Az erő vektor vagy skalár. Vektor mennyiségek és skalárok

A fizika és a matematika nem nélkülözheti a „vektormennyiség” fogalmát. Ismerni és felismerni kell, és tudni kell operálni is vele. Ezt mindenképpen meg kell tanulnod, nehogy összezavarodj és ne kövess el hülye hibákat.

Hogyan lehet megkülönböztetni a skaláris mennyiséget a vektoros mennyiségtől?

Az elsőnek mindig csak egy jellemzője van. Ez a számértéke. A legtöbb skaláris mennyiség pozitív és negatív értéket is felvehet. Ilyen például az elektromos töltés, a munkavégzés vagy a hőmérséklet. De vannak olyan skalárok, amelyek nem lehetnek negatívak, például a hosszúság és a tömeg.

Vektor mennyiség, kivéve számérték, amit mindig modulo-nak veszünk, irány is jellemzi. Ezért ábrázolható grafikusan, azaz nyíl formájában, amelynek hossza megegyezik egy adott irányba irányított abszolút értékkel.

Íráskor az egyes vektormennyiségeket nyíljel jelzi a betűn. Ha számértékről beszélünk, akkor a nyilat nem írják ki, vagy modulo veszik.

Milyen műveleteket hajtanak végre leggyakrabban vektorokkal?

Először is egy összehasonlítás. Lehetnek egyenlőek, de lehet, hogy nem. Az első esetben a moduljaik megegyeznek. De nem ez az egyetlen feltétel. Nekik is kell egyforma ill ellentétes irányokba. Az első esetben hívni kell őket egyenlő vektorok. A másodikban kiderül, hogy ellentétesek. Ha a megadott feltételek közül legalább egy nem teljesül, akkor a vektorok nem egyenlőek.

Aztán jön a kiegészítés. Két szabály szerint készülhet: háromszög vagy paralelogramma. Az első előírja, hogy először egy vektort kell eldobni, majd a végétől a másodikat. Az összeadás eredménye az lesz, amelyet az első elejétől a második végéig kell húzni.

A paralelogramma szabály használható vektormennyiségek összeadásakor a fizikában. Az első szabállyal ellentétben itt egy pontról el kell halasztani. Majd építsd fel őket paralelogrammává. A cselekvés eredményét az ugyanabból a pontból húzott paralelogramma átlójának kell tekinteni.

Ha egy vektormennyiséget kivonunk egy másikból, akkor ismét egy pontból ábrázoljuk őket. Csak az eredmény olyan vektor lesz, amely egybeesik azzal, amit a második végétől az első végéig ábrázoltunk.

Milyen vektorokat tanulmányoznak a fizikában?

Ahány skalár van belőlük. Egyszerűen emlékezhet arra, hogy milyen vektormennyiségek léteznek a fizikában. Vagy ismeri azokat az előjeleket, amelyek alapján kiszámíthatók. Azok számára, akik az első lehetőséget választják, ez a táblázat hasznos lesz. Bemutatja a fő vektorfizikai mennyiségeket.

Most egy kicsit többet ezekről a mennyiségekről.

Az első mennyiség a sebesség

Érdemes a vektormennyiségek példáival kezdeni. Ez annak köszönhető, hogy az elsők között van tanulmányozva.

A sebesség a test térbeli mozgásának jellemzője. Beállítja a számértéket és az irányt. Ezért a sebesség vektormennyiség. Ráadásul típusokra is szokás osztani. Az első az lineáris sebesség. Bevezetésre kerül, ha egy egyenes vonalat veszünk figyelembe egyenletes mozgás. Ugyanakkor kiderül egyenlő az aránnyal a test által a mozgás idejéig megtett távolság.

Ugyanez a képlet akkor használható, ha egyenetlen mozgás. Csak akkor lesz átlagos. Ezenkívül a kiválasztandó időintervallumnak a lehető legrövidebbnek kell lennie. Amikor az időintervallum nullára hajlik, a sebességérték már pillanatnyi.

Ha tetszőleges mozgást vesszük figyelembe, akkor a sebesség mindig vektormennyiség. Hiszen minden, a koordinátavonalakat irányító vektor mentén komponensekre kell bontani. Ezenkívül az idő függvényében vett sugárvektor deriváltjaként definiálható.

A második mennyiség az erő

Meghatározza a más testek vagy mezők által a testre kifejtett hatás intenzitásának mértékét. Mivel az erő vektormennyiség, szükségszerűen megvan a maga nagysága és iránya. Mivel a testre hat, az is fontos, hogy melyik pontra érvényesül az erő. Megszerezni vizuális ábrázolás az erővektorokról a következő táblázatban olvashat.

Szintén egy másik vektormennyiség az eredő erő. A testre ható összes erő összegeként határozzuk meg mechanikai erők. Meghatározásához összeadást kell végezni a háromszögszabály elve szerint. Csak egyenként kell letenni a vektorokat az előző végéről. Az eredmény az lesz, amely összeköti az első elejét az utolsó végével.

A harmadik mennyiség az elmozdulás

Mozgás közben a test egy bizonyos vonalat ír le. Ezt hívják pályának. Ez a vonal teljesen más lehet. Kiderült, hogy nem ő a fontosabb megjelenés, valamint a mozgás kezdő- és végpontja. Ezeket egy fordításnak nevezett szegmens köti össze. Ez is egy vektormennyiség. Sőt, mindig a mozgás elejétől arra a pontra irányul, ahol a mozgás leállt. Kijelölni szokás latin betű r.

Itt a következő kérdés merülhet fel: „Az út vektormennyiség?” IN általános eset ez az állítás nem igaz. Útvonal hosszával egyenlő pályája, és nincs konkrét iránya. Kivételt képez az a helyzet, amikor egy irányú egyenes vonalú mozgást veszünk figyelembe. Ekkor az eltolásvektor nagysága értékben egybeesik az úttal, és irányuk megegyezik. Ezért, ha egy egyenes vonal mentén történő mozgást veszünk figyelembe anélkül, hogy megváltoztatnánk a mozgás irányát, akkor az útvonalat be lehet venni vektormennyiségek példáiba.

A negyedik mennyiség a gyorsulás

Ez a sebességváltozás sebességének jellemzője. Ráadásul a gyorsulásnak lehetnek pozitív és negatív értékei is. at egyenes mozgás oldalra van irányítva nagyobb sebesség. Ha a mozgás együtt történik görbe vonalú pálya, akkor a gyorsulási vektora két komponensre bomlik, amelyek közül az egyik a sugár mentén a görbületi középpont felé irányul.

Megkülönböztetik az átlagos és a pillanatnyi gyorsulási értékeket. Az elsőt úgy kell kiszámítani, mint a sebesség változásának egy bizonyos időtartamon belüli és ehhez az időhöz viszonyított arányát. Amikor a vizsgált időintervallum nullára hajlik, pillanatnyi gyorsulásról beszélünk.

Ötödik érték - lendület

Más módon mozgásmennyiségnek is nevezik. A lendület vektormennyiség, mert közvetlenül összefügg a testre ható sebességgel és erővel. Mindkettőnek van iránya, és azt adják az impulzusnak.

Értelemszerűen az utolsó egyenlő a termékkel testsúly a sebességhez. A test lendületének fogalmát használva másként írhatjuk fel Newton jól ismert törvényét. Kiderül, hogy az impulzus változása egyenlő az erő és egy időtartam szorzatával.

A fizikában fontos szerepet rendelkezik az impulzus megmaradásának törvényével, amely kimondja, hogy a testek zárt rendszerében a teljes lendülete állandó.

Nagyon röviden felsoroltuk, hogy mely mennyiségeket (vektorokat) tanulmányozzuk a fizika tantárgyon.

Rugalmatlan ütési probléma

Állapot. A síneken álló peron van. Egy kocsi 4 m/s sebességgel közeledik felé. A platform és az autó tömege 10, illetve 40 tonna. Az autó nekiütközik a platformnak, és automatikus kapcsolás történik. Az ütközés után ki kell számítani az „autó-platform” rendszer sebességét.

Megoldás. Először a következő jelöléseket kell megadni: az autó sebessége ütközés előtt v1, az autó sebessége a platformmal a csatlakoztatás után v, az autó tömege m1, a platform tömege m2. A feladat feltételei szerint ki kell deríteni a v sebesség értékét.

Az ilyen feladatok megoldásának szabályai megkövetelik a rendszer sematikus ábrázolását az interakció előtt és után. Célszerű az OX tengelyét a sínek mentén a kocsi mozgásának irányába irányítani.

Ilyen feltételek mellett az autó rendszere zártnak tekinthető. Ezt az határozza meg, hogy külső erők elhanyagolható. A gravitáció és a támasztó reakció egyensúlyban van, és a sínek súrlódását nem veszik figyelembe.

Az impulzus megmaradásának törvénye szerint ezek vektorösszege az autó és a platform kölcsönhatása előtt megegyezik az ütközés utáni tengelykapcsoló összértékével. Eleinte az emelvény nem mozdult, így a lendülete az volt egyenlő nullával. Csak az autó mozdult, lendülete az m1 és a v1 szorzata.

Mivel az ütközés rugalmatlan volt, vagyis az autó összekötött a platformmal, majd együtt kezdtek el gurulni ugyanabba az irányba, a rendszer impulzusa nem változtatott irányt. De a jelentése megváltozott. Mégpedig az autó tömegének a platformmal és a kívánt sebességnek a szorzata.

A következő egyenlőséget írhatja fel: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Ez igaz lesz az impulzusvektoroknak a kiválasztott tengelyre történő vetítésére. Ebből könnyen levezethető a kívánt sebesség kiszámításához szükséges egyenlőség: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

A szabályok szerint a tömegértékeket tonnáról kilogrammra kell átszámítani. Ezért, amikor behelyettesíti őket a képletbe, először meg kell szoroznia az ismert mennyiségeket ezerrel. Egyszerű számítások adjon meg egy 0,75 m/s számot.

Válasz. Az autó sebessége a platformmal együtt 0,75 m/s.

Probléma a test részekre osztásával

Állapot. A repülő gránát sebessége 20 m/s. Két részre szakad. Az első súlya 1,8 kg. Továbbra is abba az irányba halad, amerre a gránát 50 m/s sebességgel repült. A második töredék tömege 1,2 kg. Mekkora a sebessége?

Megoldás. Jelöljük a töredékek tömegét m1 és m2 betűkkel. Sebességük v1, illetve v2 lesz. Kezdeti sebesség gránátok - v. A probléma a v2 értékének kiszámítását igényli.

