Kombinációk száma n-től k-ig online. Permutációk, elhelyezések és kombinációk

A kombinatorikában olyan kérdéseket vizsgálnak, hogy adott objektumokból (elemekből) egy adott típusból hány kombináció készíthető.

A kombinatorika mint ág születése B. Pascal és P. Fermat elméleti munkáihoz kötődik szerencsejáték. Nagyszerű hozzájárulás G.V. hozzájárult a kombinatorikus módszerek kidolgozásához. Leibniz, J. Bernoulli és L. Euler.

Blaise Pascal (1623–1662) francia filozófus, író, matematikus és fizikus megmutatta kiemelkedő munkáját. matematikai készségek. Pascal matematikai érdeklődési köre igen változatos volt. Pascal egy dolgot bizonyított
a projektív geometria alaptételeiből (Pascal-tétel), összegző gépet (Pascal-összeadó gépet) tervezett, módszert adott a binomiális együtthatók kiszámítására (Pascal-háromszög), és elsőként definiálta és alkalmazta a módszert a bizonyításra. matematikai indukció, jelentős lépést tett az infinitezimális elemzés fejlődésében, játszott fontos szerepet a valószínűségszámítás eredetében. A hidrosztatikában Pascal megalkotta alaptörvényét (Pascal törvényét). Pascal „Levelek egy provinciálishoz” című műve a francia klasszikus próza remekműve volt.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) német filozófus, matematikus, fizikus és feltaláló, jogász, történész és nyelvész. A matematikában I. Newtonnal együtt differenciál- és integrálszámítás. Fontos hozzájárulás hozzájárult a kombinatorikához. Nevéhez különösen számelméleti problémák kapcsolódnak.

Gottfried Wilhelm Leibniznek nem volt lenyűgöző megjelenése, ezért egy meglehetősen egyszerű ember benyomását keltette. Egyik nap Párizsban bement egy könyvesboltba, abban a reményben, hogy megvesz egy könyvet egy ismert filozófustól. Amikor egy látogató erről a könyvről kérdezett, a könyvkereskedő tetőtől talpig megvizsgálta, gúnyosan azt mondta: „Mire van szüksége? Tényleg képes vagy ilyen könyveket olvasni? Mielőtt a tudósnak ideje lett volna válaszolni, maga a könyv szerzője lépett be a boltba a következő szavakkal: „Üdvözlet és tisztelet a Nagy Leibniznek!” Az eladó nem értette, hogy ez valóban a híres Leibniz, akinek könyvei nagy keresletet mutattak a tudósok körében.

A jövőben a következők játszanak fontos szerepet

Lemma. Engedjen be egy elemkészletet, és egy halmazba - elemeket. Aztán az összes száma különböző párok, ahol egyenlő lesz .

Bizonyíték. Valóban, egy halmaz egy elemével ilyen különböző párokat tudunk alkotni, és összesen egy elemhalmazban.

Elhelyezések, permutációk, kombinációk

Legyen három elemből álló halmazunk. Milyen módon választhatunk ki két elem közül? .

Meghatározás. Sok elhelyezése különféle elemek by elements olyan kombinációk, amelyek adott elemekből állnak > elemek alapján, és magukban az elemekben vagy az elemek sorrendjében különböznek egymástól.

Az elemek halmazának elemenkénti elhelyezéseinek számát a (tól) jelöli kezdőbetű francia szó„elrendezés”, ami elhelyezést jelent), hol és .

Tétel. Egy elemhalmaz elemenkénti elhelyezéseinek száma egyenlő

Bizonyíték. Tegyük fel, hogy vannak elemeink. Legyenek lehetséges elhelyezések. Ezeket az elhelyezéseket egymás után építjük fel. Először is határozzuk meg az első elhelyezési elemet. Adott elemkészletből választható ki különféle módokon. Az első elem kiválasztása után még mindig van mód a második elem kiválasztására stb. Mivel minden ilyen választás új helyet ad, ezek a választások szabadon kombinálhatók egymással. Ezért rendelkezünk:

Példa. Hányféleképpen lehet egy zászlót három különböző színű vízszintes csíkból összeállítani, ha öt színű anyag van?

Megoldás. A szükséges háromsávos zászlók száma:

Meghatározás. Az elemek halmazának permutációja az elemek elrendezése egy bizonyos sorrendben.

Így a három elemből álló halmaz összes különböző permutációja

Az elemek összes permutációjának száma fel van tüntetve (a „permutation” francia szó kezdőbetűjéből, ami „permutációt”, „mozgást” jelent). Ezért az összes különböző permutáció számát a képlet számítja ki

Példa. Hányféleképpen helyezhetők el a bástya a sakktáblán, hogy ne támadják meg egymást?

Megoldás. A szükséges számú bástya

Definíció szerint!

Meghatározás. A különböző elemek elemenkénti kombinációi olyan kombinációk, amelyek elemenként adott elemekből állnak össze, és legalább egy elemben különböznek egymástól (más szóval egy adott elemhalmaz -elem részhalmazai).

Mint látható, a kombinációkban, az elhelyezésekkel ellentétben, az elemek sorrendjét nem veszik figyelembe. Fel van tüntetve az összes elemkombináció, mindegyik elem száma (a francia „kombináció” szó kezdőbetűjéből, ami „kombinációt” jelent).

Számok

A kettőből álló összes kombináció .

A számok tulajdonságai (\sf C)_n^k

Valójában egy adott -elem halmaz minden -elem részhalmaza ugyanazon halmaz egy elemű részhalmazának felel meg.

Valójában az elemek részhalmazait is kiválaszthatjuk alábbiak szerint: egy elem rögzítése; az elemet tartalmazó -elem részhalmazok száma egyenlő ; az ezt az elemet nem tartalmazó -elem részhalmazok száma egyenlő .

Pascal háromszöge

Ebben a háromszögben a szélső számok minden sorban egyenlőek 1-gyel, és minden nem szélső szám egyenlő az előző sor feletti két szám összegével. Így ez a háromszög lehetővé teszi számok kiszámítását.

Tétel.

Bizonyíték. Tekintsünk egy elemhalmazt, és oldjuk meg a következő problémát kétféleképpen: hány sorozat készíthető egy adott elemből
halmazok, amelyek mindegyikében egyetlen elem sem fordul elő kétszer?

1 út. Kiválasztjuk a sorozat első tagját, majd a másodikat, harmadikat stb. tag

2. módszer. Először válasszunk elemeket egy adott halmazból, majd rendezzük őket valamilyen sorrendbe

Szorozzuk meg ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a következővel:

Példa. Hányféleképpen választhatsz ki 5 számot a 36-ból a „Sportloto” játékban?

Kötelező számú mód

Feladatok.

1. Az autók rendszáma az orosz ábécé 3 betűjéből (33 betű) és 4 számból áll. Hány létezik különböző számok autók?
2. A zongorán 88 billentyű található. Hányféleképpen tudsz egymás után 6 hangot előállítani?
3. Hány olyan hatjegyű szám van, amely osztható 5-tel?
4. Hányféleképpen helyezhető el 7 különböző érme három zsebben?
5. Hány ötjegyű számot írhat be decimális jelölés melyik 5-ös szám szerepel legalább egyszer?
6. Hányféleképpen lehet 20 embert leültetni? kerek asztal, a módszereket azonosnak tekintve, ha körben mozgatva egymásból megszerezhetők?
7. Hány olyan ötjegyű szám van, amely osztható 5-tel, és nem tartalmaz azonos számjegyeket?
8. On kockás papír 1 cm-es cellaoldallal egy 100 cm sugarú kört rajzolunk, amely nem megy át a cellák tetején és nem érinti a cellák oldalát. Hány cellát metszhet ez a kör?
9. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a számokat úgy, hogy a számok egymás mellett és növekvő sorrendben legyenek?
10. Hány ötjegyű szám készíthető számjegyekből, ha minden számjegy csak egyszer használható?
11. A ROT szóból a betűk átrendezésével a következő szavakat kaphatja: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. Ezeket anagrammáknak hívják. Hány anagrammát készíthetsz a LOGARITMUS szóból?
12. Hívjuk hasítás természetes szám ábrázolása összegként természetes számok. Itt van például egy szám összes partíciója:

A partíciókat akkor tekintjük eltérőnek, ha számban vagy kifejezési sorrendben különböznek.

Hány különböző partíciója van egy számnak?
13. Hány nem növekvő számsorrendű háromjegyű szám van?
14. Hány nem növekvő számsorrendű négyjegyű szám van?
15. Hányféleképpen lehet 17 embert egy sorba leültetni úgy, hogy egymás mellé kerüljenek?
16. a lányok és a fiúk véletlenszerűen ülnek be egy üléssorba. Hányféleképpen lehet úgy leültetni őket, hogy ne üljön két lány egymás mellett?
17. a lányok és a fiúk véletlenszerűen ülnek be egy üléssorba. Hányféleképpen lehet úgy leültetni őket, hogy az összes lány egymás mellett üljön?

Számoljuk meg MS EXCEL-ben n elem kombinációinak számát k-val. Képletekkel megjelenítjük az összes kombinációs lehetőséget a lapon ( angol fordítás kifejezés: Ismétlés nélküli kombinációk).

K elem n különböző elemének kombinációi olyan kombinációk, amelyek legalább egy elemben különböznek. Például az alábbiakban az ÖSSZES 3 elemből álló kombináció látható egy 5 elemből álló halmazból (1; 2; 3; 4; 5):

(1; 2; 3); (1; 2; 4); (1; 2; 5); (1; 3; 4); (1; 3; 5); (1; 4; 5); (2; 3; 4); (2; 3; 5); (2; 4; 5); (3; 4; 5)

Jegyzet: Ez a cikk a kombinációk számának MS EXCEL használatával történő számlálásáról szól. Elméleti alapok Javasoljuk, hogy olvassa el egy speciális tankönyvben. Rossz ötlet kombinációkat tanulni ebből a cikkből.

A kombinációk és az elhelyezések közötti különbség

A kombinációk összes kombinációjának megjelenítése

A példafájlban képletek jönnek létre, amelyek megjelenítik az adott n és k összes kombinációját.

A halmaz elemszámának (n) és a belőle kiválasztandó elemek számának (k) megadásával képletek segítségével az összes kombinációt megjeleníthetjük.

Feladat

Egy autószállító 4 autót tud szállítani. 7 különböző autó szállítása szükséges (LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo, Lada Largus). Hányféleképpen tölthető meg az első autószállító? Az autó konkrét helye az autószállítóban nem fontos.

Meg kell határoznunk a számot Kombinációk 7 autó 4 helyen egy autószállító. Azok. n=7 és k=4. Kiderült, hogy 35 ilyen opció van =NUMCOMB(7,4).

KOMBINATORIKA

A kombinatorika a matematikának egy olyan ága, amely egy bizonyos alaphalmaz elemeinek adott szabályok szerint történő kiválasztásának és elrendezésének problémáit vizsgálja. A kombinatorika képleteit és alapelveit a valószínűség-elméletben használják a véletlenszerű események valószínűségének kiszámítására, és ennek megfelelően az eloszlási törvények előállítására. valószínűségi változók. Ez pedig lehetővé teszi a tömeges véletlenszerű jelenségek mintázatainak tanulmányozását, ami nagyon fontos a természetben és a technológiában megnyilvánuló statisztikai minták helyes megértéséhez.

Összeadás és szorzás szabályai a kombinatorikában

Összeg szabály. Ha két A és B cselekvés kölcsönösen kizárja egymást, és az A művelet m, B pedig n módon hajtható végre, akkor ezen műveletek egyike (akár A, akár B) n + m módon hajtható végre.

1. példa

16 fiú és 10 lány van az osztályban. Hányféleképpen jelölhet ki egy ügyeletes tisztet?

Megoldás

Akár fiút, akár lányt lehet szolgálatra beosztani, pl. az ügyeletes a 16 fiú vagy a 10 lány bármelyike ​​lehet.

Az összegezési szabállyal azt találjuk, hogy egy ügyeletes 16+10=26 módon osztható be.

Termékszabály. Legyen k szekvenciálisan végrehajtandó művelet. Ha az első műveletet n 1 módon, a másodikat n 2 módon, a harmadikat n 3 módon és így tovább a k-adik műveletig, amely n k módon hajtható végre, akkor mind a k művelet együtt végrehajtható :

módokon.

2. példa

16 fiú és 10 lány van az osztályban. Hányféleképpen nevezhető ki két ügyeletes?

Megoldás

Első szolgálatosnak fiú vagy lány is kijelölhető. Mert Az osztályba 16 fiú és 10 lány jár, ekkor 16+10=26 módon lehet kinevezni az első ügyeletes személyt.

Miután kiválasztottuk az első ügyeletes tisztet, a maradék 25 fő közül választhatjuk a másodikat, i.e. 25 módon.

A szorzási tétel szerint két kísérő 26*25=650 módon választható ki.

Ismétlés nélküli kombinációk. Kombinációk ismétlésekkel

A kombinatorika klasszikus problémája az ismétlés nélküli kombinációk számának problémája, melynek tartalma a következő kérdéssel fejezhető ki: Hány módokon Tud válasszon m-től n különböző elem?

3. példa

Az ajándékba kapható 10 különböző könyv közül 4-et kell kiválasztanod. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Megoldás

10-ből 4 könyvet kell kiválasztanunk, és a választás sorrendje nem számít. Így meg kell találnia a 4 10 elemének kombinációinak számát:

.

Tekintsük az ismétlésekkel járó kombinációk számának problémáját: vannak r azonos tárgyakat mindegyik n különféle típusok; Hány módokon Tud válasszon m() innen ezek (n*r) tételek?

.

4. példa

A cukrászda 4 féle süteményt árusított: Napóleon, eklér, omlós és leveles tészta. Hányféleképpen vásárolhat 7 tortát?

Megoldás

Mert 7 sütemény között lehetnek azonos típusú sütemények, akkor a 7 torta vásárlási módjainak számát a 7-4 ismétlődésű kombinációk száma határozza meg.

.

Elhelyezések ismétlés nélkül. Elhelyezések ismétlésekkel

A kombinatorika klasszikus problémája az ismétlés nélküli elhelyezések számának problémája, melynek tartalma a következő kérdéssel fejezhető ki: Hány módokon Tud válasszon És hozzászólás Által m más helyeken m-től n különböző tételek?

5. példa.

Néhány újság 12 oldalas. Négy fényképet kell elhelyezni ennek az újságnak az oldalain. Hányféleképpen lehet ezt megtenni, ha az újság egyik oldala sem tartalmazhat egynél több fényképet?

Megoldás.

Ebben a feladatban a fényképeket nem csak kiválasztjuk, hanem az újság bizonyos oldalain elhelyezzük, és az újság minden oldalán legfeljebb egy fénykép szerepelhet. Így a probléma a klasszikus problémára redukálódik, az elhelyezések számának meghatározására 4 elem 12 elemének ismétlődése nélkül:

Így 12 oldalon 4 fotó 11 880 módon rendezhető el.

Is klasszikus probléma A kombinatorika az ismétléses elhelyezések számának problémája, melynek tartalma a következő kérdéssel fejezhető ki: Hány módokon Tud Tebhadsereg És hozzászólás Által m más helyeken m-től n elem,Velkész melyik Van ugyanaz?

6. példa.

A fiúnak van maradéka a készletből társasjáték bélyegek 1, 3 és 7 számmal. Úgy döntött, hogy ezekkel a bélyegekkel ötjegyű számokat helyez el minden könyvön – katalógust hoz létre. Hány különböző ötjegyű számot tud létrehozni egy fiú?

Permutációk ismétlés nélkül. Permutációk ismétlésekkel

A kombinatorika klasszikus problémája az ismétlés nélküli permutációk számának problémája, melynek tartalma a következő kérdéssel fejezhető ki: Hány módokon Tud hozzászólás n különféle tételeket -on n különböző helyek?

7. példa.

Hány négybetűs „szót” tudsz alkotni a „házasság” szó betűiből?

Megoldás

Az általános népesség a „házasság” szó 4 betűje (b, p, a, k). A „szavak” számát ennek a 4 betűnek a permutációi határozzák meg, azaz.

Abban az esetben, ha a kiválasztott n elem között azonosak vannak (kiválasztás visszatéréssel), az ismétlődő permutációk számának problémája a következő kérdéssel fejezhető ki: Hányféleképpen rendezhető át n különböző helyen található n objektum, ha n objektum között van k különböző típus (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

8. példa.

Hány különböző betűk Milyen kombinációk készíthetők a „Mississippi” szó betűiből?

Megoldás

1 "m" betű, 4 "i" betű, 3 "c" és 1 "p" betű van, összesen 9 betű. Ezért az ismétlődő permutációk száma egyenlő

HÁTTÉR ÖSSZEFOGLALÁS A "KOMBINATORIKA" SZAKASZHOZ

Tekintsük az adott halmazból származó minták számának megszámlálásának problémáját általános nézet. Legyen valami készlet N, amelyből áll n elemeket. Bármely részhalmaz, amelyből áll m elemek sorrendjének figyelembe vétele nélkül, vagy annak figyelembevétele nélkül tekinthetők, pl. a sorrend megváltoztatásakor lépjen át egy másikra m– mintavétel.

Fogalmazzuk meg a következő definíciókat:

Elhelyezések ismétlés nélkül

Elhelyezés ismétlés nélküln elemek általm Ntartalmazómkülönféle elemek.

A definícióból az következik, hogy a két elrendezés mind elemeiben, mind sorrendjében különbözik egymástól, még akkor is, ha az elemek azonosak.

3. tétel. Az ismétlés nélküli elhelyezések száma megegyezik a szorzattal m tényezők, amelyek közül a legnagyobb a szám n . Írd le:

Permutációk ismétlés nélkül

Permutációk innenn az elemeket a halmaz különböző sorrendjének nevezzükN.

Ebből a definícióból következik, hogy a két permutáció csak az elemek sorrendjében tér el egymástól, és az elhelyezések speciális esetének tekinthetők.

4. tétel. Az ismétlés nélküli különböző permutációk számát a képlet számítja ki

Ismétlés nélküli kombinációk

Ismétlés nélküli kombináción elemek általm egy halmaz bármely rendezetlen részhalmazát meghívjukNtartalmazóm különféle elemek.

A definícióból az következik, hogy a két kombináció csak elemekben különbözik a sorrendtől.

5. tétel. Az ismétlés nélküli kombinációk számát a következő képletek egyikével számítjuk ki:

1. példa. 5 szék van a szobában. Hányféleképpen helyezheted el őket?

a) 7 fő; b) 5 fő; c) 3 fő?

Megoldás: a) Először is ki kell választanod 5 embert a 7-ből, akik székekre ülnek. Meg lehet csinálni
út. Egy adott öt kiválasztásával előállíthat
átrendezések. A szorzási tétel szerint a leszállási módszerek szükséges száma egyenlő.

Megjegyzés: A probléma csak a szorzattétel segítségével oldható meg, a következő érveléssel: az 1. székre 7, a 2. székre 6, a 3. -5, a 4. -4 és az 5. th -3. Ekkor 7 ember 5 székre való leültetési módja: . Mindkét módszer megoldása konzisztens, hiszen

b) A megoldás kézenfekvő -

V) - az elfoglalt székek választásainak száma.

- az ülőhelyek száma három fő részére három kiválasztott széken.

A választások teljes száma .

Nem nehéz ellenőrizni a képleteket
;

;

A következőből álló halmaz összes részhalmazának száma n elemeket.

Ismételje meg az elhelyezéseket

tól ismétléssel történő elhelyezésseln elemek általm egy halmaz minden rendezett részhalmazát meghívjukN, amelyből állm elemeket úgy, hogy ebbe a részhalmazba tetszőleges elem kerüljön 1-tőlmalkalommal, vagy teljesen távol marad.

Az ismétlődő elhelyezések számát jelöli és a következő képlettel számítjuk ki, amely a szorzási tétel következménye:

2. példa. Legyen N = (a, b, c) három betűből álló halmaz. Nevezzük szónak az ebben a halmazban szereplő bármely betűkészletet. Nézzük meg, hány 2 hosszúságú szó készíthető ezekből a betűkből:
.

Megjegyzés: Nyilván az ismétlődő elhelyezések is számításba jöhetnek, amikor
.

3. példa. Az (a, b) betűket kell használni az összes lehetséges 3 hosszúságú szó létrehozásához. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Válasz:

Meg kell jegyezni, hogy a kombinatorika az független szakasz felsőbb matematika(és nem része a tervernek) és súlyos tankönyvek születtek erről a tudományágról, amelyek tartalma időnként nem egyszerűbb, mint az absztrakt algebra. Nekünk azonban elég lesz egy kis részesedés elméleti tudás, és ebben a cikkben megpróbálom hozzáférhető formában elemezni a téma alapjait tipikus kombinatorikai problémákkal. És sokan segíteni fognak nekem ;-)

Mit fogunk csinálni? IN szűkebb értelemben A kombinatorika egy bizonyos halmazból létrehozható különböző kombinációk kiszámítása diszkrét tárgyakat. Tárgy alatt minden elszigetelt tárgy vagy élőlény értendő – emberek, állatok, gombák, növények, rovarok stb. Ugyanakkor a kombinatorikát egyáltalán nem érdekli, hogy a készlet egy tányér búzadarából, egy forrasztópáka és egy mocsári békából áll. Alapvetően fontos, hogy ezek az objektumok felsorolhatók legyenek – három van belőlük (diszkrét)és az a fontos, hogy egyik sem egyforma.

Sok mindennel foglalkoztunk, most a kombinációkkal. A kombinációk leggyakoribb típusai az objektumok permutációi, halmazból való kiválasztása (kombináció) és elosztása (elhelyezés). Lássuk, hogyan történik ez most:

Permutációk, kombinációk és elhelyezések ismétlés nélkül

Ne féljen a homályos kifejezésektől, különösen azért, mert néhányuk valóban nem túl jó. Kezdjük a cím végével – mit jelent? nincs ismétlés"? Ez azt jelenti, hogy ebben a részben olyan halmazokat fogunk megvizsgálni, amelyek a következőkből állnak különféle tárgyakat. Például ... nem, nem kínálok kását forrasztópákával és békával, jobb, ha valami finomabb =) Képzeld el, hogy előtted az asztalon egy alma, körte és banán került ( ha megvannak, a helyzet a valóságban is szimulálható). A gyümölcsöket balról jobbra helyezzük el a következő sorrendben:

alma / körte / banán

Egy kérdés: Hányféleképpen rendezhetők át?

Az egyik kombinációt már leírtuk fent, és a többivel nincs probléma:

alma / banán / körte
körte / alma / banán
körte / banán / alma
banán / alma / körte
banán / körte / alma

Teljes: 6 kombináció vagy 6 permutációk.

Oké, nem volt túl nehéz felsorolni az összes lehetséges esetet, de mi van, ha több objektum van? Mindössze négy különböző gyümölccsel a kombinációk száma jelentősen megnő!

Nyissa meg a referenciaanyagot (kényelmes kinyomtatni a kézikönyvet)és a 2. pontban keresse meg a permutációk számának képletét.

Gond nélkül – 3 objektumot különböző módokon lehet átrendezni.

Második kérdés: Hányféleképpen választhatsz a) egy gyümölcsöt, b) két gyümölcsöt, c) három gyümölcsöt, d) legalább egy gyümölcsöt?

Miért érdemes választani? Tehát az előző pontban feldobtuk az étvágyat - enni! =)

a) Egy gyümölcsöt természetesen háromféleképpen lehet kiválasztani – vegyünk almát, körtét vagy banánt. A formális számítás a szerint történik a kombinációk számának képlete:

Iratkozzon fel ebben az esetben A következőképpen kell érteni: „Hányféleképpen választhatsz ki egy gyümölcsöt a háromból?”

b) Soroljuk fel két gyümölcs összes lehetséges kombinációját:

alma és körte;
alma és banán;
körte és banán.

A kombinációk száma könnyen ellenőrizhető ugyanazzal a képlettel:

Hasonlóan értelmezhető a szócikk: „hányféleképpen lehet kiválasztani 2 gyümölcsöt a háromból?”

c) És végül három gyümölcs választható az egyetlen mód:

Egyébként a kombinációk számának képlete értelmes marad egy üres mintánál:
Ily módon egyetlen gyümölcsöt sem választhat – sőt, semmit sem vesz, és ennyi.

d) Hányféleképpen szedheti legalább egy gyümölcs? A „legalább egy” feltétel azt jelenti, hogy elégedettek vagyunk 1 gyümölccsel (bármelyik), vagy bármelyik 2 gyümölccsel, vagy mind a 3 gyümölccsel:
ezekkel a módszerekkel kiválaszthat legalább egy gyümölcsöt.

Olvasók, akik alaposan tanulmányozták bevezető óraÁltal valószínűségelmélet, már sejtettünk valamit. De a pluszjel jelentéséről később.

Válaszolni következő kérdés Két önkéntesre van szükségem... ...Nos, mivel senki sem akarja, akkor hívlak a testületbe =)

Harmadik kérdés: Hányféleképpen oszthatsz ki egy-egy gyümölcsöt Dashának és Natasának?

Két gyümölcs kiosztásához először ki kell választani őket. Az előző kérdés „be” bekezdése szerint ezt többféleképpen is meg lehet tenni, átírom őket:

alma és körte;
alma és banán;
körte és banán.

De most kétszer annyi kombináció lesz. Vegyük például az első pár gyümölcsöt:
Dashát almával, Natasát pedig körtével kezelheti;
vagy fordítva – Dasha kapja a körtét, Natasa pedig az almát.

És egy ilyen permutáció minden gyümölcspárnál lehetséges.

Tekintsük ugyanezt diákcsoport aki táncolni ment. Hányféleképpen párosítható egy fiú és egy lány?

Bizonyos módokon kiválaszthat 1 fiatalembert;
módokon választhat 1 lányt.

Így egy fiatalember És Választhatsz egy lányt: módokon.

Ha minden halmazból 1 objektumot választunk ki, a következő kombinációk számlálási elve érvényes: " minden egy halmazból egy tárgy alkothat egy párt mindenkivel egy másik halmaz tárgya."

Vagyis Oleg a 13 lány közül bármelyiket meghívhatja táncolni, Jevgenyi is a tizenhárom közül bármelyiket, és a többi fiatalnak is hasonló választása van. Összesen: lehetséges párok.

Megjegyzendő, hogy ben ebben a példában a pár kialakulásának „története” nem számít; viszont ha a kezdeményezést is figyelembe vesszük, akkor a kombinációk számát meg kell duplázni, hiszen a 13 lány mindegyike bármelyik fiút meghívhatja táncolni. Minden az adott feladat körülményeitől függ!

Hasonló elv érvényes a bonyolultabb kombinációkra is, például: hányféleképpen lehet kiválasztani két fiatalt? És két lány részt venni egy KVN-skitben?

Unió ÉS egyértelműen utal arra, hogy a kombinációkat meg kell szorozni:

Lehetséges művészcsoportok.

Más szóval, minden egy fiúpár (45 egyedi pár) léphet fel bármilyen egy pár lány (78 egyedi pár). És ha figyelembe vesszük a szereposztást a résztvevők között, akkor még több kombináció lesz. ...nagyon szeretném, de továbbra is tartózkodom a folytatástól, hogy ne keltsek benned idegenkedést diákélet =).

A kombinációk szorzásának szabálya is érvényes több szorzók:

8. probléma

Hány létezik háromjegyű számok amelyek oszthatók 5-tel?

Megoldás: az érthetőség kedvéért jelöljük adott szám három csillag: ***

IN százas hely Bármelyik számot beírhatja (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 vagy 9). A nulla nem megfelelő, mivel ebben az esetben a szám már nem háromjegyű.

De be tízes hely("középen") 10 számjegy közül választhat: .

A feltétel szerint a számnak oszthatónak kell lennie 5-tel. Egy szám osztható 5-tel, ha 5-re vagy 0-ra végződik. Így megelégszünk a legkisebb jelentőségű számjegy 2 jegyével.

Összességében van: 5-tel osztható háromjegyű számok.

Ebben az esetben a mű megfejtése a következőképpen történik: „9 módon választhat számot százas hely És 10 módszer a szám kiválasztására tízes hely És 2 út befelé egységek számjegy»

Vagy még egyszerűbben: " minden 9 számjegytől ig százas hely egyesíti mindegyikkel 10 számjegyből áll tízes hely és mindegyikkel két számjegytől ig egységek számjegy».

Válasz: 180

És most...

Igen, majdnem megfeledkeztem az 5. feladathoz beígért kommentárról, amelyben Bornak, Dimának és Volodjának különböző módon oszthatnak egy-egy lapot. A szorzás itt ugyanazt jelenti: 3 kártya eltávolításának módjai a pakliból ÉS mindegyikben minta rendezze át őket módokon.

És most a feladat önálló döntés... most kitalálok valami érdekesebbet, ... legyen szó a blackjack ugyanarról az orosz változatáról:

9. probléma

Hány nyerő kombináció van 2 lapból a "pont" kijátszásakor?

Azok számára, akik nem tudják: a nyerő kombináció 10 + ACE (11 pont) = 21 pont, és nézzük a két ász nyerő kombinációját.

(a kártyák sorrendje minden párban nem számít)

Gyors megoldásés a válasz a lecke végén.

Egyébként ne tekintsd primitívnek a példát. A blackjack szinte az egyetlen olyan játék, amelyhez létezik matematikai alapú algoritmus, amely lehetővé teszi a kaszinó legyőzését. Az optimális stratégiáról, taktikáról könnyen sok információt találhatnak az érdeklődők. Igaz, az ilyen mesterek gyorsan az összes intézmény feketelistájára kerülnek =)

Itt az ideje, hogy összevonjuk az anyagot, amelyet néhány szilárd feladattal lefedtünk:

10. probléma

Vasyának 4 macskája van otthon.

a) Hányféleképpen lehet macskákat leültetni a szoba sarkaiba?
b) hányféleképpen engedheti el a macskákat sétálni?
c) Vasya hányféleképpen tud felvenni két macskát (az egyiket a balján, a másikat a jobbján)?

Döntsünk: először is ismét figyelni kell arra, hogy a probléma foglalkozik különböző tárgyakat (még akkor is, ha a macskák egypetéjű ikrek). Ez nagyon fontos feltétel!

a) A macskák csendje. Ennek a végrehajtásnak megfelelően az összes macska egyszerre
+ a helyük fontos, ezért itt vannak permutációk:
ezekkel a módszerekkel elhelyezheti a macskákat a szoba sarkaiban.

Ismétlem, hogy permutáláskor csak a különböző objektumok számát és azok számát relatív helyzete. Vasya hangulatától függően félkörben ülteti az állatokat a kanapén, sorban az ablakpárkányon stb. – minden esetben 24 permutáció lesz, aki szeretné, elképzelheti, hogy a macskák sokszínűek (például fehér, fekete, piros és cirmos), és felsorolják az összeset. lehetséges kombinációk.

b) Hányféleképpen engedheti el a macskákat sétálni?

Feltételezik, hogy a macskák csak az ajtón keresztül mennek sétálni, és a kérdés közömbösséget jelent az állatok számát illetően - 1, 2, 3 vagy mind a 4 macska mehet sétálni.

Számolunk minden lehetséges kombinációt:

Olyan módokon, ahogy egy macskát (a négy közül bármelyiket) elengedhet sétálni;
hogyan engedhet el két macskát sétálni (sorolja fel maga a lehetőségeket);
oly módon, hogy három macskát elengedhet sétálni (a négy közül az egyik otthon ül);
Így elengedheti az összes macskát.

Valószínűleg úgy gondolta, hogy a kapott értékeket összegezni kell:
hogyan engedheti el a macskákat sétálni.

A rajongók számára a probléma bonyolult változatát ajánlom - ha bármely macska bármely mintában véletlenszerűen ki lehet menni az ajtón és a 10. emeleti ablakon is. Érezhetően megnövekszik a kombinációk száma!

c) Vasya hányféleképpen tud felvenni két macskát?

A helyzet abból áll, hogy nem csak 2 állatot kell kiválasztani, hanem mindkét kézbe kell helyezni:
Ilyen módon 2 macskát vehet fel.

Második megoldás: módszerekkel választhat két macskát Ésültetési módok minden egy pár kéznél:

Válasz: a) 24, b) 15, c) 12

Nos, hogy megtisztítsa a lelkiismeretét, valami konkrétabbat a kombinációk szorzásáról... Hagyjon Vasyának 5 további macskája =) Hányféleképpen engedhet el 2 macskát sétálni? És 1 macska?

Vagyis azzal minden pár macska szabadon engedhető minden macska.

Egy másik gombos harmonika az önálló megoldáshoz:

11. probléma

Három utas szállt fel egy 12 emeletes épület liftjébe. Mindenki, a többiektől függetlenül, azonos valószínűséggel bármelyik (a 2. emelettől kezdve) kiléphet. Hányféleképpen:

1) az utasok ugyanazon az emeleten szállhatnak le (a kilépési sorrend nem számít);
2) az egyik emeleten két ember szállhat le, a másikon egy harmadik;
3) az emberek különböző emeleteken léphetnek ki;
4) Az utasok kiszállhatnak a liftből?

És itt gyakran újra kérdeznek, pontosítok: ha 2-3 ember kilép ugyanazon az emeleten, akkor a kilépés sorrendje nem számít. GONDOLKODJ, használj képleteket és szabályokat a kombinációk összeadásához/szorzásához. Nehézségek esetén hasznos, ha az utasok nevet adnak, és találgatnak, milyen kombinációkkal szállhatnak ki a liftből. Nem kell felháborodni, ha valami nem sikerül, például a 2. pont elég alattomos.

Komplett megoldás részletes megjegyzésekkel a lecke végén.

Az utolsó bekezdés a szintén meglehetősen gyakran előforduló kombinációknak szól - véleményem szerint szubjektív értékelés, a kombinatorikai problémák körülbelül 20-30%-ában:

Permutációk, kombinációk és elhelyezések ismétlésekkel

A felsorolt ​​kombinációtípusokat az 5. bekezdés ismerteti referenciaanyag A kombinatorika alapképletei némelyik azonban első olvasatra nem teljesen egyértelmű. Ebben az esetben először tanácsos megismerkedni gyakorlati példák, és csak ezután érti meg az általános megfogalmazást. Menjünk:

Permutációk ismétlésekkel

Az ismétléses permutációkban, mint a „hétköznapi” permutációkban, mind a sok tárgyat egyszerre, de van egy dolog: ebben a halmazban egy vagy több elem (objektum) ismétlődik. Teljesítse a következő szabványt:

12. probléma

Hány különböző betűkombináció érhető el a kártyák átrendezésével a következő levelekben: K, O, L, O, K, O, L, b, H, I, K?

Megoldás: abban az esetben, ha az összes betű különbözik, akkor egy triviális képletet kell alkalmazni, azonban teljesen egyértelmű, hogy a javasolt kártyakészletnél bizonyos manipulációk „tétlenül” működnek, például ha bármelyik két kártyát felcseréli A „K” betűk bármelyik szóban ugyanazt a szót kapja. Sőt, a kártyák fizikailag nagyon különbözőek lehetnek: az egyik lehet kerek, rányomtatva a „K” betűvel, a másik lehet négyzet alakú „K” betűvel. De a feladat jelentése szerint akár olyan kártyákat is azonosnak tekintendők, mivel a feltétel a betűkombinációkra kérdez rá.

Minden rendkívül egyszerű - csak 11 kártya, beleértve a levelet:

K – 3-szor ismételve;
O – 3-szor ismételve;
L – 2-szer ismételve;
b – 1-szer ismételve;
H – 1-szer ismételve;
És - ismételve 1 alkalommal.

Ellenőrzés: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, amit ellenőrizni kellett.

A képlet szerint permutációk száma ismétlésekkel:
különböző betűkombinációkat kaphatunk. Több mint félmillió!

A nagy faktorérték gyors kiszámításához kényelmesen használható a szabványos Excel-függvény: írja be bármelyik cellába =TÉNY(11)és nyomja meg Enter.

A gyakorlatban teljesen elfogadható, ha nem írunk le általános képletés emellett hagyja ki az egységfaktorokat:

De az ismételt levelekkel kapcsolatban előzetes észrevételek szükségesek!

Válasz: 554400

Az ismétléssel járó permutációk másik tipikus példája a sakkfigurák elhelyezési problémája, amely a raktárban található kész megoldások a megfelelő pdf-ben. Az önálló megoldáshoz pedig egy kevésbé képletes feladattal álltam elő:

13. probléma

Alexey sportol, heti 4 nap - atlétika, 2 nap - erősítő gyakorlatok és 1 nap pihenés. Hányféleképpen tud heti beosztást készíteni magának?

A képlet itt nem működik, mert figyelembe veszi a véletlen cseréket (például a szerdai erőgyakorlatok felcserélését a csütörtöki erőgyakorlatokkal). És még egyszer - valójában ugyanaz a 2 erősítő edzés nagyon eltérhet egymástól, de a feladat kontextusában (az ütemezés szempontjából) ugyanazoknak az elemeknek minősülnek.

Kétsoros megoldás és válasz a lecke végén.

Kombinációk ismétlésekkel

Funkció Ez a fajta kombináció abban áll, hogy a mintát több csoportból veszik, amelyek mindegyike azonos objektumokból áll.

Mindenki keményen dolgozott ma, úgyhogy ideje felfrissülni:

14. probléma

A diákmenzán tésztás kolbászt, sajttortát és fánkot árulnak. Hányféleképpen vásárolhat öt pitét?

Megoldás: azonnal ügyeljen az ismétlődéses kombinációk tipikus kritériumára - a feltétel szerint nem objektumok halmazát kínálják választásra, hanem különféle típusok tárgyak; feltételezzük, hogy legalább öt hot dogot, 5 sajttortát és 5 fánkot kínálnak. Az egyes csoportok pitékje természetesen más - mert teljesen egyforma fánkokat csak számítógépen lehet szimulálni =) fizikai jellemzők a piték a probléma értelmében nem jelentősek, a virsli/túrótorta/fánk pedig azonosnak számít csoportjukban.

Mi lehet a mintában? Először is meg kell jegyezni, hogy biztosan lesznek egyforma piték a mintában (mivel 5 darabot választunk, és 3 féle közül lehet választani). Itt minden ízléshez van lehetőség: 5 hot dog, 5 sajttorta, 5 fánk, 3 hot dog + 2 sajttorta, 1 hot dog + 2 sajttorta + 2 fánk stb.

A „szokásos” kombinációkhoz hasonlóan a piték kiválasztásának és elhelyezésének sorrendje nem számít - csak kiválasztott 5 darabot, és kész.

A képletet használjuk kombinációk száma ismétléssel:
Ezzel a módszerrel 5 pitét vásárolhat.

Jó étvágyat!

Válasz: 21

Milyen következtetés vonható le számos kombinatorikus problémából?

Néha a legnehezebb az állapot megértése.

Hasonló példa egy független megoldásra:

15. probléma

Van elég a pénztárcában nagy számban 1-, 2-, 5- és 10-rubeles érmék. Hányféleképpen lehet három érmét kivenni egy pénztárcából?

Önkontroll céljából válaszoljon néhány egyszerű kérdésre:

1) Eltérhet a mintában szereplő összes érme?
2) Nevezze meg a „legolcsóbb” és „legdrágább” érmék kombinációját!

Megoldás és válaszok a lecke végén.

Az enyémből személyes tapasztalat, elmondhatom, hogy az ismétléses kombinációk a legritkább vendég a gyakorlatban, ami nem mondható el a következő típusú kombinációkról:

Elhelyezések ismétlésekkel

Egy elemekből álló halmazból elemek kerülnek kiválasztásra, és az egyes kijelöléseknél fontos az elemek sorrendje. És minden rendben is lenne, de elég váratlan poén, hogy az eredeti készlet bármelyik tárgyát tetszés szerint választhatjuk ki. Képletesen szólva: „a sokaság nem fog csökkenni”.

Mikor történik ez? Tipikus példa több lemezes kombinációs zár, de a technológia fejlődése miatt célszerűbb figyelembe venni a digitális leszármazottját:

16. probléma

Hány négyjegyű PIN kód van?

Megoldás: valójában a probléma megoldásához elegendő a kombinatorika szabályainak ismerete: bizonyos módokon kiválaszthatja a PIN kód első számjegyét És módok - a PIN-kód második számjegye És annyiféleképpen – harmadik És ugyanaz a szám - a negyedik. Így a kombinációk szorzása szabálya szerint egy négyjegyű pin kódot a következőképpen lehet összeállítani: módokon.

És most a képlet segítségével. A feltételnek megfelelően felkínálunk egy számkészletet, amelyből kiválasztjuk és rendezzük a számokat egy bizonyos sorrendben, míg a mintában szereplő számok megismétlődhetnek (azaz az eredeti halmaz bármely számjegye tetszőleges számú alkalommal használható). Az ismétléses elhelyezések számának képlete szerint:

Válasz: 10000

Mi jut eszembe... ...ha az ATM a harmadik után „megeszi” a kártyát sikertelen próbálkozás PIN kód megadása után nagyon kicsi az esélye annak, hogy véletlenszerűen felvegye.

És ki mondta, hogy a kombinatorikának nincs gyakorlati jelentése? Kognitív feladat az oldal minden olvasójának:

17. probléma

Szerint állami szabvány, egy autó rendszáma 3 számból és 3 betűből áll. Ebben az esetben a három nullát tartalmazó szám elfogadhatatlan, és a betűk az A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X halmazból kerülnek kiválasztásra. (csak azokat a cirill betűket használjuk, amelyek helyesírása egybeesik a latin betűkkel).

Hány különböző rendszámot lehet létrehozni egy régióhoz?

Mellesleg nem is olyan sokan. IN nagy régiók ez a mennyiség nem elegendő, ezért számukra több kód létezik a RUS felirathoz.

A megoldás és a válasz a lecke végén található. Ne felejtsd el használni a kombinatorika szabályait ;-) ...meg akartam mutatni, hogy mi az exkluzív, de kiderült, hogy nem kizárólagos =) Megnéztem a Wikipédiát - ott is vannak számítások, bár kommentár nélkül. Bár benne oktatási célokra, valószínűleg kevesen döntöttek.

A miénk izgalmas tevékenység véget ért, és végül azt szeretném mondani, hogy nem vesztegette az idejét – azért, mert a kombinatorikai képletek egy másik létfontosságúnak találnak gyakorlati alkalmazása: találkoznak különféle feladatokatÁltal valószínűségelmélet,
és be a valószínűség klasszikus meghatározásával kapcsolatos problémák- különösen gyakran =)

Köszönöm mindenkinek aktív részvételés hamarosan találkozunk!

Megoldások és válaszok:

2. feladat: Megoldás: keresse meg 4 kártya összes lehetséges permutációjának számát:

Ha egy nullát tartalmazó kártya kerül az 1. helyre, a szám háromjegyűvé válik, ezért ezeket a kombinációkat ki kell zárni. Legyen a nulla az 1. helyen, majd az alsó számjegyek maradék 3 számjegye különböző módokon átrendezhető.

Jegyzet : mert Mivel csak néhány kártya van, könnyű felsorolni az összes lehetőséget itt:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Így a javasolt készletből elkészíthetjük:
24 – 6 = 18 négyjegyű szám
Válasz : 18

4. feladat: Megoldás: bizonyos módokon 3 kártyát választhatsz a 36-ból.
Válasz : 7140

6. feladat: Megoldás: módokon.
Egy másik megoldás : hogyan választhat ki két személyt a csoportból és és
2) A „legolcsóbb” készlet 3 rubelt tartalmaz, a „legdrágább” pedig 3 tízrubeles érmét.

17. probléma: Megoldás: hogyan hozhat létre digitális kombinációt rendszám, és ezek közül egyet (000) ki kell zárni: .
ezekkel a módszerekkel létrehozhatja a rendszám betűkombinációját.
A kombinációk szorzására vonatkozó szabály szerint a teljes összeg a következő:
rendszámok
(minden digitális kombináció kombinálva van mindegyikkel betűkombináció).
Válasz : 1726272

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete