Cili është emëruesi më i ulët i përbashkët. Emëruesi i përbashkët, përkufizimi, shembuj

Kjo metodë ka kuptim nëse shkalla e polinomit nuk është më e ulët se dy. Në këtë rast, faktori i përbashkët mund të jetë jo vetëm një binom i shkallës së parë, por edhe i shkallëve më të larta.

Për të gjetur një të përbashkët faktor termat e polinomit, është e nevojshme të kryhen një sërë transformimesh. Binomi ose monomi më i thjeshtë që mund të hiqet nga kllapat do të jetë një nga rrënjët e polinomit. Natyrisht, në rastin kur polinomi nuk ka anëtar i lirë, do të ketë një të panjohur në shkallën e parë - një polinom i barabartë me 0.

Më e vështirë për të gjetur një faktor të përbashkët është rasti kur termi i lirë nuk është e barabartë me zero. Pastaj zbatohen metodat e përzgjedhjes ose grupimit të thjeshtë. Për shembull, le të jenë racionale të gjitha rrënjët e polinomit, dhe të gjithë koeficientët e polinomit janë numra të plotë: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Shkruani të gjithë pjesëtuesit e plotë të termit të lirë. Nëse një polinom ka rrënjë racionale, atëherë ato janë ndër to. Si rezultat i përzgjedhjes, përftohen rrënjët 2 dhe -3. Kjo do të thotë se faktorët e përbashkët të këtij polinomi do të jenë binomet (y - 2) dhe (y + 3).

Metoda e zakonshme e faktorizimit është një nga komponentët e faktorizimit. Metoda e përshkruar më sipër është e zbatueshme nëse koeficienti i shkallës më të lartë është 1. Nëse nuk është kështu, atëherë fillimisht duhet të kryhen një sërë transformimesh. Për shembull: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.

Bëni një zëvendësim të formës t = 2³·y³. Për ta bërë këtë, shumëzojini të gjithë koeficientët e polinomit me 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Pas zëvendësimit: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Tani, në gjeni faktorin e përbashkët, ne aplikojmë metodën e mësipërme.

Përveç kësaj, metodë efektive Gjetja e një faktori të përbashkët janë elementet e një polinomi. Është veçanërisht e dobishme kur metoda e parë nuk e bën këtë, d.m.th. polinomi nuk ka rrënjët racionale. Megjithatë, grupimet nuk janë gjithmonë të dukshme. Për shembull: Polinomi y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nuk ka rrënjë të plota.

Përdorni grupimin: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1 Faktori i përbashkët i elementeve të këtij polinomi është (y² - 2).

Shumëzimi dhe pjesëtimi, ashtu si mbledhja dhe zbritja, janë themelore veprimet aritmetike. Pa mësuar të zgjidhë shembuj të shumëzimit dhe pjesëtimit, një person do të hasë shumë vështirësi jo vetëm kur studion seksione më komplekse të matematikës, por edhe në punët më të zakonshme të përditshme. Shumëzimi dhe pjesëtimi janë të lidhura ngushtë, dhe komponentët e panjohur të shembujve dhe problemeve që përfshijnë njërin prej këtyre operacioneve llogariten duke përdorur operacionin tjetër. Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të kuptohet qartë se kur zgjidhni shembuj, nuk ka absolutisht asnjë ndryshim se cilat objekte ndani ose shumëzoni.

Do t'ju duhet

- tabela e shumëzimit;
- makinë llogaritëse ose fletë letre dhe laps.

Udhëzimet

Shkruani shembullin që ju nevojitet. Etiketoni të panjohurën faktor si një X. Një shembull mund të duket kështu: a*x=b. Në vend të faktorit a dhe produktit b në shembull, mund të ketë ndonjë ose numra. Mos harroni parimin bazë të shumëzimit: ndryshimi i vendeve të faktorëve nuk e ndryshon produktin. Kaq e panjohur faktor x mund të vendoset absolutisht kudo.

Për të gjetur të panjohurën faktor në një shembull ku ka vetëm dy faktorë, ju vetëm duhet të ndani produktin me të njohurit faktor. Kjo është, kjo është bërë në mënyrën e mëposhtme: x=b/a. Nëse e keni të vështirë të operoni me sasi abstrakte, përpiquni ta imagjinoni këtë problem në formën e objekteve konkrete. Ju, keni vetëm mollë dhe sa prej tyre do të hani, por nuk e dini sa mollë do të marrin të gjithë. Për shembull, ju keni 5 anëtarë të familjes dhe ka 15 mollë. Përcaktoni numrin e mollëve të destinuara për secilën si x. Atëherë ekuacioni do të duket kështu: 5(mollë)*x=15(mollë). E panjohur faktor gjendet njëlloj si në ekuacionin me shkronjat, pra ndani 15 mollë në pesë anëtarë të familjes, në fund rezulton se secili prej tyre ka ngrënë nga 3 mollë.

Në të njëjtën mënyrë gjendet e panjohura faktor me numrin e faktorëve. Për shembull, shembulli duket si a*b*c*x*=d. Në teori, gjeni me faktorështë e mundur në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mëvonshëm: x=d/a*b*c. Por ekuacioni mund të reduktohet në një më shumë pamje e thjeshtë, duke treguar produktin e faktorëve të njohur me një shkronjë tjetër - për shembull, m. Gjeni sa është m duke e shumëzuar numrat a,b dhe c: m=a*b*c. Atëherë i gjithë shembulli mund të paraqitet si m*x=d, dhe sasia e panjohur do të jetë e barabartë me x=d/m.

Nëse dihet faktor dhe prodhimi janë thyesa, shembulli zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si me . Por në këtë rast duhet të mbani mend veprimet. Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesit dhe emëruesit e tyre shumëzohen. Gjatë pjesëtimit të thyesave, numëruesi i dividentit shumëzohet me emëruesin e pjesëtuesit, dhe emëruesi i dividentit shumëzohet me numëruesin e pjesëtuesit. Kjo do të thotë, në këtë rast shembulli do të duket kështu: a/b*x=c/d. Për të gjetur një sasi të panjohur, duhet ta ndani produktin me të njohurin faktor. Kjo është, x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Video mbi temën

shënim

Kur zgjidhen shembuj me thyesa, thyesa e një faktori të njohur thjesht mund të kthehet mbrapsht dhe veprimi të kryhet si shumëzim i thyesave.

Një polinom është shuma e monomëve. Një monom është produkt i disa faktorëve, të cilët janë një numër ose një shkronjë. Diplomë i panjohur është numri i herëve që shumëzohet me vetveten.

Udhëzimet

Ju lutemi jepni nëse nuk është bërë tashmë. Monome të ngjashëm janë monomë të të njëjtit lloj, pra monome me të panjohura të njëjta në të njëjtën shkallë.

Merrni, për shembull, polinomin 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Ky polinom ka dy të panjohura - x dhe y.

Lidhni monomë të ngjashëm. Monomet me fuqinë e dytë të y dhe fuqinë e tretë të x do të vijnë në formën y²*x³, dhe monomët me fuqinë e katërt të y do të anulohen. Rezulton y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Merrni atë si kryesore letër e panjohur y. Gjeni shkallën maksimale për y të panjohur. Ky është një monom y²*x³ dhe, në përputhje me rrethanat, shkalla 2.

Nxirrni një përfundim. Diplomë polinom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² në x është e barabartë me tre, dhe në y është e barabartë me dy.

Gjeni shkallën polinom√x+5*y nga y. Është e barabartë me shkallën maksimale të y, pra një.

Gjeni shkallën polinom√x+5*y në x. E panjohura x ndodhet, që do të thotë se shkalla e saj do të jetë një fraksion. Meqenëse rrënja është rrënjë katrore, fuqia e x është 1/2.

Nxirrni një përfundim. Për polinom√x+5*y fuqia x është 1/2 dhe fuqia y është 1.

Video mbi temën

Thjeshtimi shprehjet algjebrike kërkohet në shumë fusha të matematikës, duke përfshirë zgjidhjen e ekuacioneve gradat më të larta, diferencimi dhe integrimi. Përdoren disa metoda, duke përfshirë faktorizimin. Për të aplikuar këtë metodë, duhet të gjeni dhe të bëni një gjeneral faktor mbrapa kllapa.

Fillimisht doja të përfshija metodat e kastit emërues i përbashkët në rubrikën "Mbledhja dhe zbritja e thyesave". Por kishte kaq shumë informacione dhe rëndësia e tij ishte kaq e madhe (në fund të fundit, jo vetëm thyesat numerike), se është më mirë ta studiojmë këtë çështje veç e veç.

Pra, le të themi se kemi dy thyesa me emërues të ndryshëm. Dhe ne duam të sigurohemi që emëruesit të bëhen të njëjtë. Vetia themelore e një fraksioni vjen në shpëtim, e cila, më lejoni t'ju kujtoj, tingëllon si kjo:

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet reduktim në një emërues të përbashkët. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, quhen faktorë shtesë.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në fakt shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Ka shumë mënyra për të gjetur numra që, kur shumëzohen me ta, do t'i bëjnë emëruesit e thyesave të barabarta. Ne do të shqyrtojmë vetëm tre prej tyre - në mënyrë që të rritet kompleksiteti dhe, në një farë kuptimi, efektiviteti.

Shumëzim kryq

Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen e barabartë me produktin emërues origjinal. Hidhi nje sy:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

Po, është kaq e thjeshtë. Nëse sapo keni filluar të studioni fraksionet, është më mirë të punoni duke përdorur këtë metodë - në këtë mënyrë do të siguroheni nga shumë gabime dhe do të jeni të garantuar të merrni rezultatin.

E vetmja pengesë këtë metodë- duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "përgjatë", dhe rezultati mund të jetë shumë numra të mëdhenj. Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues është i pjesëtueshëm me tjetrin pa mbetje, ne përdorim metodën faktorët e përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Nga rruga, unë nuk i mora rastësisht thyesat në këtë shembull. Nëse jeni të interesuar, provoni t'i numëroni duke përdorur metodën e kryqëzimit. Pas reduktimit, përgjigjet do të jenë të njëjta, por do të ketë shumë më tepër punë.

Kjo është forca e metodës pjesëtuesit e përbashkët, por, e përsëris, mund të përdoret vetëm në rastin kur njëri prej emërtuesve ndahet me tjetrin pa mbetje. Gjë që ndodh mjaft rrallë.

Reduktimi i thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët, rregulla, shembuj, zgjidhje.

Ky artikull shpjegon si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët Dhe si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët.

Së pari jepen përkufizimet e emëruesit të përbashkët të thyesave dhe emëruesit më të vogël të përbashkët dhe tregohet se si të gjendet emëruesi i përbashkët i thyesave. Më poshtë është një rregull për reduktimin e thyesave në një emërues të përbashkët dhe shembuj të zbatimit të këtij rregulli. Si përfundim, shembuj të sjelljes së tre dhe më shumë thyesat në një emërues të përbashkët.

Çfarë quhet reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët?

Nëse thyesat e zakonshme kanë emërues të barabartë, atëherë këto thyesa thuhet se janë reduktuar në një emërues të përbashkët.

Kështu, thyesat 45/76 dhe 143/76 reduktohen në një emërues të përbashkët 76, dhe thyesat 1/3, 3/3, 17/3 dhe 1000/3 reduktohen në një emërues të përbashkët 3.

Nëse emëruesit e thyesave nuk janë të barabartë, atëherë thyesat e tilla gjithmonë mund të reduktohen në një emërues të përbashkët duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e tyre me disa faktorë shtesë.

Për shembull, thyesat e zakonshme 2/5 dhe 7/4 me ndihmën e faktorëve shtesë 4 dhe 5, respektivisht, reduktohen në një emërues të përbashkët 20. Në të vërtetë, duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës 2/5 me 4, marrim thyesa 8/20, dhe duke shumëzuar thyesat e numëruesit dhe të emëruesit 7/4 me 5, arrijmë në thyesën 35/20 (shih sjelljen e thyesave në një emërues të ri).

Tani mund të themi se çfarë është të reduktosh thyesat në një emërues të përbashkët. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët- Ky është shumëzimi i numëruesve dhe emëruesve të thyesave të dhëna me faktorë të tillë shtesë, saqë rezultati është thyesa me emërues të njëjtë.

Në krye të faqes

Emëruesi i përbashkët, përkufizimi, shembuj

Tani është koha për të përcaktuar emëruesin e përbashkët të thyesave.

Me fjalë të tjera, emëruesi i përbashkët i një grupi të caktuar thyesash të zakonshme është cilido numri natyror, e cila është e pjesëtueshme me të gjithë emëruesit e këtyre thyesave.

Nga përkufizimi i deklaruar rezulton se ky grup thyesash ka pafundësisht shumë emërues të përbashkët, pasi ekziston grup i pafund shumëfishat e përbashkët të të gjithë emëruesve të grupit origjinal të thyesave.

Shumëfisha të përbashkët pozitivë të 4 dhe 6 janë 12, 24, 36, 48, ... Secili nga këta numra është emërues i përbashkët i thyesave 1/4 dhe 5/6.

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e shembullit të mëposhtëm.

A mund të reduktohen thyesat 2/3, 23/6 dhe 7/12 në një emërues të përbashkët 150?

Për t'iu përgjigjur pyetjes së parashtruar, duhet të zbulojmë nëse numri 150 është një shumëfish i përbashkët i emëruesve 3, 6 dhe 12. Për ta bërë këtë, do të kontrollojmë nëse 150 është i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave (nëse është e nevojshme, shihni rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë, si dhe rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë me mbetje): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (pushim.

Pra, 150 nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 12, prandaj 150 nuk është shumëfish i përbashkët i 3, 6 dhe 12. Prandaj, numri 150 nuk mund të jetë emërues i përbashkët i thyesave origjinale.

Në krye të faqes

Emëruesi më i ulët i përbashkët, si ta gjejmë atë?

Në bashkësinë e numrave që janë emërues të përbashkët të thyesave të dhëna, ekziston një numër natyror më i vogël, i cili quhet emëruesi më i vogël i përbashkët.

Le të formulojmë përkufizimin e emëruesit më të ulët të përbashkët të këtyre thyesave.

Mbetet të merremi me pyetjen se si të gjejmë pjesëtuesin më të vogël të përbashkët.

Meqenëse shumëfishi më i vogël i përbashkët është pjesëtuesi i përbashkët më pak pozitiv këtë grup numrat, atëherë LCM e emëruesve të këtyre thyesave është emëruesi më i vogël i përbashkët i këtyre thyesave.

Kështu, gjetja e emëruesit më të vogël të përbashkët të thyesave zbret në gjetjen e LCM të emëruesve të këtyre thyesave.

Le të shohim zgjidhjen e shembullit.

Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave 3/10 dhe 277/28.

Emëruesit e këtyre thyesave janë 10 dhe 28. Emëruesi më i vogël i përbashkët i dëshiruar gjendet si LCM e numrave 10 dhe 28. Në rastin tonë, është e lehtë të gjesh LCM duke i zbërthyer numrat në faktorët kryesorë: meqenëse 10=2·5, dhe 28=2·2·7, atëherë LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Në krye të faqes

Si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët? Rregulla, shembuj, zgjidhje

Thyesat e zakonshme zakonisht rezultojnë në një emërues të përbashkët më të ulët.

Tani do të shkruajmë një rregull që shpjegon se si t'i reduktojmë thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Rregulla për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët përbëhet nga tre hapa:

Së pari, gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave.
Së dyti, për çdo thyesë llogaritet shumëzues shtesë, për të cilin emëruesi më i ulët i përbashkët ndahet me emëruesin e secilës thyesë.
Së treti, numëruesi dhe emëruesi i secilës thyesë shumëzohen me faktorin shtesë të saj.

Le të zbatojmë rregullin e deklaruar për të zgjidhur shembullin e mëposhtëm.

Zvogëloni thyesat 5/14 dhe 7/18 në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Le të kryejmë të gjitha hapat e algoritmit për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Së pari, gjejmë emëruesin më të vogël të përbashkët, i cili është i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 14 dhe 18. Meqenëse 14=2·7 dhe 18=2·3·3, atëherë LCM(14, 18)=2·3 ·3·7=126.

Tani llogarisim faktorët shtesë me ndihmën e të cilëve thyesat 5/14 dhe 7/18 do të reduktohen në emërues 126. Për thyesën 5/14 faktori shtesë është 126:14=9, kurse për thyesën 7/ 18 faktori shtesë është 126:18=7.

Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave 5/14 dhe 7/18 me faktorë shtesë përkatësisht 9 dhe 7.

Ne kemi Dhe .

Pra, zvogëlimi i thyesave 5/14 dhe 7/18 në emëruesin më të ulët të përbashkët është i plotë.

Fraksionet që rezultuan ishin 45/126 dhe 49/126.

Në krye të faqes

Reduktimi i tre ose më shumë thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët

Rregulli nga paragrafi i mëparshëm ju lejon të reduktoni jo vetëm dy fraksione, por edhe tre fraksione, dhe më shumë prej tyre, në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Le të shohim shembullin e zgjidhjes.

Zvogëloni katër thyesat e përbashkëta 3/2, 5/6, 3/8 dhe 17/18 në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Emëruesi më i vogël i përbashkët i këtyre thyesave është i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 2, 6, 8 dhe 18. Për të gjetur LCM(2, 6, 8, 18) përdorim informacionin nga seksioni Gjetja e LCM të tre ose më shumë numra.

Marrim LCM(2, 6)=6, LCM(6, 8)=24, në fund LCM(24, 18)=72, pra LCM(2, 6, 8, 18)=72. Pra, emëruesi më i ulët i përbashkët është 72.

Tani ne llogarisim faktorë shtesë. Për thyesën 3/2 faktori shtesë është 72:2=36, për thyesën 5/6 është 72:6=12, për thyesën 3/8 faktori shtesë është 72:8=9 dhe për thyesën 17/18 është 72 :18=4.

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Mbetet një hap i fundit në reduktimin e thyesave origjinale në emëruesin më të ulët të përbashkët: .

Në krye të faqes

Emërues i përbashkëtështë çdo shumëfish i përbashkët pozitiv i të gjithë emëruesve të këtyre thyesave.

Emëruesi më i ulët i përbashkëtështë numri më i vogël i të gjithë emëruesve të përbashkët të këtyre thyesave.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: Libër mësuesi për klasën e 5-të. institucionet arsimore.
Vilenkin N.Ya. dhe të tjerët. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.

Emëruesi i përbashkët i thyesave të përbashkëta

Nëse fraksionet e rregullta kanë emërues të njëjtë, atëherë këto thyesa kanë një emërues të përbashkët. P.sh.

kanë një emërues të përbashkët.

Emërues i përbashkët Ky është një numër që është emëruesi për dy ose më shumë thyesa të rregullta.

Thyesat me emërues të ndryshëm mund të reduktohen në një emërues të përbashkët.

Sigurimi i thyesave me një emërues të përbashkët

Sigurimi i thyesave me një emërues të përbashkët A është zëvendësimi i këtyre thyesave me emërues të ndryshëm të njëjtat thyesa me emërues të njëjtë?

Thyesat thjesht mund të reduktohen në një emërues të përbashkët ose në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Emëruesi më i ulët i përbashkët Ky është emëruesi më i ulët i përbashkët i këtyre thyesave.

Emëruesi i përbashkët i fraksioneve në internet

Për t'i dhënë thyesave emëruesin më të ulët të përbashkët, ju duhet:

Nëse është e mundur, kryeni një reduktim të fraksionit.
Gjeni katalogët më të vegjël të zakonshëm të këtyre thyesave. NOC do të jetë emëruesi i tyre më i ulët i përbashkët.
Ndani LCM me emëruesit e këtyre thyesave. Kjo masë gjen një faktor shtesë për secilën nga këto thyesa. Koeficienti shtesë A është një numër që kërkon që anëtarët e një thyese të shumëzohen për ta sjellë atë në një emërues të përbashkët?
Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me një faktor shtesë.

Shembull.

1) Gjeni emrat NOC të këtyre fraksioneve:

NOC(8, 12) = 24

2) U gjetën faktorë shtesë:

24: 8 = 3 (për ) dhe 24: 12 = 2 (për )

3) Shumëzoni anëtarët e secilit fraksion me një faktor shtesë:

Zvogëlimi i emëruesit të përbashkët mund të shkruhet në një formë më të shkurtër duke specifikuar një faktor shtesë përveç numëruesit të çdo fraksioni (lart djathtas ose lart majtas) dhe duke mos shkruar llogaritjet e ndërmjetme:

Emëruesi i përbashkët mund të zvogëlohet më lehtë duke shumëzuar anëtarët e thyesës së parë me pjesën e dytë imanente dhe anëtarët e thyesës së dytë me emëruesin e së parës.

Shembull. Merrni emëruesin e përbashkët të thyesave dhe:

Prodhimi i emëruesve të tyre mund të merret si emërues i përbashkët i thyesave.

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët përdoret për të mbledhur, zbritur dhe krahasuar thyesat me emërues të ndryshëm.

Kalkulatori i reduktimit në emërues të përbashkët

Ky kalkulator do t'ju ndihmojë të reduktoni thyesat e zakonshme në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Thjesht futni dy fraksione dhe klikoni.

5.4.5. Shembuj të konvertimit të thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët

Emëruesi më i ulët i përbashkët i thyesave të vazhdueshme është emëruesi më i ulët i përbashkët për ato thyesa. ( shih seksionin "Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët": 5.3.5. Gjej sasia më e vogël shumëfishat (NOC) të numrave të dhënë).

Për të reduktuar thyesën me emëruesin më të ulët të përbashkët, duhet: 1) të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të këtyre thyesave, dhe ky do të jetë emëruesi më i ulët i përbashkët.

2) gjen një koeficient shtesë për secilën nga thyesat për të cilat emërues i ri të shpërndara me emrin e çdo fraksioni. 3) shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me një faktor shtesë.

Shembuj. Për të reduktuar thyesat e mëposhtme në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Gjejmë emëruesin shumëshifror më të vogël të përbashkët: LCM (5; 4) = 20, pasi 20 është numri më i vogël i pjesëtuar me 5 dhe 4.

Për pjesën e parë, një koeficient shtesë prej 4 (20 : 5 = 4). Për fraksionin e dytë ka një koeficient shtesë prej 5 (20 : 4 = 5). Shumëzoni numrin dhe emëruesin e thyesës së parë me 4, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 5.

20 ).

Emëruesi më i ulët i përbashkët për këto thyesa është numri 8, pasi është i pjesëtueshëm me 4 dhe nga brenda.

Për goditjen e parë nuk ka asnjë faktor shtesë (ose mund të themi se është e barabartë me një), faktori i dytë është faktori shtesë 2 (8 : 4 = 2). Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 2.

Llogaritësi online. Sigurimi i thyesave me një emërues të përbashkët

Ne i kemi reduktuar këto thyesa në emëruesin më të ulët të përbashkët ( vendi i 8-të).

Këto fraksione nuk janë të patolerueshme.

Fraksioni i parë u zvogëlua me 4, dhe fraksioni i dytë u reduktua me 2. (Shih Shembujt për reduktimin e fraksioneve të zakonshme: Harta e faqes → 5.4.2.

Shembuj të reduktimit të thyesave të zakonshme). Gjen NOC (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Një faktor shtesë për thyesën e parë është 5 (80 : 16 = 5). Një faktor shtesë për thyesën e dytë është 4 (80 : 20 = 4).

Ne e shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 5, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 4. Informacioni thyesor iu dha emëruesit më të ulët të përbashkët ( 80 ).

Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të NOx (5 ; 6 dhe 15) = NOK (5 ; 6 dhe 15) = 30. Një faktor shtesë për thyesën e parë është 6 (30 : 5 = 6), është një faktor shtesë në pjesën e dytë të 5 (30 : 6 = 5), është një faktor shtesë për fraksionin e tretë 2 (30 : 15 = 2).

Numri dhe emëruesi i thyesës së parë shumëzohen me 6, numërimi dhe emëruesi i thyesës së dytë me 5, dhe numri dhe emëruesi i thyesës së tretë me 2. Të dhënat e pjesshme janë dhënë emëruesi më i vogël i përbashkët 30 ).

Faqja 1 nga 11

Emëruesi më i ulët i përbashkët.

Cili është emëruesi më i ulët i përbashkët?

Përkufizimi:
Emëruesi më i ulët i përbashkët- kjo është më e pakta numër pozitiv një shumëfish i emëruesve të këtyre thyesave.

Si të reduktohet në emëruesin më të ulët të përbashkët? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, merrni parasysh një shembull:

Zvogëloni thyesat me emërues të ndryshëm në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Zgjidhja:
Për të gjetur emëruesin më të ulët të përbashkët, duhet të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të emëruesve të këtyre thyesave.

Thyesa e parë ka një emërues 20, le ta faktorizojmë atë në faktorët kryesorë.
20=2⋅5⋅2

Le të zbërthejmë edhe emëruesin e dytë të thyesës 14 në faktorë të thjeshtë.
14=7⋅2

NOC(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Përgjigje: Emëruesi më i ulët i përbashkët do të ishte 140.

Si të reduktohet një thyesë në një emërues të përbashkët?

Ju duhet të shumëzoni thyesën e parë \(\frac(1)(20)\) me 7 për të marrë një emërues 140.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \herë 7)(20 \herë 7)=\frac(7)(140)\)
Dhe shumëzojeni thyesën e dytë me 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \herë 10)(14 \herë 10)=\frac(30)(140)\)

Rregullat ose algoritmi për reduktimin e thyesave në një emërues të përbashkët.

Algoritmi për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët:

Ju duhet të faktorizoni emëruesit e thyesave në faktorë të thjeshtë.
Ne duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) për emëruesit e këtyre thyesave.
Zvogëloni thyesat në një emërues të përbashkët, domethënë, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me një faktor.

Emëruesi i përbashkët për disa thyesa.

Si të gjeni emëruesin e përbashkët për disa thyesa?

Le të shohim një shembull:
Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët për thyesat \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Zgjidhja:
Le të faktorizojmë emëruesit 11, 15 dhe 22 në faktorë të thjeshtë.

Numri 11 është tashmë një numër i thjeshtë në vetvete, kështu që nuk ka nevojë ta përshkruajmë atë.
Zgjerojmë numrin 15=5⋅3
Zgjerojmë numrin 22=11⋅2

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të emëruesve 11, 15 dhe 22.
LCM(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Ne kemi gjetur emëruesin më të ulët të përbashkët për këto thyesa. Tani le t'i sjellim këto thyesa \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) në një emërues të përbashkët të barabartë me 330.

\(\fillo(rreshtoj)
\frac(2)(11)=\frac(2 \herë 30)(11 \herë 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \herë 22)(15 \herë 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \herë 15)(22 \herë 15)=\frac(60)(330) \\\\
\fund (radhis)\)

Shumëzim kryq

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Për të vlerësuar se sa ndryshim bën metoda e shumëfishtë më pak e zakonshme, provoni të llogaritni këta shembuj të njëjtë duke përdorur metodën e kryqëzuar.

Emëruesi i përbashkët i thyesave

Sigurisht, pa një kalkulator. Mendoj se pas kësaj komentet do të jenë të panevojshme.

Shiko gjithashtu:

Fillimisht doja të përfshija teknikat e emëruesve të përbashkët në seksionin Shtimi dhe Zbritja e Thyjeve. Por doli se kishte aq shumë informacione dhe rëndësia e tij është aq e madhe (në fund të fundit, jo vetëm fraksionet numerike kanë emërues të përbashkët), sa është më mirë ta studiojmë këtë çështje veç e veç.

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, thirren.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Shumëzim kryq

Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal. Hidhi nje sy:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

E vetmja pengesë e kësaj metode është se ju duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "deri në fund", dhe rezultati mund të jetë numra shumë të mëdhenj. Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje me tjetrin, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Kjo është fuqia e metodës së pjesëtuesve të përbashkët, por, përsëri, mund të përdoret vetëm kur njëri prej emërtuesve është i pjesëtueshëm me tjetrin pa mbetje. Gjë që ndodh mjaft rrallë.

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Kur i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët, në thelb po përpiqemi të gjejmë një numër që është i pjesëtueshëm me secilin prej emëruesit. Pastaj sjellim emëruesit e të dy thyesave në këtë numër.

Ka shumë numra të tillë, dhe më i vogli prej tyre nuk do të jetë domosdoshmërisht i barabartë produkt i drejtpërdrejtë emëruesit e thyesave origjinale, siç supozohet në metodën e kryqëzuar.

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më pak produkt 8 12 = 96.

Numri më i vogël, e cila është e pjestueshme me secilin prej emërtuesve, quhet e tyre (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a; b). Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët

Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktorët 2 dhe 3 janë të përbashkët (nuk kanë faktorë të përbashkët përveç 1), dhe faktori 117 është i zakonshëm. Prandaj LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Mos mendoni se ka të tilla thyesat komplekse nuk do të jetë rasti në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Problemi i vetëm është se si ta gjejmë këtë NOC. Ndonjëherë gjithçka gjendet në disa sekonda, fjalë për fjalë "me sy", por në përgjithësi kjo është një detyrë komplekse llogaritëse që kërkon shqyrtim të veçantë. Ne nuk do ta prekim atë këtu.

Shiko gjithashtu:

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, thirren.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët?

Emëruesi i përbashkët, koncepti dhe përkufizimi.

Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Shumëzim kryq

Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal. Hidhi nje sy:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje me tjetrin, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Ka shumë numra të tillë, dhe më i vogli prej tyre nuk do të jetë domosdoshmërisht i barabartë me produktin e drejtpërdrejtë të emëruesve të thyesave origjinale, siç supozohet në metodën "kryq".

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se prodhimi 8 12 = 96.

Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet i tyre (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a; b). Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Për të vlerësuar se sa ndryshim bën metoda e shumëfishtë më pak e zakonshme, provoni të llogaritni këta shembuj të njëjtë duke përdorur metodën e kryqëzuar. Sigurisht, pa një kalkulator. Mendoj se pas kësaj komentet do të jenë të panevojshme.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Shiko gjithashtu:

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, thirren.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Shumëzim kryq

Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal.

Hidhi nje sy:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje me tjetrin, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se prodhimi 8 12 = 96.

Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet i tyre (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a; b). Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Shiko gjithashtu:

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, thirren.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Shumëzim kryq

Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal. Hidhi nje sy:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

E vetmja pengesë e kësaj metode është se ju duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "deri në fund", dhe rezultati mund të jetë numra shumë të mëdhenj.

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje me tjetrin, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se prodhimi 8 12 = 96.

Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet i tyre (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a; b). Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Ky artikull shpjegon si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët Dhe si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët. Së pari jepen përkufizimet e emëruesit të përbashkët të thyesave dhe emëruesit më të vogël të përbashkët dhe tregohet se si të gjendet emëruesi i përbashkët i thyesave. Më poshtë është një rregull për reduktimin e thyesave në një emërues të përbashkët dhe shembuj të zbatimit të këtij rregulli. Si përfundim, diskutohen shembuj të sjelljes së tre ose më shumë thyesave në një emërues të përbashkët.

Navigimi i faqes.

Çfarë quhet reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët?

Emëruesi i përbashkët, përkufizimi, shembuj

Tani është koha për të përcaktuar emëruesin e përbashkët të thyesave.

Me fjalë të tjera, emëruesi i përbashkët i një grupi të caktuar thyesash të zakonshme është çdo numër natyror që është i pjesëtueshëm me të gjithë emëruesit e këtyre thyesave.

Nga përkufizimi i dhënë rrjedh se një grup i caktuar thyesash ka pafundësisht shumë emërues të përbashkët, pasi ekziston një numër i pafundëm shumëfishësh të përbashkët të të gjithë emëruesve të grupit origjinal të thyesave.

Përcaktimi i emëruesit të përbashkët të thyesave ju lejon të gjeni emëruesit e përbashkët të thyesave të dhëna. Le të, për shembull, duke pasur parasysh thyesat 1/4 dhe 5/6, emëruesit e tyre janë përkatësisht 4 dhe 6. Shumëfisha të përbashkët pozitivë të numrave 4 dhe 6 janë numrat 12, 24, 36, 48, ... Secili nga këta numra është emërues i përbashkët i thyesave 1/4 dhe 5/6.

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e shembullit të mëposhtëm.

Shembull.

A mund të reduktohen thyesat 2/3, 23/6 dhe 7/12 në një emërues të përbashkët 150?

Zgjidhje.

Për t'iu përgjigjur pyetjes, duhet të zbulojmë nëse numri 150 është një shumëfish i përbashkët i emëruesve 3, 6 dhe 12. Për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse 150 është i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave (nëse është e nevojshme, shihni rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë, si dhe rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë me një mbetje): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (6 të mbetura) .

Kështu që, 150 nuk është i plotpjesëtueshëm me 12, prandaj 150 nuk është shumëfish i përbashkët i 3, 6 dhe 12. Prandaj, numri 150 nuk mund të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave origjinale.

Përgjigje:

është e ndaluar.

Emëruesi më i ulët i përbashkët, si ta gjejmë atë?

Në bashkësinë e numrave që janë emërues të përbashkët të thyesave të dhëna, ekziston një numër natyror më i vogël, i cili quhet emëruesi më i vogël i përbashkët. Le të formulojmë përkufizimin e emëruesit më të ulët të përbashkët të këtyre thyesave.

Përkufizimi.

Emëruesi më i ulët i përbashkëtështë numri më i vogël i të gjithë emëruesve të përbashkët të këtyre thyesave.

Mbetet të merremi me pyetjen se si të gjejmë pjesëtuesin më të vogël të përbashkët.

Meqenëse është pjesëtuesi i përbashkët më pak pozitiv i një grupi të caktuar numrash, LCM e emëruesve të thyesave të dhëna përfaqëson emëruesin më të vogël të përbashkët të thyesave të dhëna.

Kështu, gjetja e emëruesit më të ulët të përbashkët të thyesave zbret në emëruesit e atyre thyesave. Le të shohim zgjidhjen e shembullit.

Shembull.

Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave 3/10 dhe 277/28.

Zgjidhje.

Emëruesit e këtyre thyesave janë 10 dhe 28. Emëruesi i përbashkët më i ulët i dëshiruar gjendet si LCM e numrave 10 dhe 28. Në rastin tonë është e lehtë: pasi 10=2·5, dhe 28=2·2·7, atëherë LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Përgjigje:

140 .

Si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët? Rregulla, shembuj, zgjidhje

Thyesat e zakonshme zakonisht rezultojnë në një emërues të përbashkët më të ulët. Tani do të shkruajmë një rregull që shpjegon se si t'i reduktojmë thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Rregulla për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët përbëhet nga tre hapa:

Së pari, gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave.
Së dyti, një faktor shtesë llogaritet për çdo thyesë duke pjesëtuar emëruesin më të ulët të përbashkët me emëruesin e secilës thyesë.
Së treti, numëruesi dhe emëruesi i secilës thyesë shumëzohen me faktorin shtesë të saj.

Le të zbatojmë rregullin e deklaruar për të zgjidhur shembullin e mëposhtëm.

Shembull.

Zvogëloni thyesat 5/14 dhe 7/18 në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Zgjidhje.

Le të kryejmë të gjitha hapat e algoritmit për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Së pari gjejmë emëruesin më të vogël të përbashkët, i cili është i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 14 dhe 18. Meqenëse 14=2·7 dhe 18=2·3·3, atëherë LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Tani ne llogarisim faktorë shtesë me ndihmën e të cilëve thyesat 5/14 dhe 7/18 do të reduktohen në emëruesin 126. Për thyesën 5/14 faktori shtesë është 126:14=9, kurse për thyesën 7/18 faktori shtesë është 126:18=7.

Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave 5/14 dhe 7/18 me faktorë shtesë përkatësisht 9 dhe 7. kemi dhe .

Pra, zvogëlimi i thyesave 5/14 dhe 7/18 në emëruesin më të ulët të përbashkët është i plotë. Fraksionet që rezultuan ishin 45/126 dhe 49/126.

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Shumëzim kryq

Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal. Hidhi nje sy:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje nga tjetri, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se produkti 8 · 12 = 96.

Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a ; b) . Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktorët 2 dhe 3 janë të përbashkët (nuk kanë faktorë të përbashkët përveç 1), dhe faktori 117 është i zakonshëm. Prandaj LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike