2 hónappal korábban). És mindezt a fent már megadott képlet írja le: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Így kapunk egy ismétlődő (magyarázat kb rekurzió- lent) számsor. Ahol minden következő szám egyenlő az előző kettő összegével:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

A sorozatot hosszan folytathatja: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. De mivel meghatározott időszakot - egy évet - határoztunk meg, a 12. „költözésen” kapott eredmény érdekel. Azok. A sorozat 13. tagja: 377.

A válasz a problémára: 377 nyulat kapunk, ha minden feltétel teljesül.

A Fibonacci-számsorozat egyik tulajdonsága nagyon érdekes. Ha egy sorozatból veszünk két egymást követő párt, és a nagyobb számot elosztjuk a kisebb számmal, az eredmény fokozatosan közeledik aranymetszés(erről később a cikkben olvashat).

Matematikai értelemben, "A kapcsolatok határa a n+1 Nak nek a n egyenlő az aranymetszés".

További számelméleti problémák

1. Keress egy számot, amely osztható 7-tel. Ha elosztod 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, a maradék egy lesz.
2. Keresse meg a négyzetszámot. Ismeretes, hogy ha hozzáadunk 5-öt vagy kivonunk 5-öt, akkor ismét négyzetszámot kapunk.

Javasoljuk, hogy saját maga keressen választ ezekre a problémákra. A cikkhez fűzött megjegyzésekben megadhatja nekünk a lehetőségeit. És akkor megmondjuk, hogy helyesek voltak-e a számításai.

A rekurzió magyarázata

Rekurzió– egy objektum vagy folyamat meghatározása, leírása, képe, amely magát ezt az objektumot vagy folyamatot tartalmazza. Vagyis lényegében egy tárgy vagy folyamat önmaga része.

A rekurziót széles körben használják a matematikában és a számítástechnikában, sőt a művészetben és a populáris kultúrában is.

A Fibonacci-számok meghatározása ismétlődési reláció segítségével történik. Számért n>2 n- e szám egyenlő (n – 1) + (n – 2).

Az aranymetszés magyarázata

aranymetszés- egy egész (például egy szegmens) felosztása olyan részekre, amelyek kapcsolatban állnak egymással a következő elv szerint: a nagyobb rész ugyanúgy kapcsolódik a kisebbhez, mint a teljes mennyiség (például két szegmens összege) a nagyobb részhez.

Az aranymetszés első említése Eukleidésznél található az „Elemek” című értekezésében (kb. ie 300). Szabályos téglalap felépítésének keretében.

A számunkra ismerős kifejezést 1835-ben Martin Ohm német matematikus vezette be a forgalomba.

Ha az aranymetszetet hozzávetőlegesen írjuk le, akkor az arányos felosztást jelent két egyenlőtlen részre: körülbelül 62% és 38%. BAN BEN számszerűen Az aranymetszés egy számot jelöl 1,6180339887 .

Az aranymetszés gyakorlati alkalmazásra talál képzőművészet(Leonardo da Vinci és más reneszánsz festők festményei), építészet, mozi (S. Esenstein „Potemkin csatahajó”) és más területek. Hosszú ideje Azt hitték, hogy az aranymetszés a legesztétikusabb arány. Ez a vélemény ma is népszerű. Bár a kutatási eredmények szerint vizuálisan a legtöbben nem ezt az arányt tartják a legsikeresebb lehetőségnek, és túlságosan elnyújtottnak (aránytalannak) tartják.

• Szakasz hossza Val vel = 1, A = 0,618, b = 0,382.
• Hozzáállás Val vel Nak nek A = 1, 618.
• Hozzáállás Val vel Nak nek b = 2,618

Most térjünk vissza a Fibonacci-számokhoz. Vegyünk kettőt következő barát sorozatából egy tag barátja mögött. Ossza el a nagyobb számot a kisebb számmal, és kap körülbelül 1,618-at. És most ugyanazt a nagyobb számot és a sorozat következő tagját használjuk (azaz még nagyobb számot) - arányuk 0,618 eleji.

Íme egy példa: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 és 233/377 = 0,618

Mellesleg, ha ugyanazt a kísérletet a sorozat elejétől kezdődő számokkal próbálja elvégezni (például 2, 3, 5), semmi sem fog működni. Majdnem. Az aranymetszés szabályát aligha követik a sorozat elején. De ahogy haladsz a sorozaton, és a számok nőnek, ez nagyszerűen működik.

És a Fibonacci-számok teljes sorozatának kiszámításához elegendő ismerni a sorozat három tagját, amelyek egymás után jönnek. Ezt saját szemeddel láthatod!

Arany téglalap és Fibonacci spirál

Egy másik érdekes párhuzam a Fibonacci-számok és az aranymetszés között az úgynevezett „arany téglalap”: oldalai 1,618:1 arányúak. De már tudjuk, mi az 1,618 szám, igaz?

Például vegyük a Fibonacci-sorozat két egymást követő tagját - 8-at és 13-at -, és készítsünk egy téglalapot a következő paraméterekkel: szélesség = 8, hosszúság = 13.

Ezután a nagy téglalapot kisebbekre osztjuk. Kötelező feltétel: A téglalapok oldalainak hosszának meg kell felelnie a Fibonacci-számoknak. Azok. A nagyobb téglalap oldalhosszának meg kell egyeznie a két kisebb téglalap oldalainak összegével.

Az ábrán látható módon (az egyszerűség kedvéért az ábrákat latin betűkkel írjuk alá).

A téglalapokat egyébként fordított sorrendben is elkészítheti. Azok. kezdje el az építést az 1-es oldalú négyzetekkel. Amelyhez a fent említett elv szerint elkészülnek az oldalakkal ellátott ábrák, egyenlő számok Fibonacci. Elméletileg ez a végtelenségig folytatható – elvégre a Fibonacci-sorozat formailag végtelen.

Ha az ábrán kapott téglalapok sarkait sima vonallal összekötjük, logaritmikus spirált kapunk. Vagy inkább őt különleges eset– Fibonacci spirál. Különösen az a tény jellemzi, hogy nincsenek határai, és nem változtatja alakját.

Hasonló spirál gyakran megtalálható a természetben. A puhatestű kagyló az egyik leginkább fényes példák. Sőt, néhány galaxis, amely a Földről látható, spirális alakú. Ha odafigyel a tévében az időjárás-előrejelzésekre, akkor észrevehette, hogy a ciklonok hasonló spirál alakúak, ha műholdakról fényképezik őket.

Érdekes, hogy a DNS-spirál is engedelmeskedik az aranymetszet szabályának - a megfelelő mintázat látható a hajlítások intervallumában.

Az ilyen bámulatos „véletlenek” nem tehetik meg, hogy felizgatják az elméket, és arra adnak okot, hogy valami egyetlen algoritmusról beszéljenek, amelynek az Univerzum életében minden jelenség engedelmeskedik. Most már érted, miért hívják ezt a cikket így? És milyen ajtók csodálatos világok A matematika megnyithat előtted dolgokat?

Fibonacci számok a természetben

A Fibonacci-számok és az aranymetszés kapcsolata érdekes mintákat sejtet. Annyira kíváncsi, hogy csábító a Fibonacci-számokhoz hasonló sorozatok keresése a természetben, sőt közben is történelmi események. És a természet valóban okot ad ilyen feltételezésekre. De vajon életünkben mindent meg lehet-e magyarázni és leírni matematikával?

Példák élőlényekre, amelyek leírhatók a Fibonacci-szekvenciával:

• a levelek (és ágak) elrendezése a növényekben - a köztük lévő távolságok korrelálnak a Fibonacci-számokkal (phyllotaxis);

• napraforgómag elrendezése (a magok két sorban egymásba csavart spirálban vannak elrendezve különböző irányokba: az egyik sor az óramutató járásával megegyező, a másik az óramutató járásával ellentétes);

• fenyőtoboz pikkelyek elrendezése;
• virágszirom;
• ananász sejtek;
• az ujjak falánjai hosszának aránya a emberi kéz(kb.) stb.

Kombinatorikai problémák

A Fibonacci-számokat széles körben használják kombinatorikai feladatok megoldásában.

Kombinatorika a matematikának egy olyan ága, amely valaki mintájának vizsgálatával foglalkozik adott szám elemek a kijelölt halmazból, felsorolás stb.

Nézzünk példákat a középiskolai szintre tervezett kombinatorikai problémákra (forrás - http://www.problems.ru/).

1. feladat:

Lesha felmászik egy 10 lépcsős lépcsőn. Egyszerre felugrik egy vagy két lépést. Hányféleképpen tud Lesha felmászni a lépcsőn?

A lehetőségek száma, amelyekről Lesha fel tud mászni a lépcsőn n lépések, jelöljük és n. Ebből következik, hogy egy 1 = 1, a 2= 2 (végül is Lesha egy vagy két lépést ugrik).

Abban is megegyezés született, hogy Lesha felugrik a lépcsőn n> 2 lépések. Tegyük fel, hogy először ugrott két lépést. Ez azt jelenti, hogy a probléma körülményei szerint neki kell ugrani egy másikat n – 2 lépések. Ezután a mászás teljesítésének számos módja a következőképpen van leírva a n–2. És ha feltételezzük, hogy amikor Lesha először csak egy lépést ugrott, akkor leírjuk a mászás befejezésének számos módját a n–1.

Innen a következő egyenlőséget kapjuk: a n = a n–1 + a n–2(ismerősnek tűnik, nem?).

Mióta tudjuk egy 1És a 2és ne feledje, hogy a probléma feltételei szerint 10 lépés van, számolja ki az összeset sorrendben és n: a 3 = 3, egy 4 = 5, egy 5 = 8, egy 6 = 13, a 7 = 21, egy 8 = 34, egy 9 = 55, egy 10 = 89.

Válasz: 89 módon.

2. feladat:

Meg kell találnia azoknak a 10 betűs szavaknak a számát, amelyek csak az „a” és „b” betűkből állnak, és nem tartalmazhatnak két „b” betűt egymás után.

Jelöljük azzal a n szavak száma hossza n betűk, amelyek csak az „a” és „b” betűkből állnak, és nem tartalmaznak két „b” betűt egymás után. Eszközök, egy 1= 2, a 2= 3.

Sorban egy 1, a 2, <…>, a n minden következő tagját az előzőeken keresztül fogjuk kifejezni. Ezért a hosszúságú szavak száma az n azok a betűk, amelyek szintén nem tartalmaznak kettős „b” betűt, és „a” betűvel kezdődnek a n–1. És ha a szó hosszú n a betűk "b" betűvel kezdődnek, ez logikus következő levél egy ilyen szóban „a” van (végül is nem lehet két „b” a feladat feltételei szerint). Ezért a hosszúságú szavak száma az n ebben az esetben a betűket jelöljük a n–2. Mind az első, mind a második esetben bármely szó (hosszúsága n – 1És n-2 betűket, illetve) dupla „b” nélkül.

Meg tudtuk indokolni, hogy miért a n = a n–1 + a n–2.

Most számoljunk a 3= a 2+ egy 1= 3 + 2 = 5, egy 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, egy 10= egy 9+ egy 8= 144. És megkapjuk az ismerős Fibonacci sorozatot.

Válasz: 144.

3. feladat:

Képzelje el, hogy van egy cellákra osztott szalag. Jobbra megy és a végtelenségig tart. Helyezzen egy szöcskét a szalag első négyzetére. Bármelyik cellán is van a szalagon, csak jobbra mozoghat: vagy egy cellát, vagy kettőt. Hányféleképpen ugorhat egy szöcske a szalag elejétől a n-a sejtek?

Jelöljük a szöcske mozgatásának számos módját az öv mentén n-th sejtek, mint a n. Ebben az esetben egy 1 = a 2= 1. Benne is n+1 A szöcske a -edik cellába akár onnan is beléphet n-th cella, vagy átugrással. Innen a n + 1 = a n – 1 + a n. Ahol a n = Fn – 1.

Válasz: Fn – 1.

Ön is létrehozhat hasonló problémákat, és megpróbálhatja megoldani őket a matematika órán az osztálytársaival.

Fibonacci számok a populáris kultúrában

Persze hogy az szokatlan jelenség, mint a Fibonacci-számok, nem vonhatják magukra a figyelmet. Még mindig van valami vonzó, sőt titokzatos ebben a szigorúan ellenőrzött mintában. Nem meglepő, hogy a Fibonacci-szekvencia valahogy „megvilágosodott” számos modern műben népszerű kultúra sokféle műfaj.

Ezek közül néhányról mesélünk. És megpróbálod újra keresni magad. Ha megtaláltad, oszd meg velünk kommentben – mi is kíváncsiak vagyunk!

• Fibonacci-számokat említ Dan Brown A Da Vinci-kód című bestseller: a Fibonacci-szekvencia a könyv főszereplői által használt kódként szolgál a széf kinyitásához.
• A 2009-es, Mr. Nobody című amerikai filmben az egyik epizódban egy ház címe a Fibonacci sorozat része – 12358. Ráadásul egy másik epizódban főszereplő hívnia kell egy telefonszámot, amely lényegében ugyanaz, de kissé torz (az 5-ös utáni extra számjegy) sorozat: 123-581-1321.
• A 2012-es „Kapcsolat” sorozatban a főszereplő, egy autista fiú képes felismerni a világban zajló események mintáit. Beleértve a Fibonacci-számokat is. És ezeket az eseményeket számokon keresztül is kezelheti.
• Java játékfejlesztők számára mobiltelefonok Az egyik pályán elhelyezett Doom RPG titkos ajtó. A kód, amely megnyitja, a Fibonacci sorozat.
• 2012-ben az orosz Splin rockegyüttes kiadta az „Optical Deception” című konceptalbumot. A nyolcadik szám neve „Fibonacci”. A csoportvezető Alekszandr Vasziljev versei a Fibonacci-számok sorozatán játszanak. Mind a kilenc egymást követő kifejezéshez létezik megfelelő szám sorok (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 A vonat elindult

1 Az egyik ízület elpattant

1 Az egyik ujja remegett

2 Ez az, hozd a cuccot

Ez az, hozd a cuccot

3 Forró víz kérése

A vonat a folyóhoz megy

A vonat átmegy a tajgán<…>.

• limerick (rövid vers) egy bizonyos forma- általában ötsoros, meghatározott rímsémájú, humoros tartalmú, amelyben az első és az utolsó sor ismétlődik, vagy részben megkettőzi egymást) James Lyndon humoros motívumként a Fibonacci-szekvenciára való hivatkozást is használja:

Fibonacci feleségeinek sűrű tápláléka

Ez csak az ő hasznukra volt, semmi másra.

A feleségek a pletykák szerint súlyt mértek,

Mindegyik olyan, mint az előző kettő.

Foglaljuk össze

Reméljük, hogy sok érdekes és hasznos dolgot tudtunk ma elmondani. Például most megkeresheti a Fibonacci spirált a körülötte lévő természetben. Talán te leszel az, aki képes lesz megfejteni „az élet, az Univerzum és általában a titkát”.

Használja a Fibonacci-számok képletét kombinatorikai feladatok megoldása során. Bízhat a cikkben leírt példákban.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete