Përpara se të kalojmë në këtë seksion, le të kujtojmë përkufizimet e sinusit dhe kosinusit të përcaktuara në tekstin shkollor të gjeometrisë për klasat 7-9.

Sinus kënd akut t të një trekëndëshi kënddrejtë e barabartë me raportin ana e kundërt me hipotenuzën (Fig. 1):

Kosinusi i një këndi akut t të një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me raportin këmbën ngjitur në hipotenuzë (Fig. 1):

Këto përkufizime zbatohen për një trekëndësh kënddrejtë dhe janë raste të veçanta të përkufizimeve të paraqitura në këtë seksion.

Le të vendosim të njëjtin trekëndësh kënddrejtë në rrethin numerik (Fig. 2).

Ne shohim se këmba b e barabartë me një vlerë të caktuar y në boshtin Y (boshti i ordinatave), këmbë A e barabartë me një vlerë të caktuar x në boshtin X (boshtin x). Dhe hipotenuza Me e barabartë me rrezen e rrethit (R).

Kështu, formulat tona marrin një formë tjetër.

Meqenëse b = y, a = x, c = R, atëherë:

y x
sin t = -- , cos t = --.
R R

Meqë ra fjala, atëherë, natyrisht, formulat tangjente dhe kotangjente marrin një formë tjetër.

Meqenëse tg t = b/a, ctg t = a/b, atëherë ekuacionet e tjera janë gjithashtu të vërteta:

tg t = y/x,

ctg = x/y.

Por le të kthehemi te sinusi dhe kosinusi. Kemi të bëjmë me një rreth numerik në të cilin rrezja është 1. Kjo do të thotë:

y
sin t = -- = y,
1

x
cos t = -- = x.
1

Kështu vijmë tek e treta, më shumë pamje e thjeshtë formulat trigonometrike.

Këto formula zbatohen jo vetëm për akut, por edhe për çdo kënd tjetër (të mpirë ose të zhvilluar).

Përkufizime dhe formulacost,mëkatt,tgt,ctgt.

Nga formulat tangjente dhe kotangjente vijon një formulë tjetër:

Ekuacionet rrethi i numrave.

Shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës në çerek rrethet:

	tremujori i 1-rë	tremujori i 2-të	tremujori i 3-të	tremujori i 4-të

Kosinusi dhe sinusi i pikave kryesore të rrethit të numrave:

Si të mbani mend vlerat e kosinuseve dhe sinuseve të pikave kryesore të rrethit të numrave.

Para së gjithash, duhet të dini se në çdo çift numrash vlerat e kosinusit vijnë të parat, vlerat e sinusit vijnë të dytat.

1) Ju lutemi vini re: me të gjitha pikat e shumta në rrethin e numrave, kemi të bëjmë vetëm me pesë numra (për modul):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Bëni këtë "zbulim" për veten tuaj - dhe do ta hiqni frika psikologjike përballë një numri të madh numrash: në fakt janë vetëm pesë prej tyre.

2) Le të fillojmë me numrat e plotë 0 dhe 1. Ata janë vetëm në boshtet koordinative.

Nuk ka nevojë të mësohet përmendësh se ku, për shembull, kosinusi në modul ka një dhe ku ka 0.

Në skajet e boshtit kosinuset(sëpata X), sigurisht, kosinuset të barabartë modul 1 , dhe sinuset janë të barabarta me 0.

Në skajet e boshtit sinuseve(sëpata në) sinuset janë të barabarta me modulin 1, dhe kosinuset janë të barabartë me 0.

Tani për shenjat. Zero nuk ka asnjë shenjë. Sa për 1 - këtu ju vetëm duhet të mbani mend më së shumti gjë e thjeshtë: nga kursi i klasës së 7-të ju e dini se çfarë është në bosht X djathtas qendrës plan koordinativ – numra pozitiv, majtas – negativ; në bosht në numrat pozitivë rriten nga qendra, numrat negativë zbresin. Dhe atëherë nuk do të gaboni me shenjën 1.

3) Tani le të kalojmë te vlerat thyesore.

Të gjithë emëruesit e thyesave përmbajnë të njëjtin numër 2. Nuk do të gabojmë më se çfarë të shkruajmë në emërues.

Në mesin e tremujorëve, kosinusi dhe sinusi kanë absolutisht të njëjtën vlerë absolute: √2/2. Në këtë rast ata janë me një shenjë plus ose minus - shikoni tabelën e mësipërme. Por vështirë se ju nevojitet një tabelë e tillë: ju e dini këtë nga i njëjti kurs i klasës së 7-të.

Të gjitha më afër boshtit X pikat kanë vlera absolutisht identike të kosinusit dhe sinusit: (√3/2; 1/2).

Vlerat e të gjitha më afër boshtit në Pikat janë gjithashtu absolutisht identike në modul - dhe kanë të njëjtat numra, vetëm se ato kanë "këmbyer" vende: (1/2; √3/2).

Tani në lidhje me shenjat - këtu ka një alternim interesant (edhe pse ne besojmë se duhet të jeni në gjendje t'i kuptoni lehtësisht shenjat gjithsesi).

Nëse në tremujorin e parë vlerat e kosinusit dhe sinusit kanë një shenjë plus, atëherë në të kundërtën diametralisht (të tretë) ato kanë një shenjë minus.

Nëse në tremujorin e dytë me një shenjë minus ka vetëm kosinus, atëherë në diametralisht të kundërt (të katërt) ka vetëm sinus.

Mbetet vetëm të kujtojmë se në çdo kombinim të vlerave të kosinusit dhe sinusit, numri i parë është vlera e kosinusit, numri i dytë është vlera e sinusit.

Kushtojini vëmendje një rregullsie tjetër: sinusi dhe kosinusi i të gjitha pikave diametralisht të kundërta të rrethit janë absolutisht të barabartë në madhësi. Merrni, për shembull, pikat e kundërta π/3 dhe 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Vlerat e kosinuseve dhe sinuseve të dy pikave të kundërta ndryshojnë vetëm në shenjë. Por edhe këtu ka një model: sinuset dhe kosinuset e pikave diametralisht të kundërta kanë gjithmonë shenja të kundërta.

Është e rëndësishme të dini:

Vlerat e kosinuseve dhe sinuseve të pikave në rrethin numerik rriten ose zvogëlohen në mënyrë të njëpasnjëshme në një rend të caktuar: nga vlera më e vogël tek më e madhja dhe anasjelltas (shiko seksionin "Rritja dhe zvogëlimi funksionet trigonometrike" - megjithatë, kjo është e lehtë për t'u verifikuar duke parë thjesht rrethin e numrave më lart).

Në rend zbritës, merret alternimi i mëposhtëm i vlerave:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Ato rriten rreptësisht në rend të kundërt.

Pasi ta kuptoni këtë model të thjeshtë, do të mësoni se si të përcaktoni mjaft lehtë vlerat e sinusit dhe kosinusit.

Tangjentja dhe kotangjentja e pikave kryesore të rrethit numerik.

Duke ditur kosinusin dhe sinusin e pikave në rrethin e numrave, mund të llogaritni lehtësisht tangjenten dhe kotangjenten e tyre. Ndani sinusin me kosinusin dhe merrni tangjenten. Ndani kosinusin me sinusin dhe merrni kotangjenten. Rezultatet e kësaj ndarjeje janë paraqitur në figurë.

SHËNIM: Në disa tabela vlerat e tangjentes dhe kotangjentes, e barabartë me modulin√3/3, treguar si 1/√3. Këtu nuk ka asnjë gabim, pasi këto janë numra ekuivalent. Nëse numëruesi dhe emëruesi i numrit 1/√3 shumëzohen me √3, marrim √3/3.

Si të mbani mend kuptimin e tangjentave dhe kotangjenteve të pikave kryesore të rrethit të numrave.

Rregullat këtu janë të njëjta si me sinuset dhe kosinuset. Dhe ka vetëm katër numra këtu (për modul): 0, √3/3, 1, √3.

Në skajet e boshteve të koordinatave ka viza dhe zero. Vizat nënkuptojnë që tangjentja ose kotangjentja nuk ka kuptim në këto pika.

Si të mbani mend ku janë vizat dhe ku janë zerat? Një rregull do të ndihmojë.

Tangjenta është një raport sinus te kosinusi. Në skajet e boshtit sinuseve(bosht në) tangjenta nuk ekziston.

Kotangjenti është një lidhje kosinusi në sinus. Në skajet e boshtit kosinuset(bosht X) nuk ekziston kotangjentja.

Në pjesën tjetër pikë shkon duke alternuar vetëm tre numra: 1, √3 dhe √3/3 me shenja plus ose minus. Si të silleni me to? Mbani mend (ose më mirë akoma, imagjinoni) tre rrethana:

1) tangjentet dhe kotangjentet e të gjitha pikave të mesit të tremujorit janë në modulin 1.

2) tangjentet dhe kotangjentet më të afërta me boshtin X pikat kanë një modul √3/3; √3.

3) tangjentet dhe kotangjentet e pikave më të afërta me boshtin y kanë një modul prej √3; √3/3.

Mos bëni asnjë gabim me shenjat dhe do të jeni një ekspert i madh.

Do të ishte e dobishme të mbani mend se si tangjentja dhe kotangjentja rriten dhe zvogëlohen në rrethin e numrave (shiko rrethin e numrave më lart ose seksionin "Rritja dhe zvogëlimi i funksioneve trigonometrike"). Atëherë do të kuptohet edhe më mirë rendi i alternimit të vlerave të tangjentës dhe kotangjentës.

Vetitë trigonometrike të numrave në rrethin e numrave.

Le të imagjinojmë se një pikë e caktuar M ka vlerën t.

Prona 1:

mëkat (-t) = -sint

cos(-t) = kosto t

tg(-t) = -tg t

ctg(-t) = -ctg t

Shpjegim. Le të jetë t = –60º dhe t = –210º.

cos –60º është e barabartë me 1/2. Por cos 60º është gjithashtu e barabartë me 1/2. Kjo do të thotë, kosinuset –60º dhe 60º janë të barabartë si në madhësi ashtu edhe në shenjë: cos –60º = cos 60º.

cos –210º është e barabartë me –√3/2. Por cos 210º është gjithashtu e barabartë me –√3/2. Kjo është: cos –210º = cos 210º.

cos(-t) =cost.

mëkati –60º është i barabartë me –√3/2. Dhe mëkati 60º është i barabartë me √3/2. Kjo do të thotë, mëkati –60º dhe mëkati 60º janë të barabartë në madhësi, por të kundërta në shenjë.

sin -210º është e barabartë me 1/2. Dhe mëkati 210º është i barabartë me –1/2. Kjo do të thotë, mëkati –210º dhe mëkati 210º janë të barabartë në madhësi, por të kundërta në shenjë.

Kështu e kemi vërtetuar mëkat (-t) = -mëkatt.

Shikoni se çfarë ndodh me tangjentet dhe kotangjentet e këtyre këndeve - dhe ju vetë mund t'i vërtetoni lehtësisht vetes korrektësinë e dy identiteteve të tjera të dhëna në tabelë.

Përfundim: kosinusi - madje funksion, sinus, tangjente dhe kotangjente janë funksione tek.

Prona 2: Meqenëse t = t + 2π k, Se:

sin(t+2πk ) = sint

cos(t+2πk ) = kosto t

Shpjegim: t dhe t + 2π kështë e njëjta pikë në rrethin e numrave. Vetëm në rastin e 2π k bëjmë një sasi të caktuar revolucione të plota rreth rrethit para se të arrijmë në pikën t. Kjo do të thotë se barazitë e paraqitura në këtë tabelë janë të dukshme.

Prona 3: Nëse dy pika të një rrethi janë përballë njëra-tjetrës në lidhje me qendrën O, atëherë sinuset dhe kosinuset e tyre janë të barabartë në madhësi, por të kundërta në shenjë, dhe tangjentet dhe kotangjentet e tyre janë identike si në madhësi ashtu edhe në shenjë.

mëkat(t+π) = – sint

cos(t+π) = – cos t

tg(t+π) = tg t

cotg(t+π) = ctg t

Shpjegim: Le të jetë pika M në tremujorin e parë. Ajo ka vlerë pozitive sinus dhe kosinus. Le të nxjerrim një diametër nga kjo pikë - domethënë një segment që kalon nëpër qendrën e boshtit koordinativ dhe përfundon në pikën e kundërt të rrethit. Le ta shënojmë këtë pikë me shkronjën N. Siç mund ta shihni, harku MN është i barabartë me gjysmë rrethi. Ju tashmë e dini se një gjysmë rrethi është një vlerë e barabartë me π. Kjo do të thotë se pika N ndodhet në një distancë π nga pika M. Me fjalë të tjera, nëse i shtojmë distancën π pikës M, atëherë marrim pikën N, e vendosur përballë. Ajo është në tremujorin e tretë. Kontrolloni dhe shihni: kosinusin dhe sinusin e pikës N - me një shenjë minus ( x Dhe y kanë vlera negative).

Tangjentja dhe kotangjentja e pikës M kanë vlerë pozitive. Po tangjentja dhe kotangjentja e pikës N? Përgjigja është e thjeshtë: në fund të fundit, tangjentja dhe kotangjentja janë raporti i sinusit dhe kosinusit. Në shembullin tonë, sinusi dhe kosinusi i pikës N janë me shenjë minus. Do të thotë:

– mëkat t
tg (t + π) = ---- = tg t
–cos t

–cos t
ctg (t + π) = ---- = ctg t
– mëkat t

Kemi vërtetuar se tangjentja dhe kotangjentja e pikave diametralisht të kundërta në një rreth kanë jo vetëm të njëjtën vlerë, por edhe të njëjtën shenjë.

Prona 4: Nëse dy pika të një rrethi janë në çerekët ngjitur, dhe distanca midis pikave është e barabartë me një të katërtën e rrethit, atëherë sinusi i një pike është i barabartë me kosinusin e një tjetri me të njëjtën shenjë, dhe kosinusi i një pike. e barabartë me sinusin e dyta me shenjën e kundërt.

π mëkat (t+-) = kosto t 2

π si(t + -) =– mëkat t 2

Trigonometria - seksion shkenca matematikore, i cili eksploron funksionet trigonometrike dhe përdorimin e tyre në gjeometri. Zhvillimi i trigonometrisë filloi në kohët e fundit Greqia e lashte. Gjatë mesjetës kontribut të rëndësishëm Shkencëtarët nga Lindja e Mesme dhe India kontribuan në zhvillimin e kësaj shkence.

Ky artikull i kushtohet konceptet bazë dhe përkufizimet e trigonometrisë. Ai diskuton përkufizimet e funksioneve bazë trigonometrike: sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. Kuptimi i tyre shpjegohet dhe ilustrohet në kontekstin e gjeometrisë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fillimisht, përkufizimet e funksioneve trigonometrike, argumenti i të cilëve është një kënd, u shprehën në raportin e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Përkufizime të funksioneve trigonometrike

Sinusi i një këndi (sin α) është raporti i këmbës përballë këtij këndi me hipotenuzën.

Kosinusi i këndit (cos α) - raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.

Tangjenti i këndit (t g α) - raporti i anës së kundërt me anën ngjitur.

Kotangjent këndor (c t g α) - raporti i anës ngjitur me anën e kundërt.

Këto përkufizime janë dhënë për këndin akut të një trekëndëshi kënddrejtë!

Le të japim një ilustrim.

NË trekëndëshi ABC me kënd të drejtë C, sinusi i këndit A është i barabartë me raportin e këmbës BC me hipotenuzën AB.

Përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës ju lejojnë të llogaritni vlerat e këtyre funksioneve duke gjatesite e njohura brinjët e trekëndëshit.

E rëndësishme të mbani mend!

Gama e vlerave të sinusit dhe kosinusit është nga -1 në 1. Me fjalë të tjera, sinusi dhe kosinusi marrin vlera nga -1 në 1. Gama e vlerave të tangjentës dhe kotangjentës është e gjithë boshti numerik. domethënë këto funksione mund të marrin çdo vlerë.

Përkufizimet e dhëna më sipër zbatohen për këndet akute. Në trigonometri prezantohet koncepti i këndit të rrotullimit, vlera e të cilit, ndryshe nga këndi akut, nuk kufizohet në 0 deri në 90 gradë. Këndi i rrotullimit në gradë ose radianë shprehet me çdo numër real nga - ∞ në + ∞ .

Në këtë kontekst, ne mund të përcaktojmë sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën e një këndi me madhësi arbitrare. Le të imagjinojmë një rreth njësi me qendrën e tij në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane.

Pika fillestare A me koordinatat (1, 0) rrotullohet rreth qendrës së rrethit të njësisë përmes një këndi të caktuar α dhe shkon në pikën A 1. Përkufizimi jepet në terma të koordinatave të pikës A 1 (x, y).

Sinusi (mëkati) i këndit të rrotullimit

Sinusi i këndit të rrotullimit α është ordinata e pikës A 1 (x, y). sin α = y

Kosinusi (cos) i këndit të rrotullimit

Kosinusi i këndit të rrotullimit α është abshisa e pikës A 1 (x, y). cos α = x

Tangjentja (tg) e këndit të rrotullimit

Tangjentja e këndit të rrotullimit α është raporti i ordinatës së pikës A 1 (x, y) me abshisën e saj. t g α = y x

Kotangjentja (ctg) e këndit të rrotullimit

Kotangjentja e këndit të rrotullimit α është raporti i abshisës së pikës A 1 (x, y) ndaj ordinatës së saj. c t g α = x y

Sinusi dhe kosinusi përcaktohen për çdo kënd rrotullimi. Kjo është logjike, sepse abshisa dhe ordinata e një pike pas rrotullimit mund të përcaktohen në çdo kënd. Situata është e ndryshme me tangjenten dhe kotangjenten. Tangjentja është e papërcaktuar kur një pikë pas rrotullimit shkon në një pikë me abshisë zero (0, 1) dhe (0, - 1). Në raste të tilla, shprehja për tangjenten t g α = y x thjesht nuk ka kuptim, pasi përmban pjesëtim me zero. Situata është e ngjashme me kotangjentën. Dallimi është se kotangjentja nuk përcaktohet në rastet kur ordinata e një pike shkon në zero.

E rëndësishme të mbani mend!

Sinusi dhe kosinusi përcaktohen për çdo kënd α.

Tangjentja përcaktohet për të gjitha këndet përveç α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangjentja përcaktohet për të gjitha këndet përveç α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Kur vendoset shembuj praktik mos thuaj "sinus i këndit të rrotullimit α". Fjalët "këndi i rrotullimit" thjesht janë hequr, duke nënkuptuar se tashmë është e qartë nga konteksti se çfarë po diskutohet.

Numrat

Po përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një numri, dhe jo këndit të rrotullimit?

Sinus, kosinus, tangent, kotangjent i një numri

Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një numri tështë një numër që është përkatësisht i barabartë me sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën në t radian.

Për shembull, sinusi i numrit 10 π është i barabartë me sinusin e këndit të rrotullimit prej 10 π rad.

Ekziston një qasje tjetër për përcaktimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një numri. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt.

Kushdo numër real t një pikë në rrethin e njësisë lidhet me qendrën në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane drejtkëndëshe. Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja përcaktohen përmes koordinatave të kësaj pike.

Pika e fillimit në rreth është pika A me koordinata (1, 0).

Numër pozitiv t

Numri negativ t i përgjigjet pikës në të cilën do të shkojë pika e nisjes nëse ai lëviz rreth rrethit në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe kalon shtegun t.

Tani që është vendosur lidhja midis një numri dhe një pike në një rreth, kalojmë në përkufizimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës.

Sine (mëkat) i t

Sinusi i një numri t- ordinata e një pike në rrethin njësi që i përgjigjet numrit t. sin t = y

Kosinusi (cos) i t

Kosinusi i një numri t- abshisa e pikës së rrethit njësi që i përgjigjet numrit t. cos t = x

Tangjenta (tg) e t

Tangjentja e një numri t- raporti i ordinatës me abshisën e një pike në rrethin njësi që i korrespondon numrit t. t g t = y x = sin t cos t

Përkufizimet e fundit janë në përputhje dhe nuk bien ndesh me përkufizimin e dhënë në fillim të këtij paragrafi. Trego në rrethin që korrespondon me numrin t, përkon me pikën në të cilën shkon pika e nisjes pas rrotullimit me një kënd t radian.

Funksionet trigonometrike të argumentit këndor dhe numerik

Çdo vlerë e këndit α korrespondon me një vlerë të caktuar të sinusit dhe kosinusit të këtij këndi. Ashtu si të gjithë këndet α përveç α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) korrespondojnë me një vlerë të caktuar tangjente. Kotangjentja, siç u tha më sipër, përcaktohet për të gjithë α, përveç α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Mund të themi se sin α, cos α, t g α, c t g α janë funksione të këndit alfa, ose funksione të argumentit këndor.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të flasim për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën si funksione të një argumenti numerik. Çdo numër real t korrespondon me një vlerë të caktuar të sinusit ose kosinusit të një numri t. Të gjithë numrat përveç π 2 + π · k, k ∈ Z, korrespondojnë me një vlerë tangjente. Kotangjentja, në mënyrë të ngjashme, përcaktohet për të gjithë numrat përveç π · k, k ∈ Z.

Funksionet themelore të trigonometrisë

Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja janë funksionet bazë trigonometrike.

Zakonisht është e qartë nga konteksti se cili argument i funksionit trigonometrik ( argumenti i këndit ose argument numerik) kemi të bëjmë me.

Le të kthehemi te përkufizimet e dhëna në fillim dhe këndi alfa, i cili shtrihet në intervalin nga 0 në 90 gradë. Përkufizimet trigonometrike të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës janë plotësisht në përputhje me përkufizimet gjeometrike, dhënë duke përdorur raportet e pamjes së një trekëndëshi kënddrejtë. Le ta tregojmë.

Merrni një rreth njësi me qendër në një drejtkëndëshe Sistemi kartezian koordinatat Le ta kthejmë atë pikënisje A (1, 0) me një kënd deri në 90 gradë dhe vizatoni një pingul me abscissa nga pika që rezulton A 1 (x, y). Në të pranuara trekëndësh kënddrejtë këndi A 1 O H e barabartë me këndin kthesa α, gjatësia e këmbës O H është e barabartë me abshisën e pikës A 1 (x, y). Gjatësia e këmbës, këndi i kundërt, është e barabartë me ordinatën e pikës A 1 (x, y), dhe gjatësia e hipotenuzës është e barabartë me një, pasi është rrezja e rrethit njësi.

Në përputhje me përkufizimin nga gjeometria, sinusi i këndit α është i barabartë me raportin e anës së kundërt me hipotenuzën.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Kjo do të thotë që përcaktimi i sinusit të një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë përmes raportit të aspektit është i barabartë me përcaktimin e sinusit të këndit të rrotullimit α, me alfa që shtrihet në intervalin nga 0 në 90 gradë.

Në mënyrë të ngjashme, korrespondenca e përkufizimeve mund të tregohet për kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe Ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Në shekullin e pestë para Krishtit, filozofi i lashtë grek Zeno nga Elea formuloi aporiat e tij të famshme, më e famshmja prej të cilave është aporia "Akili dhe Breshka". Ja si tingëllon:

Le të themi se Akili vrapon dhjetë herë më shpejt se breshka dhe është një mijë hapa pas saj. Gjatë kohës që i duhet Akilit për të vrapuar këtë distancë, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Kur Akili vrapon njëqind hapa, breshka zvarritet edhe dhjetë hapa të tjerë, e kështu me radhë. Procesi do të vazhdojë deri në pafundësi, Akili nuk do ta arrijë kurrë breshkën.

Ky arsyetim u bë një tronditje logjike për të gjithë brezat pasardhës. Aristoteli, Diogjeni, Kanti, Hegeli, Hilberti... Të gjithë e konsideronin aporinë e Zenonit në një mënyrë apo në një tjetër. Goditja ishte aq e fortë sa " ...diskutimet vazhdojnë edhe sot e kësaj dite; komuniteti shkencor ende nuk ka arritur të arrijë në një mendim të përbashkët për thelbin e paradokseve...u përfshi në studimin e çështjes analiza matematikore, teoria e grupeve, e reja fizike dhe qasjet filozofike; asnjëri prej tyre nuk u bë një zgjidhje e pranuar përgjithësisht e problemit..."[Wikipedia, "Aporia e Zenos". Të gjithë e kuptojnë se po mashtrohen, por askush nuk e kupton se në çfarë konsiston mashtrimi.

Nga pikëpamja matematikore, Zeno në aporinë e tij tregoi qartë kalimin nga sasia në . Ky kalim nënkupton aplikim në vend të atyre të përhershëm. Me sa kuptoj unë, aparate matematikore Përdorimi i njësive të ndryshueshme të matjes ose nuk është zhvilluar ende, ose nuk është aplikuar në aporinë e Zenoit. Zbatimi i logjikës sonë të zakonshme na çon në një kurth. Ne, për shkak të inercisë së të menduarit, aplikojmë njësi konstante të kohës në vlerën reciproke. ME pikë fizike Nga një këndvështrim, duket sikur koha po ngadalësohet derisa të ndalojë plotësisht në momentin kur Akili kap breshkën. Nëse koha ndalon, Akili nuk mund ta kalojë më breshkën.

Nëse e kthejmë logjikën tonë të zakonshme, gjithçka bie në vend. Akili vrapon me shpejtësi konstante. Çdo segment pasues i rrugës së tij është dhjetë herë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Prandaj, koha e shpenzuar për tejkalimin e saj është dhjetë herë më pak se ajo e mëparshme. Nëse zbatojmë konceptin e "pafundësisë" në këtë situatë, atëherë do të ishte e saktë të thuhet "Akili do ta arrijë breshkën pafundësisht shpejt".

Si ta shmangni këtë kurth logjik? Qëndroni brenda njësi konstante matjet e kohës dhe të mos shkojnë në madhësi reciproke. Në gjuhën e Zenonit duket kështu:

Në kohën që i duhen Akilit për të bërë një mijë hapa, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Gjatë intervalit tjetër kohor të barabartë me të parin, Akili do të vrapojë një mijë hapa të tjerë, dhe breshka do të zvarritet njëqind hapa. Tani Akili është tetëqind hapa përpara breshkës.

Kjo qasje përshkruan në mënyrë adekuate realitetin pa asnjë paradoks logjik. Por nuk është kështu zgjidhje e plotë Problemet. Deklarata e Ajnshtajnit për papërmbajtshmërinë e shpejtësisë së dritës është shumë e ngjashme me aporinë e Zenonit "Akili dhe Breshka". Ne ende duhet të studiojmë, rimendojmë dhe zgjidhim këtë problem. Dhe zgjidhja duhet kërkuar jo në numër pafundësisht të madh, por në njësi matëse.

Një tjetër aporia interesante e Zenos tregon për një shigjetë fluturuese:

Një shigjetë fluturuese është e palëvizshme, pasi në çdo moment të kohës është në prehje, dhe duke qenë se është në pushim në çdo moment të kohës, ajo është gjithmonë në pushim.

Në këtë apori paradoks logjik mund të kapërcehet shumë thjesht - mjafton të sqarohet se në çdo moment të kohës një shigjetë fluturuese është në pushim në pika të ndryshme të hapësirës, ​​që në fakt është lëvizje. Këtu duhet theksuar edhe një pikë tjetër. Nga një fotografi e një makine në rrugë është e pamundur të përcaktohet as fakti i lëvizjes së saj, as distanca deri në të. Për të përcaktuar nëse një makinë po lëviz, ju nevojiten dy fotografi të bëra nga e njëjta pikë në pika të ndryshme kohore, por nuk mund të përcaktoni distancën prej tyre. Për të përcaktuar distancën nga makina, ju nevojiten dy fotografi të marra nga pika të ndryshme hapësirë ​​në një moment në kohë, por është e pamundur të përcaktohet fakti i lëvizjes prej tyre (natyrisht, të dhëna shtesë nevojiten ende për llogaritjet, trigonometria do t'ju ndihmojë). Ajo që dua të theksoj Vëmendje e veçantë, është se dy pika në kohë dhe dy pika në hapësirë ​​janë gjëra të ndryshme që nuk duhen ngatërruar, sepse ofrojnë mundësi të ndryshme për kërkime.

E mërkurë, 4 korrik 2018

Dallimet midis setit dhe multisetit përshkruhen shumë mirë në Wikipedia. Le të shohim.

Siç mund ta shihni, "nuk mund të ketë dy elementë identikë në një grup", por nëse ka elementë identikë në një grup, një grup i tillë quhet "multiset". Qeniet e arsyeshme nuk do ta kuptojnë kurrë një logjikë të tillë absurde. Ky është niveli i papagajve që flasin dhe majmunëve të stërvitur, të cilët nuk kanë inteligjencë nga fjala "plotësisht". Matematikanët veprojnë si trajnerë të zakonshëm, duke na predikuar idetë e tyre absurde.

Njëherë e një kohë, inxhinierët që ndërtuan urën ishin në një varkë nën urë ndërsa testonin urën. Nëse ura u shemb, inxhinieri mediokër vdiq nën rrënojat e krijimit të tij. Nëse ura mund të përballonte ngarkesën, inxhinieri i talentuar ndërtoi ura të tjera.

Pavarësisht se sa matematikanët fshihen pas shprehjes "mendoni mua, unë jam në shtëpi", ose më mirë, "matematika studion koncepte abstrakte", ekziston një kordon kërthizor që i lidh ato në mënyrë të pandashme me realitetin. Ky kordon kërthizor është para. E aplikueshme teoria matematikore vendos për vetë matematikanët.

Ne kemi studiuar shumë mirë matematikën dhe tani jemi ulur në arkë, duke dhënë rroga. Pra, një matematikan vjen tek ne për paratë e tij. I numërojmë të gjithë shumën dhe e shtrojmë në tryezën tonë në pirgje të ndryshme, në të cilat vendosim fatura të së njëjtës emërtim. Pastaj marrim një faturë nga çdo grumbull dhe i japim matematikanit "pagën e tij matematikore". Le t'i shpjegojmë matematikanit se ai do të marrë faturat e mbetura vetëm kur të provojë se një grup pa elementë identikë nuk është i barabartë me një grup me elementë identikë. Këtu fillon argëtimi.

Para së gjithash, logjika e deputetëve do të funksionojë: "Kjo mund të zbatohet për të tjerët, por jo për mua!" Më pas ata do të fillojnë të na sigurojnë se faturat e të njëjtit emërtim kanë numra të ndryshëm faturash, që do të thotë se ato nuk mund të konsiderohen të njëjtat elementë. Mirë, le t'i numërojmë pagat në monedha - nuk ka numra në monedha. Këtu matematikani do të fillojë të kujtojë furishëm fizikën: ka monedha të ndryshme sasi të ndryshme baltë, struktura kristalore dhe renditja e atomeve në secilën monedhë është unike...

Dhe tani kam më shumë interes Pyet: ku është vija përtej së cilës elementet e një shumëbashkësie kthehen në elemente të një bashkësie dhe anasjelltas? Një linjë e tillë nuk ekziston - gjithçka vendoset nga shamanët, shkenca nuk është as afër të gënjejë këtu.

Shikoni këtu. Ne zgjedhim stadiumet e futbollit me të njëjtën sipërfaqe fushe. Zonat e fushave janë të njëjta - që do të thotë se ne kemi një shumë grup. Por po të shikojmë emrat e po këtyre stadiumeve, marrim shumë, sepse emrat janë të ndryshëm. Siç mund ta shihni, i njëjti grup elementësh është një grup dhe një grup shumëfish. Cila është e saktë? Dhe këtu matematikani-shaman-sharpist nxjerr nga mëngët një ace atuesh dhe fillon të na tregojë ose për një grup ose një multiset. Në çdo rast, ai do të na bindë se ka të drejtë.

Për të kuptuar se si shamanët modernë veprojnë me teorinë e grupeve, duke e lidhur atë me realitetin, mjafton t'i përgjigjemi një pyetjeje: si ndryshojnë elementët e një grupi nga elementët e një grupi tjetër? Unë do t'ju tregoj, pa asnjë "të konceptueshme si jo një tërësi e vetme" ose "jo e konceptueshme si një tërësi e vetme".

e diel, 18 mars 2018

Shuma e shifrave të një numri është një valle e shamanëve me një dajre, e cila nuk ka të bëjë fare me matematikën. Po, në mësimet e matematikës ne jemi mësuar të gjejmë shumën e shifrave të një numri dhe ta përdorim atë, por kjo është arsyeja pse ata janë shamanë, për t'u mësuar pasardhësve të tyre aftësitë dhe mençurinë e tyre, përndryshe shamanët thjesht do të vdesin.

Keni nevojë për prova? Hapni Wikipedia dhe provoni të gjeni faqen "Shuma e shifrave të një numri". Ajo nuk ekziston. Nuk ka asnjë formulë në matematikë që mund të përdoret për të gjetur shumën e shifrave të çdo numri. Në fund të fundit, numrat janë simbolet grafike, me ndihmën e së cilës shkruajmë numrat dhe në gjuhën e matematikës detyra tingëllon kështu: “Gjeni shumën e simboleve grafike që përfaqësojnë ndonjë numër”. Matematikanët nuk mund ta zgjidhin këtë problem, por shamanët mund ta bëjnë atë lehtësisht.

Le të kuptojmë se çfarë dhe si bëjmë për të gjetur shumën e numrave numri i dhënë. Dhe kështu, le të kemi numrin 12345. Çfarë duhet bërë për të gjetur shumën e shifrave të këtij numri? Le të shqyrtojmë të gjitha hapat në rend.

1. Shkruani numrin në një copë letër. Çfarë kemi bërë? Ne e kemi kthyer numrin në një simbol grafik numerik. Ky nuk është një operacion matematikor.

2. Ne e premë një fotografi që rezulton në disa fotografi që përmbajnë numra individualë. Prerja e një fotografie nuk është një operacion matematikor.

3. Shndërroni simbolet individuale grafike në numra. Ky nuk është një operacion matematikor.

4. Shtoni numrat që rezultojnë. Tani kjo është matematika.

Shuma e shifrave të numrit 12345 është 15. Këto janë "kurset e prerjes dhe qepjes" të mësuara nga shamanët që përdorin matematikanët. Por kjo nuk është e gjitha.

Nga pikëpamja matematikore, nuk ka rëndësi se në cilin sistem numrash shkruajmë një numër. Pra, në sisteme të ndryshme Në llogaritje, shuma e shifrave të të njëjtit numër do të jetë e ndryshme. Në matematikë, sistemi i numrave tregohet si nënshkrim në të djathtë të numrit. ME një numër i madh 12345 Nuk dua të mashtroj kokën, le të shohim numrin 26 nga artikulli rreth . Le ta shkruajmë këtë numër në sistemet e numrave binar, oktal, dhjetor dhe heksadecimal. Ne nuk do të shikojmë çdo hap nën një mikroskop; ne e kemi bërë tashmë këtë. Le të shohim rezultatin.

Siç mund ta shihni, në sisteme të ndryshme numrash shuma e shifrave të të njëjtit numër është e ndryshme. Ky rezultat nuk ka të bëjë fare me matematikën. Është njësoj sikur të përcaktoni sipërfaqen e një drejtkëndëshi në metra dhe centimetra, do të merrnit rezultate krejtësisht të ndryshme.

Zero duket e njëjtë në të gjitha sistemet e numrave dhe nuk ka shumë shifrash. Ky është një argument tjetër në favor të faktit se. Pyetje për matematikanët: si përcaktohet diçka që nuk është numër në matematikë? Çfarë, për matematikanët nuk ekziston asgjë përveç numrave? Unë mund ta lejoj këtë për shamanët, por jo për shkencëtarët. Realiteti nuk ka të bëjë vetëm me numrat.

Rezultati i marrë duhet të konsiderohet si provë se sistemet e numrave janë njësi matëse për numrat. Në fund të fundit, ne nuk mund të krahasojmë numrat me njësi të ndryshme matëse. Nëse të njëjtat veprime me njësi të ndryshme matëse të së njëjtës sasi çojnë në rezultate të ndryshme pas krahasimit të tyre, atëherë kjo nuk ka të bëjë fare me matematikën.

Çfarë është matematika e vërtetë? Kjo është kur rezultati operacion matematik nuk varet nga madhësia e numrit, njësia matëse e përdorur dhe kush e kryen veprimin.

Nënshkrimi në derë Ai hap derën dhe thotë:

Oh! A nuk është ky banja e grave?
- Grua e re! Ky është një laborator për studimin e shenjtërisë indefilike të shpirtrave gjatë ngjitjes së tyre në qiell! Halo në krye dhe shigjeta lart. Çfarë tualeti tjetër?

Femër... Halo sipër dhe shigjeta poshtë janë mashkull.

Nëse një vepër e tillë e artit të dizajnit shkëlqen para syve tuaj disa herë në ditë,

Atëherë nuk është për t'u habitur që papritmas gjeni një ikonë të çuditshme në makinën tuaj:

Personalisht, unë bëj përpjekje për të parë minus katër gradë në një person që po dergjet (një foto) (një përbërje prej disa fotografish: një shenjë minus, numri katër, një përcaktim shkallësh). Dhe nuk mendoj se kjo vajzë është budallaqe, jo njohuri në fizikë. Ajo thjesht ka një stereotip perceptimi imazhe grafike. Dhe matematikanët na mësojnë këtë gjatë gjithë kohës. Ja një shembull.

1A nuk është "minus katër gradë" ose "një a". Ky është "njeriu i kulluar" ose numri "njëzet e gjashtë" në shënimin heksadecimal. Ata njerëz që vazhdimisht punojnë në këtë sistem numrash e perceptojnë automatikisht një numër dhe një shkronjë si një simbol grafik.

Problemi 6.12. E njëjta pyetje si në problemin e mëparshëm, por për pesëkëndëshi i rregullt(udhëzim: shih problemin 3.5).

Problemi 6.13. Në problemin 4.8 u tha se si vlerë e përafërt e kosinusit të një këndi të vogël α, mund të marrim numrin 1, domethënë vlerën e funksionit të kosinusit në zero. Po sikur, pa vonesë, të marrim 0 = sin 0 si një vlerë të përafërt për sinusin e një këndi të vogël α? Pse është kjo e keqe?

Oriz. 6.4. Pika M lëviz përgjatë një cikloide.

Problemi 6.14. Konsideroni një rrotë me rreze 1 që prek boshtin x në origjinë (Fig. 6.4). Le të supozojmë se rrota u rrotullua përgjatë boshtit x në drejtim pozitiv me shpejtësi 1 (d.m.th., gjatë kohës t qendra e tij zhvendoset t djathtas).

a) Vizatoni (afërsisht) një kurbë që do të përshkruhet nga pika M, duke prekur boshtin e abshisave në momentin e parë.

b) Gjeni sa do të jetë abshisa dhe ordinata e pikës M pas kohës t pas fillimit të lëvizjes.

6.1. Boshti tangjent

Në këtë pjesë ne përcaktuam sinusin dhe kosinusin gjeometrikisht, si ordinata dhe abshisa të një pike, dhe tangjenten - algjebrike, si sin t/cos t. Megjithatë, është e mundur t'i jepet tangjentes një kuptim gjeometrik.

Për ta bërë këtë, ne tërheqim pikën me koordinatat (1; 0) (origjina është në rrethi trigonometrik) tangjente me një rreth trigonometrik - një vijë e drejtë paralele me boshtin

Oriz. 6.5. Boshti tangjent.

ordinator Le ta quajmë këtë drejtëz bosht tangjent (Fig. 6.5). Ky emër arsyetohet në këtë mënyrë: le të jetë M një pikë në rrethin trigonometrik që i përgjigjet numrit t. Le të vazhdojmë rrezen SM derisa të kryqëzohet me boshtin tangjent. Më pas rezulton se ordinata e pikës së kryqëzimit është e barabartë me tg t.

Në fakt, trekëndëshat NOS dhe MP S në Fig. 6.5, padyshim

	por të ngjashme. Nga këtu
	që është ajo që u tha.									ose (0; −1), pastaj direkt
	Nëse pika M ka koordinata (0; 1)

Maj SM është paralel me boshtin tangjentë dhe tangjentja nuk mund të përcaktohet duke përdorur metodën tonë. Kjo nuk është për t'u habitur: abshisa e këtyre pikave është 0, kështu që cos t = 0 për vlerat përkatëse të t, dhe tg t = sin t/cos t nuk është përcaktuar.

6.2. Shenjat e funksioneve trigonometrike

Le të kuptojmë se në cilat vlera të t sinusit, kosinusit dhe tangjentës janë pozitive, dhe në cilat vlera janë negative. Sipas përkufizimit, sin t është ordinata e një pike në rrethin trigonometrik që i përgjigjet numrit t. Prandaj sin t > 0 nëse pika t është e ndezur

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike