Belépő szint

Kifejezések konvertálása. Részletes elmélet (2019)

Kifejezések konvertálása

Gyakran halljuk ezt a kellemetlen mondatot: „leegyszerűsítsd a kifejezést”. Általában egy ilyen szörnyet látunk:

„Sokkal egyszerűbb” – mondjuk, de egy ilyen válasz általában nem működik.

Most megtanítalak arra, hogy ne félj semmiféle ilyen feladattól. Ezenkívül a lecke végén leegyszerűsíti ezt a példát (csak!) rendes szám(igen, a pokolba ezekkel a betűkkel).

De mielőtt elkezdené ezt a leckét, tudnia kell kezelni a törteket és a faktorpolinomokat. Ezért először is, ha még nem tette meg ezt, ügyeljen arra, hogy sajátítsa el a „” és a „” témákat.

Olvastad? Ha igen, akkor most készen áll.

Alapvető egyszerűsítési műveletek

Most nézzük meg a kifejezések egyszerűsítésére használt alapvető technikákat.

A legegyszerűbb az

1. Hasonló hozás

Mik a hasonlók? Ezt 7. osztályban vetted, amikor a számok helyett betűk jelentek meg először a matematikában. Hasonlóak az azonos betűrésszel rendelkező kifejezések (monomiálisok). Például összesen hasonló kifejezések- ez én vagyok.

Emlékszel?

A hasonló kifejezés azt jelenti, hogy több hasonló kifejezést adunk egymáshoz, és egy kifejezést kapunk.

Hogyan rakjuk össze a betűket? - kérdezed.

Ezt nagyon könnyű megérteni, ha azt képzeli, hogy a betűk valamiféle tárgyak. Például egy levél egy szék. Akkor mivel egyenlő a kifejezés? Két szék plusz három szék, hány lesz? Így van, székek: .

Most próbálja ki ezt a kifejezést: .

A félreértések elkerülése végett hagyjuk különböző betűk különböző objektumokat ábrázolnak. Például a - (szokás szerint) egy szék, és - egy asztal. Majd:

székek asztalok szék asztalok székek székek asztalok

Azokat a számokat, amelyekkel az ilyen kifejezésekben szereplő betűket megszorozzuk, hívjuk együtthatók. Például egy monomban az együttható egyenlő. És benne egyenlő.

Tehát a hasonlók behozatalának szabálya a következő:

Példák:

Adj hasonlókat:

Válaszok:

2. (és hasonló, mivel ezért ezeknek a kifejezéseknek ugyanaz a betűrésze).

2. Faktorizáció

Általában ez a legfontosabb része a kifejezések egyszerűsítésének. Miután hasonlókat adott meg, leggyakrabban az eredményül kapott kifejezést faktorizálni kell, azaz szorzatként kell bemutatni. Ez különösen a törteknél fontos: a tört csökkentéséhez a számlálót és a nevezőt szorzatként kell ábrázolni.

A kifejezések faktorálásának módszereit részletesen végigjárta a „” témakörben, így itt csak emlékeznie kell arra, amit tanult. Ehhez döntsön el néhányat példák(faktorizálni kell):

Megoldások:

3. Töredék csökkentése.

Nos, mi lehet kellemesebb, mint a számláló és a nevező egy részét áthúzni, és kidobni az életedből?

Ez a leépítés szépsége.

Ez egyszerű:

Ha a számláló és a nevező ugyanazokat a tényezőket tartalmazza, akkor redukálható, azaz eltávolítható a törtből.

Ez a szabály a tört alapvető tulajdonságából következik:

Vagyis a redukciós művelet lényege az A tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk ugyanazzal a számmal (vagy ugyanazzal a kifejezéssel).

A töredék csökkentéséhez a következőkre van szüksége:

1) számláló és nevező tényezőkre bont

2) ha a számláló és a nevező tartalmazza közös tényezők , áthúzhatók.

Az elv, azt hiszem, egyértelmű?

Egy dologra szeretném felhívni a figyelmet tipikus hiba szerződéskötéskor. Bár ez a téma egyszerű, sokan mindent rosszul csinálnak, ezt nem értik csökkenteni- ez azt jelenti oszt a számláló és a nevező ugyanaz a szám.

Nincsenek rövidítések, ha a számláló vagy a nevező összeg.

Például: egyszerűsítenünk kell.

Vannak, akik ezt teszik: ami teljesen helytelen.

Egy másik példa: csökkenteni.

A „legokosabb” ezt teszi: .

Mondd, mi a baj itt? Úgy tűnik: - ez egy szorzó, ami azt jelenti, hogy csökkenthető.

De nem: - ez csak egy tag tényezője a számlálóban, de maga a számláló egésze nincs faktorizálva.

Íme egy másik példa: .

Ez a kifejezés faktorizált, ami azt jelenti, hogy csökkentheti, azaz eloszthatja a számlálót és a nevezőt ezzel, majd a következővel:

Azonnal feloszthatja:

Az ilyen hibák elkerülése érdekében ne feledje könnyű út hogyan állapítható meg, hogy egy kifejezés faktorizált-e:

A kifejezés értékének kiszámításakor az utolsóként végrehajtott aritmetikai művelet a „fő” művelet. Vagyis ha betűk helyett behelyettesít néhány (bármilyen) számot, és megpróbálja kiszámítani a kifejezés értékét, akkor ha utolsó akció lesz szorzás, ami azt jelenti, hogy van egy szorzatunk (a kifejezés faktorizált). Ha az utolsó művelet összeadás vagy kivonás, ez azt jelenti, hogy a kifejezés nincs faktorizálva (és ezért nem csökkenthető).

A konszolidáció érdekében oldjon meg néhányat saját maga példák:

Válaszok:

1. Remélem nem rohantál azonnal vágni és? Még mindig nem volt elég az egységeket így „csökkenteni”:

Az első lépés a faktorizálás legyen:

4. Törtek összeadása és kivonása. Törtek redukálása közös nevezőre.

Összeadás és kivonás közönséges törtek- jól ismert a művelet: keresünk egy közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat. Emlékezzünk:

Válaszok:

1. A és nevezők viszonylag prímszámúak, vagyis nincs közös tényezőjük. Ezért ezeknek a számoknak az LCM-je megegyezik a szorzatukkal. Ez lesz a közös nevező:

2. Itt a közös nevező:

3. Az első dolog itt vegyes frakciók helytelenné alakítjuk, majd követjük a szokásos mintát:

Teljesen más a helyzet, ha a törtek betűket tartalmaznak, pl.

Kezdjük valami egyszerűvel:

a) A nevezők nem tartalmaznak betűket

Itt minden ugyanaz, mint a hagyományosnál numerikus törtek: keresse meg a közös nevezőt, szorozza meg az egyes törteket a hiányzó tényezővel, és adja össze/vonja ki a számlálókat:

Most a számlálóban megadhat hasonlókat, ha vannak, és faktorálhatja őket:

Próbáld ki magad:

b) A nevezők betűket tartalmaznak

Emlékezzünk a betűk nélküli közös nevező megtalálásának elvére:

· mindenekelőtt meghatározzuk a közös tényezőket;

· majd egyenként írjuk ki az összes gyakori tényezőt;

· és szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

A nevezők közös tényezőinek meghatározásához először prímtényezőkbe soroljuk őket:

Hangsúlyozzuk a közös tényezőket:

Most egyenként írjuk ki a gyakori tényezőket, és adjuk hozzá az összes nem gyakori (nem aláhúzott) tényezőt:

Ez a közös nevező.

Térjünk vissza a levelekhez. A nevezők pontosan ugyanúgy vannak megadva:

· tényező a nevezők;

· közös (azonos) tényezők meghatározása;

· írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt;

· szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

Tehát sorrendben:

1) faktorozza a nevezőket:

2) határozza meg a közös (azonos) tényezőket:

3) írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt, és szorozza meg az összes többi (nem hangsúlyos) tényezővel:

Tehát van itt egy közös nevező. Az első törtet meg kell szorozni a másodikkal:

Egyébként van egy trükk:

Például: .

Ugyanazokat a tényezőket látjuk a nevezőkben, csak mindegyikkel különböző mutatók. A közös nevező a következő lesz:

fokig

fokig

fokig

fokig.

Bonyolítsuk a feladatot:

Hogyan lehet elérni, hogy a törtek azonos nevezővel rendelkezzenek?

Emlékezzünk a tört alapvető tulajdonságára:

Sehol nem szerepel, hogy ugyanaz a szám kivonható (vagy összeadható) a tört számlálójából és nevezőjéből. Mert nem igaz!

Győződjön meg saját szemével: vegyen például bármilyen törtet, és adjon hozzá néhány számot a számlálóhoz és a nevezőhöz, például . mit tanultál?

Tehát még egy megingathatatlan szabály:

Amikor a törteket csökkenti közös nevező, csak a szorzási műveletet használja!

De mivel kell szorozni, hogy megkapjuk?

Szóval szorozd meg vele. És szorozzuk meg:

A nem faktorizálható kifejezéseket elemi tényezőknek nevezzük. Például - ez egy elemi tényező. - Ugyanaz. De nem: faktorizálható.

Mi a helyzet a kifejezéssel? Ez elemi?

Nem, mert faktorizálható:

(A faktorizációról már olvasott a "" témában).

Tehát azok az elemi tényezők, amelyekbe a kifejezést betűkkel bővíti, analóg elsődleges tényezők, amelyre felbontja a számokat. És ugyanúgy fogunk bánni velük.

Látjuk, hogy mindkét nevezőnek van szorzója. A fokig a közös nevezőre fog menni (emlékezz, miért?).

A tényező elemi, és nincs közös tényezőjük, ami azt jelenti, hogy az első törtet egyszerűen meg kell szorozni vele:

Egy másik példa:

Megoldás:

Mielőtt pánikszerűen megszorozná ezeket a nevezőket, el kell gondolkodnia azon, hogyan számolja be őket? Mindketten képviselik:

Nagy! Majd:

Egy másik példa:

Megoldás:

Szokás szerint tizedeljük a nevezőket. Az első nevezőben egyszerűen zárójelbe tesszük; a másodikban - a négyzetek különbsége:

Úgy tűnik, hogy nincsenek közös tényezők. De ha jobban megnézed, hasonlóak... És ez igaz:

Tehát írjuk:

Vagyis így alakult: a zárójelben felcseréltük a kifejezéseket, és ezzel párhuzamosan a tört előtti jel az ellenkezőjére változott. Vegye figyelembe, hogy ezt gyakran meg kell tennie.

Most hozzuk egy közös nevezőre:

Megvan? Most nézzük meg.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Válaszok:

Itt emlékeznünk kell még egy dologra - a kockák különbségére:

Felhívjuk figyelmét, hogy a második tört nevezője nem tartalmazza az „összeg négyzete” képletet! Az összeg négyzete így nézne ki: .

Az A az összeg úgynevezett hiányos négyzete: benne a második tag az első és az utolsó szorzata, nem pedig azok kettős szorzata. Az összeg résznégyzete az egyik tényező a kockák különbségének növekedésében:

Mi a teendő, ha már három tört van?

Igen, ugyanaz! Először is győződjünk meg arról maximális mennyiség a nevezőkben szereplő tényezők azonosak voltak:

Figyelem: ha egy zárójelben megváltoztatja a jeleket, a tört előtti jel az ellenkezőjére változik. Amikor a második zárójelben lévő jeleket megváltoztatjuk, a tört előtti jel ismét az ellenkezőjére változik. Ennek eredményeként ez (a tört előtti jel) nem változott.

A teljes első nevezőt kiírjuk a közös nevezőbe, majd hozzáadjuk az összes még fel nem írt tényezőt a másodiktól, majd a harmadiktól (és így tovább, ha több a tört). Vagyis így alakul:

Hmm... Világos, mit kell tenni a törtekkel. De mi van a kettővel?

Ez egyszerű: tudja, hogyan kell törteket adni, igaz? Tehát kettőt kell törtté tenni! Ne feledjük: a tört egy osztási művelet (a számlálót el kell osztani a nevezővel, ha elfelejtette volna). És semmi sem egyszerűbb, mint elosztani egy számot. Ebben az esetben maga a szám nem változik, hanem törtté változik:

Pont amire szüksége van!

5. Törtek szorzása és osztása.

Nos, a legnehezebb része már elmúlt. És előttünk áll a legegyszerűbb, de ugyanakkor a legfontosabb:

Eljárás

Mi a numerikus kifejezés kiszámításának eljárása? Emlékezzen a kifejezés jelentésének kiszámításával:

számoltál?

Működnie kell.

Szóval hadd emlékeztesselek.

Az első lépés a fokozat kiszámítása.

A második a szorzás és az osztás. Ha egyszerre több szorzás és osztás is történik, tetszőleges sorrendben elvégezhető.

Végül végezzük az összeadást és a kivonást. Még egyszer, bármilyen sorrendben.

De: a zárójelben lévő kifejezés soron kívül kiértékelésre kerül!

Ha több zárójelet szorozunk vagy osztunk egymással, akkor először mindegyik zárójelben kiszámítjuk a kifejezést, majd szorozzuk vagy osztjuk őket.

Mi van, ha több zárójel van a zárójelben? Nos, gondoljuk át: a zárójelek közé valamilyen kifejezés van írva. Egy kifejezés kiszámításakor mit kell tennie először? Így van, számold ki a zárójeleket. Nos, kitaláltuk: először a belső zárójeleket számoljuk ki, aztán minden mást.

Tehát a fenti kifejezés eljárása a következő (az aktuális művelet pirossal van kiemelve, vagyis az a művelet, amelyet éppen végrehajtok):

Oké, minden egyszerű.

De ez nem ugyanaz, mint a betűs kifejezés?

Nem, ez ugyanaz! Csak ahelyett aritmetikai műveletek algebrai, azaz az előző részben leírt műveleteket kell végrehajtania: hasonlót hozva, frakciók hozzáadása, frakciók csökkentése stb. Az egyetlen különbség a polinomok faktorálása lesz (gyakran használjuk ezt, amikor törtekkel dolgozunk). A faktorizáláshoz leggyakrabban az I-t kell használnia, vagy egyszerűen csak zárójelbe kell tennie a közös tényezőt.

Általában az a célunk, hogy a kifejezést szorzatként vagy hányadosként ábrázoljuk.

Például:

Egyszerűsítsük a kifejezést.

1) Először is egyszerűsítjük a zárójelben lévő kifejezést. Ott törtek különbség van, és az a célunk, hogy ezt szorzatként vagy hányadosként mutassuk be. Tehát a törteket közös nevezőre hozzuk, és hozzáadjuk:

Ezt a kifejezést nem lehet tovább leegyszerűsíteni, itt minden tényező elemi (emlékszel még, mit jelent ez?).

2) Ezt kapjuk:

Törtek szorzása: mi lehetne egyszerűbb.

3) Most lerövidítheti:

Nos, ez minden. Semmi bonyolult, igaz?

Egy másik példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Először próbáld meg magad megoldani, és csak azután nézd meg a megoldást.

Először is határozzuk meg a műveletek sorrendjét. Először adjuk hozzá a zárójelben lévő törteket, így két tört helyett egyet kapunk. Ezután törtosztást végzünk. Nos, adjuk hozzá az eredményt az utolsó törttel. Sematikusan megszámozom a lépéseket:

Most megmutatom a folyamatot, pirosra színezve az aktuális műveletet:

Végül adok két hasznos tippet:

1. Ha vannak hasonlók, azonnal hozni kell. Bármikor is bukkannak fel hasonlók hazánkban, célszerű azonnal felhozni őket.

2. Ugyanez vonatkozik a frakciók redukálására is: amint megjelenik a redukció lehetősége, azt ki kell használni. Ez alól kivételt képeznek azok a törtek, amelyeket összead vagy kivon: ha most megvan ugyanazok a nevezők, akkor a csökkentést későbbre kell hagyni.

Íme néhány önálló megoldásra váró feladat:

És amit a legelején ígértek:

Megoldások (röviden):

Ha legalább az első három példával megbirkózott, akkor elsajátította a témát.

Most pedig a tanuláshoz!

KIFEJEZÉSEK KONVERTÁLÁSA. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

Alapvető egyszerűsítési műveletek:

• Hasonlót hozni: hasonló kifejezések hozzáadásához (kicsinyítéséhez) hozzá kell adni az együtthatóikat és hozzá kell rendelni a betűrészt.
• Faktorizáció: a közös tényező zárójelből való kitétele, alkalmazása stb.
• Töredék csökkentése: A tört számlálója és nevezője szorozható vagy osztható ugyanazzal nem nulla szám, amelytől a tört értéke nem változik.
  1) számláló és nevező tényezőkre bont
  2) ha a számlálónak és a nevezőnek közös tényezői vannak, akkor ezek áthúzhatók.

  FONTOS: csak a szorzók csökkenthetők!

• Törtek összeadása és kivonása:
  ;
• Törtek szorzása és osztása:
  ;

A fokozatok tulajdonságai:

(1) a m ⋅ a n = a m + n

Példa:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Példa:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

Példa:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Példa:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n

Példa:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Példák:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Tulajdonságok négyzetgyök:

(1) a b = a ⋅ b, ha a ≥ 0, b ≥ 0

Példa:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b, ha a ≥ 0, b > 0

Példa:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a, ha a ≥ 0

Példa:

(4) a 2 = | a |

Példák:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

bármely a Racionális és

irracionális számok Racionális számok – számok, amelyek így ábrázolhatók közönséges tört

m n ahol m egy egész szám (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 ...), n egy természetes szám (ℕ = 1, 2, 3, 4 ...).

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Példák racionális számokra: Irracionális számok

– m n közönséges törtként nem ábrázolható számok végtelen nem periodikus tizedes törtek.

Példák irracionális számokra:

e = 2,71828182845…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

π = 3,1415926…

Egyszerűen fogalmazva, az irracionális számok olyan számok, amelyek jelölésében négyzetgyökjel szerepel. De ez nem ilyen egyszerű. Egyes racionális számokat irracionális számnak álcáznak, például a 4-es szám négyzetgyökjelet tartalmaz a jelölésében, de jól tudjuk, hogy a 4 = 2 jelölési formát leegyszerűsíthetjük. Ez azt jelenti, hogy a 4-es szám racionális szám.

Hasonlóképpen, a 4 81 = 4 81 = 2 9 szám racionális szám.

Néhány probléma megköveteli, hogy meghatározza, mely számok racionálisak és melyek irracionálisak. A feladat annak megértésében rejlik, hogy mely számok irracionálisak, és melyek azok, amelyeknek álcázzák őket. Ehhez el kell tudni végezni a szorzót a négyzetgyök jel alól, és a szorzót a gyökjel alá bevezetni.

A négyzetgyökjelen túli szorzó összeadása és kivonása A szorzót a négyzetgyökjelen túlra mozgatva jelentősen leegyszerűsíthet néhányat.

Példa:

matematikai kifejezések

Egyszerűsítse a 2 8 2 kifejezést. 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

1. módszer (a szorzó eltávolítása a gyökérjel alól): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

2. módszer (szorzó beírása a gyökérjel alá):

Rövidített szorzóképletek (FSU)

Az összeg négyzete

Példa:

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

(3 x + 4 év) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 év + (4 év) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 év 2

Négyzetes különbség

Példa:

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

(5 x − 2 év) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 év) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

A négyzetösszeg nem faktorizálódik

a 2 + b 2 ≠

A négyzetek különbsége

Példa:

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 év) 2 = (5 x − 2 év) (5 x + 2 év)

Összeg kocka

Példa:

(x + 3 év) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 év) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 év) 2 + (3 év) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 év + 3 ⋅ x ⋅ 9 év 2 + 27 év 3 = x 3 + 9 x 2 év + 27 x év 2 + 27 év 3

Különbség kocka

(5) (a - b) 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

Példa:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 év) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 év) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 év + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 év 2 − 8 év 3 = x 6 − 6 x 4 év + 12 x 2 év 2 − 8 év 3

Kockák összege

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Példa:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 - 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 - 2 x + x 2)

A kockák különbsége

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Példa:

x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 év) + (3 év) 2) = ( x 2–3 év) (x 4 + 3 x 2 év + 9 év 2)

Szabványos számtípus

Annak érdekében, hogy megértsük, hogyan lehet egy tetszőleges racionális számot redukálni standard nézet, tudnia kell, hogy mi egy szám első jelentős számjegye.

Egy szám első jelentős számjegye nevezzük a bal oldali első nullától eltérő számjegynek.

Példák:
2 5;

3, 05;

1. 0, 1 43;
2. 0,00 1 2. Az első jelentős számjegy pirossal van kiemelve.
3. Ahhoz, hogy egy számot szabványos űrlapra állítson, a következőket kell tennie:
4. Mozgassa a tizedesvesszőt úgy, hogy közvetlenül az első jelentős számjegy után legyen.< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. Az eredményül kapott számot megszorozzuk 10 n-nel, ahol n a következőképpen definiált szám:

n > 0, ha a vessző balra került (10-zel való szorzás n azt jelzi, hogy a vesszőnek valójában jobbra kell lennie);

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

n

az n szám abszolút értéke egyenlő azoknak a számjegyeknek a számával, amelyekkel a tizedesvesszőt eltolták.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Példák:

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

A vessző 1 hellyel balra került. Mivel a decimális eltolás balra történik, a fok pozitív.

Már átalakították szabványos formára, nem kell vele semmit csinálni. Felírhatjuk úgy is, hogy 3,05 ⋅ 10 0, de mivel 10 0 = 1, a számot az eredeti formájában hagyjuk. : A vessző 1 hellyel jobbra került. Mivel a decimális eltolás jobbra történik, a fokszám negatív.

A vessző három hellyel jobbra került. Mivel a decimális eltolás jobbra történik, a fokszám negatív. 2. TÉMA

SZÁM- ÉS BETŰ KIFEJEZÉSEK. KÉPLETEK. EGYENLETEK HASZNÁLATÁVAL MEGOLDOTT EGYENLETEK ÉS FELADATOK. KOMBINATORIKA.1. szakasz: Numerikus kifejezések : 36:4 – 25; 84 + (67 – 37) * 4 . A számokból, számtani szimbólumokból és zárójelekből álló rekordot hívjáknumerikus kifejezés Ez azt jelenti, hogy minden műveletet végre kell hajtani a számokkal, betartva az általánosan elfogadott szabályokat a végrehajtás sorrendjében.Numerikus kifejezések : (327 -123) : + 86 = 137 A műveletek sorrendje: 1) 327-123 = 204; 2) = 2 * 2 = 4; 3) 204: 4 = 51 ; 4) 51 + 86 = 137 b) Numerikus kifejezések „olvasása”.Tudnia kell „olvasni” a numerikus kifejezéseket a műveletek nevei alapján.Numerikus kifejezések : 5+67 – összeg 5. és 67. szám;81 – 9 - különbség 81. és 9. szám; 2 * (5 + 7) - a 2 és az 5 és 7 számok összegének szorzata; 21: (7 – 4) - a 21. osztás hányadosa és a 7 és 4 különbsége;(35 + 7) * (35 – 7) – a 35 és 7 számok összegének és különbségének szorzata.Emlékezz : Egy numerikus kifejezésnek csak egy jelentése van (helyes válasz).2. szakasz: Szó szerinti kifejezések A számokból, betűkből, számtani szimbólumokból és zárójelekből álló rekordot hívjákszó szerinti kifejezés Például: (3 + a) – 17 ; 6 + 3x; a: 3 + 5 * k.A szó szerinti kifejezésekben ugyanazokat a cselekvésjeleket (+, -, *, :) használjuk, mint a numerikusoknál, de gyakran nem írják a szorzójelet a szám és a betű közé. 3* x = 3x.A számokból, számtani szimbólumokból és zárójelekből álló rekordot hívjákMit jelent egy szó szerinti kifejezés jelentésének megtalálása? ? Ehhez cserélje ki a betűt a megfelelőre számértékés hajtsa végre az összes műveletet a fogadottban számszerűen: 1. példa : Keresse meg a 3x + 5 kifejezés értékét, ha x = 15Megoldás: ha x = 15, akkor 3x + 5 = 3 * 15 + 5 = 45 + 5 = 502. példa : Az első dobozban ott voltA almát és körtét tettek beleV 25 kg-os dobozok. Hány alma és körte van összesen? Számítsa ki az eredményül kapott kifejezés értékét, amikorA = 30 , V = 3 . Megoldás: Ha a körtét belehelyeztékV egyenként 25 kg-os dobozok, akkor csak körte volt25V (kg) . Ezért csak alma és körte volta + 25V (kg). Ha a = 30, b + 3, akkor a + 25B = 30 + 25 * 3 = 30 + 75 = 105 (kg).Ne feledje: Egy szó szerinti kifejezésnek végtelen számú jelentése van, amelyek a betűk jelentésétől függenek. Egy betű jelentésének megváltoztatásával minden alkalommal új jelentést kapunk a szó szerinti kifejezésnek.3. szakasz: Képletek Néha egy betűkifejezést egy betű jelöl. Például egy négyzet kerületét betű jelöliR. Aztán írnakP = 4a. Ezt a bejegyzést únképlet a négyzet kerületének kiszámításához. Az általunk ismert képletek:

№p/p

4. szakasz: Egyenletek Egyenlet Egyenlőségnek nevezzük, amely egy ismeretlent tartalmaz, amelynek értékét meg kell találni.Az egyenlet gyökere annak a betűnek az értéke, amelynél az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé válik.Oldja meg az egyenletet - azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy megbizonyosodunk arról, hogy egyáltalán nincsenek.Példa1 : 0 * x = 12 . Ez az egyenletnincsenek gyökerei , mert Ha megszorozzuk a nullát egy számmal, akkor nullát kapunk, és soha nem kapjuk meg a 12-t.2. példa : 0 * x = 0 . Ez az egyenletrendelkezik végtelen halmaz gyökerek, mert Ha megszorozzuk a nullát tetszőleges számmal, mindig nullát kapunk.a) a legegyszerűbb egyenletek: Megtalálni kivonandó, kell a minuendtől kivonni különbség.346 – x = 259x = 346–259x = 87Válasz: x = 87 megtalálni kisebbítendő, kell a különbséghez add hozzá kivonandó.x – 250 = 52x = 250 + 52x = 302Válasz: x = 302 Megtalálni ismeretlen szorzó, kell munka oszt -on ismert szorzó.5*x = 500x = 500:5x = 100Válasz: x = 100 Megtalálni ismeretlen kifejezést, szükség van összegeket kivonni ismert kifejezés.64 + x = 146x = 146–64x = 82válasz: x = 82

Megtalálni osztó, kell osztalék oszt -on magán.240: x = 20x = 240:20x = 12Válasz: x = 12

Megtalálni osztalék, kell magán szaporodnak -on osztó.x: 18 = 6x = 6 * 18x = 108Válasz: x = 108

b) Példák összetett egyenletek megoldására: (x – 50) + 41 = 95, ahol x -50 a termex -50 = 95 - 41x - 50 = 54, ahol x a minuendex = 54 + 50x = 104Válasz: x = 104 77: (x + 10) = 7, ahol x + 10 egy osztóx + 10 = 77: 7x + 10 = 11, ahol x egy termx = 11 – 10x = 1 Válasz: x = 1 83 – (x – 42) = 12, ahol x – 42 – szubtrahendex – 42 = 83 – 12x – 42 = 71, ahol x – minuendex = 71 + 42x = 113Válasz: x = 113 (13 + x) – 58 = 126, ahol 13 + x a minuend13 + x = 126 + 5813 + x = 184, ahol x a termex = 184 – 13x = 171 válasz: x = 171

95 – (99 – x) = 8, ahol 99 – x – subtrahend99 – x = 95 – 899 – x = 87, ahol x – szubtrahendex = 99 – 87x = 12 válasz: x = 12

8 * (x – 14) = 56, ahol x – 14 egy x tényező – 14 = 56: 8x – 14 = 7, ahol x egy minuendex = 7 + 14x = 21 Válasz: x = 21

x: 8 – 6 = 49, ahol x: 8 az oszthatóx: 8 = 49 + 6x: 8 = 55, ahol x az osztalékx = 55 * 8x = 440 Válasz: x = 440 52 + 72: x = 56, ahol 72: x a tag72: x = 56 – 5272: x = 4, ahol x az osztóx = 72: 4x = 18Válasz: x = 18

5. szakasz: Feladatok megoldása egyenletek segítségével A feladatok típusai: 1) Problémák egy változóval Könyvek voltak a polcon. Miután 12 könyvet levettek a polcról és 9-et visszaraktak, 39 könyv volt a polcon. Hány könyv volt először a polcon?

Volt

Megoldás: Legyen X könyv, akkor (X – 12) + 9 = 39 X – 12 = 39 – 9 x – 12 = 30 x = 30 + 12 x = 42 (könyvek) – voltak Válasz: 42 könyv. 2) Problémák két azonos nevű mennyiséggel Két polcon 72 könyv volt. A második polcon 2-szer több volt, mint az elsőn. Hány könyv volt egy-egy polcon?

Első ezred

Megoldás: Legyen X könyv az első polcon, akkor a második polcon volt (2) könyv. Összesen 72 könyv volt a polcokon. Készítsünk egy egyenletet: x + 2x = 72 x (1 + 2) = 72 x 3x = 72 x = 72:3 x = 24 (könyvek) – az 1. polcon2) 24 * 2 = 48 (könyvek) – a 2. polcon Válasz: 24 könyv, 48 könyv.3) Problémák három függő mennyiséggel a) 2 kg almáért és 3 kg körtéért 31 rubelt fizettek. Mennyibe kerül egy kilogramm alma és egy kilogramm körte, ha a körte 2 rubellel drágább, mint az alma?

Gyümölcsök

Megoldás: Legyen 1 kg alma x (dörzsölés), majd 1 kg körte (x + 2) dörzsölés. 2 kg almáért (2x) rubelt, 3 kg körtéért pedig 3* (x + 2) rubelt fizettek a teljes vásárlásért 31 UAH-t. Készítsünk egyenletet: 2x + 3 (x + 2) = 31 2x + 3x + 6 = 31 5x + 6 = 31 5x = 31 - 6 5x = 25; x = 25:5; x = 5 (dörzsölje) – 1 kg almába kerül2) 5 + 2 = 7 (dörzsölje) – 1 kg körte kerül. Válasz: 5 dörzsölje, 7 dörzsölje.b) Két kerékpáros egyszerre száguldott egymás felé olyan falvakból, amelyek távolsága 50 km. 2 óra múlva találkoztak. Az első 12 km/h-s sebességgel haladt. keresse meg a második kerékpáros sebességét.

Kerékpáros

Megoldás: Legyen a második kerékpáros sebessége x km/h, majd ő (2x) km-t ment, az első kerékpáros pedig – (12 * 2) km-t. Teljes távolság 50 km. Készítsünk egy egyenletet: 2x + 12 * 2 = 50 ; 2x + 24 = 50 ; 2x = 50 – 24 2x = 26 x = 26: 2 x = 13 (km/h) – a második kerékpáros sebessége. Válasz: 13 km/h.c) A hajó 51 km-t tett meg a folyó mentén, és 3 órát töltött ezzel. Határozza meg az áramlat sebességét, ha a hajó saját sebessége 15 km/h.

Mozgás

Megoldás: Legyen az aktuális sebesség x km/h, akkor az áram menti sebesség (15 + x) km/h. A hajó távolsága a folyó mentén 3 * (15 + x) km. Készítsünk egyenletet: 3 * (15 + x) = 51 15 + x = 51: 3 15 + x = 17 x = 17 - 15 x = 2 (km/h) – folyó áramlási sebessége Válasz: 2 km/h.

EMLÉKEZTETŐ DIÁKOKNAK

A fő cél az információk rendszerezése, összegzése

az átalakulásokról algebrai kifejezésekés egy változós egyenletek megoldásai.

Az állam szövetségi komponensének követelményével összhangban oktatási színvonal a matematika általános műveltség oktatásának első témája a 7. évfolyamon a „ link» az 5–6. osztályos matematika szak és az algebra szak között.

A bevezető ismétlési órákon ajánlott elvégezni szóbeli munka ismétlés cselekvési szabályok racionális számokkal. A numerikus és értékeinek megtalálása szó szerinti kifejezések lehetőséget ad a számítástechnikai ismeretek erősítésére racionális számok, és ha szükséges (kicsit ellenőrzési munka) tréningek szervezése, házi feladattal ellátott kártyák az azonosított megszüntetésére

ny terek. Komoly figyelmet fordítva a számítási készség fejlesztésére, szisztematikusan végzünk az ülésből szóbeli bemelegítést, számításokat, kommentárokat.

Amikor mérlegeljük kifejezés transzformációk ismételje meg, mert

a számokkal végzett műveletek korábban tanult tulajdonságait, hangsúlyozva azt

ezek képezik az alapot identitás-transzformációk. A szabályok egy további táblán vannak kifüggesztve, hivatkozási jelként kísérik a témával kapcsolatos munkát.

Elméleti információk Az „Egyenletek egyváltozós egyenletek”, például az „egyenletek ekvivalenciája” témakör tanulmányozása során megfogalmazzák és magyarázzák konkrét példák. Nehézségi szint a tanulás során lineáris egyenletek ugyanaz marad, mint a 6. osztályban. Azonban segít a tanulóknak kutatást végezni egy formaegyenlet megoldására ax = b at különböző jelentések

a és b, algebrai eszközök hozzájárulnak az analitikus gondolkodás fejlesztéséhez.

Fontos téma Az „egyenletekkel való problémák megoldása” továbbra is nehéz a legtöbb diák számára. Sok gyerek rosszul olvas

és ha a szemantikai olvasási készségek nem eléggé fejlettek, akkor a tanárnak törekednie kell a tanulók készségeinek korrekciójára az óráikon. A feladat szövegének ismételt felolvasása, párbeszéd kezdeményezése az adatokról, tartalmilag érdekes feladatok kiválasztása, különösen gyakorlati irány- mindez segíti a feladat megértését, összeállítását matematikai modell, vagyis egyenlet. A 7. évfolyamon a munka tovább fejleszti a tanulókban az egyenletapparátus problémamegoldó eszközként való használatának képességét. Az ilyen munka emellett hozzájárul a tanulók másik fontos képességének - a beszédfejlődés - kialakulásához és korrekciójához.

Lehetőség van egy órán a lehető legtöbb feladat megoldására úgy, hogy frontálisan dolgozunk az osztállyal, olykor csak egy egyenlet megalkotására korlátozzuk a munkát, annak megoldása nélkül. A csoportos munka segít a problémamegoldás szakaszainak elkülönítésében.

7. osztályos tanulók protozoonokkal való ismerkedése statisztikai jellemzők: számtani átlag, mód, medián, tartomány, valamint a statisztikai kutatások megszervezésének módszerei - a 8. osztályban áttekintő jellegű, és célja, hogy képet alkosson a statisztikáról, mint a matematika speciális irányáról.

A 8. osztályban a „Kifejezések” témát továbbra is tanulmányozzák racionális törtek. A kifejezések bonyolultságának lehetőség szerinti csökkentésével oda kell figyelni különös figyelmet a törtek összeadás, kivonás, szorzás és osztás végrehajtásának készségeinek fejlesztése, mivel ezek a törtkifejezések alapvető transzformációi.

Funkciók

A matematika egyik alapfogalma az, hogy

7. osztályban kezdődik ( lineáris függvény y = kx + b) és fejlődik

középiskolában ( C= k x , y = x 2 , y = x 3 , y = x- 8. osztályban). Valamennyi funkcionális fogalom kialakítása és megfelelő kialakítása

készségeket, valamint a konkrét funkciók tanulmányozását példák mérlegelése kíséri valódi függőségekértékek között, ami megkönnyíti a megértést oktatási anyag hallgatók számára interdiszciplináris kapcsolatokat hoz létre, segíti az algebra tantárgy alkalmazott orientációjának erősítését.

Fokozat

A téma tanulmányozásakor (7. osztályban - diplomával természetes mutató, a 8 -ban pedig egész kitevővel rendelkező fok) hozzájárulunk a fokokon végzett műveletek végrehajtásának képességének fejlesztéséhez és a fok tulajdonságainak alkalmazásához a számításokban és a kifejezések transzformációjában. Ezt segítik a cselekvési szabályok ismételt ismétlése, kiejtése, referenciajelek a fokozat tulajdonságait tükröző képletek formájában. A fokozatokat tartalmazó kifejezések értékeinek megtalálására irányuló feladatok végrehajtása során különös figyelmet kell fordítani a műveletek sorrendjére.

Hozzávetőleges óratervezés oktatási anyag

Tankönyvi tétel	Leckék száma	Didaktikai anyagok	A tanulói tevékenység főbb típusainak jellemzői
8.1. KÖRÜLBELÜL matematikai nyelv		O-44, P-34	Beszéljétek meg a matematikai nyelv jellemzőit! Írjon matematikai kifejezéseket a matematikai nyelv szintaxisának szabályait figyelembe véve, fogalmazzon kifejezéseket a szó szerinti adatokkal kapcsolatos feladatok feltételei szerint. Használjon betűket matematikai mondatok és általános állítások írásához; fordítást végez a matematikai nyelvről a természetes nyelvre és fordítva. Szemléltet általános megállapítások, levél formájában írva, számpéldák
8.2. Szó szerinti kifejezések és numerikus helyettesítések		-	Beszédszerkezetek létrehozása új terminológiával (szó szerinti kifejezés, numerikus helyettesítés, szó szerinti kifejezés jelentése, érvényes értékek betűk). Számítsa ki a betűkifejezések számértékeit a betűértékek alapján. Keressen érvényes betűértékeket egy kifejezésben. Válaszoljon az ábécé feladatokban szereplő kérdésekre megfelelő kifejezésekkel.
8.3. Képletek. Számítások képletekkel		O-45, P-35, P-36	Készítsen képleteket, amelyek kifejezik a mennyiségek közötti függőséget, beleértve a képen megadott feltételeket is. Számítson képletekkel, fejezzen ki egy mennyiséget egy képletből a többivel
8.4. Képletek a kerületre, a kör területére és a gömb térfogatára			Határozza meg kísérleti úton a kerület és az átmérő arányát! Beszéljétek meg a π szám jellemzőit; további információkat talál erről a számról. Ismerkedjen meg a kerület, a kör területe, a gömb térfogatának képleteivel; számoljon ezekkel a képletekkel. Számítsa ki a figurák méretét! körökkel határoljákés az íveiket. A számítások eredményét képletekkel kerekítse
8.5. Mi az egyenlet		O-46, „Próbáld ki magad”, P-37	Alkosson beszédstruktúrát az „egyenlet”, „egyenletgyökér” szavak felhasználásával. Ellenőrizze, hogy van-e megadott szám a vizsgált egyenlet gyöke. Oldjon meg egyenleteket a cselekvési összetevők közötti függőségek alapján. Készítsen matematikai modelleket (egyenleteket) a szöveges feladatok feltételei alapján
Felülvizsgálat és ellenőrzés

Fő célok: alakítsa ki a tanulók elképzeléseit a betűjelek használatáról, fejlessze a betűkifejezések megalkotásában és jelentésük kiszámításában, valamint a képletekkel való munkavégzésben az alapvető készségeket, és adjon kezdeti megértést egy változós egyenletről.

Fejezet áttekintése. A fejezet a matematika tantárgyi tartalom algebrai blokkjához kapcsolódó anyagokat tartalmazza az 5-6. Csoportosul három alapvető algebrai fogalmak: kifejezés, képlet, egyenlet. Az anyag bemutatása a matematikai nyelv ismeretén alapul, fordításból természetes nyelv a matematikához, a matematikai nyelvhasználat a valóság leírására.

Először a betűk számok jelölésére való felhasználásának kérdését tárgyaljuk, bemutatjuk a szó szerinti kifejezés fogalmát és az olyan kapcsolódó fogalmakat, mint a „numerikus helyettesítés”, „szó szerinti kifejezés jelentése”, „betűk megengedett jelentései”. On elemi szinten megfelelő gyakorlati készségeket fejlesztenek.

A szó szerinti kifejezésekkel kapcsolatos tapasztalatok képezik az alapját a következő szakasz tanulmányozásának, amely a képletek kérdésével foglalkozik. A tanulók képlete egy szó szerinti egyenlőség, amely szimbolikus nyelven ír le egy szabályt. A tanulók képletek formájában írják le azokat a szabályokat, amelyeket bizonyos mennyiségek kiszámításához ismernek (téglalap és négyzet kerülete és területe, térfogata téglalap alakú paralelepipedon stb.) és ismerkedjen meg új geometriai fogalmakés a megfelelő képletek (kerület, egy kör területe, egy gömb térfogata).

A fejezet az egyenletek tárgyalásával zárul. Az egyenlet a feltétel fordításának eredményeként jelenik meg szöveges probléma a matematikai nyelvbe. Az egyenleteket a tantárgy tanulmányozásának ebben a szakaszában az ismert segítségével oldjuk meg általános iskola technika - a cselekvések összetevői közötti függőségen alapul. Hangsúlyozzuk, hogy ez a töredék didaktikai szerepében bevezető állomásként szolgál az „Egyenletek” témához, melynek tanulmányozása a 7. osztályos algebra tanfolyamon kezdődik.

Anyagok az ellenőrzéshez.

Előny " Tesztek" 7. teszt. Betűk és képletek.

Kézikönyv "Tematikus tesztek". 14. teszt. Betűk és képletek.

A matematikai nyelvről

Módszeres megjegyzés

A tanulóknak már van tapasztalatuk a betűk használatában egyszerű kifejezések írására, aritmetikai műveletek tulajdonságaira, kijelölésére ismeretlen dátum. Tudják továbbá a matematikai szimbólumok, például számtani jelek, összehasonlító jelek és zárójelek használatát. Most ezek az ismeretek és készségek szolgálnak alapul a matematikai nyelvről való beszéléshez speciális nyelv tudomány, amelyet a matematika fejlődésével együtt hoztak létre és fejlesztettek.

Az ebben a bekezdésben szereplő gyakorlatok a betűkifejezések és betűegyenletek olvasási és írási készségeinek fejlesztését célozzák. Minden munka fordítási tevékenységként történik a természetes nyelvről a matematikai nyelvre és fordítva. A betûkifejezések értelmes értelmezésére vonatkozó feladatokat célszerû kiegészíteni a tankönyv gyakorlati rendszerével, pl.: „Egy kilogramm csokoládé kerül. A rubel, egy kilogramm karamell kerül b rubel Mit lehet megvásárolni, ha a vételár (rubelben) van a+ b? 3b? 2a? 2a+ b? Mi a kifejezés jelentése a– b?»

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete