Duhet të njihemi me vetitë e këtij operacioni, të cilin do ta bëjmë në këtë seksion.

Të gjitha vetitë formulohen dhe vërtetohen vetëm për vlerat jo negative të variablave që përmbahen nën shenjat e rrënjëve.

Dëshmi. Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: Duhet të vërtetojmë se për numrat jonegativë x, y, z vlen barazia x-yz.
Sepse
Pra, nëse fuqitë e dy numrave jonegativë janë të barabartë dhe eksponentët janë të barabartë, atëherë bazat janë të barabarta gradë; Kjo do të thotë se nga barazia x n =(уz) n rrjedh se x-yz, dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.

Le të japim shënim i shkurtër vërtetimi i teoremës.

Shënime:

1. Teorema 1 mbetet e vlefshme për rastin kur shprehje radikaleështë prodhim i më shumë se dy numrave jonegativë.
2. Teorema 1 mund të formulohet duke përdorur konstruksionin "nëse...atëherë" (siç është zakon për teoremat në matematikë, le të japim formulimin përkatës: nëse a dhe b janë numra jonegativë, atëherë barazia është saktësisht). si do të formulojmë teoremën vijuese.

Një formulim i shkurtër (ndonëse i pasaktë) që është më i përshtatshëm për t'u përdorur në praktikë: rrënja e thyesat e barabartë me një thyesë nga rrënjët.

Dëshmi. Ne do të japim një përmbledhje të shkurtër të vërtetimit të Teoremës 2, dhe ju mund të përpiqeni të bëni komente të përshtatshme të ngjashme me ato të dhëna në vërtetimin e Teoremës 1.

Ju, sigurisht, keni vënë re se dy pronat e provuara rrënjët e ntë gradat janë një përgjithësim i vetive të rrënjëve katrore të njohura për ju nga kursi i algjebrës së klasës së 8-të. Dhe nëse do të kishte veti të tjera të rrënjëve shkalla e nëntë nuk ishte, atëherë gjithçka do të ishte e thjeshtë (dhe jo shumë interesante). Në fakt, ka disa më interesante dhe veti të rëndësishme për të cilat do të diskutojmë në këtë pjesë. Por së pari, le të shohim disa shembuj të përdorimit të teoremave 1 dhe 2.

Shembulli 1. Llogaritni
Zgjidhje. Duke përdorur vetinë e parë të rrënjëve (teorema 1), marrim:

Shënim 3. Sigurisht, ju mund ta zgjidhni këtë shembull ndryshe, veçanërisht nëse keni një mikrollogaritës pranë: shumëzoni numrat 125, 64 dhe 27, dhe më pas merrni rrënjën kubike të produktit që rezulton. Por, shihni, zgjidhja e propozuar është "më inteligjente".
Shembulli 2. Llogaritni
Zgjidhje. Le të kthehemi mbrapsht numër i përzier në një fraksion të papërshtatshëm.
Ne kemi duke përdorur vetinë e dytë të rrënjëve (teorema 2), marrim:

Shembulli 3. Llogaritni:
Zgjidhje.Çdo formulë në algjebër, siç e dini mirë, përdoret jo vetëm "nga e majta në të djathtë", por edhe "nga e djathta në të majtë". Kështu, vetia e parë e rrënjëve do të thotë se ato mund të përfaqësohen në formë dhe, anasjelltas, mund të zëvendësohen nga shprehja. E njëjta gjë vlen edhe për vetinë e dytë të rrënjëve. Duke marrë parasysh këtë, le të bëjmë llogaritjet:

Shembulli 4. Ndiqni këto hapa:
Zgjidhje, a) Kemi:
b) Teorema 1 na lejon të shumëzojmë vetëm rrënjët në të njëjtën shkallë, d.m.th. vetëm rrënjët me të njëjtin indeks. Këtu propozohet të shumëzohet rrënja e 2-të e numrit a me rrënjën e 3-të të të njëjtit numër. Ne nuk dimë ende si ta bëjmë këtë. Le t'i kthehemi këtij problemi më vonë.
Le të vazhdojmë të studiojmë vetitë e radikalëve.

Me fjalë të tjera, për të ngritur rrënjë në një fuqi natyrore, mjafton të ngrihet shprehja radikale në këtë fuqi.
Kjo është pasojë e Teoremës 1. Në fakt, për shembull, për k = 3 ne marrim: Ne mund të arsyetojmë saktësisht në të njëjtën mënyrë në rastin e ndonjë tjetër vlera natyrore treguesi k.

Me fjalë të tjera, për të nxjerrë një rrënjë nga një rrënjë, mjafton të shumëzoni treguesit e rrënjëve.
Për shembull,
Dëshmi. Ashtu si në Teoremën 2, ne do të japim një përmbledhje të shkurtër të provës dhe ju mund të përpiqeni të bëni vetë komentet e duhura, të ngjashme me ato të dhëna në vërtetimin e Teoremës 1.

Shënim 4. Le të marrim frymë. Çfarë kemi mësuar nga teoremat që kemi vërtetuar? Mësuam se katër operacione mund të kryhen në rrënjë: shumëzimi, pjesëtimi, fuqizimi dhe nxjerrja e rrënjës (nga rrënja). Por çfarë ndodh me mbledhjen dhe zbritjen e rrënjëve? Në asnjë mënyrë. Ne folëm për këtë në klasën e 8-të për operacionin e nxjerrjes së një rrënjë katrore.

Për shembull, ju nuk mund të shkruani Really në vend të kësaj, por është e qartë se Kini kujdes!
Me shumë mundësi pronë interesante rrënjët - kjo është ajo që do të diskutohet në teoremën e ardhshme. Duke marrë parasysh rëndësinë e veçantë të kësaj prone, ne i lejojmë vetes të shkelim stil të caktuar formulimet dhe provat e zhvilluara në këtë seksion për ta bërë formulimin e Teoremës 5 pak më “të butë” dhe vërtetimin e tij më të qartë.

Për shembull:

(treguesit e shprehjes rrënjësore dhe radikale u ndanë me 4);

(treguesit e shprehjes rrënjësore dhe radikale u ndanë me 3);

(treguesit e shprehjes rrënjësore dhe radikale janë shumëzuar me 2).

Dëshmi. Le të shënojmë ana e majte barazia të vërtetohet me shkronjën Më pas, me përcaktimin e rrënjës, barazia duhet të plotësohet

Le të shënojmë anën e djathtë identiteti që vërtetohet me shkronjën y:

Pastaj, sipas përkufizimit të një rrënjë, barazia

Le t'i ngremë të dyja anët e barazisë së fundit në të njëjtën fuqi p; marrim:

Pra (shih barazitë (1) dhe (2)),

Duke krahasuar këto dy barazime, arrijmë në përfundimin se x nр = y nр, dhe për rrjedhojë x = y, që është ajo që duhej vërtetuar.
Teorema e provuar do të na lejojë të zgjidhim problemin që kemi hasur më lart kur zgjidhim shembullin 5, ku ishte e nevojshme të shumëzojmë rrënjët me eksponentë të ndryshëm:

Kështu arsyetojnë zakonisht në raste të tilla.
1) Sipas teoremës 5, në një shprehje është e mundur të shumëzohen si eksponenti i rrënjës (d.m.th. numri 2) ashtu edhe eksponenti i shprehjes radikale (d.m.th. numri 1) me të njëjtin numër natyror. Duke përfituar nga kjo, ne i shumëzojmë të dy treguesit me 3; marrim:
2) Sipas teoremës 5, në një shprehje është e mundur të shumëzohen si eksponenti i rrënjës (d.m.th. numri 3) ashtu edhe eksponenti i shprehjes radikale (d.m.th. numri 1) me të njëjtin numër natyror. Duke përfituar nga kjo, ne i shumëzojmë të dy treguesit me 2; marrim:

3) Meqenëse kemi marrë rrënjë të së njëjtës shkallë të 6-të, ne mund t'i shumëzojmë ato:

Shënim 5. A keni harruar se të gjitha vetitë e rrënjëve që diskutuam në këtë seksion u morën parasysh nga ne vetëm për rastin kur variablat marrin vetëm vlera jo negative? Pse duhej bërë një kufizim i tillë? Sepse rrënja e n-të fuqitë e një numri negativ nuk kanë gjithmonë kuptim - ai përcaktohet vetëm për vlerat teke të n-së, për vlera të tilla të eksponentit të rrënjës, vetitë e konsideruara të rrënjëve janë gjithashtu të vërteta në rastin e shprehjeve radikale negative.

A.G. Mordkovich Algjebra klasa e 10-të

Përmbajtja e mësimit shënimet e mësimit mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave të përshpejtimit teknologjitë interaktive Praktikoni detyra dhe ushtrime punëtori për vetëtestim, trajnime, raste, kërkime detyra shtëpie çështje të diskutueshme pyetje retorike nga studentët Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto, grafika, tabela, diagrame, humor, anekdota, shaka, komike, shëmbëlltyra, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj truke për krevat kureshtarë tekste mësimore fjalor termash bazë dhe plotësues të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në një tekst shkollor, elemente të inovacionit në mësim, zëvendësimi i njohurive të vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendar për një vit udhëzime programet e diskutimit Mësime të integruara

Mësim dhe prezantim me temën: "Funksioni i rrënjës së N-të. Shembuj zgjidhjesh. Vizatimi i grafikëve"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 11-të
Manual interaktiv për klasat 9-11 "Trigonometri"
Mjedisi i softuerit "1C: Mathematical Constructor 6.1"

funksioni i n-të i rrënjës

Djema, ne vazhdojmë të studiojmë rrënjët e n-të të një numri real. Sot do të studiojmë funksionin $y=\sqrt[n](x)$, do të ndërtojmë një grafik dhe do të gjejmë vetitë e tij.
Së pari, merrni parasysh funksionin tonë në rastin e një vlere argumenti jo-negativ.
Funksioni ynë është inversi i funksionit $y=x^n$, që është funksioni monoton(kjo do të thotë se ajo ka funksioni i anasjelltë). Le të ndërtojmë një grafik të funksionit $y=x^n$, atëherë grafiku i funksionit tonë $y=\sqrt[n](x)$ do të jetë simetrik në lidhje me vijën e drejtë $y=x$. Mos harroni se po shqyrtojmë rastin e një vlere jo negative të argumentit, domethënë $x≥0$.

Karakteristikat e funksionit

Vetitë e funksionit $y=\sqrt[n](x)$ për $x≥0$:
1. $D(f)=(x)$, nëse ekziston n tek dhe për $x $f(-x)=\sqrt[n]((-x))=-\sqrt[n](x)= -f(x)$,ku $n=3,5,7,9…$.
Kujtimi i vetive të grafikut funksion tek– simetri rreth origjinës, le të ndërtojmë një grafik të funksionit $y=\sqrt[n](x)$ për $n=3,5,7,9…$.
Le të paraqesim grafikun e funksionit që morëm në fillim në lidhje me origjinën.
Vini re se boshti i ordinatave është tangjent me grafikun e funksionit tonë në pikën $x=0$.

Shembull.
Ndërtoni dhe lexoni grafikun e funksionit $y=f(x)$, ku $f(x)$:
$f(x)=\fillimi(rastet)\sqrt(x), x≤1\\ \frac(1)(x), x>1\fund(rastet)$.
Zgjidhje. Do të ndërtojmë në mënyrë sekuenciale dy grafikë të funksionit në të ndryshme plane koordinative, atëherë ne do të kombinojmë grafikët që rezultojnë në një. Le të vizatojmë funksionin $y=\sqrt(x)$, $x≤1$.
Tabela e vlerave:
Grafiku i funksionit $y=\frac(1)(x)$ është i njohur për ne, është hiperbolë, le të ndërtojmë një grafik për $x>1$.
style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"> Le të kombinojmë të dy grafikët:

Djema, le të përshkruajmë vetitë që ka funksioni ynë:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2.As çift dhe as tek.
3. Zvogëlohet me $$.
4. E pakufizuar nga poshtë, e kufizuar nga lart.
5. Vlera më e ulët Jo, vlera më e lartëështë e barabartë me 1.
6. E vazhdueshme.
7. $E(f)=(-∞;1]$.
8. Funksioni është i diferencueshëm kudo përveç pikave $x=0$ dhe $x=1$.
9. $\lim_(x \djathtas +∞) f(x)=0$.

Shembull. Gjeni domenin e përkufizimit të funksioneve:

A) $y=\sqrt(2x-10)$.
b) $y=\sqrt(3x-6)$.
c) $y=\sqrt(3x-6)+\sqrt(25-x^2)$.

Zgjidhja:
a) Eksponenti i rrënjës së funksionit tonë është çift, që do të thotë se nën rrënjë duhet të ketë Jo një numër negativ.
Le të zgjidhim pabarazinë:
$2x-10≥0$.
$2x≥10$.
$x≥5$.
Përgjigje: $D(y)=.$ Ky është domeni i përkufizimit të funksionit origjinal.
Përgjigje: $D(y)=$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1. Grafikoni funksionin: $y=\sqrt(x-3)+1$.
2. Zgjidhet ekuacioni $\sqrt(x)=-x-2$.
3. Ndërtoni dhe lexoni grafikun e funksionit $y=f(x)$, ku $f(x)$: $f(x)=\begin(rastet)\sqrt(x), x≥1\\ x ^3, x 4. Gjeni domenin e përkufizimit të funksioneve:
a) $y=\sqrt(3x-15)$.
b) $y=\sqrt(2x-10)$.
c) $y=\sqrt(4x-12)+\sqrt(36-x^2)$.

Niveli i parë

Rrënja dhe vetitë e saj. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Le të përpiqemi të kuptojmë se çfarë lloj koncepti është kjo "rrënjë" dhe "me çfarë hahet". Për ta bërë këtë, le të shohim shembuj që i keni hasur tashmë në klasë (epo, ose thjesht do ta hasni këtë).

Për shembull, ne kemi një ekuacion. cila eshte zgjidhja ekuacioni i dhënë? Cilët numra mund të vendosen në katror dhe të fitohen? Duke kujtuar tabelën e shumëzimit, lehtë mund të jepni përgjigjen: dhe (në fund të fundit, kur shumëzohen dy numra negativë, merret një numër pozitiv)! Për ta thjeshtuar, matematikanët prezantuan një koncept të veçantë të rrënjës katrore dhe e caktuan atë karakter të veçantë.

Le të përcaktojmë rrënjën katrore aritmetike.

Pse numri duhet të jetë jo negativ? Për shembull, me çfarë është e barabartë? Epo, mirë, le të përpiqemi të zgjedhim një. Ndoshta tre? Le të kontrollojmë: , jo. Ndoshta, ? Përsëri, ne kontrollojmë: . Epo, nuk përshtatet? Kjo është për t'u pritur - sepse nuk ka numra që, kur janë në katror, ​​japin një numër negativ!
Kjo është ajo që duhet të mbani mend: numri ose shprehja nën shenjën e rrënjës duhet të jetë jo negative!

Sidoqoftë, më të vëmendshmit ndoshta tashmë e kanë vënë re se përkufizimi thotë se zgjidhja e rrënjës katrore të "një numri quhet kjo jo negative numër katrori i të cilit është i barabartë me ". Disa prej jush do të thonë që në fillim kemi analizuar shembullin, kemi zgjedhur numra që mund të vihen në katror dhe të merren, përgjigja ishte dhe, por këtu po flasim për një lloj "numri jo negativ"! Kjo vërejtje është mjaft e përshtatshme. Këtu ju vetëm duhet të bëni dallimin midis koncepteve të ekuacioneve kuadratike dhe rrënjës katrore aritmetike të një numri. Për shembull, nuk është ekuivalente me shprehjen.

Nga kjo rrjedh se, pra, ose. (Lexoni temën "")

Dhe kjo rrjedh.

Sigurisht, kjo është shumë konfuze, por duhet të mbahet mend se shenjat janë rezultat i zgjidhjes së ekuacionit, pasi kur zgjidhim ekuacionin duhet të shkruajmë të gjitha X-të, të cilat, kur zëvendësohen në ekuacioni origjinal do të japë rezultatin e duhur. Në tonë ekuacioni kuadratik i përshtatshëm për të dyja.

Megjithatë, nëse thjesht ekstrakt Rrenja katrore nga diçka, atëherë gjithmonë marrim një rezultat jo negativ.

Tani përpiquni të zgjidhni këtë ekuacion. Gjithçka nuk është më aq e thjeshtë dhe e qetë, apo jo? Provoni të kaloni nëpër numra, ndoshta diçka do të funksionojë? Le të fillojmë nga fillimi - nga e para: - nuk përshtatet, vazhdo - më pak se tre, gjithashtu fshij mënjanë, po sikur. Le të kontrollojmë: - gjithashtu jo i përshtatshëm, sepse ... kjo është më shumë se tre. Është e njëjta histori me numrat negativë. Pra, çfarë duhet të bëjmë tani? Vërtet kërkimi nuk na dha asgjë? Aspak, tani e dimë me siguri se përgjigja do të jetë një numër midis dhe, si dhe midis dhe. Gjithashtu, padyshim që zgjidhjet nuk do të jenë numra të plotë. Për më tepër, ato nuk janë racionale. Pra, çfarë është më pas? Le të bëjmë grafikun e funksionit dhe të shënojmë zgjidhjet në të.

Le të përpiqemi të mashtrojmë sistemin dhe të marrim përgjigjen duke përdorur një kalkulator! Le të nxjerrim rrënjën prej saj! Oh-oh-oh, rezulton se. Ky numër nuk mbaron kurrë. Si mund ta mbani mend këtë, pasi nuk do të ketë një kalkulator në provim!? Gjithçka është shumë e thjeshtë, nuk keni nevojë ta mbani mend, thjesht duhet të mbani mend (ose të jeni në gjendje të vlerësoni shpejt) vlerën e përafërt. dhe vetë përgjigjet. Numrat e tillë quhen irracionalë, u prezantua koncepti i rrënjës katrore për të thjeshtuar shkrimin e numrave.

Le të shohim një shembull tjetër për ta përforcuar këtë. Le të shohim problemin e mëposhtëm: ju duhet të kaloni një fushë katrore me një anë prej km diagonalisht, sa km duhet të kaloni?

Gjëja më e dukshme këtu është të shqyrtojmë trekëndëshin veçmas dhe të përdorim teoremën e Pitagorës: . Kështu,. Pra, cila është distanca e kërkuar këtu? Natyrisht, distanca nuk mund të jetë negative, ne e kuptojmë atë. Rrënja e dy është afërsisht e barabartë, por, siç kemi theksuar më herët, - tashmë është një përgjigje e plotë.

Për të zgjidhur shembuj me rrënjë pa shkaktuar probleme, duhet t'i shihni dhe t'i njihni ato. Për ta bërë këtë, duhet të dini të paktën katrorët e numrave nga deri, dhe gjithashtu të jeni në gjendje t'i njihni ato. Për shembull, duhet të dini se çfarë është e barabartë me një katror, ​​dhe gjithashtu, anasjelltas, çfarë është e barabartë me një katror.

A e kuptove se çfarë është një rrënjë katrore? Më pas zgjidhni disa shembuj.

Shembuj.

Epo, si funksionoi? Tani le të shohim këta shembuj:

Përgjigjet:

Rrënja e kubit

Epo, ne duket se e kemi zgjidhur konceptin e një rrënjë katrore, tani le të përpiqemi të kuptojmë se çfarë është një rrënjë kubike dhe cili është ndryshimi i tyre.

Rrënja kubike e një numri është numri i të cilit kubi është i barabartë me. A keni vënë re se gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu? Nuk ka kufizime për vlerat e mundshme si të vlerës nën shenjën e rrënjës së kubit, ashtu edhe në numrin që nxirret. Domethënë, rrënja e kubit mund të nxirret nga çdo numër: .

A e kuptoni se çfarë është një rrënjë kubike dhe si ta nxjerrni atë? Pastaj vazhdoni dhe zgjidhni shembujt.

Shembuj.

Përgjigjet:

Rrënja - oh shkallë

Epo, ne kemi kuptuar konceptet e rrënjëve katrore dhe kubike. Tani le të përmbledhim njohuritë e marra me konceptin Rrënja e parë.

Rrënja e parë i një numri është një numër, fuqia e të cilit është e barabartë, d.m.th.

ekuivalente.

Nëse - madje, Se:

• me negative, shprehja nuk ka kuptim (rrënjët çift të numrave negativë nuk mund të hiqet!);
• për jo negative() shprehja ka një rrënjë jo negative.

Nëse - është tek, atëherë shprehja ka një rrënjë unike për cilindo.

Mos u shqetësoni, të njëjtat parime zbatohen këtu si me rrënjët katrore dhe kubike. Kjo do të thotë, parimet që kemi zbatuar kur kemi marrë parasysh rrënjët katrore shtrihen në të gjitha rrënjët në shkallë të barabartë.

Dhe vetitë që janë përdorur për rrënjën kubike vlejnë për rrënjët e shkallës tek.

Epo, a është bërë më e qartë? Le të shohim shembuj:

Këtu gjithçka është pak a shumë e qartë: së pari ne shikojmë - po, shkalla është çift, numri nën rrënjë është pozitiv, që do të thotë se detyra jonë është të gjejmë një numër fuqia e katërt e të cilit do të na japë. Epo, ndonjë supozim? Ndoshta, ? Pikërisht!

Pra, shkalla është e barabartë - tek, numri nën rrënjë është negativ. Detyra jonë është të gjejmë një numër që, kur ngrihet në një fuqi, prodhon. Është mjaft e vështirë të vëresh menjëherë rrënjën. Megjithatë, ju mund të kufizoni menjëherë kërkimin tuaj, apo jo? Së pari, numri i kërkuar është padyshim negativ, dhe së dyti, mund të vërehet se është tek, dhe për këtë arsye numri i dëshiruar është tek. Mundohuni të gjeni rrënjën. Sigurisht, ju mund ta refuzoni me siguri. Ndoshta, ?

Po, kjo është ajo që ne po kërkonim! Vini re se për të thjeshtuar llogaritjen kemi përdorur vetitë e shkallëve: .

Karakteristikat themelore të rrënjëve

Është e qartë? Nëse jo, atëherë pasi të shikoni shembujt, gjithçka duhet të bjerë në vend.

Rrënjët e shumëzuara

Si të shumëzoni rrënjët? Vetia më e thjeshtë dhe më themelore ndihmon për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje:

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:

A nuk janë nxjerrë saktësisht rrënjët e numrave që rezultojnë? Nuk ka problem - këtu janë disa shembuj:

Po sikur të mos ketë dy, por më shumë shumëzues? E njëjta! Formula për shumëzimin e rrënjëve funksionon me çdo numër faktorësh:

Çfarë mund të bëjmë me të? Epo, sigurisht, fshihni tre nën rrënjë, duke kujtuar se tre është rrënja katrore e!

Pse na duhet kjo? Po, vetëm për të zgjeruar aftësitë tona kur zgjidhim shembuj:

Si ju pëlqen kjo veti e rrënjëve? A e bën jetën shumë më të lehtë? Për mua, kjo është saktësisht e drejtë! Thjesht duhet ta mbani mend këtë Ne mund të fusim vetëm numra pozitivë nën shenjën rrënjë të një shkalle çift.

Le të shohim se ku tjetër kjo mund të jetë e dobishme. Për shembull, problemi kërkon krahasimin e dy numrave:

Më shumë:

Nuk mund ta thuash menjëherë. Epo, le të përdorim vetinë e çmontuar të futjes së një numri nën shenjën rrënjësore? Pastaj vazhdo:

Epo, duke ditur se çfarë numër më i madh nën shenjën e rrënjës, aq më e madhe është vetë rrënja! Ato. nese atehere, . Nga kjo ne konkludojmë me vendosmëri se. Dhe askush nuk do të na bindë të kundërtën!

Para kësaj, ne futëm një shumëzues nën shenjën e rrënjës, por si ta hiqni atë? Ju vetëm duhet ta faktorizoni atë në faktorë dhe të nxirrni atë që nxirrni!

Ishte e mundur të merrej një rrugë tjetër dhe të zgjerohej në faktorë të tjerë:

Jo keq, apo jo? Secila nga këto qasje është e saktë, vendosni sipas dëshirës.

Për shembull, këtu është një shprehje:

Në këtë shembull, shkalla është çift, por çka nëse është tek? Përsëri, aplikoni vetitë e eksponentëve dhe faktorizoni gjithçka:

Gjithçka duket e qartë me këtë, por si të nxjerrim rrënjën e një numri në një fuqi? Këtu, për shembull, është kjo:

Shumë e thjeshtë, apo jo? Po sikur shkalla të jetë më e madhe se dy? Ne ndjekim të njëjtën logjikë duke përdorur vetitë e shkallëve:

Epo, a është gjithçka e qartë? Pastaj këtu është një shembull:

Këto janë kurthet, rreth tyre gjithmonë ia vlen të kujtohet. Kjo në fakt pasqyrohet në shembujt e pronës:

për tek: për madje dhe:

Është e qartë? Përforconi me shembuj:

Po, ne shohim që rrënja është në një fuqi çift, numri negativ nën rrënjë është gjithashtu në një fuqi çift. Epo, a funksionon njësoj? Ja çfarë:

Kjo eshte e gjitha! Tani këtu janë disa shembuj:

E kuptova? Pastaj vazhdoni dhe zgjidhni shembujt.

Shembuj.

Përgjigjet.

Nëse keni marrë përgjigje, atëherë mund të vazhdoni me qetësi. Nëse jo, atëherë le të kuptojmë këta shembuj:

Le të shohim dy veti të tjera të rrënjëve:

Këto veti duhet të analizohen në shembuj. Epo, le ta bëjmë këtë?

E kuptova? Le ta sigurojmë atë.

Shembuj.

Përgjigjet.

RRENJET DHE VETITE E TYRE. NIVELI MESATAR

Rrënja katrore aritmetike

Ekuacioni ka dy zgjidhje: dhe. Këta janë numra katrori i të cilëve është i barabartë me.

Merrni parasysh ekuacionin. Le ta zgjidhim grafikisht. Le të vizatojmë një grafik të funksionit dhe një vijë në nivel. Pikat e kryqëzimit të këtyre vijave do të jenë zgjidhjet. Ne shohim se ky ekuacion ka gjithashtu dy zgjidhje - një pozitive, tjetra negative:

Por në në këtë rast zgjidhjet nuk janë numra të plotë. Për më tepër, ato nuk janë racionale. Për të shkruar këto vendime irracionale, ne prezantojmë një simbol të veçantë të rrënjës katrore.

Rrënja katrore aritmetikeështë një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me. Kur shprehja nuk është e përcaktuar, sepse Nuk ka numër katrori i të cilit është i barabartë me një numër negativ.

Rrenja katrore: .

Për shembull, . Dhe rrjedh se ose.

Më lejoni të tërheq vëmendjen tuaj edhe një herë, kjo është shumë e rëndësishme: Rrënja katrore është gjithmonë një numër jo negativ: !

Rrënja e kubit i një numri është një numër kubi i të cilit është i barabartë me. Rrënja e kubit është e përcaktuar për të gjithë. Mund të nxirret nga çdo numër: . Siç mund ta shihni, mund të marrë edhe vlera negative.

Rrënja e një numri është një numër, fuqia e tij është e barabartë, d.m.th.

Nëse është e barabartë, atëherë:

• nëse, atëherë rrënja e a nuk është e përcaktuar.
• nëse, atëherë rrënja jo negative e ekuacionit quhet rrënja aritmetike e shkallës së dhe shënohet.

Nëse - është tek, atëherë ekuacioni ka një rrënjë unike për cilindo.

E keni vënë re që majtas mbi shenjën e rrënjës shkruajmë shkallën e saj? Por jo për rrënjën katrore! Nëse shihni një rrënjë pa shkallë, do të thotë se është katror (gradë).

Shembuj.

Karakteristikat themelore të rrënjëve

RRENJET DHE VETITE E TYRE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Rrënja katrore (rrënja katrore aritmetike) nga një numër jo negativ quhet ky numër jo negativ katrori i të cilit është

Karakteristikat e rrënjëve:

Ky artikull është një koleksion informacioni të detajuar që lidhet me temën e vetive të rrënjëve. Duke marrë parasysh temën, do të fillojmë me vetitë, do të studiojmë të gjitha formulimet dhe do të japim prova. Për të konsoliduar temën, do të shqyrtojmë vetitë e shkallës së n-të.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vetitë e rrënjëve

Do të flasim për pronat.

1. Prona numra të shumëzuar a Dhe b, e cila paraqitet si barazi a · b = a · b. Mund të përfaqësohet në formën e faktorëve, pozitivë ose të barabartë me zero a 1, a 2, …, a k si a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. nga herësi a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, mund të shkruhet edhe në këtë formë a b = a b;
3. Veti nga fuqia e një numri a me eksponent çift a 2 m = a m për çdo numër a, për shembull, vetia e katrorit të një numri a 2 = a.

Në cilindo nga ekuacionet e paraqitura, ju mund të ndërroni pjesët para dhe pas shenjës së vizës, për shembull, barazia a · b = a · b shndërrohet në a · b = a · b. Vetitë e barazisë përdoren shpesh për të thjeshtuar ekuacionet komplekse.

Vërtetimi i vetive të para bazohet në përcaktimin e rrënjës katrore dhe vetitë e fuqive me tregues natyror. Për të justifikuar vetinë e tretë, është e nevojshme t'i referohemi përkufizimit të modulit të një numri.

Para së gjithash, është e nevojshme të vërtetohen vetitë e rrënjës katrore a · b = a · b. Sipas përkufizimit, është e nevojshme të konsiderohet se a b është një numër, pozitiv ose i barabartë me zero, i cili do të jetë i barabartë me a b gjatë ndërtimit në një shesh. Vlera e shprehjes a · b është pozitive ose e barabartë me zero si prodhim i numrave jonegativë. Vetia e fuqive të numrave të shumëzuar na lejon të paraqesim barazinë në formën (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Sipas përkufizimit të rrënjës katrore, a 2 = a dhe b 2 = b, pastaj a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Në një mënyrë të ngjashme mund të vërtetohet se nga produkti k shumëzuesit a 1, a 2, …, a k do të jetë i barabartë me prodhimin e rrënjëve katrore të këtyre faktorëve. Në të vërtetë, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Nga kjo barazi rrjedh se a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Le të shohim disa shembuj për të përforcuar temën.

Shembulli 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 dhe 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Është e nevojshme të vërtetohet vetia e rrënjës katrore aritmetike të herësit: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Vetia na lejon të shkruajmë barazinë a: b 2 = a 2: b 2, dhe a 2: b 2 = a: b, ndërsa a: b është një numër pozitiv ose i barabartë me zero. Kjo shprehje dhe do të bëhet provë.

Për shembull, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 dhe 30.121 = 30.121.

Le të shqyrtojmë vetinë e rrënjës katrore të katrorit të një numri. Mund të shkruhet si barazi si një 2 = a Për të vërtetuar këtë pronë, është e nevojshme të merren parasysh në detaje disa barazi për a ≥ 0 dhe në a< 0 .

Natyrisht, për a ≥ 0 barazia a 2 = a është e vërtetë. Në a< 0 barazia a 2 = - a do të jetë e vërtetë. Në fakt, në këtë rast − a > 0 dhe (− a) 2 = a 2 . Mund të konkludojmë, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 2

5 2 = 5 = 5 dhe - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Vetia e provuar do të ndihmojë për të justifikuar një 2 m = a m, ku a- reale, dhe m- numri natyror. Në të vërtetë, vetia e ngritjes së një fuqie na lejon të zëvendësojmë fuqinë një 2 m shprehje (a m) 2, pastaj a 2 m = (a m) 2 = a m.

Shembulli 3

3 8 = 3 4 = 3 4 dhe (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Vetitë e rrënjës së n-të

Së pari duhet të kemi parasysh vetitë themelore rrënjët e n-të:

1. Veti nga prodhimi i numrave a Dhe b, të cilat janë pozitive ose të barabarta me zero, mund të shprehen si barazi a · b n = a n · b n , kjo veti është e vlefshme për produktin k numrat a 1, a 2, …, a k si a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. nga numër thyesor ka vetinë a b n = a n b n , ku aështë çdo numër real që është pozitiv ose i barabartë me zero, dhe b– numër real pozitiv;
3. Për çdo a madje edhe tregues n = 2 m a 2 · m 2 · m = a është e vërtetë, dhe për tek n = 2 m − 1 vlen barazia a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Veti e nxjerrjes nga a m n = a n m , ku a- çdo numër, pozitiv ose i barabartë me zero, n Dhe m – numra të plotë, kjo veti mund të paraqitet edhe në formë. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Për çdo a jo negative dhe arbitrare n Dhe m, të cilat janë të natyrshme, mund të përcaktojmë edhe barazinë e drejtë a m n · m = a n ;
6. Vetia e gradës n nga fuqia e një numri a, e cila është pozitive ose e barabartë me zero, në shkallë natyrore m, e përcaktuar nga barazia a m n = a n m ;
7. Krahasoni vetitë që kanë të njëjtët tregues: për çdo numër pozitiv a Dhe b sikurse a< b , pabarazia a n< b n ;
8. Krahasoni vetitë që kanë numrat e njëjtë nën rrënjë: nëse m Dhe n - numrat natyrorë që m > n, pastaj në 0 < a < 1 pabarazia a m > a n është e vërtetë, dhe kur a > 1 ekzekutuar një m< a n .

Barazitë e dhëna më sipër janë të vlefshme nëse pjesët para dhe pas shenjës së barazimit ndërrohen. Ato mund të përdoren edhe në këtë formë. Kjo përdoret shpesh gjatë thjeshtimit ose transformimit të shprehjeve.

Vërtetimi i vetive të mësipërme të rrënjës bazohet në përkufizimin, vetitë e shkallës dhe përcaktimin e modulit të një numri. Këto veti duhet të vërtetohen. Por gjithçka është në rregull.

1. Para së gjithash, le të vërtetojmë vetitë e rrënjës së n-të të produktit a · b n = a n · b n . Për a Dhe b , e cila janë pozitive ose e barabartë me zero , vlera a n · b n është gjithashtu pozitive ose e barabartë me zero, pasi është pasojë e shumëzimit të numrave jonegativë. Vetia e një produkti ndaj fuqisë natyrore na lejon të shkruajmë barazinë a n · b n n = a n n · b n n . Sipas përkufizimit të një rrënjë n-shkalla e -të a n n = a dhe b n n = b , pra, a n · b n n = a · b . Barazia që rezulton është pikërisht ajo që duhet vërtetuar.

Kjo veti mund të vërtetohet në mënyrë të ngjashme për produktin k faktorët: për numrat jonegativ a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Këtu janë shembuj të përdorimit të pronës rrënjë n-fuqia nga produkti: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 dhe 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Le të vërtetojmë vetinë e rrënjës së herësit a b n = a n b n . Në a ≥ 0 Dhe b > 0 kushti a n b n ≥ 0 plotësohet dhe a n b n n = a n n b n n = a b .

Le të tregojmë shembuj:

Shembulli 4

8 27 3 = 8 3 27 3 dhe 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Për hapin tjetër është e nevojshme të vërtetohen vetitë e shkallës së n-të nga numri në shkallë n. Le ta imagjinojmë këtë si barazi a 2 m 2 m = a dhe a 2 m - 1 2 m - 1 = a për çdo real a dhe natyrale m. Në a ≥ 0 marrim a = a dhe a 2 m = a 2 m, që vërteton barazinë a 2 m 2 m = a, dhe barazia a 2 m - 1 2 m - 1 = a është e dukshme. Në a< 0 marrim, përkatësisht, a = - a dhe a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Transformimi i fundit i një numri është i vlefshëm sipas vetive të fuqisë. Kjo është pikërisht ajo që vërteton barazinë a 2 m 2 m = a, dhe një 2 m - 1 2 m - 1 = a do të jetë e vërtetë, pasi shkalla tek konsiderohet - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 për çdo numër c , pozitive ose e barabartë me zero.

Për të konsoliduar informacionin e marrë, le të shqyrtojmë disa shembuj duke përdorur pronën:

Shembulli 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 dhe (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Le të vërtetojmë barazinë e mëposhtme a m n = a n m . Për ta bërë këtë, ju duhet të ndërroni numrat para dhe pas shenjës së barazimit a n · m = a m n . Kjo do të thotë se hyrja është e saktë. Për a, e cila është pozitive ose e barabartë me zero , i formës a m n është një numër pozitiv ose e barabartë me zero. Le të kthehemi te vetia e ngritjes së një pushteti në një pushtet dhe përkufizimi i tij. Me ndihmën e tyre, ju mund të transformoni barazitë në formën a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Kjo vërteton vetinë e rrënjës së rrënjës në shqyrtim.

Pronat e tjera vërtetohen në mënyrë të ngjashme. Vërtet,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Për shembull, 7 3 5 = 7 5 3 dhe 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Le të provojmë pronë e radhës a m n · m = a n . Për ta bërë këtë, është e nevojshme të tregohet se një n është një numër, pozitiv ose i barabartë me zero. Kur ngrihet në fuqinë n m është e barabartë me jam. Nëse numri aështë pozitive ose e barabartë me zero, atëherë n shkalla th nga mesi aështë një numër pozitiv ose i barabartë me zero Në këtë rast, a n · m n = a n n m , që është ajo që duhej vërtetuar.

Për të konsoliduar njohuritë e marra, le të shohim disa shembuj.

1. Le të vërtetojmë vetinë e mëposhtme – vetinë e rrënjës së një fuqie të formës a m n = a n m . Është e qartë se kur a ≥ 0 shkalla a n m është një numër jo negativ. Për më tepër, ajo n fuqia e th është e barabartë me jam, në të vërtetë, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Kjo vërteton vetinë e diplomës në shqyrtim.

Për shembull, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Është e nevojshme të vërtetohet se për çdo numër pozitiv a dhe b kushti është i plotësuar a< b . Konsideroni pabarazinë a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Prandaj, një n< b n при a< b .

Për shembull, le të japim 12 4< 15 2 3 4 .

1. Merrni parasysh pronën e rrënjës n-shkalla e saj. Është e nevojshme që së pari të merret parasysh pjesa e parë e pabarazisë. Në m > n Dhe 0 < a < 1 e vërtetë a m > a n . Le të supozojmë se a m ≤ a n. Vetitë do t'ju lejojnë të thjeshtoni shprehjen në një n m · n ≤ a m m · n. Pastaj, sipas vetive të një shkalle me një eksponent natyror, vlen pabarazia a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, d.m.th. a n ≤ a m. Vlera e fituar në m > n Dhe 0 < a < 1 nuk korrespondon me vetitë e dhëna më sipër.

Në të njëjtën mënyrë mund të vërtetohet se kur m > n Dhe a > 1 kushti a m është i vërtetë< a n .

Për të konsoliduar pronat e mësipërme, le të shqyrtojmë disa shembuj specifikë. Le të shohim pabarazitë duke përdorur numra specifikë.

Shembulli 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Urime: sot do të shikojmë rrënjët - një nga temat më befasuese në klasën e 8-të.

Shumë njerëz ngatërrohen për rrënjët, jo sepse ato janë komplekse (çka është kaq e ndërlikuar në të - disa përkufizime dhe disa veçori të tjera), por sepse në shumicën e teksteve shkollore rrënjët përcaktohen përmes një xhungleje të tillë që vetëm autorët e teksteve vetë mund ta kuptojnë këtë shkrim. Dhe edhe atëherë vetëm me një shishe uiski të mirë.

Prandaj, tani do të jap përkufizimin më të saktë dhe më kompetent të rrënjës - i vetmi që duhet të mbani mend vërtet. Dhe pastaj do të shpjegoj: pse është e nevojshme e gjithë kjo dhe si ta zbatojmë atë në praktikë.

Por së pari mbani mend një pikë e rëndësishme, për të cilin shumë përpilues të teksteve shkollore për ndonjë arsye "harrojnë":

Rrënjët mund të jenë të shkallës çift ($\sqrt(a)$ tona të preferuara, si dhe të gjitha llojet e $\sqrt(a)$ dhe çift $\sqrt(a)$) dhe të shkallës tek (të gjitha llojet e $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, etj.). Dhe përkufizimi i rrënjës së një shkalle tek është disi i ndryshëm nga një çift.

Ndoshta 95% e të gjitha gabimeve dhe keqkuptimeve që lidhen me rrënjët janë të fshehura në këtë ndyrë "disi ndryshe". Pra, le të sqarojmë terminologjinë njëherë e përgjithmonë:

Përkufizimi. Edhe rrënjë n nga numri $a$ është cilido jo negative numri $b$ është i tillë që $((b)^(n))=a$. Dhe rrënja tek e të njëjtit numër $a$ është përgjithësisht çdo numër $b$ për të cilin vlen e njëjta barazi: $((b)^(n))=a$.

Në çdo rast, rrënja shënohet kështu:

\(a)\]

Numri $n$ në një shënim të tillë quhet eksponent rrënjë, dhe numri $a$ quhet shprehje radikale. Në veçanti, për $n=2$ marrim rrënjën tonë katrore "të preferuar" (meqë ra fjala, kjo është një rrënjë e shkallës çift), dhe për $n=3$ marrim një rrënjë kubike (shkallë tek), e cila është gjithashtu gjenden shpesh në probleme dhe ekuacione.

Shembuj. Shembuj klasikë rrënjë katrore:

\[\fillim(lidh) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fund (radhis)\]

Meqë ra fjala, $\sqrt(0)=0$ dhe $\sqrt(1)=1$. Kjo është mjaft logjike, pasi $((0)^(2))=0$ dhe $((1)^(2))=1$.

Rrënjët kubike janë gjithashtu të zakonshme - nuk ka nevojë të kesh frikë prej tyre:

\[\fillim(lidh) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fund (radhis)\]

Epo, disa "shembuj ekzotikë":

\[\fillim(lidh) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fund (radhis)\]

Nëse nuk e kuptoni se cili është ndryshimi midis shkallës çift dhe tek, rilexoni përsëri përkufizimin. Eshte shume e rendesishme!

Ndërkohë, do të shqyrtojmë një veçori të pakëndshme të rrënjëve, për shkak të së cilës na duhej të prezantonim një përkufizim të veçantë për eksponentët çift dhe tek.

Pse duhen rrënjët fare?

Pas leximit të përkufizimit, shumë studentë do të pyesin: "Çfarë pinin duhan matematikanët kur dolën me këtë?" Dhe me të vërtetë: pse nevojiten fare të gjitha këto rrënjë?

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të kthehemi për një moment në klasat fillore. Mbani mend: në ato kohë të largëta, kur pemët ishin më të gjelbra dhe petat më të shijshme, shqetësimi ynë kryesor ishte të shumëzonim saktë numrat. Epo, diçka si "pesë me pesë - njëzet e pesë", kjo është e gjitha. Por ju mund të shumëzoni numrat jo në çifte, por në treshe, katërfisha dhe përgjithësisht grupe të plota:

\[\fillim(radhis) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \fund(rreshtoj)\]

Megjithatë, ky nuk është thelbi. Truku është i ndryshëm: matematikanët janë njerëz dembelë, kështu që ata e kishin të vështirë të shkruanin shumëzimin e dhjetë pesësheve si kjo:

Prandaj dolën me diploma. Pse jo në vend të kësaj rresht i gjatë Pse të mos shkruani numrin e faktorëve si një mbishkrim? Diçka si kjo:

Është shumë i përshtatshëm! Të gjitha llogaritjet janë reduktuar ndjeshëm dhe nuk duhet të humbisni një tufë fletësh pergamenë dhe fletore për të shkruar rreth 5183. Ky rekord u quajt fuqia e një numri në të u gjetën një mori pronash, por lumturia doli të jetë jetëshkurtër.

Pas një festë madhështore të pijes, e cila u organizua vetëm për "zbulimin" e diplomave, një matematikan veçanërisht kokëfortë pyeti befas: "Po sikur të dimë shkallën e një numri, por vetë numri është i panjohur?" Tani, në të vërtetë, nëse e dimë se një numër i caktuar $b$, le të themi, fuqia e 5-të jep 243, atëherë si mund të hamendësojmë se me çfarë është i barabartë vetë numri $b$?

Ky problem doli të ishte shumë më global sesa mund të duket në shikim të parë. Sepse doli që për shumicën e fuqive "të gatshme" nuk ka numra të tillë "fillestarë". Gjykojeni vetë:

\[\fillo(rreshtoj) & ((b)^(3))=27\Djathtas b=3\cdot 3\cdot 3\Djathtas shigjeta b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Djathtas b=4\cdot 4\cdot 4\Djathtas shigjeta b=4. \\ \fund (radhis)\]

Po sikur $((b)^(3))=50$? Rezulton se duhet të gjejmë një numër të caktuar që, kur shumëzohet me veten tre herë, do të na japë 50. Por cili është ky numër? Është qartësisht më e madhe se 3, pasi 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Kjo është ky numër qëndron diku midis tre dhe katër, por ju nuk do të kuptoni se me çfarë është e barabartë.

Kjo është pikërisht arsyeja pse matematikanët dolën me $n$th rrënjë. Kjo është pikërisht arsyeja pse u prezantua simboli radikal $\sqrt(*)$. Për të caktuar vetë numrin $b$, i cili në shkallën e treguar do të na japë një vlerë të njohur më parë

\[\sqrt[n](a)=b\Djathtas ((b)^(n))=a\]

Unë nuk debatoj: shpesh këto rrënjë llogariten lehtësisht - ne pamë disa shembuj të tillë më lart. Por megjithatë, në shumicën e rasteve, nëse dëshironi numër arbitrar, dhe më pas përpiquni të nxirrni rrënjën e një shkalle arbitrare prej saj, do të përballeni me një problem të tmerrshëm.

Cfare ishte atje! Edhe $\sqrt(2)$ më e thjeshtë dhe më e njohur nuk mund të përfaqësohet në formën tonë të zakonshme - si një numër i plotë ose një thyesë. Dhe nëse futni këtë numër në një kalkulator, do të shihni këtë:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Siç mund ta shihni, pas pikës dhjetore ka një sekuencë të pafund numrash që nuk i binden asnjë logjike. Sigurisht, mund ta rrumbullakosni këtë numër për ta krahasuar shpejt me numrat e tjerë. Për shembull:

\[\sqrt(2)=1,4142...\afërsisht 1,4 \lt 1,5\]

Ose këtu është një shembull tjetër:

\[\sqrt(3)=1,73205...\afërsisht 1,7 \gt 1,5\]

Por të gjitha këto rrumbullakime, së pari, janë mjaft të përafërta; dhe së dyti, gjithashtu duhet të jeni në gjendje të punoni me vlera të përafërta, përndryshe mund të kapni një mori gabimesh jo të dukshme (nga rruga, aftësia e krahasimit dhe rrumbullakimit kërkohet të testohet në profilin e Provimit të Unifikuar të Shtetit).

Prandaj, në matematikë serioze nuk mund të bësh pa rrënjë - ata janë të njëjtët përfaqësues të barabartë të grupit të të gjithë numrave realë $\mathbb(R)$, ashtu si thyesat dhe numrat e plotë që kanë qenë prej kohësh të njohur për ne.

Pamundësia për të paraqitur një rrënjë si një pjesë e formës $\frac(p)(q)$ do të thotë që rrënjë e dhënë nuk eshte numër racional. Numra të tillë quhen irracionalë dhe nuk mund të përfaqësohen me saktësi përveçse me ndihmën e një radikali ose konstruksioneve të tjera të krijuara posaçërisht për këtë (logarithme, fuqi, kufij, etj.). Por më shumë për këtë herë tjetër.

Le të shqyrtojmë disa shembuj ku, pas të gjitha llogaritjeve, numrat irracionalë do të mbeten ende në përgjigje.

\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\afërsisht 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\afërsisht -1,2599... \\ \fund (radhis)\]

Natyrisht, sipas pamjen rrënjë është pothuajse e pamundur të merret me mend se cilët numra do të vijnë pas presjes dhjetore. Sidoqoftë, mund të mbështeteni në një kalkulator, por edhe llogaritësi më i avancuar i datave na jep vetëm shifrat e para numër irracional. Prandaj, është shumë më e saktë të shkruani përgjigjet në formën $\sqrt(5)$ dhe $\sqrt(-2)$.

Pikërisht për këtë janë shpikur. Për të regjistruar me lehtësi përgjigjet.

Pse duhen dy përkufizime?

Lexuesi i vëmendshëm ndoshta e ka vënë re tashmë se të gjitha rrënjët katrore të dhëna në shembuj janë marrë nga numra pozitivë. Epo brenda si mjet i fundit nga e para. Por rrënjët e kubit mund të nxirren me qetësi nga absolutisht çdo numër - qoftë pozitiv apo negativ.

Pse po ndodh kjo? Hidhini një sy grafikut të funksionit $y=((x)^(2))$:

Orari funksion kuadratik jep dy rrënjë: pozitive dhe negative

Le të përpiqemi të llogarisim $\sqrt(4)$ duke përdorur këtë grafik. Për ta bërë këtë, në grafik vizatohet një vijë horizontale $y=4$ (e shënuar me të kuqe), e cila kryqëzohet me parabolën në dy pika: $((x)_(1))=2$ dhe $((x )_(2)) =-2$. Kjo është mjaft logjike, pasi

Gjithçka është e qartë me numrin e parë - është pozitiv, pra është rrënja:

Por çfarë të bëjmë atëherë me pikën e dytë? A thua, katër ka dy rrënjë njëherësh? Në fund të fundit, nëse e vendosim në katror numrin −2, do të marrim edhe 4. Pse të mos shkruani atëherë $\sqrt(4)=-2$? Dhe pse mësuesit shikojnë postime të tilla sikur duan të të hanë?

Problemi është se nëse nuk vendosni ndonjë kusht shtesë, atëherë kuadrati do të ketë dy rrënjë katrore - pozitive dhe negative. Dhe çdo numër pozitiv do të ketë gjithashtu dy prej tyre. Por numrat negativë nuk do të kenë rrënjë fare - kjo mund të shihet nga i njëjti grafik, pasi parabola nuk bie kurrë nën boshtin y, d.m.th. nuk pranon vlera negative.

Një problem i ngjashëm ndodh për të gjitha rrënjët me një eksponent çift:

1. Në mënyrë të rreptë, çdo numër pozitiv do të ketë dy rrënjë me eksponent çift $n$;
2. Nga numrat negativ, rrënja me madje $n$ nuk nxirret fare.

Kjo është arsyeja pse në përkufizimin e një rrënjë të një shkalle çift $n$ është përcaktuar në mënyrë specifike që përgjigja duhet të jetë një numër jo negativ. Kështu shpëtojmë nga paqartësia.

Por për $n$ tek nuk ka një problem të tillë. Për ta parë këtë, le të shohim grafikun e funksionit $y=((x)^(3))$:

Një parabolë kubike mund të marrë çdo vlerë, kështu që rrënja e kubit mund të merret nga çdo numër

Nga ky grafik mund të nxirren dy përfundime:

1. Degët e një parabole kubike, ndryshe nga ajo e rregullt, shkojnë në pafundësi në të dy drejtimet - lart dhe poshtë. Prandaj, pavarësisht nga lartësia që vizatojmë një vijë horizontale, kjo vijë sigurisht që do të kryqëzohet me grafikun tonë. Rrjedhimisht, rrënja e kubit mund të merret gjithmonë nga absolutisht çdo numër;
2. Për më tepër, një kryqëzim i tillë do të jetë gjithmonë unik, kështu që nuk keni nevojë të mendoni se cili numër konsiderohet rrënja "e saktë" dhe cili të injoroni. Kjo është arsyeja pse përcaktimi i rrënjëve për një shkallë tek është më i thjeshtë se për një shkallë çift (nuk ka kërkesë për jonegativitet).

Është për të ardhur keq që këto gjëra të thjeshta nuk shpjegohen në shumicën e teksteve shkollore. Në vend të kësaj, truri ynë fillon të fluturojë me të gjitha llojet e rrënjëve aritmetike dhe vetitë e tyre.

Po, unë nuk debatoj: ju gjithashtu duhet të dini se çfarë është një rrënjë aritmetike. Dhe unë do të flas për këtë në detaje në një mësim të veçantë. Sot do të flasim gjithashtu për të, sepse pa të të gjitha mendimet për rrënjët e shumëfishimit $n$-th do të ishin të paplota.

Por së pari ju duhet të kuptoni qartë përkufizimin që dhashë më lart. Përndryshe, për shkak të bollëkut të termave, në kokën tuaj do të fillojë një rrëmujë e tillë që në fund nuk do të kuptoni asgjë fare.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është të kuptoni ndryshimin midis treguesve çift dhe tek. Prandaj, le të mbledhim edhe një herë gjithçka që vërtet duhet të dini për rrënjët:

1. Një rrënjë e një shkalle çift ekziston vetëm nga një numër jonegativ dhe në vetvete është gjithmonë një numër jo negativ. Për numrat negativ, një rrënjë e tillë është e papërcaktuar.
2. Por rrënja e një shkalle tek ekziston nga çdo numër dhe në vetvete mund të jetë çdo numër: për numrat pozitivë është pozitiv, dhe për numrat negativ, siç lë të kuptohet kapaku, është negativ.

Është e vështirë? Jo, nuk është e vështirë. Është e qartë? Po, është plotësisht e qartë! Kështu që tani do të praktikojmë pak me llogaritjet.

Karakteristikat dhe kufizimet themelore

Ka shumë rrënjë veti të çuditshme dhe kufizimet - do të ketë një mësim të veçantë për këtë. Prandaj, tani do të shqyrtojmë vetëm "mashtrimin" më të rëndësishëm, i cili vlen vetëm për rrënjët me një indeks të barabartë. Le ta shkruajmë këtë veti si formulë:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\majtas| x\djathtas|\]

Me fjalë të tjera, nëse ngrini një numër në madje shkallë, dhe pastaj nxjerrim rrënjën e së njëjtës shkallë nga kjo, nuk marrim numrin origjinal, por modulin e tij. Kjo teoremë e thjeshtë, e cila është e lehtë për t'u vërtetuar (mjafton që veçmas të konsiderohen $x$ jo-negative, dhe më pas të konsiderohen veçmas ato negative). Mësuesit flasin vazhdimisht për të, mësohet në çdo tekst shkollor. Por sapo vjen deri te një vendim ekuacionet irracionale(d.m.th. ekuacionet që përmbajnë një shenjë radikale), studentët e harrojnë njëzëri këtë formulë.

Për të kuptuar çështjen në detaje, le të harrojmë të gjitha formulat për një minutë dhe të përpiqemi të llogarisim dy numra menjëherë:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \djathtas))^(4))=?\]

Kjo është shumë shembuj të thjeshtë. Shumica e njerëzve do të zgjidhin shembullin e parë, por shumë njerëz ngecin në të dytin. Për të zgjidhur çdo gjë të tillë pa probleme, gjithmonë merrni parasysh procedurën:

1. Së pari, numri rritet në fuqinë e katërt. Epo, është disi e lehtë. Do të merrni një numër të ri që mund të gjendet edhe në tabelën e shumëzimit;
2. Dhe tani nga ky numër i ri është e nevojshme të nxirret rrënja e katërt. Ato. nuk ndodh asnjë "zvogëlim" i rrënjëve dhe fuqive - këto janë veprime të njëpasnjëshme.

Le të shohim shprehjen e parë: $\sqrt(((3)^(4)))$. Natyrisht, së pari duhet të llogaritni shprehjen nën rrënjë:

\[((3)^(4))=3\cpika 3\cpika 3\cpika 3=81\]

Pastaj nxjerrim rrënjën e katërt të numrit 81:

Tani le të bëjmë të njëjtën gjë me shprehjen e dytë. Së pari, ne e ngremë numrin -3 në fuqinë e katërt, e cila kërkon shumëzimin e tij me vetveten 4 herë:

\[((\left(-3 \djathtas))^(4))=\majtas(-3 \djathtas)\cdot \left(-3 \djathtas)\cdot \left(-3 \djathtas)\cdot \ majtas(-3 \djathtas)=81\]

Ne morëm një numër pozitiv sepse total Ka 4 minuse në punë, dhe të gjithë do të anulojnë njëri-tjetrin (në fund të fundit, një minus për një minus jep një plus). Pastaj e nxjerrim përsëri rrënjën:

Në parim, kjo rresht nuk mund të ishte shkruar, pasi është e pamend që përgjigja do të ishte e njëjtë. Ato. një rrënjë e barabartë e së njëjtës fuqi uniforme "djeg" minuset, dhe në këtë kuptim rezultati nuk dallohet nga një modul i rregullt:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(((3)^(4)))=\majtas| 3 \djathtas|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \djathtas))^(4)))=\majtas| -3 \djathtas|=3. \\ \fund (radhis)\]

Këto llogaritje janë në përputhje të mirë me përcaktimin e një rrënja të një shkalle çift: rezultati është gjithmonë jo negativ dhe shenja radikale gjithashtu përmban gjithmonë një numër jo negativ. NË ndryshe rrënja nuk është e përcaktuar.

Shënim për procedurën

1. Shënimi $\sqrt(((a)^(2)))$ do të thotë që fillimisht ne katrore numrin $a$ dhe më pas marrim rrënjën katrore të vlerës që rezulton. Prandaj, mund të jemi të sigurt se ka gjithmonë një numër jo negativ nën shenjën e rrënjës, pasi $((a)^(2))\ge 0$ në çdo rast;
2. Por shënimi $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, përkundrazi, do të thotë që ne fillimisht marrim rrënjën e një numri të caktuar $a$ dhe vetëm pastaj rezultatin në katror. Prandaj, numri $a$ në asnjë rast nuk mund të jetë negativ - kjo është një kërkesë e detyrueshme e përfshirë në përkufizim.

Kështu, në asnjë rast nuk duhet të zvogëlohen pa menduar rrënjët dhe shkallët, duke gjoja "thjeshtuar" shprehjen origjinale. Sepse nëse rrënja ka një numër negativ dhe eksponenti i saj është çift, marrim një mori problemesh.

Sidoqoftë, të gjitha këto probleme janë të rëndësishme vetëm për treguesit madje.

Heqja e shenjës minus nën shenjën e rrënjës

Natyrisht, edhe rrënjët me eksponentë tek kanë veçorinë e tyre, e cila në parim nuk ekziston me çiftin. Gjegjësisht:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Me pak fjalë, mund të hiqni minusin nga nën shenjën e rrënjëve të shkallës tek. Kjo është shumë veti e dobishme, e cila ju lejon të "hedhni" të gjitha negativet:

\[\fillim(radhis) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \djathtas)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \fund (radhis)\]

Kjo veçori e thjeshtë thjeshton shumë llogaritjet. Tani nuk keni nevojë të shqetësoheni: papritmas fshihet nën rrënjë shprehje negative, por shkalla e rrënjës doli të jetë e barabartë? Mjafton vetëm të "hedhni" të gjitha minuset jashtë rrënjëve, pas së cilës ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën, të ndahen dhe në përgjithësi të bëjnë shumë gjëra të dyshimta, të cilat në rastin e rrënjëve "klasike" garantohen të na çojnë në një gabim.

Dhe këtu del në skenë një përkufizim tjetër - i njëjti me të cilin shumica e shkollave fillojnë të studiojnë shprehjet irracionale. Dhe pa të cilën arsyetimi ynë do të ishte i paplotë. Takohuni!

Rrënja aritmetike

Le të supozojmë për një moment se nën shenjën e rrënjës mund të ketë vetëm numra pozitivë ose, në raste ekstreme, zero. Le të harrojmë për treguesit çift/tek, harrojmë të gjitha përkufizimet e dhëna më sipër - do të punojmë vetëm me numra jo negativë. Po pastaj?

Dhe pastaj do të marrim një rrënjë aritmetike - ajo mbivendos pjesërisht me përkufizimet tona "standarde", por ende ndryshon prej tyre.

Përkufizimi. Një rrënjë aritmetike e shkallës $n$të të një numri jonegativ $a$ është një numër jonegativ $b$ i tillë që $((b)^(n))=a$.

Siç mund ta shohim, ne nuk jemi më të interesuar për barazi. Në vend të kësaj, u shfaq një kufizim i ri: shprehja radikale tani është gjithmonë jo-negative, dhe vetë rrënja është gjithashtu jo-negative.

Për të kuptuar më mirë se si ndryshon rrënja aritmetike nga ajo e zakonshme, hidhini një sy grafikëve të parabolës katrore dhe kubike me të cilët jemi njohur tashmë:

Zona e kërkimit aritmetik të rrënjës - numra jo negativë

Siç mund ta shihni, tani e tutje ne jemi të interesuar vetëm për ato pjesë të grafikëve që ndodhen në të parën tremujori koordinativ— ku koordinatat $x$ dhe $y$ janë pozitive (ose të paktën zero). Nuk keni më nevojë të shikoni treguesin për të kuptuar nëse kemi të drejtë të vendosim një numër negativ nën rrënjë apo jo. Sepse numrat negativë nuk konsiderohen më në parim.

Ju mund të pyesni: "Epo, pse na duhet një përkufizim kaq i sterilizuar?" Ose: "Pse nuk mund t'ia dalim me përkufizimin standard të dhënë më lart?"

Epo, unë do të jap vetëm një pronë për shkak të së cilës përkufizimi i ri bëhet i përshtatshëm. Për shembull, rregulli për fuqizimin:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Ju lutemi vini re: ne mund ta ngremë shprehjen radikale në çdo fuqi dhe në të njëjtën kohë të shumëzojmë eksponentin e rrënjës me të njëjtën fuqi - dhe rezultati do të jetë i njëjti numër! Këtu janë shembuj:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \fund (rreshtoj)\]

Pra, çfarë është puna e madhe? Pse nuk mund ta bënim këtë më herët? Ja pse. Le të shqyrtojmë një shprehje të thjeshtë: $\sqrt(-2)$ - ky numër është mjaft normal në kuptimin tonë klasik, por absolutisht i papranueshëm nga pikëpamja e rrënjës aritmetike. Le të përpiqemi ta konvertojmë atë:

$\begin(lidh) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\majtas(-2 \djathtas))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \fund (rreshtoj)$

Siç mund ta shihni, në rastin e parë ne hoqëm minusin nga poshtë radikalit (kemi çdo të drejtë, sepse treguesi është i çuditshëm), dhe në të dytën kemi përdorur formulën e mësipërme. Ato. Nga pikëpamja matematikore, gjithçka bëhet sipas rregullave.

WTF?! Si mund të jetë i njëjti numër pozitiv dhe negativ? Në asnjë mënyrë. Thjesht formula për fuqizimin, e cila funksionon mirë për numrat pozitivë dhe zero, fillon të prodhojë herezi të plotë në rastin e numrave negativë.

Ata dolën me qëllim për të hequr qafe një paqartësi të tillë rrënjët aritmetike. Një mësim i veçantë i madh u kushtohet atyre, ku ne i konsiderojmë të gjitha pronat e tyre në detaje. Kështu që ne nuk do të ndalemi në to tani - mësimi tashmë ka rezultuar të jetë shumë i gjatë.

Rrënja algjebrike: për ata që duan të dinë më shumë

Kam menduar gjatë nëse këtë temë ta vendos në një paragraf të veçantë apo jo. Në fund vendosa ta lë këtu. Ky materialështë menduar për ata që duan të kuptojnë rrënjët edhe më mirë - jo më në nivelin mesatar të "shkollës", por në atë afër nivelit të Olimpiadës.

Pra: përveç përkufizimit "klasik" të rrënjës $n$th të një numri dhe ndarjes së lidhur në eksponentë çift dhe tek, ekziston një përkufizim më "i rritur" që nuk varet aspak nga barazia dhe hollësitë e tjera. Kjo quhet rrënjë algjebrike.

Përkufizimi. Rrënja algjebrike $n$th e çdo $a$ është bashkësia e të gjithë numrave $b$ të tillë që $((b)^(n))=a$. Nuk ka asnjë përcaktim të përcaktuar për rrënjë të tilla, kështu që ne thjesht do të vendosim një vizë sipër:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\majtas\( b\majtas| b\in \mathbb(R);((b)^(n)=a \djathtas. \djathtas\) \]

Dallimi themelor nga përkufizim standard dhënë në fillim të mësimit është se një rrënjë algjebrike nuk është një numër specifik, por një grup. Dhe meqenëse ne punojmë me numra realë, ky grup është vetëm tre llojesh:

1. Komplet bosh. Ndodh kur ju duhet të gjeni një rrënjë algjebrike të një shkalle çift nga një numër negativ;
2. Një grup i përbërë nga një element i vetëm. Të gjitha rrënjët shkallë tek, si dhe rrënjët e fuqive çift nga zero hyjnë në këtë kategori;
3. Së fundi, grupi mund të përfshijë dy numra - të njëjtët $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))=-((x)_(1))$ që pamë në grafik funksion kuadratik. Prandaj, një rregullim i tillë është i mundur vetëm kur nxjerrni rrënjën e një shkalle çift nga një numër pozitiv.

Rasti i fundit meriton shqyrtim më të detajuar. Le të numërojmë disa shembuj për të kuptuar ndryshimin.

Shembull. Vlerësoni shprehjet:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Zgjidhje. Shprehja e parë është e thjeshtë:

\[\overline(\sqrt(4))=\majtas\( 2;-2 \djathtas\)\]

Janë dy numra që janë pjesë e grupit. Sepse secila prej tyre në katror jep një katër.

\[\overline(\sqrt(-27))=\majtas\( -3 \djathtas\)\]

Këtu shohim një grup të përbërë nga vetëm një numër. Kjo është mjaft logjike, pasi eksponenti i rrënjës është i çuditshëm.

Në fund, shprehja e fundit:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Mora grup bosh. Sepse nuk ka asnjë numër të vetëm real që, kur të ngrihet në fuqinë e katërt (d.m.th., çift!), të na japë numrin negativ -16.

Shënim përfundimtar. Ju lutemi vini re: jo rastësisht vura re kudo se ne punojmë me numra realë. Sepse ka më shumë numra komplekse— është mjaft e mundur të llogaritet $\sqrt(-16)$ dhe shumë gjëra të tjera të çuditshme atje.

Megjithatë, në moderne kursi shkollor Në matematikë, numrat kompleksë pothuajse nuk hasen kurrë. Ato janë hequr nga shumica e teksteve shkollore sepse zyrtarët tanë e konsiderojnë temën "shumë të vështirë për t'u kuptuar".

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike