A koszinuszok különbsége. Vásároljon olcsón felsőfokú végzettséget

Nem próbállak meggyőzni, hogy ne írj csalólapot. Írj! Beleértve a trigonometria csalólapjait. Később azt tervezem, hogy elmagyarázom, miért van szükség a csalólapokra, és miért hasznosak a csalólapok. És itt van információ arról, hogyan kell nem tanulni, hanem emlékezni néhány trigonometrikus képletre. Tehát - trigonometria csalólap nélkül A memorizáláshoz asszociációkat használunk!

1. Összeadási képletek:

A koszinusz mindig „párban jön”: koszinusz-koszinusz, szinusz-szinusz. És még valami: a koszinusz „nem megfelelő”. „Nincs minden rendben” számukra, ezért a „-” jeleket „+”-ra cserélik, és fordítva.

Szinuszok – „keverék”: szinusz-koszinusz, koszinusz-szinusz.

2. Összeg és különbség képletek:

a koszinuszok mindig „párban jönnek”. Két koszinusz - „kolobok” hozzáadásával egy koszinuszpárt kapunk - „koloboks”. És kivonva biztosan nem kapunk kolobokot. Kapunk pár szinust. Szintén mínuszos előrébb.

Szinuszok – „keverék” :

3. Képletek egy szorzat összeggé és különbözetté alakításához.

Mikor kapunk koszinusz párt? Amikor koszinuszokat adunk hozzá. azért

Mikor kapunk pár szinust? A koszinusz kivonásánál. Innen:

A „keverést” a szinuszok összeadásakor és kivonásakor is megkapjuk. Mi a szórakoztatóbb: összeadás vagy kivonás? Így van, hajtsd össze. És a képlethez hozzáadják:

Az első és a harmadik képletben az összeg zárójelben van. A kifejezések helyeinek átrendezése az összegen nem változtat. A sorrend csak a második képletnél fontos. De hogy ne tévedjünk össze, az emlékezés megkönnyítése érdekében mindhárom képletben az első zárójelben a különbséget vesszük

és másodszor - az összeget

A zsebedben lévő csalólapok nyugalmat adnak: ha elfelejted a képletet, lemásolhatod. És önbizalmat adnak: ha nem használja a csalólapot, könnyen megjegyezheti a képleteket.

A matematika egyik olyan területe, amellyel a diákok a legtöbbet küzdenek, a trigonometria. Nem csoda: ahhoz, hogy folyékonyan elsajátítsa ezt a tudásterületet, rendelkeznie kell térbeli gondolkodás, képes szinuszokat, koszinuszokat, érintőket, kotangenseket keresni képletek segítségével, egyszerűsíteni a kifejezéseket, tudja használni a pi-t a számításokban. Ezen túlmenően a tételek bizonyításakor tudnia kell trigonometriát használni, ehhez pedig vagy fejlett matematikai memóriára, vagy összetett logikai láncok levezetésének képességére van szükség.

A trigonometria eredete

Ennek a tudománynak a megismerését a szinusz, a koszinusz és a szög tangensének meghatározásával kell kezdeni, de először meg kell értenie, mit csinál a trigonometria általában.

Történelmileg ez a szakasz fő vizsgálati tárgya matematikai tudomány derékszögű háromszögek voltak. A 90 fokos szög jelenléte lehetővé teszi a kivitelezést különféle műveletek, amely lehetővé teszi a kérdéses ábra összes paraméterének értékének meghatározását két oldal és egy szög vagy két szög és egy oldal használatával. A múltban az emberek észrevették ezt a mintát, és aktívan kezdték használni az épületek építésében, a navigációban, a csillagászatban és még a művészetben is.

Kezdeti szakasz

Kezdetben az emberek csak a derékszögű háromszögek példáján beszéltek a szögek és oldalak kapcsolatáról. Ezután speciális képleteket fedeztek fel, amelyek lehetővé tették a felhasználás határainak kiterjesztését mindennapi élet a matematikának ez az ága.

A trigonometria tanulmányozása az iskolában ma derékszögű háromszögekkel kezdődik, ezt követően a tanulók a megszerzett ismereteket a fizikában és absztrakt feladatok megoldásában hasznosítják. trigonometrikus egyenletek, amivel a munka a középiskolában kezdődik.

Szférikus trigonometria

Később, amikor megjelent a tudomány következő szintre fejlődés, a szinuszos, koszinuszos, érintős, kotangenses képleteket a gömbgeometriában kezdték használni, ahol más szabályok érvényesek, és a háromszög szögeinek összege mindig nagyobb, mint 180 fok. Ezt a részt az iskolában nem tanulják, de legalább azért tudni kell a létezéséről a föld felszíne, és bármely más bolygó felszíne domború, ami azt jelenti, hogy bármilyen felületi jelölés benne lesz háromdimenziós tér"ív alakú".

Vegyük a földgömböt és a fonalat. Rögzítse a szálat a földgömb bármely két pontjához úgy, hogy feszes legyen. Figyelem: ív alakot öltött. Ilyen formákkal foglalkozik a gömbgeometria, amelyet a geodézia, csillagászat és más elméleti és alkalmazott területeken használnak.

Derékszögű háromszög

Miután egy kicsit elsajátítottuk a trigonometria használatának módjait, térjünk vissza az alapvető trigonometriához, hogy jobban megértsük, mi a szinusz, koszinusz, érintő, milyen számításokat lehet elvégezni a segítségükkel és milyen képleteket kell használni.

Az első lépés a derékszögű háromszöggel kapcsolatos fogalmak megértése. Először is, a hipotenusz a 90 fokos szöggel ellentétes oldal. Ez a leghosszabb. Emlékszünk arra, hogy a Pitagorasz-tétel szerint annak számérték egyenlő a másik két oldal négyzetösszegének gyökével.

Például, ha a két oldal 3, illetve 4 centiméter, akkor a hipotenusz hossza 5 centiméter lesz. Egyébként az ókori egyiptomiak körülbelül négy és fél ezer évvel ezelőtt tudtak erről.

A két fennmaradó oldalt, amelyek derékszöget alkotnak, lábaknak nevezzük. Ezenkívül emlékeznünk kell arra, hogy a háromszög szögeinek összege az téglalap alakú rendszer a koordináták 180 fok.

Meghatározás

Végül a geometriai alap szilárd ismeretében fordulhatunk a szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározásához.

A szög szinusza a szemközti láb (azaz a kívánt szöggel ellentétes oldal) és a hipotenusz aránya. A szög koszinusza a szomszédos oldal és a hipotenusz aránya.

Ne feledje, hogy sem szinusz, sem koszinusz nem lehet több mint egy! Miért? Mivel a hipotenusz alapértelmezés szerint a leghosszabb Bármilyen hosszú is a láb, rövidebb lesz, mint a hipotenusz, ami azt jelenti, hogy arányuk mindig kisebb lesz, mint egy. Így, ha egy feladatra adott válaszában 1-nél nagyobb értékű szinust vagy koszinust kap, keressen hibát a számításokban vagy az érvelésben. Ez a válasz egyértelműen helytelen.

Végül egy szög érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya. A szinusz koszinuszos osztásával ugyanazt az eredményt kapjuk. Nézd: a képlet szerint az oldal hosszát elosztjuk a befogóval, majd elosztjuk a második oldal hosszával, és megszorozzuk a befogóval. Így ugyanazt az összefüggést kapjuk, mint az érintő definíciójában.

Ennek megfelelően a kotangens a sarokkal szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha elosztjuk az egyiket az érintővel.

Tehát megvizsgáltuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit, és áttérhetünk a képletekre.

A legegyszerűbb képletek

A trigonometriában nem nélkülözheti a képleteket - hogyan lehet nélkülük szinust, koszinust, érintőt, kotangenst találni? De pontosan erre van szükség a problémák megoldásához.

Az első képlet, amelyet tudnia kell, amikor elkezdi a trigonometria tanulmányozását, azt mondja, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzeteinek összege eggyel egyenlő. Ez a képlet a Pitagorasz-tétel egyenes következménye, de időt takarít meg, ha a szög méretét kell ismerni, nem pedig az oldalt.

Sok diák nem emlékszik a második képletre, amely szintén nagyon népszerű a megoldás során iskolai feladatokat: egynek és a szög érintőjének négyzetének összege egyenlő egy osztva a szög koszinuszának négyzetével. Nézze meg közelebbről: ez ugyanaz az állítás, mint az első képletben, csak az azonosság mindkét oldalát elosztottuk a koszinusz négyzetével. Kiderült, hogy egy egyszerű matematikai művelet teljesen felismerhetetlenné teszi a trigonometrikus képletet. Ne feledje: tudni, hogy mi a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens, konverziós szabályok és több alapképletek bármikor visszavonhatja a szükséges többet összetett képletek egy darab papírra.

Képletek kettős szögekhez és argumentumok összeadásához

Két további képlet, amelyet meg kell tanulnia, a szinusz és a koszinusz értékéhez kapcsolódik a szögek összegéhez és különbségéhez. Ezeket az alábbi ábra mutatja be. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első esetben a szinusz és a koszinusz mindkét alkalommal megszorozódik, a második esetben pedig a szinusz és a koszinusz páros szorzata adódik össze.

Az űrlap argumentumaihoz képletek is kapcsolódnak kettős szög. Teljesen az előzőekből származnak – edzésként próbálja meg saját maga is megszerezni őket az alfa szög felvételével egyenlő a szöggel béta.

Végül vegye figyelembe, hogy a dupla szög képletek átrendezhetők a szinusz, koszinusz, érintő alfa hatványának csökkentése érdekében.

Tételek

Az alapvető trigonometria két fő tétele a szinusztétel és a koszinusztétel. Ezeknek a tételeknek a segítségével könnyen megértheti, hogyan kell megtalálni a szinusz, a koszinusz és az érintő, tehát az ábra területét, az egyes oldalak méretét stb.

A szinusztétel kimondja, hogy a háromszög mindkét oldalának hosszát elosztva ezzel ellentétes szög fogunk kapni ugyanaz a szám. Sőt, ez a szám egyenlő lesz a körülírt kör két sugarával, vagyis azzal a körrel, amely egy adott háromszög összes pontját tartalmazza.

A koszinusztétel általánosítja a Pitagorasz-tételt, bármely háromszögre vetítve. Kiderül, hogy két oldal négyzetösszegéből vonjuk ki a szorzatuk szorzatát kettős koszinusz szomszédos szög - a kapott érték egyenlő lesz a harmadik oldal négyzetével. Így a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esetének bizonyul.

Gondatlan hibák

Még annak tudatában is, hogy mi a szinusz, koszinusz és tangens, könnyen tévedhetünk a figyelmetlenség vagy a legegyszerűbb számítások hibája miatt. Az ilyen hibák elkerülése érdekében nézzük meg a legnépszerűbbeket.

Először is, ne konvertálja a törteket tizedesjegyekké, amíg meg nem kapja a végeredményt - a választ hagyhatja közönséges tört, hacsak a feltételek másként nem rendelkeznek. Az ilyen átalakulást nem lehet hibának nevezni, de emlékezni kell arra, hogy a probléma minden szakaszában új gyökerek jelenhetnek meg, amelyeket a szerző elképzelése szerint csökkenteni kell. Ebben az esetben felesleges dolgokra pazarolja az idejét matematikai műveletek. Ez különösen igaz az olyan értékekre, mint a három vagy a kettő gyökere, mivel ezek minden lépésnél megtalálhatók a problémákban. Ugyanez vonatkozik a „csúnya” számok kerekítésére is.

Figyeljük meg továbbá, hogy a koszinusztétel bármely háromszögre vonatkozik, a Pitagorasz-tételre azonban nem! Ha tévedésből elfelejti kivonni dupla termék oldalakat megszorozva a köztük lévő szög koszinuszával, akkor nemcsak teljesen helytelen eredményt kap, hanem a téma teljes félreértését is mutatja. Ez rosszabb, mint egy gondatlan tévedés.

Harmadszor, ne keverje össze a 30 és 60 fokos szögek értékeit szinuszokhoz, koszinuszokhoz, érintőkhöz, kotangensekhez. Ne felejtse el ezeket az értékeket, mert a szinusz 30 fok egyenlő a koszinusz 60, és fordítva. Könnyű összetéveszteni őket, aminek következtében elkerülhetetlenül hibás eredményt kap.

Alkalmazás

Sok diák nem siet a trigonometria tanulmányozásába, mert nem érti a gyakorlati jelentését. Mit jelent a szinusz, koszinusz, tangens egy mérnök vagy csillagász számára? Ezek olyan fogalmak, amelyeknek köszönhetően kiszámíthatja a távolságot távoli csillagok, meteorit esését jósolják meg, kutatószondát küldenek egy másik bolygóra. Ezek nélkül lehetetlen épületet építeni, autót tervezni, kiszámítani a felület terhelését vagy egy tárgy pályáját. És ezek csak a legszembetűnőbb példák! Végül is a trigonometriát ilyen vagy olyan formában mindenhol használják, a zenétől az orvostudományig.

Befejezésül

Tehát szinusz, koszinusz, érintő. Használhatja őket számítások során, és sikeresen megoldhatja az iskolai feladatokat.

A trigonometria lényege azon a tényen múlik, hogy egy háromszög ismert paramétereinek felhasználásával ki kell számítani az ismeretleneket. Összesen hat paraméter van: hossza három oldalak és méretek három sarok. Az egyetlen különbség a feladatokban, hogy különböző bemeneti adatokat adnak meg.

Hogyan lehet szinust, koszinust, érintőt találni ez alapján ismert hosszúságok lábak vagy hypotenusa, most már tudod. Mivel ezek a kifejezések nem jelentenek mást, mint egy arányt, az arány pedig tört, fő cél trigonometrikus probléma egy közönséges egyenlet vagy egyenletrendszer gyökereinek megtalálása. És itt a rendszeres iskolai matematika segít.

– biztosan lesznek feladatok a trigonometriával kapcsolatban. A trigonometriát gyakran nem szeretik, mert zsúfoltságot igényel hatalmas mennyiség nehéz képletek hemzsegnek szinuszoktól, koszinuszoktól, érintőktől és kotangensektől. Az oldal már egyszer tanácsokat adott egy elfelejtett képlet megjegyezéséhez, az Euler és Peel képlet példáján.

És ebben a cikkben megpróbáljuk megmutatni, hogy elegendő csak öt legegyszerűbbet szilárdan ismerni trigonometrikus képletek, a többiről pedig megvan általános elképzelésés hozd ki őket menet közben. Ez olyan, mint a DNS-nél: nem tárolódik a molekulában. komplett rajzok kész élőlény. Inkább utasításokat tartalmaz a rendelkezésre álló aminosavakból történő összeállításhoz. Tehát a trigonometriában, ismerve néhányat általános elveket, az összes szükséges képletet megkapjuk kis készlet amelyeket szem előtt kell tartani.

A következő képletekre fogunk támaszkodni:

A szinusz- és koszinuszösszegek képleteiből a koszinuszfüggvény paritásának és a szinuszfüggvény páratlanságának ismeretében, b helyett -b-vel helyettesítve a különbségek képleteit kapjuk:

1. A különbség szinusza: bűn(a-b) = bűnakötözősaláta(-b)+kötözősalátaabűn(-b) = bűnakötözősalátab-kötözősalátaabűnb
2. A különbség koszinusza: kötözősaláta(a-b) = kötözősalátaakötözősaláta(-b)-bűnabűn(-b) = kötözősalátaakötözősalátab+bűnabűnb

Ha a = b-t ugyanabba a képletbe tesszük, megkapjuk a kettős szögek szinuszának és koszinuszának képleteit:

1. Kettős szög szinusza: bűn2a = bűn(a+a) = bűnakötözősalátaa+kötözősalátaabűna = 2bűnakötözősalátaa
2. Kettős szög koszinusza: kötözősaláta2a = kötözősaláta(a+a) = kötözősalátaakötözősalátaa-bűnabűna = kötözősaláta2 a-bűn2 a

A többi több szög képlete hasonló módon történik:

1. Háromszög szinusza: bűn3a = bűn(2a+a) = bűn2akötözősalátaa+kötözősaláta2abűna = (2bűnakötözősalátaa)kötözősalátaa+(kötözősaláta2 a-bűn2 a)bűna = 2bűnakötözősaláta2 a+bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűna(1-bűn2 a)-bűn 3 a = 3 bűna-4bűn 3a
2. Háromszög koszinusza: kötözősaláta3a = kötözősaláta(2a+a) = kötözősaláta2akötözősalátaa-bűn2abűna = (kötözősaláta2 a-bűn2 a)kötözősalátaa-(2bűnakötözősalátaa)bűna = kötözősaláta 3 a- bűn2 akötözősalátaa-2bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3 bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3(1- kötözősaláta2 a)kötözősalátaa = 4kötözősaláta 3 a-3 kötözősalátaa

Mielőtt továbblépnénk, nézzünk meg egy problémát.
Adott: a szög hegyes.
Keresse meg a koszinuszát, ha
Az egyik diák által adott megoldás:
Mert , Azt bűna= 3,a kötözősalátaa = 4.
(Matek humorból)

Tehát az érintő definíciója ezt a függvényt a szinuszhoz és a koszinuszhoz is kapcsolja. De kaphat olyan képletet, amely az érintőt csak a koszinuszhoz viszonyítja. Ennek levezetéséhez vegyük a főt trigonometrikus azonosság: bűn 2 a+kötözősaláta 2 a= 1, és oszd el vele kötözősaláta 2 a. Kapunk:

Tehát a probléma megoldása a következő lenne:

(Mivel a szög hegyes, a gyökér kiemelésekor a + jelet veszik)

Az összeg tangensének képlete egy másik, amelyet nehéz megjegyezni. Adjuk ki így:

Azonnal megjelenik és

A kettős szög koszinusz képletéből megkaphatja a félszög szinusz és koszinusz képletét. Ehhez alkalmazza a kettős szög koszinusz képlet bal oldalát:
kötözősaláta2 a = kötözősaláta 2 a-bűn 2 a
hozzáadunk egyet, és jobbra - egy trigonometrikus egységet, azaz. a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege.
kötözősaláta2a+1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a+kötözősaláta2 a+bűn2 a
2kötözősaláta 2 a = kötözősaláta2 a+1
Kifejezés kötözősalátaa keresztül kötözősaláta2 aés a változók megváltoztatását végrehajtva a következőket kapjuk:

A jelet a kvadránstól függően veszik.

Hasonlóképpen, ha az egyenlőség bal oldalából kivonunk egyet, a jobb oldalról pedig a szinusz és koszinusz négyzetösszegét, a következőt kapjuk:
kötözősaláta2a-1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a-kötözősaláta2 a-bűn2 a
2bűn 2 a = 1-kötözősaláta2 a

És végül az összeg átváltása trigonometrikus függvények a munkába, használjuk következő találkozó. Tegyük fel, hogy a szinuszok összegét szorzatként kell ábrázolnunk bűna+bűnb. Vezessünk be x és y változókat úgy, hogy a = x+y, b+x-y. Majd
bűna+bűnb = bűn(x+y)+ bűn(x-y) = bűn x kötözősaláta y+ kötözősaláta x bűn y+ bűn x kötözősaláta y- kötözősaláta x bűn y=2 bűn x kötözősaláta y. Most fejezzük ki x-et és y-t a-val és b-vel.

Mivel a = x+y, b = x-y, akkor . azért

Azonnal visszavonhatod

1. Képlet a particionáláshoz szinusz és koszinusz szorzatai V összeg: bűnakötözősalátab = 0.5(bűn(a+b)+bűn(a-b))

Javasoljuk, hogy saját maga gyakoroljon és származtasson képleteket a szinuszok különbségének és a koszinuszok összegének és különbségének szorzattá konvertálására, valamint a szinuszok és koszinuszok szorzatának összegre osztására. A gyakorlatok elvégzése után alaposan elsajátítja a trigonometrikus képletek levezetésének készségét, és még a legnehezebb teszten, olimpián vagy teszten sem fog eltévedni.

Leggyakrabban ismételt kérdések

Lehet-e bélyegzőt készíteni egy dokumentumra a mellékelt minta alapján? Válasz Igen, lehetséges. Küldje el nekünk email címre szkennelt másolat vagy fénykép jó minőségű, és elkészítjük a szükséges másolatot.

Milyen fizetési módokat fogad el? Válasz A dokumentum ellenértékét a futár kézhezvételekor, az oklevél kitöltésének és a kivitelezés minőségének ellenőrzése után fizetheti ki. Ez megtehető az utánvétes postai társaságok irodáiban is.
A dokumentumok szállításának és fizetésének minden feltétele a „Fizetés és kézbesítés” részben található. Szintén készek vagyunk meghallgatni javaslataikat a dokumentum szállítási és fizetési feltételeivel kapcsolatban.

Biztos lehetek benne, hogy a rendelés leadása után nem fog eltűnni a pénzemmel? Válasz Nagy tapasztalattal rendelkezünk az oklevélkészítés területén. Számos weboldalunk van, amelyeket folyamatosan frissítünk. Szakembereink dolgoznak különböző sarkok több mint 10 dokumentumot állítanak elő naponta. Az évek során dokumentumaink sok embernek segítettek a foglalkoztatási problémák megoldásában vagy máshová költözni jól fizető állás. Megbízóink körében bizalmat és elismerést vívtunk ki, így erre semmi okunk nincs. hasonló módon. Sőt, ezt fizikailag egyszerűen lehetetlen megtenni: a rendelést akkor fizeted, amikor a kezedbe kapod, nincs előleg.

Bármelyik egyetemről rendelhetek diplomát? Válasz Általában igen. Közel 12 éve dolgozunk ezen a területen. Ez idő alatt szinte teljes adatbázis alakult ki az ország és határon túli szinte valamennyi egyeteme által kiadott dokumentumokról. különböző évek kiadása. Csak ki kell választani egy egyetemet, szakot, dokumentumot, és kitölteni a megrendelőlapot.

Mi a teendő, ha elírási hibákat talál egy dokumentumban? Válasz Ha futárunktól vagy postai cégünktől dokumentumot kap, javasoljuk, hogy alaposan ellenőrizze az összes részletet. Elírási hiba, hiba vagy pontatlanság észlelése esetén jogában áll az oklevelet nem átvenni, és az észlelt hibákat személyesen köteles jelezni a futárnak, ill. írásban email elküldésével.
IN a lehető leghamarabb A dokumentumot kijavítjuk és újra elküldjük a megadott címre. Természetesen a szállítást cégünk állja.
Az ilyen félreértések elkerülése érdekében az eredeti űrlap kitöltése előtt e-mailben elküldjük a leendő dokumentum makettjét az ügyfélnek ellenőrzés és jóváhagyás céljából. végleges változat. A dokumentum futárral vagy postai úton történő elküldése előtt további fényképeket és videókat is készítünk (beleértve ultraibolya fényben is), hogy Ön vizuális ábrázolás arról, hogy mit fogsz kapni a végén.

Mit kell tennem, hogy diplomát rendeljek a cégétől? Válasz Irat (bizonyítvány, oklevél, tudományos bizonyítvány stb.) ki kell töltenie a weboldalunkon található online megrendelőlapot, vagy meg kell adnia e-mail-címét, hogy el tudjuk küldeni Önnek a jelentkezési lapot, amelyet kitöltve vissza kell küldenie nekünk.
Ha nem tudja, mit kell feltüntetni a megrendelőlap/kérdőív bármely mezőjében, hagyja üresen. Ezért minden hiányzó információt telefonon pontosítunk.

Legújabb vélemények

Alexey:

Diplomát kellett szereznem ahhoz, hogy menedzserként dolgozhassak. És ami a legfontosabb, hogy van tapasztalatom és képességem is, de dokumentum nélkül nem tudok elhelyezkedni. Miután rábukkantam az oldalára, végül úgy döntöttem, hogy veszek egy diplomát. 2 nap alatt elkészült a diploma!! Most olyan munkám van, amiről korábban nem is álmodtam!! Köszönöm!

A szinusz (), koszinusz (), érintő (), kotangens () fogalma elválaszthatatlanul összefügg a szög fogalmával. Hogy ezeket első pillantásra jól megértsük, összetett fogalmak(amelyek sok iskolásban rémületet okoznak), és hogy megbizonyosodjunk arról, hogy „az ördög nem olyan ijesztő, mint ahogy le van festve”, kezdjük a legelejétől, és értsük meg a szög fogalmát.

Szögfogalom: radián, fok

Nézzük a képet. A vektor egy bizonyos mértékben „elfordult” a ponthoz képest. Tehát ennek a forgásnak a kiindulási helyzethez viszonyított mértéke lesz sarok.

Mit kell még tudni a szög fogalmáról? Hát persze, szögegységek!

A szög geometriában és trigonometriában egyaránt mérhető fokban és radiánban.

Egy (egy fokos) szöget nevezünk központi szög körben, a kör egy részével egyenlő körív alapján. Így az egész kör körívek „darabjaiból” áll, vagy a kör által leírt szög egyenlő.

Ez azt jelenti, hogy a fenti ábra egy szöget mutat, amely egyenlő, vagyis ez a szög egy kerület nagyságú köríven nyugszik.

A radiánban kifejezett szög a kör középponti szöge, amelyet egy körív zár be, amelynek hossza megegyezik a kör sugarával. Nos, rájöttél? Ha nem, akkor derítsük ki a rajzból.

Tehát az ábra egy radiánnal egyenlő szöget mutat, vagyis ez a szög egy köríven nyugszik, amelynek hossza megegyezik a kör sugarával (a hossza megegyezik a hosszával vagy sugárral hosszával egyenlőívek). Így az ív hosszát a következő képlettel számítjuk ki:

Hol van a középponti szög radiánban.

Nos, ennek ismeretében meg tudnád válaszolni, hogy a kör által leírt szög hány radiánt tartalmaz? Igen, ehhez emlékeznie kell a kerület képletére. Itt van:

Nos, most korreláljuk ezt a két képletet, és állapítsuk meg, hogy a kör által leírt szög egyenlő. Vagyis a fokban és radiánban megadott értékeket korrelálva azt kapjuk. Illetve,. Mint látható, a "fokkal" ellentétben a "radián" szó kimarad, mivel a mértékegység általában egyértelmű a szövegkörnyezetből.

Hány radián van? így van!

Megvan? Akkor folytassa és javítsa ki:

Nehézségei vannak? Akkor nézd válaszol:

Derékszögű háromszög: szinusz, koszinusz, érintő, szög kotangens

Tehát kitaláltuk a szög fogalmát. De mi egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense? Találjuk ki. Ebben segítségünkre lesz derékszögű háromszög.

Hogy hívják egy derékszögű háromszög oldalait? Így van, hipotenusz és lábak: a hipotenusz az az oldal, amely a derékszöggel szemben fekszik (példánkban ez az oldal); lábak a két fennmaradó oldal és (a szomszédos derékszög), és ha a lábakat a szöghez viszonyítva tekintjük, akkor a láb az szomszédos láb, és a láb ellentétes. Tehát most válaszoljunk a kérdésre: mi a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens egy szögben?

Szög szinusza- ez az ellentétes (távoli) láb és a hypotenus aránya.

A mi háromszögünkben.

A szög koszinusza- ez a szomszédos (közeli) láb és a hypotenus aránya.

A mi háromszögünkben.

A szög érintője- ez az ellenkező (távoli) oldal és a szomszédos (közeli) oldal aránya.

A mi háromszögünkben.

Szög kotangense- ez a szomszédos (közeli) láb és az ellenkező (távoli) láb aránya.

A mi háromszögünkben.

Ezek a meghatározások szükségesek emlékezz! Ahhoz, hogy könnyebben megjegyezze, melyik lábat mire kell felosztani, ezt egyértelműen meg kell értenie tangensÉs kotangens csak a lábak ülnek, és a hypotenusa csak a belsejében jelenik meg sinusÉs koszinusz. És akkor jöhet az asszociációk láncolata. Például ez:

koszinusz→érintés→érintés→szomszédos;

Kotangens→érintés→érintés→szomszédos.

Először is emlékeznie kell arra, hogy a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens, mivel a háromszög oldalainak aránya nem függ ezen oldalak hosszától (ugyanabban a szögben). Ne higgy nekem? Akkor győződj meg a képről:

Vegyük például egy szög koszinuszát. Definíció szerint háromszögből: , de kiszámolhatjuk egy szög koszinuszát egy háromszögből: . Látod, az oldalak hossza különböző, de egy szög koszinuszának értéke ugyanaz. Így a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke kizárólag a szög nagyságától függ.

Ha érti a definíciókat, akkor folytassa és konszolidálja azokat!

Az alábbi ábrán látható háromszögnél azt találjuk.

Nos, megkaptad? Aztán próbáld ki magad: számítsd ki ugyanezt a szögre is.

Egység (trigonometrikus) kör

A fok és a radián fogalmát megértve olyan kört tekintettünk, amelynek sugara egyenlő. Egy ilyen kört neveznek egyetlen. Nagyon hasznos lesz a trigonometria tanulmányozása során. Ezért nézzük meg kicsit részletesebben.

Amint látod, adott kör beépített Descartes-rendszer koordináták A kör sugara egyenlő eggyel, míg a kör középpontja a koordináták origójában van, addig a sugárvektor kezdeti helyzete rögzített pozitív irány tengely (példánkban ez a sugár).

A kör minden pontja két számnak felel meg: a tengely koordinátájának és a tengely koordinátájának. Mik ezek a koordinátaszámok? És egyáltalán, mi közük van a szóban forgó témához? Ehhez emlékeznünk kell a figyelembe vett derékszögű háromszögre. A fenti ábrán két teljes derékszögű háromszög látható. Tekintsünk egy háromszöget. Téglalap alakú, mert merőleges a tengelyre.

Mivel egyenlő a háromszög? így van. Ezenkívül tudjuk, hogy az egységkör sugara, ami azt jelenti. Helyettesítsük be ezt az értéket a koszinusz képletébe. Íme, mi történik:

Mivel egyenlő a háromszög? Hát persze! Helyettesítse be a sugár értékét ebbe a képletbe, és kapja meg:

Tehát meg tudod mondani, hogy egy körhöz tartozó pontnak milyen koordinátái vannak? Nos, dehogy? Mi van, ha ezt felismeri, és csak számok vagyunk? Melyik koordinátának felel meg? Hát persze, a koordináták! És milyen koordinátának felel meg? Így van, koordináták! Így pont.

Akkor mik azok és mik azok? Így van, használjuk az érintő és a kotangens megfelelő definícióit, és kapjuk meg, hogy a.

Mi van, ha a szög nagyobb? Például, mint ezen a képen:

Mi változott benne ebben a példában? Találjuk ki. Ehhez forduljunk ismét egy derékszögű háromszöghöz. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget: szög (mint szög szomszédságában). Mi a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értéke egy szögre? Így van, ragaszkodunk a trigonometrikus függvények megfelelő definícióihoz:

Nos, amint látja, a szög szinuszának értéke még mindig megfelel a koordinátának; a szög koszinuszának értéke - a koordináta; valamint az érintő és a kotangens értékei a megfelelő arányokhoz. Így ezek az összefüggések a sugárvektor bármely elforgatására vonatkoznak.

Már említettük, hogy a sugárvektor kezdeti helyzete a tengely pozitív iránya mentén van. Eddig ezt a vektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgattuk, de mi történik, ha az óramutató járásával megegyező irányba forgatjuk? Semmi rendkívüli, egy bizonyos értékű szöget is kapsz, de csak az lesz negatív. Így a sugárvektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgatva azt kapjuk pozitív szögek, és az óramutató járásával megegyező irányba forgatva - negatív.

Tehát tudjuk, hogy a sugárvektor egy kör körüli teljes fordulata a vagy. Elforgatható-e a sugárvektor oda vagy felé? Hát persze, hogy lehet! Az első esetben tehát a sugárvektor egy teljes fordulatot tesz, és megáll a vagy pozícióban.

A második esetben, vagyis a sugárvektor három teljes fordulatot tesz, és megáll a vagy pozícióban.

A fenti példákból tehát azt a következtetést vonhatjuk le, hogy azok a szögek, amelyek vagy (ahol bármely egész szám) különböznek, a sugárvektor azonos helyzetének felelnek meg.

Az alábbi ábra egy szöget mutat. Ugyanez a kép megfelel a sarok stb. Ez a lista a végtelenségig folytatható. Mindezek a szögek felírhatók az általános képlettel vagy (ahol bármely egész szám)

Most az alapvető trigonometrikus függvények definícióinak ismeretében és az egységkör használatával próbálja meg megválaszolni, hogy mik az értékek:

Íme egy egységkör, amely segít Önnek:

Nehézségei vannak? Akkor találjuk ki. Tehát tudjuk, hogy:

Innen határozzuk meg az egyes szögmértékeknek megfelelő pontok koordinátáit. Nos, kezdjük sorrendben: a szög egy koordinátákkal rendelkező pontnak felel meg, ezért:

Nem létezik;

Továbbá, ugyanazt a logikát követve, azt találjuk, hogy a sarkok koordinátájú pontoknak felelnek meg. Ennek ismeretében könnyen meghatározható a trigonometrikus függvények értéke megfelelő pontokat. Először próbálja ki saját maga, majd ellenőrizze a válaszokat.

Válaszok:

Nem létezik

Nem létezik

Nem létezik

Nem létezik

Így elkészíthetjük a következő táblázatot:

Nem szükséges mindezekre az értékekre emlékezni. Elég megjegyezni az egységkör pontjainak koordinátái és a trigonometrikus függvények értékei közötti megfelelést:

De a és a szögek trigonometrikus függvényeinek értékei, az alábbi táblázatban, emlékezni kell:

Ne ijedjen meg, most mutatunk egy példát meglehetősen egyszerű megjegyezni a megfelelő értékeket:

A módszer használatához létfontosságú, hogy emlékezzen a szinusz értékére mindhárom szögmértékre (), valamint a szög érintőjének értékére. Ezen értékek ismeretében meglehetősen egyszerű a teljes táblázat visszaállítása - a koszinusz értékek a nyilaknak megfelelően kerülnek átvitelre, azaz:

Ennek ismeretében visszaállíthatja az értékeket. A " " számláló és a " " nevező egyezik. A kotangens értékek átvitele az ábrán látható nyilak szerint történik. Ha megérti ezt, és emlékszik a nyilakkal ellátott diagramra, akkor elég lesz emlékezni a táblázat összes értékére.

Egy kör pontjának koordinátái

Meg lehet-e találni egy pontot (koordinátáit) a körön, a kör középpontjának koordinátáinak, sugarának és forgásszögének ismeretében?

Hát persze, hogy lehet! Szedjük ki általános képlet hogy megtaláljuk egy pont koordinátáit.

Például itt van előttünk egy kör:

Azt kaptuk, hogy a pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni a pont fokos elforgatásával kapott pont koordinátáit.

Amint az ábrán látható, a pont koordinátája megfelel a szakasz hosszának. A szakasz hossza megfelel a kör középpontjának koordinátájának, azaz egyenlő. Egy szakasz hossza a koszinusz definíciójával fejezhető ki:

Akkor ez a pont koordinátája.

Ugyanezt a logikát alkalmazva megtaláljuk a pont y koordináta értékét. Így,

Szóval, be általános nézet A pontok koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

A kör középpontjának koordinátái,

A kör sugara,

A vektor sugarának elforgatási szöge.

Mint látható, az általunk vizsgált egységkör esetében ezek a képletek jelentősen lecsökkennek, mivel a középpont koordinátái egyenlőek nullával, a sugár pedig eggyel:

Nos, próbáljuk ki ezeket a képleteket úgy, hogy gyakoroljuk a pontok keresését a körön?

1. Keresse meg egy pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

2. Keresse meg az egységkör egy pontjának koordinátáit, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

3. Keresse meg egy pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

4. A pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni annak a pontnak a koordinátáit, amelyet a kezdeti sugárvektor -kal elforgatva kapunk.

5. A pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni annak a pontnak a koordinátáit, amelyet a kezdeti sugárvektor -kal elforgatva kapunk.

Gondjai vannak egy kör pontjának koordinátáinak megtalálásával?

Oldd meg ezt az öt példát (vagy tanulj jól a megoldásban), és megtanulod megtalálni őket!

1.

Ezt észreveheti. De tudjuk, mi felel meg a teljes forradalomnak kiindulópont. Így a kívánt pont ugyanabban a helyzetben lesz, mint a felé forduláskor. Ennek ismeretében megtaláljuk a pont szükséges koordinátáit:

2. Az egységkör középpontja egy pontban van, ami azt jelenti, hogy használhatunk egyszerűsített képleteket:

Ezt észreveheti. Tudjuk, mi felel meg kettőnek teljes sebességgel kiindulópont. Így a kívánt pont ugyanabban a helyzetben lesz, mint a felé forduláskor. Ennek ismeretében megtaláljuk a pont szükséges koordinátáit:

Szinusz és koszinusz az táblázat értékeit. Felidézzük a jelentésüket, és megkapjuk:

Így a kívánt pontnak vannak koordinátái.

3. Az egységkör középpontja egy pontban van, ami azt jelenti, hogy használhatunk egyszerűsített képleteket:

Ezt észreveheti. Ábrázoljuk a kérdéses példát az ábrán:

A sugár a tengellyel egyenlő szögeket zár be. Tudva, hogy a koszinusz és a szinusz táblázatértékei egyenlőek, és megállapítottuk, hogy a koszinusz itt negatív, a szinusz pedig pozitív értéket vesz fel, a következőket kapjuk:

További részletek hasonló példákértjük, amikor a témában a trigonometrikus függvények redukálására szolgáló képleteket tanulmányozzuk.

Így a kívánt pontnak vannak koordinátái.

4.

A vektor sugarának elforgatási szöge (feltétel szerint)

A szinusz és koszinusz megfelelő jeleinek meghatározásához egységkört és szöget készítünk:

Mint látható, az érték, azaz pozitív, az érték pedig negatív. A megfelelő trigonometrikus függvények táblázatos értékeinek ismeretében azt kapjuk, hogy:

Helyettesítsük be a kapott értékeket a képletünkbe, és keressük meg a koordinátákat:

Így a kívánt pontnak vannak koordinátái.

5. A probléma megoldására általános formában képleteket használunk, ahol

A kör középpontjának koordinátái (példánkban

A kör sugara (feltétel szerint)

A vektor sugarának elforgatási szöge (feltétel szerint).

Helyettesítsük be az összes értéket a képletbe, és kapjuk:

és - táblázatos értékek. Emlékezzünk és cseréljük be őket a képletbe:

Így a kívánt pontnak vannak koordinátái.

ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

A szög szinusza a szemközti (távolabbi) láb és a hipotenusz aránya.

A szög koszinusza a szomszédos (közeli) láb és a hypotenus aránya.

A szög érintője a szemközti (távoli) oldal és a szomszédos (közeli) oldal aránya.

Egy szög kotangense a szomszédos (közeli) oldal és a szemközti (távoli) oldal aránya.