Le të punojmë me ekuacionet kuadratike. Këto janë ekuacione shumë të njohura! Në shumë pamje e përgjithshme ekuacioni kuadratik duket si ky:

Për shembull:

Këtu A =1; b = 3; c = -4

Këtu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu A =-3; b = 6; c = -18

Epo, ju e kuptoni ...

Si të zgjidhen ekuacionet kuadratike? Nëse keni një ekuacion kuadratik para jush në këtë formë, atëherë gjithçka është e thjeshtë. Mbani mend fjalën magjike diskriminuese . Rrallëherë një gjimnazist nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "ne zgjidhim përmes një diskriminuesi" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nga diskriminuesi nuk ka nevojë të presësh marifete! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim. Pra, formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës është ajo diskriminuese. Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ato. koeficientët nga një ekuacion kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c Kjo është formula që ne llogarisim. Le të zëvendësojmë me shenjat tuaja! Për shembull, për ekuacionin e parë A =1; b = 3; c= -4. Këtu e shkruajmë atë:

Shembulli është pothuajse i zgjidhur:

Kjo eshte e gjitha.

Cilat raste janë të mundshme kur përdoret kjo formulë? Janë vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë se rrënja mund të nxirret prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo keq është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminues e barabartë me zero. Atëherë ju keni një zgjidhje. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike. Por kjo luan një rol në pabarazitë ku ne pyetje më e detajuar Le të mësojmë.

3. Diskriminuesi është negativ. Nga numër negativ Rrenja katrore nuk nxirret. Epo, në rregull. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Gjithçka është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë, mendoni se është e pamundur të bëni një gabim? Epo, po, si ...
Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku të ngatërrohemi?), por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Ajo që ndihmon këtu është një regjistrim i detajuar i formulës me numra specifikë. Nëse ka probleme me llogaritjet, beje ate!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen rreth 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të shkruash me kaq kujdes. Por vetëm kështu duket. Provojeni. Epo, ose zgjidhni. Çfarë është më mirë, e shpejtë apo e drejtë? Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të shkruani gjithçka me kaq kujdes. Do të funksionojë vetë. Sidomos nëse përdorni teknika praktike që përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh mund të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!

Kështu që, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nepermjet diskriminuesit kujtuam. Ose ata mësuan, gjë që është gjithashtu e mirë. Ju e dini se si të përcaktoni saktë a, b dhe c. A e dini se si? me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. A e kuptove këtë fjalë kyçe Këtu - me vëmendje?

Sidoqoftë, ekuacionet kuadratike shpesh duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:

Kjo ekuacionet kuadratike jo të plota . Ato mund të zgjidhen edhe nëpërmjet një diskriminuesi. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë janë të barabarta këtu. a, b dhe c.

E keni kuptuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; A c? Nuk është fare aty! Epo po, ashtu është. Në matematikë kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo eshte e gjitha. Në vend të kësaj, zero në formulë c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë me shembullin e dytë. Vetëm ne nuk kemi zero këtu Me, A b !

Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më thjeshtë. Pa asnjë diskriminim. Le të shqyrtojmë të parën ekuacion jo të plotë. Çfarë mund të bëni në anën e majtë? Ju mund të hiqni X nga kllapa! Le ta nxjerrim.

Dhe çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk më besoni? Mirë, dilni me dy atëherë. numra jo zero, e cila kur shumëzohet do të japë zero!
Nuk punon? Kjo eshte...
Prandaj, mund të shkruajmë me besim: x = 0, ose x = 4

Të gjitha. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja janë të përshtatshme. Kur zëvendësoni ndonjë prej tyre në ekuacioni origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë sesa përdorimi i diskriminuesit.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Zhvendosni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Gjithçka që mbetet është të nxjerrim rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të rezultojë:

Gjithashtu dy rrënjë . x = +3 dhe x = -3.

Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke vendosur X jashtë kllapave, ose thjesht duke e lëvizur numrin në të djathtë dhe më pas duke nxjerrë rrënjën.
Është jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto teknika. Thjesht sepse në rastin e parë do të duhet të nxirrni rrënjën e X-it, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të nxjerrë nga kllapa...

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Të njëjtat që janë për shkak të pavëmendjes... Për të cilat më vonë bëhet e dhimbshme dhe fyese...

Takimi i parë. Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe sillni atë në pamje standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjë! Ju pothuajse me siguri do t'i ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X në katror, pastaj pa katror, pastaj termi i lirë. Si kjo:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Një minus para një X në katror mund t'ju shqetësojë vërtet. Është e lehtë të harrosh... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç mësohet në temë e mëparshme! Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit. Vendosni vetë. Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.

Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Sipas teoremës së Vietës. Mos kini frikë, unë do t'ju shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar gjëja e fundit ekuacionin. Ato. ai që përdorëm për të shkruar formulën rrënjësore. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1, kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton t'i shumohen ato. Rezultati duhet të jetë një anëtar i lirë, d.m.th. në rastin tonë -2. Ju lutemi vini re, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën tuaj . Nëse nuk funksionon, do të thotë se ata tashmë kanë dështuar diku. Kërkoni për gabimin. Nëse funksionon, duhet të shtoni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Koeficienti duhet të jetë b Me e kundërt i njohur. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient b, e cila është para X, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë!
Është për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1. Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë gjithnjë e më pak gabime.

Pritja e treta. Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzojeni ekuacionin me emërues i përbashkët, siç përshkruhet në seksionin e mëparshëm. Kur punoni me thyesa, gabimet vazhdojnë të zvarriten për disa arsye ...

Nga rruga, unë premtova të thjeshtoja shembullin e keq me një mori minusesh. Ju lutem! Këtu është ai.

Për të mos u ngatërruar nga minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo eshte e gjitha! Zgjidhja është një kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij e barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Beje!

Ekuacionet thyesore. ODZ.

Ne vazhdojmë të zotërojmë ekuacionet. Tashmë dimë të punojmë me ekuacione lineare dhe kuadratike. Pamja e fundit e mbetur - ekuacionet thyesore. Ose ata quhen gjithashtu shumë më me respekt - thyesore ekuacionet racionale . Eshte e njejta gje.

Ekuacionet thyesore.

Siç nënkupton edhe emri, këto ekuacione përmbajnë domosdoshmërisht fraksione. Por jo vetëm thyesat, por thyesat që kanë i panjohur në emërues. Të paktën në një. Për shembull:

Më lejoni t'ju kujtoj se nëse emëruesit janë vetëm numrat, këto janë ekuacione lineare.

Si të vendosni ekuacionet thyesore? Para së gjithash, hiqni qafe thyesat! Pas kësaj, ekuacioni më së shpeshti kthehet në linear ose kuadratik. Dhe atëherë dimë çfarë të bëjmë... Në disa raste mund të kthehet në një identitet, si p.sh. 5=5 ose një shprehje e pasaktë, si p.sh. 7=2. Por kjo ndodh rrallë. Këtë do ta përmend më poshtë.

Por si të shpëtojmë nga fraksionet!? Shume e thjeshte. Duke aplikuar të njëjtat transformime identike.

Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me të njëjtën shprehje. Kështu që të gjithë emëruesit reduktohen! Gjithçka do të bëhet menjëherë më e lehtë. Më lejoni të shpjegoj me një shembull. Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin:

Siç mësohet në klasat e vogla? Ne lëvizim gjithçka në njërën anë, e sjellim atë në një emërues të përbashkët, etj. Harroje si një ëndërr të keqe! Kjo është ajo që duhet të bëni kur shtoni ose zbritni. shprehjet thyesore. Ose punoni me pabarazi. Dhe në ekuacione, ne i shumëzojmë menjëherë të dyja anët me një shprehje që do të na japë mundësinë të zvogëlojmë të gjithë emëruesit (d.m.th., në thelb, me një emërues të përbashkët). Dhe çfarë është kjo shprehje?

Në anën e majtë, zvogëlimi i emëruesit kërkon shumëzim me x+2. Dhe në të djathtë kërkohet shumëzim me 2. Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të shumëzohet me 2 (x+2). Shumëzo:

Kjo shumëzimi i zakonshëm thyesa, por unë do ta shkruaj në detaje:

Ju lutem vini re se nuk po e hap ende kllapin (x + 2)! Pra, në tërësi, po e shkruaj:

Në anën e majtë kontraktohet plotësisht (x+2), dhe në të djathtë 2. Kjo është ajo që kërkohej! Pas reduktimit marrim lineare ekuacioni:

Dhe të gjithë mund ta zgjidhin këtë ekuacion! x = 2.

Le të zgjidhim një shembull tjetër, pak më të komplikuar:

Nëse kujtojmë se 3 = 3/1, dhe 2x = 2x/ 1, mund të shkruajmë:

Dhe përsëri ne heqim qafe atë që nuk na pëlqen vërtet - fraksionet.

Ne shohim se për të zvogëluar emëruesin me X, duhet të shumëzojmë thyesën me (x – 2). Dhe disa nuk janë pengesë për ne. Epo, le të shumëzohemi. Të gjitha ana e majte Dhe të gjitha ana e djathtë:

Përsëri kllapa (x – 2) Nuk po zbuloj. Unë punoj me kllapa në tërësi sikur të ishte një numër! Kjo duhet bërë gjithmonë, përndryshe asgjë nuk do të reduktohet.

Me një ndjenjë kënaqësie të thellë ne reduktojmë (x – 2) dhe marrim një ekuacion pa asnjë thyesë, me një vizore!

Tani le të hapim kllapat:

Ne sjellim të ngjashme, lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe marrim:

Ekuacioni klasik kuadratik. Por minusi përpara nuk është i mirë. Ju gjithmonë mund të shpëtoni prej tij duke shumëzuar ose pjesëtuar me -1. Por nëse shikoni me vëmendje shembullin, do të vini re se është mirë që ky ekuacion të pjesëtohet me -2! Me një goditje, minusi do të zhduket dhe shanset do të bëhen më tërheqëse! Pjestojeni me -2. Në anën e majtë - term për term, dhe në të djathtë - thjesht ndajeni zeron me -2, zero dhe marrim:

Ne zgjidhim përmes diskriminuesit dhe kontrollojmë duke përdorur teoremën e Vieta-s. marrim x = 1 dhe x = 3. Dy rrënjë.

Siç mund ta shihni, në rastin e parë ekuacioni pas transformimit u bë linear, por këtu ai bëhet kuadratik. Ndodh që pas heqjes së thyesave, të gjitha X-të reduktohen. Diçka mbetet, si 5=5. Do të thotë se x mund të jetë çdo gjë. Sido që të jetë, do të reduktohet përsëri. Dhe rezulton të jetë e vërtetë e pastër, 5=5. Por, pas heqjes së thyesave, mund të rezultojë krejtësisht e pavërtetë, si 2=7. Dhe kjo do të thotë se asnjë zgjidhje! Çdo X rezulton të jetë e pavërtetë.

E realizuar mënyra kryesore Zgjidhjet ekuacionet thyesore ? Është e thjeshtë dhe logjike. Ne ndryshojmë shprehjen origjinale në mënyrë që gjithçka që nuk na pëlqen të zhduket. Ose ndërhyn. NË në këtë rast këto janë thyesa. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë me të gjitha llojet e shembuj kompleks me logaritme, sinus dhe tmerre të tjera. ne Gjithmonë Le të shpëtojmë nga e gjithë kjo.

Sidoqoftë, duhet të ndryshojmë shprehjen origjinale në drejtimin që na nevojitet sipas rregullave, po... Mjeshtëria e së cilës është përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë. Pra, ne po e zotërojmë atë.

Tani do të mësojmë se si të anashkalojmë njërën prej tyre pritat kryesore në Provimin e Bashkuar të Shtetit! Por së pari, le të shohim nëse bie në të apo jo?

Le të shohim një shembull të thjeshtë:

Çështja është tashmë e njohur, ne i shumëzojmë të dyja anët (x – 2), marrim:

Ju kujtoj, me kllapa (x – 2) ne punojmë si një, shprehje e tërë!

Këtu nuk shkrova më një në emërues, është i padinjshëm... Dhe nuk kam vizatuar kllapa në emërues, përveç x – 2 nuk ka asgjë, nuk duhet të vizatoni. Le të shkurtojmë:

Hapni kllapat, zhvendosni gjithçka në të majtë dhe jepni të ngjashme:

Ne zgjidhim, kontrollojmë, marrim dy rrënjë. x = 2 Dhe x = 3. E madhe.

Supozoni se detyra thotë të shkruani rrënjën, ose shumën e tyre nëse ka më shumë se një rrënjë. Çfarë do të shkruajmë?

Nëse vendosni që përgjigja është 5, ju u zunë pritë. Dhe detyra nuk do t'ju kreditohet. Punuan kot... Përgjigjja e saktë është 3.

Per Cfarë bëhet fjalë?! Dhe ju përpiqeni të bëni një kontroll. Zëvendësoni vlerat e të panjohurës në origjinale shembull. Dhe nëse në x = 3 gjithçka do të rritet së bashku mrekullisht, marrim 9 = 9, atëherë kur x = 2 Do të pjesëtohet me zero! Ajo që nuk mund ta bëni absolutisht. Do të thotë x = 2 nuk është zgjidhje dhe nuk merret parasysh në përgjigje. Kjo është e ashtuquajtura rrënjë e jashtme ose shtesë. Ne thjesht e hedhim poshtë atë. Rrënja përfundimtare është një. x = 3.

Si keshtu?! – Dëgjoj pasthirrma të indinjuara. Na mësuan se një ekuacion mund të shumëzohet me një shprehje! Ky është një transformim identik!

Po, identike. Në një kusht të vogël - shprehja me të cilën ne shumëzojmë (pjestojmë) - të ndryshme nga zero. A x – 2 në x = 2është e barabartë me zero! Pra, gjithçka është e drejtë.

Dhe tani çfarë mund të bëj?! Mos shumëzoni me shprehje? A duhet të kontrolloj çdo herë? Përsëri është e paqartë!

Me qetësi! Mos u trembni!

Në këtë situatë të vështirë, tre shkronja magjike do të na shpëtojnë. Unë e di se çfarë po mendoni. E drejtë! Kjo ODZ . Zona e vlerave të pranueshme.

Ndër të gjithë kursin kurrikula shkollore Në algjebër, një nga temat më të gjera është tema e ekuacioneve kuadratike. Në këtë rast, një ekuacion kuadratik kuptohet si një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0 (lexo: a e shumëzuar me x në katror plus x plus ce është e barabartë me zero, ku a nuk është e barabartë me zero). Në këtë rast, vendin kryesor e zënë formulat për gjetjen e diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik. lloji i specifikuar, e cila kuptohet si një shprehje që ju lejon të përcaktoni praninë ose mungesën e rrënjëve në një ekuacion kuadratik, si dhe numrin e tyre (nëse ka).

Formula (ekuacioni) i diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik

Formula e pranuar përgjithësisht për diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik duket si në mënyrën e mëposhtme: D = b 2 – 4ac. Duke llogaritur diskriminuesin duke përdorur formulën e specifikuar, jo vetëm që mund të përcaktoni praninë dhe numrin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik, por gjithashtu zgjidhni një metodë për gjetjen e këtyre rrënjëve, nga të cilat ka disa në varësi të llojit të ekuacionit kuadratik.

Çfarë do të thotë nëse diskriminuesi është zero \ Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik nëse diskriminuesi është zero

Diskriminuesi, siç vijon nga formula, shënohet shkronja latine D. Në rastin kur diskriminuesi është i barabartë me zero, duhet të konkludohet se një ekuacion kuadratik i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0, ka vetëm një rrënjë, e cila llogaritet duke përdorur një formulë të thjeshtuar. . Kjo formulë zbatohet vetëm kur diskriminuesi është zero dhe duket kështu: x = –b/2a, ku x është rrënja e ekuacionit kuadratik, b dhe a janë variablat përkatëse të ekuacionit kuadratik. Për të gjetur rrënjën e një ekuacioni kuadratik, duhet të ndani vlerën negative të ndryshores b me vlerë e dyfishtë ndryshore a. Shprehja që rezulton do të jetë zgjidhja e një ekuacioni kuadratik.

Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik duke përdorur një diskriminues

Nëse, gjatë llogaritjes së diskriminuesit duke përdorur formulën e mësipërme, merret një vlerë pozitive (D Mbi zero), atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë, të cilat llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Më shpesh, diskriminuesi nuk llogaritet veçmas, por thjesht zëvendësohet në vlerën D nga e cila është nxjerrë rrënja. shprehje radikale në formën e një formule diskriminuese. Nëse ndryshorja b ka një vlerë çift, atëherë për të llogaritur rrënjët e një ekuacioni kuadratik të formës ax 2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0, mund të përdorni edhe formulat e mëposhtme: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, ku k = b/2.

Në disa raste për zgjidhje praktike ekuacionet kuadratike, mund të përdorni teoremën e Vietës, e cila thotë se për shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik të formës x 2 + px + q = 0 vlera x 1 + x 2 = –p do të jetë e vërtetë, dhe për produkt i rrënjëve ekuacioni i mësipërm– shprehja x 1 x x 2 = q.

A mund të jetë diskriminuesi më i vogël se zero?

Kur llogaritni vlerën diskriminuese, mund të hasni në një situatë që nuk bie në asnjë nga rastet e përshkruara - kur diskriminuesi ka një vlerë negative (d.m.th., më pak se zero). Në këtë rast, përgjithësisht pranohet se një ekuacion kuadratik i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0, rrënjë të vërteta nuk ka, prandaj zgjidhja e tij do të kufizohet në llogaritjen e diskriminuesit dhe formulat e mësipërme për rrënjët e ekuacionit kuadratik nuk do të zbatohen në këtë rast. Në të njëjtën kohë, në përgjigjen e ekuacionit kuadratik shkruhet se "ekuacioni nuk ka rrënjë reale".

Video shpjeguese:

Diskriminuesi është një term me shumë vlera. Në këtë artikull do të flasim për diskriminuesin e një polinomi, i cili ju lejon të përcaktoni nëse një polinom i caktuar ka zgjidhje të vlefshme. Formula për një polinom kuadratik shfaqet në kursi shkollor algjebër dhe analizë. Si të gjeni një diskriminues? Çfarë nevojitet për të zgjidhur ekuacionin?

Një polinom kuadratik ose ekuacion i shkallës së dytë quhet i * w ^ 2 + j * w + k është e barabartë me 0, ku "i" dhe "j" janë koeficientët e parë dhe të dytë, përkatësisht, "k" është një konstante, e quajtur ndonjëherë "termi shpërfillës" dhe "w" është një variabël. Rrënjët e tij do të jenë të gjitha vlerat e ndryshores në të cilën ai kthehet në identitet. Një barazi e tillë mund të rishkruhet si prodhim i i, (w - w1) dhe (w - w2) i barabartë me 0. Në këtë rast, është e qartë se nëse koeficienti "i" nuk bëhet zero, atëherë funksioni në ana e majtë do të bëhet zero vetëm nëse x merr vlerën w1 ose w2. Këto vlera janë rezultat i vendosjes së polinomit të barabartë me zero.

Për të gjetur vlerën e një ndryshoreje në të cilën polinom kuadratik bëhet zero, përdoret një konstruksion ndihmës, i ndërtuar mbi koeficientët e tij dhe quhet diskriminues. Ky dizajn llogaritet sipas formulës D është e barabartë me j * j - 4 * i * k. Pse përdoret?

Ajo thotë se ka ndonjë rezultate të vlefshme.
Ajo ndihmon në llogaritjen e tyre.

Si e tregon kjo vlerë praninë e rrënjëve reale:

Nëse është pozitive, atëherë mund të gjejmë dy rrënjë në rajon numra realë.
Nëse diskriminuesi është zero, atëherë të dyja zgjidhjet janë të njëjta. Mund të themi se ka vetëm një zgjidhje dhe ajo është nga fusha e numrave realë.
Nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë polinomi nuk ka rrënjë reale.

Opsionet e llogaritjes për sigurimin e materialit

Për shumën (7 * w^2; 3 * w; 1) e barabartë me 0 Ne llogarisim D duke përdorur formulën 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, marrim -19. Një vlerë diskriminuese nën zero tregon se nuk ka rezultate në linjën aktuale.

Nëse marrim parasysh 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekuivalente me 0, atëherë D llogaritet si (-3) në katror minus produktin e numrave (4; 2; 1) dhe është i barabartë me 9 - 8, domethënë 1. Vlera pozitive thotë se ka dy rezultate në vijën reale.

Nëse marrim shumën (w ^ 2; 2 * w; 1) dhe e barazojmë me 0, D llogaritet si dy në katror minus produktin e numrave (4; 1; 1). Kjo shprehje do të thjeshtohet në 4 - 4 dhe do të shkojë në zero. Rezulton se rezultatet janë të njëjta. Nëse shikoni nga afër këtë formulë, atëherë do të bëhet e qartë se kjo është " katror i përsosur" Kjo do të thotë se barazia mund të rishkruhet në formën (w + 1) ^ 2 = 0. U bë e qartë se rezultati në këtë problem është "-1". Në një situatë ku D është e barabartë me 0, ana e majtë e barazisë gjithmonë mund të shembet duke përdorur formulën "katrori i shumës".

Përdorimi i një diskriminuesi në llogaritjen e rrënjëve

Ky ndërtim ndihmës jo vetëm që tregon numrin e zgjidhjeve reale, por gjithashtu ndihmon në gjetjen e tyre. Formula e përgjithshme e llogaritjes për një ekuacion të shkallës së dytë është:

w = (-j +/- d) / (2 * i), ku d është diskriminues në fuqinë e 1/2.

Le të themi se diskriminuesi është nën zero, atëherë d është imagjinar dhe rezultatet janë imagjinare.

D është zero, atëherë d e barabartë me D me fuqinë 1/2 është gjithashtu zero. Zgjidhje: -j / (2 * i). Përsëri duke marrë parasysh 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, gjejmë rezultate ekuivalente me -2 / (2 * 1) = -1.

Supozoni D > 0, atëherë d është një numër real, dhe përgjigja këtu ndahet në dy pjesë: w1 = (-j + d) / (2 * i) dhe w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Të dy rezultatet do të jenë të vlefshme. Le të shohim 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Këtu diskriminuesi dhe d janë njësh. Rezulton se w1 është i barabartë me (3 + 1) i ndarë me (2 * 2) ose 1, dhe w2 është i barabartë me (3 - 1) i ndarë me 2 * 2 ose 1/2.

Rezultati i barazimit të një shprehjeje kuadratike me zero llogaritet sipas algoritmit:

Përcaktimi i numrit të zgjidhjeve të vlefshme.
Llogaritja d = D^(1/2).
Gjetja e rezultatit sipas formulës (-j +/- d) / (2 * i).
Zëvendësimi i rezultatit të marrë në barazinë origjinale për verifikim.

Disa raste të veçanta

Në varësi të koeficientëve, zgjidhja mund të thjeshtohet disi. Natyrisht, nëse koeficienti i një ndryshoreje ndaj fuqisë së dytë është zero, atëherë fitohet një barazi lineare. Kur koeficienti i një ndryshoreje ndaj fuqisë së parë është zero, atëherë janë të mundshme dy opsione:

polinomi zgjerohet në një diferencë katrorësh kur termi i lirë është negativ;
për një konstante pozitive, nuk mund të gjenden zgjidhje reale.

Nëse termi i lirë është zero, atëherë rrënjët do të jenë (0; -j)

Por ka raste të tjera të veçanta që thjeshtojnë gjetjen e një zgjidhjeje.

Ekuacioni i shkallës së dytë të reduktuar

E dhëna quhet të tilla trinomi kuadratik, ku koeficienti përballë termit kryesor është një. Për këtë situatë, është e zbatueshme teorema e Vietës, e cila thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e ndryshores në fuqinë e parë, shumëzuar me -1, dhe produkti korrespondon me konstanten "k".

Prandaj, w1 + w2 është e barabartë me -j dhe w1 * w2 është e barabartë me k nëse koeficienti i parë është një. Për të verifikuar korrektësinë e këtij përfaqësimi, mund të shprehni w2 = -j - w1 nga formula e parë dhe ta zëvendësoni atë në barazinë e dytë w1 * (-j - w1) = k. Rezultati është barazia origjinale w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Është e rëndësishme të theksohet, që i * w ^ 2 + j * w + k = 0 mund të arrihet duke pjesëtuar me “i”. Rezultati do të jetë: w^2 + j1 * w + k1 = 0, ku j1 është e barabartë me j/i dhe k1 është e barabartë me k/i.

Le të shohim 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 tashmë të zgjidhura me rezultatet w1 = 1 dhe w2 = 1/2. Duhet ta ndajmë në gjysmë, si rezultat w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Le të kontrollojmë nëse kushtet e teoremës janë të vërteta për rezultatet e gjetura: 1 + 1/2 = 3/ 2 dhe 1*1/2 = 1/2.

Edhe faktori i dytë

Nëse faktori i një ndryshoreje me fuqinë e parë (j) pjesëtohet me 2, atëherë do të jetë e mundur të thjeshtohet formula dhe të kërkohet një zgjidhje përmes një të katërtës së diskriminuesit D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. rezulton w = (-j +/- d/2) / i, ku d/2 = D/4 në fuqinë 1/2.

Nëse i = 1, dhe koeficienti j është çift, atëherë zgjidhja do të jetë prodhimi i -1 dhe gjysmës së koeficientit të ndryshores w, plus/minus rrënjën e katrorit të kësaj gjysme minus konstanten “k”. Formula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Rendi më i lartë diskriminues

Diskriminuesi i trinomit të shkallës së dytë i diskutuar më sipër është më i përdoruri rast i veçantë. Në rastin e përgjithshëm, diskriminuesi i një polinomi është katrorët e shumëzuar të dallimeve të rrënjëve të këtij polinomi. Prandaj, diskriminuesi e barabartë me zero tregon praninë e të paktën dy zgjidhjeve të shumëfishta.

Konsideroni i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Supozoni se diskriminuesi kalon zero. Kjo do të thotë se ka tre rrënjë në rajonin e numrave realë. Në zero ka shumë zgjidhje. Nëse D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Videoja jonë do t'ju tregojë në detaje rreth llogaritjes së diskriminuesit.

Nuk morët përgjigje për pyetjen tuaj? Sugjeroni një temë për autorët.

Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në terma ekuacioni kuadratik fjala kyçe është "katror". Kjo do të thotë se në ekuacion Domosdoshmërisht duhet të ketë një x në katror. Përveç tij, ekuacioni mund (ose jo!) të përmbajë vetëm X (në fuqinë e parë) dhe vetëm një numër (anëtar i lirë). Dhe nuk duhet të ketë X për një fuqi më të madhe se dy.

Duke folur gjuha matematikore, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c- disa numra. b dhe c- absolutisht çdo, por A– çdo gjë tjetër përveç zeros. Për shembull:

Këtu A =1; b = 3; c = -4

Këtu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu A =-3; b = 6; c = -18

Epo, ju e kuptoni ...

Në këto ekuacione kuadratike në të majtë ka komplet i plotë anëtarët. X në katror me një koeficient A, x në fuqinë e parë me koeficient b Dhe anëtar i lirë s.

Ekuacionet e tilla kuadratike quhen plot.

Dhe nëse b= 0, çfarë marrim? Ne kemi X do të humbasë në fuqinë e parë. Kjo ndodh kur shumëzohet me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dhe kështu me radhë. Dhe nëse të dy koeficientët b Dhe c janë të barabarta me zero, atëherë është edhe më e thjeshtë:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Ekuacione të tilla ku diçka mungon quhen ekuacionet kuadratike jo të plota. E cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Nga rruga, pse A nuk mund të jetë e barabartë me zero? Dhe ju zëvendësoni në vend të kësaj A zero.) X-ja jonë në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe zgjidhja është krejtësisht e ndryshme ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. E plotë dhe e paplotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë të lehta për t'u zgjidhur. Sipas formulave dhe të qarta rregulla të thjeshta. Në fazën e parë është e nevojshme ekuacioni i dhënë të çojë në një formë standarde, d.m.th. në formën:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, A, b Dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Por më shumë rreth tij më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ato. koeficientët nga një ekuacion kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c Ne llogarisim në këtë formulë. Le të zëvendësojmë me shenjat tuaja! Për shembull, në ekuacionin:

A =1; b = 3; c= -4. Këtu e shkruajmë atë:

Shembulli është pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Gjithçka është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë, mendoni se është e pamundur të bëni një gabim? Epo, po, si ...

Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku të ngatërrohemi?), por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Ajo që ndihmon këtu është një regjistrim i detajuar i formulës me numra specifikë. Nëse ka probleme me llogaritjet, beje ate!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:

A e keni njohur?) Po! Kjo ekuacionet kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota.

Ato gjithashtu mund të zgjidhen duke përdorur një formulë të përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë janë të barabarta këtu. a, b dhe c.

Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më thjeshtë. Pa asnjë formulë. Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë jo të plotë. Çfarë mund të bëni në anën e majtë? Ju mund të hiqni X nga kllapa! Le ta nxjerrim.

Dhe çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk më besoni? Mirë, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk punon? Kjo eshte...
Prandaj, mund të shkruajmë me besim: x 1 = 0, x 2 = 4.

Të gjitha. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja janë të përshtatshme. Kur zëvendësojmë ndonjë prej tyre në ekuacionin origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë sesa përdorimi i formulës së përgjithshme. Më lejoni të vërej, meqë ra fjala, cili X do të jetë i pari dhe cili do të jetë i dyti - absolutisht indiferent. Është i përshtatshëm për të shkruar në mënyrë, x 1- çfarë është më e vogël dhe x 2- ajo që është më e madhe.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Lëvizni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Gjithçka që mbetet është të nxjerrim rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të rezultojë:

Gjithashtu dy rrënjë . x 1 = -3, x 2 = 3.

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminuese ! Rrallëherë një gjimnazist nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "ne zgjidhim përmes një diskriminuesi" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nga diskriminuesi nuk ka nevojë të presësh marifete! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim.) Ju kujtoj formulën më të përgjithshme për zgjidhje ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Zakonisht diskriminuesi shënohet me shkronjë D. Formula diskriminuese:

D = b 2 - 4ac

Dhe çfarë është kaq e mrekullueshme në këtë shprehje? Pse meritonte një emër të veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Pas te gjithave -b, ose 2a në këtë formulë nuk e quajnë konkretisht asgjë... Letrat dhe shkronjat.

Këtu është gjëja. Kur zgjidhni një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë se rrënja mund të nxirret prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo keq është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë do të keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja ose zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike. Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të merret. Epo, në rregull. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Sinqerisht, kur zgjidhje e thjeshtë ekuacionet kuadratike, koncepti i një diskriminuesi nuk kërkohet veçanërisht. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë dhe numërojmë. Gjithçka ndodh atje vetvetiu, dy rrënjë, një dhe asnjë. Sidoqoftë, kur zgjidhni detyra më komplekse, pa njohuri kuptimi dhe formula e diskriminuesit jo mjaftueshem. Sidomos në ekuacionet me parametra. Ekuacione të tilla janë aerobatikë për Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Kështu që, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nepermjet diskriminuesit qe kujtove. Ose keni mësuar, gjë që gjithashtu nuk është e keqe.) Ju dini të përcaktoni saktë a, b dhe c. A e dini se si? me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. Ju e kuptoni se fjala kyçe këtu është me vëmendje?

Takimi i parë . Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe ta sillni atë në formën standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Një minus para një X në katror mund t'ju shqetësojë vërtet. Është e lehtë të harrosh... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit. Vendosni vetë. Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.

Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Sipas teoremës së Vietës. Mos kini frikë, unë do t'ju shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar gjëja e fundit ekuacionin. Ato. ai që përdorëm për të shkruar formulën rrënjësore. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1, kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton t'i shumohen ato. Rezultati duhet të jetë një anëtar i lirë, d.m.th. në rastin tonë -2. Ju lutemi vini re, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën tuaj . Nëse nuk funksionon, do të thotë se ata tashmë kanë dështuar diku. Kërkoni për gabimin.

Nëse funksionon, duhet të shtoni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Koeficienti duhet të jetë b Me e kundërt i njohur. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient b, e cila është para X, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë!
Është për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1. Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë gjithnjë e më pak gabime.

Pritja e treta . Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me një emërues të përbashkët siç përshkruhet në mësimin "Si të zgjidhim ekuacionet? Transformimet e identitetit". Kur punoni me thyesa, gabimet vazhdojnë të zvarriten për disa arsye ...

Nga rruga, unë premtova të thjeshtoja shembullin e keq me një mori minusesh. Ju lutem! Këtu është ai.

Për të mos u ngatërruar nga minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo eshte e gjitha! Zgjidhja është një kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij është i barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Beje!

Tani mund të vendosim.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Përgjigjet (në rrëmujë):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - çdo numër

x 1 = -3
x 2 = 3

asnjë zgjidhje

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

A përshtatet gjithçka? E shkëlqyeshme! Ekuacionet kuadratike nuk janë gjëja juaj dhimbje koke. Tre të parat funksionuan, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është me ekuacionet kuadratike. Problemi është në transformimet identike të ekuacioneve. Hidhini një sy lidhjes, është e dobishme.

Nuk funksionon fare? Apo nuk funksionon fare? Më pas do t'ju ndihmojë seksioni 555. Të gjithë këta shembuj janë zbërthyer atje. Treguar kryesore gabimet në zgjidhje. Natyrisht, flet edhe për përdorimin transformimet e identitetit në vendim ekuacione të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Diskriminuesi ju lejon të zgjidhni çdo ekuacion kuadratik duke përdorur formulë e përgjithshme, e cila duket si kjo:

Formula diskriminuese varet nga shkalla e polinomit. Formula e mësipërme është e përshtatshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike llojin e mëposhtëm:

Diskriminuesi ka vetitë e mëposhtme gjërat që duhet të dini:

* "D" është 0 kur polinomi ka rrënjë të shumta ( rrënjë të barabarta);

* "D" është një polinom simetrik në lidhje me rrënjët e polinomit dhe për rrjedhojë është një polinom në koeficientët e tij; për më tepër, koeficientët e këtij polinomi janë numra të plotë pavarësisht nga shtrirja në të cilën janë marrë rrënjët.

Le të themi se na është dhënë një ekuacion kuadratik i formës së mëposhtme:

1 ekuacion

Sipas formulës kemi:

Meqenëse \, ekuacioni ka 2 rrënjë. Le t'i përcaktojmë ato:

Ku mund të zgjidh një ekuacion duke përdorur një zgjidhës diskriminues në internet?

Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzimet e videos dhe të zbuloni se si të zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ndonjë pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike

Zgjidhja e ekuacioneve diskriminuese kuadratike. Ekuacionet kuadratike