A matematikában a vonal helyzetét leíró paraméterek egyike Descartes sík koordináták az lejtő ezt az egyenest. Ez a paraméter jellemzi az egyenes lejtését az abszcissza tengelyhez képest. Ahhoz, hogy megértsük, hogyan találjuk meg a lejtőt, először idézzük fel az egyenes egyenletének általános formáját az XY koordinátarendszerben.

Általában bármely egyenes ábrázolható az ax+by=c kifejezéssel, ahol a, b és c tetszőleges valós számok, de szükségszerűen a 2 + b 2 ≠ 0.

Egyszerű transzformációkkal egy ilyen egyenlet y=kx+d alakba hozható, amelyben k és d valós számok. A k szám a meredekség, és az ilyen típusú egyenes egyenletét meredekségű egyenletnek nevezzük. Kiderült, hogy a lejtő megtalálásához csak hozni kell eredeti egyenlet a fenti típushoz. A teljesebb megértés érdekében vegyünk egy konkrét példát:

Feladat: Határozzuk meg a 36x - 18y = 108 egyenlet által megadott egyenes meredekségét

Megoldás: Alakítsuk át az eredeti egyenletet.

Válasz: Ennek az egyenesnek a szükséges meredeksége 2.

Ha az egyenlet transzformációja során olyan kifejezést kaptunk, hogy x = const, és ennek eredményeként y-t nem tudjuk x függvényében ábrázolni, akkor az X tengellyel párhuzamos egyenessel van dolgunk egy egyenes egyenlő a végtelennel.

Az olyan egyenlettel kifejezett egyenesek esetében, mint az y = const, a meredekség nulla. Ez jellemző az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenesekre. Például:

Feladat: Határozzuk meg a 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 egyenlettel megadott egyenes meredekségét

Megoldás: Csökkentsük az eredeti egyenletet erre általános megjelenés

24x + 12 év - 12 év + 28 = 4

A kapott kifejezésből lehetetlen y-t kifejezni, ezért ennek az egyenesnek a szögegyütthatója egyenlő a végtelennel, és maga az egyenes párhuzamos lesz az Y tengellyel.

Geometriai jelentés

A jobb megértés érdekében nézzük meg a képet:

Az ábrán egy y = kx függvény grafikonját látjuk. Az egyszerűsítés kedvéért vegyük a c = 0 együtthatót. Az OAB háromszögben a BA oldal és az AO aránya egyenlő lesz a k szögegyütthatóval. Ugyanakkor a VA/AO arány az érintő hegyesszögα in derékszögű háromszög OAV. Kiderül, hogy az egyenes szögegyütthatója egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet ez az egyenes a koordináta-rács abszcissza tengelyével bezár.

Megoldva azt a feladatot, hogy hogyan találjuk meg egy egyenes szögegyütthatóját, megtaláljuk az egyenes és a koordinátarács X tengelye közötti szög érintőjét. A határesetek, amikor a kérdéses egyenes párhuzamos a koordinátatengelyekkel, megerősítik a fentieket. Valójában az y=const egyenlettel leírt egyenes esetén az egyenes és az abszcissza tengely közötti szög egyenlő nullával. A nulla szög érintője is nulla és a meredekség is nulla.

Az x tengelyre merőleges és az x=const egyenlettel leírt egyeneseknél a köztük és az X tengely között bezárt szög 90 fok. Tangens derékszög egyenlő a végtelennel, és a hasonló egyenesek szögegyütthatója is egyenlő a végtelennel, ami megerősíti a fent leírtakat.

Érintő lejtő

A gyakorlatban gyakran előforduló feladat az is, hogy egy függvény grafikonjához tartozó érintő meredekségét egy adott pontban megtaláljuk. Az érintő egy egyenes, ezért a lejtés fogalma rá is alkalmazható.

Ahhoz, hogy kitaláljuk, hogyan találjuk meg az érintő meredekségét, fel kell idéznünk a derivált fogalmát. Bármely függvény deriváltja egy adott pontban egy konstans, amely számszerűen egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amely a függvény grafikonjának adott pontjában lévő érintője és az abszcissza tengelye között képződik. Kiderült, hogy az érintő szögegyütthatójának meghatározásához az x 0 pontban ki kell számítanunk a derivált értékét eredeti funkció ezen a ponton k = f"(x 0). Nézzük a példát:

Feladat: Határozzuk meg az y = 12x 2 + 2xe x függvényt érintő érintő egyenes meredekségét x = 0,1-nél.

Megoldás: Keresse meg az eredeti függvény deriváltját általános formában

y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Válasz: A szükséges meredekség az x = 0,1 pontban 4,831

Egyenlet egy síkon.
Az irányvektor egyenes. Normál vektor

Az egyenes vonal a síkon az egyik legegyszerűbb geometriai formák, azóta ismerős számodra junior osztályok, és ma megtanuljuk, hogyan kezeljük ezt módszerekkel analitikus geometria. Az anyag elsajátításához képesnek kell lennie egy egyenes vonal felépítésére; tudja, milyen egyenlet határozza meg az egyenest, különösen a koordináták origóján átmenő egyenest és a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyeneseket. Ez az információ kézikönyvben találhatók Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai, matánhoz készítettem, de a rovat kb lineáris függvény Nagyon sikeresnek és részletesnek bizonyult. Ezért, kedves teáskannák, először ott melegedjetek fel. Ezenkívül rendelkeznie kell alapismeretek O vektorok, ellenkező esetben az anyag megértése hiányos lesz.

On ezt a leckét Megvizsgáljuk azokat a módokat, amelyekkel egyenletet hozhat létre egy síkon. Azt javaslom, hogy ne hanyagoljuk el a gyakorlati példákat (még akkor sem, ha nagyon egyszerűnek tűnik), mivel ezekhez elemi ill. fontos tények, technikai technikák, amelyekre a jövőben szükség lesz, beleértve a felsőbb matematika más szekcióit is.

• Hogyan írjunk fel szögegyütthatós egyenes egyenletét?
• Hogyan ?
• Hogyan találhatunk irányvektort az egyenes általános egyenletével?
• Hogyan írjunk fel egyenletet egy egyenesre adott pontból és normálvektorból?

és kezdjük:

A meredekségű egyenes egyenlete

Az egyenes egyenlet jól ismert „iskolai” formáját ún meredekségű egyenes egyenlete. Például, ha egy egyenest az egyenlet ad meg, akkor a meredeksége: . Mérlegeljük geometriai jelentése adott együtthatóés hogyan befolyásolja az értéke a vonal helyét:

Egy geometria tanfolyamon bebizonyosodik, hogy az egyenes lejtése egyenlő a szög érintője pozitív tengelyirány közöttés ez a vonal: , és a szög „kicsavarodik” az óramutató járásával ellentétes irányba.

Annak érdekében, hogy a rajz ne legyen összezavarva, csak két egyeneshez húztam szögeket. Tekintsük a „piros” vonalat és annak lejtését. A fentiek szerint: (az „alfa” szöget zöld ív jelzi). A szögegyütthatós „kék” egyenesre az egyenlőség igaz (a „béta” szöget barna ív jelzi). És ha ismert a szög érintője, akkor szükség esetén könnyű megtalálni és maga a sarok használatával inverz függvény– arctangens. Ahogy mondják, egy trigonometrikus táblázat vagy egy mikroszámológép a kezedben. Így, a szögegyüttható az egyenesnek az abszcissza tengelyhez való hajlási fokát jellemzi.

Ebben az esetben lehetséges következő eseteket:

1) Ha a meredekség negatív: akkor a vonal durván szólva felülről lefelé halad. Példa erre a „kék” és „málna” egyenes vonalak a rajzon.

2) Ha a meredekség pozitív: akkor a vonal alulról felfelé halad. Példák - „fekete” és „piros” egyenes vonalak a rajzon.

3) Ha a meredekség nulla: , akkor az egyenlet alakját veszi fel, és a megfelelő egyenes párhuzamos a tengellyel. Példa erre a „sárga” egyenes.

4) Egy tengellyel párhuzamos egyenesek családjára (a rajzon nincs példa, kivéve magát a tengelyt), a szögegyüttható nem létezik (90 fokos érintője nincs meghatározva).

Minél nagyobb a lejtés együtthatója abszolút értékben, annál meredekebb lesz az egyenes grafikon..

Vegyünk például két egyenest. Itt tehát az egyenesnek meredekebb a lejtése. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a modul lehetővé teszi a jel figyelmen kívül hagyását, minket csak az érdekel abszolút értékeket szögegyütthatók.

Az egyenes viszont meredekebb, mint az egyenes .

Megfordítva: minél kisebb a meredekség együttható abszolút értékben, annál laposabb az egyenes.

Egyenes vonalakhoz az egyenlőtlenség igaz, így az egyenes laposabb. Gyermek csúszda, hogy ne okozzon zúzódásokat és ütéseket.

Miért van erre szükség?

Hosszabb kínlódást A fenti tények ismerete lehetővé teszi, hogy azonnal észrevegye a hibáit, különösen a grafikonok készítése során elkövetett hibákat – ha a rajzról kiderül, hogy „nyilvánvalóan valami nincs rendben”. Célszerű, hogy Ön azonnal egyértelmű volt, hogy például az egyenes nagyon meredek és alulról felfelé halad, az egyenes pedig nagyon lapos, közel van a tengelyhez nyomva és fentről lefelé halad.

IN geometriai problémák Gyakran több egyenes vonal jelenik meg, ezért célszerű ezeket valahogy kijelölni.

Megnevezések: az egyenes vonalak kicsinek vannak jelölve latin betűkkel: . Egy népszerű lehetőség az, hogy ugyanazt a betűt természetes alsó indexekkel jelölik meg. Például azt az öt sort, amit most megnéztünk, jelölhetjük .

Mivel bármely egyenest egyértelműen két pont határoz meg, ezekkel a pontokkal jelölhetjük: stb. A megjelölés egyértelműen arra utal, hogy a pontok az egyeneshez tartoznak.

Ideje egy kicsit bemelegíteni:

Hogyan írjunk fel szögegyütthatós egyenes egyenletét?

Ha egy bizonyos egyeneshez tartozó pont és ennek az egyenesnek a szögegyütthatója ismert, akkor ennek az egyenesnek az egyenlete a következő képlettel fejezhető ki:

1. példa

Írjon egyenletet egy meredekségű egyenesre, ha ismert, hogy a pont az adott egyeneshez tartozik.

Megoldás: Állítsuk össze az egyenes egyenletét a képlet segítségével . IN ebben az esetben:

Válasz:

Vizsgálat egyszerűen megtörténik. Először nézzük meg a kapott egyenletet, és győződjön meg arról, hogy a meredekségünk a helyén van. Másodszor, a pont koordinátáinak meg kell felelniük ezt az egyenletet. Kapcsoljuk be őket az egyenletbe:

Megérkezett igazi egyenlőség, ami azt jelenti, hogy a pont kielégíti a kapott egyenletet.

Következtetés: Az egyenletet helyesen találtuk meg.

Egy trükkösebb példa erre önálló döntés:

2. példa

Írjon egyenletet egy egyenesre, ha ismert, hogy a dőlésszöge az pozitív irány tengelye , és a pont ehhez az egyeneshez tartozik.

Ha nehézségei vannak, olvassa el újra elméleti anyag. Pontosabban gyakorlatiasabb, sok bizonyítékot kihagyok.

Megszólalt utolsó hívás, elhalt bál, és a kapu mögött otthoni iskola Ami ránk vár, az az analitikus geometria. A poénoknak vége... Vagy talán még csak most kezdik =)

Nosztalgikusan integetjük a tollat ​​az ismerősnek, és megismerkedünk az egyenes általános egyenletével. Mert az analitikus geometriában pontosan ezt használják:

Az egyenes általános egyenletének alakja van: , hol van néhány szám. Ugyanakkor az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával, mivel az egyenlet értelmét veszti.

Öltözzünk öltönybe, és kössük össze az egyenletet a lejtős együtthatóval. Először helyezzük át az összes kifejezést ide bal oldalt:

Az „X” kifejezést az első helyre kell tenni:

Az egyenletnek elvileg már van alakja, de a matematikai etikett szabályai szerint az első tag együtthatójának (ebben az esetben) pozitívnak kell lennie. Változó jelek:

Emlékezz erre műszaki jellemző! Az első együtthatót (leggyakrabban) pozitívvá tesszük!

Az analitikus geometriában az egyenes egyenlete szinte mindig adott általános forma. Nos, ha szükséges, szögegyütthatóval (az ordinátatengellyel párhuzamos egyenesek kivételével) könnyen redukálható „iskola” formára.

Tegyük fel magunknak a kérdést, hogy mit elég Tudsz egyenest építeni? Két pont. De többet erről a gyermekkori eseményről, most már a nyilak szabályánál maradunk. Minden egyenesnek van egy nagyon meghatározott lejtése, amelyhez könnyű „alkalmazkodni”. vektor.

Egy egyenessel párhuzamos vektort az adott egyenes irányvektorának nevezzük. Nyilvánvaló, hogy bármely egyenesnek végtelen számú irányvektora van, és mindegyik kollineáris lesz (egyirányú vagy nem - nem számít).

Jelölni fogom az irányvektort alábbiak szerint: .

De egy vektor nem elegendő egy egyenes felépítéséhez, a vektor szabad és nincs a síkon egyetlen ponthoz sem kötve. Ezért ezenkívül ismerni kell néhány pontot, amely a vonalhoz tartozik.

Hogyan írjunk fel egy egyenes egyenletet egy pont és egy irányvektor segítségével?

Ha ismert egy egyeneshez tartozó pont és ennek az egyenesnek az irányvektora, akkor ennek az egyenesnek az egyenlete a következő képlettel állítható össze:

Néha úgy hívják kanonikus egyenlet közvetlen .

Mit kell tenni mikor az egyik koordináta egyenlő nullával, az alábbi gyakorlati példákból megértjük. Mellesleg, vegye figyelembe - mindkettőt egyszerre A koordináták nem lehetnek egyenlőek nullával, mivel a nulla vektor nem határoz meg egy adott irányt.

3. példa

Írjon fel egyenletet egy egyenesre egy pont és egy irányvektor segítségével

Megoldás: Állítsuk össze egy egyenes egyenletét a képlet segítségével. Ebben az esetben:

Az arányosság tulajdonságait felhasználva megszabadulunk a törtektől:

És az egyenletet általános alakjába hozzuk:

Válasz:

Az ilyen példákban általában nem kell rajzot készíteni, de a megértés kedvéért:

A rajzon látjuk a kezdőpontot, az eredeti irányvektort (a sík bármely pontjáról ábrázolható) és a megszerkesztett egyenest. Egyébként sok esetben a legkényelmesebb egy egyenest szögegyütthatós egyenlet segítségével megszerkeszteni. Könnyű az egyenletünket formává alakítani, és egyszerűen kiválasztani egy másik pontot egy egyenes megszerkesztéséhez.

Ahogy a bekezdés elején megjegyeztük, egy egyenesnek végtelen számú irányvektora van, és mindegyik kollineáris. Például három ilyen vektort rajzoltam: . Bármilyen irányvektort is választunk, az eredmény mindig ugyanaz az egyenes egyenlet lesz.

Hozzuk létre egy egyenes egyenletét egy pont és egy irányvektor segítségével:

Az arány feloldása:

Ossza el mindkét oldalt –2-vel, és kapja meg az ismerős egyenletet:

Az érdeklődők ugyanígy tesztelhetik a vektorokat vagy bármely más kollineáris vektor.

Most döntsünk inverz probléma:

Hogyan találhatunk irányvektort az egyenes általános egyenletével?

Nagyon egyszerű:

Ha egy egyenest egy általános egyenlet ad meg in téglalap alakú rendszer koordinátákat, akkor a vektor ennek az egyenesnek az irányvektora.

Példák egyenesek irányvektorainak keresésére:

Az állítás lehetővé teszi, hogy egy végtelen számból csak egy irányvektort találjunk, de többre nincs szükségünk. Bár bizonyos esetekben célszerű csökkenteni az irányvektorok koordinátáit:

Így az egyenlet meghatároz egy egyenest, amely párhuzamos a tengellyel, és a kapott irányvektor koordinátáit kényelmesen elosztjuk –2-vel, így pontosan az alapvektort kapjuk irányvektorként. Logikus.

Hasonlóképpen az egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest ad meg, és a vektor koordinátáit 5-tel osztva megkapjuk az ort vektort irányvektorként.

Most pedig tegyük meg ellenőrzés 3. példa. A példa feljebb ment, ezért emlékeztetlek arra, hogy ebben egy egyenes egyenletét állítottuk össze egy pont és egy irányvektor segítségével

Először, az egyenes egyenletével rekonstruáljuk az irányvektorát: – minden rendben, megkaptuk az eredeti vektort (néhány esetben az eredmény kollineáris vektor lehet az eredetihez képest, és ez általában könnyen észrevehető a megfelelő koordináták arányosságából).

Másodszor, a pont koordinátáinak meg kell felelniük az egyenletnek. Helyettesítjük őket az egyenletbe:

Megtörtént a helyes egyenlőség, aminek nagyon örülünk.

Következtetés: A feladatot megfelelően teljesítették.

4. példa

Írjon fel egyenletet egy egyenesre egy pont és egy irányvektor segítségével

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A megoldás és a válasz a lecke végén található. Nagyon tanácsos az imént tárgyalt algoritmussal ellenőrizni. Próbáljon mindig (ha lehetséges) ellenőrizni a piszkozatot. Hülyeség hibázni ott, ahol azok 100%-ban elkerülhetők.

Abban az esetben, ha az irányvektor egyik koordinátája nulla, akkor nagyon egyszerűen járjon el:

5. példa

Megoldás: A képlet nem megfelelő, mivel a jobb oldalon lévő nevező nulla. Van kiút! Az arányosság tulajdonságait felhasználva átírjuk a képletet a formába, a többit pedig egy mély nyomvonalon görgetjük:

Válasz:

Vizsgálat:

1) Állítsa vissza a vonal irányító vektorát:
– a kapott vektor kollineáris az eredeti irányvektorral.

2) Helyettesítse be a pont koordinátáit az egyenletbe:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget

Következtetés: a feladat megfelelően teljesítve

Felmerül a kérdés, hogy miért bajlódnánk a képlettel, ha létezik egy univerzális változat, ami mindenképpen működni fog? Ennek két oka van. Először is, a képlet tört formájú sokkal jobban emlékszik. Másodszor pedig a hátránya univerzális képlet az jelentősen megnő az összetévesztés veszélye koordináták helyettesítésekor.

6. példa

Írjon fel egyenletet egy egyenesre egy pont és egy irányvektor segítségével!

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Térjünk vissza a mindenütt jelenlévő két ponthoz:

Hogyan írjunk fel egy egyenes egyenletet két pont felhasználásával?

Ha két pont ismert, akkor az ezeken a pontokon áthaladó egyenes egyenlete a következő képlettel állítható össze:

Valójában ez egyfajta képlet, és itt van miért: ha két pont ismert, akkor a vektor az adott egyenes irányvektora lesz. Az osztályban Vektorok bábokhoz mérlegeltük legegyszerűbb feladat– hogyan találjuk meg egy vektor koordinátáit két pontból. Ennek a feladatnak megfelelően az irányvektor koordinátái:

Jegyzet : a pontok „felcserélhetők”, a képlet használható . Egy ilyen megoldás egyenértékű lesz.

7. példa

Írj fel egy egyenes egyenletet két pont felhasználásával! .

Megoldás: A következő képletet használjuk:

A nevezők összevonása:

És keverd meg a paklit:

Itt az ideje megszabadulni tőle törtszámok. Ebben az esetben mindkét oldalt meg kell szorozni 6-tal:

Nyissa ki a zárójeleket, és idézze fel az egyenletet:

Válasz:

Vizsgálat nyilvánvaló - a kezdeti pontok koordinátáinak meg kell felelniük a kapott egyenletnek:

1) Cserélje be a pont koordinátáit:

Igazi egyenlőség.

2) Cserélje be a pont koordinátáit:

Igazi egyenlőség.

Következtetés: Az egyenes egyenlete helyesen van felírva.

Ha legalább egy pontok közül nem felel meg az egyenletnek, keressen hibát.

Érdemes megjegyezni, hogy a grafikus ellenőrzés ebben az esetben nehéz, mivel készítsen egy egyenest, és nézze meg, hogy a pontok hozzá tartoznak-e , nem olyan egyszerű.

Megjegyeznék még néhány technikai vonatkozást a megoldáshoz. Talán ebben a problémában jövedelmezőbb a tükörképlet használata és ugyanazokon a pontokon alkotj egy egyenletet:

Kevesebb töredék. Ha akarja, a megoldást a végéig végrehajthatja, az eredménynek ugyanaznak az egyenletnek kell lennie.

A második pont az, hogy nézzük meg a végső választ, és derítsük ki, hogy lehetne-e tovább egyszerűsíteni? Például, ha megkapjuk az egyenletet, akkor célszerű kettővel csökkenteni: – az egyenlet ugyanazt az egyenest határozza meg. Ez azonban már beszédtéma vonalak egymáshoz viszonyított helyzete.

Miután megkapta a választ a 7. példában minden esetre ellenőriztem, hogy az egyenlet ÖSSZES együtthatója osztható-e 2-vel, 3-mal vagy 7-tel. Bár a legtöbbször a megoldás során történik ilyen csökkentés.

8. példa

Írj egyenletet a pontokon átmenő egyenesre! .

Ez egy példa egy független megoldásra, amely lehetővé teszi a számítási technikák jobb megértését és gyakorlását.

Az előző bekezdéshez hasonlóan: ha a képletben az egyik nevező (az irányvektor koordinátája) nulla lesz, majd átírjuk a formába. Figyeld meg ismét, milyen kínosnak és zavartnak tűnik. Nem sok értelmét látom hozni gyakorlati példák, hiszen egy ilyen problémát már ténylegesen megoldottunk (lásd 5., 6. sz.).

Közvetlen normálvektor (normálvektor)

Mi a normális? Egyszerű szavakkal, a normál merőleges. Vagyis egy egyenes normálvektora merőleges egy adott egyenesre. Nyilvánvaló, hogy bármely egyenesben végtelen sok van (valamint irányvektorok), és az egyenes minden normálvektora kollineáris lesz (egyirányú vagy nem, nincs különbség).

A velük való foglalkozás még könnyebb lesz, mint a vezetővektorokkal:

Ha egy egyenest egy általános egyenlet ad meg egy téglalap alakú koordinátarendszerben, akkor a vektor ennek az egyenesnek a normálvektora.

Ha az irányvektor koordinátáit óvatosan „ki kell húzni” az egyenletből, akkor a normálvektor koordinátái egyszerűen „eltávolíthatók”.

A normálvektor mindig ortogonális az egyenes irányvektorára. Ellenőrizzük ezen vektorok ortogonalitását a segítségével pont termék:

Példákat adok ugyanazokkal az egyenletekkel, mint az irányvektorra:

Megalkotható-e egy egyenlet egy pontból és egy normálvektorból? A zsigereimben érzem, lehetséges. Ha ismert a normálvektor, akkor maga az egyenes iránya egyértelműen meghatározott - ez egy „merev szerkezet”, 90 fokos szöggel.

Hogyan írjunk fel egyenletet egy egyenesre adott pontból és normálvektorból?

Ha egy egyeneshez tartozó bizonyos pont és ennek az egyenesnek a normálvektora ismert, akkor ennek az egyenesnek az egyenlete a következő képlettel fejezhető ki:

Itt minden törtszámok és egyéb meglepetések nélkül sikerült. Ez a normál vektorunk. Szeresd őt. És tisztelet =)

9. példa

Írja fel egy egyenes egyenletét egy ponttal és egy normálvektorral! Keresse meg az egyenes irányvektorát.

Megoldás: A következő képletet használjuk:

Az egyenes általános egyenlete elkészült, nézzük meg:

1) „Távolítsa el” a normálvektor koordinátáit az egyenletből: – igen, valóban, az eredeti vektort a feltételből kaptuk (vagy egy kollineáris vektort kell kapni).

2) Ellenőrizzük, hogy a pont kielégíti-e az egyenletet:

Igazi egyenlőség.

Miután meggyőződtünk arról, hogy az egyenlet helyesen van összeállítva, végrehajtjuk a másodikat, többet könnyű rész feladatokat. Kivesszük az egyenes irányító vektorát:

Válasz:

A rajzon a helyzet így néz ki:

Képzési célra hasonló feladat önálló megoldásra:

10. példa

Írjon fel egyenletet egy pontból és egy egyenesből normál vektor. Keresse meg az egyenes irányvektorát.

A lecke utolsó részét a kevésbé gyakori, de szintén fontos faj egyenletek egy síkon

Egyenes egyenlete szakaszokban.
Egy egyenes egyenlete paraméteres formában

A szakaszokban lévő egyenesek egyenlete alakja , ahol nem nulla állandók. Egyes egyenlettípusok nem ábrázolhatók ebben a formában, például az egyenes arányosság (mivel ingyenes tag egyenlő nullával, és nincs mód arra, hogy egyet kapjunk a jobb oldalon).

Ez képletesen szólva egy „technikai” típusú egyenlet. Gyakori feladat az általános egyenlet egy vonalat szegmensekben egyenlet formájában ábrázolnak. Hogyan kényelmes? Az egyenlet egy egyenes szakaszokban lehetővé teszi, hogy gyorsan megtalálja egy egyenes metszéspontját koordináta tengelyek, ami nagyon fontos lehet a magasabb matematika egyes problémáinál.

Keressük meg az egyenes metszéspontját a tengellyel. Az „y”-t nullára állítjuk, és az egyenlet a következőt veszi fel. Kívánt pont automatikusan kiderül: .

Ugyanez a tengellyel – az a pont, ahol az egyenes metszi az ordináta tengelyt.

IN előző fejezet megmutatták, hogy egy adott koordináta-rendszer kiválasztásával a síkon megtehetjük geometriai tulajdonságok, amely a vizsgált egyenes pontjait jellemzi, analitikusan az aktuális koordináták közötti egyenlettel fejezzük ki. Így megkapjuk az egyenes egyenletét. Ez a fejezet az egyenes egyenletekkel foglalkozik.

Egy egyenes egyenletének beírása Derékszögű koordináták, valahogyan be kell állítani azokat a feltételeket, amelyek meghatározzák a koordinátatengelyekhez viszonyított helyzetét.

Először bemutatjuk az egyenes szögegyütthatójának fogalmát, amely az egyenes síkon elfoglalt helyzetét jellemző mennyiségek egyike.

Nevezzük az egyenes Ox tengelyhez viszonyított dőlésszögét azt a szöget, amellyel az Ox tengelyt el kell forgatni, hogy egybeessen az adott egyenessel (vagy párhuzamosnak bizonyuljon vele). Szokás szerint a szöget az előjel figyelembevételével vesszük figyelembe (a jelet a forgásirány határozza meg: az óramutató járásával ellentétes vagy jobbra). Mivel az Ox tengelyének 180°-os szögben történő további elforgatása ismét az egyeneshez igazítja, az egyenes tengelyhez viszonyított dőlésszöge nem választható egyértelműen (maximum a többszöröse) .

Ennek a szögnek az érintője egyedileg kerül meghatározásra (mivel a szög megváltoztatása nem változtatja meg az érintőjét).

Az egyenes Ox tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintőjét az egyenes szögegyütthatójának nevezzük.

A szögegyüttható az egyenes irányát jellemzi (a kettő között kölcsönösen nem teszünk különbséget ellentétes irányokba közvetlen). Ha egy egyenes meredeksége nulla, akkor az egyenes párhuzamos az x tengellyel. Pozitív szögegyüttható esetén az egyenes dőlésszöge az Ox tengelyhez képest hegyes lesz (itt a legkisebbet vesszük figyelembe pozitív érték dőlésszög) (39. ábra); Ezenkívül minél nagyobb a szögegyüttható, annál nagyobb a dőlésszöge az Ox tengelyhez képest. Ha a szögegyüttható negatív, akkor az egyenesnek az Ox tengelyhez viszonyított dőlésszöge tompa (40. ábra). Figyeljük meg, hogy az Ox tengelyre merőleges egyenesnek nincs szögegyütthatója (a szög érintője nem létezik).

A lejtő egyenes. Ebben a cikkben a matematika egységes államvizsgájában szereplő koordinátasíkkal kapcsolatos problémákat nézzük meg. Ezek a feladatok:

— egy egyenes szögegyütthatójának meghatározása, ha ismert két olyan pont, amelyen áthalad;
— két egyenes metszéspontjának abszcissza vagy ordináta meghatározása egy síkon.

Ebben a részben leírtuk, hogy mi egy pont abszcissza és ordinátája. Ebben már több, a koordinátasíkkal kapcsolatos problémát is megvizsgáltunk. Mit kell értenie a vizsgált probléma típusához? Egy kis elmélet.

Egy egyenes egyenlete koordinátasík a következő formában van:

Ahol k – ez a vonal meredeksége.

Következő pillanat! Közvetlen lejtő egyenlő az érintővel egyenes dőlésszöge. Ez egy adott egyenes és a tengely közötti szögÓ.

0 és 180 fok között mozog.

Vagyis ha az egyenes egyenletét a formára redukáljuk y = kx + b, akkor mindig meg tudjuk határozni a k ​​együtthatót (meredekségi együttható).

Továbbá, ha a feltétel alapján meg tudjuk határozni az egyenes dőlésszögének érintőjét, akkor ezáltal megtaláljuk a szögegyütthatóját.

Következő elméleti pont!Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete.A képlet így néz ki:

Tekintsük a problémákat (hasonló a problémákhoz nyitott bank feladatok):

Határozzuk meg a (–6;0) és (0;6) koordinátájú pontokon átmenő egyenes meredekségét!

Ebben a feladatban a legracionálisabb megoldás, ha megtaláljuk az x tengely és az adott egyenes közötti szög érintőjét. Ismeretes, hogy egyenlő a lejtővel. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, amelyet egy egyenes és az x és oy tengely alkot:

A derékszögű háromszög szögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya:

*Mindkét láb hat (ez a hosszuk).

Biztosan, ezt a feladatot két adott ponton átmenő egyenes egyenletének megtalálására szolgáló képlet segítségével oldható meg. De ez egy hosszabb megoldás lesz.

Válasz: 1

Határozzuk meg az (5;0) és (0;5) koordinátájú pontokon átmenő egyenes meredekségét!

Pontjaink (5;0) és (0;5) koordinátákkal rendelkeznek. Eszközök,

Tegyük a képletet a formába y = kx + b

Azt találtuk, hogy a lejtőn k = – 1.

Válasz: -1

Egyenes a(0;6) és (8;0) koordinátájú pontokon halad át. Egyenes báthalad a (0;10) koordinátájú ponton, és párhuzamos az egyenessel a b tengellyel ó.

Ebben a feladatban megtalálhatja az egyenes egyenletét a, határozza meg a lejtést. Az egyenes vonalon b a meredekség azonos lesz, mivel párhuzamosak. Ezután megtalálhatja az egyenes egyenletét b. Ezután az y = 0 értéket behelyettesítve keressük meg az abszcisszát. DE!

Ebben az esetben könnyebb használni a háromszögek hasonlóságának tulajdonságát.

Az ezen (párhuzamos) egyenesek és koordinátatengelyek által alkotott derékszögű háromszögek hasonlóak, ami azt jelenti, hogy a hozzájuk tartozó oldalak aránya egyenlő.

A szükséges abszcissza 40/3.

Válasz: 40/3

Egyenes a(0;8) és (–12;0) koordinátájú pontokon halad át. Egyenes báthalad a (0; –12) koordinátájú ponton, és párhuzamos az egyenessel a. Keresse meg az egyenes metszéspontjának abszcisszáját! b tengellyel ó.

Ennél a feladatnál a legracionálisabb megoldás a háromszögek hasonlóságának tulajdonsága. De mi másképp fogjuk megoldani.

Ismerjük azokat a pontokat, amelyeken az egyenes áthalad A. Írhatunk egyenletet egy egyenesre. A két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének képlete a következő:

Feltétel szerint a pontok (0;8) és (–12;0) koordinátákkal rendelkeznek. Eszközök,

Juttassuk eszünkbe y = kx + b:

Megvan az a sarok k = 2/3.

*A szögegyütthatót a szög érintőjén keresztül lehetett megtalálni egy derékszögű háromszögben, amelynek szárai 8 és 12.

Ismeretes, hogy a párhuzamos egyeneseknek egyenlő szögegyütthatója van. Ez azt jelenti, hogy a (0;-12) ponton átmenő egyenes egyenlete a következő:

Keresse meg az értéket b behelyettesíthetjük az abszcisszát és ordinátázhatunk az egyenletbe:

Így az egyenes vonal így néz ki:

Most, hogy megtalálja az egyenes és az x tengellyel való metszéspont kívánt abszcisszáját, be kell cserélnie y = 0-t:

Válasz: 18

Keresse meg a tengely metszéspontjának ordinátáját óés egy egyenes, amely átmegy a B(10;12) ponton, és párhuzamos az origón és az A(10;24) ponton átmenő egyenessel.

Határozzuk meg a (0;0) és (10;24) koordinátájú pontokon áthaladó egyenes egyenletét.

A két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének képlete a következő:

Pontjaink (0;0) és (10;24) koordinátákkal rendelkeznek. Eszközök,

Juttassuk eszünkbe y = kx + b

A párhuzamos egyenesek szögegyütthatói egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy a B(10;12) ponton átmenő egyenes egyenlete a következő:

Jelentése b Határozzuk meg úgy, hogy a B(10;12) pont koordinátáit behelyettesítjük ebbe az egyenletbe:

Megkaptuk az egyenes egyenletét:

Megtalálni ennek az egyenesnek a tengellyel való metszéspontjának ordinátáját ó be kell cserélni a talált egyenletbe X= 0:

* A legegyszerűbb megoldás. A segítséggel párhuzamos átvitel mozgassa ezt az egyenest lefelé a tengely mentén ó ponthoz (10;12). Az eltolódás 12 egységgel történik, vagyis az A(10;24) pont a B(10;12) pontba, az O(0;0) pont a (0;–12) pontba „átkerült”. Ez azt jelenti, hogy a kapott egyenes metszi a tengelyt ó pontban (0;–12).

A szükséges ordináta –12.

Válasz: -12

Keresse meg az egyenes metszéspontjának ordinátáját, egyenlettel adott

3x + 2u = 6, tengellyel Oy.

Egy adott egyenes és egy tengellyel való metszéspont koordinátája ó alakja (0; at). Helyettesítsük be az abszcisszát az egyenletbe X= 0, és keresse meg az ordinátát:

Az egyenes és a tengely metszéspontjának ordinátája ó egyenlő 3-mal.

*A rendszer megoldva:

Válasz: 3

Határozzuk meg az egyenletek által megadott egyenesek metszéspontjának ordinátáját!

3x + 2y = 6És y = – x.

Ha két egyenest adunk meg, és a kérdés ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról szól, akkor az alábbi egyenletrendszert oldjuk meg:

Az első egyenletben behelyettesítjük - X helyett at:

Az ordináta egyenlő mínusz hattal.

Válasz: – 6

Határozzuk meg a (–2;0) és (0;2) koordinátájú pontokon átmenő egyenes meredekségét!

Határozzuk meg a (2;0) és (0;2) koordinátájú pontokon átmenő egyenes meredekségét!

Az a vonal (0;4) és (6;0) koordinátájú pontokon halad át. A b egyenes áthalad a (0;8) koordinátájú ponton, és párhuzamos az a egyenessel. Határozzuk meg a b egyenes és az Ox tengely metszéspontjának abszcisszáját.

Határozzuk meg az oy tengely és a B ponton átmenő egyenes metszéspontjának ordinátáját (6;4) és párhuzamosan az origón és A ponton átmenő egyenessel (6;8).

1. Világosan meg kell érteni, hogy az egyenes szögegyütthatója egyenlő az egyenes dőlésszögének érintőjével. Ez segít számos ilyen típusú probléma megoldásában.

2. Meg kell érteni a két adott ponton átmenő egyenes megtalálásának képletét. Segítségével mindig megtalálja egy egyenes egyenletét, ha a két pontjának koordinátái adottak.

3. Ne feledje, hogy a párhuzamos egyenesek meredeksége egyenlő.

4. Amint érti, bizonyos feladatokban célszerű a háromszög hasonlósági tesztet használni. A problémákat gyakorlatilag szóban oldják meg.

5. Megoldhatók azok a feladatok, amelyekben két egyenes adott, és meg kell találni a metszéspontjuk abszcisszáját vagy ordinátáját grafikusan. Azaz építsd fel őket egy koordinátasíkra (egy négyzet alakú papírlapra), és határozd meg vizuálisan a metszéspontot. *Ez a módszer azonban nem mindig alkalmazható.

6. És végül. Ha egy egyenes és a koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak koordinátái adottak, akkor az ilyen feladatokban célszerű megtalálni a szögegyütthatót úgy, hogy megtaláljuk a szög érintőjét a kialakított derékszögű háromszögben. Az alábbiakban sematikusan bemutatjuk, hogyan „látható” ez a háromszög a síkon különböző helyekkel rendelkező egyenesekkel:

>> Egyenes szög 0 és 90 fok között<<

>> Egyenes szög 90-180 fok között<<

Ez minden. Sok sikert neked!

Üdvözlettel, Alexander.

P.S.: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

Az ábra az egyenes dőlésszögét mutatja, és jelzi a szögegyüttható értékét az egyenes helyének a téglalap alakú koordinátarendszerhez viszonyított különböző lehetőségeire.

Az Ox tengelyhez képest ismert hajlásszögű egyenes lejtésének megtalálása nem okoz nehézséget. Ehhez elegendő felidézni a szögegyüttható meghatározását és kiszámítani a dőlésszög érintőjét.

Példa.

Határozzuk meg egy egyenes lejtését, ha az abszcissza tengelyhez viszonyított dőlésszöge egyenlő .

Megoldás.

Az állapot szerint. Ezután egy egyenes meredekségének meghatározása alapján kiszámítjuk .

Válasz:

Egy ismert meredekségű egyenes dőlésszögének megállapítása az x tengelyhez képest kissé bonyolultabb. Itt figyelembe kell venni a lejtő jelét. Ha az egyenes dőlésszöge hegyes és így található. Amikor az egyenes dőlésszöge tompa és a képlettel meghatározható .

Példa.

Határozza meg az egyenes dőlésszögét az abszcissza tengelyhez képest, ha a meredeksége egyenlő 3-mal.

Megoldás.

Mivel feltétel szerint a szögegyüttható pozitív, az egyenes dőlésszöge az Ox tengelyhez képest hegyes. A képlet segítségével számítjuk ki.

Válasz:

Példa.

Az egyenes lejtése . Határozza meg az egyenes dőlésszögét az Ox tengelyhez képest!

Megoldás.

Jelöljük k az egyenes szögegyütthatója, - ennek az egyenesnek az Ox tengely pozitív irányához viszonyított dőlésszöge. Mert , akkor a képlet segítségével keressük meg a következő alak vonalának dőlésszögét . Behelyettesítjük a feltételből származó adatokat: .

Válasz:

Egy egyenes egyenlete szögegyütthatóval.

A meredekségű egyenes egyenlete alakja , ahol k az egyenes meredeksége, b egy valós szám. A szögegyütthatós egyenes egyenletét használva bármely olyan egyenest megadhat, amely nem párhuzamos az Oy tengellyel (az ordinátatengellyel párhuzamos egyeneseknél a szögegyüttható nincs megadva).

Nézzük meg a kifejezés jelentését: „egy egyenest egy síkon egy rögzített koordináta-rendszerben egy „” alakú szögegyütthatós egyenlet ad meg.” Ez azt jelenti, hogy az egyenletet az egyenes bármely pontjának koordinátái kielégítik, és a síkon egyetlen más pont koordinátái sem. Így ha egy pont koordinátáinak behelyettesítésekor a helyes egyenlőséget kapjuk, akkor az egyenes ezen a ponton halad át. Ellenkező esetben a pont nem a vonalon fekszik.

Példa.

Az egyenest egy meredekségű egyenlet adja meg. A pontok is ehhez az egyeneshez tartoznak?

Megoldás.

Helyettesítsük be a pont koordinátáit a meredekségű egyenes eredeti egyenletébe: . Megkaptuk a helyes egyenlőséget, ezért az M 1 pont az egyenesen fekszik.

Egy pont koordinátáinak helyettesítésekor hibás egyenlőséget kapunk: . Így az M 2 pont nem fekszik az egyenesen.

Válasz:

Pont M 1 tartozik a sorhoz, M 2 nem.

Megjegyzendő, hogy egy szögegyütthatós egyenes egyenletével meghatározott egyenes halad át a ponton, mivel ha a koordinátáit behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk: .

Így a szögegyütthatós egyenes egyenlete egy ponton átmenő, az abszcissza tengely pozitív irányával szöget bezáró egyenest határoz meg a síkon, és .

Példaként ábrázoljunk egy olyan egyenest, amelyet az egyenes egyenlete határoz meg szögegyütthatóval. Ez az egyenes egy ponton halad át, és van egy meredeksége radián (60 fok) az Ox tengely pozitív irányához. Lejtése egyenlő .

Egy adott ponton átmenő meredekségű egyenes egyenlete.

Most megoldunk egy nagyon fontos problémát: megkapjuk egy adott k meredekségű és a ponton áthaladó egyenes egyenletét.

Mivel az egyenes átmegy a ponton, az egyenlőség igaz . A b számot nem ismerjük. Hogy megszabaduljunk tőle, kivonjuk az utolsó egyenlőség bal és jobb oldalát a meredekségi együtthatós egyenes egyenletének bal és jobb oldalából. Ebben az esetben megkapjuk . Ez az egyenlőség egy adott k meredekségű egyenes egyenlete, amely egy adott ponton halad át.

Nézzünk egy példát.

Példa.

Írja fel a ponton átmenő egyenes egyenletét, ennek az egyenesnek a meredeksége -2!

Megoldás.

Abból, amilyen állapotunk van . Ekkor a szögegyütthatós egyenes egyenlete a következőt veszi fel.

Válasz:

Példa.

Írja fel egy egyenes egyenletét, ha ismert, hogy egy ponton halad át, és az Ox tengely pozitív irányához viszonyított dőlésszöge egyenlő.

Megoldás.

Először is számítsuk ki annak az egyenesnek a meredekségét, amelynek egyenletét keressük (ezt a problémát a cikk előző bekezdésében oldottuk meg). Definíció szerint . Most már minden adatunk megvan ahhoz, hogy felírjuk egy egyenes egyenletét szögegyütthatóval:

Válasz:

Példa.

Írja fel az egyenessel párhuzamos ponton átmenő szögegyütthatós egyenes egyenletét!

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy a párhuzamos egyenesek dőlésszögei az Ox tengelyhez képest egybeesnek (szükség esetén lásd az egyenesek párhuzamossága című cikket), ezért a párhuzamos egyenesek szögegyütthatói egyenlőek. Ekkor annak az egyenesnek a meredeksége, amelynek egyenletét meg kell kapnunk, egyenlő 2-vel, mivel az egyenes meredeksége egyenlő 2-vel. Most elkészíthetjük egy meredekségű egyenes szükséges egyenletét:

Válasz:

Átmenet a szögegyütthatós egyenes egyenletéből más típusú egyenes egyenletekre és fordítva.

Minden ismertség ellenére a szögegyütthatós egyenes egyenlete nem mindig kényelmes a problémák megoldásához. Egyes esetekben a problémák könnyebben megoldhatók, ha az egyenes egyenlete más formában kerül bemutatásra. Például a szögegyütthatós egyenes egyenlete nem teszi lehetővé, hogy azonnal leírja az egyenes irányítóvektorának koordinátáit vagy az egyenes normálvektorának koordinátáit. Ezért meg kell tanulnia egy szögegyütthatós egyenes egyenletéből áttérni ennek az egyenesnek más típusú egyenleteire.

A szögegyütthatós egyenes egyenletéből könnyen előállítható az egyenes kanonikus egyenlete egy alakú síkon . Ehhez a b tagot az egyenlet jobb oldaláról az ellenkező előjelű bal oldalra mozgatjuk, majd a kapott egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk a k meredekséggel: . Ezek a műveletek elvezetnek minket a szögegyütthatós egyenes egyenletétől az egyenes kanonikus egyenletéhez.

Példa.

Adja meg a szögegyütthatós egyenes egyenletét! a kanonikus formára.

Megoldás.

Végezzük el a szükséges átalakításokat: .

Válasz:

Példa.

Az egyenest a szögegyütthatós egyenes egyenlete adja meg. A vektor normálvektora ennek az egyenesnek?

Megoldás.

A probléma megoldásához térjünk át a szögegyütthatós egyenes egyenletéből ennek az egyenesnek az általános egyenletére: . Tudjuk, hogy egy egyenes általános egyenletében az x és y változók együtthatói az egyenes normálvektorának megfelelő koordinátái, vagyis az egyenes normálvektora. . Nyilvánvaló, hogy a vektor kollineáris a vektorral, mivel a reláció érvényes (ha szükséges, lásd a cikket). Így az eredeti vektor is normál vonalvektor , és ezért egy normálvektor és az eredeti egyenes.

Válasz:

Igen, az.

És most megoldjuk az inverz problémát - azt a problémát, hogy egy síkon lévő egyenes egyenletét egy szögegyütthatós egyenes egyenletére redukáljuk.

A forma általános egyenes egyenletéből , amelyben nagyon könnyen lehet egyenletre menni meredekségi együtthatóval. Ehhez meg kell oldani az egyenes általános egyenletét y-ra vonatkozóan. Ebben az esetben azt kapjuk. A kapott egyenlőség egy egyenes egyenlete, amelynek szögegyütthatója egyenlő.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete