Diskriminuesi i parë. Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike? Diskriminues
Niveli i parë
Ekuacionet kuadratike. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)
Në termin "ekuacion kuadratik" kryefjala është "kuadratik". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin X) në katror, dhe në të njëjtën kohë nuk duhet të ketë Xs në shkallën e tretë (ose më të madhe).
Zgjidhja e shumë ekuacioneve reduktohet në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.
Le të mësojmë të përcaktojmë se kemi një ekuacion kuadratik, dhe jo ndonjë tjetër.
Shembulli 1
Hiqni qafe emëruesin dhe shumëzoni çdo term të ekuacionit me
Le të zhvendosim gjithçka në ana e majte dhe renditni termat në rend zbritës të fuqive të x
Tani mund të themi me siguri se ekuacioni i dhënëështë katror!
Shembulli 2
Le të shumëzojmë të majtën dhe anën e djathtë në:
Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është një katror!
Shembulli 3
Le të shumëzojmë gjithçka me:
E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë ... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:
Shembulli 4
Duket të jetë, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:
E shihni, është tkurrur - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!
Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:
Shembuj:
Përgjigjet:
- katror;
- katror;
- jo katror;
- jo katror;
- jo katror;
- katror;
- jo katror;
- katrore.
Matematikanët i ndajnë me kusht të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:
- Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe anëtar i lirë c nuk janë të barabarta me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike, ekzistojnë dhënë janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli një jo vetëm që është i plotë, por edhe i reduktuar!)
- Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:
Ato janë të paplota sepse u mungon ndonjë element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror !!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por ndonjë ekuacion tjetër.
Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, dhe në rregull. Një ndarje e tillë është për shkak të metodave të zgjidhjes. Le të shqyrtojmë secilën prej tyre në më shumë detaje.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota
Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!
Ekuacionet kuadratike jo të plota janë të llojeve:
- , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
- , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
- , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.
1. i. Meqë dimë të nxjerrim Rrenja katrore, atëherë le të shprehemi nga ky ekuacion
Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.
Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Këto formula nuk kanë nevojë të memorizohen. Gjëja kryesore është që gjithmonë duhet të dini dhe mbani mend se nuk mund të jetë më pak.
Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.
Shembulli 5:
Zgjidhe ekuacionin
Tani mbetet për të nxjerrë rrënjën nga pjesa e majtë dhe e djathtë. Në fund të fundit, a ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?
Përgjigje:
Mos harroni kurrë për rrënjët me një shenjë negative!!!
Shembulli 6:
Zgjidhe ekuacionin
Përgjigje:
Shembulli 7:
Zgjidhe ekuacionin
Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni
pa rrënjë!
Për ekuacione të tilla në të cilat nuk ka rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - ( grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:
Përgjigje:
Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:
Zgjidhe ekuacionin
Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:
Kështu,
Ky ekuacion ka dy rrënjë.
Përgjigje:
Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:
Këtu do të bëjmë pa shembuj.
Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike
Ju kujtojmë se ekuacioni i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku
Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e komplikuar (vetëm pak) sesa ato të dhëna.
Mbani mend, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur diskriminuesin! Madje e paplotë.
Pjesa tjetër e metodave do t'ju ndihmojë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.
1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur diskriminuesin.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.
Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë Vëmendje e veçantë vizatoni një hap. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.
- Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
- Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.
Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.
Shembulli 9:
Zgjidhe ekuacionin
Hapi 1 kapërcej.
Hapi 2
Gjetja e diskriminuesit:
Pra, ekuacioni ka dy rrënjë.
Hapi 3
Përgjigje:
Shembulli 10:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni është në formë standarde, pra Hapi 1 kapërcej.
Hapi 2
Gjetja e diskriminuesit:
Pra, ekuacioni ka një rrënjë.
Përgjigje:
Shembulli 11:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni është në formë standarde, pra Hapi 1 kapërcej.
Hapi 2
Gjetja e diskriminuesit:
Kjo do të thotë se ne nuk do të mund të nxjerrim rrënjën nga diskriminuesi. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.
Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigjet e tilla.
Përgjigje: pa rrënjë
2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën Vieta.
Nëse ju kujtohet, atëherë ekziston një lloj i tillë ekuacionesh që quhen të reduktuara (kur koeficienti a është i barabartë me):
Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:
Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratikështë i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.
Shembulli 12:
Zgjidhe ekuacionin
Ky ekuacion është i përshtatshëm për zgjidhje duke përdorur teoremën Vieta, sepse .
Shuma e rrënjëve të ekuacionit është, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:
Dhe produkti është:
Le të krijojmë dhe zgjidhim sistemin:
- Dhe. Shuma është;
- Dhe. Shuma është;
- Dhe. Shuma është e barabartë.
dhe janë zgjidhja e sistemit:
Përgjigje: ; .
Shembulli 13:
Zgjidhe ekuacionin
Përgjigje:
Shembulli 14:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni zvogëlohet, që do të thotë:
Përgjigje:
EKUACIONET KUADRATIKE. NIVELI MESATAR
Çfarë është një ekuacion kuadratik?
Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - i panjohur, - disa numra, për më tepër.
Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.
Pse? Sepse nëse, ekuacioni do të bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.
Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë ekuacion të jashtëqitjes quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.
Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:
Për të filluar, ne do të analizojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.
Mund të dallohen llojet e mëposhtme të ekuacioneve:
I. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.
II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
Tani merrni parasysh zgjidhjen e secilit prej këtyre nënllojeve.
Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:
Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:
nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;
nëse kemi dy rrënjë
Këto formula nuk kanë nevojë të memorizohen. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.
Shembuj:
Zgjidhjet:
Përgjigje:
Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!
Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni
pa rrënjë.
Për të shkruar shkurtimisht se problemi nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.
Përgjigje:
Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.
Përgjigje:
Le të nxjerrim shumëzues i përbashkët për kllapa:
Produkti është zero nëse të paktën një nga faktorët zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:
Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.
Shembull:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe gjejmë rrënjët:
Përgjigje:
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:
1. Diskriminues
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur diskriminuesin! Madje e paplotë.
E keni vënë re rrënjën e diskriminuesit në formulën e rrënjës? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.
- Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë:
- Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë të njëjta, por në fakt, një rrënjë:
Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.
- Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.
Pse është e mundur sasi të ndryshme rrënjët? Le të kthehemi tek kuptimi gjeometrik ekuacioni kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:
Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Dhe kjo do të thotë se rrënjët e ekuacionit kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin x (boshtin). Parabola mund të mos e kalojë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur pjesa e sipërme e parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.
Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës drejtohen lart, dhe nëse - atëherë poshtë.
Shembuj:
Zgjidhjet:
Përgjigje:
Përgjigje:.
Përgjigje:
Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.
Përgjigje:.
2. Teorema e Vietës
Përdorimi i teoremës Vieta është shumë i lehtë: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash, produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë, të marrë me shenjën e kundërt.
Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në dhënë ekuacionet kuadratike ().
Le të shohim disa shembuj:
Shembulli #1:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ky ekuacion është i përshtatshëm për zgjidhje duke përdorur teoremën Vieta, sepse . Koeficientët e tjerë: ; .
Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:
Dhe produkti është:
Le të zgjedhim çifte të tilla numrash, prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:
- Dhe. Shuma është;
- Dhe. Shuma është;
- Dhe. Shuma është e barabartë.
dhe janë zgjidhja e sistemit:
Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.
Përgjigje: ; .
Shembulli #2:
Zgjidhja:
Ne zgjedhim çifte të tilla numrash që japin produktin dhe më pas kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:
dhe: jepni në total.
dhe: jepni në total. Për ta marrë atë, thjesht duhet të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, punën.
Përgjigje:
Shembulli #3:
Zgjidhja:
Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe si rrjedhim produkti i rrënjëve - një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Pra, shuma e rrënjëve është dallimet e moduleve të tyre.
Ne zgjedhim çifte të tilla numrash që japin në produkt dhe diferenca e të cilave është e barabartë me:
dhe: dallimi i tyre është - jo i përshtatshëm;
dhe: - jo i përshtatshëm;
dhe: - jo i përshtatshëm;
dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se një nga rrënjët është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, atëherë rrënja, e cila është më e vogël në vlerë absolute, duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:
Përgjigje:
Shembulli #4:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ekuacioni zvogëlohet, që do të thotë:
Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.
Ne zgjedhim çifte të tilla numrash, produkti i të cilëve është i barabartë, dhe më pas përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:
Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:
Përgjigje:
Shembulli #5:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ekuacioni zvogëlohet, që do të thotë:
Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët janë minus.
Ne zgjedhim çifte të tilla numrash, prodhimi i të cilave është i barabartë me:
Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.
Përgjigje:
Pajtohem, është shumë i përshtatshëm - të shpikni rrënjë me gojë, në vend që të numëroni këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.
Por teorema Vieta është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Për ta bërë të dobishme për ju përdorimin e tij, duhet t'i çoni veprimet në automatizëm. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni diskriminuesin! Vetëm teorema e Vietës:
Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:
Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Sipas teoremës së Vietës:
Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me produktin:
Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;
: shuma është ajo që ju nevojitet.
Përgjigje: ; .
Detyra 2.
Dhe përsëri, teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të funksionojë, por produkti është i barabartë.
Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).
Përgjigje: ; .
Detyra 3.
Hmm... Ku është?
Është e nevojshme të transferohen të gjitha kushtet në një pjesë:
Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.
Po, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të sillni ekuacionin. Nëse nuk mund ta parashtroni, hidheni këtë ide dhe zgjidheni në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes diskriminuesit). Më lejoni t'ju kujtoj se të sjellësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë me:
E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë dhe produkti.
Është më e lehtë për të marrë këtu: në fund të fundit - një numër kryesor (më falni për tautologjinë).
Përgjigje: ; .
Detyra 4.
Termi i lirë është negativ. Çfarë ka kaq të veçantë për të? Dhe fakti që rrënjët do të jenë të shenjave të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin midis moduleve të tyre: ky ndryshim është i barabartë, por produkti.
Pra, rrënjët janë të barabarta dhe, por njëra prej tyre është me një minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë që rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.
Përgjigje: ; .
Detyra 5.
Çfarë duhet bërë së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:
Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:
Rrënjët janë të barabarta dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se me një minus do të ketë një rrënjë më të madhe.
Përgjigje: ; .
Më lejoni të përmbledh:
- Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet e dhëna kuadratike.
- Duke përdorur teoremën Vieta, ju mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
- Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk është gjetur asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të plota dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes diskriminuesit).
3. Metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë
Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën paraqiten si terma nga formulat e shumëzimit të shkurtuar - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas ndryshimit të ndryshoreve, ekuacioni mund të paraqitet si një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit.
Për shembull:
Shembulli 1:
Zgjidheni ekuacionin: .
Zgjidhja:
Përgjigje:
Shembulli 2:
Zgjidheni ekuacionin: .
Zgjidhja:
Përgjigje:
NË pamje e përgjithshme transformimi do të duket si ky:
Kjo nënkupton:.
Nuk ju kujton gjë? Është diskriminues! Pikërisht kështu është marrë formula e diskriminimit.
EKUACIONET KUADRATIKE. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN
Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës, ku është e panjohura, janë koeficientët e ekuacionit kuadratik, është termi i lirë.
Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.
Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .
Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:
- nëse koeficienti, ekuacioni ka formën: ,
- nëse një term i lirë, ekuacioni ka formën:
- nëse dhe, ekuacioni ka formën: .
1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota
1.1. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :
1) Shpreh të panjohurën: ,
2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:
- nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
- nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.
1.2. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :
1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,
2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:
1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:
Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .
2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku
2.1. Zgjidhja duke përdorur diskriminuesin
1) Ne e sjellim ekuacionin në formë standarde: ,
2) Llogaritni diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:
3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:
- nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
- nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
- nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.
2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës
Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (një ekuacion i formës, ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.
2.3. Zgjidhje katrore e plotë
Nëse një ekuacion kuadratik i formës ka rrënjë, atëherë ai mund të shkruhet në formën: .
Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, atëherë jeni shumë cool.
Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse keni lexuar deri në fund, atëherë jeni në 5%!
Tani gjëja më e rëndësishme.
Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, është ... është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.
Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...
Per cfare?
Për dorëzimi i suksesshëm Provimi i Unifikuar Shtetëror, për pranim në institut mbi buxhetin dhe, ME E RËNDËSISHME, për jetë.
Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...
Njerëzit që morën një edukim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.
Por kjo nuk është gjëja kryesore.
Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...
Por mendoni vetë...
Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në provim dhe në fund të fundit ... më i lumtur?
MBULONI DORËN TUAJ, DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.
Në provim, nuk do t'ju kërkohet teori.
Do t'ju duhet zgjidhni problemet në kohë.
Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do ta bëni me kohë.
Është si në sport - ju duhet të përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.
Gjeni një koleksion kudo që dëshironi detyrimisht me zgjidhje analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!
Ju mund të përdorni detyrat tona (jo të nevojshme) dhe ne sigurisht i rekomandojmë ato.
Për të marrë një dorë me detyrat tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.
Si? Ka dy opsione:
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e tutorialit - 499 fshij.
Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.
Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet gjatë gjithë jetës së faqes.
Në përfundim...
Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni me teorinë.
"Kuptuar" dhe "Unë di të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.
Gjeni problemet dhe zgjidhni!
Problemet mbi ekuacionin kuadratik studiohen gjithashtu në kurrikula shkollore dhe në universitete. Ato kuptohen si ekuacione të formës a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, ku x- ndryshore, a,b,c – konstante; a<>0 . Problemi është të gjesh rrënjët e ekuacionit.
Kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik
Grafiku i një funksioni që përfaqësohet nga një ekuacion kuadratik është një parabolë. Zgjidhjet (rrënjët) e një ekuacioni kuadratik janë pikat e prerjes së parabolës me boshtin x. Nga kjo rezulton se ka tre raste të mundshme:
1) parabola nuk ka pika të prerjes me boshtin x. Kjo do të thotë se është në rrafshin e sipërm me degë lart ose në atë të poshtëm me degë poshtë. Në raste të tilla, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale (ka dy rrënjë komplekse).
2) parabola ka një pikë kryqëzimi me boshtin Ox. Një pikë e tillë quhet kulmi i parabolës dhe ekuacioni kuadratik në të fiton minimumin ose vlera maksimale. Në këtë rast, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë reale (ose dy rrënjë identike).
3) Rasti i fundit në praktikë, është më interesante - ekzistojnë dy pika të kryqëzimit të parabolës me boshtin e abshisë. Kjo do të thotë se ka dy rrënjë reale të ekuacionit.
Bazuar në analizën e koeficientëve në fuqitë e variablave, mund të nxirren përfundime interesante për vendosjen e parabolës.
1) Nëse koeficienti a Mbi zero atëherë parabola drejtohet me degë lart, nëse negative - degët e parabolës drejtohen poshtë.
2) Nëse koeficienti b është më i madh se zero, atëherë kulmi i parabolës qëndron në gjysmëplanin e majtë, nëse merr një vlerë negative, atëherë në të djathtë.
Nxjerrja e një formule për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik
Le të transferojmë konstantën nga ekuacioni kuadratik 
për shenjën e barabartë, marrim shprehjen
Shumëzojini të dyja anët me 4a 
Për të lënë të majtë katror i plotë shtoni në të dyja pjesët b^2 dhe kryeni transformimin
Nga këtu gjejmë
Formula e diskriminuesit dhe rrënjët e ekuacionit kuadratik
Diskriminuesi është vlera e shprehjes radikale.Nëse është pozitive, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale, të llogaritura me formulën 
Në diskriminues zero, ekuacioni kuadratik ka një zgjidhje (dy rrënjë që përputhen), të cilat janë të lehta për t'u marrë nga formula e mësipërme për D=0 diskriminues negativ nuk ka ekuacion rrënjësor real. Megjithatë, për të studiuar zgjidhjet e ekuacionit kuadratik në plan kompleks, dhe vlera e tyre llogaritet me formulë 
Teorema e Vietës
Konsideroni dy rrënjë të një ekuacioni kuadratik dhe ndërtoni një ekuacion kuadratik mbi bazën e tyre.Nga shënimi, vetë teorema Vieta rrjedh lehtësisht: nëse kemi një ekuacion kuadratik të formës 
atëherë shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me koeficientin p, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me termin e lirë q. Formula për sa më sipër do të duket si Nëse in ekuacioni klasik konstanta a është jo zero, atëherë duhet të ndani të gjithë ekuacionin me të dhe më pas të zbatoni teoremën Vieta.
Skema e ekuacionit kuadratik mbi faktorët
Le të vendoset detyra: të zbërthehet ekuacioni kuadratik në faktorë. Për ta realizuar, fillimisht zgjidhim ekuacionin (gjeni rrënjët). Më pas, rrënjët e gjetura i zëvendësojmë në formulën për zgjerimin e ekuacionit kuadratik. Ky problem do të zgjidhet.
Detyrat për një ekuacion kuadratik
Detyra 1. Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik
x^2-26x+120=0 .
Zgjidhje: Shkruani koeficientët dhe zëvendësoni në formulën diskriminuese
rrënja e vlerën e dhënë e barabartë me 14, është e lehtë ta gjesh atë me një kalkulator, ose ta kujtosh me përdorim të shpeshtë, megjithatë, për lehtësi, në fund të artikullit do t'ju jap një listë të katrorëve të numrave që shpesh mund të gjenden në detyra të tilla. .
Vlera e gjetur zëvendësohet në formulën rrënjësore 
dhe marrim 
Detyra 2. zgjidhin ekuacionin
2x2+x-3=0.
Zgjidhja: Kemi një ekuacion të plotë kuadratik, shkruajmë koeficientët dhe gjejmë diskriminuesin 
Nga formulat e njohura gjeni rrënjët e ekuacionit kuadratik 
Detyra 3. zgjidhin ekuacionin
9x2 -12x+4=0.
Zgjidhje: Kemi një ekuacion të plotë kuadratik. Përcaktoni diskriminuesin
Kemi marrë rastin kur rrënjët përkojnë. Vlerat e rrënjëve i gjejmë sipas formulës 
Detyra 4. zgjidhin ekuacionin
x^2+x-6=0 .
Zgjidhje: Në rastet kur ka koeficientë të vegjël për x, këshillohet të zbatohet teorema Vieta. Sipas gjendjes së tij, marrim dy ekuacione
Nga kushti i dytë, marrim se produkti duhet të jetë i barabartë me -6. Kjo do të thotë që njëra prej rrënjëve është negative. Kemi çiftin e mëposhtëm të mundshëm të zgjidhjeve(-3;2), (3;-2) . Duke marrë parasysh kushtin e parë, ne refuzojmë çiftin e dytë të zgjidhjeve.
Rrënjët e ekuacionit janë
Detyra 5. Gjeni gjatësitë e brinjëve të një drejtkëndëshi nëse perimetri i tij është 18 cm dhe sipërfaqja është 77 cm 2.
Zgjidhje: Gjysma e perimetrit të një drejtkëndëshi është e barabartë me shumën e brinjëve ngjitur. Le të shënojmë x - anën e madhe, atëherë 18-x është ana e saj më e vogël. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e këtyre gjatësive:
x(18x)=77;
ose
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Gjeni diskriminuesin e ekuacionit
Ne llogarisim rrënjët e ekuacionit 
Nëse x=11, Se 18x=7, e kundërta është gjithashtu e vërtetë (nëse x=7, atëherë 21-x=9).
Detyra 6. Faktorizoni ekuacionin kuadratik 10x 2 -11x+3=0.
Zgjidhje: Llogaritni rrënjët e ekuacionit, për këtë gjejmë diskriminuesin 
Vlerën e gjetur e zëvendësojmë në formulën e rrënjëve dhe llogarisim 
Zbatojmë formulën për zgjerimin e ekuacionit kuadratik për nga rrënjët 
Duke zgjeruar kllapat, marrim identitetin.
Ekuacioni kuadratik me parametër
Shembulli 1. Për cilat vlera të parametrit A, a ka një rrënjë ekuacioni (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0?
Zgjidhje: Me zëvendësim të drejtpërdrejtë të vlerës a=3, shohim se nuk ka zgjidhje. Më pas, ne përdorim faktin që me një diskriminues zero, ekuacioni ka një rrënjë të shumëfishimit 2. Le të shkruajmë diskriminuesin 
thjeshtojeni atë dhe barazoni me zero
Ne kemi marrë një ekuacion kuadratik në lidhje me parametrin a, zgjidhja e të cilit është e lehtë të merret duke përdorur teoremën Vieta. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi i tyre është 12. Me një numërim të thjeshtë, konstatojmë se numrat 3.4 do të jenë rrënjët e ekuacionit. Meqenëse ne kemi refuzuar tashmë zgjidhjen a=3 në fillim të llogaritjeve, e vetmja e saktë do të jetë - a=4. Kështu, për a = 4, ekuacioni ka një rrënjë.
Shembulli 2. Për cilat vlera të parametrit A, ekuacionin a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ka më shumë se një rrënjë?
Zgjidhja: Mendoni së pari pika të veçanta, ato do të jenë vlerat a=0 dhe a=-3. Kur a=0, ekuacioni do të thjeshtohet në formën 6x-9=0; x=3/2 dhe do të ketë një rrënjë. Për a= -3 marrim identitetin 0=0 .
Llogaritni diskriminuesin 
dhe gjeni vlerat e a për të cilat është pozitive 
Nga kushti i parë marrim a>3. Për të dytën, gjejmë diskriminuesin dhe rrënjët e ekuacionit 
Le të përcaktojmë intervalet ku merr funksioni vlerat pozitive. Duke zëvendësuar pikën a=0 marrim 3>0
.
Pra, jashtë intervalit (-3; 1/3) funksioni është negativ. Mos harroni pikën a=0 e cila duhet të përjashtohet sepse ajo ekuacioni origjinal ka një rrënjë.
Si rezultat, marrim dy intervale që plotësojnë gjendjen e problemit 
Do të ketë shumë detyra të ngjashme në praktikë, përpiquni t'i përballoni vetë detyrat dhe mos harroni të merrni parasysh kushtet që janë reciprokisht ekskluzive. Studioni mirë formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, ato janë mjaft shpesh të nevojshme kur llogaritni në detyra të ndryshme dhe shkencat.
Formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Rastet reale, të shumëfishta dhe rrënjë komplekse. Faktorizimi trinomi katror. Interpretimi gjeometrik. Shembuj të përcaktimit të rrënjëve dhe faktorizimit.
Formulat bazë
Merrni parasysh ekuacionin kuadratik:
(1)
.
Rrënjët e një ekuacioni kuadratik(1) përcaktohen nga formula:
;
.
Këto formula mund të kombinohen si kjo:
.
Kur dihen rrënjët e ekuacionit kuadratik, atëherë polinomi i shkallës së dytë mund të përfaqësohet si produkt i faktorëve (të faktorizuar):
.
Më tej, ne konsiderojmë se - numra realë.
Merrni parasysh diskriminues i një ekuacioni kuadratik:
.
Nëse diskriminuesi është pozitiv, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë të ndryshme reale:
;
.
Atëherë faktorizimi i trinomit katror ka formën:
.
Nëse diskriminuesi është zero, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë reale të shumëfishta (të barabarta):
.
Faktorizimi:
.
Nëse diskriminuesi është negativ, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë komplekse të konjuguara:
;
.
Këtu është njësia imagjinare, ;
dhe janë pjesët reale dhe imagjinare të rrënjëve:
;
.
Pastaj
.
Interpretimi grafik
Nëse ndërtohet grafiku i funksionit
,
e cila është një parabolë, atëherë pikat e prerjes së grafikut me boshtin do të jenë rrënjët e ekuacionit
.
Kur , grafiku pret boshtin (boshtin) e abshisave në dy pika.
Kur , grafiku prek boshtin x në një pikë.
Kur , grafiku nuk e kalon boshtin x.
Më poshtë janë shembuj të grafikëve të tillë.
Formula të dobishme në lidhje me ekuacionin kuadratik
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Ne kryejmë transformime dhe zbatojmë formulat (f.1) dhe (f.3):
,
Ku
;
.
Pra, morëm formulën për polinomin e shkallës së dytë në formën:
.
Nga kjo shihet se ekuacioni
kryer në
Dhe .
Kjo është, dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik
.
Shembuj të përcaktimit të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik
Shembulli 1
(1.1)
.
Zgjidhje
.
Duke krahasuar me ekuacionin tonë (1.1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjetja e diskriminuesit:
.
Meqenëse diskriminuesi është pozitiv, ekuacioni ka dy rrënjë reale:
;
;
.
Nga këtu marrim zbërthimin e trinomit katror në faktorë:
.
Grafiku i funksionit y = 2 x 2 + 7 x + 3 kalon boshtin x në dy pika.
Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Ai kalon boshtin x (boshtin) në dy pika:
Dhe .
Këto pika janë rrënjët e ekuacionit origjinal (1.1).
Përgjigju
;
;
.
Shembulli 2
Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik:
(2.1)
.
Zgjidhje
E shkruajmë ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme:
.
Duke krahasuar me ekuacionin origjinal (2.1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjetja e diskriminuesit:
.
Meqenëse diskriminuesi është zero, ekuacioni ka dy rrënjë të shumta (të barabarta):
;
.
Atëherë faktorizimi i trinomit ka formën:
.
Grafiku i funksionit y = x 2 - 4 x + 4 prek boshtin x në një pikë.
Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Ai prek boshtin x (boshtin) në një pikë:
.
Kjo pikë është rrënja e ekuacionit origjinal (2.1). Meqenëse kjo rrënjë faktorizohet dy herë:
,
atëherë një rrënjë e tillë quhet shumëfish. Kjo do të thotë, ata konsiderojnë se ekzistojnë dy rrënjë të barabarta:
.
Përgjigju
;
.
Shembulli 3
Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik:
(3.1)
.
Zgjidhje
E shkruajmë ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme:
(1)
.
Le të rishkruajmë ekuacionin origjinal (3.1):
.
Krahasuar me (1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjetja e diskriminuesit:
.
Diskriminuesi është negativ, . Prandaj, nuk ka rrënjë të vërteta.
Ju mund të gjeni rrënjë komplekse:
;
;
.
Pastaj
.
Grafiku i funksionit nuk e kalon boshtin x. Rrënjët e vërteta Nr.
Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Nuk e kalon abshisën (boshtin). Prandaj, nuk ka rrënjë të vërteta.
Përgjigju
Nuk ka rrënjë të vërteta. Rrënjët komplekse:
;
;
.
Një ekuacion kuadratik është një ekuacion që duket si sëpatë 2 + dx + c = 0. Ka kuptim a, c Dhe Meçdo numër, ndërsa A jo e barabartë me zero.
Të gjitha ekuacionet kuadratike ndahen në disa lloje, përkatësisht:
Ekuacione me vetëm një rrënjë.
- Ekuacione me dy rrënjë të ndryshme.
- Ekuacione në të cilat nuk ka rrënjë fare.
Kjo dallon ekuacionet lineare në të cilën rrënja është gjithmonë e njëjtë, nga ato katrore. Për të kuptuar se sa rrënjë në shprehje, ju nevojiten Diskriminues kuadratik.
Le të themi ekuacionin tonë ax 2 + dx + c =0. Do të thotë diskriminues i një ekuacioni kuadratik -
D \u003d b 2 - 4 ac
Dhe kjo duhet të mbahet mend përgjithmonë. Me ndihmën e këtij ekuacioni përcaktojmë numrin e rrënjëve në një ekuacion kuadratik. Dhe ne e bëjmë atë si kjo:
Kur D është më i vogël se zero, ekuacioni nuk ka rrënjë.
- Kur D është zero, ka vetëm një rrënjë.
- Kur D është më i madh se zero, përkatësisht, ka dy rrënjë në ekuacion.
Mos harroni se diskriminuesi tregon se sa rrënjë janë në ekuacion pa ndryshuar shenjat.
Merrni parasysh për qartësi:
Duhet të zbuloni se sa rrënjë janë në këtë ekuacion kuadratik.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
Fusim vlerat në ekuacionin e parë, gjejmë diskriminuesin.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Diskriminuesi me shenjën plus do të thotë se ka dy rrënjë në këtë barazi.
Bëni të njëjtën gjë me ekuacionin e dytë
a=1, b=3, c=7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Vlera është minus, që do të thotë se nuk ka rrënjë në këtë barazi.
Ne e zgjerojmë ekuacionin e mëposhtëm me analogji.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
si pasojë kemi një rrënjë në ekuacion.
Është e rëndësishme që në çdo ekuacion të kemi shkruar koeficientët. Sigurisht, ky nuk është një proces shumë i gjatë, por na ndihmoi të mos ngatërroheshim dhe të parandalonim gabimet. Nëse i zgjidhni shumë shpesh ekuacione të tilla, atëherë mund të kryeni llogaritjet mendërisht dhe të dini paraprakisht se sa rrënjë ka ekuacioni.
Le të shohim një shembull tjetër:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Shtrimi i të parës
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, që është më e madhe se zero, do të thotë dy rrënjë, ne do t'i nxjerrim ato
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Ne shtrojmë të dytën
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, që është më e madhe se zero dhe gjithashtu ka dy rrënjë. Le t'i nxjerrim ato:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Ne shtrojmë të tretën
a = 1, b = 12, c = 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, që është zero dhe ka një rrënjë
x \u003d -12 +? 0 / 2 * 1 \u003d -6.
Zgjidhja e këtyre ekuacioneve nuk është e vështirë.
Nëse na jepet një ekuacion kuadratik jo i plotë. Të tilla si
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Këto ekuacione janë të ndryshme nga ato të mësipërme, sepse nuk është i plotë, nuk ka vlerë të tretë. Por pavarësisht kësaj, ai është më i thjeshtë se ekuacioni i plotë kuadratik dhe nuk ka nevojë të kërkohet diskriminues në të.
Çfarë duhet bërë kur nevojitet urgjentisht punë pasuniversitare apo një ese, por nuk ka kohë për ta shkruar? E gjithë kjo dhe shumë më tepër mund të porositen në faqen e internetit Deeplom.by (http://deeplom.by/) dhe të merrni rezultatin më të lartë.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike