itthon » Ehető gomba » Melyik ország elnöke Szaddám Huszein. Szaddám Husszein - az egykori diktátor életrajza

Melyik ország elnöke Szaddám Huszein. Szaddám Husszein - az egykori diktátor életrajza

A tudomány legzseniálisabb felfedezései gyökeresen megváltozhatnak emberi élet. A feltalált vakcina emberek millióit mentheti meg, éppen ellenkezőleg, elveszi ezeket az életeket. Újabban (méretezésre az emberi evolúció) megtanultuk „megszelídíteni” az elektromosságot – és most már nem tudjuk elképzelni az életet mindezen kényelmes, elektromos áramot használó eszközök nélkül. De vannak olyan felfedezések is, amelyeknek kevesen tulajdonítanak jelentőséget, pedig ezek is nagyban befolyásolják életünket.

Az egyik ilyen „nem feltűnő” felfedezés a fraktálok. Biztosan hallottad már ezt a fülbemászó szót, de tudod, mit jelent, és mennyi érdekes információt rejt ez a kifejezés?

Minden emberben megvan a természetes kíváncsiság, a vágy, hogy megértse az őt körülvevő világot. És ebben a törekvésében az ember megpróbál ragaszkodni a logikához az ítéletekben. A körülötte zajló folyamatokat elemezve igyekszik megtalálni a történések logikáját, és valamilyen mintát levezetni. A legtöbb nagy elmék a bolygón el vannak foglalva ezzel a feladattal. Nagyjából elmondható, hogy a tudósok olyan mintát keresnek, ahol nem kellene. Ennek ellenére még a káoszban is lehet összefüggéseket találni az események között. És ez a kapcsolat egy fraktál.

Négy és fél éves kislányunk most bent van nagy kor, amikor a "Miért?" sokszorosa meghaladja a felnőttek által adott válaszok számát. Nemrég egy földből kiemelt ág vizsgálata közben a lányom hirtelen észrevette, hogy ez az ág gallyaival és ágaival maga is úgy néz ki, mint egy fa. És persze ezután következett a szokásos „Miért?” kérdés, amelyre a szülőknek egyszerű, a gyerek számára érthető magyarázatot kellett keresniük.

Egyetlen ág hasonlósága egy egész fával, amelyet egy gyermek fedezett fel, nagyon pontos megfigyelés, ami ismét a természetben rekurzív önhasonlóság elvéről tanúskodik. A természetben sok szerves és szervetlen forma hasonló módon jön létre. Felhők, tengeri kagylók, csiga „háza”, a fák kérge és koronája, a keringési rendszer és így tovább – mindezen objektumok véletlenszerű alakja fraktálalgoritmussal leírható.

⇡ Benoit Mandelbrot: a fraktálgeometria atyja

Maga a „fraktál” szó a zseniális tudósnak, Benoit B. Mandelbrotnak köszönhetően jelent meg.

Ő maga alkotta meg ezt a kifejezést az 1970-es években, a fractus szót a latinból kölcsönözve, ahol szó szerint azt jelenti, hogy „törött” vagy „összetört”. Mi az? Ma a „fraktál” szó leggyakrabban azt jelenti grafikus képönmagukhoz hasonló szerkezetek nagyobb léptékben.

A fraktálelmélet kialakulásának matematikai alapja sok évvel Benoit Mandelbrot születése előtt feküdt, de csak a számítástechnikai eszközök megjelenésével fejlődhetett ki. Ennek elején tudományos tevékenység Benoit az IBM kutatóközpontjában dolgozott. Abban az időben a központ munkatársai az adatok távolról történő továbbításán dolgoztak. Kutatásuk során a tudósok problémába ütköztek nagy veszteségek zaj interferencia miatt keletkezik. Benoit nehéz és nagyon nehéz helyzetbe került fontos feladat— megérteni, hogyan lehet megjósolni az elektronikus áramkörökben előforduló zaj interferenciát, amikor statisztikai módszer hatástalannak bizonyul.

A zajmérések eredményeit átnézve Mandelbrot egy furcsa mintát vett észre - a különböző léptékű zajgrafikonok ugyanúgy néztek ki. Azonos mintát figyeltek meg, függetlenül attól, hogy egy napra, egy hétre vagy egy órára vonatkozó zajgrafikonról volt szó. Meg kellett változtatni a grafikon léptékét, és a kép minden alkalommal megismétlődött.

Benoit Mandelbrot élete során többször is elmondta, hogy nem képleteket tanult, hanem egyszerűen csak a képekkel játszott. Ez az ember nagyon képletesen gondolkodott, és bármilyen algebrai problémát lefordított a geometria területére, ahol szerinte a helyes válasz mindig nyilvánvaló.

Nem meglepő, hogy egy ilyen gazdag térbeli képzelőerővel rendelkező ember lett a fraktálgeometria atyja. Végül is a fraktálok lényegének tudatosítása pontosan akkor jön el, amikor elkezdi tanulmányozni a rajzokat, és elgondolkodni a furcsa örvényminták jelentésén.

A fraktálminta nem tartalmaz azonos elemeket, de bármilyen léptékben hasonló. Készítsen egy ilyen képet magas fokozat A kézi részletezés korábban egyszerűen lehetetlen volt; Például Pierre Joseph Louis Fatou francia matematikus több mint hetven évvel Benoit Mandelbrot felfedezése előtt írta le ezt a halmazt. Ha már az önhasonlóság elveiről beszélünk, Leibniz és Georg Cantor műveiben említették őket.

Az egyik első fraktálrajz a Mandelbrot-készlet grafikus értelmezése volt, amely Gaston Maurice Julia kutatásának köszönhetően született.

Gaston Julia (mindig maszkot visel – sérülés az első világháborúból)

Ez a francia matematikus azon töprengett, hogyan nézne ki egy halmaz, ha egy cikluson keresztül iterált egyszerű képletből épülne fel Visszacsatolás. Ha „ujjunkra” magyarázzuk, akkor ez azt jelenti, hogy egy adott számhoz a képlet segítségével új értéket találunk, ami után újra behelyettesítjük a képletbe, és egy másik értéket kapunk. Az eredmény egy nagy számsorozat.

Ahhoz, hogy teljes képet kapjon egy ilyen készletről, hatalmas számú számítást kell elvégeznie - több száz, ezer, millió. Ezt egyszerűen lehetetlen volt manuálisan megtenni. Amikor azonban nagy teljesítményű számítástechnikai eszközök váltak elérhetővé a matematikusok számára, új pillantást vethettek a képletekre és kifejezésekre, amelyek már régóta érdekeltek. Mandelbrot volt az első, aki számítógépet használt a klasszikus fraktál kiszámításához. Egy nagyszámú értékből álló sorozat feldolgozása után Benoit grafikonon ábrázolta az eredményeket. Ezt kapta.

Ezt követően ezt a képet kiszínezték (például a színezés egyik módja az iterációk száma), és az egyik legnépszerűbb ember által valaha készített kép lett.

Ahogy az efezusi Hérakleitosznak tulajdonított ősi mondás mondja: „Nem léphetsz kétszer ugyanabba a folyóba.” Kiválóan alkalmas a fraktálok geometriájának értelmezésére. Bármilyen részletesen is nézünk egy fraktálképet, mindig hasonló mintát fogunk látni.

Azok, akik szeretnének látni, hogyan nézne ki egy kép a Mandelbrot-térről sokszoros nagyítással, az animált GIF letöltésével megtehetik.

⇡ Lauren Carpenter: a természet által létrehozott művészet

A fraktálok elmélete hamarosan gyakorlati alkalmazásra talált. Mivel szorosan kapcsolódik az önhasonló képek megjelenítéséhez, nem meglepő, hogy a szokatlan formák megalkotására szolgáló algoritmusokat és elveket először a művészek alkalmazták.

A legendás Pixar stúdió leendő társalapítója, Loren C. Carpenter 1967-ben kezdett dolgozni a Boeing Computer Services-nél, amely a híres, új repülőgépeket fejlesztő cég egyik részlege volt.

1977-ben prezentációkat készített repülőmodellek prototípusaival. Loren feladatai közé tartozott a tervezett repülőgép képeinek elkészítése. Új modellekről kellett képeket készítenie, amelyeken a jövő repülőgépeit mutatták be különböző oldalak. A Pixar Animation Studios leendő alapítója valamikor azzal a kreatív ötlettel állt elő, hogy hegyek képét használja háttérként. Ma már minden iskolás meg tud oldani egy ilyen problémát, de a múlt század hetvenes éveinek végén a számítógépek nem tudtak megbirkózni ilyen bonyolult számításokkal - nem voltak grafikus szerkesztők, nem is beszélve a 3D-s grafikák alkalmazásáról. 1978-ban Lauren véletlenül meglátta Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Chance and Dimension című könyvét egy boltban. Ebben a könyvben az keltette fel figyelmét, hogy Benoit nagyon sok példát hozott a fraktálformákra. való életés azzal érveltek, hogy leírhatók egy matematikai kifejezéssel.

Ezt a hasonlatot a matematikus nem véletlenül választotta. Az tény, hogy amint publikálta kutatásait, a kritikák egész záporával kellett szembenéznie. A kollégái elsősorban a kidolgozott elmélet haszontalanságát rótták fel neki. „Igen – mondták –, ezek gyönyörű képek, de semmi több. A fraktálok elméletének nincs gyakorlati értéke.” Voltak olyanok is, akik általában úgy vélték, hogy a fraktálmintázatok egyszerűen az „ördögi gépek” munkájának melléktermékei, amelyek a hetvenes évek végén sokak számára túl bonyolultnak és feltáratlannak tűntek ahhoz, hogy teljesen megbízhassanak benne. Mandelbrot megpróbált kézenfekvő alkalmazásokat találni a fraktálelmélet számára, de a dolgok nagy rendszerében nem volt rá szüksége. A következő 25 év során Benoit Mandelbrot követői bebizonyították egy ilyen „matematikai érdekesség” óriási előnyeit, és Lauren Carpenter volt az egyik első, aki a gyakorlatban is kipróbálta a fraktál módszert.

A könyv tanulmányozása után a leendő animátor komolyan tanulmányozta a fraktálgeometria alapelveit, és elkezdte keresni a módját annak megvalósítására. számítógépes grafika. Mindössze három munkanap alatt Lauren képes volt elképzelni valósághű kép hegyi rendszer a számítógépén. Vagyis képletekkel festett egy teljesen felismerhető hegyi tájat.

Az elv, amelyet Lauren a cél eléréséhez használt, nagyon egyszerű volt. Ez abból állt, hogy egy nagyobb geometriai alakzatot apró elemekre osztottunk, és ezeket pedig hasonló, kisebb méretű figurákra osztották.

Carpenter nagyobb háromszögeket használva négy kisebbre osztotta őket, majd újra és újra megismételte ezt a folyamatot, amíg valósághű hegyi tájat nem kapott. Így sikerült ő az első művész, aki fraktál algoritmust használt a számítógépes grafika képalkotására. Amint híre vált a műről, a rajongók szerte a világon átvették az ötletet, és elkezdték a fraktál algoritmust használni a valósághű természeti formák utánzására.

Az egyik első 3D-s vizualizáció fraktálalgoritmust használva

Alig néhány évvel később Lauren Carpenter sokkal többre tudta alkalmazni fejlesztéseit nagyszabású projekt. Az animátor elkészítette belőlük a Vol Libre kétperces demóját, amit 1980-ban mutattak be a Siggraphon. Ez a videó mindenkit sokkolt, aki látta, és Lauren meghívást kapott a Lucasfilmtől.

Az animáció a Digital Equipment Corporation VAX-11/780 számítógépén készült, öt megahertzes órajellel, és minden képkocka körülbelül fél órát vett igénybe.

A Lucasfilm Limitednél dolgozó animátor a Star Trek saga második teljes hosszúságú filmjéhez ugyanezt a sémát alkalmazva 3D tájképeket készített. A Khan haragjában Carpenter egy egész bolygót tudott létrehozni ugyanazzal a fraktálfelület-modellezési elvvel.

Jelenleg a 3D tájképek létrehozására szolgáló összes népszerű alkalmazás hasonló előállítási elvet használ természeti tárgyak. A Terragen, Bryce, Vue és más 3D szerkesztők fraktálalgoritmusra támaszkodnak a felületek és textúrák modellezéséhez.

⇡ Fraktálantennák: a kevesebb több

Az elmúlt fél évszázadban az élet gyorsan megváltozott. A legtöbben elfogadjuk az eredményeket modern technológiák magától értetődőnek. Nagyon gyorsan megszoksz mindent, ami kényelmesebbé teszi az életet. Ritkán teszi fel valaki a kérdést: „Honnan jött ez?” és "Hogyan működik?" A mikrohullámú sütő felmelegíti a reggelit – nagyszerű, egy okostelefon lehetőséget ad arra, hogy beszélgessen egy másik személlyel – nagyszerű. Ez nyilvánvaló lehetőségnek tűnik számunkra.

De az élet egészen másképp alakulhatott volna, ha az ember nem keresett volna magyarázatot a zajló eseményekre. Vegyük például a mobiltelefonokat. Emlékszel az első modellek visszahúzható antennáira? Beavatkoztak, megnövelték az eszköz méretét, és a végén gyakran elromlott. Úgy gondoljuk, hogy örökre a feledés homályába merültek, és ennek részben a... fraktálok az okai.

A fraktálminták lenyűgöznek mintáikkal. Határozottan hasonlítanak a kozmikus objektumok képeire – ködök, galaxishalmazok stb. Ezért teljesen természetes, hogy amikor Mandelbrot hangot adott a fraktálok elméletének, kutatása okozta fokozott érdeklődés akik csillagászatot tanultak. Az egyik ilyen amatőr, Nathan Cohen, miután részt vett Benoit Mandelbrot budapesti előadásán, megihlette a megszerzett tudás gyakorlati alkalmazásának gondolatát. Igaz, ezt ösztönösen tette, és a véletlennek fontos szerepe volt felfedezésében. Rádióamatőrként Nathan a lehető legnagyobb érzékenységű antenna létrehozására törekedett.

Az antenna akkoriban ismert paramétereinek javításának egyetlen módja a geometriai méretek növelése volt. A Boston belvárosában található ingatlan tulajdonosa azonban, amelyet Nathan bérelt, határozottan ellenezte a nagyméretű eszközök tetőre szerelését. Aztán Nathan kísérletezni kezdett különféle formák antennákkal, próbálva a maximális eredményt elérni minimális méretek. A fraktálformák ötlete által ihletett Cohen, mint mondják, véletlenszerűen készítette el drótból az egyik leghíresebb fraktált - a „Koch hópehelyet”. Helge von Koch svéd matematikus 1904-ben találta ki ezt a görbét. Ezt úgy kapjuk meg, hogy egy szegmenst három részre osztunk, és a középső szegmenst helyettesítjük egyenlő oldalú háromszög ezzel a szegmenssel egybeeső oldal nélkül. A meghatározást kissé nehéz megérteni, de az ábrán minden világos és egyszerű.

A Koch-görbének más változatai is léteznek, de a görbe hozzávetőleges alakja hasonló marad

Amikor Nathan csatlakoztatta az antennát a rádióvevőhöz, nagyon meglepődött - az érzékenység drámaian megnőtt. A Boston Egyetem leendő professzora kísérletsorozat után rájött, hogy a fraktálminta szerint készült antenna nagy hatásfokú, és a klasszikus megoldásokhoz képest jóval szélesebb frekvenciatartományt fed le. Ezenkívül az antenna alakja fraktálgörbe formájában lehetővé teszi a geometriai méretek jelentős csökkentését. Nathan Cohen még egy tétellel is előállt, amely bizonyítja, hogy egy szélessávú antenna létrehozásához elegendő egy önhasonló fraktálgörbe alakját adni neki.

A szerző szabadalmaztatta felfedezését, és céget alapított a Fractal Antenna Systems fraktálantennák fejlesztésére és tervezésére, joggal gondolva, hogy a jövőben felfedezésének köszönhetően a mobiltelefonok képesek lesznek megszabadulni a terjedelmes antennáktól, és kompaktabbá válnak.

Elvileg ez történt. Igaz, a mai napig Nathan vezet pereskedés nagyvállalatokkal, amelyek illegálisan használják fel felfedezését kompakt kommunikációs eszközök előállítására. Néhány ismert mobileszköz-gyártó, például a Motorola már békés megállapodást kötött a fraktálantenna feltalálójával.

⇡ Fraktál dimenziók: az eszeddel nem tudod megérteni

Benoit ezt a kérdést a híres amerikai tudóstól, Edward Kasnertől kölcsönözte.

Ez utóbbi, mint sok más híres matematikus, szeretett kommunikálni a gyerekekkel, kérdéseket tettek fel nekik, és váratlan válaszokat kaptak. Ez néha meglepő következményekkel járt. Például Edward Kasner kilencéves unokaöccse találta ki a ma már jól ismert „googol” szót, ami azt jelenti, hogy egy, majd száz nulla. De térjünk vissza a fraktálokhoz. Az amerikai matematikus előszeretettel tette fel a kérdést, milyen hosszú az Egyesült Államok partvonala. Miután meghallgatta beszélgetőpartnere véleményét, maga Edward mondta ki a helyes választ. Ha a térképen tört szakaszokkal méri a hosszt, az eredmény pontatlan lesz, mivel a partvonal rendelkezik nagyszámú egyenetlenség. Mi történik, ha a lehető legpontosabban mérünk? Figyelembe kell vennie minden egyenetlenség hosszát - meg kell mérnie minden fokot, minden öblöt, sziklát, egy sziklás párkány hosszát, egy követ, egy homokszemet, egy atomot stb. Mivel az egyenetlenségek száma a végtelenbe hajlik, a partvonal mért hossza a végtelenségig növekszik minden új szabálytalanság mérésekor.

Minél kisebb a méret méréskor, annál hosszabb a mért hossz

Érdekes módon Edward felszólítására a gyerekek sokkal gyorsabban mondták ki a helyes megoldást, mint a felnőttek, míg az utóbbiak nehezen fogadták el az ilyen hihetetlen választ.

Ezt a problémát példaként használva Mandelbrot a használatát javasolta új megközelítés a mérésekhez. Mivel a partvonal közel van egy fraktálgörbéhez, ez azt jelenti, hogy egy jellemző paraméter alkalmazható rá - az úgynevezett fraktáldimenzió.

Hogy mi a szabályos dimenzió, az mindenki számára világos. Ha a méret egyenlő eggyel, akkor egy egyenest kapunk, ha kettő - lapos alak, három - kötet. A dimenziónak ez a matematikai megértése azonban nem működik fraktálgörbék esetén, ahol ez a paraméter igen tört érték. A matematikában a fraktáldimenziót hagyományosan „durvaságnak” tekinthetjük. Minél nagyobb a görbe érdessége, annál nagyobb a fraktáldimenziója. Egy görbe, amelynek Mandelbrot szerint a fraktáldimenziója nagyobb, mint az övé topológiai dimenzió, hozzávetőleges kiterjedése nem függ a dimenziók számától.

Jelenleg a tudósok egyre több területet találnak a fraktálelmélet alkalmazására. A fraktálok segítségével elemezheti a tőzsdei árfolyamok ingadozásait, tanulmányozhatja mindenféle természetes folyamatot, például a fajok számának ingadozását, vagy szimulálhatja az áramlások dinamikáját. Fraktál algoritmusok használhatók adattömörítésre, például képtömörítésre. És mellesleg ahhoz, hogy egy gyönyörű fraktál megjelenjen a számítógép képernyőjén, nem kell doktori fokozatot szereznie.

⇡ Fractal a böngészőben

Talán az egyik legegyszerűbb módja a fraktálminta megszerzésének, ha a fiatal tehetséges programozó, Toby Schachman online vektorszerkesztőjét használjuk. Ennek az egyszerű grafikus szerkesztőnek az eszközei ugyanazon az önhasonlóság elvén alapulnak.

Csak két egyszerű forma áll a rendelkezésére – egy négyszög és egy kör. Hozzáadhatja őket a vászonhoz, méretezheti (az egyik tengely mentén történő méretezéshez tartsa lenyomva a Shift billentyűt), és elforgathatja őket. A logikai összeadási műveletek elve szerint átfedve ezek a legegyszerűbb elemek új, kevésbé triviális formákat alkotnak. Ezek az új formák ezután hozzáadhatók a projekthez, és a program a végtelenségig megismétli a képek generálását. A fraktálon végzett munka bármely szakaszában visszatérhet bármely komponenshez összetett formaés módosítsa a helyzetét és geometriáját. Szórakoztató tevékenység, különösen, ha figyelembe vesszük, hogy az egyetlen eszköz, amelyre szüksége van a létrehozáshoz, egy böngésző. Ha nem érti a rekurzív vektorszerkesztővel való munka elvét, javasoljuk, hogy nézze meg a projekt hivatalos webhelyén található videót, amely részletesen bemutatja a fraktál létrehozásának teljes folyamatát.

⇡ XaoS: fraktálok minden ízléshez

Számos grafikus szerkesztő rendelkezik beépített eszközökkel a fraktálminták létrehozásához. Ezek az eszközök azonban általában másodlagosak, és nem teszik lehetővé a generált fraktálmintázat finomhangolását. Azokban az esetekben, amikor szükség van egy matematikailag pontos fraktál létrehozására, a XaoS keresztplatformos szerkesztő segít. Ez a program nemcsak önhasonló kép készítését teszi lehetővé, hanem különféle manipulációk elvégzését is lehetővé teszi vele. Például valós időben „sétálhat” egy fraktál mentén a léptékének megváltoztatásával. A fraktál mentén animált mozgás XAF fájlként menthető, majd magában a programban reprodukálható.

A XaoS véletlenszerű paraméterkészletet tud betölteni, és különféle kép-utófeldolgozási szűrőket is használhat – elmosódott mozgási effektust adhat hozzá, éles átmeneteket simíthat ki a fraktálpontok között, szimulálhat egy 3D-s képet, és így tovább.

⇡ Fractal Zoomer: kompakt fraktálgenerátor

A többi fraktál képgenerátorhoz képest számos előnnyel rendelkezik. Először is, nagyon kis méretű, és nem igényel telepítést. Másodszor, megvalósítja a kép színpalettájának meghatározását. RGB, CMYK, HVS és HSL színmodellek közül választhat árnyalatokat.

Nagyon kényelmes a színárnyalatok véletlenszerű kiválasztásának és a kép összes színének megfordításának funkciója is. A szín beállításához az árnyalatok ciklikus kiválasztásának funkciója van - amikor bekapcsolja a megfelelő módot, a program animálja a képet, ciklikusan változtatva rajta a színeket.

A Fractal Zoomer 85 különböző fraktálfüggvényt képes megjeleníteni, a képletek pedig jól láthatóak a programmenüben. A programban vannak szűrők a képek utófeldolgozására, bár kis mennyiségben. Minden hozzárendelt szűrő bármikor törölhető.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktálszerkesztő

Amikor a „fraktál” kifejezést használjuk, az leggyakrabban lapos, kétdimenziós képre utal. A fraktálgeometria azonban túlmutat a 2D dimenzión. A természetben egyaránt találhatunk példákat lapos fraktálformákra, mondjuk a villám geometriájára, és háromdimenziós térfogati figurákra. A fraktálfelületek lehetnek háromdimenziósak, és a 3D fraktálok egyik nagyon világos illusztrációi Mindennapi élet- fej káposzta. Talán a legjobb módja a fraktálok megtekintésének a Romanesco fajta, a karfiol és a brokkoli hibridje.

Ezt a fraktált is megeheti

A Mandelbulb3D program hasonló alakú háromdimenziós objektumokat tud létrehozni. A 3D felület fraktálalgoritmus segítségével történő előállításához az alkalmazás szerzői, Daniel White és Paul Nylander a Mandelbrot halmazt a következőre konvertálták. gömbi koordináták. Az általuk készített Mandelbulb3D program egy igazi háromdimenziós szerkesztő, amely fraktálfelületeket modellez különböző formák. Mivel gyakran megfigyelünk fraktálmintákat a természetben, egy mesterségesen létrehozott háromdimenziós fraktál objektum hihetetlenül valósághűnek, sőt „élőnek” tűnik.

Hasonlíthat egy növényre, hasonlíthat egy furcsa állatra, egy bolygóra vagy valami másra. Ezt a hatást fokozza egy fejlett renderelő algoritmus, amely lehetővé teszi a valósághű tükröződések elérését, az átlátszóság és az árnyékok kiszámítását, a mélységélesség hatásának szimulálását stb. A Mandelbulb3D rengeteg beállítást és megjelenítési lehetőséget kínál. Szabályozhatja a fényforrások árnyalatait, kiválaszthatja a szimulált objektum hátterét és részletességi szintjét.

Az Incendia fraktálszerkesztő támogatja a dupla képsimítást, ötven különböző háromdimenziós fraktálból álló könyvtárat tartalmaz, és külön modullal rendelkezik az alapformák szerkesztésére.

Az alkalmazás fraktál szkriptet használ, amellyel önállóan írhat le új típusú fraktálterveket. Az Incendia rendelkezik textúra- és anyagszerkesztőkkel, a renderelő motor pedig lehetővé teszi volumetrikus ködeffektusok és különféle shaderek használatát. A program megvalósítja a puffer mentésének lehetőségét a hosszú távú renderelés során, és támogatja az animáció készítését.

Az Incendia lehetővé teszi a fraktál modellek exportálását népszerű 3D grafikai formátumokba - OBJ és STL. Az Incendia tartalmaz egy kis Geometrica segédprogramot – egy speciális eszközt a fraktálfelület exportjának beállításához. 3D modell. Ezzel a segédprogrammal meghatározhatja egy 3D felület felbontását és megadhatja a fraktál iterációk számát. Az exportált modellek 3D-s projektekben használhatók, amikor 3D-szerkesztőkkel, például Blenderrel, 3ds max-mal és másokkal dolgozik.

BAN BEN Utóbbi időben némileg lelassult a munka az Incendia projekten. Tovább Ebben a pillanatban a szerző szponzorokat keres a program kidolgozásához.

Ha nincs elég fantáziája egy gyönyörű háromdimenziós fraktál rajzolásához ebben a programban, ez nem számít. Használja a paraméterkönyvtárat, amely az INCENDIA_EX\parameters mappában található. A PAR fájlok segítségével gyorsan megtalálhatja a legszokatlanabb fraktál alakzatokat, beleértve az animált alakzatokat is.

⇡ Aural: hogyan énekelnek a fraktálok

Általában nem azokról a projektekről beszélünk, amelyeken éppen dolgozunk, hanem benn ebben az esetben kivételt kell tennünk, ez egy nagyon szokatlan alkalmazás. Az Aural nevű projektet ugyanaz a személy találta ki, aki létrehozta az Incendiát. A program azonban ezúttal nem vizualizálja a fraktálkészletet, hanem megszólaltatja, elektronikus zenévé alakítva. Az ötlet nagyon érdekes, különösen a fraktálok szokatlan tulajdonságait figyelembe véve. Az Aural egy hangszerkesztő, amely fraktál algoritmusok segítségével generál dallamokat, vagyis lényegében egy hangszintetizátor-szekvenátor.

A program által előállított hangsor szokatlan és... gyönyörű. Nagyon hasznos lehet az íráshoz modern ritmusokés véleményünk szerint különösen alkalmas televízió- és rádióműsorok filmzenéinek, valamint számítógépes játékok háttérzenei „huroknak” a készítésére. Ramiro még nem nyújtotta be a programjának demóját, de megígéri, hogy ha megteszi, ahhoz, hogy az Aurallal dolgozhasson, nem kell fraktálelméletet tanulnia, hanem csak a sorozat generálására szolgáló algoritmus paramétereivel kell játszania. jegyzetek. Hallgassa meg a fraktálok hangját, és.

Fraktálok: zenei szünet

Valójában a fraktálok segíthetnek a zeneírásban anélkül is szoftver. De ezt csak az teheti meg, akit valóban átitat a természetes harmónia gondolata, és aki nem vált szerencsétlen „majová”. Érdemes követni egy Jonathan Coulton nevű zenész példáját, aki többek között kompozíciókat ír a Popular Science magazinnak. Más előadókkal ellentétben Colton minden művét Creative Commons Nevezd meg, nem kereskedelmi licenc alatt teszi közzé, amely (nem kereskedelmi célú felhasználás esetén) biztosítja a mű ingyenes másolását, terjesztését, másoknak történő továbbítását, valamint annak módosítását ( származékos művek létrehozása), hogy az Ön feladataihoz igazítsa.

Jonathan Coltonnak természetesen van egy dala a fraktálokról.

⇡ Következtetés

Mindenben, ami körülvesz bennünket, gyakran látunk káoszt, de valójában ez nem véletlen, hanem egy ideális forma, amelyet a fraktálok segítenek felismerni. A természet a legjobb építész, ideális építő és mérnök. Nagyon logikusan van felépítve, és ha valahol nem látunk mintát, az azt jelenti, hogy más léptékben kell keresnünk. Az emberek ezt egyre jobban megértik, sokféleképpen próbálják utánozni természetes formák. A mérnökök kagyló alakú hangszórórendszereket terveznek, hópehely alakú antennákat készítenek stb. Biztosak vagyunk abban, hogy a fraktálok még mindig sok titkot rejtenek, és ezek közül sokat az embereknek még fel kell fedezniük.

Az NNN szerkesztői véletlenül rábukkantak egy nagyon érdekes anyag Az xtsarx felhasználó blogjában bemutatott, az elmélet elemeinek szentelt fraktálokés gyakorlati alkalmazása. Mint ismeretes, a fraktál-theria fontos szerepet játszik a nanorendszerek fizikájában és kémiájában. Hozzájárulva ehhez a jó anyaghoz, amely a számára hozzáférhető nyelven került bemutatásra széleskörű olvasóinkat, és rengeteg grafikai, sőt videóanyaggal megtámogatva ajánljuk figyelmébe. Reméljük, hogy az NNN olvasói érdekesnek találják ezt az anyagot.

A természet annyira titokzatos, hogy minél többet tanulmányozod, annál többet több kérdés megjelenik... Éjszakai villámlás - elágazó kisülések kék "sugarai", fagyos minták az ablakon, hópelyhek, hegyek, felhők, fakéreg - mindez túlmutat a szokásos euklideszi geometrián. Nem írhatunk le egy sziklát vagy egy sziget határait egyenes vonalak, körök és háromszögek segítségével. És itt jönnek a segítségünkre fraktálok. Mik ezek az ismerős idegenek?

„Mikroszkóp alatt ezt fedezte fel a bolhán
Egy bolha, amely életeket harap;
Ezen a bolhán van egy apró bolha,
Egy fog dühösen átszúr egy bolhát
Bolha, és így a végtelenségig.” D. Swift.

Egy kis történelem

Első ötletek fraktál geometria században keletkezett. A Cantor egy egyszerű rekurzív (ismétlődő) eljárással a vonalat nem összefüggő pontok gyűjteményévé alakította (az úgynevezett Cantor Dust). Fog egy sort, és eltávolítja a középső harmadot, majd megismételte ugyanezt a fennmaradó részekkel.

Rizs. 1. Peano görbe 1,2-5 iteráció.

Peano rajzolt különleges fajta vonalak. Peano a következőket tette:: Első lépésben vett egy egyenest, és 9 szegmensre cserélte, amely 3-szor rövidebb, mint az eredeti vonal hossza. Ezután ugyanezt tette a kapott vonal minden szakaszával. És így tovább a végtelenségig. Különlegessége, hogy kitölti az egész síkot. Bebizonyosodott, hogy a síkon minden ponthoz találhatunk egy pontot, amely a Peano egyeneshez tartozik. Peano görbéje és a Cantor-por túlmutat a hétköznapi geometriai tárgyakon. Nem volt egyértelmű dimenziójuk. A kántorpor látszólag egydimenziós egyenes alapján épült fel, de pontokból állt (0. dimenzió). A Peano-görbe pedig egy egydimenziós egyenes alapján készült, és az eredmény egy sík lett. A tudomány számos más területén megjelentek olyan problémák, amelyek megoldása a fent leírtakhoz hasonló furcsa eredményekhez vezetett (Browni-mozgás, részvényárfolyamok). Ezt az eljárást mindannyian elvégezhetjük...

A fraktálok atyja

századig adatok az ilyen furcsa tárgyak, rendszerezési kísérlet nélkül. Addig volt, amíg fel nem vettem őket Benoit Mandelbrot – a modern fraktálgeometria és a fraktál szó atyja.

Rizs. 2. Benoit Mandelbrot.

Miközben matematikai elemzőként dolgozott az IBM-nél, olyan elektronikus áramkörökben zajló zajokat tanulmányozott, amelyeket statisztikai adatokkal nem lehetett leírni. Fokozatosan összehasonlítva a tényeket, egy új irány felfedezéséhez jutott a matematikában - fraktál geometria.

A „fraktál” kifejezést B. Mandelbrot vezette be 1975-ben. Mandelbrot szerint fraktál(a latin „fractus” szóból - tört, törött, törött) nevezik az egészhez hasonló részekből álló szerkezet. Az önhasonlóság tulajdonsága élesen megkülönbözteti a fraktálokat a klasszikus geometria tárgyaitól. Term önhasonlóság eszközök finom, ismétlődő szerkezet jelenléte, mind az objektum legkisebb léptékén, mind a makroskálán.

Rizs. 3. A „fraktál” fogalom meghatározása felé.

Az önhasonlóság példái: Koch, Levy, Minkowski görbék, Sierpinski háromszög, Menger szivacs, Pitagorasz fa stb.

VAL VEL matematikai pont látomás, fraktál- Ez mindenekelőtt halmaz tört (köztes, „nem egész”) dimenzióval. Míg egy sima euklideszi vonal pontosan egydimenziós teret tölt ki, addig a fraktálgörbe túlnyúlik az egydimenziós tér határain, és a határokon túl lép be a kétdimenziós térbe, így a Koch-görbe fraktáldimenziója 1 és 2 között lesz Ez mindenekelőtt azt jelenti, hogy egy fraktál objektum hosszát nem lehet pontosan megmérni! A geometriai fraktálok közül az első nagyon érdekes és meglehetősen híres - Koch hópehelye.

Rizs. 4. A „fraktál” fogalom meghatározása felé.

Az alapra épül egyenlő oldalú háromszög. Ennek minden sorát 4 sor helyettesíti, mindegyik az eredeti hossz 1/3-ával. Így minden iterációval a görbe hossza harmadával növekszik. És ha megtesszük végtelen szám iterációk - fraktált kapunk - egy végtelen hosszúságú Koch-hópelyhet. Kiderült, hogy a végtelen görbénk fedi korlátozott terület. Próbálja meg ugyanezt megtenni az euklideszi geometriából származó módszerek és ábrák segítségével.
Koch hópehely dimenzió(ha egy hópehely 3-szorosára nő, a hossza négyszeresére nő) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Magáról a fraktálról

A fraktálok egyre többet találnak nagyobb alkalmazás a tudományban és a technológiában. Ennek fő oka, hogy a való világot olykor jobban leírják, mint a hagyományos fizika vagy a matematika. Végtelenül adhat példákat a természetben lévő fraktáltárgyakra - ezek felhők, hópelyhek, hegyek, villámcsapás és végül karfiol. A fraktál mint természeti tárgy örök, folyamatos mozgás, új formáció és fejlődés.

Rizs. 5. Fraktálok a közgazdaságtanban.

Kívül, fraktálok alkalmazásra találnak a decentralizált számítógépes hálózatok És "fraktál antennák" . Az úgynevezett „Browni-fraktálok” nagyon érdekesek és ígéretesek különféle sztochasztikus (nem determinisztikus) „véletlenszerű” folyamatok modellezésére. A nanotechnológia esetében a fraktálok is szerepet játszanak fontos szerep , mert hierarchikus önszerveződésük miatt sok a nanorendszerek nem egész számokkal rendelkeznek, azaz geometriai, fizikai-kémiai vagy funkcionális természetüket tekintve fraktálok. Például, ragyogó példa A kémiai fraktálrendszerek "dendrimerek" . Ezenkívül a fraktalitás elve (önhasonló, skálázó szerkezet) a rendszer hierarchikus felépítését tükrözi, ezért általánosabb és univerzálisabb, mint a nanorendszerek szerkezetének és tulajdonságainak leírásának szokásos megközelítései.

Rizs. 6. „Dendrimer” molekulák.

Rizs. 7. Kommunikáció grafikus modellje az építészeti és építési folyamatban. Az interakció első szintje a mikrofolyamatok szemszögéből.

Rizs. 8. Kommunikáció grafikus modellje az építészeti és építési folyamatban. Az interakció második szintje a makrofolyamatok szemszögéből (a modell töredéke).

Rizs. 9. Kommunikáció grafikus modellje az építészeti és építési folyamatban. Az interakció második szintje a makrofolyamatok szemszögéből (teljes modell)

Rizs. 10. A grafikus modell síkbeli fejlesztése. Az első homeosztatikus állapot.

Fraktálok és az aranymetszés "Fraktálok" 1. rész "Fraktálok" 2. rész "Fraktálok" 3. rész "Fraktálok" 4. rész "Fraktálok" 5. rész

Fotógaléria gyönyörű és szokatlan fraktálokról

Rizs. tizenegy.

Rizs. 12.

Rizs. 13.

Rizs. 14.

Rizs. 15.

Rizs. 16.

Rizs. 17.

Rizs. 18.

Rizs. 19.

Rizs. 20.

Rizs. 21.

Rizs. 22.

Rizs. 23.

Rizs. 24.

Rizs. 25.

Rizs. 26.

Rizs. 27.

Rizs. 28.

Rizs. 29.

Rizs. harminc.

Rizs. 31.

Rizs. 32.

Rizs. 33.

Rizs. 34.

Rizs. 35.

A javítás és a szerkesztés befejeződött Filippov Yu.P.

Önhasonló halmazok szokatlan tulajdonságokkal a matematikában

Kezdve ezzel késő XIX században a matematikában megjelennek példák a klasszikus elemzés szempontjából kóros tulajdonságokkal rendelkező, önhasonló tárgyakra. Ezek a következők:

Rekurzív eljárás fraktálgörbék előállítására

Fraktálok, mint a tömörítési leképezések fix pontjai

Az önhasonlósági tulajdonság matematikailag szigorúan a következőképpen fejezhető ki. Hadd - tömörítő leképezések repülőgép. Tekintsük a következő leképezést az összes halmazán kompakt a sík (zárt és korlátos) részhalmazai: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

Megmutatható, hogy a leképezés Ψ (\displaystyle \Psi ) egy összehúzódási leképezés a forgatáson tömöríti Val vel Hausdorff metrika. Ezért szerint Banach tétele, ennek a leképezésnek egyetlen fix pontja van. Ez a fix pont lesz a mi fraktálunk.

Ennek a konstrukciónak egy speciális esete a fent leírt fraktálgörbék előállítására szolgáló rekurzív eljárás. Az összes kijelzőt tartalmazza ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- hasonlóság megjeleníti, és n (\displaystyle n)- generátor linkek száma.

Népszerű az összetett dinamikán alapuló, gyönyörű grafikai képek létrehozása a síkpontok színezésével a megfelelő viselkedésétől függően dinamikus rendszerek. Például a Mandelbrot készlet kiegészítéséhez színezheti a pontokat a leszívás sebességétől függően z n (\displaystyle z_(n)) a végtelenig (mondjuk a legkisebb számként definiálva n (\displaystyle n), ahol | z n | (\displaystyle |z_(n)|)).

meghalad egy rögzített nagy értéket

A (\displaystyle A)

A biomorfok összetett dinamika alapján felépített fraktálok, amelyek élő szervezetekre emlékeztetnek.

Vérplazma

- egy példa egy ilyen fraktál használatára a számítógépes grafikában. Fraktál tulajdonságokkal rendelkező természeti objektumok Természeti objektumok ( ) a szerkezet ismétlődéseinek hiányosságában és pontatlanságában különböznek az ideális absztrakt fraktáloktól. A természetben található legtöbb fraktálszerű szerkezet (felhőhatárok, partvonalak, fák, növényi levelek, Korall , ...) kvázi fraktálok, mivel kis léptékben a fraktálszerkezet eltűnik. A természetes szerkezetek a méretkorlátozások miatt nem lehetnek tökéletes fraktálokÉlő sejt és végül a méret.

Alkalmazás

Természettudományok

A fizikában a fraktálok természetes módon keletkeznek nemlineáris folyamatok modellezésekor, mint pl viharos folyadékáramlás, összetett folyamatok diffúzió -adszorpció, lángok, felhők és hasonlók. A fraktálokat porózus anyagok modellezésére használják, például a petrolkémiákban. A biológiában populációk modellezésére és rendszerek leírására használják. belső szervek(érrendszer). A Koch-görbe létrehozása után javasolták annak használatát a partvonal hosszának kiszámításakor.

Rádiótechnika

Fraktál antennák

Fraktálgeometria használata a tervezésben

Mi a közös egy fában, egy tengerparton, egy felhőben vagy a kezünkben lévő erekben? Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ezeknek a tárgyaknak nincs semmi közös. Valójában azonban van a szerkezetnek egy tulajdonsága, amely az összes felsorolt ​​objektumban rejlik: önhasonlóak. Egy ágból, mint a fatörzsből, kisebb hajtások nyúlnak ki, belőlük még kisebbek stb., vagyis egy ág az egész fához hasonló. Hasonlóan épül fel a keringési rendszer is: az artériákból az arteriolák távoznak, és azokból a legkisebb kapillárisok, amelyeken keresztül az oxigén a szervekbe, szövetekbe jut. Nézzünk műholdfelvételeket a tenger partjáról: öblöket és félszigeteket fogunk látni; Nézzük meg, de madártávlatból: öblöket, fokokat fogunk látni; Most képzeljük el, hogy a tengerparton állunk, és a lábunkat nézzük: mindig lesznek olyan kavicsok, amelyek messzebbre nyúlnak a vízbe, mint a többi. Vagyis a partvonal nagyítva hasonló marad önmagához. Az amerikai matematikus (bár Franciaországban nőtt fel) Benoit Mandelbrot az objektumok ezt a tulajdonságát fraktálitásnak nevezte, magukat az ilyen tárgyakat pedig fraktáloknak (a latin fractus szóból - törött).

Ennek a fogalomnak nincs szigorú meghatározása. Ezért a „fraktál” szó nem matematikai kifejezés. A fraktál általában olyan geometriai alakzat, amely megfelel a következő tulajdonságok közül egynek vagy többnek: Összetett szerkezettel rendelkezik bármilyen léptéknövelés esetén (ellentétben például az egyenes vonallal, amelynek bármely része a legegyszerűbb geometriai alakzat - szegmens) . (Hozzávetőlegesen) önmagához hasonló. Tört Hausdorff (fraktál) dimenziója van, ami nagyobb, mint a topológiai. Rekurzív eljárásokkal szerkeszthető.

Geometria és algebra

A 19. és 20. század fordulóján a fraktálok tanulmányozása inkább epizodikus, mint szisztematikus volt, mert korábban a matematikusok főként „jó” tárgyakat vizsgáltak, amelyeket általános módszerekkel és elméletekkel lehetett tanulmányozni. 1872-ben Karl Weierstrass német matematikus konstruált egy példát folyamatos funkció, ami sehol sem különböztethető meg. Felépítése azonban teljesen elvont és nehezen érthető volt. Ezért 1904-ben a svéd Helge von Koch egy folytonos görbével állt elő, amelynek sehol nincs érintője, és meglehetősen könnyen megrajzolható. Kiderült, hogy a fraktál tulajdonságaival rendelkezik. Ennek a görbének az egyik változatát „Koch hópehelynek” nevezik.

A figurák önhasonlóságának gondolatát a francia Paul Pierre Levy vette fel, leendő mentor Benoit Mandelbrot. 1938-ban jelent meg „Az egészhez hasonló részekből álló sík- és térbeli görbék és felületek” című cikke, amely egy másik fraktálról, a Levy C-görbéről írt. A fent felsorolt ​​fraktálok mindegyike feltételesen besorolható a konstruktív (geometriai) fraktálok egyik osztályába.


Egy másik osztály a dinamikus (algebrai) fraktálok, amelyek magukban foglalják a Mandelbrot halmazt. Az első ilyen irányú kutatás a 20. század elején kezdődött, és Gaston Julia és Pierre Fatou francia matematikusok nevéhez fűződik. 1918-ban megjelent Julia csaknem kétszáz oldalas memoárja, amely az összetett iterációinak szentelte. racionális függvények, amely a Julia halmazokat írja le, a Mandelbrot halmazhoz szorosan kapcsolódó fraktálok egész családját. Ezt a munkát díjjal jutalmazták Francia Akadémia, azonban nem tartalmazott egyetlen illusztrációt sem, így nem lehetett értékelni a nyitott tárgyak szépségét. Annak ellenére, hogy ez a munka híressé tette Juliát az akkori matematikusok körében, gyorsan feledésbe merült. A figyelem csak fél évszázaddal később, a számítógépek megjelenésével fordult újra felé: ők tették láthatóvá a fraktálok világának gazdagságát és szépségét.

Fraktál méretek

Mint ismeretes, egy geometriai alakzat mérete (méreteinek száma) azon koordináták száma, amelyek egy ezen az ábrán fekvő pont helyzetének meghatározásához szükségesek.
Például egy pont helyzetét a görbén egy koordináta, egy felületen (nem feltétlenül síkon) két koordináta, a háromdimenziós térben pedig három koordináta határozza meg.
Általánosabb matematikai szempontból a dimenziót így határozhatjuk meg: növeljük lineáris méretek mondjuk kétszer, egydimenziós (topológiai szempontból) objektumok (szegmens) esetén a méret (hossz) kétszeresére nő, a kétdimenziós (négyzet) esetében a lineáris méretek azonos növekedése a méret (terület) 4-szeres növekedéséhez, háromdimenziós (kocka) esetén - 8-szor. Vagyis a „valódi” (úgynevezett Hausdorff) dimenzió egy tárgy „méretének” növekedése logaritmusának és a lineáris méretnövekedés logaritmusának az arányaként számítható ki. Azaz egy szegmensre D=log (2)/log (2)=1, síkra D=log (4)/log (2)=2, térfogatra D=log (8)/log (2) )=3.
Számítsuk ki most a Koch-görbe dimenzióját, hogy egy egységnyi szegmenst három egyenlő részre osztunk, és a középső intervallumot egy e szakasz nélküli egyenlő oldalú háromszög helyettesíti. Ha a minimális szakasz lineáris méretei háromszorosára nőnek, a Koch-görbe hossza log (4)/log (3) ~ 1,26-kal nő. Vagyis a Koch-görbe dimenziója tört!

Tudomány és művészet

1982-ben jelent meg Mandelbrot „Fractal Geometry of Nature” című könyve, amelyben a szerző összegyűjtötte és rendszerezte az akkori fraktálokkal kapcsolatos szinte minden információt, és könnyen és hozzáférhető módon bemutatta. Mandelbrot előadásában nem a nehéz képletekre és a matematikai konstrukciókra, hanem az olvasók geometriai intuíciójára helyezte a fő hangsúlyt. A számítógéppel készített illusztrációknak és a történelmi történeteknek köszönhetően, amelyekkel a szerző ügyesen felhígította a monográfia tudományos elemét, a könyv bestseller lett, a fraktálok pedig a nagyközönség számára ismertté váltak. Sikerük a nem matematikusok körében nagyrészt annak köszönhető, hogy a nagyon egyszerű kialakításokés képletek, amelyeket még egy középiskolás is megért, az így létrejövő képek elképesztően összetettek és gyönyörűek. Amikor a személyi számítógépek elég erősek lettek, a művészet egész iránya megjelent - a fraktálfestészet, és szinte minden számítógép-tulajdonos meg tudta csinálni. Most az interneten könnyen találhat számos webhelyet, amelyek ezzel a témával foglalkoznak.


A Koch-görbe meghatározásának sémája

Háború és béke

Ahogy fentebb megjegyeztük, az egyik fraktál tulajdonságokkal rendelkező természeti objektum a tengerpart. Egy dolog kapcsolódik hozzá, pontosabban a hosszának mérésére tett kísérlethez. érdekes történet, amely Mandelbrot tudományos cikkének alapját képezte, és „Fractal Geometry of Nature” című könyvében is le van írva. Ez körülbelül egy kísérletről, amelyet Lewis Richardson, egy nagyon tehetséges és különc matematikus, fizikus és meteorológus végzett. Kutatásának egyik iránya a két ország közötti fegyveres konfliktus okainak és valószínűségének matematikai leírására tett kísérlet volt. Az általa figyelembe vett paraméterek között szerepelt a két hadviselő ország közös határának hossza. Amikor adatokat gyűjtött numerikus kísérletekhez, ezt fedezte fel különböző forrásokból adatok arról közös határ Spanyolország és Portugália nagyon különbözik egymástól. Ez a következő felfedezéshez vezette: egy ország határainak hossza attól függ, hogy milyen vonalzóval mérjük őket. Minél kisebb a lépték, annál hosszabb a határ. Ez annak köszönhető, hogy nagyobb nagyítással egyre több olyan új partszakasz is figyelembe vehető, amelyeket korábban a mérések durvasága miatt figyelmen kívül hagytak. És ha minden léptéknövekedéssel korábban fel nem számolt vonalhajlítások derülnek ki, akkor kiderül, hogy a határok hossza végtelen! Igaz, ez valójában nem történik meg – méréseink pontossága igen végső határ. Ezt a paradoxont ​​Richardson-effektusnak nevezik.


Konstruktív (geometriai) fraktálok

Algoritmus konstruktív fraktál létrehozására általános eset ez már csak így van. Először is két megfelelő geometriai alakzatra van szükségünk, nevezzük ezeket alapnak és töredéknek. Az első szakaszban a jövőbeli fraktál alapját ábrázolják. Ezután egyes részeit megfelelő méretarányú töredékre cserélik - ez az építkezés első iterációja. Ekkor a kapott alakzat egyes részeit ismét a töredékhez hasonló figurákká változtatja, stb. Ha ezt a folyamatot a végtelenségig folytatjuk, akkor a határban fraktált kapunk.

Nézzük meg ezt a folyamatot a Koch-görbe példájával (lásd az oldalsávot az előző oldalon). A Koch-görbe alapjául bármely görbe vehető (a „Koch hópehely” esetében ez egy háromszög). De korlátozzuk magunkat a legegyszerűbb esetre - egy szegmensre. A töredék szaggatott vonal, az ábrán felül látható. Az algoritmus első iterációja után ebben az esetben az eredeti szegmens egybeesik a töredékkel, majd minden egyes alkotó szegmensét felváltja a töredékhez hasonló szaggatott vonal stb. Az ábrán ennek első négy lépése látható. folyamat.


A matematika nyelvén: dinamikus (algebrai) fraktálok

Az ilyen típusú fraktálok nemlineáris dinamikus rendszerek tanulmányozása során keletkeznek (innen ered a név). Egy ilyen rendszer viselkedése egy komplexussal írható le nemlineáris függvény(polinom) f (z). Vegyük tovább a z0 kezdőpontot összetett sík(lásd az oldalsávot). Tekintsünk most egy ilyen végtelen számsort a komplex síkon, amelyek mindegyikét az előzőből kapjuk: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn) ). A z0 kezdeti ponttól függően egy ilyen sorozat különbözőképpen viselkedhet: a végtelenbe hajlik, mint n -> ∞; konvergálnak valamilyen végponthoz; ciklikusan vegyen fel egy sorozat rögzített értéket; Bonyolultabb lehetőségek is lehetségesek.

Komplex számok

A komplex szám olyan szám, amely két részből áll - valós és imagináris, azaz az x + iy formális összegből (x és y itt valós számok). én vagyok az ún képzeletbeli egység, vagyis olyan szám, amely kielégíti az egyenletet i^ 2 = -1. A komplex számokkal kapcsolatos alapvető matematikai műveletek meg vannak határozva: összeadás, szorzás, osztás, kivonás (csak az összehasonlító művelet nincs definiálva). A komplex számok megjelenítéséhez gyakran használnak geometriai ábrázolást - a síkon (ezt komplexnek nevezik), a valós részt az abszcissza tengely mentén, a képzeletbeli részt pedig az ordináta tengelye mentén ábrázolják, és a komplex szám megfelel x és y derékszögű koordinátájú pont.

Így a komplex sík bármely z pontja saját viselkedést mutat az f (z) függvény iterációi során, és a teljes sík részekre oszlik. Ezenkívül az ezen részek határán fekvő pontok a következő tulajdonsággal rendelkeznek: tetszőlegesen kis elmozdulás esetén viselkedésük jellege élesen megváltozik (az ilyen pontokat bifurkációs pontoknak nevezzük). Kiderült tehát, hogy az olyan ponthalmazok, amelyek egy bizonyos típusú viselkedéssel rendelkeznek, valamint a bifurkációs pontok halmazai gyakran rendelkeznek fraktál tulajdonságokkal. Ezek az f (z) függvény Julia-halmazai.

Sárkány család

Az alap és a töredék változtatásával lenyűgözően sokféle konstruktív fraktálhoz juthat.
Sőt, hasonló műveletek elvégezhetők háromdimenziós tér. A térfogati fraktálok példái közé tartozik a „Menger szivacs”, „Sierpinski piramis” és mások.
A sárkánycsaládot szintén konstruktív fraktálnak tekintik. Néha felfedezőik nevén „Heavey-Harter sárkányoknak” nevezik őket (alakjukban a kínai sárkányokra hasonlítanak). Ennek a görbének több módja is van. A legegyszerűbb és legszembetűnőbb közülük a következő: kell venni egy meglehetősen hosszú papírcsíkot (minél vékonyabb a papír, annál jobb), és félbe kell hajlítani. Ezután ismét hajlítsa félbe ugyanabba az irányba, mint az első alkalommal. Többszöri ismétlés után (általában öt-hat hajtás után a csík túl vastag lesz ahhoz, hogy finoman tovább hajlítsa), vissza kell hajlítania a csíkot, és meg kell próbálnia 90˚-os szöget kialakítani a hajtásoknál. Ezután a profilban egy sárkány ívét kapod. Természetesen ez csak közelítés lesz, mint minden fraktáltárgyak ábrázolására tett kísérletünk. A számítógép lehetővé teszi ennek a folyamatnak sokkal több lépésének ábrázolását, és az eredmény egy nagyon szép ábra.

A Mandelbrot-készlet némileg másképp épül fel. Tekintsük az fc (z) = z 2 +с függvényt, ahol c értéke összetett szám. Szerkesszük meg ennek a függvénynek a sorozatát z0=0-val, amely a c paramétertől függően eltérhet a végtelenségig, vagy korlátozott maradhat. Ezenkívül c minden olyan értéke, amelyre ez a sorozat korlátozott, a Mandelbrot halmazból áll. Maga Mandelbrot és más matematikusok tanulmányozták részletesen, akik sokat felfedeztek érdekes tulajdonságok ebből a sokaságból.

Látható, hogy a Julia és a Mandelbrot halmaz definíciói hasonlóak egymáshoz. Valójában ez a két halmaz szorosan összefügg. Ugyanis a Mandelbrot halmaz a c komplex paraméter összes értéke, amelyhez az fc (z) Julia halmaz kapcsolódik (egy halmazt akkor nevezünk összekapcsoltnak, ha nem osztható két diszjunkt részre, néhány további feltétellel).


Fraktálok és az élet

Napjainkban a fraktálok elmélete talál széles körű alkalmazás V különböző területeken emberi tevékenység. A tisztán tudományos kutatási tárgy és a már említett fraktálfestés mellett az információelméletben a fraktálokat grafikus adatok tömörítésére is használják (itt főként a fraktálok önhasonlóságának tulajdonságát használják - elvégre egy kis töredékre emlékezni egy kép és a transzformációk, amelyekkel a fennmaradó részeket megszerezheti, sokkal kevesebb memória szükséges, mint a teljes fájl tárolásához). Ha a fraktálokat definiáló képletekhez véletlenszerű zavarokat adunk, olyan sztochasztikus fraktálokat kaphatunk, amelyek nagyon hihetően közvetítenek néhány valós objektumot - domborzati elemeket, tározók felszínét, néhány növényt, amelyet sikeresen alkalmaznak a fizikában, a földrajzban és a számítógépes grafikában, hogy nagyobb eredményeket érjenek el. a szimulált objektumok hasonlósága a valóshoz. A rádióelektronikában az elmúlt évtizedben elkezdték gyártani a fraktál alakú antennákat. Kis helyet foglalva kiváló minőségű jelvételt biztosítanak. A közgazdászok fraktálokat használnak az árfolyam-ingadozási görbék leírására (ezt a tulajdonságot Mandelbrot fedezte fel több mint 30 évvel ezelőtt). Itt véget is vetünk ennek rövid kirándulás a fraktálok elképesztően szép és sokszínű világába.



Előző cikk: Következő cikk:

© 2015 .
Az oldalról | Kapcsolatok | Oldaltérkép