Në disa grupe të hapura (d.m.th., ato që nuk përmbajnë pikat e tyre kufitare), mund të vërehet një mospërputhje serioze në dimensione.

Seti i pikave fundore të tre pluhurit Cantor është i ngjashëm dhe karakterizohet nga të njëjtat vlera dhe si i gjithë pluhuri Cantor, d.m.th. dimensioni i ngjashmërisë së tij përkon me dimensionin e ngjashmërisë së pluhurit të Cantor-it. Megjithatë, ai është i numërueshëm, që do të thotë se dimensioni i tij Hausdorff–Besicovitch është zero. Nëse shtojmë këtu pikat kufizuese të pluhurit, atëherë marrim vetë pluhurin e Cantor-it dhe mospërputhja do të zhduket "në favor" të dimensionit të ngjashmërisë, që për këtë grup është një karakteristikë më e rëndësishme.

Një shembull tjetër i thjeshtë, të cilin unë e quaj grupi Besicovich, diskutohet në seksionin mbi fraktale jo-lakunare, 3.

Dimensioni Furier dhe heuristika

Lë të jetë një funksion jo në rënie të . Nëse intervalet maksimale të hapura në të cilat vlera është konstante shtohen me komplementin e grupit të mbyllur, atëherë themi se grupi është një mbështetje për . Transformimi Fourier–Stieltjes i funksionit ka formën

Më së shumti funksionet e lëmuara japin shkallën më të lartë të mundshme të reduktimit. Le të shënojmë me numrin real më të madh për të cilin të paktën një funksion me mbështetje plotëson barazinë

për të gjithë,

por asnjëra prej tyre nuk kënaq

në për disa.

Shprehja "at" do të thotë këtu se . Kur grupi mbush të gjithë intervalin, madhësia është e pafundme. Dhe anasjelltas, kur ka një pikë - e vetmja, . Interesante, kur përfaqëson një grup të masës Lebesgue zero, sasia është e fundme dhe nuk e kalon dimensionin Hausdorff-Besicovich të këtij grupi. Pabarazia tregon se vetitë fraktale dhe harmonike të një grupi fraktal janë të ndërlidhura, por jo domosdoshmërisht përkojnë.

Për të vërtetuar se këto dimensione mund të ndryshojnë, supozoni se është një grup në një vijë, dhe dimensioni i tij është i barabartë me . Nëse e konsiderojmë atë si një grup në një plan, atëherë dimensioni nuk do të ndryshojë, por do të bëhet zero.

Përkufizimi. Si një mënyrë e përshtatshme për të përgjithësuar disa veti harmonike, unë propozoj që sasia të quhet dimensioni Furier i grupit.

Komplete Salem. Barazia përshkruan një kategori të tërë grupesh të quajtura grupe unike, ose grupe Salem (shih).

Rregulla e gishtit dhe heuristika. Fraktalet që na interesojnë në studimet precedente rezultojnë, si rregull, të jenë grupe Salem. Meqenëse vlera në shumë raste përcaktohet lehtësisht nga të dhënat eksperimentale, ajo mund të përdoret për të vlerësuar .

Komplete jo të rastësishme të Salem. Pluhuri jo i rastësishëm Cantor është një grup Salem vetëm nëse koeficienti plotëson disa veti teorike të numrave.

Komplete të rastësishme Salem. Pluhuri i rastësishëm Cantor është një grup Salem kur rastësia e tij është mjaft e madhe për të shkelur çdo rregullsi aritmetike.

Shembulli origjinal, i propozuar nga vetë R. Salem, është shumë kompleks. Si shembull alternativ Pluhuri Levy mund të citohet: tregohet se spektri (këtu është shkalla Levy, shih Fig. 399) mesatarisht pothuajse përkon me spektrin e një funksioni të pjesshëm Brownian nga vija e drejtë në vijën e drejtë dhe është një version i zbutur i spektrit të funksionit Gauss–Weierstrass.

Monografia (teoremat 1, f. 165 dhe 5, f. 173) tregon se imazhi i një grupi kompakt me dimension në lidhje me një funksion të pjesshëm Brownian nga rreshti në rresht me eksponent është një grup Salem me dimension .

Pluhuri Cantor nuk është një grup Salem. Pluhuri i Trinity Cantor-it lindi në një kohë si rezultat i kërkimit të Georg Cantor-it për grupin e veçantisë (shih, I, f. 196), një kërkim që nuk u kurorëzua me sukses. (Më pas Cantor braktisi analizën harmonike dhe - për mungesë të ndonjë gjëje më të mirë - krijoi teorinë e grupeve.) Le të shënojmë shkallën e Cantor-it me . Spektri ka të njëjtën formë të përgjithshme si spektri, por, ndryshe nga ky i fundit, përmban një numër majash të mprehta të vendosura rastësisht me madhësi jo në rënie, nga të cilat mund të konkludojmë se. Cm.

Për teorinë e grupeve unike, prania e këtyre majave luan një rol vendimtar, por në praktikë ato nuk janë aspak aq domethënëse. Në shumicën e rasteve, kur vlerësohet dendësia spektrale, majat injorohen dhe vetëm formë e përgjithshme spektri, i përcaktuar nga dimensioni .

Pika e mesme dhe shumëkëndëshat me ndërprerje

Materiali mbi këtë temë (në lidhje me kthesat e Peano) mund të gjendet në Kapitullin XII të Fractals 1977.

Analiza statistikore duke përdorur diapazonin e normalizuar

Deri kohët e fundit, statistikat e aplikuara merrnin të mirëqenë dy supozimet e mëposhtme për seritë kohore: supozohej se dhe se ndryshorja e rastësishme ka një varësi afatshkurtër. Megjithatë, kam treguar (shih Kapitullin 37), se sekuencat empirike të të dhënave me bisht të gjatë shpesh interpretohen më mirë në dritën e supozimit. Për herë të parë u ndeshën me pyetjen nëse kjo apo ajo sekuencë të dhënash është e varur dobët (afatshkurtër) ose fort (afatgjatë) kur prezantova varësinë afatgjatë për të interpretuar fenomenin Hurst (shih Kapitullin 27).

Kjo përzierje e bishtave të gjata dhe varësisë shumë afatgjatë mund t'i çojë statisticienët në një rrugë pa krye, pasi metodat standarde të rendit të dytë, të dizajnuara për varësi të vazhdueshme (korrelacion, spektra), udhëhiqen nga supozimi . Hani. Megjithatë, ekziston një alternativë.

Ju mund të neglizhoni shpërndarjen e sasisë dhe të analizoni varësinë e saj afatgjatë duke përdorur diapazonin e normalizuar; Përndryshe, kjo procedurë quhet analizë. Kjo metodë statistikore, e propozuar dhe e justifikuar matematikisht në, bazohet në dallimin midis varësive afatshkurtra dhe shumë afatgjata. Në këtë metodë, futet një konstante, e cila quhet koeficienti Hurst, ose - eksponent, dhe mund të marrë çdo vlerë në intervalin nga 0 në 1.

Rëndësia e një konstante mund të përshkruhet edhe para se të përcaktohet. Me rëndësi të veçantë është karakteristikë e funksioneve të pavarura, Markov dhe të tjera të rastësishme me varësi afatshkurtër. Kështu, për të ditur nëse një varësi statistikore jo periodike shumë afatgjatë është e pranishme në të dhënat empirike ose në funksionet e mostrës, mjafton të kontrollohet nëse supozimi është statistikisht i pranueshëm. Nëse jo, atëherë një varësi e tillë është e pranishme dhe masa e intensitetit të saj përcaktohet nga diferenca, vlera e së cilës mund të vlerësohet bazuar në të dhënat e disponueshme.

Avantazhi kryesor i kësaj qasjeje është se treguesi është i qëndrueshëm në lidhje me shpërndarjen margjinale. Kjo do të thotë, është efektive jo vetëm në rastet kur sekuencat e të dhënave ose funksionet e rastësishme janë gati Gaussian, por edhe kur shpërndarja është aq larg nga Gaussian-i sa divergjent, në këtë rast asnjë nga metodat e rendit të dytë nuk funksionon.

Përkufizimi i statistikave - fushëveprimi. Në kohë të vazhdueshme përcaktojmë , Dhe . Në kohë diskrete ne përcaktojmë dhe ; Këtu - pjesë e tërë. Për secilën (le të quajmë vonesë të vlerës) ne përcaktojmë diapazonin e rregulluar të shumës në intervalin kohor nga 0 në formë

Madhësia quhet diapazoni statistikor ose diapazoni i vetë-korrigjuar i vetë-normalizuar i shumës.

Përkufizimi - tregues Supozoni se ka një numër real të tillë që kur vlera konvergon në shpërndarje në disa ndryshore të rastësishme kufizuese jo të degjeneruara. Siç vërtetohet në , nga ky supozim del se . Në këtë rast, ata thonë se funksioni ka një eksponent dhe një parafaktor konstant.

Le të bëjmë një supozim më të përgjithshëm: le relacionin , ku është një funksion që ndryshon ngadalë në pafundësi, d.m.th. funksion që plotëson kushtin në për të gjithë. Shembulli më i thjeshtë i një funksioni të tillë është . Në këtë rast, funksioni thuhet se ka - eksponent dhe - parafaktor.

Rezultatet kryesore. Kur - zhurma e bardhë Gaussian, kemi gjithashtu një parafaktor konstant. Më saktësisht, qëndrimi është një funksion i rastësishëm i palëvizshëm i .

Në më shumë pamje e përgjithshme, barazia është e vërtetë në të gjitha rastet kur , dhe shuma e normalizuar në konvergjon dobët në .

Kur është zhurma fraksionale diskrete Gaussian (d.m.th. një sekuencë e rritjeve të funksionit, shih f. 488), kemi , ku .

Në përgjithësi, për të marrë një parafaktor konstant mjafton që dhe kështu që shuma i afrohet funksionit në mënyrë që .

Në përgjithësi, kuptimi dhe parafaktori mbizotërojnë nëse , dhe i afrohet funksionit dhe plotëson relacionin .

Dhe së fundi, nëse , por i afrohet disa shkallëve jo-gausiane të pandryshueshme funksion i rastësishëm me tregues. Shembujt mund të gjenden në.

Nga ana tjetër, nëse është zhurmë e bardhë e qëndrueshme ndaj Levy (d.m.th.), atëherë .

Kur një funksion bëhet i palëvizshëm si rezultat i diferencimit, atëherë .

Stacionariteti. Shkallët e stacionaritetit

Duke përdorur fjalët "të zakonshme" në tekstet shkencore, ne ose nënkuptojmë kuptimet e tyre të përdorura zakonisht, "të kësaj bote" (zgjedhja e të cilave varet nga autori), ose u japim atyre statusin e përkufizimeve formale (për të cilat theksojmë disa kuptim të veçantë dhe vendose - brenda në këtë rast- "tableta" matematikore). Termat stacionar dhe ergodik janë me fat që matematikanët kanë arritur marrëveshje për kuptimin e tyre. Megjithatë, pata mundësinë përvojën e vet sigurohuni që shumë inxhinierë, fizikanë dhe statisticien praktikues, duke pranuar përkufizimin matematikor me fjalë, në fakt u përmbahen pikëpamjeve më të ngushta. Përkundrazi, do të doja të zgjerohesha përkufizimi matematik. Më poshtë do të listoj keqkuptimet kryesore që lindin gjatë përdorimit të këtyre termave dhe do të përpiqem të shpjegoj pse duhet të zgjerohet përkufizimi matematik.

Përkufizimi matematik. Procesi është i palëvizshëm nëse shpërndarja e sasisë nuk varet nga , dhe shpërndarja e përbashkët nuk varet nga ; dhe e njëjta gjë vlen edhe për shpërndarjet e përbashkëta para të gjithëve.

Keqkuptimi i parë (filozofia). Sipas besimit popullor, veprimtari shkencore mund të konsiderohet ajo veprimtari, objekti i së cilës janë dukuri që u binden rregullave të pandryshueshme. Një keqkuptim i stacionaritetit është më shpesh pasojë e pikërisht kësaj pikëpamjeje të gjërave: shumë besojnë se stacionariteti thjesht nënkupton pandryshueshmërinë kohore të rregullave që rregullojnë procesin. Kjo është larg nga e vërteta. Për shembull, rritje Lëvizja Browniane është një variabël e rastësishme Gaussian mesatarja dhe varianca e së cilës nuk varen nga . Rregulli për ndërtimin e grupit të zerove të lëvizjes Browniane nuk varet nga asnjëra. Sidoqoftë, vetëm ato rregulla që rregullojnë vlerat e vetë procesit janë të rëndësishme për stacionaritetin. Në rastin e lëvizjes Brownian, këto rregulla nuk janë të pandryshueshme në kohë.

Keqkuptimi i dytë (statistikat e aplikuara). Statisticienët na ofrojnë shumë metoda (nganjëherë edhe në formë software për kompjuterët) “analiza e serive kohore”; në fakt, diapazoni i aftësive të këtyre metodave rezulton të jetë shumë më i ngushtë nga sa mund të pritej, duke gjykuar nga etiketa. Kjo është e pashmangshme, pasi stacionariteti matematik është një koncept shumë i përgjithshëm që çdo metodë e vetme të jetë e zbatueshme në të gjitha rastet e mundshme. Megjithatë, duke e bërë këtë, statisticienët rrënjosin padashur te klientët e tyre besimin se koncepti i "serive kohore stacionare" është identik me konceptet e tjera më të ngushta të mbuluara nga një metodë ose një tjetër. Edhe në ato raste kur autorët e metodave marrin mundimin të kontrollojnë krijimet e tyre për "stabilitet", ata marrin parasysh vetëm devijimet minimale nga gjendja më e thjeshtë, pa marrë parasysh devijimet shumë radikale që nuk bien aspak në kundërshtim me stacionaritetin.

Keqkuptimi i tretë (inxhinierët dhe fizikantët). Shumë studiues (pjesërisht për shkak të keqkuptimeve të mëparshme) besojnë se nëse procesi i marrjes së mostrave është i palëvizshëm, kjo do të thotë se ai "mund të lëvizë lart e poshtë, por mbetet në një farë mënyre statistikisht i njëjtë". Ky interpretim ishte mjaft i përshtatshëm në një fazë të hershme, "joformale", por për momentin është i papranueshëm. Përkufizimi matematik përshkruan vetëm rregullat e gjenerimit, por nuk ndikon në objektet e krijuara në asnjë mënyrë. Kur matematikanët takuan për herë të parë procese të palëvizshme me mostra jashtëzakonisht të rastësishme, ata u mahnitën që koncepti i stacionaritetit mund të përfshinte një pasuri të tillë formash sjelljeje shumë të ndryshme dhe të papritura. Fatkeqësisht, janë pikërisht këto forma të sjelljes që shumë praktikues refuzojnë kategorikisht t'i njohin si të palëvizshme.

Zonë gri. Nuk ka dyshim se kufiri midis proceseve stacionare dhe jostacionare qëndron diku midis zhurmës së bardhë Gaussian dhe lëvizjes Brownian; Vetëm vendndodhja e tij e saktë është e diskutueshme.

Përsosja e kufirit duke përdorur zhurmën e pandryshueshme në shkallë. Zhurma e pandryshueshme e shkallës Gaussian (shih Kapitullin 27) mund të shërbejë si një mjet shumë i përshtatshëm për të rafinuar një kufi të diskutueshëm, pasi ai dendësia spektrale ka formën , ku . Për zhurmën e bardhë, për lëvizjen Brownian, kufiri midis proceseve të palëvizshme dhe jostacionare bie në kuptime të ndryshme Në varësi të konsideratave nga të cilat udhëhiqen "anketuesit", kërkohet një model ekskluzivisht jo-stacionar.

Unë, nga ana tjetër, zbulova se duke përjashtuar vlerat nga shqyrtimi, përkufizimi i stacionaritetit nuk është mjaft i përgjithshëm për shumë raste studimore.

Proceset sporadike me kusht stacionare. Për shembull, teoria e zhurmës fraktal (shih Kapitullin 9) sugjeron që një proces i përbërë nga zero Brownian është i palëvizshëm në një formë të dobësuar. Në fakt, supozoni se diku midis dhe ka të paktën një zero. Rezultati i një supozimi të tillë do të jetë një proces i rastësishëm në varësi të një parametri të jashtëm shtesë. Vura re se shpërndarja e përbashkët e vlerave nuk varet nga. Renyi gjithashtu shkroi për masën e pafundme për ndryshoret e rastësishme. Në mënyrë që masa të mos çojë në fatkeqësi, në teorinë e përgjithësuar variablat e rastësishëm supozohet se këto sasi vërehen vetëm kur shkaktohen nga ndonjë ngjarje, e tillë që .

Megjithëse zbatueshmëria e ndryshoreve të rastësishme Renyi është shumë e kufizuar, funksionet sporadike ndonjëherë rezultojnë të jenë shumë të dobishme: në veçanti, me ndihmën e tyre arrita të shmangja një katastrofë infra të kuqe në disa raste, duke shpjeguar kështu ekzistencën e një zhurme të pandryshueshme në shkallë me .

Ergodiciteti. Përzierja. Koncepti i ergodicitetit gjithashtu i nënshtrohet interpretimeve të ndryshme. Në literaturën matematikore, koncepti i ergodicitetit përfshin forma të ndryshme duke e trazuar. Ka procese me përzierje të fortë dhe procese me përzierje të dobët. Dallimi midis këtyre formave (duke gjykuar nga punët matematikore) mund të duket shumë i parëndësishëm dhe larg realitetit. dukuritë natyrore. Mos u mashtroni - kjo nuk është e vërtetë. Për shembull, zhurma e pandryshueshme në shkallë c, ose efekti Joseph (varësia e pafund, si në - zhurma c). Sidoqoftë, duhet thënë se pothuajse të gjitha studimet e mia precedente në një fazë u kritikuan a priori nga një "ekspert" i cili argumentoi se fenomenet në studim ishin qartësisht jo-stacionare dhe, për rrjedhojë, modelet e mia të palëvizshme ishin të destinuara të dështonin. qysh në fillim. Arsyetimi është i gabuar, por psikologjikisht shumë domethënës.

konkluzioni. Mosmarrëveshjet e dhunshme semantike vazhdojnë rreth kufirit midis proceseve matematikisht të palëvizshme dhe jostacionare. Në praktikë, kufiri është i zënë nga procese që, megjithëse nuk korrespondojnë me idetë tona intuitive për proceset stacionare, janë ende të afta të veprojnë si objekte. kërkimin shkencor. Këto procese ishin shumë të dobishme për mua, si në këtë ese ashtu edhe në pjesën tjetër të punës sime kërkimore.

Probleme leksikore. Dhe përsëri ka nevojë për kushte të reja. Unë do të marr guximin të rekomandoj termin e vendosur si një sinonim për atë që matematikanët e quajnë "stacionar dhe i tillë që shuma konvergjon në ", dhe një term për atë koncept intuitiv që studiuesit praktikë priren ta quajnë "stacionaritet". Koncepti i kundërt mund të përcaktohen me termat i paqëndrueshëm ose i përhumbur.

Në një prej tyre veprat e hershme(domethënë: në) Unë propozova t'i quaj proceset e vendosura Laplacian dhe të buta. Fjala e fundit përdoret në kuptimin "i sigurt, lehtësisht i kontrollueshëm"; ky kuptim m'u duk mjaft i përshtatshëm, pasi, duke u marrë me të tilla proces i rastësishëm, nuk duhet të kesh frikë nga ndonjë surprizë nga ana e saj - nuk duhet të presësh prej saj ato devijime të mprehta dhe konfigurime të ndryshme që e bëjnë analizën e proceseve të rastësishme endacake një aktivitet më kompleks, por edhe shumë më interesant.

I njëjti objekt mund të ketë shumë modele, dhe objekte të ndryshme mund të përshkruhen nga një model.

Formalizimi - procesi i ndërtimit të modeleve të informacionit duke përdorur gjuhët formale.

Së bashku me gjuhët natyrore(Rusisht, Anglisht, etj.) U zhvilluan gjuhë zyrtare: sisteme numrash, algjebër propozicionale, gjuhë programimi, etj. Dallimi kryesor midis gjuhëve zyrtare dhe gjuhëve natyrore është prania jo vetëm e një alfabeti rreptësisht të fiksuar, por gjithashtu Rregulla strikte gramatika dhe sintaksa.

Për shembull, sistemet e numrave janë gjuhë që kanë një alfabet (numra) dhe lejojnë jo vetëm emërtimin dhe shkrimin e objekteve (numrave), por edhe kryerjen e veprimeve aritmetike mbi to sipas rregullave të përcaktuara rreptësisht.

Me ndihmën e gjuhëve formale ndërtohen modele informacioni të një lloji të caktuar - modele logjike formale. Për shembull, duke përdorur algjebër logjike, mund të ndërtoni modele logjike të një grumbulluesi dhe një flip-flop.

Një nga gjuhët formale më të zakonshme është gjuha algjebrike e formulave në matematikë, e cila ju lejon të përshkruani varësitë funksionale midis sasive. Modelet e ndërtuara duke përdorur konceptet matematikore dhe formulat quhen modele matematikore.

Le të shqyrtojmë kalimin nga një model teksti përshkrues në një model matematikor formal duke përdorur shembullin e modelit heliocentrik të botës. Nevojat e zhvillimit të tregtisë dhe lundrimit kërkonin njohuri të sakta të pozicioneve të yjeve dhe planetëve në qiell, por ishte e pamundur të merreshin të dhëna të tilla nga modeli përshkrues i botës nga Koperniku.

Astronomi dhe matematikani gjerman Johannes Kepler zyrtarizoi modelin heliocentrik të botës nga Koperniku. Ai formuloi tre ligje që përshkruanin lëvizjen e planetëve duke përdorur objekte gjeometrike dhe formulat matematikore. Nga këto ligje ishte e mundur të përcaktoheshin koordinatat e planetëve për çdo moment në kohë.

Ligjet e Keplerit bënë të mundur llogaritjen e pozicioneve të planetëve me mjaft saktësi, por ata nuk shpjeguan arsyet e lëvizjes së tyre. Hapi tjetër drejt zhvillimit të modelit heliocentrik të botës u bë nga Njutoni. Ai zbuloi ligjin graviteti universal dhe kaloi në një nivel më të thellë të formalizimit të modelit, duke shpjeguar arsyen e lëvizjes së planetëve. Ligjet e Keplerit rezultojnë të jenë në këtë rast pasojë e thjeshtë Ligji i gravitetit të Njutonit.

Kështu, në procesin e të kuptuarit të botës përreth nesh, njerëzimi vazhdimisht përdor modelimin dhe formalizimin. Kur studiohet një objekt i ri, zakonisht ndërtohet fillimisht një model përshkrues i tij, pastaj zyrtarizohet, d.m.th. shprehet duke përdorur formula matematikore, objekte gjeometrike etj.

Pyetja 2. Sistemet e numrave të përdorur në PC. Shndërrimi i numrave nga një

sistemi i numrave në një tjetër.

Funksionet kryesore të çdo kompjuteri janë futja, ruajtja, përpunimi dhe nxjerrja e të dhënave. Parimet e përgjithshme punë elektronike kompjuterët formuluar nga shkencëtarët Babbage dhe J. von Neumann. Sipas këtyre parimeve, çdo kompjuter përbëhet nga tre komponentë kryesorë (procesori, RAM, pajisjet hyrëse-dalëse).

Informacioni me të cilin punon kompjuteri paraqitet gjithmonë në kod binar. Kompjuteri është duke përdorur sistemi i shenjave, por përbëhet nga dy shifra sistemi binar: 1 dhe 0.

Njësia binare e informacionit, numerikisht e barabartë me sasinë quhet informacioni me dy rezultate ekskluzive reciproke pak. Duke përdorur një grup vlerash bit (0 dhe 1), ju mund të përfaqësoni çdo shenjë dhe çdo numër.

Karakteret përfaqësohen nga kombinime 8-bitësh të vlerave të biteve - bajt.

Përshkrim fusha lëndore(krijimi i ontologjisë së tij) fillon me përzgjedhjen e objekteve dhe klasifikimin e tyre, i cili tradicionalisht konsiston në përpilimin e një peme klasash-nënklasash dhe caktimin e individëve në to. Në këtë rast, termi "klasë" përdoret në thelb në kuptimin e "bashkësisë": caktimi i një objekti në një klasë mendohet se e përfshin atë si një element në grupin përkatës. Qëllimi i këtij teksti është të tregojë se një qasje e tillë e unifikuar për të përshkruar strukturën e një fushe lëndore është një thjeshtësim i fortë dhe nuk lejon kapjen e diversitetit marrëdhëniet semantike objektet.

Le të shohim tre opsione për klasifikimin e individit Bug:

Kafshë - qen - Husky - Bug.
Shërbimi - hipur - Bug.
Lukuni - ekipi i qenve - Zhuchka.

Sekuenca e parë e entiteteve vartëse përshkruhet pa mëdyshje përmes përkufizimit të klasave dhe nënklasave: Një gabim është një individ i klasës "Lika", klasa "Lika" është një nënklasë qensh dhe kjo është një nënklasë e "kafshës". klasës. Në këtë rast, klasa "kafshët" interpretohet si grupi i të gjitha kafshëve, dhe klasa "pëlqime" si një nëngrup i grupit "qentë". Megjithatë, një përshkrim i tillë, pavarësisht nga fakti se është mjaft vizual, është kuptimisht tautologjik, vetë-referues: ne e quajmë individin Bug husky nëse ai përfshihet në grupin e huskive, dhe ne e përkufizojmë vetë grupin e huskive si tërësia e të gjithë individëve të huskive - domethënë, përfshirja në grup është kuptimplotë dublikon emrin. Për më tepër, përshkrimi i një grupi klasash është shteruar plotësisht nga përshkrimi i një individi që i përket konceptit që përcakton klasën. Duhet gjithashtu të theksohet se funksionimi i klasave të tilla të grupeve nuk varet nga numri i elementeve në to: Bug husky do të jetë një husky edhe kur të mbetet i vetmi husky i fundit në Tokë. Për më tepër, ne mund të operojmë me grupe të tilla klasash edhe në mungesë të individëve në to: mund të ndërtojmë një ontologji të dinosaurëve tashmë të zhdukur, të imagjinojmë një klasë që do të përfshijë vetëm pajisjen unike që do të projektohet në të ardhmen, ose të ndërtojmë një model të fusha lëndore e kafshëve mitike, heronjve të përrallave, megjithëse në të njëjtën kohë kardinaliteti i të gjitha grupeve të klasave do të jetë i barabartë me zero.

Pra, nëse flasim për anën përmbajtjesore të klasifikimit të analizuar (kafshë - qen - husky - Bug), atëherë ajo (ana e përmbajtjes) në asnjë mënyrë nuk mund të shprehet përmes marrëdhënies së grupeve dhe nëngrupeve. Në këtë rast kemi të bëjmë me konceptualizim – izolues të koncepteve dhe vendosja e marrëdhënieve gjini-specie mes tyre. Për më tepër, numri aktual i elementeve të klasës konceptuale, domethënë shtrirja e konceptit, nuk shfaqet në përkufizimin e tij dhe përmendet (edhe atëherë jo kuptimisht) vetëm kur një koncept ("si") bie nën një tjetër ( "qen"), domethënë kur vepron si një specie e gjinisë. Po, mund të themi se shtrirja e konceptit "qen" është më e madhe se shtrirja e konceptit "si", por marrëdhënia reale numerike e këtyre grupeve nuk ka ndonjë kuptim ontologjik. Kur vëllimi i një klase tejkalon vëllimin e një nënklase në marrëdhëniet gjini-specie, ai pasqyron vetëm faktin se, sipas përcaktimit të një gjinie, ai duhet të përfshijë disa lloje - në ndryshe ky klasifikim bëhet i pakuptimtë. Kjo do të thotë, në klasifikimin konceptual gjini-specie, ne jemi të interesuar pikërisht për përmbajtjen e koncepteve - si ndryshon specia "qen" nga specia "mace" (e cila gjithashtu bie nën konceptin gjenerik "kafshë" për ta), dhe jo si lidhen vëllimet e grupeve të gjinive dhe specieve dhe aq më tepër vëllimet e koncepteve të specieve (“qen” dhe “mace”). Dhe për të dalluar klasat konceptuale nga grupet vërtet të numërueshme, do të ishte më e saktë të flitej për të nëse një individ i përket konceptit, jo rreth përfshirjes atë në një klasë / grup. Është e qartë se në shënimin formal thëniet "bie nën konceptin X" dhe "është një element i klasës X" mund të duken të njëjta, por moskuptimi i ndryshimit thelbësor midis këtyre dy përshkrimeve mund të çojë në gabime serioze në ndërtimin e ontologjinë.

Në opsionin e dytë (shërbimi - kalërimi - Zhuchka) ne gjithashtu nuk jemi të interesuar të krahasojmë konceptin "kalërim" të ndonjë grupi: përmbajtja semantike e thënies "Zhuchka - hipur" nuk varet nëse është i vetmi apo atje. janë shumë prej tyre. Duket se këtu kemi të bëjmë marrëdhëniet gjini-specie: koncepti i "kalërimit" mund të konsiderohet si i afërm specifik koncept gjenerik"zyrtare" Por lidhja e "Bug" individuale me konceptin e "kalërimit" është dukshëm e ndryshme nga lidhja me konceptin "si": koncepti i dytë, konceptual është imanent dhe i pandryshueshëm i natyrshëm tek individi, dhe i pari pasqyron lokale në kohë specializimi. Insekti nuk ka lindur si qen sajë dhe ndoshta me kalimin e moshës mund të pushojë së qeni i tillë dhe të shkojë në kategorinë e një qeni roje dhe në pleqëri mund të humbasë të gjithë "profesionin" fare. Kjo do të thotë, kur flasim për specializim, ne gjithmonë mund të theksojmë ngjarjet e përvetësimit dhe humbjes së lidhjes me një koncept të veçantë. Për shembull, Zhuchka mund të njihet si kampionia absolute e racës dhe më pas të humbasë këtë titull, gjë që është thelbësisht e pamundur me konceptet konceptuale: Zhuchka nga lindja deri në vdekje, domethënë gjatë gjithë periudhës kohore të ekzistencës së saj si individ, është një qen dhe një husky. Po kështu, një person mbetet koncepti i “personit” gjatë gjithë jetës së tij, por situativisht (nga ngjarja në ngjarje) ai mund të bjerë nën konceptet e specializuara të “nxënës shkollor”, “student”, “mjek”, “burrë” etj. siç u përmend tashmë, lidhja me këto koncepte nuk do të thotë aspak përfshirje në një grup të caktuar (edhe pse mund të duket kështu) - atribuimi i një koncepti të specializuar është gjithmonë rezultat i marrëdhënies specifike të një individi me individë të tjerë: hyrja në shkollë, universiteti, marrja e diplomës, regjistrimi i martesës etj. Prandaj mund të quhen edhe koncepte të specializuara relacionale. Nga shembujt e mësipërm, vijon një tjetër ndryshim domethënës midis klasifikimit konceptual dhe specializimit: një individ mund të ketë disa specializime (Zhuchka mund të jetë një qen sajë dhe një kampion race, një person është student dhe bashkëshort), por nuk mund të përfshihet njëkohësisht në më shumë se një hierarki konceptuale (Zhuchka nuk mund të jetë qen). , dhe një mace).

Dhe vetëm në versionin e tretë të përshkrimit të Zhuchka - si i përket një lukuni të caktuar dhe si anëtar i një ekipi specifik që tërheq sajë nëpër tundër - është thjesht e nevojshme të përmendet turma. Vetëm në këtë rast kemi të drejtë të themi se një individ është një element i një grupi konkret me një numër të numërueshëm elementësh dhe nuk i përket një koncepti që mund të përfaqësohet si një grup abstrakt që rregullon në mënyrë konvencionale qëllimin e kësaj. koncept. Dhe këtu është thelbësore që një individ është pjesë e një individi tjetër, i përcaktuar fillimisht si një grup: një lukuni dhe një ekip janë domosdoshmërisht një grup qensh jo bosh dhe numri i elementeve të këtij grupi sigurisht që përfshihet në përkufizimet e tyre si individët. Kjo do të thotë, në këtë rast duhet të flasim për marrëdhënien pjesërisht e tërë: Bug është pjesë e lukuni dhe pjesë e ekipit. Për më tepër, përfshirja ose moshyrja e Bug-it në një ekip specifik ndryshon përmbajtjen e tij (të ekipit): nëse do të kishim një ekip të dyfishtë, atëherë pas heqjes së Bug-it, ekipi shndërrohet në një ekip të vetëm. Në raste të tilla, nuk kemi të bëjmë thjesht me një grup të numërueshëm (qentë në lukuni), por me një individ, thelbi i të cilit ndryshon kur përbërja e elementeve të tij ndryshon dhe përcaktohet nga kjo përbërje, pra me sistemi. Nëse një lukuni është thjesht një grup individual, i përshkruar përmes shumë elementeve të përfshira në të, atëherë një ekip është një sistem, thelbi i të cilit varet nga numri dhe specifika e pjesëve të tij.

Rrjedhimisht, kur ndërtohet një ontologji e një zone lëndore, është e mundur të identifikohen objekte-bashkësi reale, të përcaktuara pikërisht si një koleksion i një numri të caktuar individësh. Këto janë: një klasë në shkollë, mallra në një kuti në një magazinë, pjesë blloku Pajisje elektronike etj. Dhe këto grupe mund të jenë nënbashkësi të grupeve të tjera reale të numërueshme: të gjithë nxënësit në shkollë, të gjitha mallrat në magazinë, të gjitha pjesët e pajisjes. Kur identifikohen këto grupe, është thelbësore që ata (këto grupe) të veprojnë si individë të pavarur (një ekip, një grup mallrash, një grup pjesësh), atributi kryesor i të cilit është pikërisht numri i elementeve të përfshira në to. Për më tepër, ndryshimi i këtij atributi mund të çojë në një ndryshim në statusin e objektit, të themi, me një rritje të numrit të elementeve, duke e kthyer një kuartet në një kuintet ose një regjiment në një brigadë. Është gjithashtu e rëndësishme që përshkrimi i këtyre grupeve të objekteve, objekteve komplekse, të mos reduktohet në një përshkrim të individëve të përfshirë në to, megjithëse mund të përfshijë një tregues të llojit të lejuar të këtij të fundit (kuarteti i harqeve, ekipi i kuajve) . Dhe marrëdhënie të tilla - jo midis grupeve abstrakte, por midis grupeve që janë individë, objekte komplekse - përshkruhen më saktë si marrëdhënie pjesë-tërësie, sesa klasë-nënklasë.

Pra, klasifikimi tradicional i individëve duke i caktuar ata në një grup klasash nuk mund të konsiderohet homogjen. Është e nevojshme të bëhet dallimi midis (1) përfshirjes së individëve si pjesë në një objekt (tërësi) kompleks, specifika semantike e të cilit nuk kufizohet në përshkrimin e elementeve të tij. Në këtë rast (1.1.) një objekt-tërësi mund të konsiderohet vetëm si një grup i emërtuar individësh (pjesë në një paketë, një koleksion pikturash), për të cilat, në fakt, vetëm numri i pjesëve është i rëndësishëm. Objekte të tilla mund të quhen grupe (ose koleksione)). Gjithashtu (1.2.) një objekt-tërësi mund të përcaktohet kuptimisht (dhe jo vetëm sasior) nga pjesët e tij dhe, si pasojë, të ketë atribute që pjesët nuk i posedojnë. Një integritet i tillë quhet tradicionalisht sistemeve, dhe pjesë të sistemeve - elemente. Opsioni i dytë për përshkrimin e objekteve duke i caktuar ato në klasa-nënklasa është (2) përfshirja e individëve nën një koncept, i cili mund të përshkruhet vetëm zyrtarisht, tautologjikisht si përfshirja e individëve në një grup, fuqia e të cilëve është e barabartë me fuqinë e koncept. Përshkrimi konceptual i individëve nga ana tjetër mund të klasifikohet në (2.1) konceptuale, duke fiksuar globalisht llojin e një individi, dhe (2.2) i specializuar (relativ), lokalisht në kohë dhe hapësirë (përfundimisht) duke lidhur një individ me objekte të tjera.

Konsideratat e mësipërme, para së gjithash, ngrenë çështjen e mjaftueshmërisë, përshtatshmërisë qasje tradicionale për të përshkruar fushën lëndore duke përdorur klasifikimin e bazuar në teorinë e grupeve. Dhe përfundimi propozohet: për të kapur të gjithë diversitetin e lidhjeve të objekteve në ontologji, nevojiten mjete klasifikimi më të diferencuara (grupe, sisteme, koncepte konceptuale dhe të specializuara). Formalizmi i teorisë së grupeve mund të përdoret vetëm si një thjeshtësim lokal për nevojat konkluzion logjik, dhe jo si metoda kryesore e përshkrimit.

Analiza matematikore është dega e matematikës që merret me studimin e funksioneve bazuar në idenë e një funksioni infinitimal.

Konceptet bazë analiza matematikore janë madhësi, grup, funksion, i pafund funksion i vogël, limit, derivat, integral.

MadhësiaÇdo gjë që mund të matet dhe të shprehet me numër quhet.

Shumëështë një koleksion i disa elementeve të bashkuar nga disa tipar i përbashkët. Elementet e një grupi mund të jenë numra, figura, objekte, koncepte etj.

Kompletet shënohen me shkronja të mëdha, dhe ka shumë elementë shkronja te vogla. Elementet e grupeve janë të mbyllura në mbajtëse kaçurrelë.

Nëse elementi x i përket grupit X, pastaj shkruani x∈X (∈ - i përket).
Nëse grupi A është pjesë e grupit B, atëherë shkruani A ⊂ B (⊂ - të përmbajtura).

Një grup mund të përcaktohet në një nga dy mënyrat: me numërim dhe duke përdorur një veçori përcaktuese.

Për shembull, grupet e mëposhtme specifikohen me numërim:

A=(1,2,3,5,7) - grup numrash
Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - grup i disa elementeve x 1 ,x 2 ,...,x n
N=(1,2,...,n) - bashkësi numrash natyrorë
Z=(0,±1,±2,...,±n) - bashkësi numrash të plotë

Bashkësia (-∞;+∞) thirret rreshti numerik, dhe çdo numër është një pikë në këtë linjë. Le të jetë a një pikë arbitrare në vijën numerike dhe le të jetë δ numër pozitiv. Quhet intervali (a-δ; a+δ). δ-lagja e pikës a.

Një grup X është i kufizuar nga lart (nga poshtë) nëse ka një numër c të tillë që për çdo x ∈ X vlen pabarazia x≤с (x≥c). Numri c në këtë rast quhet buza e sipërme (e poshtme). grupi X. Një grup i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë quhet kufizuar. Më e vogla (më e madhe) e faqeve të sipërme (të poshtme) të një grupi quhet skaji i saktë i sipërm (poshtë). të kësaj shumice.

Kompletet bazë të numrave

N	(1,2,3,...,n) Të gjitha
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Set numra të plotë. Bashkësia e numrave të plotë përfshin bashkësinë e numrave natyrorë.
P	Një tufë me numrat racionalë. Përveç numrave të plotë, ka edhe thyesa. Një thyesë është një shprehje e formës ku fq- numër i plotë, q- natyrale. Thyesat dhjetore mund të shkruhen edhe si . Për shembull: 0,25 = 25/100 = 1/4. Numrat e plotë mund të shkruhen edhe si . Për shembull, në formën e një thyese me emëruesin "një": 2 = 2/1. Pra çdo numër racional mund të shkruhet dhjetore- periodike e fundme ose pafundësisht.
R	Shumë nga të gjithë numra realë. Numrat irracionalë janë të pafund thyesat jo periodike. Kjo perfshin: Së bashku dy grupe (racionale dhe numrat irracionalë) - formoni një grup numrash realë (ose realë).

Nëse një grup nuk përmban një element të vetëm, atëherë thirret grup bosh dhe regjistrohet Ø .

Elemente të simbolizmit logjik

Shënimi ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kuantifikues

Kuantifikuesit përdoren shpesh gjatë shkrimit të shprehjeve matematikore.

Kuantifikues quhet simbol logjik që karakterizon elementet që e ndjekin në aspektin sasior.

∀- sasior i përgjithshëm, përdoret në vend të fjalëve "për të gjithë", "për këdo".
∃- sasior i ekzistencës, përdoret në vend të fjalëve "ekziston", "është në dispozicion". Përdoret edhe kombinimi i simboleve ∃!, i cili lexohet sikur të jetë vetëm një.

Vendosni operacionet

Dy grupet A dhe B janë të barabarta(A=B) nëse përbëhen nga të njëjtat elementë.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) atëherë A=B.

Sipas bashkimit (shumës) grupet A dhe B është një bashkësi A ∪ B, elementët e të cilit i përkasin të paktën njërës prej këtyre bashkësive.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), atëherë A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Sipas kryqëzimit (produkti) bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A ∩ B, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A dhe bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), atëherë A ∩ B = (2,4)

Nga dallimi Bashkësitë A dhe B quhen bashkësia AB, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A, por nuk i përkasin bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), atëherë AB = (1,2)

Dallimi simetrik bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A Δ B, e cila është bashkimi i dallimeve të bashkësive AB dhe BA, pra A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), atëherë A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Vetitë e operacioneve të grupit

Karakteristikat e ndërrueshmërisë

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Pronë që përputhet

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Komplete të numërueshme dhe të panumërueshme

Për të krahasuar çdo dy grupe A dhe B, krijohet një korrespondencë midis elementeve të tyre.

Nëse kjo korrespodencë është një me një, atëherë grupet quhen ekuivalente ose po aq të fuqishme, A B ose B A.

Shembulli 1

Bashkësia e pikave në këmbën BC dhe hipotenuza AC e trekëndëshit ABC janë me fuqi të barabartë.

Përmbledhje e shkurtër

Unë jam një fizikant teorik nga trajnimi, por kam një formim të mirë matematikor. Në programin e masterit, një nga lëndët ishte filozofia, ishte e nevojshme të zgjidhej një temë dhe të dorëzohej një punim për të. Meqenëse shumica e opsioneve ishin diskutuar më shumë se një herë, vendosa të zgjedh diçka më ekzotike. Unë nuk pretendoj të jem i ri, thjesht kam arritur të grumbulloj të gjithë / pothuajse të gjithë literaturën në dispozicion për këtë temë. Filozofët dhe matematikanët mund të më gjuajnë gurë, unë do të jem mirënjohës vetëm për kritikat konstruktive.

P.S. Një gjuhë shumë “e thatë”, por mjaft e lexueshme pas një kurrikule universitare. Në pjesën më të madhe, përkufizimet e paradokseve janë marrë nga Wikipedia (formulimi i thjeshtuar dhe shënimi i gatshëm i TeX).

Prezantimi

Si vetë teoria e grupeve, ashtu edhe paradokset e natyrshme në të u shfaqën jo shumë kohë më parë, pak më shumë se njëqind vjet më parë. Megjithatë, gjatë kësaj periudhe është bërë një rrugë e gjatë; teoria e grupeve, në një mënyrë ose në një tjetër, në fakt u bë baza e shumicës së degëve të matematikës. Paradokset e tij të lidhura me pafundësinë e Cantor-it u shpjeguan me sukses fjalë për fjalë në gjysmë shekulli.

Duhet të fillojmë me një përkufizim.

Çfarë është një turmë? Pyetja është mjaft e thjeshtë, përgjigja është mjaft intuitive. Një grup është një grup i caktuar elementësh të përfaqësuar nga një objekt i vetëm. Kantor në veprën e tij Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre jep një përkufizim: me "bashkësi" nënkuptojmë kombinimin në një tërësi të caktuar të objekteve të caktuara qartësisht të dallueshme të soditjes ose të të menduarit tonë (të cilat do të quhen "elemente" të grupit). Siç e shohim, thelbi nuk ka ndryshuar, ndryshimi është vetëm në atë pjesë që varet nga botëkuptimi i përcaktuesit. Historia e teorisë së grupeve, si në logjikë ashtu edhe në matematikë, është shumë kontradiktore. Në fakt, ajo u nis nga Cantor në shekullin e 19-të, më pas Russell dhe të tjerët vazhduan punën.

Paradokse (nga logjika dhe teoria e grupeve) - (nga greqishtja e vjetër παράδοξος - e papritur, e çuditshme nga greqishtja e vjetër παρα-δοκέω - duket) - kontradikta logjike formale që lindin në teorinë kuptimplote të grupeve dhe logjikën formale duke ruajtur korrektësinë logjike të arsyetimit. Paradokset lindin kur dy propozime reciprokisht përjashtuese (kontradiktore) rezultojnë të jenë po aq të provueshme. Paradokset mund të shfaqen si brenda një teorie shkencore ashtu edhe në arsyetimin e zakonshëm (për shembull, parafraza e Rasëllit për paradoksin e tij për grupin e të gjitha grupeve normale: "Berberi i fshatit rruhet të gjithë ata dhe vetëm ata banorë të fshatit të tij që nuk rruhen. ai rruhet? veten?"). Meqenëse një kontradiktë formale logjike shkatërron arsyetimin si një mjet për të zbuluar dhe provuar të vërtetën (në një teori në të cilën shfaqet një paradoks, çdo fjali, e vërtetë dhe e rreme, është e provueshme), lind detyra për të identifikuar burimet e kontradiktave të tilla dhe për të gjetur mënyra. për t'i eliminuar ato. Problemi i të kuptuarit filozofik të zgjidhjeve specifike të paradokseve është një nga problemet e rëndësishme metodologjike të logjikës formale dhe bazave logjike të matematikës.

Qëllimi i kësaj pune është të studiojë paradokset e teorisë së grupeve si trashëgimtarë të antinomive antike dhe pasojat plotësisht logjike të kalimit në një nivel të ri të abstraksionit - pafundësinë. Detyra është të merren parasysh paradokset kryesore dhe interpretimi i tyre filozofik.

Paradokset bazë të teorisë së grupeve

Berberi rruan vetëm ata njerëz që nuk rruhen vetë. A rruhet ai vetë?

Le të vazhdojmë me një ekskursion të shkurtër në histori.

Disa nga paradokset logjike janë të njohura që nga kohërat e lashta, por për shkak të faktit se teoria matematikore ishte e kufizuar në aritmetikë dhe gjeometri, ishte e pamundur t'i ndërlidheshin ato me teorinë e grupeve. Në shekullin e 19-të, situata ndryshoi rrënjësisht: Cantor arriti një nivel të ri abstraksioni në veprat e tij. Ai prezantoi konceptin e pafundësisë, duke krijuar kështu një degë të re të matematikës dhe duke lejuar kështu krahasimin e pafundësive të ndryshme duke përdorur konceptin e "fuqisë së një grupi". Megjithatë, duke vepruar kështu, ajo shkaktoi shumë paradokse. E para është e ashtuquajtura Paradoksi Burali-Forti. Në literaturën matematikore ekzistojnë formulime të ndryshme të bazuara në terminologji të ndryshme dhe një grup teoremash të supozuara. Këtu është një nga përkufizimet formale.

Mund të vërtetohet se nëse është një grup arbitrar numrash rendorë, atëherë bashkësia e shumës është një numër rendor më i madh ose i barabartë me secilin prej elementeve. Tani le të supozojmë se është bashkësia e të gjithë numrave rendorë. Atëherë një numër rendor është më i madh ose i barabartë me cilindo nga numrat në . Por atëherë dhe është një numër rendor, dhe tashmë është rreptësisht më i madh, dhe për këtë arsye nuk është i barabartë me asnjë nga numrat në . Por kjo bie ndesh me kushtin sipas të cilit - bashkësia e të gjithë numrave rendorë.

Thelbi i paradoksit është se me formimin e grupit të të gjithë numrave rendorë, formohet një lloj i ri rendor, i cili nuk ishte ende midis "të gjithë" numrave rendorë transfinitë që ekzistonin përpara formimit të grupit të të gjithë numrave rendorë. Ky paradoks u zbulua nga vetë Cantor, i zbuluar dhe botuar në mënyrë të pavarur nga matematikani italian Burali-Forti, gabimet e këtij të fundit u korrigjuan nga Russell, pas së cilës formulimi mori formën e tij përfundimtare.

Ndër të gjitha përpjekjet për të shmangur paradokse të tilla dhe, në një farë mase, për t'i shpjeguar ato, ideja e Russell-it të përmendur tashmë meriton vëmendjen më të madhe. Ai propozoi të përjashtohen nga matematika dhe logjika fjalitë impredikative në të cilat përkufizimi i një elementi të një grupi varet nga kjo e fundit, gjë që shkakton paradokse. Rregulli tingëllon kështu: "asnjë grup nuk mund të përmbajë elementë të përcaktuar vetëm në terma të një grupi, si dhe elementë që presupozojnë këtë grup në përkufizimin e tyre." Një kufizim i tillë në përkufizimin e një grupi na lejon të shmangim paradokset, por në të njëjtën kohë ngushton ndjeshëm fushën e zbatimit të tij në matematikë. Përveç kësaj, kjo nuk mjafton për të shpjeguar natyrën dhe arsyet e paraqitjes së tyre, të rrënjosura në dikotominë e të menduarit dhe gjuhës, në tiparet e logjikës formale. Në një farë mase, ky kufizim mund të gjurmohet në një analogji me atë që psikologët dhe gjuhëtarët e mëvonshëm njohës filluan ta quajnë "kategorizim i nivelit bazë": përkufizimi reduktohet në konceptin më të lehtë për t'u kuptuar dhe studiuar.

Paradoksi i Cantorit. Le të supozojmë se grupi i të gjitha grupeve ekziston. Në këtë rast është e vërtetë, domethënë, çdo grup është një nënbashkësi. Por nga kjo rrjedh se fuqia e çdo grupi nuk e kalon fuqinë e . Por për shkak të aksiomës së grupit të të gjitha nënbashkësive, sepse, si çdo grup, ekziston një grup i të gjitha nëngrupeve, dhe nga teorema e Cantor-it, e cila bie ndesh me pohimin e mëparshëm. Prandaj, ai nuk mund të ekzistojë, gjë që bie ndesh me hipotezën "naive" se çdo kusht logjik sintaktikisht i saktë përcakton një grup, domethënë atë për çdo formulë që nuk përmban lirisht. Një provë e jashtëzakonshme e mungesës së kontradiktave të tilla bazuar në teorinë e aksiomatizuar të grupeve Zermelo-Fraenkel është dhënë nga Potter.

Të dy paradokset e mësipërme janë, nga pikëpamja logjike, identike me “Gënjeshtarin” apo “Berberin”: gjykimi i shprehur i drejtohet jo vetëm diçkaje objektive në raport me të, por edhe vetvetes. Sidoqoftë, duhet t'i kushtoni vëmendje jo vetëm anës logjike, por edhe konceptit të pafundësisë, i cili është i pranishëm këtu. Literatura i referohet veprës së Poincaré, në të cilën ai shkruan: "besimi në ekzistencën e pafundësisë aktuale... i bën të nevojshme këto përkufizime jo predikative".

Në përgjithësi, pikat kryesore janë:

në këto paradokse shkelet rregulli i ndarjes së qartë të “sferave” të kallëzuesit dhe kryefjalës; shkalla e konfuzionit është afër zëvendësimit të një koncepti me një tjetër;
Zakonisht në logjikë supozohet se në procesin e arsyetimit tema dhe kallëzuesi ruajnë shtrirjen dhe përmbajtjen e tyre, por në këtë rast ka një kalim nga një kategori në tjetrën, që rezulton në mospërputhje;
prania e fjalës "të gjithë" ka kuptim për një numër të kufizuar elementësh, por në rastin e një numri të pafund elementësh, është e mundur të kemi një që kërkon përcaktimin e një grupi për të përcaktuar veten;
shkelen ligjet themelore logjike:
1. cenohet ligji i identitetit kur zbulohet mosidentiteti i subjektit dhe i kallëzuesit;
2. ligji i kontradiktës - kur dy gjykime kontradiktore nxirren me të njëjtën të drejtë;
3. ligji i të tretës së përjashtuar - kur kjo e treta duhet të njihet dhe jo të përjashtohet, pasi as i pari as i dyti nuk mund të njihet pa tjetrin, sepse ato rezultojnë të jenë po aq legjitime.

Paradoksi i Rasëllit. Le të japim një nga opsionet e tij. Le të jetë bashkësia e të gjitha grupeve që nuk e përmbajnë veten si element të tyre. A e përmban ai veten si element? Nëse po, atëherë, sipas përkufizimit, nuk duhet të jetë një element - një kontradiktë. Nëse jo, atëherë, sipas përkufizimit, duhet të jetë një element - përsëri një kontradiktë. Kjo deklaratë rrjedh logjikisht nga paradoksi i Cantor, i cili tregon marrëdhënien e tyre. Sidoqoftë, thelbi filozofik manifestohet më qartë, pasi "vetëlëvizja" e koncepteve ndodh pikërisht "para syve tanë".

Paradoksi i Tristram Shandit. Në Sterne's The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, heroi zbulon se iu desh një vit i tërë për të treguar ngjarjet e ditës së parë të jetës së tij dhe një vit tjetër për të përshkruar ditën e dytë. Në këtë drejtim, heroi ankohet se materiali i biografisë së tij do të grumbullohet më shpejt se sa mund ta përpunojë dhe nuk do të jetë në gjendje ta përfundojë kurrë. "Tani pohoj," kundërshton Russell për këtë, "se nëse ai do të kishte jetuar përgjithmonë dhe puna e tij nuk do të ishte bërë një barrë për të, edhe nëse jeta e tij do të kishte vazhduar të ishte aq e mbushur me ngjarje sa në fillim, atëherë asnjë nga pjesët biografia e tij nuk do të kishte mbetur e pashkruar”.

Në të vërtetë, Shandy mund të përshkruante ngjarjet e ditës së th në vitin e th dhe, kështu, çdo ditë do të kapej në autobiografinë e tij. Me fjalë të tjera, nëse jeta do të zgjaste përgjithmonë, do të kishte aq vite sa ditë.

Russell tërheq një analogji midis këtij romani dhe Zenoit dhe breshkës së tij. Sipas tij, zgjidhja qëndron në faktin se e tëra është e barabartë me pjesën e saj në pafundësi. Ato. Vetëm "aksioma e sensit të përbashkët" çon në kontradiktë. Megjithatë, zgjidhja e problemit qëndron në fushën e matematikës së pastër. Natyrisht, ekzistojnë dy grupe - vite dhe ditë, midis elementeve të të cilave krijohet një korrespodencë një me një - një bijeksion. Pastaj, duke pasur parasysh jetën e pafundme të personazhit kryesor, ekzistojnë dy grupe të pafundme fuqie të barabarta, të cilat, nëse e konsiderojmë fuqinë si një përgjithësim të konceptit të numrit të elementeve në një grup, zgjidh paradoksin.

Paradoksi (teorema) Banach-Tarski ose paradoksi i dyfishimit të topit- një teoremë në teorinë e grupeve që thotë se një top tredimensional është i barabartë me dy nga kopjet e tij.

Dy nënbashkësi të hapësirës Euklidiane quhen të përbëra në mënyrë të barabartë nëse njëra mund të ndahet në një numër të kufizuar pjesësh, t'i zhvendosë ato dhe e dyta mund të përbëhet prej tyre. Më saktësisht, dy bashkësi dhe janë ekuikompozuar nëse mund të paraqiten si një bashkim i fundëm i nëngrupeve të disjoint dhe të tillë që për secilën nënbashkësi të jetë kongruente.

Nëse përdorim teoremën e përzgjedhjes, atëherë përkufizimi tingëllon si ky:

Aksioma e zgjedhjes nënkupton se ekziston një ndarje e sipërfaqes së sferës së njësisë në një numër të fundëm pjesësh, të cilat, me transformime të hapësirës tredimensionale Euklidiane që nuk ndryshojnë formën e këtyre përbërësve, mund të grumbullohen në dy sfera. të rrezes së njësisë.

Natyrisht, duke pasur parasysh kërkesën që këto pjesë të jenë të matshme, kjo deklaratë nuk është e realizueshme. Fizikani i famshëm Richard Feynman në biografinë e tij tregoi se si në një kohë ai arriti të fitonte një mosmarrëveshje për thyerjen e një portokalli në një numër të kufizuar pjesësh dhe rimontimin e saj.

Në disa pika ky paradoks përdoret për të hedhur poshtë aksiomën e zgjedhjes, por problemi është se ajo që ne e konsiderojmë gjeometrinë elementare është e parëndësishme. Ato koncepte që ne i konsiderojmë intuitive duhet të shtrihen në nivelin e vetive të funksioneve transcendentale.

Për të dobësuar më tej besimin e atyre që e konsiderojnë aksiomën e zgjedhjes si të pasaktë, vlen të përmendet teorema e Mazurkiewicz dhe Sierpinski, e cila thotë se ekziston një nëngrup jo bosh i rrafshit Euklidian që ka dy nëngrupe të shkëputura, secila prej të cilat mund të ndahen në një numër të kufizuar pjesësh, në mënyrë që të mund të përkthehen me izometri në një mbulesë grupi. Në këtë rast, prova nuk kërkon përdorimin e aksiomës së zgjedhjes. Ndërtimet e mëtejshme të bazuara në aksiomën e sigurisë japin një zgjidhje për paradoksin Banach-Tarski, por nuk janë me një interes të tillë.

Paradoksi i Richard-it: kërkesa është të përmendet "numri më i vogël që nuk përmendet në këtë libër". Kontradikta është se nga njëra anë, kjo mund të bëhet, pasi është numri më i vogël i përmendur në këtë libër. Bazuar në të, ne mund të emërtojmë më të voglin pa emër. Por këtu lind një problem: vazhdimësia është e panumërueshme; midis çdo dy numrash mund të futni një numër të pafund numrash të ndërmjetëm. Nga ana tjetër, nëse mund ta emërtonim këtë numër, ai automatikisht do të kalonte nga klasa e atyre që nuk përmenden në libër në klasën e atyre që përmenden.
Paradoksi Grelling-Nielson: fjalët ose shenjat mund të tregojnë çdo pronë dhe në të njëjtën kohë ta kenë ose jo. Formulimi më i parëndësishëm tingëllon kështu: a është fjala “heterologjike” (që do të thotë “nuk është e zbatueshme për veten”), heterologjike?.. Shumë e ngjashme me paradoksin e Rasëllit për shkak të pranisë së një kontradikte dialektike: dualiteti i formës dhe i përmbajtjes është shkelur. Në rastin e fjalëve që kanë një nivel të lartë abstraksioni, është e pamundur të vendoset nëse këto fjalë janë heterologjike.
Paradoksi i Skolemit: duke përdorur teoremën e Gödel-it mbi plotësinë dhe teoremën Löwenheim-Skolem, marrim se teoria aksiomatike e bashkësive mbetet e vërtetë edhe kur vetëm një koleksion i numërueshëm i bashkësive supozohet (i disponueshëm) për interpretimin e tij. Në të njëjtën kohë, teoria aksiomatike përfshin teoremën e përmendur tashmë të Cantor, e cila na çon në grupe të pafundme të panumërta.

Zgjidhja e paradokseve

Krijimi i teorisë së grupeve shkaktoi atë që konsiderohet kriza e tretë e matematikës, e cila ende nuk është zgjidhur në mënyrë të kënaqshme për të gjithë. Historikisht, qasja e parë ishte teorike e grupeve. Ajo u bazua në përdorimin e pafundësisë aktuale, kur besohej se çdo sekuencë e pafundme plotësohej në pafundësi. Ideja ishte që në teorinë e grupeve shpesh duhej të merreshe me grupe që mund të ishin pjesë e grupeve të tjera, më të mëdha. Veprimet e suksesshme në këtë rast ishin të mundshme vetëm në një rast: grupet e dhëna (të fundme dhe të pafundme) u plotësuan. Një sukses i caktuar ishte i dukshëm: teoria aksiomatike e grupeve Zermelo-Fraenkel, e gjithë shkolla e matematikës e Nicolas Bourbaki, e cila ka ekzistuar për më shumë se gjysmë shekulli dhe ende shkakton shumë kritika.

Logjikizmi ishte një përpjekje për të reduktuar të gjithë matematikën e njohur në termat e aritmetikës, dhe më pas për të reduktuar termat e aritmetikës në konceptet e logjikës matematikore. Frege e mori këtë nga afër, por pasi mbaroi punën për veprën, ai u detyrua të vinte në dukje mospërputhjen e tij pasi Russell vuri në dukje kontradiktat në teori. I njëjti Russell, siç u përmend më herët, u përpoq të eliminonte përdorimin e përkufizimeve impredikative me ndihmën e "teorisë së llojeve". Sidoqoftë, konceptet e tij për grupin dhe pafundësinë, si dhe aksioma e reduktueshmërisë, doli të ishin të palogjikshme. Problemi kryesor ishte se nuk u morën parasysh dallimet cilësore midis logjikës formale dhe matematikore, si dhe prania e koncepteve të panevojshme, përfshirë ato të natyrës intuitive.
Si rezultat, teoria e logjikës nuk ishte në gjendje të eliminonte kontradiktat dialektike të paradokseve që lidhen me pafundësinë. Kishte vetëm parime dhe metoda që bënin të mundur heqjen e të paktën përkufizimeve jo predikative. Sipas mendimit të tij, Russell ishte trashëgimtari i Cantor

Në fund të 19-të - fillimi i shekujve të 20-të. Përhapja e këndvështrimit formalist për matematikën u shoqërua me zhvillimin e metodës aksiomatike dhe programit për vërtetimin e matematikës që parashtroi D. Hilbert. Rëndësia e këtij fakti tregohet nga fakti se problemi i parë i njëzet e tre që ai shtroi në bashkësinë matematikore ishte problemi i pafundësisë. Formalizimi ishte i nevojshëm për të vërtetuar qëndrueshmërinë e matematikës klasike, "duke përjashtuar të gjithë metafizikën prej saj". Duke marrë parasysh mjetet dhe metodat që përdori Hilberti, qëllimi i tij doli të ishte thelbësisht i pamundur, por programi i tij pati një ndikim të madh në të gjithë zhvillimin e mëvonshëm të themeleve të matematikës. Hilberti punoi në këtë problem për një kohë mjaft të gjatë, duke ndërtuar fillimisht aksiomatikën e gjeometrisë. Meqenëse zgjidhja e problemit ishte mjaft e suksesshme, ai vendosi të zbatojë metodën aksiomatike në teorinë e numrave natyrorë. Ja çfarë shkroi ai në lidhje me këtë: "Unë po ndjek një qëllim të rëndësishëm: jam unë që do të doja të shpëtoja nga pyetjet e justifikimit të matematikës si të tillë, duke e kthyer çdo pohim matematikor në një formulë rreptësisht të deduktueshme". Ishte planifikuar të hiqej qafe pafundësinë duke e reduktuar atë në një numër të caktuar të fundëm operacionesh. Për ta bërë këtë, ai iu drejtua fizikës me atomizmin e saj për të treguar mospërputhjen e sasive të pafundme. Në fakt, Hilberti ngriti çështjen e marrëdhënies midis teorisë dhe realitetit objektiv.

Një ide pak a shumë e plotë e metodave të fundme jep studenti i Hilbertit J. Herbran. Me arsyetim të fundëm ai kupton arsyetimin që plotëson kushtet e mëposhtme: paradokset logjike

Gjithmonë merren parasysh vetëm një numër i kufizuar dhe i caktuar objektesh dhe funksionesh;

Funksionet kanë një përkufizim të saktë dhe ky përkufizim na lejon të llogarisim vlerën e tyre;

Asnjëherë nuk pohon "Ky objekt ekziston", përveç nëse di ta ndërtojë atë;

Bashkësia e të gjitha objekteve X të çdo koleksioni të pafund nuk merret parasysh kurrë;

Nëse dihet se ndonjë arsyetim apo teoremë është i vërtetë për të gjitha këto X, atëherë kjo do të thotë se ky arsyetim i përgjithshëm mund të përsëritet për çdo X specifik, dhe vetë ky arsyetim i përgjithshëm duhet të konsiderohet vetëm si një shembull për kryerjen e arsyetimit të tillë specifik.

Sidoqoftë, në kohën e botimit të tij të fundit në këtë fushë, Gödel kishte marrë tashmë rezultatet e tij, në thelb, ai përsëri zbuloi dhe konfirmoi praninë e dialektikës në procesin e njohjes. Në thelb, zhvillimi i mëtejshëm i matematikës demonstroi mospërputhjen e programit të Hilbertit.

Çfarë vërtetoi saktësisht Gödel? Tre rezultate kryesore mund të identifikohen:

1. Gödel tregoi pamundësinë e një prove matematikore të konsistencës së çdo sistemi mjaftueshëm të madh për të përfshirë të gjithë aritmetikën, një provë që nuk do të përdorte asnjë rregull tjetër konkluzioni përveç atyre të vetë sistemit të dhënë. Një provë e tillë, e cila përdor një rregull më të fuqishëm konkluzioni, mund të jetë e dobishme. Por nëse këto rregulla të konkluzionit janë më të forta se mjetet logjike të llogaritjes aritmetike, atëherë nuk do të ketë besim në qëndrueshmërinë e supozimeve të përdorura në provë. Në çdo rast, nëse metodat e përdorura nuk janë finitiste, atëherë programi i Hilbertit do të rezultojë i parealizueshëm. Gödel tregon saktësisht mospërputhjen e llogaritjeve për të gjetur një provë finitiste të qëndrueshmërisë së aritmetikës.

2. Gödel vuri në dukje kufizimet themelore të aftësive të metodës aksiomatike: sistemi Principia Mathematica, si çdo sistem tjetër me ndihmën e të cilit ndërtohet aritmetika, është në thelb i paplotë, d.m.th për çdo sistem konsistent të aksiomave aritmetike ka aritmetikë të vërtetë. fjali që nuk nxirren nga aksiomat e këtij sistemi.

3. Teorema e Gödel-it tregon se asnjë zgjerim i një sistemi aritmetik nuk mund ta bëjë atë të plotë, madje edhe nëse e plotësojmë me një numër të pafund aksiomash, atëherë në sistemin e ri do të ketë gjithmonë pozicione të vërteta që nuk mund të nxirren me anë të kësaj. sistemi. Qasja aksiomatike ndaj aritmetikës së numrave natyrorë nuk është në gjendje të mbulojë të gjithë fushën e gjykimeve të vërteta aritmetike dhe ajo që ne kuptojmë me procesin e provës matematikore nuk reduktohet në përdorimin e metodës aksiomatike. Pas teoremës së Gödel-it, u bë e pakuptimtë të pritej që koncepti i një prove matematikore bindëse mund të jepej një herë e përgjithmonë në forma të përcaktuara.

E fundit në këtë seri përpjekjesh për të shpjeguar teorinë e grupeve ishte intuitizmi.

Ai kaloi nëpër një sërë fazash në evolucionin e tij - gjysmë-intuitizmi, intuitizmi aktual, ultra-intuitizmi. Në faza të ndryshme, matematikanët u morën me probleme të ndryshme, por një nga problemet kryesore të matematikës është problemi i pafundësisë. Konceptet matematikore të pafundësisë dhe të vazhdimësisë kanë shërbyer si lëndë e analizës filozofike që nga shfaqja e tyre (idetë e atomistëve, aporia e Zenonit të Eleas, metodat infinitimale në antikitet, llogaritja infinitimale në kohët moderne, etj.). Polemika më e madhe u shkaktua nga përdorimi i llojeve të ndryshme të pafundësisë (potencial, aktual) si objekte matematikore dhe interpretimi i tyre. Të gjitha këto probleme, për mendimin tonë, u krijuan nga një problem më i thellë - roli i subjektit në njohuritë shkencore. Fakti është se gjendja e krizës në matematikë krijohet nga pasiguria epistemologjike e proporcionale midis botës së objektit (pafundësisë) dhe botës së subjektit. Matematikani si lëndë ka mundësinë të zgjedhë mjetet e njohjes - ose pafundësinë potenciale ose aktuale. Përdorimi i pafundësisë potenciale si bërje i jep atij mundësinë të kryejë, të ndërtojë një numër të pafund ndërtimesh që mund të ndërtohen në krye të atyre të fundme, pa pasur një hap përfundimtar, pa përfunduar ndërtimin, është vetëm e mundur. Përdorimi i pafundësisë aktuale i jep atij mundësinë të punojë me pafundësinë si tashmë të realizueshme, të kompletuar në ndërtimin e saj, ashtu siç është dhënë në të njëjtën kohë.

Në fazën e gjysmë-intuitizmit, problemi i pafundësisë nuk ishte ende i pavarur, por ishte i ndërthurur me problemin e ndërtimit të objekteve matematikore dhe metodave për justifikimin e tij. Gjysmë-intuitivizmi i A. Poincaré dhe përfaqësuesve të shkollës pariziane të teorisë së funksioneve të Baer-it, Lebesgue-ut dhe Borel-it u drejtua kundër pranimit të aksiomës së zgjedhjes së lirë, me ndihmën e së cilës vërtetohet teorema e Zermelos, e cila deklaroi se çdo grup mund të bëhet plotësisht i renditur, por pa treguar një metodë teorike për përcaktimin e elementeve të çdo nëngrupi të shumave të dëshiruara. Nuk ka asnjë mënyrë për të ndërtuar një objekt matematikor, dhe nuk ka vetë objekt matematikor. Matematikanët besonin se prania ose mungesa e një metode teorike për ndërtimin e një sekuence të objekteve kërkimore mund të shërbente si bazë për të justifikuar ose hedhur poshtë këtë aksiomë. Në versionin rus, koncepti gjysmë-intuitiv në bazat filozofike të matematikës u zhvillua në një drejtim të tillë si efikasiteti, i zhvilluar nga N.N. Luzin. Efikasiteti është një kundërshtim me abstraksionet kryesore të doktrinës së Cantor-it për grupin e pafund - aktualiteti, zgjedhja, induksioni transfinit, etj.

Për efikasitetin, abstraksionet epistemologjikisht më të vlefshme janë abstragimi i realizueshmërisë së mundshme sesa abstragimi i pafundësisë aktuale. Falë kësaj, bëhet e mundur prezantimi i konceptit të rendoreve transfinite (numrat rendorë të pafundëm) bazuar në konceptin efektiv të rritjes së funksioneve. Instalimi epistemologjik i efikasitetit për shfaqjen e të vazhdueshmes (vazhdimësisë) u bazua në mesataret diskrete (aritmetikë) dhe në teorinë përshkruese të grupeve (funksioneve) të krijuar nga N.N. Luzin. Intuitizmi i holandezit L.E.Ya.Brouwer, G. Weil, A. Heyting sheh sekuencat në zhvillim të lirë të llojeve të ndryshme si një objekt studimi tradicional. Në këtë fazë, duke zgjidhur siç duhet problemet matematikore, duke përfshirë ristrukturimin e të gjithë matematikës mbi një bazë të re, intuitivistët ngritën çështjen filozofike të rolit të matematikanit si një subjekt njohës. Cili është pozicioni i tij ku është më i lirë dhe aktiv në zgjedhjen e mjeteve të dijes? Intuitionistët ishin të parët (dhe në fazën e gjysmë-intuitizmit) që kritikuan konceptin e pafundësisë aktuale, teorinë e grupeve të Cantor-it, duke parë në të një shkelje të aftësisë së subjektit për të ndikuar në procesin e kërkimit shkencor për një zgjidhje të një problemi konstruktiv. . Në rastin e përdorimit të pafundësisë së mundshme, subjekti nuk e mashtron veten, pasi për të ideja e pafundësisë potenciale është intuitivisht shumë më e qartë se ideja e pafundësisë aktuale. Për një intuitionist, një objekt konsiderohet se ekziston nëse i jepet drejtpërdrejt matematikanit ose dihet mënyra e ndërtimit ose ndërtimit të tij. Në çdo rast, subjekti mund të fillojë procesin e plotësimit të një numri elementësh të grupit të tij. Një objekt i pandërtuar nuk ekziston për intuitivistët. Në të njëjtën kohë, subjekti që punon me pafundësinë aktuale do të privohet nga kjo mundësi dhe do të ndjejë cenueshmërinë e dyfishtë të pozicionit të adoptuar:

1) ky ndërtim i pafund nuk mund të realizohet kurrë;

2) ai vendos të veprojë me pafundësinë aktuale si një objekt i fundëm dhe në këtë rast humb specifikën e konceptit të pafundësisë. Intuitizmi kufizon qëllimisht aftësitë e një matematikani me faktin se ai mund të ndërtojë objekte matematikore ekskluzivisht përmes mjeteve që, edhe pse të marra me ndihmën e koncepteve abstrakte, janë efektive, bindëse, të provueshme, funksionalisht konstruktive dhe janë praktikisht dhe vetë intuitivisht të qarta si ndërtime. , ndërtime, besueshmëria e të cilave në praktikë nuk ka dyshim. Intuitizmi, i bazuar në konceptin e pafundësisë potenciale dhe metodave konstruktive të kërkimit, merret me matematikën e bërjes, teoria e grupeve i referohet matematikës së qenies.

Për intuitistin Brouwer, si përfaqësues i empirizmit matematikor, logjika është dytësore; ai e kritikon atë dhe ligjin e mesit të përjashtuar.

Në veprat e tij disi mistike, ai nuk e mohon praninë e pafundësisë, por nuk lejon aktualizimin e saj, vetëm potencializimin. Gjëja kryesore për të është interpretimi dhe justifikimi i mjeteve logjike praktikisht të përdorura dhe arsyetimi matematikor. Kufizimi i adoptuar nga intuitivistët kapërcen pasigurinë e përdorimit të konceptit të pafundësisë në matematikë dhe shpreh dëshirën për të kapërcyer krizën në themelin e matematikës.

Ultraintuicionizmi (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov, etj.) është faza e fundit e zhvillimit të intuitizmit, në të cilën idetë e tij kryesore modernizohen, plotësohen dhe transformohen ndjeshëm, pa ndryshuar thelbin e tij, por duke kapërcyer mangësitë dhe duke forcuar aspektet pozitive, të udhëhequra nga kriteret rigoroziteti matematik. Dobësia e qasjes së intuitivistëve ishte kuptimi i ngushtë i rolit të intuitës si burimi i vetëm i justifikimit për korrektësinë dhe efektivitetin e metodave matematikore. Duke marrë "qartësinë intuitive" si një kriter të së vërtetës në matematikë, intuitivistët varfëruan metodologjikisht aftësitë e matematikanit si subjekt i njohjes, e reduktuan veprimtarinë e tij vetëm në operacione mendore të bazuara në intuitë dhe nuk përfshinin praktikën në procesin e njohjes matematikore. Programi ultra-intuitiv për themelimin e matematikës është një prioritet rus. Prandaj, matematikanët vendas, duke kapërcyer kufizimet e intuitizmit, pranuan metodologjinë efektive të dialektikës materialiste, e cila njeh praktikën njerëzore si burimin e formimit të koncepteve matematikore dhe metodave matematikore (konkluzionet, ndërtimet). Ultra-intuitivistët zgjidhën problemin e ekzistencës së objekteve matematikore, duke mos u mbështetur më në konceptin subjektiv të papërcaktuar të intuitës, por në praktikën matematikore dhe një mekanizëm specifik për ndërtimin e një objekti matematikor - një algoritëm i shprehur nga një funksion i llogaritshëm, rekurziv.

Ultraintuicionizmi rrit avantazhet e intuitizmit, të cilat konsistojnë në mundësinë e renditjes dhe përgjithësimit të metodave për zgjidhjen e problemeve konstruktive të përdorura nga matematikanët e çdo drejtimi. Prandaj, intuitizmi i fazës së fundit (ultra-intuitizmi) është afër konstruktivizmit në matematikë. Në aspektin epistemologjik, idetë dhe parimet kryesore të ultra-intuitizmit janë si më poshtë: kritika e aksiomatikës klasike të logjikës; përdorimi dhe forcimi i ndjeshëm (sipas udhëzimeve të qarta të A.A. Markov) i rolit të abstraksionit të identifikimit (abstragimi mendor nga vetitë e pangjashme të objekteve dhe identifikimi i njëkohshëm i vetive të përbashkëta të objekteve) si një mënyrë për të ndërtuar dhe kuptuar në mënyrë konstruktive konceptet abstrakte dhe gjykimet matematikore; prova e konsistencës së teorive konsistente. Në aspektin formal, përdorimi i abstraksionit identifikues justifikohet me tre vetitë (aksiomat) e barazisë së tij - refleksiviteti, kalueshmëria dhe simetria.

Për të zgjidhur kontradiktën kryesore në matematikë në lidhje me problemin e pafundësisë, e cila shkaktoi një krizë të themeleve të saj, në fazën e ultra-intuitizmit në veprat e A.N. Kolmogorov propozoi mënyra për të dalë nga kriza duke zgjidhur problemin e marrëdhënies midis logjikës klasike dhe intuitiviste, matematikës klasike dhe intuitiviste. Intuitizmi i Brouwer në përgjithësi e mohoi logjikën, por meqenëse çdo matematikan nuk mund të bëjë pa logjikë, praktika e arsyetimit logjik u ruajt ende në intuitizëm; disa parime të logjikës klasike, të cilat kishin si bazë aksiomatikën, u lejuan. S.K. Kleene dhe R. Wesley madje vënë në dukje se matematika intuitiviste mund të përshkruhet në formën e disa llogaritjeve, dhe llogaritja është një mënyrë e organizimit të njohurive matematikore në bazë të logjikës, formalizimit dhe formës së saj - algorithmizimit. Një version i ri i marrëdhënies midis logjikës dhe matematikës brenda kornizës së kërkesave intuitiviste për qartësi intuitive të gjykimeve, veçanërisht ato që përfshinin mohimin, A.N. Kolmogorov propozoi si më poshtë: ai paraqiti logjikën intuitiviste, të lidhur ngushtë me matematikën intuitiviste, në formën e një llogaritje minimale implikative aksiomatike të propozimeve dhe kallëzuesve. Kështu, shkencëtari prezantoi një model të ri të njohurive matematikore, duke kapërcyer kufizimet e intuitizmit në njohjen vetëm të intuitës si mjet dijeje dhe kufizimet e logjikës, i cili absolutizon mundësitë e logjikës në matematikë. Ky pozicion bëri të mundur demonstrimin në formë matematikore të sintezës së intuitives dhe logjikës si bazë e racionalitetit fleksibël dhe efektivitetit të tij konstruktiv.

Kështu, aspekti epistemologjik i njohurive matematikore na lejon të vlerësojmë ndryshimet revolucionare në fazën e krizës së themeleve të matematikës në kapërcyellin e shekujve 19-20. nga pozicione të reja në kuptimin e procesit të njohjes, natyrës dhe rolit të subjektit në të. Lënda epistemologjike e teorisë tradicionale të dijes, që korrespondon me periudhën e mbizotërimit të qasjes së teorisë së grupeve në matematikë, është një lëndë abstrakte, e paplotë, "e pjesshme", e paraqitur në marrëdhënie subjekt-objekt, e ndarë nga realiteti me abstraksione, logjikë. , formalizmi, duke e njohur racionalisht, teorikisht objektin e tij dhe e kuptuar si një pasqyrë që pasqyron dhe kopjon me saktësi realitetin. Në thelb, subjekti ishte i përjashtuar nga njohja si një proces real dhe rezultat i ndërveprimit me një objekt. Hyrja e intuitizmit në arenën e luftës midis prirjeve filozofike në matematikë çoi në një kuptim të ri të matematikanit si një subjekt i njohurive - një person që di, abstraksioni filozofik i të cilit duhet të ndërtohet, si të thuash, përsëri. Matematikani u shfaq si një subjekt empirik, i kuptuar si një person real integral, duke përfshirë të gjitha ato veti që u abstraguan në lëndën epistemologjike - konkretiteti empirik, ndryshueshmëria, historiciteti; është një lëndë aktive dhe njohëse në njohuri reale, një subjekt krijues, intuitiv, shpikës. Filozofia e matematikës intuitiviste është bërë baza, themeli i paradigmës moderne epistemologjike, e ndërtuar mbi konceptin e racionalitetit fleksibël, në të cilin një person është një subjekt integral (integral) i njohjes, që zotëron cilësi, metoda, procedura të reja njohëse; ai sintetizon natyrën dhe formën e tij abstrakte-gnoseologjike dhe logjiko-metodologjike, dhe në të njëjtën kohë merr kuptimin ekzistencial-antropologjik dhe “historiko-metafizik”.

Një pikë e rëndësishme është edhe intuita në njohje dhe, në veçanti, në formimin e koncepteve matematikore. Përsëri, ka një luftë me filozofinë, përpjekje për të përjashtuar ligjin e mesit të përjashtuar, pasi nuk ka kuptim në matematikë dhe vjen nga filozofia. Sidoqoftë, prania e theksit të tepërt në intuitën dhe mungesa e justifikimeve të qarta matematikore nuk lejuan që matematika të transferohej në një themel të fortë.

Sidoqoftë, pas shfaqjes së konceptit të rreptë të një algoritmi në vitet 1930, konstruktivizmi matematik mori stafetën e intuitizmit, përfaqësuesit e të cilit dhanë një kontribut të rëndësishëm në teorinë moderne të llogaritshmërisë. Përveç kësaj, në vitet 1970 dhe 1980, u zbuluan lidhje të rëndësishme midis disa prej ideve të intuitivistëve (madje edhe atyre që më parë dukeshin absurde) dhe teorisë matematikore të topoi. Matematika e gjetur në disa topoi është shumë e ngjashme me atë që intuitivistët u përpoqën të krijonin.

Si rezultat, ne mund të bëjmë një deklaratë: shumica e paradokseve të mësipërm thjesht nuk ekzistojnë në teorinë e grupeve me vetëpronësi. Nëse një qasje e tillë është përfundimtare është një çështje e diskutueshme; puna e mëtejshme në këtë fushë do të tregojë.

konkluzioni

Analiza dialektike-materialiste tregon se paradokset janë pasojë e dikotomisë së gjuhës dhe të menduarit, shprehje e vështirësive të thella dialektike (teorema e Gödel-it bëri të mundur manifestimin e dialektikës në procesin e njohjes) dhe epistemologjike që lidhen me konceptet e lëndës dhe fushës lëndore. në logjikën formale, grupi (klasa) në logjikë dhe teoria e grupeve, duke përdorur parimin e abstraksionit, i cili na lejon të prezantojmë objekte të reja (abstrakte) (pafundësi), me metoda për përcaktimin e objekteve abstrakte në shkencë, etj. Prandaj, një mënyrë universale për të eliminuar të gjitha paradokset nuk mund të jepet.

Nëse kriza e tretë e matematikës ka mbaruar (sepse ishte në një marrëdhënie shkak-pasojë me paradokset; tani paradokset janë pjesë përbërëse) - këtu mendimet ndryshojnë, megjithëse paradokset e njohura zyrtarisht u eliminuan në 1907. Sidoqoftë, tani në matematikë ka rrethana të tjera që mund të konsiderohen ose krizë ose parashikojnë një krizë (për shembull, mungesa e një justifikimi të rreptë për integralin e rrugës).

Për sa i përket paradokseve, një rol shumë të rëndësishëm në matematikë ka luajtur paradoksi i njohur gënjeshtar, si dhe një seri e tërë paradoksesh në të ashtuquajturën teoria e grupeve naive (aksiomatike e mëparshme), e cila shkaktoi një krizë themelesh (një nga këto paradokse luajtën një rol fatal në jetën e G. Frege). Por ndoshta një nga fenomenet më të nënvlerësuara në matematikën moderne, që mund të quhet edhe paradoksale dhe kritike, është zgjidhja e Paul Cohen për problemin e parë të Hilbertit në 1963. Më saktë, jo vetë fakti i vendimit, por natyra e këtij vendimi.

Letërsia

Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
NË. Burova. Paradokset e teorisë së grupeve dhe dialektikës. Shkencë, 1976.
M.D. Poçari. Teoria e grupeve dhe filozofia e saj: një hyrje kritike. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
Zhukov N.I. Bazat filozofike të matematikës. Mn.: Universitetskoe, 1990.
Feynman R.F., S. Ilyin. Ju, sigurisht, po bëni shaka, zoti Feynman!: aventurat e një njeriu të mahnitshëm, të cilat ia tregoi R. Layton. Kolibri, 2008.
O. M. Mizhevich. Dy mënyra për të kapërcyer paradokset në teorinë e grupeve të G. Cantor. Studime Logjike dhe Filozofike, (3):279-299, 2005.
S. I. Masalova. FILOZOFIA E MATEMATIKËS INTUICIONISTE. Buletini i DSTU, (4), 2006.
Chechulin V.L. Teoria e grupeve me vetëpërkatësi (themelet dhe disa zbatime). Perm. shteti univ. - Perm, 2012.
S. N. Tronin. Shënime të shkurtra leksioni për disiplinën "Filozofia e Matematikës". Kazan, 2012.
Grishin V.N., Bochvar D.A. Kërkime mbi teorinë e grupeve dhe logjikat jo-klasike. Shkencë, 1976.
Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: kjo kurorë e pafund. Bakhrakh-M, 2001.
Kabakov F.A., Mendelson E. Hyrje në logjikën matematikore. Shtëpia botuese "Shkenca", 1976.
PO. Bochvar. Për çështjen e paradokseve të logjikës matematikore dhe teorisë së grupeve. Koleksioni matematikor, 57(3):369-384, 1944.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike

Paradokset e teorisë së grupeve dhe interpretimi i tyre filozofik. Pika e mesme dhe shumëkëndëshat me ndërprerje