Gjetja e një çifti pikash më të afërta. Largësia nga pika në pikë: formula, shembuj, zgjidhje

Pikat e dhëna në aeroplan, të dhëna nga koordinatat e tyre. Kërkohet të gjesh midis tyre dy pika të tilla, distanca midis të cilave është minimale:

Ne marrim distancat e zakonshme Euklidiane:

Një algoritëm i parëndësishëm - që përsëritet mbi të gjitha çiftet dhe llogarit distancën për secilin - funksionon në . Algoritmi që funksionon në kohë përshkruhet më poshtë. Ky algoritëm u propozua nga Preparata në 1975. Preparata dhe Chamos gjithashtu treguan se ky algoritëm është asimptotikisht optimal në një model të pemës së vendimit.

Algoritmi

Le të ndërtojmë një algoritëm për skema e përgjithshme algoritme "përça dhe sundo": algoritmi është projektuar si një funksion rekurziv, të cilit i kalohet një grup pikash; ky funksion rekurziv e ndan këtë grup në gjysmë, e thërret veten në mënyrë rekursive nga secila gjysmë dhe më pas kryen disa operacione për të kombinuar përgjigjet. Operacioni i bashkimit konsiston në zbulimin e rasteve kur një pikë e zgjidhjes optimale ra në njërën gjysmë, dhe pika tjetër në tjetrën (në këtë rast, thirrjet rekursive nga secila prej gjysmave veç e veç nuk mund ta gjejnë këtë çift, natyrisht). Vështirësia kryesore, si gjithmonë, qëndron në zbatimin efektiv të kësaj faze të integrimit. Nëse një grup pikash i kalohet funksionit rekurziv, atëherë faza e bashkimit duhet të funksionojë jo më shumë se , atëherë asimptotika e të gjithë algoritmit do të gjendet nga ekuacioni:

Zgjidhja e këtij ekuacioni dihet të jetë .

Pra, le të kalojmë në ndërtimin e algoritmit. Për të arritur në një zbatim efikas të fazës së bashkimit në të ardhmen, grupin e pikave do ta ndajmë në dy sipas koordinatave të tyre: në fakt, vizatojmë një vijë të caktuar vertikale që e ndan grupin e pikave në dy nëngrupe të përafërsisht të njëjtën madhësi. Është i përshtatshëm për të bërë një ndarje të tillë në mënyrën e mëposhtme: renditni pikat në mënyrë standarde si çifte numrash, d.m.th.

Pastaj marrim pikën e mesme pas renditjes (), dhe të gjitha pikat para saj do t'i caktohen vetë gjysmës së parë, dhe të gjitha pikat pas saj në gjysmën e dytë:

Tani, duke thirrur në mënyrë rekursive nga secila prej grupeve dhe , do të gjejmë përgjigje për secilën nga gjysmat. Le të marrim më të mirat prej tyre: .

Tani duhet të prodhojmë faza e bashkimit, d.m.th. përpiquni të gjeni palë të tilla pikash, distanca midis të cilave është më pak se Dhe një pikë qëndron në Dhe tjetra qëndron në . Natyrisht, për këtë mjafton të merren parasysh vetëm ato pika që janë në një distancë më të vogël se, d.m.th., nga vija vertikale e seksionit. grupi i pikave të konsideruara në këtë fazë është i barabartë me:

Për çdo pikë nga grupi, duhet të përpiqeni të gjeni pika që janë më afër tij se . Për shembull, mjafton të merren parasysh vetëm ato pika, koordinatat e të cilave ndryshojnë jo më shumë se . Për më tepër, nuk ka kuptim të merren parasysh ato pika, koordinata e të cilave është më e madhe se koordinata e pikës aktuale. Kështu, për secilën pikë, ne përcaktojmë grupin e pikave të konsideruara si më poshtë:

Nëse i renditim pikat e grupit sipas koordinatave, atëherë do të jetë shumë e lehtë për t'u gjetur: këto janë disa pika me radhë deri në pikën .

Pra, në shënimin e ri faza e bashkimit duket kështu: ndërtoni një grup, renditni pikat në të sipas koordinatave, më pas për secilën pikë merrni parasysh të gjitha pikat dhe llogaritni distancën për secilën çift dhe krahasoni me distancën më të mirë aktuale.

Në pamje të parë, ky është ende një algoritëm jo optimal: duket se madhësitë e grupeve do të jenë të rendit të , dhe asimptotika e kërkuar nuk do të funksionojë kurrë. Megjithatë, çuditërisht, mund të vërtetohet se madhësia e secilit prej grupeve është vlera , d.m.th. nuk kalon ndonjë konstante të vogël, pavarësisht nga vetë pikat. Prova e këtij fakti jepet në pjesën tjetër.

Së fundi, le t'i kushtojmë vëmendje llojeve, nga të cilat algoritmi i mësipërm përmban dy njëherësh: fillimisht renditjen sipas çifteve (,) dhe më pas renditjen e elementeve të grupit sipas . Në fakt, të dyja këto lloje brenda funksionit rekurziv mund të eliminohen (përndryshe nuk do të kishim arritur vlerësimin për fazën e bashkimit dhe asimptotika e përgjithshme e algoritmit do të kishte dalë të ishte ). Është e lehtë të heqësh qafe renditjen e parë - mjafton të kryesh këtë renditje para fillimit të rekursionit: në fund të fundit, vetë elementët nuk ndryshojnë brenda rekursionit, kështu që nuk ka nevojë të renditet përsëri. Me renditjen e dytë, është pak më e vështirë, nuk do të funksionojë më parë. Por, duke kujtuar bashkoj renditje(bashkimi i rendit), i cili gjithashtu funksionon në parimin e përça dhe sundo, ne thjesht mund ta ndërtojmë këtë lloj në rekursionin tonë. Lëreni rekursionin, duke marrë disa grupe pikash (siç kujtojmë, të renditura në çifte) të kthejë të njëjtin grup, por tashmë të renditur sipas koordinatave . Për ta bërë këtë, mjafton thjesht të bashkohen (për) dy rezultatet e kthyera nga thirrjet rekursive. Kjo do të rezultojë në një grup të renditur.

Vlerësimi i asimptotikëve

Për të treguar se algoritmi i përshkruar më sipër ndodh në të vërtetë në , na duhet vetëm të vërtetojmë faktin e mëposhtëm: .

Pra, le të shqyrtojmë një pikë; Kujtojmë se një grup është një grup pikash, koordinata e të cilave shtrihet në segment, dhe, përveç kësaj, edhe vetë pika dhe të gjitha pikat e grupit shtrihen në një brez gjersie. Me fjalë të tjera, pikat që po shqyrtojmë dhe shtrihen në një drejtkëndësh me madhësi .

Detyra jonë është të vlerësojmë numrin maksimal të pikave që mund të shtrihen në këtë drejtkëndësh; Kështu, ne do të vlerësojmë madhësia maksimale grupe . Në të njëjtën kohë, gjatë vlerësimit, nuk duhet harruar se mund të ndodhin pika të përsëritura.

Kujtoni atë që është marrë nga të paktën dy rezultate të thirrjeve rekursive - nga grupet dhe , dhe përmban pika në të majtë të vijës ndarëse dhe pjesërisht në të - pikat e mbetura të vijës ndarëse dhe pikat në të djathtë të saj. Për çdo çift pikash nga , si dhe nga , distanca nuk mund të jetë më e vogël - përndryshe do të thotë që funksioni rekurziv nuk funksionon si duhet.

Për normën numri maksimal pikat në drejtkëndësh, e ndajmë në dy katrorë, të gjitha pikat ia caktojmë katrorit të parë, dhe të gjithë pjesën tjetër në të dytin, d.m.th. . Nga konsideratat e mësipërme rezulton se në secilin prej këtyre katrorëve distanca ndërmjet dy pikave është të paktën .

Le ta tregojmë atë në çdo katror jo më shumë se katër pikë. Për shembull, kjo mund të bëhet si më poshtë: ne e ndajmë katrorin në 4 nën katrorë me brinjë . Atëherë secili prej këtyre nënshesheve nuk mund të përmbajë më shumë se një pikë (sepse edhe diagonalja është , e cila është më e vogël se ). Prandaj, nuk mund të ketë më shumë se 4 pikë në të gjithë sheshin.

Pra, ne kemi vërtetuar se nuk mund të ketë më shumë pika në një drejtkëndësh dhe, për rrjedhojë, madhësia e grupit nuk mund të kalojë , e cila kërkohej të vërtetohej.

Zbatimi

Le të prezantojmë një strukturë të dhënash për ruajtjen e një pike (koordinatat e saj dhe një numër të caktuar) dhe operatorët e krahasimit të nevojshëm për dy lloje të renditjes:

struct pt (int x, y, id;); bool inline cmp_x (konst pt & a, konst pt & b) (kthim a.x< b.x || a.x == b.x && a.y < b.y ; } inline bool cmp_y (const pt & a, const pt & b) { return a.y < b.y ; } pt a[ MAXN] ;

Për një zbatim të përshtatshëm të rekursionit, ne prezantojmë një funksion ndihmës që do të llogarisë distancën midis dy pikave dhe do të kontrollojë nëse është më e mirë se përgjigja aktuale:

dyfishtë; int ansa, ansb; inline void upd_ans (const pt & a, const pt & b) ( double dist = sqrt ((a.x - b.x ) * (a.x - b.x ) + (a.y - b.y ) * (a.y - b.y ) + .0 ) ; nëse ( dist< ) = dist, ansa = a.id , ansb = b.id ; }

Së fundi, zbatimi i vetë rekursionit. Supozohet se para se ta thërrisni, grupi tashmë është renditur sipas -koordinatës. Rekursionit thjesht i kalohen dy tregues, të cilët tregojnë se duhet të kërkojë përgjigjen për të. Nëse distanca ndërmjet dhe është shumë e vogël, atëherë rekursioni duhet të ndalet dhe duhet të kryhet një algoritëm i parëndësishëm për gjetjen e çiftit më të afërt dhe më pas të renditet nëngrupi sipas -koordinatës.

Për të bashkuar dy grupe pikash të marra nga thirrjet rekursive në një (të renditur sipas -koordinatës), ne përdorim funksionin standard STL dhe krijojmë një buffer ndihmës (një për të gjitha thirrjet rekursive). (Është jopraktike të përdoret, pasi në përgjithësi nuk funksionon në kohë lineare).

Së fundi, grupi ruhet në të njëjtin grup.

rec i pavlefshëm (int l, int r) (nëse (r - l<= 3 ) { for (int i= l; i<= r; ++ i) for (int j= i+ 1 ; j<= r; ++ j) upd_ans (a[ i] , a[ j] ) ; sort (a+ l, a+ r+ 1 , & cmp_y) ; return ; } int m = (l + r) >> 1; int midx = a[ m] .x; rec (l, m), rec (m+ 1, r); statike pt t[ MAXN] ; bashkohen (a+ l, a+ m+ 1, a+ m+ 1, a+ r+ 1, t, & cmp_y); kopje (t, t+ r- l+ 1, a+ l); int tsz = 0; për (int i= l; i<= r; ++ i) if (abs (a[ i] .x - midx) < ) { for (int j= tsz- 1 ; j>= 0 && a[ i] .y - t[ j] .y< ; -- j) upd_ans (a[ i] , t[ j] ) ; t[ tsz++ ] = a[ i] ; } }

Nga rruga, nëse të gjitha koordinatat janë numra të plotë, atëherë për kohëzgjatjen e rekursionit, nuk mund të kaloni fare në vlerat e pjesshme dhe t'i ruani ato në katrorin e distancës minimale.

Zgjidhja e problemeve në matematikë për nxënësit shoqërohet shpesh me shumë vështirësi. Ndihmojeni studentin të përballojë këto vështirësi, si dhe mësojini të zbatojë njohuritë e tij teorike në zgjidhjen e detyra specifike për të gjitha seksionet e lëndës "Matematika" - qëllimi kryesor i faqes sonë.

Duke filluar të zgjidhin problema mbi temën, nxënësit duhet të jenë në gjendje të ndërtojnë një pikë në një rrafsh sipas koordinatave të saj, si dhe të gjejnë koordinatat e një pike të caktuar.

Llogaritja e distancës ndërmjet dy pikave të marra në rrafshin A (x A; y A) dhe B (x B; y B) kryhet me formulën d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), ku d është gjatësia e segmentit që lidh këto pika në rrafsh.

Nëse njëri nga skajet e segmentit përkon me origjinën, dhe tjetri ka koordinata M (x M; y M), atëherë formula për llogaritjen e d do të marrë formën OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Llogaritja e distancës ndërmjet dy pikave duke pasur parasysh koordinatat e këtyre pikave

Shembulli 1.

Gjeni gjatësinë e segmentit që lidh pikat A(2; -5) dhe B(-4; 3) në planin koordinativ (Fig. 1).

Zgjidhje.

Është dhënë kushti i problemës: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 dhe y B = 3. Gjeni d.

Duke aplikuar formulën d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), marrim:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Llogaritja e koordinatave të një pike që është e barabartë nga tre pika të dhëna

Shembulli 2

Gjeni koordinatat e pikës O 1, e cila është e barabartë nga tri pikat A(7; -1) dhe B(-2; 2) dhe C(-1; -5).

Zgjidhje.

Nga formulimi i kushtit të problemit rezulton se O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Le të ketë koordinata (a; b) pika e dëshiruar O 1. Sipas formulës d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) gjejmë:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Ne hartojmë një sistem prej dy ekuacionesh:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Pas katrorit të anës së majtë dhe të djathtë të ekuacioneve, shkruajmë:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Duke e thjeshtuar, ne shkruajmë

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Pasi kemi zgjidhur sistemin, marrim: a = 2; b = -1.

Pika O 1 (2; -1) është e barabartë nga tre pikat e dhëna në gjendjen që nuk shtrihen në një vijë të drejtë. Kjo pikë është qendra e rrethit që kalon nëpër tre pikat e dhëna. (Fig. 2).

3. Llogaritja e abshisës (ordinatës) e një pike që shtrihet në boshtin e abshisës (ordinatës) dhe ndodhet në distancë e dhënë nga kjo pikë

Shembulli 3

Distanca nga pika B(-5; 6) deri te pika A e shtrirë në boshtin x është 10. Gjeni pikën A.

Zgjidhje.

Nga formulimi i kushtit të problemës del se ordinata e pikës A është zero dhe AB = 10.

Duke shënuar abshisën e pikës A deri në a, shkruajmë A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Marrim ekuacionin √((a + 5) 2 + 36) = 10. Duke e thjeshtuar, kemi

a 2 + 10a - 39 = 0.

Rrënjët e këtij ekuacioni a 1 = -13; dhe 2 = 3.

Marrim dy pikë A 1 (-13; 0) dhe A 2 (3; 0).

Ekzaminimi:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Të dy pikat e marra përshtaten me gjendjen e problemit (Fig. 3).

4. Llogaritja e abshisës (ordinatës) së një pike që shtrihet në boshtin e abshisës (ordinatës) dhe është në të njëjtën distancë nga dy pika të dhëna

Shembulli 4

Gjeni një pikë në boshtin Oy që është në të njëjtën distancë nga pikat A (6; 12) dhe B (-8; 10).

Zgjidhje.

Le të jenë O 1 (0; b) koordinatat e pikës së kërkuar nga kushti i problemit, që shtrihet në boshtin Oy (në pikën e shtrirë në boshtin Oy, abshisa është e barabartë me zero). Nga kushti rrjedh që O 1 A \u003d O 1 V.

Sipas formulës d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) gjejmë:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Kemi ekuacionin √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) ose 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Pas thjeshtimit, marrim: b - 4 = 0, b = 4.

Kërkohet nga kushti i pikës problemore O 1 (0; 4) (Fig. 4).

5. Llogaritja e koordinatave të një pike që është në të njëjtën distancë nga boshtet e koordinatave dhe një pikë e caktuar

Shembulli 5

Gjeni pikën M të vendosur në planin koordinativ në të njëjtën distancë nga boshtet e koordinatave dhe nga pika A (-2; 1).

Zgjidhje.

Pika e kërkuar M, si pika A (-2; 1), ndodhet në këndin e dytë të koordinatave, pasi është e barabartë nga pikat A, P 1 dhe P 2. (Fig. 5). Distancat e pikës M nga boshtet e koordinatave janë të njëjta, prandaj koordinatat e saj do të jenë (-a; a), ku a > 0.

Nga kushtet e problemit rezulton se MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

ato. |-a| = a.

Sipas formulës d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) gjejmë:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Le të bëjmë një ekuacion:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Pas katrorimit dhe thjeshtimit, kemi: a 2 - 6a + 5 = 0. Zgjidhim ekuacionin, gjejmë a 1 = 1; dhe 2 = 5.

Marrim dy pikë M 1 (-1; 1) dhe M 2 (-5; 5), duke plotësuar kushtin e problemit.

6. Llogaritja e koordinatave të një pike që është në të njëjtën distancë të caktuar nga boshti i abshisave (ordinatave) dhe nga kjo pikë

Shembulli 6

Gjeni një pikë M të tillë që distanca e saj nga boshti y dhe nga pika A (8; 6) të jetë e barabartë me 5.

Zgjidhje.

Nga kushti i problemës del se MA = 5 dhe abshisa e pikës M është e barabartë me 5. Le të jetë ordinata e pikës M e barabartë me b, atëherë M(5; b) (Fig. 6).

Sipas formulës d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) kemi:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Le të bëjmë një ekuacion:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Duke e thjeshtuar, marrim: b 2 - 12b + 20 = 0. Rrënjët e këtij ekuacioni janë b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Prandaj, ka dy pika që plotësojnë kushtin e problemit: M 1 (5; 2) dhe M 2 (5; 10).

Dihet se shumë studentë zgjidhje e pavarur detyrat kanë nevojë për konsultime të vazhdueshme për teknikat dhe metodat e zgjidhjes së tyre. Shpesh, një student nuk mund të gjejë një mënyrë për të zgjidhur një problem pa ndihmën e një mësuesi. Studenti mund të marrë këshillat e nevojshme për zgjidhjen e problemeve në faqen tonë të internetit.

A keni ndonjë pyetje? Nuk jeni i sigurt se si të gjeni distancën midis dy pikave në një aeroplan?
Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.
Mësimi i parë është falas!

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë mënyrat për të përcaktuar distancën nga një pikë në një pikë teorikisht dhe në shembullin e detyrave specifike. Le të fillojmë me disa përkufizime.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Përkufizimi 1

Distanca midis pikave- kjo është gjatësia e segmentit që i lidh ato, në shkallën ekzistuese. Është e nevojshme të vendosni shkallën në mënyrë që të keni një njësi gjatësie për matje. Prandaj, në thelb problemi i gjetjes së distancës ndërmjet pikave zgjidhet duke përdorur koordinatat e tyre në vijën koordinative, në rrafshin koordinativ ose hapësirën tredimensionale.

Të dhënat fillestare: drejtëza koordinative O x dhe një pikë arbitrare A e shtrirë mbi të. Çdo pikë e drejtëzës ka një numër real: le për pikën A do të jetë një numër i caktuar xA,është koordinata e pikës A.

Në përgjithësi, mund të themi se vlerësimi i gjatësisë së një segmenti të caktuar ndodh në krahasim me segmentin e marrë si njësi gjatësie në një shkallë të caktuar.

Nëse pika A korrespondon me një numër të plotë real, pasi kemi lënë mënjanë segmente të njëpasnjëshme nga pika O në një pikë përgjatë vijës së drejtë O A - njësi gjatësie, ne mund të përcaktojmë gjatësinë e segmentit O A me numrin e përgjithshëm të segmenteve të njësive në pritje.

Për shembull, pika A korrespondon me numrin 3 - për të arritur në të nga pika O, do të jetë e nevojshme të lini mënjanë tre segmente njësi. Nëse pika A ka një koordinatë - 4 - segmentet e vetme vizatohen në një mënyrë të ngjashme, por në një mënyrë të ndryshme, drejtim negativ. Kështu, në rastin e parë, distanca O A është 3; në rastin e dytë, O A \u003d 4.

Nëse pika A ka si koordinatë numër racional, pastaj nga origjina (pika O) kemi lënë mënjanë një numër të plotë të segmenteve njësi, dhe më pas pjesën e nevojshme të saj. Por gjeometrikisht nuk është gjithmonë e mundur të bëhet një matje. Për shembull, duket e vështirë të lëmë mënjanë thyesën e drejtpërdrejtë të koordinatave 4 111 .

Në mënyrën e mësipërme, pushoni në një vijë të drejtë numër irracional dhe krejtësisht e pamundur. Për shembull, kur koordinata e pikës A është 11 . Në këtë rast, është e mundur të kalojmë në abstraksion: nëse koordinata e dhënë e pikës A Mbi zero, atëherë O A = x A (numri merret si distancë); nëse koordinata është më e vogël se zero, atëherë O A = - x A . Në përgjithësi, këto pohime janë të vërteta për çdo numër real x A.

Duke përmbledhur: distanca nga origjina në pikën, e cila korrespondon me një numër real në vijën e koordinatave, është e barabartë me:

• 0 nëse pika është e njëjtë me origjinën;

• x A nëse x A > 0;

• - x A nëse x A< 0 .

Në të njëjtën kohë, është e qartë se gjatësia e segmentit në vetvete nuk mund të jetë negative, prandaj, duke përdorur shenjën e modulit, ne shkruajmë distancën nga pika O në pikën A me koordinatën. x A: O A = x A

Deklarata e saktë do të ishte: distanca nga një pikë në tjetrën do të jetë e barabartë me modulin e ndryshimit të koordinatave. ato. për pikat A dhe B që shtrihen në të njëjtën vijë koordinative në çdo vend dhe që kanë, përkatësisht, koordinatat x A Dhe x B: A B = x B - x A.

Të dhënat fillestare: pikat A dhe B të shtrira në një aeroplan në sistem drejtkëndor koordinatat O x y me koordinatat e dhëna: A (x A , y A) dhe B (x B , y B) .

Le të vizatojmë pingule me boshtet koordinative O x dhe O y nëpër pikat A dhe B dhe si rezultat i marrim pikat e projeksionit: A x, A y, B x, B y. Bazuar në vendndodhjen e pikave A dhe B, opsionet e mëposhtme janë më tej të mundshme:

Nëse pikat A dhe B përkojnë, atëherë distanca ndërmjet tyre është zero;

Nëse pikat A dhe B shtrihen në një vijë të drejtë pingul me boshtin O x (boshti i abshisës), atëherë pikat dhe përkojnë, dhe | A B | = | A y B y | . Meqenëse distanca midis pikave është e barabartë me modulin e ndryshimit midis koordinatave të tyre, atëherë A y B y = y B - y A , dhe, për rrjedhojë, A B = A y B y = y B - y A .

Nëse pikat A dhe B shtrihen në një vijë të drejtë pingul me boshtin O y (boshti y) - sipas analogjisë me paragrafin e mëparshëm: A B = A x B x = x B - x A

Nëse pikat A dhe B nuk shtrihen në një vijë të drejtë pingul me një nga boshtet koordinative, ne gjejmë distancën midis tyre duke nxjerrë formulën e llogaritjes:

Shohim se trekëndëshi A B C është kënddrejtë nga ndërtimi. Në këtë rast, A C = A x B x dhe B C = A y B y. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, ne hartojmë barazinë: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , dhe pastaj e transformojmë atë: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Le të nxjerrim një përfundim nga rezultati i marrë: distanca nga pika A në pikën B në aeroplan përcaktohet nga llogaritja duke përdorur formulën duke përdorur koordinatat e këtyre pikave

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula që rezulton konfirmon gjithashtu pohimet e formuara më parë për rastet e rastësisë së pikave ose situatave kur pikat shtrihen në vija të drejta pingul me boshtet. Pra, për rastin e koincidencës së pikave A dhe B, barazia do të jetë e vërtetë: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Për situatën kur pikat A dhe B shtrihen në një vijë të drejtë pingul me boshtin x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Për rastin kur pikat A dhe B shtrihen në një vijë të drejtë pingul me boshtin y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Të dhënat fillestare: sistem koordinativ drejtkëndor O x y z me pika arbitrare të shtrira mbi të me koordinatat e dhëna A (x A , y A , z A) dhe B (x B , y B , z B) . Është e nevojshme të përcaktohet distanca midis këtyre pikave.

Merrni parasysh rast i përgjithshëm, kur pikat A dhe B nuk shtrihen në një rrafsh paralel me njërën prej tyre plane koordinative. Le të vizatojmë rrafshe pingul me boshtet koordinative nëpër pikat A dhe B dhe të marrim pikat përkatëse projeksionet: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Distanca midis pikave A dhe B është diagonalja e kutisë që rezulton. Sipas konstruksionit të matjes së kësaj kutie: A x B x , A y B y dhe A z B z

Nga rrjedha e gjeometrisë dihet se katrori i diagonales së një paralelepipedi është e barabartë me shumën katrorët e matjeve të tij. Bazuar në këtë deklaratë, marrim barazinë: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Duke përdorur përfundimet e marra më parë, ne shkruajmë sa vijon:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Le të transformojmë shprehjen:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formula për përcaktimin e distancës ndërmjet pikave në hapësirë do të duket kështu:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula që rezulton është gjithashtu e vlefshme për rastet kur:

Pikat përputhen;

Ata shtrihen në një boshti koordinativ ose një vijë të drejtë paralele me një nga boshtet koordinative.

Shembuj të zgjidhjes së problemave për gjetjen e distancës ndërmjet pikave

Shembulli 1

Të dhënat fillestare: jepen një vijë koordinative dhe pika që shtrihen mbi të me koordinatat e dhëna A (1 - 2) dhe B (11 + 2). Është e nevojshme të gjendet distanca nga pika e referencës O në pikën A dhe midis pikave A dhe B.

Zgjidhje

1. Distanca nga pika e referencës në pikën është e barabartë me modulin e koordinatës së kësaj pike, përkatësisht O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Distanca midis pikave A dhe B përcaktohet si moduli i ndryshimit midis koordinatave të këtyre pikave: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Përgjigje: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Shembulli 2

Të dhënat fillestare: jepet një sistem koordinativ drejtkëndor dhe dy pika që shtrihen mbi të A (1, - 1) dhe B (λ + 1, 3). λ është një numër real. Është e nevojshme të gjenden të gjitha vlerat e këtij numri për të cilat distanca A B do të jetë e barabartë me 5.

Zgjidhje

Për të gjetur distancën midis pikave A dhe B, duhet të përdorni formulën A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Zëvendësimi vlerat reale koordinatat, marrim: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Dhe gjithashtu ne përdorim kushtin ekzistues që A B = 5 dhe atëherë do të jetë barazi e vërtetë:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Përgjigje: A B \u003d 5 nëse λ \u003d ± 3.

Shembulli 3

Të dhënat fillestare: të dhëna hapësirë ​​tredimensionale në një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z dhe pikat A (1 , 2 , 3) ​​dhe B - 7 , - 2 , 4 të shtrira në të.

Zgjidhje

Për të zgjidhur problemin, ne përdorim formulën A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Duke zëvendësuar vlerat reale, marrim: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Përgjigje: | A B | = 9

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike