Determinánsok lineáris egyenletrendszerek megoldásához. Nagy enciklopédia az olajról és a gázról

Rendszerek m lineáris egyenletek Val vel n ismeretlen.
Lineáris egyenletrendszer megoldása- ez egy ilyen számkészlet ( x 1 , x 2 , …, x n), ha a rendszer minden egyenletébe behelyettesítjük, a helyes egyenlőséget kapjuk.
Ahol a ij, i = 1, …, m; j = 1, …, n— rendszeregyütthatók;
b i , i = 1, …, m- ingyenes tagok;
x j , j = 1, …, n- ismeretlen.
A fenti rendszer felírható mátrix formában: A X = B,

Ahol ( A|B) a rendszer fő mátrixa;
A— kiterjesztett rendszermátrix;
x— ismeretlenek oszlopa;
B- oszlop ingyenes tagok.
Ha mátrix B akkor nem nullmátrix ∅ ezt a rendszert a lineáris egyenleteket inhomogénnek nevezzük.
Ha mátrix B= ∅, akkor ezt a lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezzük. Egy homogén rendszernek mindig van nulla (triviális) megoldása: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Együttes lineáris egyenletrendszer egy lineáris egyenletrendszer, amelynek van megoldása.
Inkonzisztens lineáris egyenletrendszer egy megoldhatatlan lineáris egyenletrendszer.
Egy bizonyos lineáris egyenletrendszer- rendelkezik egyetlen döntés lineáris egyenletrendszer.
Határozatlan lineáris egyenletrendszer- rendelkezik végtelen halmaz lineáris egyenletrendszer megoldásai.
N lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel
Ha az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor a mátrix négyzet. A mátrix determinánsát a lineáris egyenletrendszer fő determinánsának nevezik, és a Δ szimbólummal jelöljük.
Cramer módszer rendszerek megoldására n lineáris egyenletek -val n ismeretlen.
Cramer szabálya.
Ha egy lineáris egyenletrendszer fő determinánsa nem egyenlő nullával, akkor a rendszer konzisztens és definiált, és az egyetlen megoldást a Cramer-képletekkel számítjuk ki:
ahol Δ i a rendszer Δ fődeterminánsából kapott determinánsok cserével én oszlopból a szabad tagok oszlopába. .
M lineáris egyenletrendszerek n ismeretlennel
Kronecker–Capelli tétel.

Ahhoz, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszermátrix rangja egyenlő legyen a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával, cseng(Α) = cseng(Α|B).
Ha cseng(Α) ≠ cseng(Α|B), akkor a rendszernek nyilvánvalóan nincsenek megoldásai.
Ha cseng(Α) = cseng(Α|B), akkor két eset lehetséges:
1) rang(Α) = n(ismeretlenek száma) - a megoldás egyedi, és a Cramer-képletekkel érhető el;
2) rang (Α)< n - végtelenül sok megoldás létezik.
Gauss módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására

Hozzunk létre egy kiterjesztett mátrixot ( A|B) egy adott rendszerben az ismeretlenek és a jobb oldal együtthatóiból.
A Gauss-módszer vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere a kiterjesztett mátrix csökkentéséből áll ( A|B) elemi transzformációkkal a sorain átlós alakra (a felső háromszög nézet). Visszatérve az egyenletrendszerhez, minden ismeretlen meghatározott.
A karakterláncok feletti elemi transzformációk a következők:
1) cserélj két sort;
2) egy karakterlánc szorzata 0-tól eltérő számmal;
3) újabb karakterlánc hozzáadása egy karakterlánchoz, tetszőleges számmal megszorozva;
4) nulla vonal kidobása.
Az átlós alakra redukált kiterjesztett mátrix megfelel lineáris rendszer, ezzel egyenértékű, melynek megoldása nem okoz nehézséget. .
Homogén lineáris egyenletrendszer.
A homogén rendszernek a következő formája van:

a mátrixegyenletnek felel meg A X = 0.
1) Egy homogén rendszer mindig konzisztens, hiszen r(A) = r(A|B), mindig létezik nulla megoldás (0, 0, …, 0).
2) Annak érdekében, hogy homogén rendszer nem nulla megoldása volt, szükséges és elegendő az r = r(A)< n , ami ekvivalens Δ = 0-val.
3) Ha r< n , akkor nyilván Δ = 0, akkor szabad ismeretlenek keletkeznek c 1, c 2, …, c n-r, a rendszernek vannak nem triviális megoldásai, és ezekből végtelenül sok van.
4) Általános megoldás x nál nél r< n mátrix formában írható fel a következő módon:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
hol vannak a megoldások X 1 , X 2 , …, X n-r alapvető megoldási rendszert alkotnak.
5) Alapvető rendszer-ből lehet beszerezni a megoldásokat általános megoldás homogén rendszer:

,
ha szekvenciálisan beállítjuk a paraméterértékeket (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Az általános megoldás kiterjesztése az alapvető megoldási rendszer szempontjából egy általános megoldás feljegyzése az alaprendszerhez tartozó megoldások lineáris kombinációja formájában.
Tétel. A lineáris rendszer érdekében homogén egyenletek nem nulla megoldása volt, szükséges és elegendő, hogy Δ ≠ 0.
Tehát, ha a determináns Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van.
Ha Δ ≠ 0, akkor a lineáris homogén egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van.
Tétel. Ahhoz, hogy egy homogén rendszernek legyen nullától eltérő megoldása, szükséges és elegendő az r(A)< n .
Bizonyíték:
1) r nem lehet több n(a mátrix rangja nem haladja meg az oszlopok vagy sorok számát);
2) r< n , mert Ha r = n, akkor a rendszer fő determinánsa Δ ≠ 0, és a Cramer-képletek szerint létezik egy egyedi triviális megoldás x 1 = x 2 = … = x n = 0, ami ellentmond a feltételnek. Eszközök, r(A)< n .
Következmény. A homogén rendszer érdekében n lineáris egyenletek -val n Az ismeretleneknek nem nulla megoldása volt, szükséges és elégséges, hogy Δ = 0.

Előadás 1.1.Numerikus mátrixok és műveletek rajtuk.

Összegzés:Lineáris algebra helye és analitikus geometria a természettudományban. A hazai tudósok szerepe e tudományok fejlődésében. A mátrix fogalma. Műveletek mátrixokkal és tulajdonságaik.

Az ilyen alakú számtáblázatot téglalap alakúnak nevezzük mátrix méretek. A mátrixokat nagy latin betűkkel jelöljük A, B, C, ...A táblázatot alkotó számokat hívjuk elemeket mátrixok. Minden elemnek két indexe van, és , amelyek jelzik a sorszámot () és az oszlop számát (), amelyben az elem található. A következő mátrixjelölést használjuk.

A két mátrixot ún egyenlő , ha azonos dimenziójúak (azaz ugyanannyi soruk és oszlopuk van), és ha a mátrixok megfelelő helyein lévő számok egyenlőek.

Ha egy mátrix sorainak száma megegyezik az oszlopok számával, akkor a mátrix ún. négyzet . Négyzetes mátrixban a sorok (vagy oszlopok) számát a mátrix sorrendjének nevezzük. Különösen az elsőrendű négyzetmátrix egyszerűen valós szám. Ennek megfelelően ezt mondják vektor vonal egy dimenzió mátrixa, és oszlopvektor dimenziója van.

A négyzetmátrix főátlóján elhelyezkedő elemek (balról fentről jobbra haladva alsó sarok), hívják átlós .

Olyan négyzetmátrixot nevezünk, amelynek a főátlón kívüli elemei mindegyike 0 átlós .

Átlós mátrix, amelynek minden átlós eleme egyenlő 1-gyel, és minden átlón kívüli eleme egyenlő 0-val, az ún. egyetlen és vagy jelöli, ahol n a sorrendje.

A mátrixokkal kapcsolatos alapvető műveletek a mátrixok összeadása és a mátrix szorzása egy számmal.

A munka mátrixok A A szám a mátrixszal azonos méretű mátrix A, amelynek minden elemét megszorozzuk ezzel a számmal.

Például: ; .

A mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai:

1.l(m A )=(lm) A (asszociativitás)

2.l( A +BAN BEN )=l A +l BAN BEN (eloszlás a mátrix összeadáshoz képest)

3. (l+m) A =)=l A +m A (eloszlás a számok összeadásával kapcsolatban)

Mátrixok lineáris kombinációja A És BAN BEN az azonos méretű a következő forma kifejezése: a A +b BAN BEN , ahol a,b tetszőleges számok

Összeg mátrixÉs BAN BEN (ez a művelet csak azonos dimenziójú mátrixokra alkalmazható) mátrixnak nevezzük VAL VEL azonos dimenziójú, amelynek elemei egyenlők a megfelelő mátrixelemek összegével A És BAN BEN .

A mátrix összeadás tulajdonságai:

1)A +BAN BEN =BAN BEN +A (kommutativitás)

2)(A +BAN BEN )+VAL VEL =A +(BAN BEN +VAL VEL )=A +BAN BEN +VAL VEL (asszociativitás)

Különbség mátrixÉs BAN BEN (ez a művelet csak azonos dimenziójú mátrixokra vonatkozik) azonos dimenziójú C mátrixnak nevezzük, amelynek elemei egyenlők a megfelelő mátrixelemek különbségével. A És BAN BEN .

Átültetni. Ha egy méretmátrix minden sorának elemeit ugyanabban a sorrendben írjuk be az új mátrix oszlopaiba, és az oszlop száma megegyezik a sorszámmal, akkor az új mátrixot transzponáltnak nevezzük, és jelölve . A dimenzió az A közötti átmenetet transzpozíciónak nevezzük. Az is világos, hogy. ,

Mátrixszorzás. A mátrixszorzás csak akkor lehetséges, ha az első tényező oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával. A szorzás eredményeként olyan mátrixot kapunk, amelynek sorainak száma egybeesik az első tényező sorainak számával, az oszlopok száma pedig a másodikéval:

A mátrixszorzás szabálya: ahhoz, hogy egy elemet kapjunk két mátrix szorzatának 0. sorában és oszlopában, meg kell szorozni az első mátrix sorának elemeit a második mátrix oszlopának elemeivel, és össze kell adni az így kapott termékeket. A matematikai zsargonban néha azt mondják: meg kell szorozni a mátrix harmadik sorát a mátrix harmadik oszlopával. Nyilvánvaló, hogy az első mátrix sorának és a második mátrix oszlopának ugyanannyi elemet kell tartalmaznia.

Ezekkel a műveletekkel ellentétben a mátrix-mátrix szorzás művelete nehezebben definiálható. Legyen két mátrix adott A És BAN BEN , és ezek közül az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával: például a mátrix A dimenzióval és mátrixszal rendelkezik BAN BEN – dimenzió. Ha

, , akkor a dimenziók mátrixa

, ahol (i=1,…,m;j=1,…,k)

mátrixszorzatnak nevezzük A a mátrixhoz BAN BEN és ki van jelölve AB .

A mátrixszorzási művelet tulajdonságai:

1. (AB)C=A(BC)=ABC (asszociativitás)

2. (A+B)C=AC+BC (eloszlás)

3. A(B+C)=AB+A (eloszlás)

4. A mátrixszorzás nem kommutatív: AB nem egyenlő VA ., ha egyenlő, akkor ezeket a mátrixokat kommutatívnak nevezzük.

Elemi átalakulások mátrixok felett:

1. Cseréljen fel két sort (oszlopot)

2. Egy sor (oszlop) szorzása nullától eltérő számmal

3. Egy sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) elemeit, tetszőleges számmal megszorozva

Előadás 1.2.Determinánsok valós együtthatókkal. Az inverz mátrix megtalálása.

Összegzés:Determinánsok és tulajdonságaik. Valós együtthatós determinánsok számítási módszerei. Az inverz mátrix megtalálása harmadrendű mátrixokhoz.

A determináns fogalmát csak négyzetmátrixra vezetjük be. Döntő - Ezt szám, ami teljesen bizonyos szabályokatés vagy det jelöli A .

Döntő mátrixok másodrendű ilyen: vagy

Harmadik rendű determináns a számot úgy hívják:

Hogy emlékezzünk erre a nehézkes képletre, létezik a „háromszögek szabálya”:

Kiszámíthat egy másik módszerrel is - a sorok vagy oszlopok szerinti bontás módszerével. Mutassunk be néhány definíciót:

Kisebb négyzetmátrix A a mátrix determinánsának nevezzük A , amelyet a sor és az oszlop áthúzásával kapunk: például kisebb - .

Algebrai komplementer a determináns elemét minornak nevezzük, saját előjellel vesszük, ha az elemet tartalmazó sor és oszlop számainak összege páros, és ellenkező előjellel, ha a számok összege páratlan: .

Akkor: Harmadik rendű determináns egyenlő az összeggel bármely oszlop (sor) elemeinek szorzata azok szerint algebrai összeadások.

PR: Számítsuk ki a determinánst: az első sor elemeire bővítve.

A determinánsok tulajdonságai:

1. A determináns egyenlő 0-val, ha két egyforma sort (oszlopot) vagy nulla sort (oszlopot) tartalmaz.

2. A determináns megváltoztatja az előjelét, ha két sor (oszlop) átrendeződik.

3. A sorban (egy oszlopban) lévő közös tényező a determináns előjelén túl kivehető.

4. A determináns nem változik, ha egy sorhoz (oszlophoz) tetszőleges számmal szorozva bármely másik sort (egy másik oszlopot) adunk.

5. A determináns nem változik a mátrix transzponálásakor.

6. Az identitásmátrix meghatározója 1:

7. Mátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a termékkel meghatározó tényezők

inverz mátrix.

A négyzetmátrixot ún nem degenerált, ha a determinánsa eltér nullától.

Ha szorzáskor négyzetes mátrixok A És BAN BEN tetszőleges sorrendben megkapjuk az identitásmátrixot ( AB=BA=E ), majd a mátrix BAN BEN a mátrix mátrix inverzének nevezzük A és jelölése , azaz. .

Tétel.Bármi nem szinguláris mátrix van egy inverze.

Algoritmus az inverz mátrix megtalálásához:

Inverz mátrix. Egy négyzetmátrixról azt mondjuk, hogy nem szinguláris, ha a determinánsa nem nulla. BAN BEN másképp degeneráltnak nevezik .

A mátrix inverzét jelöli. Ha létezik az inverz mátrix, akkor az egyedi és

Hol van a j algebrai összeadásokból álló adjunktus (egyesítés):

Ekkor az inverz mátrix determinánsa ennek a mátrixnak a determinánsához kapcsolódik a következő összefüggéssel: . Valóban, , amelyből ez az egyenlőség következik.

Az inverz mátrix tulajdonságai:

1. , ahol azonos rendű nem szinguláris négyzetmátrixok.

3. .

Előadás 1.3.Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerrel, Gauss módszerekkel és mátrixszámítással.

Összegzés:Cramer-módszer és Gauss-módszer lineáris rendszerek megoldására algebrai egyenletek. Mátrix módszer egyenletrendszerek megoldása. Mátrix rang. Kronecker-Capelli tétel. A megoldások alapvető rendszere. Homogén és heterogén rendszerek.

Egyenletrendszer a következő típus:

(*) , ahol , - együtthatók, - változók, hívják lineáris egyenletrendszer. Lineáris egyenletrendszert megoldani azt jelenti, hogy a rendszer összes megoldását jelezzük, pl. olyan változóérték-készletek, amelyek a rendszer egyenleteit azonosságokká alakítják. A lineáris egyenletrendszert ún.

Kezdőlap > Dokumentum

MÁTRIZOK, DETERMINÁNSOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

A MÁTRIX DEFINÍCIÓJA. A MÁTRIZOK TÍPUSAIM méretű mátrix× n készletnek nevezik m·nűrlapba rendezett számok téglalap alakú asztal tól től m vonalak és n oszlopok. Ez a táblázat általában zárójelben van. Például a mátrix így nézhet ki:

A rövidség kedvéért a mátrixot eggyel jelölhetjük nagybetű, Például, A vagy BAN BEN.BAN BEN Általános nézet mátrix mérete m× nírd meg így

A mátrixot alkotó számokat nevezzük mátrix elemek. A mátrixelemeket célszerű két indexszel ellátni a ij: Az első a sor számát, a második az oszlop számát jelöli. Például, a 23 – az elem a 2. sorban, a 3. oszlopban van, ha egy mátrixban a sorok száma megegyezik az oszlopok számával, akkor a mátrix ún. négyzet, és a sorok vagy oszlopok számát hívjuk meg sorrendben mátrixok. A fenti példákban a második mátrix négyzet alakú - sorrendje 3, a negyedik mátrix pedig 1. Egy olyan mátrixot, amelyben a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával, nevezzük. négyszögletes. A példákban ez az első és a harmadik mátrix. Vannak olyan mátrixok is, amelyeknek csak egy sora vagy egy oszlopa van mátrix - sor(vagy karakterlánc), és egy mátrix csak egy oszlopot mátrix - oszlop.Olyan mátrixot nevezünk, amelynek minden eleme nulla nullaés (0) vagy egyszerűen 0 jelöli. Például,

Főátló négyzetmátrixnak a bal felsőtől a jobb alsó sarok felé haladó átlót nevezzük.

Olyan négyzetmátrixot nevezünk, amelyben a főátló alatti összes elem nullával egyenlő háromszög alakú mátrix.

Egy négyzetmátrixot, amelyben minden elem, kivéve talán a főátlón lévőket, egyenlő nullával, az ún. átlós mátrix. Például, vagy Olyan átlós mátrixot hívunk, amelyben minden átlós elem egyenlő eggyel egyetlen mátrixot és E betűvel jelöljük. Például a 3. rendű azonosságmátrix alakja .CSELEKVÉSEK A MÁTRIKUKONMátrix egyenlőség. Két mátrix AÉs B egyenlőnek mondjuk, ha azonos számú soruk és oszlopuk van, és a megfelelő elemeik egyenlőek a ij = b ij. Tehát, ha És , Azt A=B, Ha a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 És a 22 = b 22 .Átültetni. Mérlegeljük tetszőleges mátrix A tól től m vonalak és n oszlopok. A következő mátrixhoz társítható B tól től n vonalak és m oszlopok, amelyekben minden sor egy mátrixoszlop A ugyanazzal a számmal (tehát minden oszlop a mátrix egy sora A ugyanazzal a számmal). Tehát, ha , Azt .Ez a mátrix B hívott átültetve mátrix A, és az átmenetet A Nak nek B átültetésÍgy a transzpozíció a mátrix sorai és oszlopai szerepének megváltozása. Mátrix transzponált mátrixba A, általában jelölve A T.Matrix közötti kapcsolat A transzponálása pedig a formába írható. Például. Keresse meg az adott transzponált mátrixát! Mátrix összeadás. Hagyjuk a mátrixokat AÉs B magába foglal ugyanaz a szám sorok és ugyanannyi oszlop, azaz. van azonos méretek. Majd mátrixok hozzáadásához AÉs B mátrixelemekhez szükséges A mátrixelemek hozzáadása B ugyanazokon a helyeken állva. Így két mátrix összege AÉs B mátrixnak nevezzük C, amelyet a szabály határoz meg, pl.

Példák. Keresse meg a mátrixok összegét:

Könnyen ellenőrizhető, hogy a mátrixösszeadás megfelel-e a következő törvényeknek: kommutatív A+B=B+Aés asszociatív ( A+B)+C=A+(B+C).Egy mátrix szorzása egy számmal. Egy mátrix szorzásához A számonként k a mátrix minden elemére szükség van A szorozzuk meg ezzel a számmal. Így a mátrixszorzat A számonként k Van új mátrix, amelyet a szabály határoz meg

vagy .Bármilyen számra aÉs bés mátrixok AÉs B a következő egyenlőségek érvényesek:

Példák.

Mátrix C nem található, mert mátrixok AÉs B különböző méretűek. Mátrixszorzás. Ezt a műveletet egy sajátos törvény szerint hajtják végre. Először is megjegyezzük, hogy a faktormátrixok méretének konzisztensnek kell lennie. Csak azokat a mátrixokat szorozhatja meg, amelyekben az első mátrix oszlopainak száma egybeesik a második mátrix sorainak számával (azaz az első sor hossza megegyezik a második oszlop magasságával). A munka mátrixok A nem mátrix Búj mátrixnak nevezik C=AB, amelynek elemei a következőkből állnak:

Így például a termék megszerzéséhez (azaz a mátrixban C) elem, amely az 1. sorban és a 3. oszlopban található c 13 , akkor az 1. mátrixban az 1. sort, a 2. oszlopban a 3. oszlopot kell venni, majd a sorelemeket meg kell szorozni a megfelelő oszlopelemekkel, és össze kell adni a kapott szorzatokat. A szorzatmátrix többi elemét pedig az első mátrix sorainak és a második mátrix oszlopainak hasonló szorzatával kapjuk meg. általános eset, ha a mátrixot megszorozzuk A = (a ij ) méret m× n a mátrixhoz B = (b ij ) méret n× p, akkor megkapjuk a mátrixot C méret m× p, melynek elemeit a következőképpen számítjuk ki: elem c ij elemek szorzata eredményeként kapjuk meg én mátrix sora A a megfelelő elemekhez j mátrixoszlop Bés összeadásaik Ebből a szabályból az következik, hogy mindig meg lehet szorozni két azonos sorrendű négyzetmátrixot, így egy azonos sorrendű négyzetmátrixot kapunk. Különösen egy négyzetes mátrix mindig szorozható önmagával, azaz. négyzet Egy másik fontos eset egy sormátrix szorzása egy oszlopmátrixszal, és az első szélességének meg kell egyeznie a második magasságával, ami elsőrendű mátrixot (azaz egy elemet) eredményez. Igazán,

Példák.

Keressen elemeket c 12 , c 23 És c 21 mátrixok C.

Keresse meg a mátrixok szorzatát.

megtalálja ABÉs VA.

megtalálja ABÉs VA. , B·A- nincs értelme tehát ezeknek egyszerű példák mutassák meg, hogy a mátrixok általánosságban véve nem ingáznak egymással, pl. A∙B ≠ B∙A . Ezért a mátrixok szorzásakor gondosan figyelni kell a tényezők sorrendjét. Ellenőrizheti, hogy a mátrixok szorzása megfelel-e az asszociatív és eloszlási törvényeknek, pl. (AB)C=A(BC)És (A+B)C=AC+BC.Négyzetes mátrix szorzásakor is könnyen ellenőrizhető A tovább identitásmátrix E ugyanilyen sorrendben ismét egy mátrixot kapunk A, és AE=EA=A A következő érdekes tényt lehet megjegyezni. Mint tudod, 2 nem nulla szám szorzata nem egyenlő 0-val. Mátrixoknál ez nem biztos, hogy így van, azaz. 2 nem szorzata nulla mátrixok egyenlőnek bizonyulhat a nulla mátrixszal. Például, Ha

, Azt

A DETERMINÁNSOK FOGALMA Legyen adott egy másodrendű mátrix - egy négyzetes mátrix, amely két sorból és két oszlopból áll. Másodrendű determináns egy adott mátrixnak megfelelő a következőképpen kapott szám: a 11 a 22 -a 12 a 21 .A determinánst a szimbólum jelzi

Tehát a másodrendű determináns megtalálásához ki kell vonni a második átló mentén lévő elemek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából. Példák. Számítsa ki a másodrendű determinánsokat!

Hasonlóképpen tekinthetünk egy harmadrendű mátrixot és a hozzá tartozó determinánst. Harmadik rendű determináns, amely egy adott harmadrendű négyzetmátrixnak felel meg, egy szám, amelyet a következőképpen jelölünk és kapunk:

Így ez a képlet megadja a harmadrendű determináns kiterjesztését az első sor elemeire nézve a 11 , a 12 , a 13 és a harmadrendű determináns számítását a másodrendű determinánsok kiszámítására redukálja. Példák. Számítsa ki a harmadrendű determinánst!
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. Hasonlóképpen bevezetheti a determinánsok fogalmát a negyedik, ötödik stb. sorrendben, az 1. sor elemeire bővítve a sorrendjüket, miközben a kifejezések „+” és „–” jelei váltakoznak egy bizonyos módon megfeleltetésbe kerül a mátrixszal.

A MEGHATÁROZÓ SZEREK TULAJDONSÁGAI

Bizonyíték igazolással történik, azaz. az írott egyenlőség mindkét oldalának összehasonlításával. Számítsuk ki a determinánsokat a bal és a jobb oldalon:

abszolút érték

Bizonyíték az 1. tulajdonság bizonyításához hasonlóan mindkét rész összehasonlításával történik. Végezzük el a másodrendű determinánsra.

A harmadrendű determináns esetében ellenőrizze saját maga. Valóban, ha itt átrendezzük a 2. és 3. sort, akkor a 2. tulajdonság alapján ennek a determinánsnak előjelet kell váltania, de maga a determináns ebben az esetben nem változik, i.e. kapunk | A| = –|A| vagy | A| = 0. Bizonyíték igazolással történik, mint az 1. tulajdonság. (Önállóan)

Ha egy determináns bármely sorának vagy oszlopának minden eleme nulla, akkor maga a determináns nulla. (Igazolással). Ha egy determináns bármely sorának vagy oszlopának minden eleme 2 tag összegeként jelenik meg, akkor a determináns 2 determináns összegeként ábrázolható a képlet segítségével, például:

Bizonyíték- ellenőrzés, hasonlóan az 1. tulajdonsághoz.

Ha a determináns bármely sorához (vagy oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit, megszorozva ugyanazzal a számmal, akkor a determináns nem változtatja meg az értékét. Például,

. Bizonyítsuk be ezt az egyenlőséget a determináns előző tulajdonságaival.

A determinánsok ezen tulajdonságait meglehetősen gyakran használják a determinánsok kiszámításakor és különféle problémák esetén. ALGEBRAI KIEGÉSZÍTŐK ÉS MINOROK Legyen egy harmadrendű determinánsunk:

.Kisebb, ennek az elemnek megfelelő a ij harmadrendű determináns olyan másodrendű determináns, amelyet egy adottból úgy kapunk, hogy töröljük azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában az adott elem áll, azaz. én-edik sor és j oszlop. Adott elemnek megfelelő minorok a ij jelölni fogjuk M ij .Például, kisebb M 12 , az elemnek megfelelő a 12 , lesz meghatározó

, amelyet az 1. sor és a 2. oszlop törlésével kapunk az adott determinánsból. Így a harmadrendű determinánst definiáló formula azt mutatja, hogy ez a determináns egyenlő az 1. sor elemeinek és a hozzájuk tartozó mellékelemek szorzatának összegével. ; ebben az esetben az elemnek megfelelő moll a 12 , „–” jellel veszik, azaz. ezt írhatjuk

Hasonlóképpen bevezethetjük a kiskorúak definícióit a másodrendű és magasabb rendű determinánsokra. Vezessünk be még egy fogalmat. Algebrai komplementer elem a ij a determinánst minornak nevezzük M ij, szorozva (–1) i+j .Elem algebrai komplementere a ijáltal jelölve A ij.A definícióból azt találjuk, hogy egy elem algebrai komplementere és mollja közötti kapcsolatot az egyenlőség fejezi ki A ij= (–1) i+j M ij . Például, Példa. Egy determináns adott. megtalálja A 13 , A 21 , A 32 .

Könnyen belátható, hogy az (1) képletet a következő alakban írhatjuk fel: Ehhez a képlethez hasonlóan megkaphatjuk a determináns kiterjesztését bármely sor vagy oszlop elemeire a determináns kiterjesztése a 2. sor elemeire a következőképpen érhető el. A determináns 2. tulajdonsága szerint a következőkkel rendelkezünk: A kapott determinánst bontsuk ki az 1. sor elemeire.

Innen

mert A (2) képlet másodrendű determinánsai az elemek minorjai a 21 , a 22 , a 23 . Így, i.e. megkaptuk a determináns kiterjesztését a 2. sor elemeire Hasonlóan megkaphatjuk a determináns kiterjesztését a harmadik sor elemeire. A determinánsok 1. tulajdonságát felhasználva (a transzpozícióról) megmutathatjuk, hogy a hasonló kiterjesztések az oszlopok elemeivel történő bővítéskor is érvényesek. Így a következő tétel érvényes. Tétel (egy determináns adott sorra vagy oszlopra való kiterjesztéséről). A determináns egyenlő bármely sora (vagy oszlopa) elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatával. A fentiek mindegyike igaz bármely magasabb rendű determinánsra is. Példák.

egyenlő nullával

INVERZ MÁTRIX

Az inverz mátrix fogalmát csak azért vezették be négyzetes mátrixok.Ha A akkor négyzetmátrix fordított számára a mátrix egy mátrix, jelölve A -1 és kielégíti a feltételt. (Ezt a meghatározást a számok szorzásával analóg módon vezetjük be) A következő tétel érvényes: Tétel. Négyzetmátrix érdekében A inverze volt, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen. Bizonyíték:

Szükségesség

-1

Először is megjegyezzük, hogy bizonyítani lehet következő ingatlan meghatározó tényezők Tegyük fel, hogy | A| = 0. Akkor

. De más módon

. Az ebből eredő ellentmondás bizonyítja, hogy | A| ≠ 0.

Mutassuk meg, hogy ebben az esetben az inverz mátrix lesz a mátrix

, Ahol A ij elem algebrai komplementere a ij. Keressük AB=C. Vegye figyelembe, hogy a mátrix összes átlós eleme C egyenlő lesz 1-gyel. Valóban, pl.

Hasonlóképpen, a determináns karakterlánc elemeire való kiterjesztésének tételével bebizonyítható, hogy c 22 = c 33 = 1. Ezenkívül a mátrix összes nem átlós eleme C egyenlők nullával. Például,
Ennélfogva, AB=E. Hasonlóképpen kimutatható, hogy BA=E. Ezért B=A -1 .A tétel tehát tartalmaz egy módszert az inverz mátrix megtalálására

Ahol A ij- elemek algebrai összeadása a ij adott mátrix A Tehát a szükséges inverz mátrix megtalálásához: Hasonlóan másodrendű mátrixokhoz, az inverz a következő mátrix lesz .Példák. |A| = 2. Keresse meg a mátrixelemek algebrai komplementereit! A. Vizsgálat: . Hasonlóképpen A∙A -1 = E. . Számoljunk | A| = 4. Akkor . .

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel formarendszernek nevezzük

Ahol a ijÉs b én (én=1,…,m; b=1,…,n) - néhány ismert számok, A x 1 ,…,x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij első index én jelöli az egyenlet számát, és a második j– az ismeretlenek száma, amelynél ez az együttható áll. Az ismeretlenek együtthatóit felírjuk egy mátrixba, amelyet meg fogunk hívni a rendszer mátrixa.Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívják ingyenes tagok. Totalitás n számok c 1 ,…,c n hívott döntés egy adott rendszerre, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1 ,…,x n.A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet adódhat: Olyan lineáris egyenletrendszert, amelynek legalább egy megoldása van, ún. közös. Ellenkező esetben, pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún nem ízületi Nézzük meg, hogyan lehet megoldást találni a rendszerre. MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszermátrixot és mátrixok oszlopai ismeretlen és szabad kifejezések Keressük a munkát

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer a formába írható vagy rövidebb A∙X=B.Itt vannak a mátrixok AÉs B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert... elemei jelentik a megoldást erre a rendszerre. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.Legyen a mátrix determinánsa más, mint nulla | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A -1 , a mátrix inverze A: . Mert a A -1 A=EÉs E∙X = X, akkor megkapjuk a megoldást mátrix egyenlet mint X = A -1 B Figyeljük meg, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixoknál található, akkor mátrix módszer csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos rögzítése azonban lehetséges abban az esetben is, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem lesz négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.Példák. Egyenletrendszerek megoldása. Keressük meg a mátrix inverzét A. , És így, x = 3, y = – 1.
Így, x 1 =4,x 2 =3,x 3 =5. Adjuk meg a szükséges mátrixot x tól től adott egyenlet. Keressük a mátrixot A -1 . Vizsgálat: A kapott egyenletből . Ennélfogva, CRAMER SZABÁLYA Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

A rendszermátrixnak megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,

hívott a rendszer meghatározójaÁllítsunk össze három további determinánst a következőképpen: cseréljük le egymás után a D determináns 1, 2 és 3 oszlopát egy szabad tagok oszlopával.

Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani. Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyíték. Tehát vegyünk egy 3 egyenletrendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem a 11 , 2. egyenlet – be A 21 és 3. – on A 31 :

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Nézzük meg az egyes zárójeleket és jobb oldal ezt az egyenletet. Az 1. oszlop elemeiben a determináns kiterjesztésének tételével

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és Végül könnyen észrevehető Így megkapjuk az egyenlőséget: .Így, .Hasonlóan származnak a és egyenlőségek, amiből a tétel állítása következik. Így megjegyezzük, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, ill. oda-vissza. Ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, akkor a rendszernek vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs megoldása, pl. összeegyeztethetetlen. Példák. Egyenletrendszer megoldása
Így, x=1, nál nél=2, z=3. A rendszernek egyedi megoldása van, ha Δ ≠ 0. . Ezért . GAUSS MÓDSZER A korábban tárgyalt módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Benne fekszik következetes kirekesztés ismeretlenek a rendszer egyenleteiből Tekintsük újra a rendszert három egyenlet három ismeretlennel:

Lineáris egyenletrendszerek

Az egyenletrendszer a következő:

ahol a ij, b i numerikus együtthatók, x i változók, ún lineáris egyenletrendszer.

A lineáris egyenletrendszer megoldása a rendszer összes megoldásának jelzését jelenti, vagyis olyan változók értékkészletét, amelyek a rendszer egyenleteit azonosságokká alakítják.

A lineáris egyenletrendszert:

kötés, ha van legalább egy megoldása;

inkonzisztens, ha nincsenek megoldásai;

határozott, ha egyedi megoldása van;

homogén, ha minden b i = 0;

heterogén, ha mind b i ≠ 0.

Cramer szabálya

(Gabriel Cramer (1704-1752) svájci matematikus)

Ez a módszer csak olyan lineáris egyenletrendszerek esetén alkalmazható, ahol a változók száma egybeesik az egyenletek számával. Ezenkívül korlátozásokat kell bevezetni a rendszertényezőkre vonatkozóan. Szükséges, hogy minden egyenlet lineárisan független legyen, azaz. egyetlen egyenlet sem lenne a többi lineáris kombinációja.

Ehhez szükséges, hogy a rendszermátrix determinánsa ne legyen egyenlő 0-val.

 = det A  0;

Tétel. (Cramer szabálya):

N egyenletrendszer n ismeretlennel

Ha a rendszermátrix determinánsa nem egyenlő nullával, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és ezt a megoldást a képletekkel találjuk meg:

x i = ;

Ahol  - fő meghatározó, amely az ismeretlenek numerikus együtthatóiból áll, és  i – kisegítő minősítő, amelyet a főből úgy kaptunk, hogy az i-edik oszlopot egy szabad kifejezések oszlopával b i helyettesítjük.

 i =

Példa. Oldja meg a rendszert a Cramer-szabály segítségével.

;

 1 =
;  2 =
;  3 =
;

x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;

Példa. Keresse meg az egyenletrendszer megoldását:

 =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

 1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Ha a rendszer homogén, pl. b i = 0, akkor 0-nál a rendszernek van egy egyedi nulla megoldása x 1 = x 2 = … = x n = 0.

Mátrix módszer

A mátrix módszer olyan egyenletrendszerek megoldására alkalmazható, ahol az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával.

Ez a módszer alkalmas alacsony rendű rendszerek megoldására. A mátrixszorzás tulajdonságainak alkalmazásán alapul.

Legyen adott az egyenletrendszer:

Vezessük be a következő jelölést:

A=
- rendszeregyüttható mátrix;

B = mátrix – szabad kifejezések oszlopa;

X = - mátrix – ismeretlenek oszlopa.

Az egyenletrendszer felírható mátrix formában:

Végezzük el a következő transzformációt: A -1 AX = A -1 B,

mert A -1 A = E, akkor EX = A -1 B, kapjuk

X = A -1  B - a mátrixegyenlet megoldása

Példa . Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Megoldás:

,
,
.

Megkapjuk a mátrix egyenletet
.

Az ő döntése
, azaz

(Az inverz mátrix megtalálásáról korábban volt szó).

Gauss módszer

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus)

A mátrix-módszerrel és a Cramer-módszerrel ellentétben a Gauss-módszer alkalmazható lineáris egyenletrendszerekre bármilyen szám egyenletek és ismeretlenek. A módszer lényege az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölése.

Tekintsünk egy lineáris egyenletrendszert:

Meghatározás: Együtthatóiból álló mátrix ismeretlen rendszerek, rendszermátrixnak nevezzük.

Meghatározás: A mátrixot egy rendszer kiterjesztett mátrixának nevezzük, ha a rendszer szabad tagjaiból álló oszlopot hozzáadjuk az A mátrixhoz.

A kiterjesztett mátrix a rendszer kódolt rekordja. A mátrix sorai megfelelnek a rendszer egyenleteinek. Ha megszorozunk egy egyenletet egy számmal, és hozzáadjuk ezt a szorzatot egy másik egyenlettel, akkor az egyenlő azzal, hogy egy mátrixsort megszorozunk ezzel a számmal, és a szorzatot tagonként hozzáadjuk egy másik mátrixsorhoz. Így az egyenletekkel való munka helyettesíthető mátrixsorokkal.

Meghatározás: Az A mátrixot lépésenként hívjuk, ha:

A) bármelyik sorában van legalább egy nullától eltérő elem,

B) minden sor első nem nulla eleme, a másodiktól kezdve, az előző sor nullától eltérő elemétől jobbra helyezkedik el.

A Gauss-módszer hatékony módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására és tanulmányozására. Abból áll, hogy ezt a lineáris egyenletrendszert egy lépés típusú ekvivalens rendszerré alakítják, amely könnyen megoldható és tanulmányozható. A Gauss-módszer alkalmazása nem függ sem az egyenletek számától, sem az ismeretlenek számától a rendszerben.

Nézzük meg a Gauss-módszer ötletét konkrét példák segítségével.

Példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Hozzuk létre a rendszer kibővített mátrixát, és elemi transzformációk segítségével hozzuk formába:

, honnan kapjuk: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Példa. Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel!

Hozzuk létre a rendszer kiterjesztett mátrixát.

Így az eredeti rendszer a következőképpen ábrázolható:

Tanfolyami projekt magyarázó jegyzet

Tanfolyami projekt

És a mátrix harmadik oszlopát találjuk kiegészítő minősítők: Keresse meg a polinom együtthatóit: Így... szorzat: Keresse meg a szorzatot: Keresse meg a fő döntő: Találunk kiegészítő minősítőkés a mátrixot egyesével helyettesítve...

Módszertani ajánlások egy tanuló tanórán kívüli önálló munkájának elvégzéséhez a „matematika” szakterületen

Irányelvek

Példa: kiszámítani döntő másodrendű 1) 2) 2. Számítsa ki döntő harmadik rend Döntő harmadik rendet hívjuk... az ismeretlenek együtthatóiból Komponáljunk kiegészítő minősítők rendszer a következő: ... Akkor...

Az Orosz Föderáció mint tankönyv felsőoktatási intézmények nyelvi szakokat tanuló hallgatói számára Moszkva "Felsőiskola" 2002

Tankönyv

Utántöltők, kiegészítő igék, aspektus- és fázisigék, erősítő határozók, jelzők minősítők; heterogén... egy "anyag" szó és "" szó kombinálásával kiegészítő-nyelvtani" szó. Ennek megfelelően és...

A felsőbb matematikai feladatok megoldása során nagyon gyakran felmerül az igény számítsuk ki egy mátrix determinánsát. A mátrix determináns megjelenik benne lineáris algebra, analitikus geometria, matematikai elemzésés más szakaszok felsőbb matematika. Így egyszerűen lehetetlen nélkülözni a determinánsok megoldásának készségét. Önellenőrzéshez ingyenesen letölthet egy determináns-kalkulátort, amely önmagában nem tanítja meg a determinánsok megoldását, de nagyon kényelmes, hiszen mindig előnyös, ha előre tudja a helyes választ!

Nem adok szigorúat matematikai meghatározás meghatározó, és általában megpróbálom minimalizálni a matematikai terminológiát, ez nem fogja megkönnyíteni a legtöbb olvasó dolgát. Ennek a cikknek az a célja, hogy megtanítsa, hogyan kell megoldani a második, harmadik és a meghatározó tényezőket negyedik rend. Az összes anyagot egyszerű és hozzáférhető formában mutatják be, és még egy teljes (üres) teáskanna is a magasabb matematikában, az anyag alapos tanulmányozása után, képes lesz helyesen megoldani a meghatározó tényezőket.

A gyakorlatban leggyakrabban találhatunk másodrendű determinánst, például: és harmadrendű determinánst, például: .

Negyedrendű determináns Szintén nem antik, és a lecke végén kitérünk rá.

Remélem mindenki érti a következőket: A determináns belsejében lévő számok önmagukban élnek, és szó sincs kivonásról! A számokat nem lehet felcserélni!

(Különösen lehetséges egy determináns sorainak vagy oszlopainak páronkénti átrendezése előjelének megváltoztatásával, de gyakran ez nem szükséges - lásd a következő leckét: A determináns tulajdonságai és a sorrend csökkentése)

Így ha bármilyen determináns adott, akkor Semmihez sem nyúlunk benne!

Megnevezések: Ha adott egy mátrix , akkor a determinánsát jelöljük. Nagyon gyakran a determinánst is jelölik latin betű vagy görögül.

1)Mit jelent egy meghatározót megoldani (megtalálni, felfedni)? A determináns kiszámítása a SZÁM MEGTALÁLÁSA. A fenti példákban a kérdőjelek teljesen hétköznapi számok.

2) Most még ki kell találni HOGYAN találhatom meg ezt a számot? Ehhez jelentkezni kell bizonyos szabályokat, képleteket és algoritmusokat, amiről most szó lesz.

Kezdjük a "kettő" determinánssal "kettő":

ERRE EMLÉKEZTETNI KELL, legalábbis az egyetemi felsőfokú matematika tanulmányai során.

Nézzünk rögtön egy példát:

Kész. A legfontosabb az, hogy NE VEGYED BE A JELZÉSEKET.

Háromszor három mátrix determinánsa 8 féleképpen nyitható, ebből 2 egyszerű és 6 normál.

Kezdjük kettővel egyszerű módokon

Hasonlóan a két-két determinánshoz, a háromszoros determináns is kibővíthető a következő képlettel:

A képlet hosszú, és gondatlanságból könnyen hibázhatunk. Hogyan kerüljük el a bosszantó hibákat? Erre a célra egy második módszert találtak ki a determináns kiszámítására, amely valójában egybeesik az elsővel. Sarrus-módszernek vagy „párhuzamos szalagok” módszernek hívják.
A lényeg az, hogy a determinánstól jobbra rendelje hozzá az első és a második oszlopot, és óvatosan rajzoljon vonalakat ceruzával:

A „piros” átlókon található szorzók „plusz” jellel szerepelnek a képletben.
A „kék” átlókon található szorzók mínuszjellel szerepelnek a képletben:

Példa:

Hasonlítsa össze a két megoldást. Könnyen belátható, hogy ugyanarról van szó, csak a második esetben a képlettényezők kissé átrendeződnek, és ami a legfontosabb, sokkal kisebb a tévedés valószínűsége.

Most nézzük meg a hat szokásos módszert a determináns kiszámítására

Miért normális? Mert az esetek túlnyomó többségében így kell nyilvánosságra hozni a minősítőket.

Ahogy észrevette, a háromszor három meghatározónak három oszlopa és három sora van.
A determinánst kinyitva tudod megoldani bármely sor vagy oszlop szerint.
Így 6 módszer létezik, minden esetben használva azonos típusú algoritmus.

A mátrix determinánsa megegyezik a sor (oszlop) elemeinek a megfelelő algebrai komplementerek szorzatának összegével. Ijedős? Minden sokkal egyszerűbb, nem tudományos, de érthető megközelítést alkalmazunk, amely még a matematikától távol álló ember számára is elérhető.

A következő példában kibővítjük a determinánst az első sorban.
Ehhez szükségünk van egy jelmátrixra: . Könnyen észrevehető, hogy a táblák sakktábla-mintázatban vannak elrendezve.

Figyelem! A jelek mátrixa az enyém saját találmány. Ez a koncepció nem tudományos, nem kell használni a feladatok végső tervezésénél, csak segít megérteni a determináns számítási algoritmusát.

Először hozom komplett megoldás. Ismét vesszük kísérleti determinánsunkat, és elvégezzük a számításokat:

ÉS fő kérdés: HOGYAN vehetjük ki ezt a „háromszor három” determinánsból:
?

Tehát a "háromszor három" determináns -ra redukálódik hármas döntése kis determinánsok, vagy más néven, MINOROV. Javaslom, hogy emlékezzen a kifejezésre, főleg, hogy emlékezetes: minor – kicsi.

Miután kiválasztottuk a determináns lebontásának módszerét az első sorban, nyilvánvaló, hogy minden körülötte forog:

Az elemek általában balról jobbra néznek (vagy fentről lefelé, ha egy oszlopot jelöltek ki)

Menjünk, először a sor első elemével, azaz eggyel foglalkozunk:

1) A jelek mátrixából kiírjuk a megfelelő jelet:

2) Ezután felírjuk magát az elemet:

3) MENTESEN húzza át azt a sort és oszlopot, amelyben az első elem megjelenik:

A maradék négy szám alkotja a „kettő-kettő” determinánst, amelyet ún KIS ennek az elemnek(egység).

Térjünk át a sor második elemére.

4) A jelek mátrixából kiírjuk a megfelelő jelet:

5) Ezután írja be a második elemet:

6) MENTESEN húzza át azt a sort és oszlopot, amelyben a második elem megjelenik:

Nos, az első sor harmadik eleme. Nincs eredetiség:

7) A jelek mátrixából kiírjuk a megfelelő jelet:

8) Írja le a harmadik elemet:

9) MENTÁLISAN húzd át a harmadik elemet tartalmazó sort és oszlopot:

A maradék négy számot kis determinánsba írjuk.

A fennmaradó akciók nem okoznak nehézséget, hiszen már tudjuk, hogyan kell számolni a két-két meghatározó tényezőt. NE VESZEDJEN MEG A JELZÉSEKBEN!

Hasonlóképpen, a determináns bármely sorra vagy oszlopra kiterjeszthető. Természetesen mind a hat esetben ugyanaz a válasz.

A négyszer-négy determináns kiszámítható ugyanazzal az algoritmussal.
Ebben az esetben a jelmátrixunk növekedni fog:

A következő példában kibővítettem a determinánst a negyedik oszlop szerint:

Hogyan történt, próbáld meg kitalálni magad. további információ Később lesz. Ha valaki a végére akarja megoldani a determinánst, a helyes válasz: 18. Gyakorlás céljából jobb, ha a determinánst valamilyen más oszlop vagy sor segítségével oldja meg.

Gyakorolni, feltárni, számolni nagyon jó és hasznos. De mennyi időt fog tölteni a nagy selejtezővel? Nincs gyorsabb és megbízhatóbb módszer? Azt javaslom, hogy ismerkedjen meg hatékony módszerek determinánsok számítása a második leckében - A determináns tulajdonságai. A determináns sorrendjének csökkentése.

LÉGY ÓVATOS!

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete