Përkufizimi i herësit total në teorinë e numrave. Teoria e numrave

Teoria e numrave është një degë e matematikës që studion vetitë e numrave.

Objekti kryesor i teorisë së numrave janë numrat natyrorë (shiko Numri). Vetia e tyre kryesore, e cila konsiderohet nga teoria e numrave, është pjesëtueshmëria. Rrethi i parë i problemeve në teorinë e numrave është zbërthimi i numrave në faktorë. “Blloqet ndërtuese” kryesore në këtë zbërthim janë numrat e thjeshtë, d.m.th. numra të pjesëtueshëm vetëm me 1 dhe me veten; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - këta janë dhjetë numrat e parë të thjeshtë (numri 1 nuk konsiderohet i thjeshtë). Një teoremë e jashtëzakonshme, e quajtur teorema themelore e aritmetikës, thotë se çdo numër natyror mund të zbërthehet në faktorët kryesorë, dhe e vetmja mënyrë(deri në rendin e vendndodhjes së tyre). Duke i zbërthyer dy numra në faktorë të thjeshtë, është e lehtë të përcaktohet nëse njëri prej tyre është i pjesëtueshëm me tjetrin apo jo. Por është ende e vështirë të zbulohet nëse një numër i madh i dhënë është i thjeshtë, d.m.th. nëse është i pjesëtueshëm me ndonjë numër tjetër përveç vetes dhe një.

Një numër funksionesh aritmetike shoqërohen me faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë. Le të theksojmë disa prej tyre. φ(n) - Funksioni i Euler-it - numri i numrave nga 1 në n, të dyfishtë me numrin n (d.m.th. nuk ka faktorë të përbashkët me n, përveç njërit); α(n) është numri i pjesëtuesve të numrit n, m(n) është shuma e të gjithë pjesëtuesve të numrit n, π(n) është funksioni Chebyshev - numri i numrave të thjeshtë që nuk e kalon n. Shumë veti shprehen duke përdorur këto funksione. numrat natyrorë. Teorema e Euklidit thotë se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Kjo do të thotë se π(n)→∞ me rritjen e numrit n. Ne ishim në gjendje të zbulonim se sa shpejt funksioni π(n) tenton në pafundësi. Doli se është afërsisht i njëjtë me funksionin

Kjo teoremë quhet ligji asimptotik i shpërndarjes së numrave të thjeshtë. Ai u formulua dhe u vërtetua kryesisht nga P. L. Chebyshev (1849), dhe u vërtetua plotësisht vetëm 50 vjet më vonë.

Shpërndarja asimptotike e numrave të thjeshtë është rezultat i të ashtuquajturit teori analitike numrat, gjë që përdor gjerësisht metodat analiza matematikore për studimin e funksioneve numerore-teorike. Zbuluar në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të. fakti i lidhjes së një objekti të tillë diskret si numrat e plotë me vetitë e thella të funksioneve ndikim të madh mbi zhvillimin e teorisë së numrave.

Faktorizimi i numrave merr parasysh vetëm strukturën e grupit të numrave natyrorë të lidhur me shumëzimin, më të thellët dhe detyra të vështira teoritë e numrave lindin nga krahasimi i mbledhjes dhe shumëzimit. Probleme të tilla përfshijnë, për shembull, problemin e Goldbach - a është e mundur të bëhet diçka? numër çift paraqesin atë si shumën e dy numrave të thjeshtë; Teorema e fundit e Fermatit (shih teorema e fundit e Fermatit) - a është e mundur fuqia e n-të paraqitni numrat si shumë fuqitë e n-tëçdo dy numra, etj.

Teoria e numrave është tërheqëse sepse përmban shumë formulime të thjeshta, por të vështira dhe detyra interesante. Shumë nga këto probleme, të zgjidhura dhe të pazgjidhura, janë grumbulluar dhe teoria e numrave shpesh duket si një koleksion enigmash elegante të ndryshme. Megjithatë, nuk është kështu. Teoria e numrave krijoi të vetën metoda të mrekullueshme, dhe shumë prej tyre janë zhvilluar në mënyrë aktive në dekadat e fundit, gjë që ka injektuar një rrymë të re të gjallë në këtë pjesë më të lashtë të matematikës.

Metoda klasike e teorisë së numrave është metoda e krahasimeve. Duke identifikuar numrat që japin mbetje identike kur ndahen me një numër të zgjedhur, shpesh është e mundur të përcaktohet pamundësia e ndonjë marrëdhënieje. Për shembull, duke marrë parasysh mbetjet e pjesëtimit me 3 (ose, siç thonë ata, modulin 3), është e lehtë të vërtetohet pazgjidhshmëria e ekuacionit 3x 2 + 4y 2 = 5z 2 në numra natyrorë.

Metoda analitike konsiston, siç kemi thënë tashmë, në faktin se, duke u nisur nga numrat, ata ndërtojnë funksione që studiohen duke përdorur metodat e analizës matematikore. Po, sovjetik akademik shkencor I.M. Vinogradov provoi një version të problemit të Goldbach - përfaqësimin e një numri mjaft të madh tek si një shumë e tre numrave të thjeshtë.

Ne ilustrojmë metodën gjeometrike të teorisë së numrave duke përdorur si shembull teoremën e fundit të Fermatit. Në këtë teoremë ne po flasim për mbi zgjidhshmërinë e ekuacionit x n + y n = z n në numra të plotë. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me z n dhe duke zëvendësuar x/z me m dhe y/z me v, fitojmë ekuacionin u n + v n = 1. Ky ekuacion përcakton një kurbë të caktuar në plan me koordinata (u, v). Zgjidhjet ekuacioni origjinal në numra të plotë korrespondojnë zgjidhjet e ekuacionit të ri në numra racional. Çdo zgjidhje e tillë (u, v) mund të flitet si një pikë me koordinata racionale në këtë rrafsh. Tani mund të përpiqemi të aplikojmë metoda gjeometrike në lakoren u n + v n = 1 për të studiuar grupin e pikave në të me koordinata racionale.

Një pjesë e madhe e teorisë së numrave, që merret me gjetjen e zgjidhjeve të ekuacioneve në numra të plotë dhe racionalë, quhet teoria e ekuacioneve diofantine, sipas shkencëtarit të lashtë grek Diophantus (shek. III).

Ndër shumë të vjetrit dhe detyrat e njohura teoria e numrave ka të bëjë me problemin e paraqitjes së numrave me shuma katrorësh. Ne rendisim disa nga rezultatet e marra:

çdo numër i plotë mund të përfaqësohet si shuma e katër katrorëve të numrave të plotë (për shembull: 7 = 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2);

çdo numër i thjeshtë i formës 4n + 1 mund të përfaqësohet si shuma e dy katrorëve të numrave të plotë (për shembull: 5 = 2 2 + 1 2 , 41 = 4 2 + 5 2, etj.), dhe jo një numër i vetëm i plotë ( jo vetëm ato të thjeshta) një numër i formës 4n + 3 nuk mund të përfaqësohet në këtë formë;

Çdo numër i thjeshtë, përveç numrave të formës 8n - 1, mund të përfaqësohet si shuma e tre katrorëve të numrave të plotë.

Identitet i thjeshtë algjebrik

(a 2 + b 2) (x 2 + y 2) = (sëpatë + nga) 2 + (ay - bx) 2

na lejon të konkludojmë: nëse dy numra përfaqësohen si shuma e dy katrorëve, atëherë prodhimi i tyre është gjithashtu i përfaqësuar si shuma e dy katrorëve. Metodat algjebrike V Kohët e fundit përdoret gjerësisht në teorinë e numrave. Kjo u lehtësua nga zhvillimi i një koncepti të tillë të përgjithshëm algjebrik si një fushë, vetë pamja e të cilit u stimulua kryesisht nga problemet në teorinë e numrave.

Pse teoria e numrave është kaq e vlefshme? Në fund të fundit, është e vështirë të gjesh zbatim të drejtpërdrejtë të rezultateve të tij. Sidoqoftë, problemet e teorisë së numrave kanë tërhequr si të rinjtë kërkues ashtu edhe shkencëtarët për shumë shekuj. Çfarë është puna këtu? Para së gjithash, këto probleme, siç është përmendur tashmë, janë shumë interesante dhe të bukura. Në çdo kohë, njerëzit janë habitur që është kaq e vështirë të gjesh një përgjigje për pyetjet e thjeshta rreth numrave. Kërkimi për këto përgjigje shpesh ka çuar në zbulime, rëndësia e të cilave e tejkalon shumë qëllimin e teorisë së numrave. Mjafton të përmendet e ashtuquajtura teoria e idealeve të matematikanit gjerman të shekullit të 19-të. E. Kummer, i cili lindi në lidhje me përpjekjet për të vërtetuar teoremën e fundit të Fermatit.

Teoria e numrave ka si lëndë numrat dhe vetitë e tyre, d.m.th. numrat këtu nuk shfaqen si mjet apo instrument, por si objekt studimi. Seritë natyrore 1, 2, 3, 4, ..., 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ... - grupi i numrave natyrorë, është fusha më e rëndësishme e kërkimit, jashtëzakonisht kuptimplotë, e rëndësishme dhe interesante.

Studime të numrave natyrorë

Fillimet e studimit të numrave natyrorë u hodhën në Greqia e lashte. Këtu u studiuan vetitë e pjesëtueshmërisë së numrave, u vërtetua pafundësia e bashkësisë së numrave të thjeshtë dhe u zbuluan metodat e ndërtimit të tyre (Euklidi, Eratosthenes). Detyrat që lidhen me zgjidhjen ekuacione të papërcaktuara në numër të plotë, ishin objekt i kërkimit nga Diophantus, shkencëtarët i studiuan ato India e lashtë Dhe Kina e lashtë, vendet e Azisë Qendrore.

Teoria e numrave, natyrisht, i përket degëve themelore të matematikës. Në të njëjtën kohë, një numër i detyrave të tij lidhen drejtpërdrejt me aktivitete praktike. Kështu, për shembull, falë kryesisht kërkesave të kriptografisë dhe e përhapur Kompjuterët dhe kërkimet mbi çështjet algoritmike në teorinë e numrave po përjetojnë aktualisht një periudhë zhvillimi të shpejtë dhe shumë të frytshëm. Kërkime të stimuluara nga nevojat kriptografike problemet klasike teoria e numrave, në një sërë rastesh çoi në zgjidhjen e tyre, dhe gjithashtu u bë burim i paraqitjes së problemeve të reja themelore.

Tradita e studimit të problemeve të teorisë së numrave në Rusi ndoshta vjen nga Euler (1707-1783), i cili jetoi këtu për gjithsej 30 vjet dhe bëri shumë për zhvillimin e shkencës. Nën ndikimin e veprave të tij, u formua vepra e P.L.~Chebyshev (1821-1894), një shkencëtar i shquar dhe mësues i talentuar, i cili botoi veprat aritmetike të Euler-it së bashku me V.Ya.~Bunyakovsky (1804-1889). P.L.~Chebyshev krijoi shkollën e teorisë së numrave në Shën Petersburg, përfaqësues të së cilës ishin A.N. Korkin (1837-1908), E.I.~Zolotarev (1847-1878) dhe A.A.~Markov (1856-1922). G.F.~Voronoi (1868-1908), i cili studioi në Shën Petersburg me A.A. Markov dhe Yu.V. Sokhotsky (1842-1927), themeloi shkollën e teorisë së numrave në Varshavë. Një numër specialistësh të shquar në teorinë e numrave dolën prej saj, dhe, në veçanti, V. Serpinsky (1842-1927). Nje student tjeter Universiteti i Petersburgut D.A. Grave (1863-1939) bëri shumë për mësimin e teorisë së numrave dhe algjebrës në Universiteti i Kievit. Studentët e tij ishin O.Yu. Schmidt (1891-1956), N.G. Chebotarev (1894-1947), B.N. Delone (1890-1980). Studime teorike të numrave u kryen gjithashtu në universitetet e Moskës, Kazanit dhe Odesës.

Lexim i rekomanduar

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Teoria e numrave.

Bukhshtab A.A., Teoria e numrave.

Venkov B.A., Teoria elementare numrat.

Vinogradov IM, Bazat e teorisë së numrave.

Gauss KF, Punon mbi teorinë e numrave.

Dirichlet P.G.L., Leksione mbi teorinë e numrave.

Karatsuba A.A., Bazat e teorisë analitike të numrave.

Nesterenko Yu.V., Teoria e numrave.

Shidlovsky A.B., Përafrimet diofantine dhe numrat transcendental.

Përmbajtja e artikullit

TEORIA E NUMRAVE, një degë e matematikës së pastër që merret me studimin e numrave të plotë 0, ± 1, ± 2,... dhe marrëdhëniet ndërmjet tyre. Ndonjëherë teoria e numrave quhet aritmetikë më e lartë. Llogaritjet e veçanta të kryera në numra specifikë, për shembull, 9 + 16 = 25, nuk janë me interes të veçantë dhe zakonisht nuk përfshihen në lëndën e teorisë së numrave. Nga ana tjetër, barazia e sapo shkruar bëhet pakrahasueshme më interesante nëse vërejmë se është zgjidhja më e thjeshtë në numra të plotë (përveç zgjidhjeve të parëndësishme x = z, y= 0) Ekuacionet e Pitagorës x 2 + y 2 = z 2. Nga ky këndvështrim, ekuacioni i fundit çon drejtpërdrejt në disa probleme të vërteta të teorisë së numrave, për shembull, (1) bën x 2 + y 2 = z 2 pafundësisht shumë ose vetëm numri përfundimtar zgjidhje në numra të plotë dhe si mund të gjenden? (2) Cilët numra të plotë mund të paraqiten në formë x 2 + y 2 ku x Dhe y- numra të plotë? (3) A ka zgjidhje me numra të plotë për një ekuacion të ngjashëm x n + y n = z n, Ku n- një numër i plotë më i madh se 2? Një nga tiparet intriguese të teorisë së numrave është se këto tre pyetje, të cilat formulohen kaq lehtë dhe qartë, janë në fakt në një nivel krejtësisht të ndryshëm. nivele të ndryshme vështirësitë. Pitagora dhe Platoni, dhe ndoshta shumë më herët matematikanët babilonas, e dinin se ekuacioni x 2 + y 2 = z 2 ka pafundësisht shumë zgjidhje me numra të plotë, dhe matematikan i lashtë grek Diofanti (rreth 250 para Krishtit) e dinte se çdo zgjidhje e tillë mund të përfaqësohet si x = r 2 – s 2 , y = 2 rs, z = r 2 + s 2 për numra të plotë të përshtatshëm r Dhe s dhe atë për çdo dy numra të plotë r Dhe s vlerat përkatëse x, y Dhe z formojnë një zgjidhje. Sa i përket pyetjes së dytë, struktura e grupit të numrave të plotë të përfaqësuar si shuma e dy katrorëve u përshkrua nga P. Fermat (1601–1665), themeluesi i teorisë së numrave në formë moderne. Fermat tregoi se numri i plotë m e përfaqësuar si shuma e dy katrorëve nëse dhe vetëm nëse herësi i numrit m me katrorin më të madh që pjesëton një numër m, nuk përmban një faktor kryesor të formës 4 k + 3 (kështë një numër i plotë). Ky rezultat është shumë më delikat se i pari, dhe prova e tij nuk është aspak e qartë, megjithëse nuk është shumë e vështirë. Pyetja e tretë mbeti pa përgjigje, me gjithë përpjekjet më kokëforta të më të shkëlqyerve mendjet matematikore, për tre shekujve të fundit. Farm rreth vitit 1630 shkroi në margjinën e një prej librave të tij se ekuacioni x n + y n = z n nuk ka zgjidhje në numra të plotë x, y Dhe z, ndryshe nga zero, kur n më shumë se 2, por nuk e la vetë provën. Dhe vetëm në vitin 1994 E. Wiles nga Universiteti Princeton arriti të vërtetojë këtë teoremë, e cila për disa shekuj është quajtur Teorema e Fundit e Fermatit.

Jashtë vetë matematikës, teoria e numrave ka mjaft aplikime dhe nuk u zhvillua për hir të zgjidhjes problemet e aplikuara, por si art për hir të artit, i cili ka të vetën Bukuri e brendshme, finesë dhe vështirësi. Megjithatë, teoria e numrave pati një ndikim të madh në shkenca matematikore, meqenëse disa degë të matematikës (përfshirë ato që më vonë gjetën zbatim në fizikë) u krijuan fillimisht për të zgjidhur veçanërisht probleme komplekse teoria e numrave. MATEMATIKA.

Bazat shumëzuese.

Le të pranojmë të supozojmë se në të ardhmen gjithçka letra do të nënkuptojë (përveç nëse specifikohet ndryshe) numra të plotë. Ne e themi atë bështë pjesëtues i një numri a(apo çfarë b ndan a) dhe shënoni atë b|a, nëse ekziston një numër i tillë i plotë c, Çfarë a = p.e.s. Numrat 1 dhe - 1 ("njësi"), reciprokët e të cilëve janë numra të plotë, janë pjesëtues të çdo numri të plotë. Nëse ± 1 dhe ± a janë pjesëtuesit e vetëm të një numri a, atëherë quhet e thjeshtë; nëse ka pjesëtues të tjerë, atëherë numri a i quajtur i përbërë. (Numrat e thjeshtë janë, për shembull, 2, 3, 5, 7, 11, 13.) Nëse një numër i plotë pozitiv a i përbërë, atëherë mund të paraqitet në formë a = p.e.s, ku 1 b a dhe 1 c a; nëse ose b, ose c i përbërë, atëherë ai nga ana tjetër mund të faktorizohet. Duke vazhduar të faktorizojmë, përfundimisht duhet të arrijmë te përfaqësimi i numrit a si produkt i një numri të fundëm të numrave të thjeshtë (jo të gjithë janë domosdoshmërisht të ndryshëm); për shembull, 12 = 2H 2H 3, 13 = 1H1 3, 100 = 2H 2H 5H 5. V ndryshe numri a mund të shkruhet në formë arbitrare numer i madh shumëzues, secila prej të cilave është të paktën 2, gjë që është e pamundur. Teorema e unike për faktorizimet, një nga teoremat themelore të teorisë së numrave, thotë se, deri në ndryshime të dukshme në shenjat dhe renditjen e faktorëve, çdo dy faktorizim të një numri a përputhen; për shembull, çdo zbërthim i numrit 12 në faktorë të thjeshtë mund të përfaqësohet nga tre numra - 2× 2× 3; 2H 3H 2; 3H 2H 2; zgjerime të tjera fitohen duke zëvendësuar çdo dy faktorë me të barabartë vlere absolute numra negativ. Teorema mbi veçantinë e faktorizimit gjendet në Elementet e Euklidit, ku vërtetohet duke përdorur konceptin e pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD). Nëse d> 0 – pjesëtues i përbashkët i numrave a Dhe b dhe, nga ana tjetër, është i pjesëtueshëm me çdo pjesëtues të numrit tjetër a Dhe b, Kjo d quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a Dhe b, e cila është shkruar kështu: GCD( a, b) = d; për shembull, gcd (12, 18) = 6. Nëse gcd ( a, b) = 1, pastaj numrat a Dhe b quhen relativisht të thjeshtë. Euklidi tregoi se për çdo dy numra a Dhe b, jo zero, ekziston një gcd e vetme dhe propozoi një metodë sistematike që të kujton "ndarjen sipas këndit"; me numra gcd a Dhe b lidhur me shumëfishin e tyre më të vogël të përbashkët (LCM) - numri më i vogël pozitiv që është i pjesëtueshëm me secilin nga numrat a Dhe b. Shumëfishi më i vogël i përbashkët është i barabartë me prodhimin e numrave a Dhe b, pjesëtuar me gcd-në e tyre, ose | ab|/GCD ( a, b).

Sipas teoremës mbi veçantinë e faktorizimit të thjeshtë, numrat e thjeshtë janë "blloqet ndërtuese" nga të cilat ndërtohen numrat e plotë. Përveç ± 2, të gjithë numrat e tjerë të thjeshtë janë tek, pasi një numër quhet çift vetëm kur pjesëtohet me 2. Euklidi e dinte tashmë se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Këtë ai e dëshmoi duke vënë në dukje se numri N = (fq 1 fq 2 ...p n) + 1 (ku fq 1 , fq 2 ,..., p n– të gjithë numrat e thjeshtë) nuk ndahet me asnjë numër të thjeshtë fq 1 , fq 2 ,..., p n dhe, për rrjedhojë, ose vetë N, ose një nga faktorët kryesorë të tij duhet të jetë një numër i thjeshtë i ndryshëm nga fq 1 , fq 2 ,..., p n. Prandaj, fq 1 , fq 2 ,..., p n nuk mund të jetë një listë e plotë e të gjithë numrave të thjeshtë.

Le m i 1 – disa numra të plotë të dhënë. Çdo numër a kur ndahet me m jep një mbetje të barabartë me një nga numrat 0, 1, ..., m– 1. (Për shembull, kur m= 13 dhe a, duke marrë me radhë vlerat 29, 7, - 21, 65, marrim: 29 = 2H 3 + 3, 7 = 0H 13 + 7, –21 = –2H 13 + 5, 65 = 5H 13 + 0, dhe mbetjet janë të barabarta me 3, përkatësisht , 7, 5, 0.) Nëse numrat a Dhe b kur ndahet me m japin të njëjtën mbetje, atëherë në disa raste ato mund të konsiderohen si ekuivalente në lidhje me m. Matematikanët thonë në raste të tilla se numrat a Dhe b të krahasueshme në modul m, e cila është shkruar kështu: a є b(mod m) dhe quhet krahasimi i modulit m. Të gjithë jemi të njohur me modulin e krahasimit 12 në rastin e orëve: ora 17 do të thotë njësoj si ora 5 e pasdites, pasi 17 = 5 (mod 12). Kjo marrëdhënie, e quajtur krahasim, u prezantua nga K. Gauss (1777-1855). Është disi e ngjashme me barazinë në atë që krahasimet bazohen në të njëjtin modul m mund të shtohet dhe të shumëzohet si zakonisht: nëse a є b(mod m) Dhe c є d(mod m), Kjo a + cє b + d(mod m), a–cє b–d(mod m), aH cє bH d(mod m) Dhe ta є tb(mod m) për çdo numër të plotë t. Reduktimi nga shumëzues i përbashkët Në përgjithësi, është e pamundur, sepse 20 є 32 (mod. 6), por 5 nr. 8 (mod. 6). Megjithatë, nëse ta є tb(mod m) Dhe ( t,m) = d, Kjo aє b(mod ( m/d)). Në d= 1 kjo në thelb përbën një reduktim me një faktor të përbashkët; për shembull, 28 = 40 (modimi 3), dhe meqenëse numrat 4 dhe 3 janë të dyfishtë, ne mund t'i ndajmë të dyja anët e krahasimit me 4 dhe të marrim 7 = 10 (modimi 3). Gjithashtu mund të tregohet se nëse aє b(mod m), pastaj gcd e numrave a Dhe m e barabartë me gcd të numrave b Dhe m. Si shembull, merrni parasysh krahasimin 6 є 10 (mod 4): gcd (6, 4) është 2, dhe gcd (10, 4) është gjithashtu 2.

Të gjithë numrat e plotë të krahasueshëm me çdo numër formojnë një klasa e zbritjes. Për çdo modul m ekziston m klasat e zbritjeve përkatëse m mbetjet 0, 1,..., m- 1; secila nga klasat përmban një nga numrat 0, 1,..., m– 1 së bashku me të gjithë numrat e krahasueshëm me këtë numër në modul m. Nëse dy numra a Dhe b i përkasin të njëjtës klasë të zbritjeve, d.m.th. kënaq relacionin aє b(mod m), pastaj GCD ( a,m) = GCD ( b,m); Rrjedhimisht, ose të gjithë elementët e një klase të caktuar mbetjesh janë bashkëprim me m, ose asnjëra nuk është coprime. Numri i klasave të "reduktuara" të mbetjeve, d.m.th. klasat e mbetjeve, elementet e të cilave janë bashkëprim me m, shënohet f(m). Kështu, një funksion lind në grupin e numrave të plotë, i quajtur f-Funksioni i Euler-it për nder të L. Euler (1707–1783). Në m= 6 ka gjashtë klasa mbetjesh, secila prej të cilave përmban një nga numrat 0, 1,..., 5. Me këtë m Vetëm elementet e klasës që përmban numrin 5 dhe klasën që përmban numrin 1 janë të dyfishta. Prandaj, f (m) = 2.

Ashtu si me ekuacionet, mund të merren parasysh krahasimet me një ose më shumë të panjohura. Më e thjeshta është një krahasim linear me një të panjohur sëpatëє b(mod m). Ajo kryhet vetëm kur m ndan numrin ( sëpatë – b), ose sëpatë – b = imja për disa numra të plotë y. Pra, ky krahasim është ekuivalent me ekuacionin linear sëpatë – im = b. Meqenëse ana e saj e majtë është domosdoshmërisht e ndashme me GCD ( a, m), nuk mund të ekzekutohet për asnjë numër të plotë x Dhe y, nëse GCD ( a, m) nuk e ndan numrin b.

Mund të tregohet se krahasimi sëpatë є b(mod m) është i zgjidhshëm nëse dhe vetëm nëse gcd ( a, m) ndan numrin b, dhe nëse ky kusht plotësohet, atëherë ekziston saktësisht gcd ( a, m) modulet e klasave të mbetjeve m elementet e të cilit e kënaqin këtë krahasim. Për shembull, ekuacioni 2 x + 6y= 5 është e pavendosur në numra të plotë, sepse gcd(2, 6) = 2, dhe numri 5 nuk ndahet me 2; ekuacioni 2 x + 3y= 5 është e zgjidhshme, sepse GCD(2, 3) = 1; në mënyrë të ngjashme, ekuacioni 2 x + 3y = b i zgjidhshëm për çdo numër të plotë b. Në të vërtetë, për çdo a Dhe m, në mënyrë që GCD ( a, m) = 1, ekuacion sëpatë – im = b e zgjidhshme për këdo b.

Ekuacioni sëpatë – im = b- kjo është me sa duket shembulli më i thjeshtë"Ekuacioni diofantin", d.m.th. një ekuacion me koeficientë të plotë që duhet të zgjidhet në numra të plotë.

Krahasimi i përgjithshëm kuadratik sëpatë 2 + bx + cє 0 (mod m) mund të analizohet mjaft plotësisht. Duke shumëzuar me 4 a, marrim 4 a 2 x 2 + 4abx + 4acє 0 (modimi 4 jam), ose 2 sëpatë + b) 2 є ( b 2 – 4ac) (modifikimi 4 jam). Besimi 2 sëpatë + b = u Dhe b 2 – 4ac = r, zgjidhjen e krahasimit origjinal e zvogëlojmë në zgjidhjen e krahasimit u 2 є r(modimi 4 jam). Nga ana tjetër, zgjidhjet krahasimi i fundit me pak më shumë arsyetimi kompleks mund të reduktohet në zgjidhjen e krahasimeve të formës u 2 є r(mod fq), Ku fq- Numri kryesor. Prandaj, të gjitha vështirësitë dhe gjithë interesi qëndrojnë në këtë rast në dukje të veçantë të një krahasimi të përgjithshëm kuadratik. Nëse krahasimi u 2 є r(mod fq) është e zgjidhshme, pra u thirrur mbetje kuadratike modul fq, dhe ndryshe - kuadratike jo mbetje. "Ligji kuadratik i reciprocitetit", i zbuluar në mënyrë empirike nga Euler (rreth 1772) dhe i provuar nga Gauss (1801), thotë se nëse fq Dhe q janë numra të thjeshtë tek të dallueshëm, atëherë secila prej tyre është ose një modul mbetje kuadratike, ose kjo nuk është e vërtetë për asnjërën prej tyre, përveç në rastin kur dhe fq, Dhe q duken si 4 k+ 3 dhe kur vetëm njëri nga këta numra është një modul mbetje kuadratike, tjetri. Teorema e Gausit, të cilën ai e quajti "teorema e artë", shërben mjet i fuqishëm studimet numerore-teorike dhe mundëson përgjigjen e pyetjes nëse ky krahasim kuadratik është i zgjidhshëm.

Krahasimet më shumë shkallë të lartë lloj f (x) є 0 (mod m), Ku f(x) është një polinom me shkallë më të lartë se 2 dhe është i vështirë për t'u zgjidhur. Sipas teoremës së J. Lagrange (1736-1813), numri i zgjidhjeve (më saktë, numri i klasave të mbetjeve, secili element i të cilave është një zgjidhje) nuk e kalon shkallën e polinomit. f(x) nëse moduli është i thjeshtë. Ekziston një kriter i thjeshtë për zgjidhshmërinë e një krahasimi x n є r(mod fq), për shkak të Euler-it, por nuk vlen për krahasimet pamje e përgjithshme, zgjidhshmëria e të cilit për n> 2 pak dihet.

Ekuacionet diofantine.

Përkundër faktit se studimi i ekuacioneve diofantine daton që në fillimet e matematikës, ende nuk ekziston një teori e përgjithshme e ekuacioneve diofantine. Në vend të kësaj, ekziston një grup i gjerë teknikat individuale, secila prej të cilave është e dobishme për zgjidhjen e një klase të kufizuar problemesh. Duke filluar studimin e ekuacionit të Diofantinës, ne do të dëshironim të merrnim një përshkrim të të gjitha zgjidhjeve të tij të plota, siç u bë më lart për ekuacionin x 2 + y 2 = z 2. Në këtë kuptim, vetëm një klasë e vogël ekuacionesh është zgjidhur plotësisht, shumica e të cilave janë ose lineare ose kuadratike. Zgjidhje sistemi arbitrar nga m ekuacionet lineare me n e panjohur kur n > m, u mor nga G. Smith (1826–1883). Ekuacioni më i thjeshtë kuadratik është i ashtuquajturi. ekuacioni i Pell-it x 2 – Dy 2 = N(ku D Dhe N– çdo numër i plotë), i cili u zgjidh plotësisht nga Lagrange (1766). Njihen gjithashtu zgjidhje ekuacionesh të ndryshme individuale ose sisteme ekuacionesh të shkallës së dytë me më shumë se dy të panjohura, si dhe disa ekuacione të shkallëve më të larta. NË rastin e fundit marrë kryesisht rezultate negative– ekuacioni në shqyrtim nuk ka zgjidhje ose ka vetëm një numër të kufizuar zgjidhjesh. Në veçanti, K. Siegel tregoi në vitin 1929 se të vetmet ekuacione algjebrike në dy të panjohura që kanë pafundësisht shumë zgjidhje të numrave të plotë janë ekuacionet lineare, Ekuacionet e Pell-it dhe ekuacionet e marra nga të dyja duke përdorur transformime të veçanta.

Format.

Forma quhet polinom homogjen në dy ose më shumë ndryshore, d.m.th. polinom, të gjithë termat e të cilit kanë të njëjtën gjë diplomë të plotë nga një grup variablash; Për shembull, x 2 + xy + y Formulari 2 – shkalla 2, x 3 – x 2 y + 3xy 2 + y 3 – forma e shkallës 3. Një nga më kryesoret është një pyetje e ngjashme me atë të formuluar më sipër për formën x 2 + y 2, domethënë: çfarë numrash të plotë mund të përfaqësohen duke përdorur formën (d.m.th., çfarë vlerash të plota mund të marrë forma) për vlerat e numrave të plotë të variablave? Dhe këtë herë rasti kuadratik u konsiderua më i plotë. Për thjeshtësi, do të kufizohemi vetëm në dy variabla, d.m.th. forma si f(x,y) = sëpatë 2 + bxy + cy 2. Vlera D = 4 ac – b 2 quhet diskriminuese forma f(x,y); nëse është diskriminuese e barabartë me zero, atëherë forma degjeneron në një formë lineare katrore. Ky rast zakonisht nuk merret parasysh. Format me diskriminues pozitiv quhen të përcaktuara, sepse të gjitha vlerat e pranuara nga formulari f(x,y) në këtë rast, keni të njëjtën shenjë si a; me pozitive a formë f(x,y) është gjithmonë pozitiv dhe quhet i caktuar pozitiv. Format me diskriminues negativ quhen të pacaktuar sepse f(x,y) merr vlera pozitive dhe negative.

Nëse në f(x,y) bëni një ndryshim të variablave x = Au+Bv, y = Cu + Dv, Ku A, B, C, D– numra të plotë që plotësojnë kushtin pas Krishtit – para Krishtit =± 1, atëherë marrim uniformë të re g(u,v). Meqenëse çdo çift i numrave të plotë x Dhe y përputhet me një çift numrash të plotë u Dhe v, pastaj çdo numër i plotë i përfaqësuar nga forma f, e përfaqësuar nga forma g, dhe anasjelltas. Prandaj, në këtë rast ata thonë se f Dhe g janë ekuivalente. Të gjitha format ekuivalente me një të dhënë formojnë një klasë ekuivalente; numri i klasave të tilla për format me diskriminues fiks D është i kufizuar.

Rezulton se në rastin e pozitive forma të caktuara në çdo klasë ekuivalente ekziston një formë unike sëpatë 2 + bxy + cy 2 me këto shanse a, b, c, çdo gjë - a b Ј a c, ose 0 Ј bЈ a = c. Kjo formë quhet forma e reduktuar e një klase të caktuar ekuivalence. Formulari i dhënë përdoret si një përfaqësues standard i klasës së tij dhe informacioni i marrë në lidhje me të shtrihet lehtësisht tek anëtarët e mbetur të klasës ekuivalente. Një nga problemet kryesore, që zgjidhet plotësisht në këtë rast më të thjeshtë, është gjetja e një forme të reduktuar ekuivalente me një formë të caktuar; ky proces quhet reduktim. Në rastin e formave të papërcaktuara, ne nuk mund të specifikojmë pabarazitë që duhet të plotësojnë koeficientët e vetëm një forme nga çdo klasë. Megjithatë, ka pabarazi që plotësohen nga një numër i kufizuar formash në secilën klasë, të cilat të gjitha quhen forma të reduktuara.

Format e përcaktuara dhe të pacaktuara ndryshojnë gjithashtu në atë që çdo formë e caktuar përfaqëson (nëse përfaqëson) një numër të plotë vetëm në një numër të kufizuar mënyrash, ndërsa numri i paraqitjeve të një numri të plotë formë e pacaktuarështë gjithmonë ose zero ose e pafundme. Çështja është se, ndryshe nga format e përcaktuara, format e pacaktuara kanë pafundësisht shumë "automorfizma", d.m.th. zëvendësimet x = Au+ Bv, y = Cu + Dv, duke lënë formularin f (x,y) është e pandryshuar, pra f (x,y) = f (u,v). Këto automorfizma mund të përshkruhen plotësisht në termat e zgjidhjeve të ekuacionit të Pell-it z 2+D w 2 = 4, ku D është diskriminues i formës f.

Disa rezultate të veçanta në lidhje me përfaqësimin e numrave të plotë me forma kuadratike ishin të njohura shumë kohë përpara shfaqjes së atyre që sapo u përshkruan. teori e përgjithshme, e cila filloi nga Lagranzhi në 1773 dhe që u zhvillua në veprat e Lezhandrit (1798), Gauss (1801) dhe të tjerëve. Fermat tregoi në 1654 se çdo numër i thjeshtë i formës 8 n+ 1 ose 8 n+ 3 të përfaqësuara nga forma x 2 + 2y 2, çdo numër i thjeshtë i formës 3 n+ 1 që përfaqësohet nga forma x 2 + 3y 2 dhe nuk ka numër të thjeshtë si 3 n– 1, e përfaqësuar nga forma x 2 + 3y 2. Ai gjithashtu vendosi se çdo numër i thjeshtë i formës 4 n+ 1 përfaqësohet, dhe në të vetmen mënyrë, si shuma e dy katrorëve. Fermat nuk la prova të këtyre teoremave (si dhe pothuajse të gjitha rezultatet e tjera të tij). Disa prej tyre u vërtetuan nga Euler (1750-1760), dhe vërtetimi i të fundit prej këtyre teoremave i kërkoi atij shtatë vjet përpjekje intensive. Këto teorema tani njihen si pasoja të thjeshta nga ligji i reciprocitetit kuadratik.

Në mënyrë të ngjashme mund të përcaktojmë ekuivalencën forma kuadratike nga n variablave. Ekzistojnë teori të ngjashme të reduktimit dhe përfaqësimit, natyrisht më komplekse sesa në rastin e dy variablave. Deri në vitin 1910, zhvillimi i teorisë kishte përparuar sa më shumë që të ishte e mundur me ndihmën e metodat klasike, dhe teoria e numrave mbeti e fjetur deri në vitin 1935, kur Siegel i dha asaj një shtysë të re duke e bërë analizën matematikore mjetin kryesor për kërkime në këtë fushë.

Një nga teoremat më të mahnitshme në teorinë e numrave u vërtetua nga Fermat dhe, me sa duket, ishte e njohur për Diophantus. Ai thotë se çdo numër i plotë është shuma e katër katrorëve. Një deklaratë më e përgjithshme u bë pa prova nga E. Waring (1734–1798): çdo numër i plotë pozitiv është shuma e jo më shumë se nëntë kubeve, jo më shumë se nëntëmbëdhjetë fuqive të katërta, etj. Deklaratë e përgjithshme atë për çdo numër të plotë pozitiv k ka një numër të plotë s, i tillë që çdo numër i plotë pozitiv mund të përfaqësohet si një shumë prej më së shumti s k-të gradë, u vërtetua përfundimisht nga D. Gilbert (1862–1943) në 1909.

Gjeometria e numrave.

NË skicë e përgjithshme mund të themi se gjeometria e numrave përfshin të gjitha aplikimet konceptet gjeometrike dhe metodat për problemet e teorisë së numrave. Konsiderata të veçanta të këtij lloji u shfaqën në shekullin e 19-të. në veprat e Gauss, P. Dirichlet, C. Hermite dhe G. Minkowski, në të cilat interpretimet e tyre gjeometrike u përdorën për të zgjidhur disa pabarazi ose sisteme pabarazish në numra të plotë. Minkowski (1864–1909) sistemoi dhe unifikoi gjithçka që ishte bërë në këtë fushë përpara tij dhe gjeti aplikime të reja të rëndësishme, veçanërisht në teorinë e formave lineare dhe kuadratike. Ai po shikonte n të panjohura si koordinata në n-hapësirë ​​dimensionale. Bashkësia e pikave me koordinata me numra të plotë quhet rrjetë. Të gjitha pikat me koordinata që plotësojnë pabarazitë e kërkuara u interpretuan nga Minkowski si brendësi e një "trupi" dhe detyra ishte të përcaktonte nëse trupi i dhënëçdo pikë grilë. Teorema themelore Minkowski thotë se nëse një trup është konveks dhe simetrik në lidhje me origjinën, atëherë ai përmban të paktën një pikë rrjetë të ndryshme nga origjina, me kusht që n- vëllimi dimensional i trupit (në n= 2 është sipërfaqe) më e madhe se 2 n.

Shumë pyetje çojnë natyrshëm në teorinë e trupave konveks, dhe ishte kjo teori që u zhvillua më plotësisht nga Minkowski. Pastaj me radhë për një kohë të gjatë ngeci përsëri, por që nga viti 1940, kryesisht falë punës së matematikanëve anglezë, është bërë përparim në zhvillimin e teorisë së trupave jo konveks.

Përafrimet diofantine.

Ky term u prezantua nga Minkowski për të përshkruar problemet në të cilat disa shprehje e ndryshueshme duhet të bëhet sa më i vogël që të jetë e mundur kur ndryshorja merr vlera të plota që nuk kalojnë një numër të madh N. Aktualisht, termi "përafrim diofantine" përdoret në më shumë në një kuptim të gjerë për të treguar një sërë problemash numerore-teorike në të cilat jepen një ose më shumë ir numrat racionalë. (Një numër irracional është një numër që nuk mund të shprehet si raport i dy numrave të plotë.) Pothuajse të gjitha problemet e këtij lloji lindën nga pyetja themelore e mëposhtme: nëse jepet një numër irracional q, atëherë cilat janë përafrimet më të mira racionale për të dhe sa mirë e përafrojnë atë? Sigurisht, nëse përdorni numra racionalë mjaft komplekse, atëherë numri q mund të përafrohet me saktësi sipas dëshirës; prandaj pyetja ka kuptim vetëm kur saktësia e përafrimit krahasohet me vlerën e numëruesit ose të emëruesit të numrit të përafërt. Për shembull, 22/7 është një përafrim i mirë me numrin fq në kuptimin që nga të gjithë numrat racionalë me emërues 7, thyesa 22/7 është më afër numrit. fq. Përafrime të tilla të mira mund të gjenden gjithmonë duke e zgjeruar numrin q në një fraksion të vazhdueshëm. Zgjerime të ngjashme, disi të ngjashme me zgjerimet në dhjetore, shërbejnë si një mjet i fuqishëm kërkimor në teori moderne numrat. Me ndihmën e tyre, për shembull, është e lehtë të verifikohet se për çdo numër irracional q ka pafundësisht shumë thyesa y/x, i tillë që gabimi | q – y/x| më pak se 1/ x 2 .

Numri b thirrur algjebrike, nëse i kënaq disa ekuacioni algjebrik me koeficientë të plotë a 0 b n + a 1 b n – 1 +... + a n= 0. Përndryshe numri b i quajtur transcendental. Ajo që dihet pak për numrat transcendental është marrë duke përdorur metodat e përafrimit të Diofantinës. Provat zakonisht përfundojnë në gjetjen e vetive të përafrimit të numrave transcendental që numrat algjebrikë nuk i kanë. Një shembull është teorema e J. Liouville (1844), sipas së cilës numri b transcendent nëse për arbitrare tregues i madh n ka një fraksion y/x, i tillë që 0 b - y/x| xn. Duke zhvilluar idetë e Hermite, F. Lindeman në 1882 vërtetoi se numri fq në mënyrë transcendentale dhe në këtë mënyrë i dha një përgjigje përfundimtare (negative) pyetjes së parashtruar nga grekët e lashtë: a është e mundur, duke përdorur një busull dhe një vizore, të ndërtohet një katror i barabartë në sipërfaqe me një rreth të caktuar? Në vitin 1934, A.O. Gelfond (1906–1968) dhe T. Schneider (l. 1911) vërtetuan në mënyrë të pavarur se nëse një numër algjebrik a, i ndryshëm nga 0 ose 1, ngritja në irracionale shkallë algjebrike b, pastaj numri që rezulton a b transcendent. Për shembull, numri është transcendental. E njëjta gjë mund të thuhet për e fq(vlera e shprehjes i –2i).

Teoria analitike e numrave.

Analiza matematikore mund të quhet matematika e madhësive që ndryshojnë vazhdimisht; Prandaj, në shikim të parë mund të duket e çuditshme që një matematikë e tillë mund të jetë e dobishme për zgjidhjen e problemeve thjesht teorike të numrave. Personi i parë që përdori sistematikisht metoda shumë të fuqishme analitike në aritmetikë ishte P. Dirichlet (1805-1859). Bazuar në vetitë e "serisë Dirichlet"

konsiderohen si funksione të ndryshores s, ai tregoi se nëse gcd ( a,m) = 1, atëherë ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë të formës fq є a(mod m) (pra, ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë të formës 4 k+ 1, si dhe pafundësisht shumë numra të thjeshtë të formës 4 k + 3). rast i veçantë Seria Dirichlet 1 + 2 - s + 3 –s+... quhet funksioni zeta i Riemann-it z (s) për nder të B. Riemann (1826–1866), i cili hetoi pronat e tij nën kompleksin s për të analizuar shpërndarjen e numrave të thjeshtë. Problemi është: nëse fq (x) tregon numrin e numrave të thjeshtë që nuk tejkalon x sa e madhe është vlera fq (x) në vlera të mëdha x? Në 1798 A. Lezhandre sugjeroi që qëndrimi fq(x) Për të x/log x(ku logaritmi është çuar në bazë e) është afërsisht e barabartë me 1 dhe rritet x tenton në 1. Një rezultat i pjesshëm është marrë në 1851 nga P.L. Chebyshev (1821–1894), por e gjithë hipoteza e Lezhandrit, e ashtuquajtura. "Teorema e numrave të thjeshtë" u vërtetua vetëm në 1896 duke përdorur metoda të bazuara në punën e Riemann (në mënyrë të pavarur nga J. Hadamard dhe C. de la Vallée Poussin). Në shekullin e 20-të Është bërë shumë në fushën e teorisë analitike të numrave, por shumë pyetje në dukje të lehta në lidhje me numrat e thjeshtë mbeten ende pa përgjigje. Për shembull, ende nuk dihet nëse ka pafundësisht shumë "çifte numrash të thjeshtë", d.m.th. çifte numrash të thjeshtë të njëpasnjëshëm, si 101 dhe 103. Ekziston një tjetër hipotezë e Riemann-it ende e paprovuar, ajo ka të bëjë numra komplekse, të cilat janë zero të funksionit zeta, dhe merr kaq shumë vend i rëndësishëm gjatë gjithë teorisë, se shumë teorema të vërtetuara dhe të publikuara përmbajnë fjalët "Nëse hipoteza e Riemann-it është e vërtetë, atëherë...".

Metodat analitike përdoren gjerësisht edhe në teorinë e numrave shtues, e cila merret me paraqitjen e numrave në formën e shumave lloj i caktuar. Metodat analitike u përdorën në mënyrë të konsiderueshme nga Hilberti në zgjidhjen e problemit të Waring të përmendur më sipër. Përpjekjet për t'i dhënë teoremës së Hilbertit një karakter sasior duke përdorur një vlerësim të numrit k-X fuqitë e nevojshme për të përfaqësuar të gjithë numrat e plotë çuan G. Hardy dhe J. Littlewood të krijojnë në vitet 1920 dhe 1930 metodë rrethore, përmirësuar më tej nga I.M. Vinogradov (1891–1983). Këto metoda kanë gjetur zbatim në teorinë aditiv të numrave të thjeshtë, për shembull, në vërtetimin e teoremës së Vinogradov që çdo mjaftueshëm i madh numër i rastësishëm i përfaqësuar si shuma e tre numrave të thjeshtë.

Teoria algjebrike e numrave.

Për të vërtetuar ligjin e reciprocitetit të fuqive të katërta (një analog i ligjit të reciprocitetit kuadratik për relacionin x 4 є q(mod fq)), Gauss në 1828 studioi aritmetikën e numrave kompleksë a + bi, Ku a Dhe b janë numra të plotë të zakonshëm, dhe . Pjesëtueshmëria, "njësitë", numrat e thjeshtë dhe GCD për "numrat Gaussian" përcaktohen në të njëjtën mënyrë si për numrat e plotë të zakonshëm, dhe ruhet gjithashtu teorema mbi veçantinë e zbërthimit në numra të thjeshtë. Duke u përpjekur për të provuar Teorema e Madhe Fermat (që ekuacioni x n + y n = z n nuk ka zgjidhje në numra të plotë për n> 2), E. Kummer në 1851 kaloi në studimin e aritmetikës së numrave të plotë më shumë lloji i përgjithshëm, i përcaktuar duke përdorur rrënjët e unitetit. Në fillim, Kummer besonte se ai kishte arritur të gjente një provë të teoremës së Fermatit, por ai gaboi, pasi, në kundërshtim me intuitën naive, teorema mbi veçantinë e faktorizimit nuk vlen për numra të tillë. Në vitin 1879 prezantoi R. Dedekind koncept i përgjithshëm numër i plotë algjebrik, d.m.th. numër algjebrik që plotëson një ekuacion algjebrik me koeficientë të plotë dhe koeficient a 0 me termin kryesor të barabartë me 1. Për të marrë një grup të caktuar numrash të plotë algjebrikë, të ngjashëm me bashkësinë e numrave të plotë të zakonshëm, është e nevojshme të merren parasysh vetëm numra të tillë të plotë algjebrikë që i përkasin një fikse fushë numrat algjebrikë . Ky është grupi i të gjithë numrave që mund të merren nga disa numri i dhënë dhe numrat racional përmes përdorimit të përsëritur të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit; fusha e numrave algjebrikë është e ngjashme me bashkësinë e numrave racionalë. Numrat e plotë algjebrikë nga të kësaj fushe nga ana tjetër ndahen në “njësi”, të thjeshta dhe numra të përbërë, por në rast i përgjithshëm për dy numra të tillë nuk ka gcd të përcaktuar në mënyrë unike dhe teorema mbi veçantinë e faktorizimit në faktorët kryesorë nuk vlen. Shembujt më të thjeshtë të fushave të numrave algjebrikë, përveç grupit të numrave racionalë, janë fushat e numrave algjebrikë të përcaktuara duke përdorur numra algjebrikë të shkallës 2, d.m.th. numra irracionalë të kënaqshëm ekuacionet kuadratike me koeficientë racionalë. Fusha të tilla quhen fushat e numrave kuadratikë.

Kummer zotëron idenë themelore të prezantimit të të ashtuquajturave të reja. numrat idealë (1847), të zgjedhur në atë mënyrë që teorema mbi veçantinë e faktorizimit të plotësohet përsëri në grupin e zgjeruar. Për të njëjtin qëllim, Dedekind prezantoi një koncept paksa të ndryshëm të idealeve në 1870, dhe Kronecker në 1882 prezantoi një metodë për zbërthimin e një polinomi me koeficientë racionalë në faktorë të pakalueshëm mbi fushën e numrave racionalë. Puna e këtyre tre matematikanëve jo vetëm që hodhi themelet teoria aritmetike numrat algjebrikë, por edhe shënoi fillimin e algjebrës moderne abstrakte.

Çështja nëse ka një faktorizim unik në faktorët kryesorë në një fushë të caktuar është shumë e vështirë. Situata është e qartë vetëm në një rast: ka vetëm një numër të kufizuar fushash kuadratike që kanë këtë veti, dhe të gjitha këto fusha, me përjashtim të një rasti të dyshimtë, janë të njohura mirë. Situata me "njësitë" e fushës është më e thjeshtë: siç tregoi Dirichlet, të gjitha "njësitë" (nga të cilat, në përgjithësi, ka pafundësisht shumë) mund të përfaqësohen si produkte të fuqive të disa. grup i kufizuar"njësi". Shqyrtimi i këtij lloj problemi në lidhje me ndonjë fushë specifike sigurisht që i paraprin studimeve më të thella aritmetike brenda kuadrit të kësaj fushe dhe aplikimeve të problemeve. teoria klasike numrat. Ka një tjetër, më shumë teori delikate, e cila filloi në 1894 nga Hilbert, në të cilën të gjitha fushat e numrave me veti të caktuara. Quhet "teoria e fushës së klasës" dhe i përket degëve teknikisht më rigoroze të matematikës. Një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e tij dhanë F. Furtwängler në 1902 dhe T. Takagi në 1920. vitet e fundit Ka një aktivitet të rëndësishëm në këtë fushë të matematikës.