Struktura e një metode kërkimore aksiomatike të zbatueshme në dizajn. Metoda e përshpejtuar e neurotrajnimit nga Eric Jensen dhe ILPT si një metodë trajnimi intensive

një metodë e ndërtimit të një teorie në të cilën ajo bazohet në disa dispozita fillestare - aksioma ose postulate, nga të cilat të gjitha pohimet e tjera të kësaj teorie duhet të rrjedhin thjesht. logjikisht.

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

Metoda aksiomatike

nga greqishtja aksioma – pozicioni i pranuar) – mënyra e ndërtimit teori shkencore, si bazë të saj, duke pranuar a priori dispozitat nga të cilat janë nxjerrë logjikisht të gjitha pohimet e tjera të teorisë. Aksiomatizimi i plotë i teorive është i pamundur (K. Gödel, 1931).

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

Metoda aksiomatike

nga greqishtja axi?ma - pozicioni i pranuar) - një metodë e ndërtimit të një teorie të bazuar në pozicione fillestare të pranuara (ose të provuara më parë) (aksioma dhe postulate), nga e cila pjesa tjetër e njohurive rrjedh logjikisht përmes provave. Interpretimi filozofik Metoda aksiomatike si një aplikim i deduksionit të marrë në mësimet e R. Descartes. Në një shkallë ose në një tjetër, metoda aksiomatike u përdor në shkenca të ndryshme- në filozofi (B. Spinoza), sociologji (G. Vico), biologji (J. Woodger), etj. Megjithatë, fusha kryesore e zbatimit të saj mbetet matematika dhe logjika simbolike, si dhe një sërë fushash të fizikës. (mekanika, termodinamika, elektrodinamika, etj.).

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

METODA AXIOMATIKE

një metodë e ndërtimit të një teorie shkencore në të cilën ajo bazohet në disa dispozita fillestare (aksioma), ose postulate, nga të cilat të gjitha pohimet e tjera të kësaj teorie duhet të nxirren tërësisht logjikisht përmes provës. Ndërtimi i shkencës bazuar në metodën aksiomatike zakonisht quhet deduktiv. Kjo metodë filloi të përdoret në ndërtimin e gjeometrisë në Greqinë e Lashtë. Zbatohet më me sukses për organizimin e njohurive matematikore, ku pesha e madhe në njohuri i përket veprimtarisë konstruktive dhe krijuese të mendjes. Në shkencat natyrore, shoqërore, humane, inxhinierike dhe teknologjike, kjo metodë zë një pozicion të varur në krahasim me metodat e tjera njohëse.

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

METODA AXIOMATIKE

një mënyrë e organizimit të njohurive shkencore (veçanërisht teorike), thelbi i së cilës është të dallojë midis të gjithë grupit të deklaratave të vërteta për një fusha lëndore një nënbashkësi e tillë (aksioma) nga e cila logjikisht do të pasonin të gjitha pohimet e tjera të vërteta (teoremat dhe pohimet e vërteta të vetme). Ideale ndërtim aksiomatik njohuritë shkencore, fillimi i zbatimit të të cilave u hodh nga ndërtimi i gjeometrisë në Greqinë e lashtë (shek. VII - IV p.e.s.), doli të ishte më e përshtatshme për organizimin e sistemeve të njohurive matematikore, ku pesha e madhe në njohuri i përket jo vetëm veprimtaria empiriko-abstraktuese e mendjes, por dhe veprimtaria konstruktive dhe krijuese e mendjes. Në shkencat natyrore, shkencat sociale, shkencat humane dhe inxhinierike, metoda aksiomatike e organizimit të njohurive zë një pozicion vartës në krahasim me format e tjera të organizimit kognitiv. (Shih prova, deduksioni, teoria, metoda).

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

METODA AXIOMATIKE

mënyra e ndërtimit shkencor teoria, në të cilën bazohet në disa pozicione fillestare (gjykime) - aksioma, apo postulate, nga të cilat duhet të nxirren logjikisht të gjitha pohimet e tjera të kësaj shkence (teoremat). me anë të provës. Emërimi i A.m. konsiston në kufizimin e arbitraritetit në përvetësimin e njohurive shkencore. gjykimet si të vërteta të një teorie të caktuar. Ndërtimi i shkencës bazuar në A.M. zakonisht quhet deduktiv (shih Deduksion). Të gjitha konceptet e një teorie deduktive (përveç një numri fiks të atyre fillestare) futen përmes përkufizimeve që i shprehin (ose shpjegojnë) ato përmes koncepteve të prezantuara më parë. Në një shkallë ose në një tjetër, provat deduktive, karakteristike për A.M., përdoren në shumës. shkencat Por pavarësisht përpjekjeve që në mënyrë sistematike aplikimi i A.m. në filozofi (Spinoza), sociologji (Vico), ekonomi politike (Rodbertus-Yagezov), biologji (Woodger) dhe shkenca të tjera, kap. Rajon aplikimet e saj mbeten matematika dhe simbolika. logjika, si dhe degë të caktuara të fizikës (mekanika, termodinamika, elektrodinamika etj.). Një nga shembujt e parë të përdorimit të A.m. yavl. Elementet e Euklidit (rreth 300 para Krishtit). B.N.Makhutov

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

METODA AXIOMATIKE

Një metodë e ndërtimit të një teorie shkencore në të cilën disa dispozita të teorisë zgjidhen si fillestare, dhe të gjitha dispozitat e tjera të saj nxirren prej tyre në një mënyrë krejtësisht logjike, përmes provave. Pohimet e vërtetuara në bazë të aksiomave quhen teorema.

A. m është një mënyrë e veçantë e përcaktimit të objekteve dhe marrëdhënieve ndërmjet tyre (shih: Përkufizimi aksiomatik). AM përdoret në matematikë, logjikë, si dhe në degë të caktuara të fizikës, biologjisë etj.

A. m e ka origjinën në antikitet dhe fitoi famë të madhe falë Elementeve të Euklidit, i cili u shfaq rreth viteve 330 - 320. para Krishtit e. Euklidi, megjithatë, nuk arriti të përshkruante në "aksiomat dhe postulatet" e tij të gjitha vetitë e objekteve gjeometrike që ai përdorte në të vërtetë; dëshmia e tij u shoqërua me vizatime të shumta. Supozimet "të fshehura" të gjeometrisë së Euklidit u zbuluan vetëm në kohë moderne D. Gilbert (1862-1943), i cili e konsideroi teorinë aksiomatike si një teori formale që vendos marrëdhënie midis elementeve (shenjave) të saj dhe përshkruan çdo grup objektesh që e kënaqin atë. Në ditët e sotme, teoritë aksiomatike shpesh formulohen si sisteme të formalizuara që përmbajnë një përshkrim të saktë të mjeteve logjike të nxjerrjes së teoremave nga aksiomat. Një provë në një teori të tillë është një sekuencë formulash, secila prej të cilave është ose një aksiomë ose është marrë nga formulat e mëparshme në sekuencë sipas një prej rregullave të pranuara të përfundimit.

Një sistem formal aksiomatik i nënshtrohet kërkesave të konsistencës, plotësimit, pavarësisë së sistemit të aksiomave, etj.

JAM. është vetëm një nga metodat për ndërtimin e njohurive shkencore. Ajo ka zbatim të kufizuar, pasi kërkon një nivel të lartë zhvillimi të një teorie përmbajtësore të aksiomatizuar.

Siç tregoi matematikani dhe logjikisti i famshëm K. Gödel, teori mjaft të pasura shkencore (për shembull, aritmetika numrat natyrorë) nuk lejojnë aksiomatizim të plotë. Kjo tregon kufizimet e A.M. dhe pamundësia e formalizimit të plotë të njohurive shkencore (shih: Teorema e Gödel-it).

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

METODA AXIOMATIKE

mënyra e ndërtimit shkencor teoria, në të cilën bazohet në disa pozicione (gjykime) fillestare - aksioma, apo postulate, nga të cilat duhet të nxirren tërësisht logjikisht të gjitha pohimet e tjera të kësaj teorie. me anë të provave. Ndërtimi i shkencës mbi bazën e AM zakonisht quhet. deduktive (shih Deduksion). Të gjitha konceptet e një teorie deduktive (përveç një numri fiks të atyre fillestare) futen përmes përkufizimeve që i shprehin ato përmes koncepteve të paraqitura më parë. Në një shkallë ose në një tjetër, prova deduktive, karakteristike për AM, përdoret në shumës. shkencat, megjithatë kap. fusha e zbatimit të saj është matematika, logjika, si dhe degë të caktuara të fizikës.

Ideja e AM u shpreh fillimisht në lidhje me ndërtimin e gjeometrisë në Dr. Greqia (Pitagora, Platoni, Aristoteli, Euklidi). Për moderne Faza e zhvillimit të AM karakterizohet nga koncepti i AM formale i paraqitur nga Hilbert, i cili vendos detyrën përshkrim i saktë logjike mjetet e nxjerrjes së teoremave nga aksiomat. bazë Ideja e Hilbertit është një formalizimi i plotë i gjuhës së shkencës, në të cilën gjykimet e saj konsiderohen si sekuenca shenjash (formula) që marrin kuptim vetëm me një interpretim të caktuar specifik. Për të nxjerrë teorema nga aksiomat (dhe në përgjithësi disa formula nga të tjerat), formulohen formula të veçanta. rregullat e konkluzionit. Një provë në një teori të tillë (llogaritje ose sistem formal) është një sekuencë e caktuar formulash, secila prej të cilave është ose një aksiomë ose është marrë nga formulat e mëparshme të sekuencës sipas kritereve të caktuara. rregulli i përfundimit. Në kontrast me prova të tilla formale, vetitë e sistemi formal përgjithësisht të studiuara përmbajnë. me anë të metateorisë. bazë kërkesat për aksiomatike sistemet formale - qëndrueshmëria, plotësia, pavarësia e aksiomave. Programi i Hilbertit, i cili supozonte mundësinë e vërtetimit të konsistencës dhe të plotësisë së të gjithë klasikes matematika, në përgjithësi doli të ishte e pamundur. Në vitin 1931, Gödel vërtetoi pamundësinë e aksiomatizimit të plotë të shkencës mjaft të zhvilluar. teoritë (për shembull, aritmetika e numrave natyrorë), të cilat treguan kufizimet e A. m. parimet e AM u kritikuan nga mbështetësit e intuitizmit dhe drejtimit konstruktiv. Shih gjithashtu Formalizmi në matematikë dhe logjikë, Teori.

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

METODA AXIOMATIKE

një nga metodat e ndërtimit deduktiv të teorive shkencore, në të cilën: 1) një grup i caktuar propozimesh të një teorie (aksiomash) të caktuar pranohen pa prova; 2) konceptet e përfshira në to nuk janë të përcaktuara qartë në kuadrin e kësaj teorie; 3) rregullat e përkufizimit dhe rregullat e përfundimit të një teorie të caktuar janë të fiksuara, duke lejuar që dikush të futë terma (koncepte) të reja në teori dhe të nxjerrë logjikisht disa propozime nga të tjerët; 4) të gjitha propozimet e tjera të kësaj teorie (teorema) janë nxjerrë nga (1) në bazë të (3). Idetë e para për A. m. lindën në Antike. Greqia (Eleatics, Platoni. Aristoteli, Euklidi). Më pas, u bënë përpjekje për të ofruar një paraqitje aksiomatike të seksioneve të ndryshme të filozofisë dhe shkencës (Spinoza, Njutoni, etj.) Këto studime u karakterizuan nga një ndërtim kuptimplotë aksiomatik i një teorie të caktuar (dhe vetëm një), ndërsa vëmendja kryesore iu kushtua për përcaktimin dhe përzgjedhjen e aksiomave intuitive të dukshme Duke filluar nga gjysma e dytë e shekullit të 19-të, në lidhje me zhvillimin intensiv të problemeve të vërtetimit të matematikës dhe. logjika matematikore, teoria aksiomatike filloi të konsiderohet si një sistem formal (dhe nga vitet 20-30 të shekullit të 20-të - si një sistem i formalizuar) që vendos marrëdhënie midis elementeve (shenjave) të tij dhe përshkruan çdo grup objektesh që e kënaqin atë. Në të njëjtën kohë, kryesore Vëmendje filloi t'i kushtohej vendosjes së konsistencës së sistemit, plotësimit të tij, pavarësisë së sistemit të aksiomave etj. Për faktin se sistemet e shenjave mund të konsiderohen ose pavarësisht nga përmbajtja që mund të paraqitet në to, ose duke marrë parasysh, dallohen sistemet aksiomatike sintaksore dhe semantike (vetëm këto të fundit përfaqësojnë vetë njohuritë shkencore. Ky dallim bëri të nevojshme formulimin e bazës). kërkesat e vendosura ndaj tyre, në dy terma, sintaksor dhe semantik (konsistenca sintaksore dhe semantike, plotësia, pavarësia e aksiomave, etj.) Analiza e sistemeve të formalizuara aksiomatike çoi në vendosjen e kufizimeve të tyre themelore, ndër të cilat kryesore është pamundësia e plotë aksiomatizimi i sistemeve mjaft të zhvilluara të vërtetuara nga teoritë shkencore të Gödel (për shembull, aritmetika e numrave natyrorë), që nënkupton pamundësinë e formalizimit të plotë të njohurive shkencore, aksiomatizimi është vetëm një nga metodat për ndërtimin e njohurive shkencore, por përdorimi i tij si mjet zbulimi shkencor shumë i kufizuar. Aksiomatizimi kryhet zakonisht pasi teoria është ndërtuar mjaftueshëm në përmbajtjen e saj dhe i shërben qëllimit të paraqitjes më të saktë të saj, në veçanti, nxjerrjes së rreptë të të gjitha pasojave nga premisat e pranuara në 30-40 vitet e fundit vëmendje e madhe i kushtohet aksiomatizimit jo vetëm të disiplinave matematikore, por edhe të seksioneve të caktuara të fizikës, biologjisë, psikologjisë, ekonomisë, gjuhësisë etj., duke përfshirë teoritë e strukturës dhe dinamikës së njohurive shkencore. Kur studioni shkencën natyrore (në përgjithësi, çdo njohuri jo matematikore), metodat matematikore shfaqen në formën e një metode hipotetike-deduktive (shih gjithashtu Formalizimi)

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

METODA AXIOMATIKE

greke aksioma - pozicion i rëndësishëm, i pranuar) - një metodë e ndërtimit të një teorie në të cilën disa pohime të vërteta përzgjidhen si pozicione fillestare (aksioma), nga të cilat më pas konkludohen dhe vërtetohen logjikisht deklaratat e mbetura të vërteta (teoremat) e kësaj teorie. Rëndësia shkencore e A.M. u justifikua nga Aristoteli, i cili ishte i pari që ndau të gjithë grupin e pohimeve të vërteta në ato themelore ("parime") dhe në ato që kërkonin prova ("të vërtetueshme"). Në zhvillimin e tij A.M. kaloi në tre faza. Në fazën e parë A.M. ishte kuptimplotë, aksiomat u pranuan në bazë të qartësisë së tyre. Një shembull i një ndërtimi të tillë të teorisë deduktive janë Elementet e Euklidit. Në fazën e dytë, D. Hilbert prezantoi një kriter formal për aplikimin e A.M. - kërkesa e konsistencës, pavarësisë dhe plotësisë së sistemit të aksiomave. Në fazën e tretë A.M. bëhet i zyrtarizuar. Prandaj, koncepti i "aksiomës" ka ndryshuar. Nëse në fazën e parë të zhvillimit të A.M. u kuptua jo vetëm si pikënisja e provës, por edhe si një pozicion i vërtetë që, për shkak të evidentimit të tij, nuk ka nevojë për prova, atëherë aktualisht aksioma vërtetohet si elementi i kërkuar teoria, kur konfirmimi i kësaj të fundit konsiderohet njëkohësisht si konfirmim i themeleve të tij aksiomatike si pikënisje e ndërtimit. Përveç deklaratave kryesore dhe hyrëse në A.M. Niveli i rregullave të veçanta të konkluzionit gjithashtu filloi të binte në sy. Kështu, së bashku me aksiomat dhe teoremat, si grup i të gjitha pohimeve të vërteta të një teorie të caktuar, formulohen aksiomat dhe teoremat për rregullat e përfundimit - metaaksiomat dhe metateoremat. Në vitin 1931, K. Gödel vërtetoi një teoremë për paplotësinë themelore të çdo sistemi formal, sepse ai përmban propozime të pavendosura që janë edhe të paprovueshme dhe të pakundërshtueshme. Duke marrë parasysh kufizimet e vendosura mbi të, AM konsiderohet si një nga metodat kryesore për ndërtimin e një teorie të zhvilluar të formalizuar (dhe jo vetëm përmbajtësore), së bashku me metodën hipotetike-deduktive (e cila ndonjëherë interpretohet si "gjysmë-aksiomatike"). dhe metoda e hipotezës matematikore. Metoda hipotetike-deduktive, në ndryshim nga A.M., përfshin ndërtimin e një hierarkie hipotezash, në të cilën hipotezat më të dobëta rrjedhin nga ato më të forta brenda kornizës së një sistemi të vetëm deduktiv, ku forca e hipotezës rritet me distancën nga empirike. bazë e shkencës. Kjo na lejon të dobësojmë fuqinë e kufizimeve A.M: të kapërcejmë mbylljen e sistemit aksiomatik për shkak të mundësisë së prezantimit të hipotezave shtesë që nuk janë të lidhura rreptësisht nga dispozitat fillestare të teorisë; hyjnë objekte abstrakte nivele të ndryshme organizimi i realitetit, d.m.th. hiqni kufizimin e vlefshmërisë së aksiomatikës "në të gjitha botët"; hiqni kërkesën e barazisë së aksiomave. Nga ana tjetër, A.M., në ndryshim nga metoda e hipotezës matematikore, e cila përqendrohet në vetë rregullat për ndërtimin e hipotezave matematikore që lidhen me fenomene të pastudiuara, lejon që dikush të apelojë në fusha të caktuara lëndore të përmbajtjes.

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

METODA AXIOMATIKE

një metodë e ndërtimit të teorive, sipas së cilës lejohet të përdoren vetëm aksiomat dhe pohimet e nxjerra më parë prej tyre në prova. Arsyet e përdorimit të metodës aksiomatike mund të jenë të ndryshme, gjë që zakonisht çon në një dallim midis aksiomave jo vetëm sipas formulimeve të tyre, por edhe sipas statusit të tyre metodologjik (pragmatik). Për shembull, një aksiomë mund të ketë statusin e një deklarate, ose statusin e një supozimi, ose statusin e një konvente gjuhësore për përdorimin e dëshiruar të termave. Ndonjëherë ky ndryshim në status pasqyrohet në emrat e aksiomave (në aksiomat moderne për teoritë empirike, midis të gjitha aksiomave, shpesh dallohen të ashtuquajturat postulate të kuptimit që shprehin konvencione gjuhësore, dhe grekët e lashtë të ndarë aksiomat gjeometrike në konceptet e përgjithshme dhe postulon, duke besuar se të parët përshkruajnë, të dytat ndërtojnë). Në përgjithësi, marrja parasysh e statuseve të aksiomave është e detyrueshme, pasi është e mundur, për shembull, të ndryshohet përmbajtja e një teorie aksiomatike pa ndryshuar as formulimin ose semantikën e aksiomave, por vetëm duke ndryshuar statusin e tyre, duke deklaruar, të themi, njëri prej tyre një postulat i ri kuptimi. Metoda aksiomatike u demonstrua për herë të parë nga Euklidi në Elementet e tij, megjithëse konceptet e aksiomës, postulatit dhe përkufizimit ishin konsideruar tashmë nga Aristoteli. Në veçanti, interpretimi i aksiomave si të nevojshme shkon tek ai parimet e përbashkëta provë. Kuptimi i aksiomave si të vërteta të vetëkuptueshme u zhvillua më vonë, duke u bërë themelor me ardhjen e logjikës së shkollës Port-Royal, për autorët e së cilës do të thotë qartësi. aftësi e veçantë shpirtrat për të realizuar të vërteta të caktuara drejtpërdrejt (në soditje të pastër, ose intuitë). Rastësisht, besimi i Kantit në karakterin apriori sintetik të gjeometrisë së Euklidit varet nga kjo traditë e mospërfilljes së aksiomave si konvencione ose supozime gjuhësore. Zbulimi i gjeometrisë jo-Euklidiane (Gauss, Lobachevsky, Bolyai); shfaqja në algjebër abstrakte e së resë sistemet e numrave, dhe të gjitha familjet e tyre menjëherë (për shembull, /»-numrat adic); pamjen strukturat e ndryshueshme si grupe; më në fund, një diskutim i pyetjeve si "cila gjeometri është e vërtetë?" - e gjithë kjo kontribuoi në ndërgjegjësimin e dy statuseve të reja, krahasuar me ato të lashta, të aksiomave: aksiomat si përshkrime (klasat e universeve të mundshme të arsyetimit) dhe aksiomat si supozime, sesa pohime të vetëkuptueshme. Kështu u krijuan bazat e të kuptuarit modern të metodës aksiomatike. Ky zhvillim i metodës aksiomatike bëhet veçanërisht i qartë kur krahasojmë "Parimet" e Euklidit me "Themelet e Gjeometrisë" të D. Hilbertit - një aksiomatikë e re e gjeometrisë e bazuar në arritjet më të larta të matematikës të shekullit të 19-të. Nga fundi i të njëjtit shekull, J. Peano dha aksiomatikën e numrave natyrorë. Më tej, metoda aksiomatike u përdor për të ruajtur teorinë e grupeve pas gjetjes së paradokseve. Në të njëjtën kohë, metoda aksiomatike u përgjithësua në logjikë. Hilberti formuloi aksiomat dhe rregullat e përfundimit të logjikës klasike propozicionale dhe P. Bernays formuloi logjikën e kallëzuesve. Në ditët e sotme, detyra aksiomatike është një mënyrë standarde e përcaktimit të logjikave të reja dhe të reja konceptet algjebrike. Në dekadat e fundit, me zhvillimin e modeleve teorike, metoda aksiomatike pothuajse domosdoshmërisht është plotësuar nga metoda model-teorike.

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

metodë aksiomatike

METODA AXIOMATIKE(nga aksioma greke) - një pozicion i pranuar - një metodë e ndërtimit të një teorie shkencore, në të cilën vetëm aksiomat, postulatet dhe deklaratat e nxjerra më parë prej tyre përdoren në prova. Fillimisht u demonstrua qartë nga Euklidi në Elementet e tij, megjithëse konceptet e aksiomës dhe postulatit u përmendën tashmë nga Aristoteli. Ndër grekët e lashtë, një aksiomë ishte një propozim i formuluar qartë që ishte aq i vetëkuptueshëm sa nuk u vërtetua dhe përdorej si bazë për prova të tjera. Një postulat është një deklaratë në lidhje me mundësinë e kryerjes së disa ndërtimeve. Prandaj, "E tëra është më e madhe se pjesa" është një aksiomë, dhe "Nga një pikë e dhënë me një rreze të caktuar mund të përshkruani një rreth" është një postulat. Më pas, koncepti i një aksiome thithi konceptin e një postulati, pasi konceptet e përshkrimit dhe konstruktivitetit nuk u realizuan (një aksiomë përshkruan, një postulat ndërton). Pothuajse të gjitha aksiomat e gjeometrisë helene u formuluan aq qartë dhe me sukses sa nuk ngjallnin dyshime. Sidoqoftë, një nga dispozitat e Euklidit, përkatësisht postulati i pestë, ekuivalent me thënien "Përmes një pike që shtrihet jashtë vijës, mund të vizatoni një vijë paralele me atë të dhënë dhe vetëm një", ishte në dyshim që në fillim. Për më tepër, para Euklidit, helenët eksploruan të tre hipotezat e mundshme: 1) është e pamundur të vizatosh një drejtëz të vetme paralele, 2) është e mundur të vizatosh më shumë se një dhe 3) është e mundur të vizatosh vetëm një drejtëz paralele; por Euklidi zgjodhi qëllimisht një formulim, pasi vetëm në këtë rast ekzistonte katrori dhe koncepti i ngjashmërisë së figurave. Më pas, prania e alternativave u harrua dhe postulati i pestë u përpoq vazhdimisht të provohej. Deri në shekullin e 17-të. A. m u zhvillua pak. Euklidi dhe Arkimedi formuluan aksiomat e statikës dhe optikës, dhe më vonë, në lidhje me trend i përgjithshëm te komentimi dhe kanonizimi, kërkimi i transpozuar ose, në rastin më të mirë, analizuar sistemet e vjetra të aksiomave. Nuk është për t'u habitur që matematika e re filloi me refuzimin e AM dhe analiza e infinitezimaleve u zhvillua si një teori e paformalizuar. Dyshueshmëria e aksiomës "E tëra është më e vogël se pjesa" u kuptua, pasi Nikolla i Kuzës dhe pas tij Galileo treguan se për agregatet e pafundme e tëra mund të jetë izomorfe ndaj pjesës. Por ky zbulim u nënvlerësua sepse përputhej shumë mirë me fenë e krishterë (me konceptet e hipostazave të ndryshme të Zotit të pafund). Më tej, dështimi i Spinozës në përpjekjet për të nxjerrë një sistem të etikës dhe metafizikës duke përdorur një metodë gjeometrike, thjesht racionale, tregoi pazbatueshmërinë e AM ekzistuese në konceptet humanitare. Një kthim në A. m. ndodhi në shekullin e 19-të. Ai u bazua në dy zbulime - gjeometria jo-Euklidiane (duke rizbuluar atë që ishte e njohur para Euklidit, por më pas u harrua plotësisht) dhe algjebër abstrakte. Në gjeometrinë jo-Euklidiane (Gauss, Lobachevsky, Bolyai) u tregua se një nga mohimet e postulatit të pestë - domethënë, se përmes një pike që shtrihet jashtë një vije, dy vija të drejta mund të vizatohen paralelisht me atë të dhënë - është i pajtueshëm. me aksiomat e tjera të gjeometrisë. Kështu, ato aksioma dhe postulate që u krijuan për të përshkruar hapësirën e "vetëm të vërtetë" në fakt përshkruajnë një klasë të tërë hapësirash të ndryshme. Në algjebër abstrakte, u shfaqën sisteme të reja numrash, duke përfshirë familje të tëra të tyre (për shembull, numrat p-adic) dhe struktura të ndryshueshme siç janë grupet. Ishte e natyrshme të përshkruanim vetitë e strukturave të ndryshueshme duke përdorur aksioma, por tani askush nuk këmbënguli në vetëprovimin e tyre, por i konsideronte ato thjesht si një mënyrë për të përshkruar një klasë objektesh matematikore. Për shembull, një gjysmëgrup përcaktohet nga një aksiomë e vetme - asociativiteti i shumëzimit: a° (b o c) = (a o b) O ME. Në vetë gjeometrinë, ka ardhur koha për një rimendim kritik të aksiomave klasike. E. Pash tregoi se Euklidi nuk pa një postulat tjetër, aq intuitivisht të qartë sa ato të përshkruara prej tij: "Nëse një vijë e drejtë kryqëzon njërën nga anët e një trekëndëshi, atëherë ajo do të presë edhe tjetrën." Më tej u tregua se një nga kriteret për barazinë e trekëndëshave duhet pranuar si aksiomë, përndryshe ashpërsia e provave humbet, pasi mundësia e lëvizjes së figurave nuk rrjedh nga aksiomat e mbetura. Aksioma "E tëra është më e vogël se pjesa" u hodh si e pakuptimtë nga pikëpamja e matematikës së re dhe u zëvendësua nga disa dispozita për marrëdhëniet midis masave të figurave. Dhe së fundi, D. Hilbert formuloi një aksiomatikë të re të gjeometrisë, bazuar në arritjet më të larta të matematikës të shekullit të 19-të. Në kohën helene dhe më vonë, koncepti i numrit nuk përshkruhej në mënyrë aksiomatike. Vetëm në fund të shekullit të 19-të. G. Peano (Itali) dha aksiomatikën e numrave natyrorë. Aksiomatika e Peanos dhe Hilbertit përmban të njëjtin parim rendit më të lartë, duke mos folur për koncepte fikse, por për koncepte apo agregate arbitrare. Për shembull, në aritmetikë ky është parimi induksioni matematik. Pa parime të rendit më të lartë, një përshkrim i qartë i strukturave standarde matematikore është i pamundur. A.M është përdorur për shpëtim teoria e grupeve pasi gjeti lidhje me të paradokset. Vetë shpëtimi nuk u krye në mënyrën më të mirë - me arnim paradigmave. Ato parime të teorisë së grupeve që dukej se nuk çonin në paradokse dhe siguronin ndërtimet e nevojshme për matematikën u pranuan si aksioma. Por në të njëjtën kohë, AM u përgjithësua në logjikë. D. Hilberti formuloi shprehimisht aksiomat dhe rregullat e konkluzionit të klasikes logjika propozicionale, dhe P. Bernays - logjika e kallëzuesit. Në ditët e sotme, detyra aksiomatike është një mënyrë standarde e përcaktimit të logjikave të reja dhe koncepteve të reja algjebrike. Metodat moderne matematikore ndryshojnë nga ato tradicionale në atë që jo vetëm aksiomat, por edhe gjuha janë të specifikuara në mënyrë eksplicite, dhe në logjikë, edhe rregullat e konkluzionit të teorisë ose sistemit që përshkruhet. A. m. i rishikuar dhe i forcuar armë e fuqishme në fusha të tilla të reja të njohurive si shkenca njohëse Dhe gjuhësia matematikore. Kjo ju lejon të rrëzoni probleme semantike në nivelin sintaksor dhe në këtë mënyrë ndihmojnë në zgjidhjen e tyre. Në dekadat e fundit, me zhvillimin e teorisë së modeleve, AM është plotësuar domosdoshmërisht me metoda model-teorike. Kur formulohet një sistem aksiomatik, është e nevojshme të përshkruhet tërësia e modeleve të tij. Arsyetimi minimal i nevojshëm për një sistem aksiomash është korrektësia dhe plotësia e tij për një klasë të caktuar modelesh. Por për aplikimet një justifikim i tillë formal nuk është i mjaftueshëm - është gjithashtu e nevojshme të tregohet kuptimi kuptimplotë i sistemit të ndërtuar dhe aftësive të tij shprehëse. Kufizimi kryesor matematikor i matematikës matematikore është se logjika e rendit më të lartë është e paformalizueshme dhe e paplotë, dhe pa të është e pamundur të përshkruhen strukturat standarde matematikore. Prandaj, në ato zona ku ka specifike vlerësime numerike, A.M nuk mund të zbatohet në tërësi gjuha matematikore. Në zona të tilla është i mundur vetëm aksiomatizim jo i plotë dhe jokonsistent, i ashtuquajtur i pjesshëm ose kuptimplotë. Joformalizueshmëria e koncepteve në vetvete, çuditërisht, nuk e pengon zbatimin e AM në këto koncepte. Megjithatë, kur punoni në një mjedis fiks, ka kuptim të kaloni në shumë më efikase modele formale. NË në këtë rast tipar pozitiv formalizmat shpesh mund të jenë për shkak të mospërputhjes së tyre me situatën reale. Formalizmat nuk mund të korrespondojnë plotësisht me përmbajtjen e koncepteve, por nëse këto mospërputhje fshihen, atëherë formalizmat shpesh vazhdojnë të përdoren edhe pasi situata të ketë pushuar së qeni e përshtatshme për përdorimin e tyre, madje edhe në një situatë që nuk ishte e përshtatshme për përdorimin e tyre nga vetë fillimi. Rreziqe të ngjashme ekzistojnë për formalizimin e pjesshëm. Unë jam N. Nepeyvoda

Përkufizim i shkëlqyer

Përkufizim jo i plotë ↓

Metoda aksiomatike

Një aksiomë është pika e fillimit, origjinale një pozicion i një teorie që është në bazën e provave të dispozitave të tjera (për shembull, teoremave) të kësaj teorie, brenda së cilës ajo pranuar pa prova. NË vetëdija e zakonshme dhe në gjuhë një aksiomë është një e vërtetë e caktuar që është aq e padiskutueshme sa ajo nuk kërkon dëshmi.

Kështu që, metodë aksiomatike- ϶ᴛᴏ një nga metodat e ndërtimit deduktiv të një teorie shkencore, në të cilën përzgjidhet një grup pohimesh të pranuara pa prova, të quajtura "fillime", "postulate" ose "aksioma", dhe të gjitha propozimet e tjera të teorisë. janë marrë si pasojë logjike këto aksioma.

Metoda aksiomatike në matematikë e ka origjinën të paktën nga Euklidi, megjithëse termi "aksiomë" gjendet shpesh te Aristoteli: "... Sepse prova është e pamundur për çdo gjë: në fund të fundit, një provë duhet të jepet në bazë të diçkaje në lidhje me diçka dhe për të justifikuar diçka. Megjithatë, rezulton se gjithçka që vërtetohet duhet t'i përkasë të njëjtit lloj, sepse të gjitha shkencat vërtetuese përdorin aksiomat në të njëjtën mënyrë.<…>Aksioma ka shkallën më të lartë të përbashkëta dhe thelbi i fillimit të gjithçkaje.<…>Unë i quaj parimet e provës dispozitat e pranuara përgjithësisht mbi bazën e të cilave secili ndërton provat e tij.<…>Nuk ka nevojë të pyesësh “pse” për parimet e dijes dhe secili prej këtyre parimeve në vetvete duhet të jetë i besueshëm. Ajo që është e besueshme është ajo që duket e drejtë për të gjithë ose për shumicën e njerëzve, ose për të mençurit - për të gjithë ose për shumicën prej tyre, ose për më të famshmit dhe më të lavdishmit. (Shih, për shembull, Aristoteli. Vepra në katër vëllime. T. 2. Topeka. M.: Mysl, 1978. F. 349).

Siç shihet nga fragmenti i fundit i Temave të Aristotelit, baza për të pranuar një aksiomë është një "besueshmëri" e caktuar dhe madje autoriteti Njerëz "të famshëm dhe të famshëm". Por aktualisht nuk llogaritet arsye të mjaftueshme. Moderne shkencat ekzakte, duke përfshirë. vetë matematika, mos u drejto dukshmëria si argument i së vërtetës: aksioma thjesht futet dhe pranohet pa prova.

David Hilbert (1862-1943), matematikan dhe fizikan gjerman, vuri në dukje se termi aksiomatike ndonjëherë përdoret në një më të gjerë, dhe nganjëherë në një më të gjerë në kuptimin e ngushtë fjalët. Me kuptimin më të gjerë të këtij termi, ne e quajmë ndërtimin e një teorie "aksiomatike". Në këtë drejtim dallon D. Gilbert aksiomatika e përmbajtjes dhe aksiomatika formale.

I pari “... prezanton konceptet e tij bazë duke iu referuar përvojës sonë ekzistuese, dhe ose i konsideron dispozitat kryesore të tij si fakte të dukshme që mund të verifikohen drejtpërdrejt, ose i formulon ato si rezultat i një përvoje të caktuar dhe në këtë mënyrë shpreh besimin tonë se ne arritëm të gjejmë gjurmët e ligjeve të natyrës, dhe në të njëjtën kohë synimin tonë për të mbështetur këtë besim me suksesin e teorisë që po zhvillohet. Aksiomatika formale gjithashtu duhet të njohë dëshmitë e gjërave të një lloji të caktuar - kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme si për zbatimin e deduksionit ashtu edhe për vendosjen e konsistencës së vetë aksiomatikës - megjithatë, dallim domethënës se kjo lloj prove nuk bazohet në ndonjë lidhje të veçantë epistemologjike me fushën specifike të shkencës në shqyrtim, por mbetet e njëjtë në rastin e çdo aksiomatike: këtu nënkuptojmë të tilla. mënyrë elementare njohuri se në përgjithësi është një parakusht për çdo precize hulumtim teorik. <…>Aksiomatizimi formal, i një rëndësie të madhe, ka nevojë për një përmbajtësor si plotësues, pasi është ky i fundit që së pari na udhëheq në procesin e zgjedhjes së formalizmave të duhura dhe më pas, kur teoria formale është tashmë në dispozicionin tonë, na tregon se si kjo teoria duhet të zbatohet në fushën e realitetit në shqyrtim. Nga ana tjetër, ne nuk mund të kufizohemi në aksiomatikë kuptimplote për arsyen e thjeshtë se në shkencë - nëse jo gjithmonë, atëherë kryesisht - kemi të bëjmë me teori që nuk riprodhojnë plotësisht gjendjen aktuale të punëve, por janë vetëm duke thjeshtuar idealizimin këtë pozicion, që është rëndësia e tyre. Kjo lloj teorie, natyrisht, nuk duhet të justifikohet duke iu referuar dëshmive të aksiomave ose përvojës së saj. Për më tepër, justifikimi i tij duhet të kryhet vetëm në kuptimin që do të vendoset qëndrueshmëria e idealizimit të prodhuar në të, ᴛ.ᴇ. atë ekstrapolim, si rezultat i të cilit konceptet e futura në këtë teori dhe dispozitat kryesore të saj tejkalojnë kufijtë e të dukshmes vizualisht ose të dhënave të përvojësʼʼ(kursive i imi – Yu.E.). (Hilbert D., Bernays P. Themelet e Mathematics. M.: Nauka, 1979. F. 23.)

Megjithatë, metoda aksiomatike e kuptuar në mënyrë moderne zbret në sa vijon: a) zgjidhni një grup pranuar pa prova aksiomat; b) konceptet e përfshira në to nuk janë të përcaktuara qartë në kuadrin e kësaj teorie; c) rregullat e përkufizimit dhe rregullat e konkluzionit të një teorie të caktuar janë të fiksuara, duke e lejuar njeriun të nxjerrë logjikisht disa supozime nga të tjerët; d) të gjitha teoremat e tjera rrjedhin nga ʼʼaʼʼ në bazë të ʼʼвʼʼ. Seksione të ndryshme janë ndërtuar aktualisht duke përdorur këtë metodë. matematikanët(gjeometria, teoria e probabilitetit, algjebra, etj.), fizikantët(mekanika, termodinamika); po bëhen përpjekje për të aksiomatizuar kimisë Dhe biologjisë. Gödel vërtetoi pamundësinë e aksiomatizimit të plotë të teorive shkencore mjaft të zhvilluara (për shembull, aritmetika e numrave natyrorë), që nënkupton pamundësinë e formalizimit të plotë të njohurive shkencore. Gjatë studimit të njohurive të shkencave natyrore, metoda aksiomatike shfaqet në formë metoda hipotetike-deduktive. Përdorimi i konceptit "aksiomë" në të folurin e përditshëm si një lloj A priori dukshmëria nuk pasqyron më thelbin e këtij koncepti. Ky kuptim aristotelian këtë term në matematikë dhe shkencë tani është tejkaluar. Është e përshtatshme të shoqërojmë diskutimin e aksiomatikës me një fragment të veprës klasike të Karl Raimund Popper:

ʼʼ Sistemi teorik mund të quhet aksiomat nëse formulohet një grup pohimesh aksiomash që plotësojnë katër kërkesat themelore të mëposhtme: (a) sistemi i aksiomave duhet të jetë konsistente(d.m.th., nuk duhet të përmbajë as aksioma vetëkontradiktore dhe as kontradikta ndërmjet aksiomave). Kjo është e barabartë me kërkesën që jo çdo deklaratë arbitrare të jetë e deduktueshme në një sistem të tillë. (b) Aksiomat e një sistemi të caktuar duhet të jenë të pavarura, domethënë, sistemi nuk duhet të përmbajë aksioma që mund të rrjedhin nga aksioma të tjera. (Me fjalë të tjera, një deklaratë unĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ mund të quhet aksiomë vetëm nëse nuk është e deduktueshme në pjesën e sistemit që mbetet pas heqjes së tij). Këto dy kushte lidhen me vetë sistemin e aksiomave. Sa i përket marrëdhënies së sistemit të aksiomave me pjesën kryesore të teorisë, aksiomat duhet të jenë: (c) mjaftueshëm për zbritjen e të gjitha pohimeve që i përkasin teorisë së aksiomatizuar, dhe d) e nevojshme në kuptimin që sistemi nuk duhet të përmbajë supozime të panevojshme.<…>Unë i konsideroj të pranueshme dy interpretime të ndryshme të çdo sistemi aksiomash. Aksiomat mund të konsiderohen ose (1) si konventës, ose (2) si empirike, ose shkencore hipotezaʼʼ (Popper K. R. Logic kërkimin shkencor. M.: Republika, 2005. F. 65).

Në historinë e shkencës mund të gjenden një sërë shembujsh të kalimit në një mënyrë aksiomatike të paraqitjes së një teorie. Për më tepër, aplikimi i vazhdueshëm i kësaj metode në logjikën e vërtetimit të teoremave në gjeometri bëri të mundur rimendimin e kësaj shkenca e lashtë, duke hapur botën e “gjeometrive jo-Euklidiane” (A. I. Lobachevsky, J. Bolyai, K. Gauss, G. F. B. Riemann, etj.). Kjo metodë doli të jetë e përshtatshme dhe produktive, duke lejuar që dikush të ndërtojë një teori shkencore fjalë për fjalë si një kristal i vetëm (kështu paraqitet, në veçanti, mekanika teorike dhe termodinamika klasike). Disi më vonë, tashmë në vitet '30 të shekullit të 20-të, matematikani vendas Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) dha një justifikim aksiomatik për teorinë e probabilitetit, e cila, siç besojnë me besim historianët e shkencës, bazohej më parë në imazhe empirike. lojërat e fatit(hedh, zare, letra). Në këtë drejtim, ka kuptim t'i ofrohen lexuesit dy fragmente nga tekstet e klasikëve të shkencës dhe pedagogjisë, të cilët dinin të shkruanin, siç tha Berdyaev, jo vetëm "për diçka", por edhe "diçka".

R. Courant dhe G. Robbins: "Ka një aksiomë në sistemin Euklidian, në lidhje me të cilën - në bazë të krahasimit me të dhënat empirike, duke përdorur fije të shtrira fort ose rrezet e dritës - është e pamundur të thuhet nëse është "e vërtetë". Kjo është e famshme postulat për paralele, i cili thekson se përmes këtë pikë, i vendosur jashtë kësaj linje, mund të vizatohet një dhe vetëm një vijë paralele me këtë. Një tipar i veçantë i kësaj aksiome është se pohimi i përfshirë në të ka të bëjë me vetitë e vijës së drejtë në të gjithë gjatësinë e saj, dhe vija supozohet se zgjatet pafundësisht në të dy drejtimet: të thuash se dy linja janë paralele do të thotë të thuash që ato nuk mund të zbulohen pikë e përbashkët, sado t'i vazhdojmë ato, është mjaft e dukshme se brenda një të caktuar kufizuar pjesë e rrafshit, sado e gjerë të jetë kjo pjesë, përkundrazi, është e mundur të vizatohen përmes një pike të caktuar shumë drejtëza që nuk kryqëzohen me një drejtëz të caktuar. Meqenëse gjatësia maksimale e mundshme e një vizoreje, filli, madje rreze drite, gjurmuar me ndihmën e një teleskopi, sigurisht që është i fundëm, dhe meqenëse brenda një rrethi me rreze të fundme ka shumë vija të drejta që kalojnë nëpër një pikë të caktuar dhe brenda rrethit që nuk takohen me një vijë të caktuar të drejtë, rrjedh se postulati i Euklidit nuk duhet të jetë kurrë verifikuar eksperimentalisht.<…>Matematikani hungarez Bolyai dhe matematikani rus Lobachevsky i dhanë fund dyshimeve duke ndërtuar në çdo detaj një sistem gjeometrik në të cilin aksioma e paralelizmit hidhej poshtë. Kur Bolyai ia dërgoi veprën e tij "mbretit të matematikës" Gauss, nga i cili priste me padurim mbështetjen, ai mori si përgjigje një njoftim se vetë Gauss e kishte bërë zbulimin më herët, por ai nuk i publikonte rezultatet në atë kohë, nga frika. diskutime shumë të zhurmshme.

Le të shohim se çfarë do të thotë pavarësia e aksiomës së paralelizmit. Kjo pavarësi duhet kuptuar në kuptimin që është e mundur të ndërtohen fjali “gjeometrike” për pikat, vijat, etj., pa kontradikta të brendshme, bazuar në një sistem aksiomash në të cilin aksioma e paralelizmit zëvendësohet me të kundërtën e saj. Ky ndërtim zakonisht quhet gjeometri jo-Euklidiane(kursive i imi - Yu.E.). U desh patrembursia intelektuale e Gausit, Boljait dhe Lobachevskit për të kuptuar se gjeometria, jo e bazuar në sistemin Euklidian të aksiomave, duhet të jetë absolutisht konsistente(kursive i imi - Yu.E.).<…>Tani jemi në gjendje të ndërtojmë "modele" të thjeshta të një gjeometrie të tillë që plotësojnë të gjitha aksiomat e Euklidit, përveç aksiomës së paralelizmit (R. Kurant, G. Robbins. Çfarë është matematika? M.: Prosveshcheniye, 1967. F. 250) .

Opsione të ndryshme gjeometritë jo-Euklidiane (për shembull, gjeometria e Riemann-it, si dhe gjeometria në hapësirën me më shumë se tre dimensione) gjetën aplikim më vonë në ndërtimin e teorive të lidhura me mikrobotën (relativiste Mekanika kuantike, fizikë grimcat elementare) dhe, përkundrazi, në megabotën ( teori e përgjithshme relativiteti).

Më në fund, mendimi i matematikanit rus Andrei Nikolaevich Kolmogorov: "Teoria e probabilitetit ose një disiplinë matematikore mund dhe duhet të aksiomatizohet saktësisht në të njëjtin kuptim si gjeometria ose algjebra". Kjo do të thotë se, pasi të jepen emrat e objekteve në studim dhe marrëdhëniet e tyre themelore, si dhe aksiomat të cilave duhet t'u binden këto marrëdhënie, i gjithë prezantimi i mëtejshëm duhet të bazohet ekskluzivisht në këto aksioma. pa u mbështetur në kuptimin e zakonshëm konkret të këtyre objekteve dhe marrëdhënieve të tyre(kursive i imi - Yu.E.).<…>Çdo teori aksiomatike (abstrakte) lejon, siç dihet, numër i pafund interpretime specifike. Sidoqoftë, teoria matematikore e probabilitetit lejon, së bashku me interpretimet nga të cilat lindi, shumë të tjera.<…>Duhet të kryhet aksiomatizimi i teorisë së probabilitetit menyra te ndryshme si në lidhje me zgjedhjen e aksiomave ashtu edhe me zgjedhjen konceptet bazë dhe marrëdhëniet themelore. Nëse ndjekim qëllimin e thjeshtësisë së mundshme si të vetë sistemit të aksiomës ashtu edhe të ndërtimit prej tij teori e mëtejshme, atëherë duket më e përshtatshme të aksiomatohen konceptet e një ngjarjeje të rastësishme dhe probabiliteti i saj. Ekzistojnë edhe sisteme të tjera për ndërtimin aksiomatik të teorisë së probabilitetit, përkatësisht ato në të cilat koncepti i probabilitetit nuk është një nga konceptet bazë, por shprehet vetë përmes koncepteve të tjera [fusnota: Cf., për shembull, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung , Leipzig u. Vjenë, Francë Deuticke, 1931; Bernstein S.N. Teoria e probabilitetit, botimi i dytë, Moskë, GTTI, 1934]. Në të njëjtën kohë, megjithatë, ata përpiqen për një qëllim tjetër, domethënë, sa më afër mbylljes më të afërt. teoria matematikore me shfaqjen empirike të konceptit të probabilitetit (Kolmogorov A.N. Konceptet bazë të teorisë së probabilitetit. M.: Nauka, 1974. P. 9).

Metoda aksiomatike - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë "Metodë aksiomatike" 2017, 2018.

Metoda aksiomatike u aplikua fillimisht me sukses nga Euklidi për të ndërtuar gjeometrinë elementare. Që nga ajo kohë, kjo metodë ka pësuar një evolucion të konsiderueshëm dhe ka gjetur aplikime të shumta jo vetëm në matematikë, por edhe në shumë degë të shkencës ekzakte natyrore (mekanika, optika, elektrodinamika, teoria e relativitetit, kozmologjia, etj.).

Zhvillimi dhe përmirësimi i metodës aksiomatike ndodhi në dy linja kryesore: së pari, përgjithësimi i vetë metodës dhe, së dyti, zhvillimi i teknikave logjike të përdorura në procesin e nxjerrjes së teoremave nga aksiomat. Për të imagjinuar më qartë natyrën e ndryshimeve që kanë ndodhur, le t'i drejtohemi aksiomatikës origjinale të Euklidit. Siç dihet, konceptet fillestare dhe aksiomat e gjeometrisë interpretohen në një mënyrë dhe të vetme. Me pikë, vijë dhe plan, si konceptet bazë të gjeometrisë, nënkuptohen objektet hapësinore të idealizuara dhe vetë gjeometria konsiderohet si studim i vetive të hapësirës fizike. Gradualisht u bë e qartë se aksiomat e Euklidit doli të ishin të vërteta jo vetëm për përshkrimin e vetive të objekteve gjeometrike, por edhe të objekteve të tjera matematikore dhe madje fizike. Pra, nëse me një pikë nënkuptojmë një trefish të numrave realë, dhe me një vijë të drejtë dhe një plan - ekuacionet lineare përkatëse, atëherë vetitë e të gjitha këtyre objekteve jogjeometrike do të plotësojnë aksiomat gjeometrike të Euklidit. Akoma më interesant është interpretimi i këtyre aksiomave me ndihmën e objekteve fizike, për shembull, gjendjet e një sistemi mekanik dhe fiziko-kimik ose shumëllojshmëria e ndjesive të ngjyrave. E gjithë kjo tregon se aksiomat e gjeometrisë mund të interpretohen duke përdorur objekte të një natyre shumë të ndryshme.

Kjo qasje abstrakte ndaj aksiomatikës u përgatit kryesisht nga zbulimi i gjeometrive jo-Euklidiane nga N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss dhe B. Riemann. Shprehja më e qëndrueshme Një vështrim i ri mbi aksiomat si forma abstrakte që lejojnë shumë interpretime të ndryshme, që gjenden në veprën e famshme të D. Hilbertit “Themelet of Geometric” (1899). “Ne mendojmë, - shkruante ai në këtë libër, - për tre sisteme të ndryshme të gjërave: gjërat e sistemit të parë i quajmë pika dhe shënojmë A, B, C,...; Gjërat e sistemit të dytë i quajmë të drejtpërdrejta dhe shënojmë a, b, c,...; Gjërat e sistemit të tretë i quajmë plane dhe i caktojmë si a, B, y,...”. Nga kjo është e qartë se me "pikë", "vijë të drejtë" dhe "rrafsh" mund të nënkuptojmë çdo sistem objektesh. Është e rëndësishme vetëm që vetitë e tyre të përshkruhen nga aksiomat përkatëse. Hapi tjetër në rrugën drejt abstragimit nga përmbajtja e aksiomave shoqërohet me paraqitjen e tyre simbolike në formën e formulave, si dhe me specifikimin e saktë të atyre rregullave të konkluzionit që përshkruajnë se si nga disa formula (aksioma) formula të tjera (teorema) janë marrë. Si rezultat i kësaj, arsyetimi kuptimplotë me konceptet në këtë fazë të kërkimit kthehet në disa operacione me formula sipas rregullave të paracaktuara. Me fjalë të tjera, të menduarit kuptimplotë pasqyrohet këtu në llogaritje. Sistemet aksiomatike të këtij lloji shpesh quhen sisteme sintaksore të formalizuara, ose gurë.

Të tre llojet e aksiomatizimit të konsideruara përdoren në shkencën moderne. Sistemet aksiomatike të formalizuara përdoren kryesisht kur studiohen bazat logjike të një shkence të veçantë. Një kërkim i tillë ka fituar shtrirjen më të madhe në matematikë në lidhje me zbulimin e paradokseve në teorinë e grupeve. Sistemet formale luajnë një rol të rëndësishëm në krijimin e gjuhëve të veçanta shkencore, me ndihmën e të cilave është e mundur të eliminohen sa më shumë pasaktësitë e gjuhës së zakonshme, natyrore.

Disa shkencëtarë e konsiderojnë këtë pikë si pothuajse gjënë kryesore në procesin e aplikimit të metodave logjiko-matematikore në shkencat specifike. Kështu, shkencëtari anglez I. Woodger, i cili është një nga pionierët e përdorimit të metodës aksiomatike në biologji, beson se aplikimi i kësaj metode në biologji dhe në degët e tjera të shkencës natyrore konsiston në krijimin e një metode shkencore. gjuhë e përsosur, në të cilën llogaritja është e mundur. Baza për ndërtimin e një gjuhe të tillë është një metodë aksiomatike, e shprehur në formën e një sistemi të formalizuar ose llogaritjes. Simbolet fillestare të dy llojeve shërbejnë si alfabet i një gjuhe të formalizuar: logjike dhe individuale.

Simbolet logjike përfaqësojnë lidhje logjike dhe marrëdhënie të përbashkëta për shumë ose shumicën e teorive. Simbolet individuale përfaqësojnë objekte të teorisë në studim, të tilla si matematikore, fizike ose biologjike. Ashtu si një sekuencë e caktuar shkronjash të alfabetit formon një fjalë, ashtu edhe një koleksion i kufizuar simbolesh të renditura formon formulat dhe shprehjet e një gjuhe të formalizuar. Për të dalluar shprehjet kuptimplote të një gjuhe, prezantohet koncepti i një formule të ndërtuar saktë. Për të përfunduar procesin e ndërtimit të një gjuhe artificiale, mjafton të përshkruhen qartë rregullat për nxjerrjen ose konvertimin e një formule në një tjetër dhe të nënvizohen disa formula të ndërtuara saktë si aksioma. Kështu, ndërtimi i një gjuhe të formalizuar ndodh në të njëjtën mënyrë si ndërtimi i një sistemi aksiomatik kuptimplotë. Meqenëse arsyetimi kuptimplotë me formula është i papranueshëm në rastin e parë, derivimi logjik i pasojave këtu zbret në kryerjen e operacioneve të përcaktuara saktësisht për trajtimin e simboleve dhe kombinimeve të tyre.

Qëllimi kryesor i përdorimit të gjuhëve të formalizuara në shkencë është një analizë kritike e arsyetimit me ndihmën e të cilit merren njohuri të reja në shkencë. Meqenëse gjuhët e formalizuara pasqyrojnë disa aspekte të arsyetimit kuptimplotë, ato mund të përdoren gjithashtu për të vlerësuar mundësitë e automatizimit të aktivitetit intelektual.

Sistemet abstrakte aksiomatike kanë marrë aplikimin më të madh në matematikën moderne, e cila karakterizohet nga jashtëzakonisht qasje e përgjithshme ndaj subjektit të kërkimit. Në vend që të flasë për numra konkretë, funksione, vija, sipërfaqe, vektorë e të ngjashme, matematikani modern merr në konsideratë grupe të ndryshme objektesh abstrakte, vetitë e të cilave formulohen saktësisht me anë të aksiomave. Koleksione ose grupe të tilla, së bashku me aksiomat që i përshkruajnë ato, tani shpesh quhen struktura matematikore abstrakte.

Çfarë përparësish do t'i japë matematikës metoda aksiomatike? Së pari, ai zgjeron ndjeshëm fushën e aplikimit të metodave matematikore dhe shpesh lehtëson procesin e kërkimit. Kur studion fenomene dhe procese specifike në një fushë të caktuar, një shkencëtar mund të përdorë sisteme abstrakte aksiomatike si mjete të gatshme analize. Duke u siguruar që dukuritë në shqyrtim plotësojnë aksiomat e një teorie të caktuar matematikore, studiuesi mund të përdorë menjëherë të gjitha teoremat që rrjedhin nga aksiomat pa punë shtesë intensive. Qasja aksiomatike shpëton një specialist në një shkencë specifike nga kryerja e një kërkimi matematikor mjaft kompleks dhe të vështirë.

Për një matematikan, kjo metodë bën të mundur të kuptojë më mirë objektin e kërkimit, të nxjerrë në pah drejtimet kryesore në të dhe të kuptojë unitetin dhe lidhjen e metodave dhe teorive të ndryshme. Uniteti që arrihet me ndihmën e metodës aksiomatike, në shprehjen figurative të N. Bourbaki-t, nuk është uniteti “që jep një skelet pa jetë. Është lëngu ushqyes i trupit në zhvillim të plotë, një instrument kërkimor i lakueshëm dhe frytdhënës...” Falë metodës aksiomatike, veçanërisht në formën e saj të formalizuar, bëhet e mundur zbulimi i plotë i strukturës logjike të teorive të ndryshme. Në formën e saj më të përsosur, kjo vlen për teoritë matematikore. Në njohuritë e shkencës natyrore, ne duhet të kufizohemi në aksiomatizimin e thelbit kryesor të teorive. Më tej, përdorimi i metodës aksiomatike bën të mundur kontrollin më të mirë të rrjedhës së arsyetimit tonë, duke arritur ashpërsinë e nevojshme logjike. Sidoqoftë, vlera kryesore e aksiomatizimit, veçanërisht në matematikë, është se ai vepron si një metodë për të eksploruar modele të reja, duke vendosur lidhje midis koncepteve dhe teorive që më parë dukeshin të izoluara nga njëra-tjetra.

Përdorimi i kufizuar i metodës aksiomatike në shkencën e natyrës shpjegohet kryesisht me faktin se teoritë e saj duhet të monitorohen vazhdimisht nga përvoja.

Për shkak të kësaj, teoria e shkencës natyrore nuk përpiqet kurrë për plotësi dhe izolim të plotë. Ndërkohë, në matematikë ata preferojnë të merren me sisteme aksiomash që plotësojnë kërkesën e plotësisë. Por siç tregoi K. Gödel, çdo sistem konsistent aksiomash të një natyre jo të parëndësishme nuk mund të jetë i plotë.

Kërkesa për konsistencën e një sistemi aksiomash është shumë më e rëndësishme sesa kërkesa për plotësinë e tyre. Nëse një sistem aksiomash është kontradiktor, ai nuk do të ketë ndonjë vlerë për dijen. Duke u kufizuar në sisteme jo të plota, është e mundur të aksiomatizojmë vetëm përmbajtjen kryesore të teorive të shkencave natyrore, duke lënë mundësinë e zhvillimit dhe përsosjes së mëtejshme të teorisë përmes eksperimentit. Edhe një synim kaq i kufizuar në një numër rastesh rezulton të jetë shumë i dobishëm, për shembull, për zbulimin e disa premisave dhe supozimeve të nënkuptuara të teorisë, monitorimin e rezultateve të marra, sistemimin e tyre etj.

Zbatimi më premtues i metodës aksiomatike është në ato shkenca ku konceptet e përdorura kanë qëndrueshmëri të konsiderueshme dhe ku mund të abstragohet nga ndryshimi dhe zhvillimi i tyre.

Pikërisht në këto kushte bëhet i mundur identifikimi i lidhjeve formale-logjike ndërmjet komponentë të ndryshëm teoritë. Kështu, metoda aksiomatike, në një masë më të madhe se metoda hipotetike-deduktive, është përshtatur për studimin e njohurive të gatshme, të arritura.

Analiza e shfaqjes së dijes dhe e procesit të formimit të saj kërkon kthimin në dialektikën materialiste, si doktrina më e thellë dhe më gjithëpërfshirëse e zhvillimit.

METODA AXIOMATIKE

METODA AXIOMATIKE (greqisht aksioma - një pozicion domethënës, i pranuar) është një metodë e ndërtimit të një teorie në të cilën disa pohime të vërteta përzgjidhen si pohime fillestare (aksioma), nga të cilat më pas konkludohen logjikisht deklaratat e mbetura të vërteta (teorema) të kësaj teorie dhe e provuar. Rëndësia shkencore e A.M. u vërtetua nga Aristoteli, i cili ishte i pari që ndau të gjithë grupin e pohimeve të vërteta në bazë ("parime") dhe në ato që kërkonin prova ("të vërtetueshme"). Në zhvillimin e tij A.M. kaloi në tre faza. Në fazën e parë A.M. ishte kuptimplotë, aksiomat u pranuan në bazë të qartësisë së tyre. Një shembull i ndërtimit të një teorie të tillë deduktive janë Elementet e Euklidit. Në fazën e dytë, D. Hilbert prezantoi një kriter formal për aplikimin e A.M. - kërkesa e konsistencës, pavarësisë dhe plotësisë së sistemit të aksiomave. Në fazën e tretë A.M. bëhet i zyrtarizuar. Prandaj, koncepti i "aksiomës" ka ndryshuar. Nëse në fazën e parë të zhvillimit të A.M. u kuptua jo vetëm si pikënisja e provës, por edhe si një pozicion i vërtetë që nuk ka nevojë për provë për shkak të evidentimit të tij, atëherë aktualisht aksioma vërtetohet si një element i domosdoshëm i teorisë, kur konsiderohet konfirmimi i kësaj të fundit. njëkohësisht me konfirmimin e themeleve të tij aksiomatike si pikënisje të ndërtimit . Përveç deklaratave kryesore dhe hyrëse në A.M. Niveli i rregullave të veçanta të konkluzionit gjithashtu filloi të binte në sy. Kështu, së bashku me aksiomat dhe teoremat, si grup i të gjitha pohimeve të vërteta të një teorie të caktuar, formulohen aksiomat dhe teoremat për rregullat e përfundimit - metaaksiomat dhe metateoremat. K, Gödel në vitin 1931 vërtetoi një teoremë për paplotësinë themelore të çdo sistemi formal, sepse ai përmban propozime të pavendosura që janë njëkohësisht të paprovueshme dhe të pakundërshtueshme. Duke marrë parasysh kufizimet e vendosura mbi të, AM konsiderohet si një nga metodat kryesore për ndërtimin e një teorie të zhvilluar të formalizuar (dhe jo vetëm përmbajtësore), së bashku me metodën hipotetike-deduktive (e cila ndonjëherë interpretohet si "gjysmë-aksiomatike"). dhe metoda e hipotezës matematikore. Metoda hipotetike-deduktive, në ndryshim nga A.M., përfshin ndërtimin e një hierarkie hipotezash në të cilën hipotezat më të dobëta rrjedhin nga ato më të forta brenda kornizës së një sistemi të vetëm deduktiv, ku forca e hipotezës rritet me distancën nga baza empirike. të shkencës. Kjo na lejon të dobësojmë fuqinë e kufizimeve A.M: të kapërcejmë mbylljen e sistemit aksiomatik për shkak të mundësisë së prezantimit të hipotezave shtesë që nuk janë të lidhura rreptësisht nga dispozitat fillestare të teorisë; prezantoni objekte abstrakte të niveleve të ndryshme të organizimit të realitetit, d.m.th. hiqni kufizimin e vlefshmërisë së aksiomatikës "në të gjitha botët"; hiqni kërkesën e barazisë së aksiomave. Nga ana tjetër, A.M., në ndryshim nga metoda e hipotezës matematikore, e cila përqendrohet në vetë rregullat për ndërtimin e hipotezave matematikore që lidhen me fenomene të pastudiuara, lejon që dikush të apelojë në fusha të caktuara lëndore të përmbajtjes.

Më të rejat fjalor filozofik. - Minsk: Shtëpia e Librit. A. A. Gritsanov. 1999.

Shihni se çfarë është "METODA AXIOMATIC" në fjalorë të tjerë:

Metoda e ndërtimit shkencor teoria, në të cilën bazohet në disa dispozita (gjykime) fillestare të aksiomës, ose postulateve, nga të cilat të gjitha pohimet e tjera të kësaj teorie duhet të nxirren krejtësisht logjikisht. nga, përmes...... Enciklopedia Filozofike

Shih METODA AXIOMATIKE. Antinazi. Enciklopedia e Sociologjisë, 2009 ... Enciklopedia e Sociologjisë

METODA AXIOMATIKE, metodë e arsyetimit matematik të bazuar në përfundim logjik nga disa pohime (aksioma). Kjo metodë është një nga bazat shkenca matematikore: është përdorur përsëri në Greqia e lashte, dhe duke e zyrtarizuar atë...... Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Enciklopedia moderne

Një metodë e ndërtimit të një teorie shkencore në formën e një sistemi aksiomash (postulatesh) dhe rregullash konkluzionesh (aksiomatikë), duke lejuar, përmes deduksionit logjik, të përftohen pohime (teorema) të një teorie të caktuar ... Fjalori i madh enciklopedik

metodë aksiomatike- METODA AXIOMATIC (nga greqishtja axioma) është një pozicion i pranuar - një metodë e ndërtimit të një teorie shkencore, në të cilën vetëm aksiomat, postulatet dhe pohimet e nxjerra më parë prej tyre përdoren në prova. Për herë të parë demonstruar qartë ... ... Enciklopedia e Epistemologjisë dhe Filozofisë së Shkencës

Metoda aksiomatike- METODA AXIOMATIKE, metodë e ndërtimit të një teorie shkencore në të cilën teoria bazohet në disa dispozita fillestare të quajtura aksioma, dhe të gjitha dispozitat e tjera të teorisë (lemat ndihmëse dhe teoremat kryesore) fitohen si... ... Fjalor Enciklopedik i Ilustruar

METODA AXIOMATIKE- një mënyrë e organizimit të njohurive shkencore (veçanërisht teorike), thelbi i së cilës është të izolojë, midis gjithë grupit të pohimeve të vërteta për një fushë të caktuar lëndore, një nëngrup të tillë (aksioma), nga e cila logjikisht ... ... Filozofia e Shkencës: Fjalor i Termave Bazë

Një metodë e ndërtimit të një teorie shkencore në formën e një sistemi aksiomash (postulatesh) dhe rregullash konkluzionesh (aksiomatikë), duke lejuar, nëpërmjet deduksionit logjik, të përftohen pohime (teorema) të një teorie të caktuar. * * * METODA AXIOMATIKE METODA AXIOMATIC, metoda... ... fjalor enciklopedik

metodë aksiomatike- aksiominis metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. metoda aksiomatike vok. Aksiomatische Metodë, f rus. metodë aksiomatike, m pranc. Aksiomatike e metodës, f … Fizikos terminų žodynas

libra

• Turma. Logjikat. Teoritë Aksiomatike, Robert R. Stoll. Libri jep një shpjegim bazë konceptet më të rëndësishme, idetë, metodat dhe rezultatet e teorisë së bashkësive (përfshirë algjebrën e veprimeve në bashkësi), logjikën matematikore (elementet e logjikës...

METODA AXIOMATIKE- një metodë e ndërtimit të teorive, sipas së cilës lejohet të përdoren vetëm aksiomat dhe pohimet e nxjerra më parë prej tyre në prova. Arsyet e përdorimit të metodës aksiomatike mund të jenë të ndryshme, gjë që zakonisht çon në një dallim midis aksiomave jo vetëm sipas formulimeve të tyre, por edhe sipas statusit të tyre metodologjik (pragmatik). Për shembull, një aksiomë mund të ketë statusin e një deklarate, ose statusin e një supozimi, ose statusin e një konvente gjuhësore për përdorimin e dëshiruar të termave. Ndonjëherë ky ndryshim në status pasqyrohet në emrat e aksiomave (në aksiomat moderne për teoritë empirike, midis të gjitha aksiomave, shpesh dallohen të ashtuquajturat postulate të kuptimit, duke shprehur konvencione gjuhësore, dhe grekët e lashtë i ndanë aksiomat gjeometrike në koncepte të përgjithshme dhe postulaton, duke besuar se të parat përshkruajnë, të dytat po ndërtohen). Në përgjithësi, marrja parasysh e statuseve të aksiomave është e detyrueshme, pasi është e mundur, për shembull, të ndryshohet përmbajtja teoria aksiomatike , pa ndryshuar as formulimin dhe as semantikën e aksiomave, por vetëm duke ndryshuar statusin e tyre, duke e shpallur, le të themi, njërën prej tyre një postulat të ri kuptimor. Metoda aksiomatike u demonstrua për herë të parë nga Euklidi në Elementet e tij, megjithëse konceptet e aksiomës, postulatit dhe përkufizimit ishin konsideruar tashmë nga Aristoteli. Në veçanti, interpretimi i aksiomave si parime të përgjithshme të nevojshme të provës kthehet në të. Kuptimi i aksiomave si të vërteta të vetëkuptueshme u zhvillua më vonë, duke u bërë themelor me ardhjen e shkollës Logjika Port-Royal , për autorët e të cilave dëshmi nënkupton aftësinë e veçantë të shpirtit për të realizuar të vërteta të caktuara drejtpërdrejt (në soditje të pastër, ose intuitë). Rastësisht, besimi i Kantit në karakterin apriori sintetik të gjeometrisë së Euklidit varet nga kjo traditë e mospërfilljes së aksiomave si konvencione ose supozime gjuhësore. Zbulimi i gjeometrisë jo-Euklidiane (Gauss, Lobachevsky, Bolyai); shfaqja në algjebër abstrakte e sistemeve të reja numerike dhe të gjithë familjeve të tyre njëherësh (për shembull, R-numrat adic); shfaqja e strukturave të ndryshueshme si grupet; më në fund, një diskutim i pyetjeve si "cila gjeometri është e vërtetë?" - e gjithë kjo kontribuoi në ndërgjegjësimin e dy statuseve të reja, krahasuar me ato të lashta, të aksiomave: aksiomat si përshkrime (klasat e universeve të mundshme të arsyetimit) dhe aksiomat si supozime, sesa pohime të vetëkuptueshme. Kështu u krijuan bazat e të kuptuarit modern të metodës aksiomatike. Ky zhvillim i metodës aksiomatike bëhet veçanërisht i qartë kur krahasohen Elementet e Euklidit me Bazat e Gjeometrisë D. Gilbert – aksiomatika e re e gjeometrisë, bazuar në arritjet më të larta të matematikës të shekullit të 19-të.

Nga fundi i atij shekulli J. Peano dha aksiomatikën e numrave natyrorë. Më tej, metoda aksiomatike u përdor për të ruajtur teorinë e grupeve pas gjetjes së paradokseve. Në të njëjtën kohë, metoda aksiomatike u përgjithësua në logjikë. Hilberti formuloi aksiomat dhe rregullat e derivimit të klasikes logjika propozicionale , dhe P. Bernays - logjika e kallëzuesit . Në ditët e sotme, detyra aksiomatike është një mënyrë standarde e përcaktimit të logjikave të reja dhe koncepteve të reja algjebrike. Në dekadat e fundit, me zhvillimin modele teorike Metoda aksiomatike filloi pothuajse domosdoshmërisht të plotësohej nga metoda model-teorike.

N.N.Nepeyvoda