Integer theory. Számelmélet: elmélet és gyakorlat

A számelmélet a matematikának egy olyan ága, amely a számok tulajdonságait vizsgálja.

A számelmélet fő tárgya a természetes számok (lásd Szám). Fő tulajdonságuk, amelyet a számelmélet tekint, az oszthatóság. A számelméleti problémák első köre a számok faktorálása. A fő „építőelemek” ebben a dekompozícióban a prímszámok, azaz. csak 1-gyel és önmagukkal osztható számok; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 – ez az első tíz prímszámok(az 1-es szám nem számít prímszámnak). Egy figyelemre méltó tétel, amelyet az aritmetika alaptételének neveznek, kimondja: minden természetes szám felbontható elsődleges tényezők, és az egyetlen mód(a helyük szerinti sorrendben). Két szám prímtényezőkbe való beszámításával könnyen megállapítható, hogy az egyik osztható-e a másikkal vagy sem. De még mindig nehéz kideríteni, hogy egy adott nagy szám prím-e, i.e. osztható-e önmagán és egyen kívül bármilyen számmal.

Számos aritmetikai függvény kapcsolódik a számok prímtényezőkké alakításához. Mutassunk rá néhányat. φ(n) – Euler-függvény – az 1-től n-ig terjedő számok száma, amelyek az n számmal együtt prímek (azaz nem osztoznak n-nel közös tényezők, egy kivételével); α(n) az n szám osztóinak száma, t(n) az n szám összes osztójának összege, π(n) a Csebisev-függvény - az n-t meg nem haladó prímszámok száma. Számos tulajdonságot fejeznek ki ezekkel a függvényekkel. természetes számok. Euklidész tétele kimondja, hogy végtelen sok prímszám van. Ez azt jelenti, hogy π(n)→∞ az n szám növekedésével. Sikerült kiderítenünk, hogy a π(n) függvény milyen gyorsan hajlik a végtelenbe. Kiderült, hogy ez megközelítőleg megegyezik a funkcióval

Ezt a tételt a prímszámok eloszlásának aszimptotikus törvényének nevezzük. P. L. Csebisev (1849) fogalmazta meg és nagyrészt be is bizonyította, és csak 50 évvel később bizonyította teljes mértékben.

A prímszámok eloszlásának aszimptotikus törvénye az ún elemző elmélet számok, amely széles körben alkalmazza a módszereket matematikai elemzés számelméleti függvények tanulmányozására. A 19. század második felében fedezték fel. az a tény, hogy egy ilyen diszkrét objektumot, például egész számokat, a függvények mély tulajdonságaival kapcsoltak össze nagy befolyást a számelmélet fejlődéséről.

A faktorálási számok csak a szorzáshoz kapcsolódó természetes számok halmazának szerkezetét veszik figyelembe, a legmélyebb ill nehéz feladatok számelméletek az összeadás és szorzás összehasonlításából fakadnak. Ilyen problémák közé tartozik például a Goldbach-probléma – lehet-e tenni valamit? páros számábrázolja két prím összegeként; Fermat utolsó tétele (lásd Fermat utolsó tétele) – lehetséges-e n-edik hatványábrázolja a számokat mint n összeg bármely két szám hatványai stb.

A számelmélet azért vonzó, mert sok egyszerű megfogalmazást tartalmaz, de nehéz és érdekes feladatokat. Sok ilyen megoldott és megoldatlan probléma felhalmozódott, és a számelmélet gyakran úgy tűnik, mintha különböző elegáns rejtvények gyűjteménye lenne. Ez azonban nem igaz. A számelmélet megalkotta a magáét csodálatos módszerek, és ezek közül sokat az elmúlt évtizedekben aktívan fejlesztettek, ami új élő áramot fecskendezett a matematikának e legősibb részébe.

A számelmélet klasszikus módszere az összehasonlítás módszere. Az olyan számok azonosításával, amelyek egy kiválasztott számmal elosztva azonos maradékot adnak, gyakran megállapítható bármilyen kapcsolat lehetetlensége. Például, ha figyelembe vesszük a 3-mal való osztás maradékait (vagy ahogy mondják, modulo 3-at), könnyű bizonyítani a 3x 2 + 4y 2 = 5z 2 egyenlet természetes számokban való megoldhatatlanságát.

Analitikai módszer abban áll, ahogy már mondtuk, hogy a számokból kiindulva függvényeket alkotnak, amelyeket matematikai elemzési módszerekkel vizsgálnak. Igen, szovjet tudós akadémikus I. M. Vinogradov bebizonyította a Goldbach-probléma egy változatát – egy kellően nagy páratlan szám ábrázolhatóságát három prím összegeként.

A számelmélet geometriai módszerét Fermat utolsó tételével szemléltetjük példaként. Ebben a tételben arról beszélünk az x n + y n = z n egyenlet egész számokban való megoldhatóságáról. Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk z n-nel, és x/z-t m-re, y/z-t v-re cserélve, az u n + v n = 1 egyenletet kapjuk. Ez az egyenlet egy bizonyos görbét határoz meg a síkon az (u, v) koordinátákkal. Az eredeti egyenlet egész számokban megadott megoldásai megfelelnek az új egyenlet racionális számokban történő megoldásainak. Minden ilyen megoldás (u, v) úgy beszélhető, mint egy racionális koordinátákkal rendelkező pont ezen a síkon. Most megpróbálhatjuk geometriai módszereket alkalmazni az u n + v n = 1 görbére, hogy a rajta lévő ponthalmazt racionális koordinátákkal tanulmányozzuk.

A számelmélet egy nagy részét, amely az egyenletek egész számokban és racionális számokban történő megoldásával foglalkozik, a diofantini egyenletek elméletének nevezik, amely az ókori görög tudós, Diophantus (3. század) nevéhez fűződik.

A nagyon régi és ismert problémák A számelmélet a számok négyzetösszegekkel való ábrázolásának problémájával foglalkozik. Felsorolunk néhány eredményt:

minden egész négy egész szám négyzetének összegeként ábrázolható (például: 7 = 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2);

minden 4n + 1 formájú prímszám ábrázolható két egész szám négyzetének összegeként (például: 5 = 2 2 + 1 2, 41 = 4 2 + 5 2 stb.), de egyetlen egész szám sem ( nem csak prím) 4n + 3 alakú szám nem ábrázolható ebben az alakban;

Minden prímszám, kivéve a 8n - 1 alakú számokat, három egész szám négyzetének összegeként ábrázolható.

Egyszerű algebrai azonosság

(a 2 + b 2) (x 2 + y 2) = (ax + by) 2 + (ay - bx) 2

Lehetővé teszi a következtetést: ha két szám ábrázolható két négyzet összegeként, akkor a szorzatuk is ábrázolható két négyzet összegeként. Algebrai módszerek V utóbbi időben széles körben használják a számelméletben. Ezt elősegítette egy ilyen közös kifejlesztése algebrai fogalom, mint olyan terület, amelynek megjelenését nagyrészt számelméleti problémák ösztönözték.

Miért olyan értékes a számelmélet? Végül is nehéz megtalálni az eredmények közvetlen alkalmazását. Mindazonáltal a számelméleti problémák évszázadok óta vonzzák mind a kíváncsi fiatalokat, mind a tudósokat. mi a baj itt? Először is, ezek a problémák, mint már említettük, nagyon érdekesek és szépek. Az embereket mindig is lenyűgözték, hogy olyan nehéz választ találni a számokkal kapcsolatos egyszerű kérdésekre. E válaszok keresése gyakran vezetett olyan felfedezésekhez, amelyek jelentősége messze meghaladja a számelmélet körét. Elég csak a 19. századi német matematikus ideálelméletének ún. E. Kummer, aki Fermat utolsó tételének bizonyítási kísérletei kapcsán született.

A matematikának azt az ágát, amely az egész számok és tulajdonságaik tanulmányozásával foglalkozik, számelméletnek vagy magasabb aritmetikának nevezzük.

Az egész számok között különleges helyet foglalnak el a természetes számok, amelyek két osztályra oszthatók: egyszerű és összetett. Az első osztályba azok a számok tartoznak, amelyeknek két szám osztója van: egy és önmaga. Az összes többi szám a második osztályba tartozik.

A prímszámokat, tulajdonságaikat és az összes természetes számmal való kapcsolatukat Eukleidész (Kr. e. III. század) vizsgálta. Úgy vélte, hogy a természetes sorozat bármely szám egyedileg ábrázolható prímszámok szorzataként. Az Elemekben Eukleidész egy módszert jelölt meg a legnagyobb megtalálására közös osztó(GCD) két szám, amelynek következménye a természetes számok prímtényezőkre történő egyedi felosztásáról szóló tétel. Két szám legkisebb közös osztójának fogalmához kapcsolódik a legkisebb közös többszörösük (LCM) fogalma is.

A számelmélet magában foglalja az egész megoldások kérdését is különféle típusok egyenletek. Az aX + bY = c alakú diofantin egyenlet, ahol a,b,c egész számok, X és Y pedig ismeretlen számok, a legegyszerűbb egyenlet egész számokban. Ha c osztható gcd(a,b)-vel, akkor az egyenletnek egész megoldásai vannak. Ebben az esetben az euklideszi algoritmus segítségével az aX + bY = 1 egyenlet megoldását találjuk, amelyből a diofantini egyenlet összes megoldását megkapjuk. Ha c nem osztható gcd(a,b)-vel, akkor eredeti egyenlet nincs egész számban kifejezett megoldása. Egy másik egész egyenlet az X 2 +Y 2 =Z 2 egyenlet (Pitagorasz egyenlet). A babiloni matematikusok tudták, hogy igen végtelen halmaz döntéseket, és ókori görög matematikus Diophantus (i.sz. 250 körül) leírt egy módszert egy adott egyenlet összes megoldásának megtalálására.

A számelmélet fejlődéséhez nagyban hozzájárult Pierre Fermat (1601-1665), aki az egész számok oszthatóságának elméletével és a diofantin egyenletek elméletével kapcsolatos felfedezéseket tett. Kijelentést fogalmazott meg a „lehetetlenségről” - Nagy tétel Fermat, Fermat kis tétele bizonyítást nyert, amelyet később L. Euler általánosított. 1657 februárjában Fermat azt javasolta, hogy találják meg általános szabály az ax 2 + 1 = y 2 Pell-egyenlet megoldása egész számokban. Ennek az egyenletnek a megoldását a = 2-re Eukleidész írta le az Elemekben, és komplett megoldás Euler fedezte fel 1759-ben.

A 18. században L. Euler (1707-1783) volt az első matematikus, aki megalkotta általános módszerekés alkalmazza a matematika más ágait a számelméleti feladatok megoldására. A matematikai elemzési módszerek alkalmazása megalapozta analitikus számelmélet, amelyben fontos hely módszerek foglalják el trigonometrikus összegek, amely lehetővé teszi az egyenletek vagy egyenletrendszerek megoldásainak számának becslését egész számokban.

Az analitikus számelméletben is használják átfogó elemzés prímszám-eloszlási tétel bizonyítására. Azonban marad nyitott kérdés, hogy végtelen sok az „egyszerű ikerpár”, azaz olyan prímszám, amelyek között kettő a különbség, például 17 és 19 vagy 101 és 103.

Az analitikai módszereket széles körben alkalmazzák additív számelmélet, amely a természetes számok tagokra bontását vizsgálja egy bizonyos típus: szám ábrázolása prímszámok összegeként, két négyzet összege (ezekről a kérdésekről korábban volt szó) stb., ábrázolás négy négyzetként, kilenc kocka stb. A számelmélet ezen részéhez kapcsolódik az a Waring-probléma is, hogy az N számot k tag összegeként ábrázolja, amelyek mindegyike egy természetes szám n hatványa, azaz N = a 1 n + ... + a k n, ahol k csak n-től függ.

Algebrai számelmélet kiterjeszti a szám fogalmát. Itt figyelembe vesszük az algebrai egész számokat, a racionális együtthatójú polinomok gyökeit és a vezető tagot, amely egyenlő eggyel.

Elemi elmélet számok egész számokat tanulmányoz anélkül, hogy a matematika más ágaiból származó módszereket használna. Itt olyan kérdéseket veszünk figyelembe, mint az egész számok oszthatósága, Fibonacci-számok, konstrukció mágikus négyzetek, algoritmus a legkisebb közös osztó és a legnagyobb közös többszörös megtalálására, a Fermat-féle kis tétel.

Számos számelméleti kérdés könnyen megfogalmazható, de nehezen bizonyítható, és számos kérdés nyitva marad, például még nem találtak olyan képletet, amellyel az összes prímszám származtatható lenne. Fermat utolsó tétele, amelyet 1637-ben fogalmaztak meg, több mint 3 évszázadon át bizonyítatlan maradt, és Wales 1995-ben bebizonyította.

A számelmélet vagy a magasabb aritmetika a matematikának egy olyan ága, amely egész számokat és hasonló objektumokat vizsgál.

A számelmélet az egész számok tulajdonságainak vizsgálatával foglalkozik. Jelenleg a számelmélet lényegesen többet tartalmaz széles kör kérdések, amelyek túlmutatnak a természetes számok vizsgálatán.

A számelméletben nem csak a természetes számokat veszik figyelembe, hanem az összes egész szám halmazát, a halmazt is racionális számok, készlet algebrai számok. A modern számelméletre jellemző a nagyon különféle módszerek kutatás. A modern számelméletben széles körben alkalmazzák a matematikai elemzés módszereit.

Modern elmélet a számok a következő részekre bonthatók:

1) Elemi számelmélet. Ez a rész számelméleti kérdéseket tartalmaz, amelyek az oszthatóság elméletének közvetlen továbbfejlesztése, valamint a számok ábrázolhatóságával kapcsolatos kérdéseket. egy bizonyos forma. Általánosabb probléma a diofantini egyenletrendszerek megoldásának problémája, vagyis olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlenek értékének szükségszerűen egész számoknak kell lennie.

2) Algebrai számelmélet. Ez a rész az algebrai számok különböző osztályainak tanulmányozásával kapcsolatos kérdéseket tartalmaz.

3) Diofantin közelítések. Ez a rész a valós számok közelítésének tanulmányozásával kapcsolatos kérdéseket tartalmaz racionális törtek. Ugyanahhoz az eszmekörhöz szorosan kapcsolódó diofantin közelítések szorosan kapcsolódnak a különböző számosztályok aritmetikai természetének vizsgálatához.

4) Analitikus számelmélet. Ez a rész számelméleti kérdéseket tartalmaz, amelyek vizsgálatához matematikai elemzési módszereket kell alkalmazni.

Alapfogalmak:

1) Az oszthatóság az aritmetika és a számelmélet egyik alapfogalma, amely az osztási művelethez kapcsolódik. Az egész számok oszthatósága halmazelméleti szempontból az egész számok halmazán meghatározott reláció.

Ha valamilyen a és egy b egész számra van olyan q egész, hogy bq = a, akkor azt mondjuk, hogy az a szám osztható b-vel, vagy hogy b osztja a-t. Ebben az esetben a b számot az a szám osztójának, a osztóját a b szám többszörösének, a q számot pedig a b-vel való osztásának hányadosának nevezzük.

2) Egy egyszerű szám? egy természetes szám, amelynek pontosan két elkülönülő természetes osztója van: az egyik és önmaga. Az összes többi számot egy kivételével összetett számnak nevezzük.

3) Tökéletes szám? (ógörög ἀριθμὸς τέλειος) - természetes szám, egyenlő az összeggel az összes saját osztója (azaz minden pozitív osztó, kivéve magát a számot).

Az első tökéletes szám a 6 (1 + 2 + 3 = 6), a következő a 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). A természetes számok növekedésével a tökéletes számok egyre kevésbé gyakoriak.

4) Két m és n egész szám legnagyobb közös osztója (GCD) a legnagyobb közös osztójuk. Példa: A 70 és 105 számoknál a legnagyobb közös osztó a 35.

A legnagyobb közös osztó létezik, és akkor határozható meg egyértelműen, ha az m vagy n számok közül legalább az egyik nem nulla.

5) Két m és n egész szám legkisebb közös többszöröse (LCM) a legkisebb természetes szám, amely osztható m-rel és n-nel.

6) Az m és n számokat koprímnek nevezzük, ha nincs egyen kívül más közös osztójuk. Ilyen számoknál GCD(m,n) = 1. Fordítva, ha GCD(m,n) = 1, akkor a számok másodprímek.

7) Euklideszi algoritmus – két egész szám legnagyobb közös osztójának vagy két homogén mennyiség legnagyobb közös mértékének megtalálására szolgáló algoritmus.

Az Önt érdeklő információkat az Otvety.Online tudományos keresőben is megtalálhatja. Használja a keresési űrlapot:

Bővebben a 17. számú témában. A számelmélet alapfogalmai:

1. 2. A valószínűségszámítás lényege és alkalmazhatóságának feltételei. A valószínűségszámítás alapfogalmai és tételei.
2. 6. A természetes szám és a nulla fogalmának kialakításának különböző megközelítései. A 10-en belüli számok számozásának tanulmányozási módszerei. Fiatalabb iskolások gondolkodásának típusai, folyamatai, formái. A „megközelítés” fogalom pedagógiai jelentése; megközelítés fő összetevői.
3. Tekintsük az iskolai matematika tantárgyból ismert természetes számok legkisebb közös többszörösének és legnagyobb közös osztójának fogalmait, és minden bizonyítást mellőzve fogalmazzuk meg alapvető tulajdonságaikat.
4. A természetes számok elméletének axiomatikus felépítésében a kivonást általában az összeadás inverz műveleteként definiálják.

Név: Számelmélet. 2008.

A tankönyv alapját az elemi számelmélet eredményei képezik, amelyek a klasszikusok - Fermat, Euler, Gauss stb. - munkáiban formálódnak. Az olyan kérdések, mint az egyszerű ill. összetett számok, aritmetikai függvények, összehasonlítások elmélete, primitív gyökök és indexek, folytonos törtek, algebrai és transzcendentális számok. A prímszámok tulajdonságai, a diofantin egyenletek elmélete, a számelmélet algoritmikus vonatkozásai a kriptográfiai alkalmazásokkal (nagy prímszámok primalitás vizsgálata, faktorizáció nagy számok tényezőkbe, diszkrét logaritmus) és számítógép segítségével.
Felsőoktatási intézmények hallgatóinak.

A számelmélet vizsgálatának tárgya a számok és tulajdonságaik, vagyis a számok itt nem eszközként vagy eszközként, hanem vizsgálati tárgyként jelennek meg. Természetes sorozat
1,2,3,4, ...,9,10,11, ...,99,100,101, ...
- a természetes számok halmaza - a kutatás legfontosabb területe, rendkívül informatív, fontos és érdekes.
A természetes számok tanulmányozása ben kezdődött Ókori Görögország. Euklidész és Eratoszthenész felfedezte a számok oszthatóságának tulajdonságait, bebizonyította a prímszámok halmazának végtelenségét, és megtalálta a módját ezek megalkotásának. A megoldással kapcsolatos problémák határozatlan egyenletek egész számban Diophantus, valamint tudósok kutatásának tárgyát képezték Ősi IndiaÉs Ősi Kína, Közép-Ázsia országai.

Tartalomjegyzék
Bevezetés
1. fejezet A számok oszthatóságáról
1.1. Egész számok oszthatósági tulajdonságai
1.2. A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó
1.3. Euklidész algoritmusa
1.4. Egész megoldás lineáris egyenletek

2. fejezet Prím- és összetett számok
2.1. Prímszámok. Eratoszthenész szita. A prímszámok halmazának végtelensége
2.2. Az aritmetika alaptétele
2.3. Csebisev tételei
2.4. Riemann Zeta függvény és a prímszámok tulajdonságai
Önállóan megoldandó problémák
3. fejezet Aritmetikai függvények
3.1. Multiplikatív függvények és tulajdonságaik
3.2. Möbius-függvény és inverziós képletek
3.3. Euler függvény
3.4. Természetes szám osztóinak összege és osztóinak száma
3.5. A számtani függvények átlagértékének becslései
Önállóan megoldandó problémák
4. fejezet: Numerikus összehasonlítások
4.1. Összehasonlítások és az övék alapvető tulajdonságok
4.2. Levonási osztályok. Egy adott modul maradékosztályainak gyűrűje
4.3. Teljes és csökkentett levonási rendszerek
4.4. Wilson tétele
4.5. Euler és Fermat tételei
4.6. A racionális számok végtelenként való ábrázolása tizedesjegyek
4.7. Elsődlegesség vizsgálata és nagy prímszámok szerkesztése
4.8. Egészszám-faktorizáció és kriptográfiai alkalmazások
Önállóan megoldandó problémák
5. fejezet Összehasonlítások egy ismeretlennel
5.1.Alapvető definíciók
5.2. Az első fokozat összehasonlítása
5.3.Kínai maradéktétel
5.4. Polinom összehasonlítások által egyszerű modul
5.5. Polinom-összehasonlítások kompozit moduloProblémák független megoldáshoz
6. fejezet A másodfokú összehasonlítások
6.1. A másodfokú modulo prím összehasonlítása
6.2. Legendre szimbóluma és tulajdonságai
6.3. Másodfokú reciprocitás törvénye
6.4. Jacobi szimbólum és tulajdonságai
6.5. Két és négy négyzet összege
6.6. A nulla ábrázolása másodfokú formák három változóból
Önállóan megoldandó problémák
7. fejezet Antiderivatív gyökerek és indexek
7.1. Egy adott modulhoz tartozó szám jelzője
7.2. Primitív gyökök létezése modulo prime
7.3. Primitív gyökerek felépítése pk és 2pk modulok segítségével
7.4. Tétel a primitív gyökök hiányáról a 2, 4, pk és 2pk modulusokon kívül
7.5. Indexek és tulajdonságaik
7.6. Diszkrét logaritmus
7.7. Binomiális összehasonlítások
Önállóan megoldandó problémák
8. fejezet. Folytatás Törtek
8.1. Dirichlet tétele a valós számok racionális számokkal való közelítéséről
8.2. Véges folytatódott törtek
8.3. Folytatólagos tört valós szám
8.4. Legjobb közelítések
8.5. Egyenértékű számok
8.6. Másodfokú irracionalitások és folyamatos törtek
8.7. Folyamatos törtek használata néhány diofantin egyenlet megoldására
8.8. Az e szám bontása folyamatos törtté
Önállóan megoldandó problémák
9. fejezet Algebrai és transzcendentális számok
9.1.Algebrai számok mezeje
9.2. Algebrai számok közelítése racionális számokkal. Transzcendentális számok létezése
9.3. Az er és n számok irracionalitása
9.4. Az e szám transzcendenciája
9.5. Az n szám transzcendenciája
9.6 A kör négyzetesítésének lehetetlensége
Önállóan megoldandó problémák
Válaszok és útbaigazítás
Hivatkozások

Ingyenes letöltés e-könyv kényelmes formátumban, nézze meg és olvassa el:
Töltse le a könyvet Számelmélet - Nesterenko Yu.V. - fileskachat.com, gyors és ingyenes letöltés.

Djvu letöltése
Ezt a könyvet az alábbiakban vásárolhatja meg legjobb ár kedvezményes szállítással Oroszország egész területén.

Számelmélet tárgyszámai és tulajdonságai vannak, pl. a számok itt nem eszközként vagy eszközként jelennek meg, hanem mint vizsgálati tárgy. A természetes számsorok 1, 2, 3, 4, …, 9, 10, 11, …, 99, 100, 101, … - a természetes számok halmaza, a kutatás legfontosabb területe, rendkívül értelmes, fontos és érdekes.

Természetes számok kutatása

A természetes számok tanulmányozása az ókori Görögországban kezdődött. Itt tanulmányozták a számok oszthatóságának tulajdonságait, igazolták a prímszámok halmazának végtelenségét, és módszereket fedeztek fel szerkesztésükre (Euklidész, Eratoszthenész). A határozatlan egyenletek egész számokban történő megoldásával kapcsolatos problémákat vizsgálták Diophantus ókori indiai, ókori kínai és közép-ázsiai országok tudósai.

A számelmélet természetesen a matematika alapvető ágai közé tartozik. Ugyanakkor számos feladata közvetlenül kapcsolódik gyakorlati tevékenységek. Például elsősorban a kriptográfia kéréseinek köszönhetően és széles körben elterjedt A számítógépek és a számelméleti algoritmusokkal kapcsolatos kutatások jelenleg a gyors és nagyon gyümölcsöző fejlődés időszakát élik. A kriptográfiai igények ösztönözték a kutatást klasszikus problémák A számelmélet számos esetben ezek megoldásához vezetett, és új alapvető problémák felvetésének forrásává is vált.

Az oroszországi számelméleti problémák tanulmányozásának hagyománya valószínűleg Eulertől (1707-1783) származik, aki összesen 30 évig élt itt, és sokat tett a tudomány fejlődéséért. Munkáinak hatására alakult ki P.L.~Csebisev (1821-1894), kiváló tudós és tehetséges tanár munkája, aki V.Ya.~Bunyakovskyval (1804-1889) közösen adta ki Euler aritmetikai munkáit. P.L.~Csebisev létrehozta a szentpétervári számelméleti iskolát, amelynek képviselői A.N. Korkin (1837-1908), E.I.~Zolotarev (1847-1878) és A.A.Markov (1856-1922). G.F.~Voronoi (1868-1908), aki Szentpéterváron tanult A. A. Markovnál és Yu.V.-nél (1842-1927), Varsóban megalapította a számelméleti iskolát. Számos figyelemre méltó számelméleti szakember került ki belőle, és különösen W. Sierpinski (1842-1927). Egy másik tanuló Szentpétervári Egyetem D.A.Grave (1863-1939) sokat tett a számelmélet és az algebra tanításáért Kijevi Egyetem. Tanítványai O.Yu voltak. Schmidt (1891-1956), N.G. Csebotarev (1894-1947), B. N. Delaunay (1890-1980). Számelméleti kutatásokat végeztek a moszkvai, kazanyi és odesszai egyetemeken is.

Ajánlott olvasmány

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Számelmélet.

Bukhshtab A.A., Számelmélet.

Venkov B.A., Elemi számelmélet.

Vinogradov I.M., A számelmélet alapjai.

Gauss K.F.: Számelméleti munkák.

Dirichlet P.G.L., Előadások a számelméletről.

Karatsuba A.A., Az analitikus számelmélet alapjai.

Neszterenko Yu.V., Számelmélet.

Shidlovsky A.B., Diofantin közelítések és transzcendentális számok.