Elsőfokú egyenletek és egyenletrendszerek. Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel

Elsőfokú egyenletek és egyenletrendszerek

Két szám vagy bármilyen kifejezés, amelyeket a „=” jel formája köt össze egyenlőség. Ha a megadott számok vagy kifejezések egyenlőek a betűk bármely értékére, akkor ezt az egyenlőséget hívják identitás.

Például amikor azt állítják, hogy bármely Aérvényes:

A + 1 = 1 + A, itt az egyenlőség az identitás.

Egyenlet tartalmazó egyenlőségnek nevezzük ismeretlen számok betűkkel jelezve. Ezeket a betűket hívják ismeretlen. Az egyenletben több ismeretlen is lehet.

Például a 2. egyenletben X + at = 7X– 3 két ismeretlen: XÉs at.

A bal oldali kifejezés a (2.) egyenletben X + at) az egyenlet bal oldalának, a (7) egyenlet jobb oldalán lévő kifejezést X– 3), jobb oldalának nevezzük.

Az ismeretlen értékét, amelynél az egyenlet azonossággá válik, nevezzük döntés vagy gyökér egyenletek

Például, ha a 3. egyenletben X+ 7=13 ismeretlen helyett X behelyettesítjük a 2-es számot, megkapjuk az azonosságot. Ezért az érték X= 2 kielégíti az adott egyenletet, a 2 pedig az adott egyenlet megoldása vagy gyöke.

A két egyenletet ún egyenértékű(vagy egyenértékű), ha az első egyenlet minden megoldása a második egyenlet megoldása és fordítva, akkor a második egyenlet minden megoldása az első egyenlet megoldása. Az ekvivalens egyenletek közé tartoznak azok az egyenletek is, amelyeknek nincs megoldása.

Például a 2. egyenletek X– 5 = 11 és 7 X+ 6 = 62 ekvivalensek, mivel ugyanaz a gyökük X= 8; egyenletek X + 2 = X+ 5 és 2 X + 7 = 2X egyenértékűek, mert mindkettőnek nincs megoldása.

Egyenértékű egyenletek tulajdonságai

1. Az egyenlet mindkét oldalához bármely olyan kifejezést hozzáadhat, amely mindenki számára értelmes elfogadható értékeket ismeretlen; a kapott egyenlet ekvivalens lesz a megadottal.

Példa. 2. egyenlet X– 1 = 7-nek van gyöke X= 4. Mindkét oldalhoz 5-öt hozzáadva a 2-es egyenletet kapjuk X– 1 + 5 = 7 + 5 vagy 2 X+ 4 = 12, amelynek ugyanaz a gyöke X = 4.

2. Ha az egyenlet mindkét oldalán azonos tagok vannak, akkor ezek elhagyhatók.

Példa. 9. egyenlet x + 5X = 18 + 5X egy gyökere van X= 2. 5 kihagyása mindkét részben X, kapjuk a 9-es egyenletet X= 18, amelynek ugyanaz a gyöke X = 2.

3. Az egyenlet bármely tagja átvihető az egyenlet egyik részéből a másikba, ha az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk.

Példa. 7. egyenlet X - 11 = 3-nak egy gyöke van X= 2. Ha a 11-et jobb oldalra mozgatjuk innen ellentétes jel, megkapjuk a 7-es egyenletet X= 3 + 11, amelynek ugyanaz a megoldása X = 2.

4. Az egyenlet mindkét oldala megszorozható bármilyen értelmes és nullától eltérő kifejezéssel (számmal) az ismeretlen összes elfogadható értékére, a kapott egyenlet ekvivalens lesz az adott értékkel.

Példa. 2. egyenlet X - 15 = 10 – 3X gyökere van X= 5. Mindkét oldalt 3-mal megszorozva a 3(2) egyenletet kapjuk X - 15) = 3(10 – 3X) vagy 6 X – 45 =30 – 9X, amelynek ugyanaz a gyöke X = 5.

5. Az egyenlet minden tagjának előjele megfordítható (ez egyenértékű mindkét oldal (-1)-gyel való szorzásával).

Példa. Egyenlet – 3 x + A 7 = – 8 mindkét oldal (-1)-gyel való szorzata után 3-as alakot vesz fel X - 7 = 8. Az első és a második egyenletnek egyetlen gyöke van X = 5.

6. Az egyenlet mindkét oldala osztható ugyanazzal a számmal, amely különbözik a nullától (azaz nem egyenlő nullával).

Példa..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28">, ezzel egyenértékű, mivel ugyanaz a két gyöke: és https: //pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src=">, miután mindkét részt megszorozta 14-gyel, így fog kinézni:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, ahol tetszőleges számok, X- hívják az ismeretlent elsőfokú egyenlet egy ismeretlennel(vagy lineáris egyenlet egy ismeretlennel).

Példa. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Az elsőfokú egyenletnek egy ismeretlennel mindig van egy megoldása; egy lineáris egyenletnek lehetnek megoldásai () végtelen halmaz(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

Megoldás. Szorozzuk meg az egyenletben szereplő összes tagot a nevezők legkisebb közös többszörösével, ami 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Csoportosítsuk az egyik részbe (balra) az ismeretlent tartalmazó kifejezéseket, a másikba (jobbra) - ingyenes tagok:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Mindkét részt (-22) osztva kapjuk X = 7.

Két elsőfokú egyenletrendszerek két ismeretlennel

A https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> formájú egyenlet az ún. elsőfokú egyenlet két ismeretlennel xÉs at. Ha két vagy több egyenletre találunk általános megoldást, akkor azt mondják, hogy ezek az egyenletek rendszert alkotnak, általában egymás alá írják őket, és például kapcsos kapcsos zárójellel kombinálják.

Minden olyan ismeretlen értékpárt, amely egyszerre teljesíti a rendszer mindkét egyenletét, ún. rendszermegoldás. Oldja meg a rendszert- ez azt jelenti, hogy meg kell találni az összes megoldást erre a rendszerre, vagy megmutatni, hogy nem rendelkezik ilyenekkel. A két egyenletrendszert ún egyenértékű (egyenértékű), ha az egyik megoldása a másik megoldása, és fordítva, a másiknak minden megoldása az első megoldása.

Például a rendszer megoldása egy számpár X= 4 és at= 3. Ezek a számok is az egyetlen megoldás rendszerek . Ezért ezek az egyenletrendszerek egyenértékűek.

Egyenletrendszerek megoldási módszerei

1. Út algebrai összeadás. Ha mindkét egyenletben valamelyik ismeretlen együtthatója abszolút értékben egyenlő, akkor mindkét egyenlet összeadásával (vagy a másikból kivonva) egy ismeretlennel egyenletet kaphatunk. Ennek az egyenletnek a megoldásával meghatározunk egy ismeretlent, a rendszer egyik egyenletébe behelyettesítve pedig a második ismeretlent.

Példák: Egyenletrendszerek megoldása: 1) .

Itt vannak az együtthatók at abszolút értékben egyenlők, előjelben viszont ellentétesek. Ahhoz, hogy egyenletet kapjunk eggyel ismeretlen egyenletek A rendszereket tagonként összeadjuk:

Fogadott érték X= 4 behelyettesítjük a rendszer valamely egyenletébe, például az elsőbe, és megkeressük az értéket at: .

Válasz: X = 4; at = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Helyettesítő módszer. A rendszer bármely egyenletéből az egyik ismeretlent a többieken keresztül fejezzük ki, majd ennek az ismeretlennek az értékét behelyettesítjük a többi egyenletbe. Nézzük meg ezt a módszert konkrét példák segítségével:

1) Oldjuk meg az egyenletrendszert! Fejezzük ki például az egyik ismeretlent az első egyenletből X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Cseréljük at= 1 a kifejezésben X, megkapjuk .

Válasz: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. Ebben az esetben célszerű kifejezni at a második egyenletből:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Cserélje ki az értéket X= 5 a kifejezésben at, kapjuk a https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src="> címet.

3) Oldjuk meg a https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48"> egyenletrendszert, ezt az értéket behelyettesítve a második egyenletbe, azt kapjuk egyenlet egy ismeretlennel at: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Válasz: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Írjuk át a rendszert a következő formában: . Helyettesítjük az ismeretleneket úgy, hogy betesszük , és megkapjuk lineáris rendszer ..gif" width="11 height=17" height="17"> a második egyenletbe, egy ismeretlennel rendelkező egyenletet kapunk:

Az érték helyettesítése v kifejezésévé t, ezt kapjuk: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> találunk.

Válasz: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, hol vannak az ismeretlenek együtthatói, https://pandia.ru/text / 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, akkor a rendszer az egyetlen dolog megoldás.

B) Ha https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, akkor a rendszer végtelen halmaz döntéseket.

Példa..gif" width="47" height="48 src=">", ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Igazán, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Példa..gif" width="91 height=48" height="48"> vagy kicsinyítés után, ezért a rendszernek nincs megoldása.

Példa..gif" width="116 height=48" height="48"> vagy kicsinyítés után , ami azt jelenti, hogy a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Modulust tartalmazó egyenletek

Modulust tartalmazó egyenletek megoldásánál a modulus fogalmát használjuk valós szám. Modul (abszolút érték) valós szám A magát ezt a számot nevezzük, ha és ellentétes szám (– A), ha https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Tehát https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, mivel a szám 3 > 0; mivel a szám 5< 0, поэтому ; , mert (); , mert .

Modul tulajdonságai:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Figyelembe véve, hogy a modul alatti kifejezés két értéket vehet fel https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, akkor adott egyenlet két egyenlet megoldásához vezet: és vagy És ..gif" width="52" height="20 src=">. Ellenőrizzük az egyes értékek helyettesítésével X a következő állapotban: if https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Válasz: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Példa..gif" width="408" height="55">

Válasz: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Példa..gif" width="137" height="20"> és . Tegye félre a kapott értékeket X-on számtengely, intervallumokra osztva:

Ha https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, mert ebben az intervallumban a modulusjel alatti mindkét kifejezés nullánál kisebb, és , a modult eltávolítva a kifejezés előjelét az ellenkezőjére kell változtatnunk. Oldjuk meg a kapott egyenletet:

Gif" width="75 height=24" height="24">. A határérték az első és a második intervallumban is szerepelhet, ahogy az érték a második és a harmadikban is. A második intervallumban, az egyenletünk a következő alakot ölti majd: - ennek a kifejezésnek nincs értelme, vagyis ezen az intervallumon az egyenletnek nincs megoldása a modulus előjel alatt, azokat nullával egyenlővé tesszük. Minden kifejezés gyökerét megtaláljuk.

Következő intervallum https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, ahol a, b, c- tetszőleges számok ( a≠ 0), és x- nevű változó négyzet. Egy ilyen egyenlet megoldásához ki kell számítani a diszkriminánst D=b 2 – 4ac. Ha D> 0, akkor másodfokú egyenlet két megoldása van (gyökere): És .

Ha D= 0, a másodfokú egyenletnek nyilvánvalóan kettő van azonos megoldások(a gyökér többszörösei).

Ha D< 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ha az egyik együttható b vagy c egyenlő nullával, akkor a másodfokú egyenlet a diszkrimináns kiszámítása nélkül is megoldható:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(fejsze+ b)=0

2)fejsze 2 + c = 0 fejsze 2 = – c; ha https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

A másodfokú egyenlet együtthatói és gyökei között függőségek vannak, amelyeket képleteknek vagy Vieta-tételnek neveznek:

Negyedfokú az egyenletek https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29"> alakú egyenletek, akkor az eredeti egyenletből egy másodfokú egyenletet kapunk, amelyből amit találunk atés akkor X, a képlet szerint.

Példa. Oldja meg az egyenletet . Csökkentsük az egyenlőség mindkét oldalán lévő kifejezéseket -ra közös nevező..gif" width="212" height="29 src=">. Megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet: , ebben az egyenletben a= 1, b= –2,c= –15, akkor a diszkrimináns: D=b 2 – 4ac= 64. Az egyenlet gyökerei: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Elvégezzük a cserét. Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel – másodfokú egyenlet, ahol a= 1, b= – 4,c= 3, a diszkriminánsa egyenlő: D=b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

A másodfokú egyenlet gyöke rendre egyenlő: És .

Gyökerek eredeti egyenlet , , , ..gif" width="78" height="51">, ahol Pn(x) És pm(x) – fokszámú polinomok nÉs m illetőleg. Egy tört nullával egyenlő, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem, de ilyen polinomegyenletet általában csak hosszas átalakítások, egyenletből a másikba való átmenetek után kapunk. A megoldás során tehát minden egyenletet felvált egy új, és az újnak új gyökerei lehetnek. A gyökérváltozások nyomon követése, a gyökerek elvesztésének megelőzése és a feleslegesek visszautasítása a feladat. a helyes döntés egyenletek.

Egyértelmű, hogy a legjobb módja- minden alkalommal cseréljünk ki egy egyenletet egy ekvivalensre, akkor az utolsó egyenlet gyökerei az eredeti egyenlet gyökerei lesznek. Azonban az ilyen tökéletes módja nehezen megvalósítható a gyakorlatban. Az egyenletet általában felváltja annak következménye, ami nem feltétlenül ekvivalens vele, míg az első egyenlet minden gyöke a második gyöke, azaz nem történik gyökvesztés, de megjelenhetnek idegenek (ill. esetleg nem jelenik meg). Abban az esetben, ha az átalakítási folyamat során legalább egyszer az egyenletet egy egyenlőtlenre cseréltük, a kapott gyökök kötelező ellenőrzése szükséges.

Tehát, ha a döntést az ekvivalencia és a külső gyökerek forrásainak elemzése nélkül hozták meg, az ellenőrzés kötelező része a döntésnek. Ellenőrzés nélkül a megoldás nem tekinthető teljesnek, még akkor sem, ha nem jelentek meg idegen gyökerek. Amikor megjelennek, és nem dobják el, akkor ez a döntés egyszerűen rossz.

Íme a polinom néhány tulajdonsága:

Polinom gyöke hívja az értéket x, ahol a polinom egyenlő nullával. Bármely n fokú polinom pontosan rendelkezik n gyökerei. Ha egy polinomiális egyenletet a formában írunk fel, akkor , Hol x 1, x 2,…, xn az egyenlet gyökerei.

Bármely polinom nem páros fokozat valós együtthatókkal van legalább egy igazi gyökér, de általában mindig megtette páratlan szám igazi gyökerek. Előfordulhat, hogy a páros fokú polinomnak nincsenek valódi gyökei, és ha vannak, a számuk páros.

Egy polinom bármilyen körülmények között kibővíthető lineáris tényezőkés másodfokú trinomiumok -val negatív diszkrimináns. Ha ismerjük a gyökerét x 1, akkor Pn(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).

Ha Pn(x) = 0 páros fokú egyenlet, akkor a faktorálás módszere mellett megpróbálhatunk olyan változó változást bevezetni, aminek segítségével az egyenlet foka csökkenni fog.

Példa. Oldja meg az egyenletet:

Ez a harmadik (páratlan) fokú egyenlet azt jelenti, hogy lehetetlen olyan segédváltozót bevezetni, amely csökkenti az egyenlet fokát. A bal oldal faktorálásával kell megoldani, amihez először nyissuk ki a zárójeleket, majd szabványos formában írjuk.

Kapunk: x 3 + 5x – 6 = 0.

Ez a redukált egyenlet (együttható at legmagasabb fokozat egyenlő eggyel), így ennek gyökereit a szabad tag – 6 – tényezői között keressük. Ezek a ±1,±2,±3,±6 számok. Helyettesítés x = 1 az egyenletbe, ezt látjuk x = 1 a gyöke, tehát a polinom x 3 + 5x–6 = 0 osztva ( x – 1) nyom nélkül. Végezzük el ezt a felosztást:

x 3 + 5x –6 = 0 x – 1

x 3 – x 2 x 2+x+ 6

x 2 + 5x – 6

x 2– x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x – 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x – 6

azért x 3 + 5x –6 = 0; (x – 1)(x 2+x+ 6) = 0

Az első egyenlet megadja a gyökét x = 1, amelyet már kiválasztottunk, és a második egyenletben D< 0, nincs valódi megoldása. Mivel ennek az egyenletnek az ODZ-jét nem szükséges ellenőrizni.

Példa..gif" width="52" height="21 src=">. Ha az első tényezőt megszorozza a harmadikkal, a másodikat pedig a negyedikkel, akkor ezeknek a termékeknek azonos részei lesznek, amelyek x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Hadd x 2 + 4x = y, akkor az egyenletet a ( y – 5)(y – 21) – 297 = 0.

Ennek a másodfokú egyenletnek vannak megoldásai: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Ha ezt az egyenletet közös nevezőre redukáljuk, akkor a számlálóban egy negyedik fokú polinom jelenik meg. Tehát lehetséges egy olyan változó megváltoztatása, amely csökkenti az egyenlet mértékét. Ezért nincs szükség arra, hogy ezt az egyenletet azonnal közös nevezőre redukáljuk. Itt láthatja, hogy a bal oldalon a négyzetek összege látható. Tehát kibővítheti teljes négyzetösszegek vagy különbségek. Sőt, vonjunk ki és adjunk össze dupla termék ezeknek a négyzeteknek az alapjai: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, majd y 2 + 18y– 40 = 0. Vieta tétele szerint y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, a másodikban D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Válasz: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Másodfokú egyenletet kapunk a(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Irracionális egyenletek

Irracionális egyenletnek nevezzük, amelyben a változó a gyök jele alatt található (gyök ) vagy építési jelzés alatt tört hatvány()..gif" width="120" height="32"> és az ismeretlen definíciós tartománya megegyezik. Az első és a második egyenlet négyzetre emelésekor ugyanazt az egyenletet kapjuk . Ennek az egyenletnek a megoldásai mindkét irracionális egyenlet megoldásai.

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy lépjen kapcsolatba vele.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze személyes adatok lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és közelgő eseményeket.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresés vagy kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

1. Helyettesítő módszer: a rendszer bármely egyenletéből egy ismeretlent a másikon keresztül fejezünk ki, és behelyettesítjük a rendszer második egyenletébe.

Feladat. Oldja meg az egyenletrendszert:

Megoldás. A rendszer első egyenletéből fejezzük ki at keresztül Xés behelyettesítjük a rendszer második egyenletébe. Vegyük a rendszert egyenértékű az eredetivel.

Miután hozta hasonló tagjai a rendszer a következő formában lesz:

A második egyenletből azt találjuk: . Ezt az értéket behelyettesítve az egyenletbe at = 2 - 2X, megkapjuk at= 3. Ezért ennek a rendszernek a megoldása egy számpár.

2. Algebrai összeadás módszere: Két egyenlet összeadásával egy változós egyenletet kapunk.

Feladat. Oldja meg a rendszeregyenletet:

Megoldás. A második egyenlet mindkét oldalát megszorozva 2-vel, megkapjuk a rendszert egyenértékű az eredetivel. Ennek a rendszernek a két egyenletét összeadva jutunk el a rendszerhez

A hasonló feltételek megadása után ez a rendszer a következő formában jelenik meg: A második egyenletből azt kapjuk, hogy . Ezt az értéket behelyettesítve a 3. egyenletbe X + 4at= 5, kapjuk , hol . Ezért ennek a rendszernek a megoldása egy számpár.

3. Új változók bevezetésének módszere: néhány ismétlődő kifejezést keresünk a rendszerben, amelyeket új változókkal fogunk jelölni, ezzel egyszerűsítve a rendszer megjelenését.

Feladat. Oldja meg az egyenletrendszert:

Megoldás.Írjuk fel ezt a rendszert egyébként:

Hadd x + y = u, xy = v. Aztán megkapjuk a rendszert

Oldjuk meg a helyettesítési módszerrel. A rendszer első egyenletéből fejezzük ki u keresztül vés behelyettesítjük a rendszer második egyenletébe. Vegyük a rendszert azok.

A rendszer második egyenletéből azt találjuk v 1 = 2, v 2 = 3.

Ezeket az értékeket behelyettesítve az egyenletbe u = 5 - v, megkapjuk u 1 = 3,
u 2 = 2. Ekkor két rendszerünk van

Az első rendszert megoldva két számpárt kapunk (1; 2), (2; 1). A második rendszernek nincs megoldása.

Gyakorlatok az önálló munkához

1. Egyenletrendszerek megoldása helyettesítési módszerrel!

Fogadott egyenletrendszerek széles körű alkalmazás a gazdasági szektorban matematikai modellezés különféle folyamatok. Például a termelésirányítási és tervezési problémák megoldása során a logisztikai útvonalak ( közlekedési probléma) vagy felszerelés elhelyezése.

Az egyenletrendszereket nemcsak a matematikában, hanem a fizikában, a kémiában és a biológiában is alkalmazzák a populációméret meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.

Rendszer lineáris egyenletek nevezzen meg két vagy több többváltozós egyenletet, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.

Lineáris egyenlet

Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések azok az ismeretlenek, amelyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Ha egy egyenletet ábrázolással oldunk meg, az úgy fog kinézni, mint egy egyenes, amelynek minden pontja a polinom megoldása.

Lineáris egyenletrendszerek típusai

A legegyszerűbb példáknak két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek tekinthetők.

F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.

Egyenletrendszer megoldása - ez azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyekre a rendszer befordul igazi egyenlőség vagy határozza meg, hogy nem létezik megfelelő érték x és y számára.

Egy pont koordinátáiként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.

Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.

A homogén lineáris egyenletrendszerek rendszerek jobb oldalon ami egyenlő nullával. Ha az egyenlőségjel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer heterogén.

A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.

Amikor rendszerekkel szembesülnek, az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőleges számú lehet belőlük.

Egyszerű és összetett módszerek egyenletrendszerek megoldására

Nincs közös elemzési módszer megoldások az ilyen rendszerekre, minden módszer azon alapul numerikus megoldások. IN iskolai tanfolyam matematika, olyan módszerek, mint a permutáció, algebrai összeadás, helyettesítés, valamint a grafikus ill mátrix módszer, megoldás Gauss-módszerrel.

A megoldási módszerek tanítása során a fő feladat a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és műveleteit, hanem megértsük egy adott módszer használatának alapelveit.

Példák megoldása a 7. osztályos program lineáris egyenletrendszerére középiskola elég egyszerű és nagyon részletesen elmagyarázva. Bármely matematika tankönyvben kellő figyelmet fordítanak erre a részre. A lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó példák Gauss és Cramer módszerrel történő megoldását a felsőoktatás első éveiben részletesebben tanulmányozzuk.

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel

A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikban fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egy változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően

Adjunk megoldást egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre a helyettesítési módszerrel:

Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . Megoldás ezt a példát nem okoz nehézséget, és lehetővé teszi az Y érték megszerzését Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.

Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek összetettek lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes lesz a további számításokhoz. Ha 3-nál több ismeretlen van a rendszerben, akkor a helyettesítéssel történő megoldás sem praktikus.

Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:

Megoldás algebrai összeadással

Amikor az összeadás módszerével megoldásokat keresünk a rendszerekre, az egyenleteket szóról szóra összeadjuk és különböző számokkal megszorozzuk. A végső cél matematikai műveletek egy változós egyenlet.

Alkalmazásokhoz ezt a módszert gyakorlat és megfigyelés szükséges. Lineáris egyenletrendszer megoldása az összeadás módszerével, ha 3 vagy több változó van, nem könnyű. Az algebrai összeadás kényelmesen használható, ha az egyenletek törteket és tizedesjegyeket tartalmaznak.

Megoldási algoritmus:

1. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy bizonyos számmal. Ennek eredményeként aritmetikai művelet a változó egyik együtthatójának egyenlőnek kell lennie 1-gyel.
2. Adja hozzá a kapott kifejezést kifejezésenként, és keresse meg az egyik ismeretlent.
3. Helyettesítse be a kapott értéket a rendszer 2. egyenletébe, és keresse meg a fennmaradó változót.

Megoldás módszere új változó bevezetésével

Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszer legfeljebb két egyenletre kíván megoldást találni, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több, mint kettő.

A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a bevezetett ismeretlenre oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.

A példa azt mutatja, hogy egy új t változó bevezetésével sikerült a rendszer 1. egyenletét a szabványosra redukálni. másodfokú trinomikus. Egy polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhat meg.

Meg kell találni a diszkrimináns értéket a segítségével ismert képlet: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom tényezői. IN adott példa a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb nullánál, akkor két megoldás van: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor van egy megoldás: x = -b / 2*a.

A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.

Vizuális módszer rendszerek megoldására

Alkalmas 3 egyenletrendszerhez. A módszer a továbbépítés koordináta tengely a rendszerben szereplő egyes egyenletek grafikonjai. A görbék és lesz a metszéspontjainak koordinátái általános döntés rendszerek.

A grafikus módszernek számos árnyalata van. Nézzünk meg néhány példát lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.

Amint a példából látható, minden vonalhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon megjelöltük és egy vonallal összekötöttük.

A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.

A következő példa keresést igényel grafikus megoldás lineáris egyenletrendszerek: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.

Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.

A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Emlékeztetni kell arra, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy egy rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükséges gráfot készíteni.

A mátrix és fajtái

A mátrixokat arra használják rövid megjegyzés lineáris egyenletrendszerek. A mátrix egy táblázat speciális típus tele számokkal. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.

A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és a sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy oszlopból álló mátrix végtelen számú sorral. Azt a mátrixot, amelynek az egyik átlója mentén egyesek és más nullaelemek vannak, azonosságnak nevezzük.

Az inverz mátrix olyan mátrix, amellyel az eredeti egységmátrixmá alakul, csak az eredeti négyzetes mátrix esetében létezik.

Egyenletrendszer mátrixmá alakításának szabályai

Az egyenletrendszerek kapcsán az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait mátrixszámként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.

Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem nulla. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.

A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.

Egy mátrix szorzásakor a mátrix minden elemét szekvenciálisan megszorozzuk egy számmal.

Az inverz mátrix megtalálásának lehetőségei

Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 - inverz mátrix, és |K| a mátrix meghatározója. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.

A determináns könnyen kiszámítható egy két-két mátrixhoz, csak meg kell szorozni az átlós elemeket egymással. A „háromszor három” opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy emlékezhet arra, hogy minden sorból és minden oszlopból egy elemet kell vennie, hogy az oszlopok és elemsorok száma ne ismétlődjön meg a munkában.

Példák megoldása lineáris egyenletrendszerekre mátrix módszerrel

A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi, hogy csökkentse a nehézkes bejegyzéseket, amikor a rendszereket megoldja nagy számban változók és egyenletek.

A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n változó, b n pedig szabad tag.

Rendszerek megoldása Gauss-módszerrel

IN felsőbb matematika A Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer megoldási módszernek nevezik. Ezeket a módszereket arra használják, hogy megtalálják változó rendszerek nagyszámú lineáris egyenlettel.

A Gauss-módszer nagyon hasonlít a szubsztitúciós és algebrai összeadásos megoldásokhoz, de szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-módszerrel történő megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz formájúvá redukáljuk. Által algebrai transzformációkés helyettesítések esetén egy változó értéke a rendszer egyik egyenletében található. A második egyenlet 2 ismeretlent tartalmazó kifejezés, míg a 3 és 4 3 és 4 változós.

Miután a rendszert a leírt formába hozzuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.

IN iskolai tankönyvek a 7. fokozat esetében a Gauss-módszerrel történő megoldás példáját a következőképpen írjuk le:

Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.

A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.

Gauss módszere nehezen érthető a tanulók számára középiskola, de az egyik legtöbb érdekes módokon a program keretében tanuló gyerekek találékonyságának fejlesztésére elmélyült tanulmányozása matematika és fizika órákon.

A rögzítés megkönnyítése érdekében a számításokat általában a következőképpen végezzük:

Az egyenletek és a szabad tagok együtthatói mátrix formájában vannak felírva, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja bal oldalt egyenletek jobbról. A római számok a rendszerben található egyenletek számát jelölik.

Először írja le a mátrixot, amellyel dolgozni szeretne, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és a szükséges algebrai műveleteket addig folytatjuk, amíg az eredményt el nem érjük.

Az eredmény egy olyan mátrix, amelyben az egyik átló egyenlő 1-gyel, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egységformára redukálódik. Nem szabad elfelejtenünk, hogy az egyenlet mindkét oldalán számokkal számoljunk.

Ez a rögzítési módszer kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.

Bármilyen megoldási mód ingyenes használata körültekintést és némi tapasztalatot igényel. Nem minden módszer alkalmazott jellegű. A megoldások megtalálásának egyes módszerei előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások oktatási célokra léteznek.