Ahhoz, hogy a nagyobb töredék továbbra is ugyanabban az irányban mozogjon, mint a teljes gránát, a másodiknak be kell repülnie hátoldal. Ha a kiindulási impulzusnál lévő tengely irányát választja, akkor a törés után a nagy töredék a tengely mentén, a kicsi pedig a tengely ellen repül.

Ebben a problémában megengedett a lendület megmaradásának törvénye, mivel a gránát azonnal felrobban. Ezért annak ellenére, hogy a gravitáció hat a gránátra és annak részeire, nincs ideje hatni, és abszolút értékével megváltoztatni az impulzusvektor irányát.

A gránátrobbanás utáni impulzus vektornagyságainak összege megegyezik a gránátrobbanás előttivel. Ha felírjuk egy test lendületének megmaradásának törvényét az OX tengelyre vetítve, akkor az így fog kinézni: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Ebből könnyen kifejezhető a szükséges sebesség. Ezt a következő képlet határozza meg: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Csere után számértékek a számítások pedig 25 m/s-ot adnak.

Válasz. A kis töredék sebessége 25 m/s.

Probléma a szögből történő fényképezéssel kapcsolatban

Állapot. Egy pisztolyt M tömegű platformra szerelnek. m tömegű lövedéket lő ki. A horizonthoz képest α szögben repül ki v sebességgel (a talajhoz viszonyítva). A lövés után tudnia kell a platform sebességét.

Megoldás. Ebben a feladatban használhatja az impulzus megmaradásának törvényét az OX tengelyre történő vetítésben. De csak abban az esetben, ha a külső eredő erők vetülete nulla.

Az OX tengely irányához ki kell választani azt az oldalt, ahol a lövedék repül, és párhuzamosan a vízszintes vonallal. Ebben az esetben a gravitációs erők vetületei és a támasz OX-re adott reakciója nulla lesz.

A probléma ben megoldódik általános nézet, mivel az ismert mennyiségekre nincs konkrét adat. A válasz egy képlet.

A rendszer lendülete a lövés előtt nulla volt, mivel a platform és a lövedék álló helyzetben volt. Jelölje a kívánt platformsebességet latin u betűvel. Ekkor a lövés utáni lendületet a tömeg és a sebesség vetületének szorzataként határozzuk meg. Mivel a platform visszagurul (az OX tengely irányával szemben), az impulzusérték mínusz előjelű lesz.

A lövedék lendülete a tömegének és a sebesség OX tengelyre való vetületének a szorzata. Tekintettel arra, hogy a sebesség a horizonthoz képest szöget zár be, vetülete megegyezik a sebesség és a szög koszinuszának szorzatával. A szó szerinti egyenlőségben ez így fog kinézni: 0 = - Mu + mv * cos α. Ebből egyszerű transzformációkkal megkapjuk a válaszképletet: u = (mv * cos α) / M.

Válasz. A peron sebességét az u = (mv * cos α) / M képlet határozza meg.

Folyóátkelő probléma

Állapot. A folyó szélessége teljes hosszában azonos és egyenlő l, partjai párhuzamosak. Ismert a víz áramlási sebessége a v1 folyóban és a hajó saját sebessége v2. 1). Átkeléskor a csónak orra szigorúan a szemközti part felé irányul. Meddig s szállítják lefelé? 2). Milyen α szögbe kell irányítani a csónak orrát, hogy a kiindulási pontra szigorúan merőlegesen érje el a szemközti partot? Mennyi ideig tart egy ilyen átkelés?

Megoldás. 1). A csónak teljes sebessége két mennyiség vektorösszege. Ezek közül az első a folyó áramlása, amely a partok mentén halad. A második a hajó saját sebessége, merőleges a partokra. A rajzon kettő látható háromszöghöz hasonló. Az elsőt a folyó szélessége és az a távolság alkotja, amelyen a csónak sodródik. A második a sebességvektorok.

Ezekből a következő bejegyzés következik: s / l = v1 / v2. A transzformáció után megkapjuk a kívánt érték képletét: s = l * (v1 / v2).

2). A feladatnak ebben a változatában a teljes sebességvektor merőleges a partokra. Ez egyenlő vektor összege v1 és v2. Annak a szögnek a szinusza, amellyel a természetes sebességvektornak el kell térnie egyenlő az aránnyal modulok v1 és v2. Az utazási idő kiszámításához el kell osztania a folyó szélességét a kiszámított teljes sebességgel. Ez utóbbi értékét a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki.

v = √(v22 – v12), akkor t = l / (√(v22 – v12)).

Válasz. 1). s = l* (v1/v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

A matematikában a vektor egy meghatározott hosszúságú irányított szegmens. A fizikában a vektormennyiséget úgy értjük teljes leírás valamilyen fizikai mennyiség, amelynek van modulusa és hatásiránya. Mérlegeljük alapvető tulajdonságait vektorok, valamint példák olyan fizikai mennyiségekre, amelyek vektorok.

Skalárok és vektorok

A skaláris mennyiségek a fizikában olyan paraméterek, amelyek mérhetők és egyetlen számmal ábrázolhatók. Például a hőmérséklet, a tömeg és a térfogat skalárok, mert mértékük fokban, kilogrammban és köbméter illetőleg.

A legtöbb esetben kiderül, hogy a skaláris mennyiséget meghatározó szám nem tartalmaz átfogó információt. Például ezt figyelembe véve fizikai jellemzők, gyorsulásként nem lesz elég azt mondani, hogy 5 m/s 2, hiszen tudni kell, hogy hova irányul, a test sebességével szemben, ezzel a sebességgel valamilyen szögben vagy más módon. A gyorsulás mellett a vektormennyiségre példa a fizikában a sebesség. Ebbe a kategóriába tartozik még az erő, a feszültség elektromos mezőés még sokan mások.

A vektormennyiség mint térbe irányított szakasz definíciója szerint számok halmazaként (vektorkomponensként) ábrázolható, ha egy bizonyos koordináta-rendszerben tekintjük. Leggyakrabban a fizikában és a matematikában merülnek fel olyan problémák, amelyek egy vektor leírásához két (síkbeli problémák) vagy három (térbeli problémák) összetevőjének ismerete szükséges.

Egy vektor definíciója n-dimenziós térben

IN n- dimenziós tér, ahol n egész szám, akkor a vektor egyedileg meghatározott lesz, ha n komponense ismert. Mindegyik komponens a vektor végének koordinátáját jelenti a megfelelő koordinátatengely mentén, feltéve, hogy a vektor eleje az n-dimenziós tér koordinátarendszerének origójában van. Ennek eredményeként a vektor a következőképpen ábrázolható: v = (a 1, a 2, a 3, ..., a n), ahol a 1 a v vektor 1. komponensének skaláris értéke. Ennek megfelelően a 3 dimenziós térben a vektort a következőképpen írjuk fel: v = (a 1, a 2, a 3), a 2 dimenziós térben pedig - v = (a 1, a 2).

Hogyan jelöljük a vektormennyiséget? Az 1-, 2- és 3-dimenziós terekben bármely vektor ábrázolható irányított szegmensként, amely A és B pontok között helyezkedik el. Ebben az esetben AB →-vel jelöljük, ahol a nyíl azt jelzi, hogy arról beszélünk egy vektormennyiségről. A betűk sorrendjét általában a vektor elejétől a végéig jelzik. Ez azt jelenti, hogy ha például a 3-dimenziós térben az A és B pont koordinátái egyenlőek (x 1, y 1, z 1) és (x 2, y 2, z 2), akkor a az AB → vektor komponensei egyenlőek lesznek (x 2 -x 1, y 2 -y 1, z 2 -z 1).

Vektor grafikus ábrázolása

A rajzokon szokás egy vektormennyiséget szegmensként ábrázolni, a végén egy nyíl jelzi annak a fizikai mennyiségnek a hatásirányát, amelyet ábrázol. Ezt a szegmenst általában például v → vagy F → előjellel látják el, hogy egyértelmű legyen, milyen jellemzőről beszélünk.

A vektor grafikus ábrázolása segít megérteni, hol alkalmazzák, és milyen irányban hat. fizikai mennyiség. Ezenkívül kényelmes számos matematikai művelet végrehajtása vektorokon a képeik segítségével.

Matematikai műveletek vektorokon

Vektor mennyiségek, pont úgy szabályos számok, összeadható, kivonható és szorozható egymással és más számokkal is.

Két vektor összege a harmadik vektor, amelyet akkor kapunk, ha az összegzett paramétereket úgy rendezzük el, hogy az első vége egybeessen a második vektor kezdetével, majd összekapcsoljuk az első vektor elejét és a végét. második. Ennek megvalósításához matematikai művelet Három fő módszert fejlesztettek ki:

1. A paralelogramma módszer konstrukcióból áll geometriai alakzat két vektoron, amelyek a tér egyazon pontjából származnak. Ennek a paralelogrammának az átlója, amely abból származik közös pont a vektorok eleje lesz az összegük.
2. A poligon módszer, melynek lényege, hogy minden következő vektor eleje az előző végén legyen, majd a teljes vektor összekapcsolja az első elejét és az utolsó végét.
3. Analitikai módszer, amely ismert vektorok megfelelő komponenseinek páronkénti összeadásából áll.

Ami a vektormennyiségek különbségét illeti, ez helyettesíthető úgy, hogy az első paramétert hozzáadjuk a másodikkal ellentétes irányú paraméterrel.

Egy vektor egy bizonyos A számmal való szorzását a egyszerű szabály: A vektor minden komponensét meg kell szorozni ezzel a számmal. Az eredmény egy olyan vektor is, amelynek modulusa A-szor nagyobb, mint az eredetié, és az irány azonos vagy ellentétes az eredetivel, minden az A szám előjelétől függ.

Egy vektort vagy egy számot nem oszthatunk vele, de ha egy vektort osztunk az A számmal, az hasonló az 1/A számmal való szorzáshoz.

Pont és kereszt szorzat

A vektoros szorzás kettővel is elvégezhető különféle módokon: skalár és vektor.

A vektormennyiségek skaláris szorzata egy szorzási módszer, amelynek eredménye egy szám, azaz skalár. Mátrix formában pont termék az 1. vektor sorkomponenseként a 2. vektor oszlopkomponensébe íródik. Ennek eredményeként az n-dimenziós térben a következő képletet kapjuk: (A → *B →) = a 1 *b 1 +a 2 *b 2 +...+a n *b n .

A 3-dimenziós térben a pontszorzat különbözőképpen definiálható. Ehhez meg kell szorozni a megfelelő vektorok moduljait a köztük lévő szög koszinuszával, azaz (A → *B →) = |A → |*|B → |*cos(θ AB). Ebből a képletből az következik, hogy ha a vektorok ugyanabba az irányba vannak irányítva, akkor a skaláris szorzat egyenlő a moduljaik szorzatával, és ha a vektorok merőlegesek egymásra, akkor ez nullának bizonyul. Vegye figyelembe, hogy a vektor modulusa in téglalap alakú rendszer koordinátákat úgy határozzuk meg négyzetgyök ennek a vektornak az összetevőinek négyzetösszegéből.

A vektorszorzat alatt egy vektornak egy vektorral való szorzatát értjük, aminek eredménye is egy vektor. Iránya az egyes szorzott paraméterekre merőlegesnek bizonyul, hossza pedig egyenlő a vektorok modulusainak és a közöttük lévő szög szinuszának szorzatával, azaz A → x B → = |A → | *|B → |*sin(θ AB), ahol az "x" jel jelentése vektor termék. Mátrix formában ezt a szorzattípust determinánsként ábrázoljuk, melynek sorai egy adott koordinátarendszer elemi vektorai és az egyes vektorok komponensei.

A matematikában és a fizikában a skaláris és a keresztszorzatot is használják számos mennyiség meghatározására, például az ábrák területére és térfogatára.

Sebesség és gyorsulás

A sebességen a fizikában az adott hely helyének változási sebességét értjük anyagi pont. A sebességet SI egységben mérik méter per másodpercben (m/s), és a v → szimbólummal jelöljük. A gyorsulás azt a sebességet jelenti, amellyel a sebesség változik. A gyorsulás mértéke méter per négyzetmásodperc (m/s2), és általában a → szimbólummal jelöljük. Az 1 m/s2 érték azt jelenti, hogy a test másodpercenként 1 m/s-al növeli a sebességét.

A sebesség és a gyorsulás olyan vektormennyiségek, amelyek részt vesznek Newton második törvényének képleteiben és a test elmozdulásában, mint anyagi pontban. A sebesség mindig a mozgás iránya mentén irányul, de a gyorsulás a mozgó testhez képest bármilyen módon irányítható.

Fizikai mennyiségi erő

Az erő egy vektorfizikai mennyiség, amely a testek közötti kölcsönhatás intenzitását tükrözi. Ezt az F → szimbólum jelöli, és newtonban (N) mérik. Definíció szerint 1 N olyan erő, amely képes egy 1 kg tömegű test sebességét 1 m/s-kal megváltoztatni minden másodpercben.

Ezt a fizikai mennyiséget széles körben alkalmazzák a fizikában, mivel a kölcsönhatási folyamatok energetikai jellemzői hozzá kapcsolódnak. Az erő jellege nagyon eltérő lehet, pl. gravitációs erők bolygók, az erő, amely mozgatja az autót, a szilárd közegek rugalmas erői, elektromos erők, leírja a viselkedést elektromos töltések, mágneses, nukleáris erők, amelyek meghatározzák a stabilitást atommagokés így tovább.

Vektor mennyiségi nyomás

Az erő fogalmához szorosan kapcsolódó másik mennyiség a nyomás. A fizikában ez az erő normál vetülete arra a területre, amelyen hat. Mivel az erő vektor, így egy szám vektorral való szorzásának szabálya szerint a nyomás is vektormennyiség lesz: P → = F → /S, ahol S a terület. A nyomást pascalban (Pa) mérik, 1 Pa az a paraméter, amelynél 1 N értékű merőleges erő hat 1 m2-es felületre. A definíció alapján a nyomásvektor az erővektorral azonos irányban irányul.

A fizikában a nyomás fogalmát gyakran használják folyadékok és gázok jelenségeinek tanulmányozására (például Pascal törvénye vagy az ideális gáz állapotegyenlete). A vérnyomás szorosan összefügg a testhőmérséklettel, mert mozgási energia atomok és molekulák, amelyek reprezentációja a hőmérséklet, megmagyarázza magának a nyomásnak a létezésének természetét.

Elektromos térerősség

Bármely töltött test körül elektromos tér van, amelynek jellemzője az intenzitása. Ezt az intenzitást úgy definiáljuk, mint az elektromos tér egy adott pontjában az erre a pontra helyezett egységnyi töltésre ható erőt. Az elektromos térerősséget E → betűvel jelöljük, és newton per coulomb-ban (N/C) mérjük. A feszültségvektor mentén irányul elektromos vezeték elektromos mező az irányába, ha a töltés pozitív, és ellene, ha a töltés negatív.

A létrehozott elektromos tér intenzitása ponttöltés, bárhol meghatározható a Coulomb-törvény segítségével.

Mágneses indukció

Mágneses tér, ahogy a XIX Maxwell tudósokés Faraday, szorosan összefügg az elektromos térrel. Így a változó elektromos tér mágneses teret hoz létre, és fordítva. Ezért mindkét típusú mezőt elektromágneses fizikai jelenségekkel írják le.

A mágneses indukció leírja szilárdsági tulajdonságok mágneses mező. A mágneses indukció skaláris vagy vektoros mennyiség? Ezt úgy érthetjük meg, ha tudjuk, hogy egy q töltésre ható F → erő határozza meg, amely v → sebességgel repül egy mágneses térben, a következő képlet szerint: F → = q*|v → x B → |, ahol B → - mágneses indukció. Így arra a kérdésre válaszolva, hogy a mágneses indukció skalár vagy vektormennyiség, azt mondhatjuk, hogy ez egy északról irányított vektor mágneses pólus délre. B-t → teslában (T) mérjük.

Fizikai mennyiség kandela

Egy másik példa a vektormennyiségre a kandela, amely a fizikába lumenben mért fényáramként kerül be, amely egy szteradián szöggel határolt felületen halad át. A Candela a fény fényességét tükrözi, mert jelzi a fényáram sűrűségét.

Mennyiségek (szigorúan véve 2-es vagy annál magasabb rangú tenzorok). Szembeállítható bizonyos teljesen más matematikai természetű tárgyakkal is.

A legtöbb esetben a vektor kifejezést a fizikában az úgynevezett „fizikai térben”, azaz a közönséges háromdimenziós térben lévő vektor megjelölésére használják. klasszikus fizika vagy négydimenziós téridőben in modern fizika(V az utóbbi eset a vektor és a vektormennyiség fogalma egybeesik a fogalommal 4-vektorés 4 vektoros magnitúdó).

A „vektormennyiség” szóhasználat ezzel gyakorlatilag kimerül. Ami a „vektor” kifejezés használatát illeti, az ugyanarra az alkalmazási területre való alapértelmezett hajlam ellenére a nagy mennyiségben az esetek még mindig messze túlmutatnak ezen a határon. További információért lásd alább.

Enciklopédiai YouTube

1 / 3

8. lecke. Vektoros mennyiségek. Műveletek vektorokon.

VEKTOR - mi ez és miért van szükség rá, magyarázat

FIZIKAI MENNYISÉGEK MÉRÉSE 7. osztály | Romanov

Feliratok

A kifejezések használata vektorÉs vektor mennyiség a fizikában

Általában a fizikában a vektor fogalma szinte teljesen egybeesik a matematikával. Mindazonáltal egy terminológiai sajátosság kapcsolódik ahhoz, hogy a modern matematikában ez a fogalom kissé túlzottan elvont (a fizika igényeihez képest).

A matematikában, amikor azt mondjuk, hogy „vektor”, inkább általánosságban vett vektort értünk alatta, vagyis bármilyen absztrakt természetű vektort. lineáris tér bármilyen dimenziójú és természetű, ami ha nem teszünk különösebb erőfeszítést, akár zavart is okozhat (persze nem annyira lényegében, hanem a szóhasználat könnyedsége szempontjából). Ha pontosítani kell, akkor a matematikai stílusban vagy elég hosszan kell beszélni („ilyen és olyan tér vektora”), vagy szem előtt kell tartani, amit a kifejezetten leírt kontextus sugall.

A fizikában szinte mindig nem beszélünk matematikai objektumok(bizonyos formai tulajdonságokkal rendelkező) általánosságban, de sajátos („fizikai”) kötöttségükről. Ha figyelembe vesszük ezeket a specifikussági megfontolásokat, valamint a rövidség és a kényelem szempontjait, akkor érthető, hogy a fizika terminológiai gyakorlata jelentősen eltér a matematikáétól. Ez utóbbi azonban nem tartalmazza nyilvánvaló ellentmondás. Ez néhány egyszerű „trükkel” elérhető. Mindenekelőtt ezek közé tartozik a kifejezés alapértelmezés szerinti használatára vonatkozó megállapodás (ha a kontextus nincs konkrétan meghatározva). Így a fizikában, a matematikától eltérően, a vektor szó további pontosítás nélkül általában nem „bármely lineáris tér valamely vektorát általában”, hanem elsősorban a „közönséges fizikai térhez” kapcsolódó vektort jelenti. háromdimenziós tér klasszikus fizika vagy a relativisztikus fizika négydimenziós téridő). A „fizikai térhez” vagy „téridőhöz” nem közvetlenül és közvetlenül kapcsolódó terek vektoraihoz speciális neveket használnak (néha a „vektor” szót is beleértve, de pontosítással). Ha valamilyen tér olyan vektorát vezetik be az elméletbe, amely nem közvetlenül és közvetlenül kapcsolódik a „fizikai térhez” vagy „téridőhöz” (és amelyet nehéz valahogyan határozottan azonnal jellemezni), akkor azt gyakran kifejezetten „absztrakt vektornak” nevezik. .”

Minden, ami elhangzott benne nagyobb mértékben, mint a „vektor” kifejezés a „vektormennyiség” kifejezésre utal. A csend ebben az esetben még szigorúbban a „hétköznapi térhez” vagy téridőhöz való kötődést vonja maga után, és absztrakt vektorterek elemekkel kapcsolatos felhasználásával gyakorlatilag soha nem találkozunk, legalábbis egy ilyen alkalmazás tűnik a legritkább kivételnek (ha egyáltalán nem foglalás).

A fizikában a vektorokat leggyakrabban és a vektormennyiségeket - szinte mindig - két egymáshoz hasonló osztályú vektoroknak nevezik:

Példák vektorfizikai mennyiségekre: sebesség , erő, hőáramlás.

A vektormennyiségek keletkezése

Hogyan kapcsolódnak a fizikai „vektormennyiségek” a térhez? Mindenekelőtt az a szembetűnő, hogy a vektormennyiségek dimenziója (a kifejezés használatának szokásos, fentebb kifejtett értelmében) egybeesik ugyanannak a „fizikai” (és „geometriai”) térnek a dimenziójával. Például egy háromdimenziós tér és az elektromos mezők vektora háromdimenziós. Intuitív módon az is észrevehető, hogy bármely vektorfizikai mennyiségnek, bármilyen homályos kapcsolata is van a közönséges térbeli kiterjedéssel, ennek ellenére nagyon határozott iránya van ebben a hétköznapi térben.

Kiderült azonban, hogy sokkal többet lehet elérni, ha a fizika vektormennyiségeinek teljes halmazát közvetlenül „redukáljuk” a legegyszerűbb „geometriai” vektorokra, vagy inkább egyetlen vektorra - az elemi elmozdulás vektorára, és ez több lenne. helyesen mondjuk – mindet abból származtatva.

Ennek az eljárásnak két különböző (bár lényegében egymást részleteiben ismétlődő) megvalósítása van a klasszikus fizika háromdimenziós esetére és a modern fizikában megszokott négydimenziós tér-idő megfogalmazásra.

Klasszikus 3D tok

A szokásos háromdimenziós „geometrikus” térből indulunk ki, amelyben élünk és mozoghatunk.

Vegyük kezdő- és referenciavektornak az infinitezimális elmozdulás vektorát. Eléggé nyilvánvaló, hogy ez egy szabályos "geometriai" vektor (mint egy véges eltolási vektor).

Most azonnal jegyezzük meg, hogy egy vektort skalárral megszorozva mindig új vektort kapunk. Ugyanez mondható el a vektorok összegéről és különbségéről. Ebben a fejezetben nem teszünk különbséget poláris és axiális vektorok között, ezért megjegyezzük, hogy két vektor keresztszorzata is új vektort ad.

Ezenkívül az új vektor megadja a vektor differenciálását a skalárhoz képest (mivel egy ilyen derivált a vektorok különbségének a skalárhoz viszonyított arányának határa). Ez a továbbiakban elmondható minden magasabb rendű származékról. Ugyanez igaz a skalárok (idő, térfogat) feletti integrációra is.

Most vegye figyelembe, hogy a sugárvektor alapján r vagy elemi elmozdulásból d r, könnyen megérthetjük, hogy a vektorok (mivel az idő skalár) olyan kinematikai mennyiségek, mint

Sebességből és gyorsulásból skalárral (tömeggel) szorozva azt kapjuk

Mivel most a pszeudovektorok iránt érdeklődünk, megjegyezzük

• képlet segítségével Lorentz erők Az elektromos térerősség és a mágneses indukciós vektor az erő- és sebességvektorokhoz van kötve.

Folytatva ezt az eljárást, rájövünk, hogy az összes általunk ismert vektormennyiség immár nemcsak intuitívan, hanem formálisan is az eredeti térhez van kötve. Ugyanis bizonyos értelemben mindegyik annak eleme, hiszen lényegében más vektorok lineáris kombinációjaként fejeződnek ki (skaláris tényezőkkel, esetleg dimenziós, de skaláris, tehát formálisan meglehetősen legális).

Modern négydimenziós tok

Ugyanez az eljárás elvégezhető négydimenziós mozgás alapján is. Kiderült, hogy minden 4 vektoros mennyiség 4-eltolódásból „származik”, tehát bizonyos értelemben ugyanazok a téridő-vektorok, mint maga a 4-eltolódás.

A vektorok fajtái a fizikával kapcsolatban

• Poláris vagy igaz vektor- egy közönséges vektor.
• Axiális vektor(pszeudovektor) - valójában nem valós vektor, de formálisan szinte semmiben sem különbözik az utóbbitól, kivéve, hogy a koordináta-rendszer orientációjának megváltozásakor irányt változtat (pl. tükörkép koordinátarendszerek). Példák pszeudovektorokra: két poláris vektor keresztszorzatán keresztül meghatározott összes mennyiség.
• Az erőknek több különböző

Vektorok erős eszköz matematika és fizika. A mechanika és az elektrodinamika alaptörvényei a vektorok nyelvén vannak megfogalmazva. A fizika megértéséhez meg kell tanulnia, hogyan kell vektorokkal dolgozni.

Ez a fejezet tartalmazza részletes nyilatkozat a mechanika tanulásának megkezdéséhez szükséges anyagok:

! Vektor kiegészítés

! Skalár szorzása vektorral

! Szög vektorok között

! Vektor vetítése egy tengelyre

! Vektorok és koordináták a síkon

! Vektorok és koordináták a térben

! Vektorok pontszorzata

Hasznos lesz visszatérni a jelentkezés szövegéhez az első évben a tanulás során analitikus geometriaÉs lineáris algebra hogy megértsük például, honnan származnak a lineáris és az euklideszi tér axiómái.

7.1 Skaláris és vektoros mennyiségek

A fizika tanulmányozása során kétféle mennyiséggel találkozunk: skalárral és vektorral.

Meghatározás. A skaláris mennyiség vagy skalár olyan fizikai mennyiség, amelyhez (megfelelő mértékegységekben) egy szám elegendő.

A fizikában nagyon sok skalár létezik. A testsúly 3 kg, a levegő hőmérséklete 10 C, a hálózati feszültség 220 V. . . Mindezekben az esetekben a minket érdeklő mennyiség egyetlen számmal van megadva. Ezért tömeg, hőmérséklet és elektromos feszültség skalárok.

De a skalár a fizikában nem csak egy szám. A skalár 1-es dimenzióval ellátott szám. Tehát a tömeg megadásakor nem írhatunk m = 3-at; Meg kell adnia a mértékegységet, például m = 3 kg. És ha a matematikában összeadhatjuk a 3-as és a 220-as számokat, akkor a fizikában 3 kilogrammot és 220 voltot nem tudunk összeadni: csak azokat a skalárokat van jogunk összeadni, amelyek mérete megegyezik (tömeg a tömeggel, feszültség a feszültséggel stb.). ) .

Meghatározás. A vektormennyiség vagy vektor olyan fizikai mennyiség, amelyet a következők jellemeznek: 1) egy nem negatív skalár; 2) irány a térben. Ebben az esetben a skalárt a vektor modulusának vagy abszolút értékének nevezzük.

Tegyük fel, hogy az autó 60 km/h sebességgel halad. De ez hiányos információ a mozgalomról, nem? Az is fontos lehet, hogy merre, milyen irányba halad az autó. Ezért fontos, hogy ne csak a jármű sebességének modulusát (abszolút értékét) ismerjük ebben az esetben ez 60 km/h, hanem az iránya is az űrben. Ez azt jelenti, hogy a sebesség vektor.

Egy másik példa. Tegyük fel, hogy van egy 1 kg súlyú tégla a padlón. Egy téglára 100 N erő hat (ez az erőmodulus, ill abszolút érték). Hogyan fog mozogni a tégla? A kérdés értelmetlen mindaddig, amíg meg nem határozzuk az erő irányát. Ha az erő felfelé hat, akkor a tégla felfelé mozog. Ha az erő vízszintesen hat, akkor a tégla vízszintesen mozog. És ha az erő függőlegesen lefelé hat, akkor a tégla egyáltalán nem mozdul el, csak a padlóba nyomódik. Látjuk tehát, hogy az erő is vektor.

A vektormennyiségnek a fizikában is van dimenziója. Egy vektor dimenziója a modulusának a dimenziója.

A vektorokat nyíllal jelölt betűkkel fogjuk jelölni. Így a sebességvektor jelölhető

~v-n keresztül, az erővektor pedig F-n keresztül. Valójában a vektor egy nyíl, vagy ahogy szokták mondani, egy irányított szakasz (7.1. ábra).

Rizs. 7.1. Vektor ~ v

A nyíl kezdőpontját a vektor origójának nevezzük, és végpont(pont) nyilak

a vektor vége. A matematikában az A pontból induló és B pontban végződő vektort jelöljük

AB is; Néha szükségünk lesz egy ilyen jelölésre.

Egy vektort, amelynek eleje és vége egybeesik nulla vektornak (vagy nullának) nevezzük és

~ jelöléssel. A nulla vektor egyszerűen egy pont; nincs határozott iránya.

A nulla vektor hossza természetesen nulla.

1 Vannak dimenzió nélküli skalárok is: súrlódási együttható, együttható hasznos akció, a közeg törésmutatója. . . Tehát a víz törésmutatója 1;33, ez átfogó információ, nincs dimenzió adott szám nem rendelkezik.

A nyilak rajzolása teljesen megoldja a problémát grafikus ábrázolás vektor mennyiségek. A nyíl iránya jelzi az irányt adott vektor, és a nyíl hossza megfelelő skálán ennek a vektornak a modulusa.

Tegyük fel például, hogy két autó u = 30 km/h és v = 60 km/h sebességgel halad egymás felé. Ekkor az autósebesség ~u és ~v vektorai ellentétes irányúak lesznek, és a ~v vektor hossza kétszer akkora (7.2. ábra).

Rizs. 7.2. A ~v vektor kétszer olyan hosszú

Amint már megértette, egy nyíl nélküli betű (például az előző bekezdésben u vagy v) jelzi a megfelelő vektor nagyságát. A matematikában a ~v vektor modulusát általában j~vj-vel jelölik, de a fizikusok, ha a helyzet megengedi, előnyben részesítik a v betűt a nyíl nélkül.

A vektorokat kollineárisnak nevezzük, ha ugyanazon az egyenesen vagy párhuzamos egyeneseken helyezkednek el.

Legyen kettő kollineáris vektor. Ha irányuk egybeesik, akkor a vektorokat együttirányúnak nevezzük; ha irányuk eltérő, akkor a vektorokat ellentétes irányúnak nevezzük. Tehát fent az ábrán. 7.2 ~u és ~v vektorok ellentétes irányúak.

Két vektort egyenlőnek mondunk, ha egyirányúak és rendelkeznek egyenlő modulok(7.3. ábra).

Rizs. 7.3. Az ~a és b vektorok egyenlőek: ~a = b

A vektorok egyenlősége tehát nem feltétlenül jelenti azt, hogy kezdetük és végük egybeesik: egy vektort párhuzamosan mozgathatunk önmagával, és így az eredetivel megegyező vektort kapunk. Ezt az átvitelt folyamatosan használják olyan esetekben, amikor kívánatos a vektorok kezdetét egy pontra csökkenteni, például a vektorok összegének vagy különbségének megtalálásakor. Most áttérünk a vektorokon végzett műveletekre.