Algjebra matricore- Matrica e anasjelltë

matricë e anasjelltë

matricë e anasjelltë quhet matricë e cila, kur shumëzohet nga e djathta dhe nga e majta me këtë matricë jep matrica e identitetit.
Shënoni matricën e kundërt me matricën POR përmes , atëherë sipas përkufizimit marrim:

ku Eështë matrica e identitetit.
matricë katrore thirrur jo të veçantë (jo i degjeneruar) nëse përcaktorja e saj nuk është zero. AT ndryshe quhet e veçantë (i degjeneruar) ose njëjës.

Ekziston një teoremë: çdo matricë jo njëjës ka një matricë të kundërt.

Operacioni i gjetjes së matricës së kundërt quhet ankim matricat. Merrni parasysh algoritmin e përmbysjes së matricës. Le të jepet një matricë jo njëjës n- urdhri:

ku Δ = det A ≠ 0.

Komplement element algjebrik matricat n- urdhri POR përcaktuesi i matricës ( n–1)-të urdhër i marrë me fshirje i-linja e th dhe j-kolona e matricës POR:

Le të krijojmë një të ashtuquajtur bashkangjitur matricë:

ku janë plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të matricës POR.
Vini re se plotësimet algjebrike të elementeve të rreshtit të matricës POR vendosen në kolonat përkatëse të matricës à , domethënë, matrica është transpozuar njëkohësisht.
Ndarja e të gjithë elementëve të matricës à në Δ - vlera e përcaktorit të matricës POR, ne marrim matricën e kundërt si rezultat:

Ne shënojmë serinë veti të veçanta matrica e anasjelltë:
1) për një matricë të caktuar POR matricën e saj të kundërt është i vetmi;
2) nëse ka një matricë të kundërt, atëherë anasjelltas djathtas dhe majtas anasjelltas matricat përkojnë me të;
3) një matricë katrore e veçantë (e degjeneruar) nuk ka një matricë të kundërt.

Karakteristikat kryesore të matricës së kundërt:
1) përcaktori i matricës së kundërt dhe përcaktori i matricës origjinale janë reciproke;
2) matrica e produktit invers matricat katroreështë e barabartë me produktin e matricave të anasjellta të faktorëve, të marra në rend të kundërt:

3) matrica inverse e transpozuar është matricë e anasjelltë nga matrica e transpozuar e dhënë:

SHEMBULL Llogaritni matricën e kundërt të asaj të dhënë.

Ndalo! Le të përpiqemi të gjithë njësoj të kuptojmë këtë formulë të rëndë.

Në radhë të parë duhet të jetë ndryshorja e parë në shkallë me ndonjë koeficient. Në rastin tonë, kjo

Në rastin tonë është. Siç kuptuam, do të thotë se këtu shkalla për variablin e parë konvergon. Dhe ndryshorja e dytë në shkallën e parë është në vend. Koeficient.

ne e kemi atë.

Ndryshorja e parë është eksponenciale, dhe ndryshorja e dytë është në katror, ​​me një koeficient. Ky është termi i fundit në ekuacion.

Siç mund ta shihni, ekuacioni ynë i përshtatet përkufizimit në formën e një formule.

Le të shohim pjesën e dytë (verbale) të përkufizimit.

Kemi dy të panjohura dhe. Ajo konvergon këtu.

Le të shqyrtojmë të gjitha kushtet. Në to, shuma e shkallëve të të panjohurave duhet të jetë e njëjtë.

Shuma e fuqive është e barabartë.

Shuma e fuqive është e barabartë me (at dhe at).

Shuma e fuqive është e barabartë.

Siç mund ta shihni, gjithçka përshtatet!

Tani le të praktikojmë përcaktimin e ekuacioneve homogjene.

Përcaktoni se cilat nga ekuacionet janë homogjene:

Ekuacionet homogjene- Ekuacionet e numëruara:

Le të shqyrtojmë ekuacionin veçmas.

Nëse e ndajmë çdo term duke e zgjeruar secilin term, marrim

Dhe ky ekuacion bie plotësisht nën përkufizimin e ekuacioneve homogjene.

Si të zgjidhen ekuacionet homogjene?

Shembulli 2

Le ta ndajmë ekuacionin me.

Sipas kushtit tonë, y nuk mund të jetë i barabartë. Prandaj, ne mund të ndajmë me siguri sipas

Duke zëvendësuar, marrim një të thjeshtë ekuacioni kuadratik:

Meqenëse ky është një ekuacion kuadratik i reduktuar, ne përdorim teoremën Vieta:

Duke bërë zëvendësimin e kundërt, marrim përgjigjen

Përgjigje:

Shembulli 3

Pjestojeni ekuacionin me (sipas gjendjes).

Përgjigje:

Shembulli 4

Gjeni nëse.

Këtu nuk duhet të ndani, por të shumëzoni. Shumëzoni të gjithë ekuacionin me:

Le të bëjmë një zëvendësim dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

Duke bërë zëvendësimin e kundërt, marrim përgjigjen:

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike homogjene.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike homogjene nuk ndryshon nga metodat e zgjidhjes të përshkruara më sipër. Vetëm këtu, ndër të tjera, duhet të dini pak trigonometri. Dhe të jetë në gjendje të vendosë ekuacionet trigonometrike(për këtë ju mund të lexoni seksionin).

Le të shqyrtojmë ekuacione të tilla në shembuj.

Shembulli 5

Zgjidhe ekuacionin.

Ne shohim një ekuacion tipik homogjen: dhe janë të panjohura, dhe shuma e fuqive të tyre në çdo term është e barabartë.

Ekuacione të ngjashme homogjene nuk janë të vështira për t'u zgjidhur, por përpara se t'i ndani ekuacionet në, merrni parasysh rastin kur

Në këtë rast, ekuacioni do të marrë formën: Por sinusi dhe kosinusi nuk mund të jenë të barabartë në të njëjtën kohë, sepse sipas kryesore identiteti trigonometrik. Prandaj, ne mund ta ndajmë me siguri në:

Meqenëse ekuacioni është reduktuar, atëherë sipas teoremës Vieta:

Përgjigje:

Shembulli 6

Zgjidhe ekuacionin.

Si në shembull, ju duhet ta ndani ekuacionin me. Konsideroni rastin kur:

Por sinusi dhe kosinusi nuk mund të jenë të barabartë në të njëjtën kohë, sepse sipas identitetit bazë trigonometrik. Kjo është arsyeja pse.

Le të bëjmë një zëvendësim dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt dhe të gjejmë dhe:

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale homogjene.

Ekuacionet homogjene zgjidhen në të njëjtën mënyrë si ato të konsideruara më sipër. Nëse keni harruar se si të vendosni ekuacionet eksponenciale- shikoni seksionin përkatës ()!

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 7

Zgjidhe ekuacionin

Imagjinoni si:

Ne shohim një ekuacion tipik homogjen, me dy ndryshore dhe një shumë fuqish. Le ta ndajmë ekuacionin në:

Siç mund ta shihni, pasi të bëjmë zëvendësimin, marrim ekuacionin e dhënë kuadratik (në këtë rast, nuk ka nevojë të kesh frikë nga pjesëtimi me zero - është gjithmonë rreptësisht më i madh se zero):

Sipas teoremës së Vieta:

Përgjigje: .

Shembulli 8

Zgjidhe ekuacionin

Imagjinoni si:

Le ta ndajmë ekuacionin në:

Le të bëjmë një zëvendësim dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

Rrënja nuk e plotëson kushtin. Bëjmë zëvendësimin e kundërt dhe gjejmë:

Përgjigje:

EKUACIONET HOMOGJENE. NIVELI MESATAR

Së pari, duke përdorur një shembull të një problemi, më lejoni t'ju kujtoj cilat janë ekuacionet homogjene dhe cila është zgjidhja e ekuacioneve homogjene.

Zgjidhe problemin:

Gjeni nëse.

Këtu mund të vini re një gjë interesante: nëse e ndajmë çdo term me, marrim:

Kjo do të thotë, tani nuk ka të veçanta dhe, - tani vlera e dëshiruar është ndryshorja në ekuacion. Dhe ky është një ekuacion i zakonshëm kuadratik, i cili zgjidhet lehtë duke përdorur teoremën e Vieta: produkti i rrënjëve është i barabartë, dhe shuma është numrat dhe.

Përgjigje:

Ekuacionet e formës

quajtur homogjene. Domethënë, ky është një ekuacion me dy të panjohura, në secilin term të të cilëve ka të njëjtën shumë të fuqive të këtyre të panjohurave. Për shembull, në shembullin e mësipërm, kjo shumë është e barabartë me. Zgjidhja e ekuacioneve homogjene kryhet duke pjestuar me një nga të panjohurat në këtë shkallë:

Dhe ndryshimi i mëpasshëm i variablave: . Kështu, marrim një ekuacion të shkallës me një të panjohur:

Më shpesh, ne do të hasim ekuacione të shkallës së dytë (d.m.th., kuadratike) dhe ne mund t'i zgjidhim ato:

Vini re se pjesëtimi (dhe shumëzimi) i të gjithë ekuacionit me një ndryshore është i mundur vetëm nëse jemi të bindur se kjo ndryshore nuk mund të jetë e barabartë me zero! Për shembull, nëse na kërkohet të gjejmë, ne e kuptojmë menjëherë këtë, pasi është e pamundur të ndahet. Në rastet kur kjo nuk është aq e dukshme, është e nevojshme të kontrollohet veçmas rasti kur kjo ndryshore është e barabartë me zero. Për shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ne shohim këtu një ekuacion tipik homogjen: dhe janë të panjohura, dhe shuma e fuqive të tyre në çdo term është e barabartë.

Por, përpara se të pjesëtojmë me dhe të marrim ekuacionin kuadratik me respekt, duhet të shqyrtojmë rastin kur. Në këtë rast, ekuacioni do të marrë formën: , pra, . Por sinusi dhe kosinusi nuk mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, sepse sipas identitetit bazë trigonometrik:. Prandaj, ne mund ta ndajmë me siguri në:

Shpresoj se kjo zgjidhje është plotësisht e qartë? Nëse jo, lexoni seksionin. Nëse nuk është e qartë se nga erdhi, duhet të ktheheni edhe më herët - në seksion.

Vendosni vetë:

1. Gjeni nëse.
2. Gjeni nëse.
3. Zgjidhe ekuacionin.

Këtu do të shkruaj shkurtimisht drejtpërdrejt zgjidhjen e ekuacioneve homogjene:

Zgjidhjet:

Përgjigje:.

Dhe këtu është e nevojshme të mos ndahet, por të shumëzohet:

Përgjigje:

Nëse nuk i keni kaluar ende ekuacionet trigonometrike, mund ta kaloni këtë shembull.

Meqenëse këtu duhet të pjesëtojmë me, së pari sigurohemi që njëqind nuk është e barabartë me zero:

Dhe kjo është e pamundur.

Përgjigje:.

EKUACIONET HOMOGJENE. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Zgjidhja e të gjitha ekuacioneve homogjene reduktohet në pjesëtim me një nga të panjohurat në shkallë dhe ndryshim të mëtejshëm të variablave.

Algoritmi:

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, atëherë jeni shumë cool.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse keni lexuar deri në fund, atëherë jeni në 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, është ... është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për të suksesshme dhënien e provimit, për pranim në institut me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për jetë.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën një edukim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në provim dhe në fund të fundit ... më i lumtur?

MBULONI DORËN TUAJ, DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Në provim, nuk do t'ju kërkohet teori.

Do t'ju duhet zgjidhni problemet në kohë.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do ta bëni me kohë.

Është si në sport - ju duhet të përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni një koleksion kudo që dëshironi detyrimisht me zgjidhje analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (jo të nevojshme) dhe ne sigurisht i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të merrni një dorë me ndihmën e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e tutorialit - 499 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet gjatë gjithë jetës së faqes.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni me teorinë.

"Kuptuar" dhe "Unë di të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni!

Homogjene

Në këtë mësim do të shqyrtojmë të ashtuquajturat homogjene ekuacionet diferenciale Porosia e pare. Së bashku me ekuacionet e ndryshueshme të ndashme dhe ekuacionet lineare johomogjene ky lloj i telekomandës gjendet pothuajse në çdo puna e kontrollit në temën e difuzionit. Nëse keni hyrë në faqe nga një motor kërkimi ose nuk jeni shumë të sigurt në ekuacionet diferenciale, atëherë së pari ju rekomandoj fuqimisht që të bëni një mësim hyrës mbi temën - Ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Fakti është se shumë parime për zgjidhjen e ekuacioneve homogjene dhe teknikat e përdorura do të jenë saktësisht të njëjta si për ekuacionet më të thjeshta me ndryshore të ndashme.

Cili është ndryshimi midis ekuacioneve diferenciale homogjene dhe llojeve të tjera të DE? Kjo është më e lehtë për t'u shpjeguar menjëherë me një shembull konkret.

Shembulli 1

Zgjidhja:
Çfarë para së gjithash duhet analizuar kur vendoset ndonjë ekuacioni diferencial Porosia e pare? Para së gjithash, është e nevojshme të kontrollohet nëse është e mundur të ndahen menjëherë variablat duke përdorur veprime "shkollë"? Zakonisht një analizë e tillë kryhet mendërisht ose duke u përpjekur për të ndarë variablat në një draft.

AT ky shembull variablat nuk mund të ndahen(mund të provoni t'i ktheni termat nga një pjesë në tjetrën, të hiqni faktorët nga kllapat, etj.). Nga rruga, në këtë shembull, fakti që variablat nuk mund të ndahen është mjaft i dukshëm për shkak të pranisë së faktorit .

Shtrohet pyetja - si ta zgjidhim këtë diffur?

Duhet të kontrollohet dhe A është homogjen ky ekuacion?? Verifikimi është i thjeshtë dhe vetë algoritmi i verifikimit mund të formulohet si më poshtë:

Tek ekuacioni origjinal:

në vend të zëvendësues, në vend të zëvendësues, mos e prek derivatin:

Shkronja lambda është një parametër i kushtëzuar dhe këtu luan rolin e mëposhtëm: nëse, si rezultat i transformimeve, është e mundur të "shkatërrohen" TË GJITHA lambdat dhe të merret ekuacioni origjinal, atëherë ky ekuacion diferencial është homogjen.

Natyrisht, lambdat anulohen menjëherë në eksponent:

Tani, në anën e djathtë, nxjerrim lambdën nga kllapat:

dhe ndajini të dyja pjesët me të njëjtën lambda:

Si rezultat të gjitha lambdas u zhdukën si një ëndërr, si një mjegull mëngjesi, dhe ne morëm ekuacionin origjinal.

konkluzioni: Ky ekuacion është homogjen

Si të zgjidhim një ekuacion diferencial homogjen?

jam shume Lajme te mira. Absolutisht të gjitha ekuacionet homogjene mund të zgjidhen me një zëvendësim të vetëm (!) standard.

Funksioni "y" duhet zëvendësojnë puna disa funksione (e varur gjithashtu nga "x") dhe "x":

Pothuajse gjithmonë shkruani shkurt:

Ne zbulojmë se në çfarë do të kthehet derivati ​​me një zëvendësim të tillë, ne përdorim rregullin për diferencimin e një produkti. Nese atehere:

Zëvendësoni në ekuacionin origjinal:

Çfarë do të japë një zëvendësim i tillë? Pas këtij zëvendësimi dhe thjeshtëzimeve të bëra, ne e garantuar marrim një ekuacion me ndryshore të ndashme. KUJTOJE si dashuria e parë :) dhe, në përputhje me rrethanat, .

Pas zëvendësimit, ne bëjmë thjeshtimet maksimale:

Meqenëse është një funksion që varet nga "x", atëherë derivati ​​i tij mund të shkruhet si thyesë standarde: .
Në këtë mënyrë:

Ne i ndajmë variablat, ndërsa në anën e majtë ju duhet të mbledhni vetëm "te", dhe në anën e djathtë - vetëm "x":

Variablat janë të ndara, ne integrojmë:


Sipas këshillës time të parë të teknologjisë nga artikulli Ekuacionet diferenciale të rendit të parë në shumë raste është e leverdishme të “formulohet” një konstante në formën e një logaritmi.

Pasi të integrohet ekuacioni, duhet të kryeni zëvendësim i kundërt, është gjithashtu standard dhe unik:
Nese atehere
AT këtë rast:

Në 18-19 raste nga 20, zgjidhja e ekuacionit homogjen shkruhet si një integral i përgjithshëm..

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

Pse përgjigja e një ekuacioni homogjen jepet pothuajse gjithmonë si një integral i përgjithshëm?
Në shumicën e rasteve, është e pamundur të shprehet "y" në mënyrë eksplicite (merr vendim të përbashkët), dhe nëse është e mundur, atëherë më shpesh zgjidhja e përgjithshme rezulton të jetë e rëndë dhe e ngathët.

Kështu, për shembull, në shembullin e konsideruar, zgjidhja e përgjithshme mund të merret duke varur logaritmet në të dy pjesët e integralit të përgjithshëm:

- Epo, ende në rregull. Edhe pse, e shihni, është ende e shtrembër.

Nga rruga, në këtë shembull, unë nuk e shkruajta "me mirësi" integralin e përgjithshëm. Nuk është gabim, por në një stil "të mirë", ju kujtoj, është zakon të shkruhet integrali i përgjithshëm në formën . Për ta bërë këtë, menjëherë pas integrimit të ekuacionit, konstanta duhet të shkruhet pa asnjë logaritëm (Ky është përjashtim nga rregulli!):

Dhe pas zëvendësimit të kundërt, merrni integralin e përgjithshëm në formën "klasike":

Përgjigja e marrë mund të kontrollohet. Për ta bërë këtë, ju duhet të dalloni integralin e përgjithshëm, domethënë të gjeni derivat i një funksioni të përcaktuar në mënyrë implicite:

Hiqni qafe thyesat duke shumëzuar secilën anë të ekuacionit me:

Është marrë ekuacioni diferencial origjinal, që do të thotë se zgjidhja është gjetur saktë.

Këshillohet që gjithmonë të kontrolloni. Por ekuacionet homogjene janë të pakëndshme sepse zakonisht është e vështirë të kontrollohen integralet e tyre të përgjithshme - kjo kërkon një teknikë shumë, shumë të mirë diferencimi. Në shembullin e konsideruar, gjatë verifikimit, tashmë ishte e nevojshme të gjendeshin jo derivatet më të thjeshtë (megjithëse vetë shembulli është mjaft i thjeshtë). Nëse mund ta kontrolloni, shikoni!

Shembulli 2

Kontrolloni ekuacionin për homogjenitet dhe gjeni integralin e tij të përgjithshëm.

Shkruani përgjigjen në formular

Ky është një shembull për zgjidhje e pavarur- në mënyrë që të mësoheni me vetë algoritmin e veprimeve. Kontrolloni në kohën e lirë, sepse. këtu është mjaft e ndërlikuar, dhe unë as që fillova ta sjell, përndryshe nuk do të vini më në një maniak të tillë :)

Dhe tani e premtuara pikë e rëndësishme, përmendur në fillimi i temës,
me shkronja të zeza të zeza:

Nëse gjatë transformimeve “rivendosim” faktorin (jo konstante)tek emëruesi, atëherë RREZIKOHET të humbasim zgjidhjet!

Dhe në fakt, këtë e kemi hasur në shembullin e parë. mësimi hyrës mbi ekuacionet diferenciale. Në procesin e zgjidhjes së ekuacionit, "y" doli të jetë në emërues: , por, padyshim, është një zgjidhje për DE, dhe si rezultat i një transformimi (pjestimi) jo ekuivalent, ekziston çdo shans për duke e humbur! Një tjetër gjë është se ka hyrë në zgjidhjen e përgjithshme kur vlerë zero konstante. Rivendosja e "x" në emërues gjithashtu mund të injorohet, sepse nuk kënaq difuzionin origjinal.

Një histori e ngjashme me ekuacionin e tretë të të njëjtit mësim, gjatë zgjidhjes së të cilit "u hodhëm" në emërues. Në mënyrë të rreptë, këtu ishte e nevojshme të kontrollohej nëse difuzioni i dhënë është një zgjidhje? Në fund të fundit, është! Por edhe këtu "gjithçka funksionoi", pasi ky funksion hyri në integralin e përgjithshëm në .

Dhe nëse kjo ndodh shpesh me ekuacionet "të ndashme";) "rrokulliset", atëherë me difuzione homogjene dhe disa të tjera mund "të mos rrotullohet". Me një probabilitet të lartë.

Le të analizojmë problemet e zgjidhura tashmë në këtë mësim: Shembulli 1 ka pasur një "rivendosje" të x, megjithatë, nuk mund të jetë një zgjidhje për ekuacionin. Por në Shembulli 2 u ndamë në , por edhe kjo “u doli”: meqenëse zgjidhjet nuk mund të humbeshin, ato thjesht nuk ekzistojnë këtu. Por, sigurisht, i rregullova me qëllim "rastet e lumtura" dhe nuk është fakt që ato do të hasin në praktikë:

Shembulli 3

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

A nuk është një shembull i thjeshtë? ;-)

Zgjidhja: homogjeniteti i këtij ekuacioni është i qartë, por ende - në hapin e parë GJITHMONË kontrolloni nëse variablat mund të ndahen. Sepse ekuacioni është gjithashtu homogjen, por variablat në të janë të ndara në heshtje. Po, ka disa!

Pas kontrollit për "ndashmëri", ne bëjmë një zëvendësim dhe thjeshtojmë ekuacionin sa më shumë që të jetë e mundur:

Ne ndajmë variablat, në të majtë mbledhim "te", në të djathtë - "x":

Dhe këtu është STOP. Kur pjesëtojmë me rrezikojmë të humbasim dy funksione njëherësh. Meqenëse , atëherë këto janë funksionet:

Funksioni i parë është padyshim një zgjidhje e ekuacionit . Ne kontrollojmë të dytin - ne e zëvendësojmë derivatin e tij në difuzionin tonë:

– marrë barazi e vërtetë, pra funksioni është një zgjidhje.

Dhe rrezikojmë t'i humbim këto vendime.

Për më tepër, emëruesi ishte "X", megjithatë, zëvendësimi nënkupton se është jo zero. Mbani mend këtë fakt. Por! Sigurohuni që të kontrolloni, nëse është një zgjidhje për ekuacionin diferencial ORIGJINAL. Jo nuk eshte.

Le të marrim parasysh të gjitha këto dhe të vazhdojmë:

Duhet thënë se kemi pasur fat me integralin e krahut të majtë, ndodh shumë më keq.

Ne mbledhim një logaritëm të vetëm në anën e djathtë dhe rivendosim prangat:

Dhe vetëm tani zëvendësimi i kundërt:

Shumëzoni të gjithë termat me:

Tani për të kontrolluar - nëse në integralin e përgjithshëm përfshihen zgjidhjet “të rrezikshme”.. Po, të dyja zgjidhjet përfshihen në integralin e përgjithshëm me vlerën zero të konstantës: , kështu që ato nuk kanë nevojë të tregohen shtesë në përgjigje:

integrali i përgjithshëm:

Ekzaminimi. As një provë, por kënaqësi e pastër :)

Është marrë ekuacioni diferencial origjinal, që do të thotë se zgjidhja është gjetur saktë.

Për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 4

Kryeni një test homogjeniteti dhe zgjidhni ekuacionin diferencial

Integrali i përgjithshëm mund të kontrollohet me diferencim.

Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Shqyrtoni disa shembuj ku jepet një ekuacion homogjen me diferenciale të gatshme.

Shembulli 5

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Kjo është shumë shembull interesant, direkt i gjithë thriller!

Zgjidhje Ne do të mësohemi ta bëjmë atë më kompakt. Së pari, mendërisht ose në një draft, sigurohemi që variablat nuk mund të ndahen këtu, pas së cilës kontrollojmë për uniformitet - zakonisht nuk kryhet në një kopje të pastër (nëse nuk kërkohet në mënyrë specifike). Kështu, pothuajse gjithmonë zgjidhja fillon me hyrjen: " Ky ekuacion është homogjen, le të bëjmë një zëvendësim: ...».

Nëse një ekuacion homogjen përmban diferenciale të gatshme, atëherë ai mund të zgjidhet me një zëvendësim të modifikuar:

Por unë nuk këshilloj përdorimin e një zëvendësimi të tillë, pasi rezultati do të jetë i Madh Muri kinez diferenciale, ku ju duhet një sy dhe një sy. Nga pikëpamja teknike, është më e dobishme të kaloni në përcaktimin "të ndërprerë" të derivatit, për këtë ne ndajmë të gjitha termat e ekuacionit me:

Dhe tashmë këtu kemi bërë një transformim “të rrezikshëm”! Diferenciali zero korrespondon me - një familje vijash paralele me boshtin. A janë ato rrënjët e DU-së sonë? Zëvendësoni në ekuacionin origjinal:

Kjo barazi është e vërtetë nëse, domethënë, kur pjesëtojmë me rrezikojmë të humbim zgjidhjen, dhe ne e humbëm atë- sepse ajo nuk kënaq më ekuacioni që rezulton .

Duhet theksuar se nëse ne fillimisht u dha ekuacioni , atëherë rrënja do të ishte jashtë diskutimit. Por ne e kemi dhe e kemi “kapur” me kohë.

Ne vazhdojmë zgjidhjen me një zëvendësim standard:
:

Pas zëvendësimit, ne thjeshtojmë ekuacionin sa më shumë që të jetë e mundur:

Ndarja e variablave:

Dhe këtu përsëri STOP: kur pjesëtojmë me rrezikojmë të humbasim dy funksione. Meqenëse , atëherë këto janë funksionet:

Natyrisht, funksioni i parë është një zgjidhje e ekuacionit . Ne kontrollojmë të dytën - ne zëvendësojmë dhe derivatin e tij:

– marrë barazi e vërtetë, pra funksioni është gjithashtu zgjidhje e ekuacionit diferencial.

Dhe kur e ndajmë me rrezikojmë t'i humbim këto zgjidhje. Megjithatë, ato mund të hyjnë në një integral të përbashkët. Por ata mund të mos hyjnë.

Le të marrim parasysh këtë dhe të integrojmë të dyja pjesët:

Integrali i anës së majtë zgjidhet standardisht duke përdorur përzgjedhja e një sheshi të plotë, por në difuzorë është shumë më i përshtatshëm për t'u përdorur metoda e koeficientëve të papërcaktuar:

Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar, ne zgjerojmë integrandin në një shumë të thyesave elementare:


Në këtë mënyrë:

Ne gjejmë integrale:

- meqë kemi vizatuar vetëm logaritme, e shtyjmë edhe konstanten nën logaritëm.

Përpara zëvendësimit thjeshtoni përsëri gjithçka që mund të thjeshtohet:

Zinxhirët e rënies:

Dhe zëvendësimi i kundërt:

Tani kujtojmë "humbjet": zgjidhja hyri në integralin e përgjithshëm në , por - "fluturoi përtej arkës", sepse u shfaq në emërues. Prandaj, në përgjigje, i jepet një frazë e veçantë, dhe po - mos harroni për vendimin e humbur, i cili, nga rruga, gjithashtu doli të ishte në fund.

Përgjigje: integrali i përgjithshëm: . Më shumë zgjidhje:

Nuk është aq e vështirë të shprehësh zgjidhjen e përgjithshme këtu:
, por kjo tashmë është shfaqje.

Megjithatë, i përshtatshëm për testim. Le të gjejmë derivatin:

dhe zëvendësues në ana e majte ekuacionet:

- si rezultat i marrë pjesa e djathtë ekuacionet, të cilat do të verifikoheshin.

Dallimi i mëposhtëm është më vete:

Shembulli 6

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Provoni në të njëjtën kohë për stërvitje dhe shprehni zgjidhjen e përgjithshme këtu.

Në pjesën e fundit të mësimit, ne do të shqyrtojmë disa të tjera detyrat karakteristike në këtë temë:

Shembulli 7

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhja: Le të shkojmë në rrugën e rrahur. Ky ekuacion është homogjen, le të ndryshojmë:

Me "x" gjithçka është në rregull, por ja çfarë nuk shkon trinomi katror? Meqenëse është i pazbërthyeshëm në faktorë : , atëherë definitivisht nuk i humbim zgjidhjet. Do të ishte gjithmonë kështu! Zgjidhni katrorin e plotë në anën e majtë dhe integroni:

Nuk ka asgjë për të thjeshtuar këtu, dhe për këtë arsye zëvendësimi i kundërt:

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

Shembulli 8

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Ky është një shembull bëjeni vetë.

Kështu që:

Për konvertime jo ekuivalente, kontrolloni GJITHMONË (të paktën verbalisht), mos i humbisni vendimet tuaja! Cilat janë këto transformime? Si rregull, zvogëlimi me diçka ose ndarja në diçka. Kështu, për shembull, kur pjesëtoni me, duhet të kontrolloni nëse funksionet janë zgjidhje të një ekuacioni diferencial. Në të njëjtën kohë, kur ndarja sipas nevojës për një kontroll të tillë tashmë zhduket - për shkak të faktit se ky pjesëtues nuk zhduket.

Këtu është një situatë tjetër e rrezikshme:

Këtu, duke hequr qafe , duhet të kontrollohet nëse është një zgjidhje për DE. Shpesh, "x", "y" gjenden si një shumëzues i tillë dhe duke reduktuar prej tyre, ne humbasim funksione që mund të rezultojnë të jenë zgjidhje.

Nga ana tjetër, nëse diçka është fillimisht në emërues, atëherë nuk ka arsye për një shqetësim të tillë. Pra, në një ekuacion homogjen, nuk duhet të shqetësoheni për funksionin, pasi ai "deklarohet" në emërues.

Hollësitë e listuara nuk e humbasin rëndësinë e tyre, edhe nëse kërkohet të gjendet vetëm një zgjidhje e veçantë në problem. Ekziston një shans i vogël, por një shans që të humbasim pikërisht zgjidhjen e veçantë të kërkuar. e vërteta Problem cauchy në detyra praktike me ekuacione homogjene kërkohet mjaft rrallë. Sidoqoftë, ka shembuj të tillë në artikull Ekuacionet që reduktojnë në homogjene, të cilin unë rekomandoj ta studioni "në ndjekje të nxehtë" për të konsoliduar aftësitë tuaja zgjidhëse.

Ekzistojnë gjithashtu ekuacione homogjene më komplekse. Vështirësia nuk qëndron te ndryshimi i variablave apo thjeshtimet, por tek integralet mjaft të vështira apo të rralla që lindin si rezultat i ndarjes së variablave. Unë kam shembuj zgjidhjesh për ekuacione të tilla homogjene - integrale të shëmtuara dhe përgjigje të shëmtuara. Por ne nuk do të flasim për to, sepse në mësimet e ardhshme (Shikoni më poshtë) Kam ende kohë të të torturoj, dua të të shoh të freskët dhe optimist!

Promovim i suksesshëm!

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2: Zgjidhja: kontrolloni ekuacionin për homogjenitet, për këtë, në ekuacionin origjinal në vend të le të vendosim, dhe në vend të le të zëvendësojmë:

Si rezultat, fitohet ekuacioni origjinal, që do të thotë se kjo DE është homogjene.

Funksioni f(x,y) thirret funksion homogjen të argumenteve të dimensionit të tyre n nëse identiteti f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Për shembull, funksioni f(x,y)=x^2+y^2-xy është funksion homogjen dimensioni i dytë sepse

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Për n=0 kemi një funksion të dimensionit zero. Për shembull, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)është një funksion homogjen i dimensionit zero, pasi

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Ekuacioni diferencial i formës \frac(dy)(dx)=f(x,y) thuhet se është homogjen në lidhje me x dhe y nëse f(x,y) është një funksion homogjen i argumenteve të dimensionit të tij zero. Një ekuacion homogjen mund të paraqitet gjithmonë si

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\djathtas).

Duke futur një funksion të ri të dëshiruar u=\frac(y)(x), ekuacioni (1) mund të reduktohet në një ekuacion me variabla ndarës:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Nëse u=u_0 është rrënja e ekuacionit \varphi(u)-u=0 , atëherë zgjidhja e ekuacionit homogjen do të jetë u=u_0 ose y=u_0x (drejtëza që kalon nga origjina).

Komentoni. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve homogjene, nuk është e nevojshme t'i reduktoni ato në formën (1). Ju mund të bëni menjëherë zëvendësimin y=ux .

Shembulli 1 Zgjidh një ekuacion homogjen xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Zgjidhje. E shkruajmë ekuacionin në formë y"=\sqrt(1-(\majtas(\frac(y)(x)\djathtas)\^2}+\frac{y}{x} !} pra ekuacioni i dhënë rezulton të jetë homogjen në lidhje me x dhe y. Le të vendosim u=\frac(y)(x) , ose y=ux . Pastaj y"=xu"+u . Duke zëvendësuar shprehjet për y dhe y" në ekuacion, marrim x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Ndarja e variablave: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Nga këtu, nga integrimi, ne gjejmë

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), ose \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Meqenëse C_1|x|=\pm(C_1x) , duke treguar \pm(C_1)=C , marrim \arcsin(u)=\n(Cx), ku |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) ose e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Duke zëvendësuar u me \frac(y)(x) , do të kemi integralin e përgjithshëm \arcsin(y)(x)=\n(Cx).

Prandaj zgjidhja e përgjithshme: y=x\sin\ln(Cx) .

Gjatë ndarjes së variablave, ne i ndamë të dy anët e ekuacionit me produktin x\sqrt(1-u^2), kështu që mund të humbasim zgjidhjen që e kthen këtë produkt në zero.

Tani le të vendosim x=0 dhe \sqrt(1-u^2)=0. Por x\ne0 për shkak të zëvendësimit u=\frac(y)(x) , dhe nga relacioni \sqrt(1-u^2)=0 marrim se 1-\frac(y^2)(x^2)=0, prej nga y=\pm(x) . Me verifikim të drejtpërdrejtë sigurohemi që edhe funksionet y=-x dhe y=x të jenë zgjidhje ekuacioni i dhënë.

Shembulli 2 Konsideroni familjen e kurbave integrale C_\alfa të ekuacionit homogjen y"=\varphi\!\majtas(\frac(y)(x)\djathtas). Tregoni se tangjentet në pikat përkatëse të kthesave të përcaktuara nga ky ekuacion diferencial homogjen janë paralele me njëra-tjetrën.

Shënim: Ne do të thërrasim relevante ato pika në kurbat C_\alfa që shtrihen në të njëjtën rreze duke filluar nga origjina.

Zgjidhje. Sipas përcaktimit të pikave përkatëse, ne kemi \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), kështu që në bazë të vetë ekuacionit y"=y"_1 , ku y" dhe y"_1 - faktorët e pjerrësisë tangjentet me kurbat integrale C_\alfa dhe C_(\alfa_1), përkatësisht në pikat M dhe M_1 (Fig. 12).

Ekuacionet që reduktojnë në homogjene

POR. Konsideroni një ekuacion diferencial të formës

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+nga+c)(a_1x+b_1y+c_1)\djathtas).

ku a,b,c,a_1,b_1,c_1 janë konstante dhe f(u) është funksion të vazhdueshëm e argumentit të saj u .

Nëse c=c_1=0 , atëherë ekuacioni (3) është homogjen dhe integrohet si më sipër.

Nëse të paktën njëri nga numrat c,c_1 është i ndryshëm nga zero, atëherë duhet të dallohen dy raste.

1) Përcaktor \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Duke prezantuar variablat e reja \xi dhe \eta me formulat x=\xi+h,~y=\eta+k, ku h dhe k janë ende konstante të papërcaktuara, ne sjellim ekuacionin (3) në formë

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\majtas(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\ drejt).

Zgjedhja e h dhe k si zgjidhje për sistemin ekuacionet lineare

\fillimi(rastet)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\fund(rastet)~(\Delta\ne0),

marrim një ekuacion homogjen \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\majtas(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\djathtas). Pasi kemi gjetur integralin e tij të përgjithshëm dhe duke zëvendësuar \xi me x-h në të dhe \eta me y-k, marrim integralin e përgjithshëm të ekuacionit (3).

2) Përcaktor \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Sistemi (4) in rast i përgjithshëm nuk ka zgjidhje dhe metoda e mësipërme nuk është e zbatueshme; në këtë rast \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, dhe, për rrjedhojë, ekuacioni (3) ka formën \frac(dy)(dx)=f\!\majtas(\frac(ax+nga+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\djathtas). Zëvendësimi z=ax+by e sjell atë në një ekuacion variabël të ndashëm.

Shembulli 3 zgjidhin ekuacionin (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Zgjidhje. Konsideroni një sistem linear ekuacionet algjebrike \fillimi(rastet)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\fund (rastet)

Përcaktuesi i këtij sistemi \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Sistemi ka vetëm vendim x_0=-1,~y_0=3. Bëjmë zëvendësimin x=\xi-1,~y=\eta+3 . Atëherë ekuacioni (5) merr formën

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Ky ekuacion është një ekuacion homogjen. Duke vendosur \eta=u\xi , marrim

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, ku (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Ndarja e variablave \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Duke u integruar, ne gjejmë \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) ose \xi^2(1+2u-u^2)=C.

Duke iu rikthyer variablave x,~y:

(x+1)^2\majtas=C_1 ose x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Shembulli 4 zgjidhin ekuacionin (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Zgjidhje. Sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare \fillimi(rastet)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\fund (rastet) të papajtueshme. Në këtë rast, metoda e aplikuar në shembullin e mëparshëm nuk është e përshtatshme. Për të integruar ekuacionin, përdorim zëvendësimin x+y=z, dy=dz-dx. Ekuacioni do të marrë formën

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Duke ndarë variablat, marrim

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 pra x-2z-3\ln|z-2|=C.

Duke iu rikthyer variablave x,~y , marrim integralin e përgjithshëm të këtij ekuacioni

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. Ndonjëherë ekuacioni mund të reduktohet në një homogjen duke ndryshuar ndryshoren y=z^\alfa. Ky është rasti kur të gjithë termat në ekuacion janë të të njëjtit dimension, nëse ndryshores x i jepet dimensioni 1, ndryshores y i jepet dimensioni \alfa dhe derivatit \frac(dy)(dx) i jepet dimension \alfa-1 .

Shembulli 5 zgjidhin ekuacionin (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Zgjidhje. Bërja e një zëvendësimi y=z^\alfa,~dy=\alfa(z^(\alfa-1))\,dz, ku \alpha është për momentin numër arbitrar, të cilin do ta zgjedhim më vonë. Duke zëvendësuar shprehjet për y dhe dy në ekuacion, marrim

\alfa(x^2x^(2\alfa)-1)z^(\alfa-1)\,dz+2xz^(3\alfa)\,dx=0 ose \alfa(x^2z^(3\alfa-1)-z^(\alfa-1))\,dz+2xz^(3\alfa)\,dx=0,

Vini re se x^2z^(3\alfa-1) ka dimensionin 2+3\alfa-1=3\alfa+1, z^(\alfa-1) ka dimension \alfa-1, xz^(3\alfa) ka dimension 1+3\alfa. Ekuacioni që rezulton do të jetë homogjen nëse matjet e të gjithë termave janë të njëjta, d.m.th. nëse plotësohet kushti 3\alfa+1=\alfa-1, ose \alfa-1 .

Le të vendosim y=\frac(1)(z) ; ekuacioni origjinal merr formën

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\djathtas)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 ose (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Le të vendosim tani z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Atëherë ky ekuacion do të marrë formën (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, ku u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Ndarja e variablave në këtë ekuacion \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Duke u integruar, ne gjejmë

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) ose \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Duke zëvendësuar u me \frac(1)(xy) , marrim integralin e përgjithshëm të këtij ekuacioni 1+x^2y^2=Cy.

Ekuacioni ka gjithashtu një zgjidhje të dukshme y=0, e cila merret nga integrali i përgjithshëm në C\to\infty nëse integrali shkruhet si y=\frac(1+x^2y^2)(C), dhe pastaj hidheni në kufirin në C\to\infty. Kështu, funksioni y=0 është një zgjidhje e veçantë ekuacioni origjinal.

Javascript është i çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Kontrollet ActiveX duhet të aktivizohen për të bërë llogaritjet!

Për të zgjidhur një ekuacion diferencial homogjen të rendit 1, përdoret zëvendësimi u=y/x, pra u është një funksion i ri i panjohur që varet nga x. Prandaj y=ux. Derivati ​​y' gjendet duke përdorur rregullin e diferencimit të produktit: y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (pasi x'=1). Për një formë tjetër shkrimi: dy=udx+xdu.Pas zëvendësimit thjeshtojmë ekuacionin dhe arrijmë në një ekuacion me ndryshore të ndashme.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale homogjene të rendit të parë.

1) Zgjidhe ekuacionin

Kontrollojmë që ky ekuacion të jetë homogjen (shiko Si të përkufizojmë një ekuacion homogjen). Duke u siguruar, bëjmë zëvendësimin u=y/x, prej nga y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Zëvendësues: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Që nga logaritmi i produktit është e barabartë me shumën logaritme, ln(ux)=lnu+lnx. Nga këtu

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Pas kastit terma të ngjashëm: u'x+u=u(1+lnu). Tani zgjeroni kllapat

u'x+u=u+u lnu. Të dyja pjesët përmbajnë u, prandaj u'x=u·lnu. Meqenëse u është funksion i x, u’=du/dx. Zëvendësues

Ne morëm një ekuacion me ndryshore të ndashme. I ndajmë variablat, për të cilat i shumëzojmë të dyja pjesët me dx dhe i pjesëtojmë me x u lnu, me kusht që prodhimi x u lnu≠0

Ne integrojmë:

Në anën e majtë është një integral tabelor. Në të djathtë bëjmë zëvendësimin t=lnu, prej nga dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Por ne kemi diskutuar tashmë se në ekuacione të tilla është më e përshtatshme të merret ln│C│ në vend të С. Pastaj

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Nga vetia e logaritmeve: ln│t│=ln│Сx│. Prandaj t=Cx. (sipas kushtit, x>0). Është koha për të bërë zëvendësimin e kundërt: lnu=Cx. Dhe një zëvendësim tjetër i kundërt:

Sipas vetive të logaritmeve:

Ky është integrali i përgjithshëm i ekuacionit.

Kujtoni produktin e kushtit x·u·lnu≠0 (që do të thotë x≠0,u≠0, lnu≠0, prej nga u≠1). Por x≠0 nga kushti mbetet u≠1, pra x≠y. Natyrisht, y=x (x>0) përfshihen në zgjidhjen e përgjithshme.

2) Gjeni integralin e pjesshëm të ekuacionit y’=x/y+y/x që plotëson kushtet fillestare y(1)=2.

Së pari, kontrollojmë që ky ekuacion të jetë homogjen (edhe pse prania e termave y/x dhe x/y tashmë e tregon këtë në mënyrë indirekte). Më pas bëjmë zëvendësimin u=y/x, prej nga y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Ne i zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në ekuacionin:

u'x+u=1/u+u. Duke thjeshtuar:

u'x=1/u. Meqenëse u është një funksion i x, u'=du/dx:

Ne morëm një ekuacion me ndryshore të ndashme. Për të ndarë variablat, ne i shumëzojmë të dyja pjesët me dx dhe u dhe pjesëtojmë me x (x≠0 sipas kushtit, pra u≠0 gjithashtu, që do të thotë se nuk ka humbje të vendimeve).

Ne integrojmë:

dhe meqenëse ka integrale tabelare në të dyja pjesët, marrim menjëherë

Kryerja e një zëvendësimi të kundërt:

Ky është integrali i përgjithshëm i ekuacionit. Ne përdorim kushtin fillestar y(1)=2, domethënë, ne zëvendësojmë y=2, x=1 në zgjidhjen që rezulton:

3) Gjeni integralin e përgjithshëm të ekuacionit homogjen:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Ndrysho u=y/x, prej nga y=ux, dy=xdu+udx. Ne zëvendësojmë:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Ne nxjerrim x² nga kllapat dhe ndajmë të dyja pjesët me të (duke supozuar x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Zgjeroni kllapat dhe thjeshtoni:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Grupimi i termave me du dhe dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Ne nxjerrim faktorët e përbashkët për kllapa:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Ndarja e variablave:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Për ta bërë këtë, ne i ndajmë të dy pjesët e ekuacionit me xu(u²+1)≠0 (në përputhje me rrethanat, ne shtojmë kërkesat x≠0 (të shënuara tashmë), u≠0):

Ne integrojmë:

Në anën e djathtë të ekuacionit është një integral tabelor, thyesa racionale në anën e majtë, ne zbërthehemi në faktorët kryesorë:

(ose në integralin e dytë, në vend që të futeshim nën shenjën e diferencialit, ishte e mundur të bëhej zëvendësimi t=1+u², dt=2udu - cila mënyrë ju pëlqen më shumë). Ne marrim:

Sipas vetive të logaritmeve:

Zëvendësimi i kundërt

Kujtoni kushtin u≠0. Prandaj y≠0. Kur C=0 y=0, atëherë nuk ka humbje të zgjidhjeve, dhe y=0 përfshihet në integralin e përgjithshëm.

Koment

Ju mund ta merrni zgjidhjen në një formë tjetër nëse e lini termin me x në të majtë:

Kuptimi gjeometrik i kurbës integrale në këtë rast është një familje rrathësh të përqendruar në boshtin Oy dhe që kalojnë nëpër origjinë.

Detyrat për vetë-test:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Kontrollojmë që ekuacioni të jetë homogjen, pas së cilës bëjmë zëvendësimin u=y/x, prej nga y=ux, dy=xdu+udx. Zëvendësues në kushtin: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me x²≠0, marrim: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Prandaj dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Duke e thjeshtuar kemi: dx-xudu=0. Prandaj xudu=dx, udu=dx/x. Le të integrojmë të dyja pjesët:

Artikulli i mëparshëm: Nëse produkti ndahet me një nga faktorët, atëherë do të merret një faktor tjetër Artikulli vijues: Format bazë të përshëndetjes (përkthyer nga Nihao)