A terület megtalálásának problémájához hasonlóan magabiztos rajzkészségre van szükség - ez szinte a legfontosabb (mivel maguk az integrálok gyakran könnyűek). Mester írástudó és gyors technológia segítségével lehet ábrázolni tananyagokés Grafikonok geometriai transzformációi. De valójában az órán már többször beszéltem a rajzok fontosságáról.

Általában be integrálszámítás sok érdekes alkalmazás létezik egy határozott integrál segítségével, kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ívhosszt, a forgási felületet és még sok mást. Szóval jó móka lesz, légy optimista!

Képzelj el néhányat lapos alak tovább Koordináta sík. Bemutatott? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De ezen kívül ez az alak Kétféleképpen is elforgathatja és elforgathatja:

– az abszcissza tengely körül;
– az ordináta tengely körül.

Ez a cikk mindkét esetet megvizsgálja. A második forgatási mód különösen érdekes, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája, és elmondom, hogyan találja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Ez nem annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.

Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.

tengely körül lapos alak

1. példa

Számítsa ki az ábra elforgatásával kapott test térfogatát, vonalak korlátozzák, a tengely körül.

Megoldás: Mint a terület megtalálásának problémájában, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a síkon meg kell alkotni egy vonalak által határolt ábrát, és ne felejtsük el, hogy az egyenlet adja meg a tengelyt. Az oldalakon megtudhatja, hogyan lehet egy rajzot hatékonyabban és gyorsabban elkészíteni Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságaiÉs Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ez egy kínai emlékeztető, és így tovább ebben a pillanatban nem hagyom abba többé.

A rajz itt nagyon egyszerű:

A kívánt lapos figura a tengely körül forog. Valójában a testnek van matematikai név, de lusta vagyok bármit is tisztázni a referenciakönyv segítségével, úgyhogy továbblépünk.

Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát?

Egy forgástest térfogata a képlet segítségével számítható ki:

A képletben a számnak az integrál előtt kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.

Szerintem az elkészült rajzból könnyen kitalálható, hogyan kell beállítani az „a” és „be” integráció határait.

Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A síkidomot a felül lévő parabola grafikonja határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.

BAN BEN gyakorlati feladatokat lapos alak néha a tengely alatt helyezkedhet el. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes: , így az integrál mindig nem negatív, ami nagyon logikus.

Számítsuk ki egy forgástest térfogatát a segítségével ezt a képletet:

Mint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.

Válasz:

Válaszában meg kell adnia a méretet - köbegység. Vagyis a forgástestünkben körülbelül 3,35 „kocka” van. Miért köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcentiméter, lehet Köbméter, esetleg köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberkét képes a képzeleted egy repülő csészealjba rakni.

2. példa

Határozza meg egy olyan test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengelye körüli elforgatással hoz létre , ,

Ez egy példa erre önálló döntés. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Nézzünk még kettőt összetett feladatok, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.

3. példa

Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk

Megoldás: Ábrázoljunk a rajzon egy lapos ábrát, amelyet a , , , vonalak határolnak, anélkül, hogy megfeledkeznénk arról, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:

A kívánt figura kék árnyalatú. Amikor a tengelye körül forog, egy szürreális fánk lesz belőle, négy sarkával.

Számítsuk ki a forgótest térfogatát mint a testek térfogatának különbsége.

Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Ha egy tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát -vel.

Tekintsük a bekarikázott ábrát zöld. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük -vel.

És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.

Használjuk szabványos képlet a forradalomtest térfogatának meghatározásához:

1) A pirossal bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:

2) A zölddel bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:

3) A kívánt fordulatszám térfogata:

Válasz:

Kíváncsi, hogy be ebben az esetben segítségével ellenőrizhető a megoldás iskolai képlet csonka kúp térfogatának kiszámításához.

Magát a határozatot gyakran rövidebbre írják, valahogy így:

Most pihenjünk egy kicsit, és meséljünk a geometriai illúziókról.

Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Szórakoztató geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Egyébként az átlagember egész életében egy 18-as helyiségnek megfelelő folyadékot iszik. négyzetméter, ami éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.

Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben adtak ki, nagyon jól fejleszti, ahogy a humorista mondta, megértést és megtanít az eredeti keresésére. nem szabványos megoldások problémákat. Nemrég nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még a humanisták számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni, hogy szabadidőt kínáltam, a műveltség és a széles látókör a kommunikációban nagyszerű dolog.

Után lírai kitérő illik eldönteni kreatív feladat:

4. példa

Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Felhívjuk figyelmét, hogy minden eset a sávban fordul elő, vagyis az integráció kész korlátai tulajdonképpen adottak. Helyesen rajzolja meg a grafikonokat trigonometrikus függvények, hadd emlékeztesselek a lecke anyagára gráfok geometriai transzformációi: ha az argumentumot kettővel osztjuk: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Célszerű legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.

A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak

A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori vendég. tesztek. Útközben figyelembe fogják venni az ábra területének megtalálásának problémája a második út - a tengely mentén történő integráció, ez lehetővé teszi, hogy ne csak javítsa készségeit, hanem megtanítsa a legtöbbet megtalálni előnyös út megoldásokat. Ennek gyakorlati szempontja is van. élet értelme! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk a személyzetet.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).

Mindenkinek ajánlom, még komplett bábuknak is. Sőt, a második bekezdésben tanult anyag felbecsülhetetlen segítséget nyújt a kettős integrálok kiszámításához.

5. példa

Adott egy lapos ábra, amelyet a , , vonalak határolnak.

1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!

Figyelem! Még akkor is, ha csak a második pontot akarja elolvasni, először Szükségszerűen olvasd el az elsőt!

Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.

1) Készítsünk egy rajzot:

Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát adja meg, a függvény pedig a parabola alsó ágát. Előttünk egy triviális parabola, amely „az oldalán fekszik”.

A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.

Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a „szokásos” módon, amit az órán megbeszéltek Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen ;
- a szegmensen.

Ezért:

Mi a rossz ebben az esetben? a szokásos módon megoldások? Először is kaptunk két integrált. Másodszor, az integrálok gyökök, az integrálban lévő gyökök pedig nem ajándékok, ráadásul az integráció korlátainak helyettesítése közben összezavarodhat. Valójában az integrálok persze nem ölők, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb lehet, csak „jobb” függvényeket választottam a problémára.

Van egy racionálisabb megoldás is: ez abból áll, hogy költözünk inverz függvényekés a tengely mentén történő integráció.

Hogyan juthatunk el inverz függvényekhez? Nagyjából az „x”-t „y”-n keresztül kell kifejeznie. Először nézzük a parabolát:

Ez elég, de ügyeljünk arra, hogy ugyanaz a függvény származtatható legyen az alsó ágból:

Egyenes vonallal egyszerűbb:

Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ebben az esetben a szakaszon az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: . Mi változott a képletben? Csak egy levél és semmi több.

! jegyzet: A tengely mentén be kell állítani az integráció határait szigorúan alulról felfelé!

A terület megkeresése:

A szegmensben tehát:

Kérem, vegye figyelembe, hogyan végeztem az integrációt, ez a legtöbb racionális módon, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.

Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok:

Az eredeti integrandus függvényt kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történt.

Válasz:

2) Számítsuk ki ennek az alakzatnak a tengely körüli elforgatásával keletkező test térfogatát!

A rajzot átrajzolom egy kicsit más kivitelben:

Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy „lebegő pillangó”, amely a tengelye körül forog.

A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először az inverz függvényekre kell mennünk. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.

Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvaló, hogy a forgótest térfogatát a térfogatkülönbségként kell keresni.

A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.

A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatával jelöljük.

Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.

A forgástest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk:

Mi a különbség az előző bekezdésben szereplő képlettől? Csak a levélben.

De az integráció előnye, amelyről nemrégiben beszéltem, sokkal könnyebben megtalálható , ahelyett, hogy először a 4. hatványra emelnénk az integrandust.

Válasz:

Azonban nem egy beteges pillangó.

Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot elforgatjuk a tengely körül, akkor természetesen teljesen más forgástestet kapunk, eltérő hangerővel.

6. példa

Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak és egy tengely határol.

1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az érdeklődők a „szokásos” módon is megtalálhatják egy figura területét, ezzel ellenőrizve az 1. pontot. De ha, ismétlem, egy lapos figurát forgatsz a tengely körül, akkor egy teljesen más forgástestet kapsz, más hangerővel, mellesleg a helyes választ (akik is szeretik a feladatokat megoldani).

A feladat két javasolt pontjának teljes megoldása az óra végén található.

Igen, és ne felejtse el jobbra dönteni a fejét, hogy megértse a forgástesteket és az integráció határait!

Az óra típusa: kombinált.

Az óra célja: megtanulják kiszámítani a forgástestek térfogatát integrálok segítségével.

Feladatok:

• megszilárdítsa a görbe vonalú trapézok azonosításának képességét számos geometriai alakzatból, és fejleszti a görbe vonalú trapézok területeinek kiszámításának készségét;
• ismerje meg a fogalmat térfogati ábra;
• megtanulják kiszámítani a forgástestek térfogatát;
• elősegítik a fejlődést logikus gondolkodás, hozzáértő matematikai beszéd, pontosság a rajzok felépítésénél;
• felkelteni az érdeklődést a téma, a sebészet iránt matematikai fogalmakés képek, az akarat, a függetlenség és a kitartás ápolása a végeredmény elérésében.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat.

Üdvözlet a csoportból. Közölje a tanulókkal az óra céljait.

Visszaverődés. Nyugodt dallam.

– Egy példázattal szeretném kezdeni a mai órát. „Élt egyszer egy bölcs ember, aki mindent tudott. Egy ember be akarta bizonyítani, hogy a bölcs nem tud mindent. Egy pillangót tartva a kezében megkérdezte: „Mondd meg, bölcs, melyik pillangó van a kezemben: élve vagy halott?” És ő maga azt gondolja: "Ha az élő azt mondja: megölöm, a halott azt mondja: elengedem." A bölcs gondolkodás után így válaszolt: "Minden a te kezedben". (Bemutatás.Csúszik)

– Ezért dolgozzunk ma eredményesen, sajátítsunk el új ismereteket, és alkalmazzuk a megszerzett készségeket, képességeket későbbi életés a gyakorlati tevékenységekben. "Minden a te kezedben".

II. Korábban tanult anyag ismétlése.

– Emlékezzünk a korábban tanulmányozott anyag főbb pontjaira. Ehhez hajtsuk végre a feladatot – Töröld a felesleges szót.(Csúszik.)

(A diák a személyi igazolványhoz megy, egy radír segítségével eltávolítja a felesleges szót.)

- Jobb "Differenciális". Próbáld meg a maradék szavakat egyként megnevezni általánosságban. (Integrálszámítás.)

– Emlékezzünk az integrálszámítás főbb szakaszaira és fogalmaira.

„Matematikai csomó”.

Gyakorlat. Helyezze vissza a hézagokat. (A tanuló kijön, és tollal beírja a szükséges szavakat.)

– Az integrálok alkalmazásáról a későbbiekben hallunk absztraktot.

Dolgozz füzetekben.

– A Newton-Leibniz képletet Isaac Newton (1643–1727) angol fizikus és Gottfried Leibniz (1646–1716) német filozófus vezette le. És ez nem meglepő, mert a matematika maga a természet által beszélt nyelv.

– Nézzük meg, hogyan használható ez a képlet gyakorlati problémák megoldására.

1. példa: Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét!

Megoldás: Építsünk függvénygráfokat a koordinátasíkon . Válasszuk ki az ábra azon területét, amelyet meg kell találni.

III. Új anyagok tanulása.

– Ügyeljen a képernyőre. Mi látható az első képen? (Csúszik) (Az ábra lapos ábrát mutat.)

– Mi látható a második képen? Lapos ez a figura? (Csúszik) (Az ábra egy háromdimenziós ábrát mutat.)

– Az űrben, a földön és bent Mindennapi élet Nemcsak lapos alakokkal találkozunk, hanem háromdimenziós alakokkal is, de hogyan számolhatjuk ki az ilyen testek térfogatát? Például egy bolygó térfogata, üstökös, meteorit stb.

– Az emberek házépítéskor és a víz egyik edényből a másikba öntésekor is gondolnak a térfogatra. Más kérdés, hogy a mennyiségszámítás szabályai és technikái mennyire pontosak és ésszerűek.

Üzenet egy diáktól. (Tyurina Vera.)

Az 1612-es év az osztrák Linz város lakói számára, ahol a híres csillagász, Johannes Kepler élt, különösen a szőlő tekintetében volt termékeny. Az emberek boroshordókat készítettek elő, és tudni akarták, hogyan határozzák meg gyakorlatilag a térfogatukat. (2. dia)

– Így Kepler áttekintett munkái egy egész kutatásfolyam kezdetét jelentették, amely az utolsó negyedév XVII V. tervezés I. Newton és G.V. munkáiban. A differenciál- és integrálszámítás Leibniz. A változók matematikája ebből az időből nyert nagyot vezető hely a matematikai tudás rendszerében.

– Ma Ön és én ilyen gyakorlati tevékenységeket folytatunk, ezért

Tanóránk témája: „Forgástestek térfogatának kiszámítása határozott integrál segítségével”. (Csúszik)

– A forgástest definícióját az alábbi feladat elvégzésével tanulja meg.

"Labirintus".

Labirintus ( görög szó) azt jelenti, hogy be kell menni a börtönbe. A labirintus utak, átjárók és egymásba nyíló helyiségek bonyolult hálózata.

De a meghatározás „megtört”, nyilak formájában utalásokat hagyva.

Gyakorlat. Találja meg a kiutat a zavaros helyzetből, és írja le a meghatározást.

Csúszik. „Térképi utasítás” Térfogatszámítás.

Határozott integrál segítségével kiszámíthatja egy adott test térfogatát, különösen egy forgástestet.

A forgástest olyan test, amelyet forgatással kapunk ívelt trapéz az alapja körül (1., 2. ábra)

A forgástest térfogatát a következő képletekkel számítjuk ki:

1. az OX tengely körül.

2. , ha egy ívelt trapéz forgása az op-amp tengelye körül.

Minden tanuló oktatási kártyát kap. A tanár kiemeli a főbb pontokat.

– A tanár elmagyarázza a táblán lévő példák megoldásait.

Vegyünk egy részletet a híres mese A. S. Puskin „Saltán cár meséje, dicsőséges fiáról és hatalmas hős Guidon Saltanovich herceg és a gyönyörű Lebed hercegnő” (4. dia):

…..
És a részeg hírnök hozott
Ugyanezen a napon a rendelés a következő:
„A király megparancsolja a bojárjainak,
Időveszteség nélkül,
És a királynő és az utód
Titokban dobd a víz mélységébe."
Nincs mit tenni: a bojárok,
Aggódni az uralkodóért
És az ifjú királynőnek,
Tömeg jött a hálószobájába.
Kijelentették a király akaratát...
Neki és fiának gonosz része van,
Felolvastuk a rendeletet,
És a királynő ugyanabban az órában
Egy hordóban a fiam börtönbe került,
Kátrányozták és elhajtottak
És beengedtek az okiyanba...
Ezt Saltan cár parancsolta.

Mekkora legyen a hordó térfogata, hogy a királyné és a fia elférjen benne?

– Fontolja meg a következő feladatokat

1. Határozza meg a test térfogatát, amelyet egy vonalakkal határolt görbe trapéz ordináta tengelye körüli elforgatással kapunk: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Válasz: 1163 cm 3 .

Határozzuk meg a parabola trapéz abszcissza tengelye körüli elforgatásával kapott test térfogatát y = , x = 4, y = 0.

IV. Új anyag összevonása

2. példa Számítsd ki a szirom x tengely körüli forgásával létrejövő test térfogatát! y = x 2, y 2 = x.

Építsük fel a függvény grafikonjait. y = x 2, y 2 = x. Menetrend y2 = xátalakítani az űrlapra y= .

Nekünk van V = V 1 – V 2 Számítsuk ki az egyes függvények térfogatát

– Most pedig nézzük meg a moszkvai rádióállomás tornyát a Shabolovkán, amelyet egy figyelemre méltó orosz mérnök tervei alapján építettek. címzetes akadémikus V. G. Shukhova. Részekből áll - a forgás hiperboloidjaiból. Ráadásul mindegyik egyenes fémrudakból készül, amelyek szomszédos köröket kötnek össze (8., 9. ábra).

- Gondoljuk át a problémát.

Határozzuk meg a hiperbolaívek elforgatásával kapott test térfogatát! ábrán látható módon a képzeletbeli tengelye körül. 8, hol

kocka egységek

Csoportos feladatok. A tanulók feladatokkal sorsolnak, rajzokat rajzolnak whatman papírra, és a csoport egyik képviselője megvédi a munkát.

1. csoport.

Találat! Találat! Újabb ütés!
A labda a kapuba repül - BALL!
Ez pedig egy görögdinnyegolyó
Zöld, kerek, ízletes.
Nézze meg jobban – micsoda labda!
Nem másból áll, mint körökből.
A görögdinnyét karikákra vágjuk
És kóstolja meg őket.

Határozzuk meg a korlátozott függvény OX tengelye körüli elforgatással kapott test térfogatát!

Hiba! A könyvjelző nincs meghatározva.

– Kérem, mondja meg, hol találkozunk ezzel az alakkal?

Ház. feladat 1 csoportnak. HENGER (csúszik) .

– Henger – mi az? – kérdeztem apámat.
Az apa nevetett: A cilinder kalap.
Hogy helyes elképzelésünk legyen,
A henger, mondjuk, egy bádogdoboz.
Gőzcsónak cső - henger,
A cső a tetőn is,

Minden cső hasonló a hengerhez.
És mondtam egy ilyen példát
Kaleidoszkóp Szerelmem,
Nem tudod levenni róla a szemed,
És úgy néz ki, mint egy henger.

- Gyakorlat. Házi feladat grafikonon ábrázolja a függvényt és kiszámítja a térfogatot.

2. csoport. KÚP (csúszik).

Anya azt mondta: És most
Az én történetem a kúpról fog szólni.
Csillagnéző magas kalapban
Egész évben számolja a csillagokat.
KÚP - csillagnéző sapka.
Ő ilyen. Megértetted? Ez az.
Anya az asztalnál állt,
Olajat töltöttem üvegekbe.
- Hol van a tölcsér? Nincs tölcsér.
Nézz utána. Ne állj a pálya szélére.
- Anya, nem mozdulok.
Mesélj többet a kúpról.
– A tölcsér öntözőkanna kúp alakú.
Gyerünk, keresd meg gyorsan nekem.
Nem találtam a tölcsért
De anya készített egy táskát,
Az ujjam köré tekertem a kartont
És ügyesen rögzítette egy gemkapoccsal.
Folyik az olaj, anya boldog,
A kúp pont jól jött ki.

Gyakorlat. Számítsa ki az abszcissza tengely körüli elforgatással kapott test térfogatát!

Ház. feladat a 2. csoportnak. PIRAMIS(csúszik).

láttam a képet. Ezen a képen
Van egy PIRAMIS a homokos sivatagban.
A piramisban minden rendkívüli,
Van benne valamiféle rejtély és rejtély.
És a Szpasszkaja-torony a Vörös téren
Nagyon ismerős gyerekeknek és felnőtteknek egyaránt.
Ha ránézel a toronyra, közönségesnek tűnik,
Mi van a tetején? Piramis!

Gyakorlat. Házi feladat: ábrázolja grafikonon a függvényt és számítsa ki a piramis térfogatát

– Ez alapján számoltuk ki a különböző testek térfogatát alapképlet testek térfogata integrál segítségével.

Ez egy újabb megerősítése annak, hogy a határozott integrál némi alapja matematikát tanulni.

- Na, most pihenjünk egy kicsit.

Keress egy párt.

Matematikai dominó dallam szól.

"Az az út, amelyet én magam kerestem, soha nem fog elfelejteni..."

Kutatómunka. Az integrál alkalmazása a közgazdaságtanban és a technológiában.

Tesztek erős tanulóknak és matematikai futballnak.

Matek szimulátor.

2. Egy adott függvény összes antideriváltjának halmazát nevezzük

A) határozatlan integrál,

B) funkció,

B) differenciálás.

7. Határozza meg a vonalakkal határolt görbe trapéz abszcissza tengelye körüli elforgatással kapott test térfogatát:

D/Z. Számítsa ki a forgótestek térfogatát!

Visszaverődés.

Reflexió fogadása a formában szinkvin(öt sor).

1. sor – téma neve (egy főnév).

2. sor – a téma leírása két szóban, két melléknévvel.

3. sor – a témán belüli cselekvés leírása három szóban.

4. sor – kifejezésük négy szót, a témához való viszonyulást mutatja (egész mondat).

Az 5. sor a téma lényegét megismétlő szinonimája.

1. Hangerő.
2. Határozott integrál,integrálható funkció.
3. Építünk, forgatunk, számolunk.
4. Egy ívelt trapéz (az alapja körül) elforgatásával kapott test.
5. Forgástest (térfogati geometriai test).

Következtetés (csúszik).

• A határozott integrál a matematika tanulmányozásának egy bizonyos alapja, amely pótolhatatlanul hozzájárul a gyakorlati problémák megoldásához.
• Az „Integrál” téma egyértelműen bemutatja a matematika és a fizika, a biológia, a közgazdaságtan és a technológia kapcsolatát.
• Fejlesztés modern tudomány elképzelhetetlen az integrál használata nélkül. Ennek kapcsán el kell kezdeni a tanulmányait középfokú szakképzés keretében!

Osztályozás. (Kommentárral.)

A nagy Omar Khayyam - matematikus, költő, filozófus. Arra buzdít bennünket, hogy legyünk saját sorsunk urai. Hallgassunk meg egy részletet művéből:

Azt mondod, ez az élet egy pillanat.
Értékeld, meríts ihletet belőle.
Ahogy elkölted, úgy elmúlik.
Ne felejtsd el: ő a te teremtményed.

Legyen T a felső félsíkban elhelyezkedő görbe vonalú trapéz x tengelye körüli elforgatásával létrejött forgástest, amelyet az x tengely, az x=a és x=b egyenesek és a grafikon határol. folyamatos funkció y=f(x) .

Bizonyítsuk be, hogy ez így van a forradalom testét kockára vágjuk és térfogatát a képlettel fejezzük ki

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Először is bebizonyítjuk, hogy ez a forgástest szabályos, ha a forgástengelyre merőleges Oyz-síkot \Pi-nek választjuk. Figyeljük meg, hogy az Oyz síktól x távolságra lévő szakasz egy f(x) sugarú kör, és S(x) területe egyenlő \pi f^2(x)-vel (46. ábra). Ezért az S(x) függvény folytonos az f(x) folytonossága miatt. Következő, ha S(x_1)\leqslant S(x_2), akkor ez azt jelenti, hogy . De a metszetek Oyz-síkra vetületei f(x_1) és f(x_2) sugarú körök O középponttal, és f(x_1)\leqslant f(x_2) ebből következik, hogy egy f(x_1) sugarú kört tartalmaz egy f(x_2) sugarú kör.

Tehát a forradalom teste szabályos. Ezért kockára vágják, és térfogatát a képlet alapján számítják ki

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Ha egy görbe vonalú trapézt alul és felül is az y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) görbék határolnak, akkor

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

A (3) képlet használható egy forgástest térfogatának kiszámítására is abban az esetben, ha egy forgó alak határa adott parametrikus egyenletek. Ebben az esetben a határozott integráljel alatt változó változást kell használni.

Egyes esetekben célszerűnek bizonyul a forgástesteket nem egyenes körhengerekre bontani, hanem más típusú figurákra.

Például keressük meg görbe trapéz ordináta tengely körüli elforgatásával kapott test térfogata. Először keressük meg egy y# magasságú téglalap elforgatásával kapott térfogatot, amelynek alján a szegmens található. Ez a térfogat egyenlő két egyenes térfogatának különbségével kör alakú hengerek

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

De most már világos, hogy a szükséges mennyiséget felülről és alulról a következőképpen becsülik:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Innen könnyen következik az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának képlete:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

4. példa Határozzuk meg egy R sugarú golyó térfogatát.

Megoldás. Az általánosság elvesztése nélkül egy R sugarú kört fogunk figyelembe venni, amelynek középpontja az origóban van. Ez a kör az ökör tengelye körül forogva golyót alkot. A kör egyenlete x^2+y^2=R^2, tehát y^2=R^2-x^2. Figyelembe véve a kör ordináta tengelyhez viszonyított szimmetriáját, először megtaláljuk a szükséges térfogat felét

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Ezért a teljes labda térfogata egyenlő \frac(4)(3)\pi R^3.

5. példa Számítsd ki egy kúp térfogatát, amelynek h magassága és r alapsugára!

Megoldás. Válasszunk olyan koordinátarendszert, hogy az Ox tengely egybeessen a h magassággal (47. ábra), és vegyük a kúp csúcsát a koordináták origójának. Ekkor az OA egyenes egyenlete y=\frac(r)(h)\,x formában lesz felírva.

A (3) képlet segítségével a következőket kapjuk:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

6. példa. Határozzuk meg az astroid x tengelye körüli elforgatással kapott test térfogatát \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(esetek)(48. ábra).

Megoldás.Építsünk egy astroidot. Tekintsük az asztroid felső részének felét, amely szimmetrikusan helyezkedik el az ordináta tengelyéhez képest. A (3) képlet segítségével és a határozott integráljel alatti változót megváltoztatva megtaláljuk az integráció határait az új t változóra.

Ha x=a\cos^3t=0 , akkor t=\frac(\pi)(2) , ha pedig x=a\cos^3t=a , akkor t=0 . Figyelembe véve, hogy y^2=a^2\sin^6t és dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, kapunk:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Az asztroid forgásával létrejövő teljes test térfogata lesz \frac(32\pi)(105)\,a^3.

7. példa. Határozzuk meg az x tengely és a cikloid első íve által határolt görbe trapéz ordináta tengelye körüli elforgatással kapott test térfogatát \begin(esetek)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(esetek).

Megoldás. Használjuk a (4) képletet: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, és cserélje ki az integráljel alatti változót, figyelembe véve, hogy a cikloid első íve akkor jön létre, amikor a t változó 0-ról 2\pi-re változik. És így,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end(igazított)

A Javascript le van tiltva a böngészőjében.
A számítások elvégzéséhez engedélyezni kell az ActiveX-vezérlőket!

Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát
határozott integrál használatával?

Általánosságban elmondható, hogy az integrálszámításban sok érdekes alkalmazás létezik egy határozott integrál segítségével, kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ív hosszát, a felület területét; forgatás és még sok más. Szóval jó móka lesz, légy optimista!

Képzeljünk el valami lapos alakot a koordinátasíkon. Bemutatott? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De emellett ez az ábra is elforgatható, és kétféleképpen forgatható:

- az abszcissza tengely körül;
- az ordináta tengelye körül.

Ez a cikk mindkét esetet megvizsgálja. A második forgatási mód különösen érdekes, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája, és elmondom, hogyan találja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Ez nem annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.

Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.

tengely körül lapos alak

Számítsa ki egy test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengely körüli elforgatásával kapunk.

Megoldás: Mint a terület megtalálásának problémájában, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a síkon meg kell alkotni egy vonalak által határolt ábrát, és ne felejtsük el, hogy az egyenlet adja meg a tengelyt. Az oldalakon megtudhatja, hogyan lehet egy rajzot hatékonyabban és gyorsabban elkészíteni Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságaiÉs . Ez egy kínai emlékeztető, és ezen a ponton nem fogok tovább időzni.

A rajz itt nagyon egyszerű:

A kívánt lapos figura a tengely körül forog. Valójában a testnek van matematikai neve, de lusta vagyok bármit is tisztázni a referenciakönyvben, úgyhogy továbbmegyünk.

Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát?

Egy forgástest térfogata a képlet segítségével számítható ki:

A képletben a számnak az integrál előtt kell lennie. Így történt - minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.

Szerintem az elkészült rajzból könnyen kitalálható, hogyan kell beállítani az „a” és „be” integráció határait.

Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A síkidomot a felül lévő parabola grafikonja határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.

Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes: , így az integrál mindig nem negatív, ami nagyon logikus.

Számítsuk ki a forgástest térfogatát a következő képlettel:

Mint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.

Válasz:

Válaszában meg kell adnia a méretet - köbegység. Vagyis a forgástestünkben körülbelül 3,35 „kocka” van. Miért köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehetnek köbcentik, lehetnek köbméterek, lehetnek köbkilométerek stb., ennyi zöld embert tud a képzeleted egy repülő csészealjba tenni.

Határozza meg egy olyan test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengelye körüli elforgatással hoz létre , ,

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.

Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk

Megoldás: Ábrázoljunk a rajzon egy lapos ábrát, amelyet a , , , vonalak határolnak, anélkül, hogy megfeledkeznénk arról, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:

A kívánt figura kék árnyalatú. Amikor a tengelye körül forog, egy szürreális fánk lesz belőle, négy sarkával.

Számítsuk ki a forgótest térfogatát mint a testek térfogatának különbsége.

Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Ha egy tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát -vel.

Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük .

És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.

A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:

1) A pirossal bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:

2) A zölddel bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:

3) A kívánt fordulatszám térfogata:

Válasz:

Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével ellenőrizhetjük.

Magát a határozatot gyakran rövidebbre írják, valahogy így:

Most pihenjünk egy kicsit, és meséljünk a geometriai illúziókról.

Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Szórakoztató geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Egyébként az átlagember egész életében egy szoba 18 négyzetméternyi folyadékot iszik meg, ami éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.

Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:

Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Felhívjuk figyelmét, hogy minden eset a sávban fordul elő, vagyis az integráció kész korlátai tulajdonképpen adottak. Rajzolja le helyesen a trigonometrikus függvények grafikonjait, hadd emlékeztessem a ról szóló tananyagra gráfok geometriai transzformációi: ha az argumentumot kettővel osztjuk: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Célszerű legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.

A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak

A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori vendég a tesztmunkában. Útközben figyelembe fogják venni az ábra területének megtalálásának problémája A második módszer a tengely mentén történő integráció, amely lehetővé teszi, hogy ne csak fejleszthesse készségeit, hanem megtanítsa megtalálni a legjövedelmezőbb megoldási utat. Ennek gyakorlati életértelme is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk a személyzetet.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).

Mindenkinek ajánlom, még komplett bábuknak is. Sőt, a második bekezdésben tanult anyag felbecsülhetetlen segítséget nyújt a kettős integrálok kiszámításához.

Adott egy lapos ábra, amelyet a , , vonalak határolnak.

1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!

Figyelem! Még akkor is, ha csak a második pontot szeretnéd elolvasni, mindenképpen az elsőt olvasd el először!

Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.

1) Készítsünk egy rajzot:

Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát adja meg, a függvény pedig a parabola alsó ágát. Egy triviális parabola áll előttünk, amely „az oldalán fekszik”.

A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.

Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a „szokásos” módon, amit az órán megbeszéltek Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen ;
- a szegmensen.

Ezért:

Miért rossz ebben az esetben a szokásos megoldás? Először is kaptunk két integrált. Másodszor, az integrálok alatt gyökerek vannak, és az integrálban lévő gyökök nem ajándékok, ráadásul az integráció korlátainak helyettesítésében is zavarba jöhet. Valójában az integrálok persze nem ölők, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb lehet, csak „jobb” függvényeket választottam a problémára.

Létezik racionálisabb megoldás is: inverz függvényekre váltásból és a tengely mentén történő integrálásból áll.

Hogyan juthatunk el inverz függvényekhez? Nagyjából az „x”-t „y”-n keresztül kell kifejeznie. Először nézzük a parabolát:

Ez elég, de ügyeljünk arra, hogy ugyanaz a függvény származtatható legyen az alsó ágból:

Egyenes vonallal egyszerűbb:

Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ebben az esetben a szakaszon az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: . Mi változott a képletben? Csak egy levél és semmi több.

! jegyzet: A tengely mentén be kell állítani az integráció határait szigorúan alulról felfelé!

A terület megkeresése:

A szegmensben tehát:

Kérem, figyelje meg, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.

Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok:

Az eredeti integrandus függvényt kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történt.

Válasz:

2) Számítsuk ki ennek az alakzatnak a tengely körüli elforgatásával keletkező test térfogatát!

A rajzot átrajzolom egy kicsit más kivitelben:

Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy „lebegő pillangó”, amely a tengelye körül forog.

A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először az inverz függvényekre kell mennünk. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.

Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvaló, hogy a forgótest térfogatát a térfogatkülönbségként kell keresni.

A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.

A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatával jelöljük.

Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.

A forgástest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk:

Mi a különbség az előző bekezdésben szereplő képlettől? Csak a levélben.

De az integráció előnye, amelyről nemrégiben beszéltem, sokkal könnyebben megtalálható , ahelyett, hogy először a 4. hatványra emelnénk az integrandust.

Válasz:

Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot elforgatjuk a tengely körül, akkor természetesen teljesen más forgástestet kapunk, eltérő hangerővel.

Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak és egy tengely határol.

1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az érdeklődők a „szokásos” módon is megtalálhatják egy figura területét, ezzel ellenőrizve az 1. pontot. De ha, ismétlem, egy lapos figurát forgatsz a tengely körül, akkor egy teljesen más forgástestet kapsz, más hangerővel, mellesleg a helyes választ (akik is szeretik a feladatokat megoldani).

A feladat két javasolt pontjának teljes megoldása az óra végén található.

Igen, és ne felejtse el jobbra dönteni a fejét, hogy megértse a forgástesteket és az integráció határait!

Már épp befejeztem a cikket, de ma meghozták érdekes példa csak hogy megtaláljuk az ordináta tengely körüli forgástest térfogatát. Friss:

Számítsa ki a görbék és görbék által határolt alak tengelye körüli elforgatással létrejövő test térfogatát.

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Útközben még néhány függvény grafikonjával ismerkedünk. Mint ez érdekes grafikon páros funkció ….

I. Forgástestek térfogatai. Előtanulmányozás G. M. Fikhtengolts tankönyvével fejezet XII, 197., 198. bekezdés* Elemezze részletesen a 198. bekezdésben szereplő példákat.

508. Számítsa ki egy ellipszis Ox tengely körüli forgatásával létrejövő test térfogatát!

És így,

530. Keresse meg a felületet, forgással képződik az y = sin x szinuszív Ox tengelye körül az X = 0 ponttól az X = It pontig.

531. Számítsa ki egy h magasságú és r sugarú kúp felületét!

532. Számítsa ki a képződött felületet!

az astroid x3 -)- y* - a3 forgása az Ox tengely körül.

533. Számítsa ki a görbe hurkának 18 ug - x (6 - x) z Ox tengely körüli elforgatásával keletkező felületet!

534. Határozza meg a tórusz felületét, amelyet az X2 - j - (y-3)2 = 4 kör Ox tengely körüli elforgatása eredményez.

535. Számítsa ki az X = költség, y = asint az Ox tengely körüli kör forgásával képzett felületet!

536. Számítsa ki az x = 9t2, y = St - 9t3 görbe hurkának az Ox tengely körüli elforgatásával kialakuló felületet!

537. Határozza meg az x = e*sint, y = el költség görbe ívének az Ox tengely körüli elforgatásával képzett felületet

t = 0-tól t = —-ig.

538. Mutassuk meg, hogy az x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) cikloid ív Oy tengely körüli forgásával keletkező felület egyenlő 16 u2 o2-vel.

539. Határozza meg a kardioid poláris tengely körüli elforgatásával kapott felületet!

540. Határozza meg a lemniszkátus forgása által alkotott felületet! A sarki tengely körül.

További feladatok a IV

Síkfigurák területei

541. Keresse meg a görbe által határolt régió teljes területét És az Ox tengely.

542. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És az Ox tengely.

543. Keresse meg a régió területének azt a részét, amely az első kvadránsban található, és amelyet a görbe határol

l koordináta tengelyek.

544. Keresse meg a benne lévő régió területét

hurkok:

545. Keresse meg a görbe egy hurok által határolt terület területét:

546. Keresse meg a hurkon belüli régió területét:

547. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És az Ox tengely.

548. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És az Ox tengely.

549. Keresse meg az Oxr tengely által határolt terület területét

egyenes és görbe

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete