Az UMK vonal jellemzői. Geometria Tankönyvek Szövetségi Versenye

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. A sztereometria kezdetei: 10. Próbatankönyv. Anyagok áttekintéshez.- M.: Nevelés, 1982.-191 p. - (B-matematika tanár).
Próbatankönyv X. osztálynak - a tankönyv második részének részletes bemutatása. A tankönyvet azért adták ki, hogy megismertesse a tanárokat az iskolai sztereometria tantárgy felépítésének lehetséges lehetőségeivel.
Jelenleg számos iskolában kísérleti tesztelés alatt áll.
Első része (próbatankönyv a IX. osztály számára) 1981-ben jelent meg.
Letöltés (djvu, 7,02 Mb)

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria 6. Próbatankönyv a középiskola 6. osztályához. – M.: Nevelés, 1984. – 176 p.
I. fejezet A geometria kezdetei: § 1. Miről és miért szól a geometria. § 2. Szegmensek. § 3. Szögek. § 4. Háromszögek. 5. § Az első tételek néhány alkalmazása háromszögekre. 6. § Négyszögek.
fejezet II. Mérési mennyiségek: § 7. Műveletek szegmensekkel. § 8. Hosszúság mérése. 9. § Műveletek szögekkel. § 10. Szögek mérése. 11. § Háromszög szögeinek összege. 12. § Sokszögű alakok és sokszögek. 13. § Terület.
Letöltés (djvu, 3,97 Mb)

Új Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria. 7. osztály Próbatankönyv. - M.: Nevelés, 1985. - 192 p.
fejezet III. Háromszög geometriája: Pitagorasz-tétel. Merőleges és ferde. Háromszög egyenlőtlenség. Sinus. A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei és alkalmazása. Szinusztétel. Koszinusz. Általánosított Pitagorasz-tétel. Trigonometrikus függvények. Hasonló háromszögek.
fejezet IV. Párhuzamosság: Párhuzamos vonalak. Parallelogramma és trapéz. Párhuzamosság és hasonló háromszögek.
Vektorok: vektorok. Vektor kiegészítés. Egy vektor szorzata egy számmal.
sersol nem a twirpx szerveren.
(djvu)ya.disk

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria 8. Próbatankönyv a középiskola 8. osztályához. – M.: Nevelés, 1986. – 190 p.
VI. fejezet Vektorok és koordináták: 29. § Vetítések és vektorkoordináták 30. § Vektorok skaláris szorzása 31. §. Kör és egyenes egyenletei
VII. fejezet Sokszögek és körök: 32. §. Akkordok és érintők 33. §. Sokszögek 34. §. Szabályos sokszögek 35. §. Kör hossza 36. §. Egy kör területe
VIII. fejezet Mozgások és hasonlóságok: 37. §. Az alakzatok mozgása és egyenlősége 38. §. A mozgás típusai 39. §. Az alakzatok szimmetriája 40. §. Hasonlóság
Következtetés
41. §. A planimetria alapjai
Kiegészítők
Djvu letöltése

Új Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria. 9-10. osztály Próbatankönyv. - 2. kiadás, átdolgozva. - M.: Nevelés, 1987. - 272 p.
9. évfolyam. : A sztereometria alapjai. Merőlegesség és párhuzamosság. Előrejelzések. Távolságok és szögek. Gömb és labda.
10. évfolyam. : Hengerek és kúpok. Poliéder. Testek térfogatai és felületük területei. Koordináták. Vektorok. Mozdulatok. A geometria alapjai. Modern geometria.
Felhasználó által közzétett fájl sersol nem a twirpx szerveren.
(djvu)ya.disk

Alexandrov A. D., Werner A. L., Ryzhik V. I. Geometria. Tankönyv a középiskola 7-9. osztályának. – M.: Nevelés, 1992. – 320 p.: ill. - ISBN 5-09-003876-7.
A tankönyv harmadik helyezést ért el a középfokú tankönyvek összszövetségi versenyén középiskola 1988-ban
Letöltés (djvu, 2,78 Mb)

Új Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria. 7. évfolyam Kísérleti tankönyv. - M.: MIROS, 1994. - 200 p.: ill.
A tankönyv a geometria differenciált oktatását biztosítja: az anyag szekvenciális-párhuzamos bemutatása három szinten - vizuális, alkalmazott és logikai - történik. A kézikönyv továbbfejleszti a sorozatban kialakult hagyományokat ismeretterjesztő könyvek akadémikus A.D. vezetésével egy szerzőcsoport a geometriáról. Alekszandrov. Nem építkezés, hanem beszélgetés – ez a szerző stílusa ezt a tanfolyamot. Nagy készlet a kurzus összes témájában felmerülő problémák (valójában egy problémafüzet a tankönyvben) segítik a tanárt a tanulókkal való gyakorlati munka megszervezésében.
Felhasználó által közzétett fájl sersol nem a twirpx szerveren.
(djvu)ya.disk

Új Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Werner A.L., Khodot T.G. A geometria szigorú világa. Könyv tanároknak. Módszertani anyagok kísérleti tankönyvéhez A.D. Aleksandrova „Geometria” a 7. osztály számára. - M.: MIROS, 1994. - 72 p.: ill. - ISBN 5-7084-0046-3.
A geometria „első óráinak” problémáját segítik a tanári módszertani és didaktikai anyagok, amelyek ebben a könyvben találhatók. Tapasztalt tanárok készítették fel őket, akiknek gyakorlata megerősítette az A. D. kísérleti oktatási segédanyagának érdemeit. Alexandrova, A.L. Werner, V.I. Ryzhik „Geometria” a középiskolák 7. osztályos tanulói számára.
Felhasználó által közzétett fájl sersol nem a twirpx szerveren.
(djvu)ya.disk

Új Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria. 8. osztály Kísérleti tankönyv. - M.: MIROS, 1997. - 304 p.: ill.
A tankönyv az iskolai és osztályok differenciált tanítására szolgál különféle típusok: humanitárius, hétköznapi, a matematika elmélyült tanulmányozásával. A könyv első része a planimetria kurzus három fejezetét tartalmazza: „Párhuzamosság és vektorok”, „Sokszögű alakzatok területei”, „Háromszög geometriája”, valamint a megfelelő sztereometrikus anyag. A második rész a kurzus összes témájára vonatkozó feladatokat tartalmaz, amelyekhez összeállítottuk különböző szinteken edzés.
Felhasználó által közzétett fájl sersol nem a twirpx szerveren.
(djvu)ya.disk

Új Evstafieva L.P., Okunev A.A., Khodot T.G., Sheptovitskaya O.A. Pythagorastól Eukleidészig. Könyv tanároknak. Módszertani anyagok az A.D. kísérleti tankönyvéhez. Aleksandrova „Geometria” 8. osztályos tanulóknak. - M.: MIROS, 1997. - 96 p.: ill.
A módszertani kézikönyv a különböző típusú iskolákban és osztályokban történő differenciált tanításra szolgál. A könyvben található didaktikai anyagok, az osztálytermi munkaszervezés módszertani ajánlásai, valamint a mintaóraterv segíti a tanárt a geometria tanításának saját lehetőségének kiválasztásában.
Felhasználó által közzétett fájl sersol nem a twirpx szerveren.
(djvu)ya.disk

Új Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria. 9. évfolyam. Kísérleti tankönyv. - M.: MIROS: CheRo, 1997. - 352 p.: ill. - ISBN 5-7084-0156-7.
A tankönyv egy hároméves szisztematikus iskolai planimetriát és a sztereometria áttekintését fejezi be. A kézikönyv a geometria differenciált oktatását biztosítja: az anyag szekvenciális-párhuzamos bemutatása három szinten - vizuális, alkalmazott, logikai - történik. A kurzus összes témájára vonatkozó feladatsor segíti a tanárt a tanulókkal való gyakorlati munka megszervezésében.
Felhasználó által közzétett fájl sersol nem a twirpx szerveren.
(djvu)ya.disk

Új Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Khodot T.G. Euklidésztől Lobacsevszkijig. Könyv tanároknak. Módszertani anyagok az A.D. kísérleti tankönyvéhez. Aleksandrova „Geometria” a 9. osztály számára. - M.: MIROS, 1997. - 96 p.: ill. - ISBN 5-7084-0144-3.
Módszertani ajánlások és didaktikai anyagok segítik a tanárt a „Vektorok és koordináták”, „Forgatás ábrái” és „Transformációk” témakörök differenciált oktatásában, amelyek kiegészítik a planimetria szisztematikus tanulmányozását és a sztereometria iskolai áttekintését, valamint egy hároméves geometriai kísérleti kurzus utolsó megismétlése.
Felhasználó által közzétett fájl sersol nem a twirpx szerveren.
(djvu)ya.disk

Alexandrov A. D. et al., Geometria 9-10 osztályosoknak: Tankönyv. kézikönyv iskolai tanulóknak. és a matematika elmélyült oktatásával foglalkozó osztályok/A. D. Alexandrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhik.-M.: Oktatás, 1984. - 480 pp., ill.
Ez a könyv tankönyv olyan iskolák és osztályok tanulói számára, akik mélyrehatóan tanulmányozzák a matematikát. Feltárja mind a középiskola geometria programjának, mind a megfelelő osztályok és iskolák geometria programjának kérdéseit. Ez lehetővé teszi, hogy ezekben az osztályokban a tanulók elmélyüljenek matematikai képzés.
(pdf) ya.disk (nem 40., 41., 392. oldal)

Alexandrov A. D. és társai Geometria 8-9. Tankönyv kézikönyv iskolai tanulóknak. és cl. mélységgel tanult matematika / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-3rd ed - M.: Education, 1996.-415 with illus.
Olvassa el az edu-lib.net oldalt

Okunev A. A. A geometria elmélyült tanulmányozása a 8. osztályban: Kézikönyv tanároknak - M.: Oktatás: JSC „Ucheb. lit.”, 1996.- 175 pp.: ill.-ISBN 5-09-006591-8.
A kézikönyv azoknak a tanároknak szól, akik A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik „Geometria 8–9. osztályos” matematikai tankönyvön dolgoznak. A szerző bemutatja a tankönyv felépítését, a geometria tanításának céljait, taktikáját. A szerző minden témához konkrétan ajánl próbamunka, workshopok, megjegyzések a problémamegoldáshoz, a geometria bemutatásának sajátosságait tárgyalja.
Letöltés (djvu, 4,72 Mb)

Alexandrov A. D. Geometria: Tankönyv. 8. osztályos pótlék. mélységgel matematika tanulás / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M.: Oktatás, 2002. - 240 p. : ill. - ISBN 5-09-010864-1.
Az emelt szintű geometria tantárgy felépítéséről. Kedves barátaim! Elkezd egy négyéves haladó geometria tanfolyamot. Az első két évben az elemi planimetria szisztematikus tanfolyama, kiegészítve a sztereometria elemeivel. Bebizonyítjuk a planimetria összes legfontosabb tételét, és vizuális szinten bemutatjuk a sztereometria eredményeit. A 10-11. évfolyamon szisztematikus sztereometria tanfolyam indul. Így a teljes négyéves haladó tanfolyam két kétéves ciklusra oszlik. Mindegyiken belül az első év főként a klasszikus (az idők óta ismert) eredményeinek szentelődik Ókori Görögország) elemi geometria. A második év főként a modernebb geometria ötleteinek és módszereinek szentelt.
Letöltés (djvu, 20,79 Mb) ifolder.ru

Alexandrov A. D. Geometria: Tankönyv. pótlék 9. évfolyamra. mélységgel matematika tanulás / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M.: Oktatás, 2004. - 240 p. : ill.- ISBN 5 09 011551-6.
A 8. osztályos tanfolyamon bizonyított legfontosabb tételek (kivéve a szinusztételt) már az ókori Görögországban ismertek voltak. És bebizonyítottuk őket hagyományos módszerek elemi geometria, amelyet az ókori Görögországban is alkottak, de amelyek még most sem veszítették el jelentőségüket. A 9. osztályos tanfolyamon a geometria más, jóval később, a 17-20. században megalkotott módszereiről - koordinátáról, vektorról és a geometriai transzformációk módszeréről - kezdünk beszélni. Ezek a geometriai szakaszok találhatók széles körű alkalmazás a technikában és természettudományok, elsősorban a fizikában.
A tankönyv fejezeteinek fő tartalma planimetrikus, a megfelelő sztereometrikus anyagról a fejezetek kiegészítéseként beszélünk.
Letöltés (djvu, 22,51 MB) ifolder.ru

Alexandrov A. D. et al., Geometria: Tankönyv. 10. osztályos tanulók számára. mélységgel tanult matematikusok/A. D. Alekszandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-M.: Oktatás, 1999.-238 p.: ill.- ISBN 5-09-008530-7
Ez a tankönyv A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik „Geometry, 10-11” című tankönyvének átdolgozott változata a matematika elmélyült tanulmányozására (M.: Prosveshchenie, 1988-1995). Az átdolgozás eredményeként a tankönyv két könyvben jelenik meg: „Geometria, 10” és „Geometria, 11”, amelyekben a sorrend ill. többnyire A fejezetek tartalma megmarad. A változtatások elsősorban a problémaanyagot érintették: a szemantikai egység ebben a verzióban a teljes bekezdés, és nem annak bekezdése, amely meghatározta a probléma szerkezetét ebben a kiadásban. (A jobb tájékozódás érdekében az egyes feladatok száma zárójelben jelzi, hogy a bekezdés melyik pontjához tartozik.) Minden feladat a következő címsorokra oszlik: „Elmélet kiegészítése”, „Bizonyítás”, „Kutatás”, „Érvelés”, „Tervezés”, „A megoldás megértése”, „Részvétel az olimpián” stb. Optimálisan tükrözik a geometria mindhárom összetevőjét: a logikát, a vizuális képzeletet és a gyakorlatot.
Letöltés (djvu, 5,50 MB) ifolder.ru

Ryzhik V.I. Didaktikai anyagok geometriából a 10. évfolyamhoz a matematika elmélyült tanulmányozásával - M.: Nevelés, 1998. - 45 pp. - ISBN 5-09-008278-2.

Az UMK A.D. Alexandrova.
Letöltés (djvu, 1,50 MB) rusfolder.com

Ryzhik V.I. Geometria: didaktika. anyagok a 10. osztály számára. általános műveltség intézmények / V. I. Ryzhik - 3. kiadás, átdolgozva - M.: Oktatás, 2007. - 48 p. - ISBN 978-5-09-015968-5.
Ez a kézikönyv független és tesztek geometriában emelt szintű matematika osztályos tanulók számára.
Köszönöm, Yri
Letöltés (djvu, 0,3 MB) ya.disk

Ryzhik V.I. Geometria didaktikai anyagok a 11. osztály számára. általános műveltség intézmények: profil. szint / V.I. Ryzhik - 4. kiadás, átdolgozva - M.: Oktatás, 2008. - 63 p. : ill. - ISBN 978-5-09-015498-7.
Ez a kézikönyv két változatban tartalmaz független és próbamunkát a geometriával kapcsolatban a szakos osztályok és a matematikát elmélyült osztályok tanulói számára.
Köszönöm, Yri
Letöltés (djvu, 0,3 MB) ya.disk

Wanted

• Okunev A.A., A geometria elmélyült tanulmányozása 8. osztályban, könyv tanároknak, Felvilágosodás. Oktatási irodalom, 1996
• Okunev A.A., A geometria mélyreható tanulmányozása a 9. osztályban, könyv tanároknak, Oktatás, 1997.
• Ryzhik V.I., Okunev A.A., Didaktikai anyagok a geometriáról, 8. osztály.
• Ryzhik V.I., Okunev A.A., Didaktikai anyagok a geometriáról, 9. osztály, Oktatás, 1999
• Papovsky V.M., Pultsin N.M., A geometria elmélyült tanulmányozása 10. osztályban, könyv tanároknak, Oktatás, 1999
• Papovsky V.M., Aksenov K.N., Pratusevich M.Ya., A geometria mélyreható tanulmányozása a 11. osztályban, könyv tanároknak, Oktatás 2002.
• Ryzhik V.I., Didaktikai anyagok a geometriáról, 10. osztály, Oktatás, 1998
• Ryzhik V.I., Didaktikai anyagok a geometriáról, 11. osztály, Oktatás, 1999.

A hozzáadott fájlok megjelölése: Új.

Ez a tankönyv A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik „Geometry, 10-11” című tankönyvének átdolgozott változata a matematika elmélyült tanulmányozására (M.: Prosveshchenie, 1988-1995).
Az átdolgozás eredményeként a tankönyv két könyvben jelenik meg: „Geometria, 10”4 és „Geometria, 11”, amelyekben a fejezetek sorrendje és tartalmának nagy része megmarad. A változtatások elsősorban a problémaanyagot érintették: a szemantikai egység ebben a verzióban a teljes bekezdés, és nem annak bekezdése, amely meghatározta a probléma szerkezetét ebben a kiadásban. (A jobb tájékozódás érdekében az egyes feladatok száma zárójelben jelzi, hogy a bekezdés melyik pontjához tartozik.) Minden feladat a következő címsorokra oszlik: „Elmélet kiegészítése”, „Bizonyítás”, „Kutatás”, „Érvelés”, „Tervezés”, „A megoldás megértése”, „Részvétel az olimpián” stb. Optimálisan tükrözik a geometria mindhárom összetevőjét: a logikát, a vizuális képzeletet és a gyakorlatot.

Az előző órákon főleg síkbeli geometriát tanultunk - planimetriát, most pedig térbeli geometriát. Sztereometriának hívják (a görög szavak„sztereók – testi, térbeli, „metreo” – mérés).
Ha a térbeli geometriára - a sztereometriára térünk át, akkor azt feltételezzük, hogy a síkbeli geometria - planimetria - ismert számunkra.
Mindegyik vizuálisan egy síkot, vagy legalább egy sík véges darabját ábrázolja, például egy asztal, tábla stb. síkját. A planimetriában a síkot önmagában veszi figyelembe, függetlenül a környező tértől. Ha azonban síkon geometriát végzünk, akkor is emlékezünk arra, hogy a sík a térben helyezkedik el, és sok sík van benne. Mindegyiknél planimetriát végeznek.
Így a sztereometriában a sík olyan ábra, amelyen planimetriát végeznek, azaz. érvényesek a planimetria axiómái, és velük együtt azok következményei - a planimetria tételei. Lehet, hogy nem emlékszel a planimetria minden axiómájára, csak meg kell értened, hogy a sík olyan ábra, amelyben vannak pontok, egyenesek, szakaszok, szögek alapvető tulajdonságaikkal, és mögöttük más ismert alakzatok: háromszögek, körök stb. Ezeknek a lapos figuráknak a tulajdonságait folyamatosan fogjuk alkalmazni a róluk szóló, a planimetriában bizonyított tételeket.

Bevezetés 7
I. fejezet A SZTEREOMETRIA ALAPJAI 13
1. § A sztereometria axiómái 14
1.1. Axióma, síkok
1.2. Axiómák az egyenesről 15
1.3. A tér síkkal való felosztásának axiómája 17
1.4. Távolsági axióma 18
Kiegészítés az 1.0 bekezdéshez mennyiségek 20
Problémák 22
2. § Egyenesek és síkok meghatározásának módszerei a 28. térben
2.1. Két pont által meghatározott egyenes
2.2. Három pont által meghatározott sík 29
2.3. A 30-as vonalon áthaladó repülőgépek
Problémák 32
3. § Vonalak kölcsönös elrendezése a térben 35
3.1. A vonalak térbeli egymáshoz viszonyított helyzetének osztályozása. Keresztező vonalak
3.2. Párhuzamos vonalak 37
Problémák 40
4. § Párhuzamos kialakítás 43
4.1. A párhuzamos tervezés definíciója
4.2. Alaptulajdonságok párhuzamos kialakítás 44
4.3. Különböző figurák képe párhuzamos vetítésben 46
Problémák 50
5. § Lét és egyediség. 52. formáció
5.1. Lét és egyediség -
5.2. Konstrukciók a térben mint létezési tételek 53
5.3. Konstruktív és nem konstruktív létbizonyítások 55
5.4. A piramisok és prizmák építéséről 56
5.5. Térbeli alakzatok konstrukciói rajzokon és valós konstrukciók 58
Problémák 59
6. § A 61. axiómákról
6.1. Az alapfogalmak meghatározása __
6.2. Az axiómák szerepe 62
6.3. Az axiómák egyezménye 63
Kiegészítés a 6. bekezdéshez. Az euklideszi planimetria axiomatikája 65
Problémák az I. fejezethez 67
Az I. fejezet összefoglalása 69
fejezet AZ EGYENESEK ÉS SÍKOK MÉRŐSÉGE ÉS PÁRHUZAMossága 71
7. § Egyenes és sík merőlegessége 72
7.1. Egyenes és sík merőlegességének meghatározása. Merőleges és ferde -
7.2. A 73 merőleges jelentéséről
7.3. Az egyenes és a sík merőlegességének fő jele 75
7.4. Egymásra merőleges egyenesek és síkok felépítése: 76
7.5. Az egyenesek párhuzamossága és az egyenes és a sík merőlegessége közötti kapcsolat 79
7.6. Adott síkra merőleges egyenes. Szimmetria a 81-es síkról
7.7. Három egymásra merőleges egyenes 83
Problémák 84
8. § Síkok merőlegessége 89
8.1. A síkok merőlegességének meghatározása -
8.2. Az egymásra merőleges síkok tulajdonságai 91
8.3. A 92-es síkok merőlegességének jele
8.4. Két egymást metsző sík, amelyek merőlegesek egy harmadik síkra 92
Problémák 93
9. § Párhuzamos síkok 96
9.1. A síkok párhuzamosságának első jele az
9.2. Lemmák egy egyenes vagy sík párhuzamos síkokkal való metszéspontjáról 97
9.3. Alaptétel párhuzamos síkokról 98
9.4. Két párhuzamos síkra merőleges egyenes 99
Feladatok
10. § Egyenes és sík párhuzamossága 104
10.1. Egy egyenes és egy sík egymáshoz viszonyított helyzetének osztályozása
10.2. Egyenes és sík párhuzamosságának jele 105
10.3. A síkok párhuzamosságának második jele 106
Feladatok
11. § Ortogonális kialakítás. 111
Kiegészítés a 11. bekezdéshez. Monge-módszer és ábrázoló geometria TÓL
Problémák 115
Problémák a II. fejezethez 117
A II. fejezet összefoglalása 120
III. fejezet TÁVOLSÁGOK ÉS SZÖGEK 122
12. § Számok közötti távolság -
12.1. Távolság ponttól alakig -
12.2. Legközelebbi pont 124. tétele
12.3. Az ábrák közötti távolság 126
12.4. Az egyenesek és a síkok közötti távolság. Közös merőlegesek 127
12.5. Távolság és párhuzamosság 129
Problémák 130
13. § Térbeli Pitagorasz-tétel 136
13.1. A Pitagorasz-tétel három megfogalmazása -
13.2. Térbeli Pitagorasz-tétel vetületekhez 137
13.3. A 138. Pitagorasz-tétel jelentéséről
Problémák 140
14. § Szögek 143
14.1. A sugarak közötti szög -
14.2. Az egyenesek közötti szög 145
14.3. Az egyenes és a sík közötti szög 146
14.4. Kétszögű szög. 147
14.5. A síkok közötti szög 148
Kiegészítés a 14. bekezdéshez. Háromszögek 149
Problémák 153
Problémák a III. fejezethez 159
Eredmények fejezet III 162
IV. fejezet TÉRALAKOK ÉS TESTEK 163
15. § Gömb és labda -
15.1. A gömb és a labda fogalmai. . -
15.2. Egy gömb és egy gömb metszéspontja egy síkkal 165
15.3. Labda és gömb érintése síkkal 167
15.4. A labda típusa és képe 168
15.5. A gömb és a golyó szimmetriája -
15.6. Labda és távolság a ponttól a 170-es alakig
Kiegészítés a 15. bekezdéshez. Gömb alakú háromszögek 171
Problémák 173
16. § Támsík 178
16.1. Referencia vonal -
16.2. 179. referenciasík
16.3. Korlátozott számban. ábra átmérője 180
Kiegészítés a 16. bekezdéshez. Támsíkok a 181-es átmérő végein
Problémák 182
17. § Konvex alakok 183
Problémák 185
18. § Hengerek 186
18.1. A henger definíciója és tulajdonságai -
18.2. Egyenes körhenger 188
18.3. A forgási henger szimmetriája 189
18:4. Konvex hengerek -
Kiegészítés a 18. bekezdéshez. Ellipszis, mint egy 190-es forgási henger szakasza
Problémák 192
19. § Kúpok. Csonkakúpok. 195
19.1. A kúp meghatározása. Forgási kúp -
19.2. Kúp metszete síkkal, párhuzamos a síkkal alapjai 197
19.3. Konvex kúpok 198
19.4. Csonkakúp 199
19.5. A 200-as forradalom kúpjai és csonkakúpjai
Kiegészítés a (19) bekezdéshez -
I. Központi tervezés -
II. Kúpszelvények 205
Problémák 207
20. § Szervek 211
20.1. A test vizuális ábrázolása -
20.2. Egy alak szegélye és belseje a 212-es térben
20.3. A test meghatározása 213
20.4. Síkfigurák határ- és belső pontjai. Lezárt terület 214
Kiegészítés a 20 216. bekezdéshez
I. Határterületek -
II. Konvex testek 218
Problémák 222
Feladatok a IV. 224. fejezethez
A IV. fejezet összefoglalása 228

A tankönyv elméleti ill praktikus anyag sztereometriában egy középiskolai tanfolyamhoz. A könyv körülbelül 100 feladatot tartalmaz megoldásokkal és több mint 800 önálló megoldásra szánt feladatot. Megadják azokat a feladatokat is, amelyeket felhasználtak felvételi vizsgák különböző egyetemeken. A kézikönyv iskolai tanulóknak, jelentkezőknek és tanároknak szól.

Repülők az űrben.
Természetes, hogy a „szerkezeti geometriát” a sík térbeli helyzetének meghatározására vonatkozó javaslatokkal kezdjük. Itt három ilyen javaslatot fogalmazunk meg.

Kezdjük azzal a kérdéssel, hogy a síkban hány pontot kell megadni, hogy a helyzetét ezek a pontok egyértelműen meghatározzák. Nyilvánvaló, hogy ehhez egy-két pont nem elég. De három olyan pont megadásával, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, a sík helyzete egyértelműen meghatározásra kerül (1.1. ábra). Valós példa: két zsanér és egy zár rögzíti az ajtó helyzetét, de két zsanér nem. Tehát a következő mondat érvényes:

Tétel 1. A tér bármely három olyan pontján keresztül, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, egy sík halad át, és csak egy.
A három A, B, C ponton átmenő síkot, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, az úgynevezett " ABC repülőgép" és írd (ABC).
A sík meghatározásának ezen (fő) módszerén kívül másokat is fogunk használni.

TARTALOMJEGYZÉK
Előszó
Bevezetés
1. fejezet Vonalak és síkok
1. § Vonalok és síkok kölcsönös elrendezése
2. § Egyenesek és síkok merőlegessége
3. § Egyenesek és síkok párhuzamossága
Problémák a megoldásokkal
2. fejezet A legfontosabb térbeli alakzatok
§ 4. Gömb és labda
§ 5. Háromszögek és gömbháromszögek
§ 6. Henger
7. § Prizma
§ 8. Kúp
9. § Piramis
Problémák a megoldásokkal
Önállóan megoldandó problémák
3. fejezet Szilárdtestek, felületek, poliéderek
10. § Testek és felületeik
11. § Polyhedra
12. § Szabályos és félszabályos poliéderek
Problémák a megoldásokkal
Önállóan megoldandó problémák
4. fejezet Testek térfogatai és felületük
13. § A mennyiség fogalma
14. § Kötet egyenes henger
15. § A térfogat ábrázolása integrállal
16. § Henger, kúp, golyó térfogata
17. § Felületi terület
Problémák a megoldásokkal
Önállóan megoldandó problémák
5. fejezet Koordináták és vektorok
18. §. Téglalap koordináták
19. § Koordináta módszer
20. §. Különféle rendszerek koordináták
21. § A vektor fogalma
22. § Lineáris műveletek vektorokkal
23. § Vektorok skaláris szorzása
24. § Vektoros módszer
Problémák a megoldásokkal
Önállóan megoldandó problémák
6. fejezet Transzformációk
25. § Mozdulatok
26. § Az indítványok tulajdonságai
27. § A tér mozgásainak osztályozása
28. § Hasonlóság
29. § Inverzió
Problémák a megoldásokkal
Önállóan megoldandó problémák
Válaszok és útbaigazítás
A planimetria alaptételei és képletei
Tárgymutató
Felhasznált irodalom jegyzéke.

Ingyenes letöltés e-könyv kényelmes formátumban, nézze meg és olvassa el:
A Stereometry, Geometry in space, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 1998 - fileskachat.com könyv letöltése gyorsan és ingyenesen.

• Geometria, Munkaprogramok gyűjteménye, 7-9. évfolyam, Burmistrova T.A., 2011
• Geometria, 7. osztály, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2013
• Matematika, algebra és a matematikai elemzés kezdetei, geometria, 10-11. évfolyam, tankönyv általános oktatási szervezetek számára, alap- és felsőfok, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2014

Emlékek arról, hogyan zajlott a munka A.D.-vel. Alexandrov a geometriai iskolai tankönyvekről.

1. Hogyan kezdődött. Az iskolai geometria tanfolyam Kolmogorov reformja és eredményei

A múlt század 60-as éveinek közepén a Szovjetunióban aktívan modernizálták a matematika iskolai oktatását (ezt nevezik most Andrej Nikolaevich Kolmogorov vezette). Az iskolai matematika kurzusok programjait elavultnak, a modern matematikához képest lemaradtnak nyilvánították, ezért ezeknek az új programoknak megfelelően kellett frissíteni és új tankönyveket írni. Az ötödik és hatodik osztályos matematika, valamint az algebra kurzusával és az elemzés kezdetével ezt az átstrukturálást A.N. Kolmogorovnak és társainak összességében sikerült, de nem tudták átépíteni a hagyományos geometriai tanfolyamot Oroszország és a Szovjetunió számára, és az ügy botrányba végződött.
KÖRÜLBELÜL új program A.N. Kolmogorov kétszer írt a „Mathematics at School” folyóiratban: részletesen az „Új programok és néhány alapvető kérdés a matematika kurzusának javításában középiskola”és röviden az „Új matematikai programok felé” c.
A geometria program tárgyalását indítva az elsőben A.N. Kolmogorov ezt írja: „Ha a jelenlegi programokat archaikusnak neveztem, akkor ez különösen érvényes a geometriára.” Aztán felvázol egy programot a geometria tanfolyam átalakítására.
„Az iskolai geometria szak átstrukturálásának főbb irányzatai, amelyek mára a legszélesebb körű elismerésre találtak, három rendelkezés formájában fogalmazhatók meg.
1. A kezdeti geometriai fogalmak kialakulása az alsó tagozaton történik.
2. Az euklideszi hagyományhoz képest érezhetően leegyszerűsödik a középfokú rendszeres geometria tantárgy logikai felépítése. A szigorú logikai bizonyítás szokásának kialakulása ebben a szakaszban a túlzott feltevések rendszerének bizonyítás nélküli elfogadásának jogának nyílt elismerésével párosul.
3. A középiskolai geometria tantárgy vektor fogalmakra épül. Ugyanakkor természetes a koordináta-módszer felé fordulás (azonban segédeszközként, nehogy ettől a megközelítéstől legyen kevésbé „geometrikus” a prezentáció).
E rendelkezések közül az első igaz. Az utolsó (harmadik) az azokra az évekre jellemző meggyőződés, hogy a sztereometria vektorkonstrukciója („Weyl szerint”) egyszerűbb, mint a hagyományos szintetikus konstrukció. Végül nehéz egyetérteni a második állásponttal, és további fejlesztés Az események megerősítették, hogy nyilvánvalóan korai lenne „széles körű elfogadásról” beszélni: a programban nem volt észrevehető egyszerűsítés, és a megfelelő tankönyvek még nem készültek el.
A cikk végén A.N. Kolmogorov írja:
„Ahhoz, hogy nyugodtan és magabiztosan dolgozhassunk az új geometriai tankönyveken, alapvetően sürgős előkészítő munkára lenne szükség: egy vagy több tudósból és tanárból álló csapat – külföldi tapasztalatok felhasználásával – tervezetet (vagy több tervezetet) készít és publikál. ) az iskolai kurzus geometriájának „logikai vázának” (a kezdeti feltevések és a tételek fő láncolata a bizonyítással) olyan formában, amelyet a kellően tapasztalt tanárok kritikával és kísérleti felhasználással is használhatnak.”
Sajnos ez nem történt meg.
A.N. második feljegyzésének két oldaláról. Kolmogorov egy oldalt szentelt a geometriának. Ott ezt írta:
„A „Matematika az iskolában” lapjain már többször meg kellett írnom, hogy a planimetria alapelveinek bemutatására szolgáló klasszikus euklideszi sémát követve, amely szerint elég sokáig az „abszolút geometria” tételeire korlátozódtunk (in Lobacsevszkij terminológiája), amely nem a párhuzamok posztulátumán alapul, iskolai gyakorlatunkban már rég elvesztette minden ésszerű értelmét. Sokkal több egyszerű rendszer A prezentációt, ahol a párhuzamosságot és a párhuzamos átvitelt a kezdetektől alkalmazzák, már régóta kidolgozták és számos külföldi tankönyvben implementálták.”
De a nehézség abban rejlik, hogy sem nálunk, sem külföldön nincs kész minta a 6-8 évfolyamunknak megfelelő planimetria szak logikai felépítésére. oktatási irodalom, úgy tűnik, nem."
Így 1968-ra kialakult a régi szoftverprogramok archaikus jellege. iskolai matematika, új programokat írtak és itt az ideje tankönyveket írni.
A.N maga vállalta a 6–8. osztályos tankönyv megírását. Kolmogorov. Bár ekkor már írt egy kurzust az elemi geometriáról a híres geométer, Alekszej Vasziljevics Pogorelov akadémikus. A.N. Kolmogorov áttekintette ezt a könyvet, és e könyv tanároknak szóló előszavában A.V. Pogorelov „őszinte háláját fejezi ki A. N. akadémikusnak. Kolmogorovnak az értékes megjegyzésekért és tanácsokért, amelyeket az első kiadás egyes részeinek áttekintése során tett.” Emlékszem, hogy 1967 júniusában, miután Petrozsénybe érkezett az All-Union Symposium on Geometry „általában”, A.V. Pogorelov büszkén mondta nekem: „Írtam egy kurzust az elemi geometriáról. Bevezettem benne a távolság-axiómákat. Kolmogorov megdicsért.
Nem bízott A.N. Kolmogorov írja a „Geometry, 6–8”, és azok a híres geometriák, V.G. Boltyansky és I.M. Yaglom, akik a megbízásában voltak.
Elhatározta, hogy saját maga csinálja meg – erre alapozva szisztematikus tantárgyat épít a planimetriából geometriai transzformációk. Társszerzők A.N. Kolmogorov R.S. Cserkasov és A.F. Szemenovics. Miért A.N. Maga Kolmogorov úgy döntött, hogy egy geometria-tanfolyamon dolgozik, kifejti, amit a Szovjetunió parlamenti képviselőjénél 1971. január 11-én „Az alapfogalmak és jelölések rendszeréről egy iskolai matematika kurzushoz” című jelentésében mondott:
„Úgy döntöttünk, hogy a 6–10. évfolyam számára külön geometria-tankönyveket vezetünk. A sok országban elfogadott egységes matematikai tankönyvrendszerhez képest a koherens geometria tankönyv megléte bizonyos előnyökkel jár, de csak akkor, ha a geometriatanfolyam felépítésének logikája szigorúan összhangban van az algebrai és elemi analízis kurzusaival.”
Andrej Nyikolajevics ezt a szigorú következetességet döntötte el. Geometria tanfolyam A.V. Pogorelov nem nagyon volt alkalmas ilyen szigorú következetességre.
Emlékezzünk vissza, amit I. Newton írt a geometriáról a „Mathematical Principles of Natural Philosophy” című híres művének első kiadásának előszavában: „A geometriát ezért dicsőítik, mivel olyan kevés alapvető elvet kölcsönzött kívülről, annyira” (5. bekezdés). Kolmogorov hatodik osztályos „Geometria, 6–8” című művében ennek az ellenkezője igaz: az ott azonosított 38 állítás csaknem kétharmada bizonyítás nélkül marad, és még a nem bizonyított állítások közül is sok nincs kiemelve. A szisztematikus geometria-tanfolyam első évfolyamának tankönyve, amely mindig egyenletesen és következetesen mozgott az e kor tanulói számára elérhető szigor szintjén, tartalmilag megszakadt: valamit bebizonyítunk, majd bizonyítás nélkül elfogadjuk, akkor megint bebizonyítunk valamit, aztán újra elfogadjuk bizonyítás nélkül stb. Ez már nem az a geometria, amiről I. Newton beszélt! Amit A.N Kolmogorovnak nem sikerült a geometria tanfolyama - növelte a szigorúság szintjét (abban az értelemben, hogy A. N. Kolmogorov szigorúságot jelentett a szóban), és egyúttal leegyszerűsítette a geometriai tanfolyamot. Ezt maga A. N. ismerte el. Kolmogorov, amikor a „Megjegyzés a beállítódás fogalmához iskolai tanfolyam Matematika" írta: "Visszatérve a geometriához, úgy gondolom, hogy egy modern iskolai kurzusban minden axiomatikának halmazelméleti nézőponton kell alapulnia.
Ez különösen az A.V. axiomatikája. Pogorelova. De azt a kérdést, hogy mikor kezdjünk el beszélni a diákokkal a geometria logikai felépítéséről, újra meg kell vitatni. ben szerzett tapasztalat különböző lehetőségeket Az elmúlt évtized geometria tankönyvei azt mutatták, hogy korai ezt a 6. osztályos tanfolyam elején megtenni.”
Ahogyan a „Geometry, 6–8” szerzői is tették (az idő előtti szó elég tisztességes. A geometria logikai felépítésének kérdését egy szisztematikus kurzus elején többféleképpen megvitathatjuk. De nyilvánvalóan korai elvetni a Az elemi geometria tantárgy felépítésének évszázados tapasztalata („Euklidész szerint”), és a szisztematikus kurzus első évében a kurzus geometriai transzformációkra épül („Klein szerint”): erre az iskolások nem állnak készen.
A.N. Kolmogorov arról, hogy szerinte milyen legyen a 6–8. osztályos geometria szisztematikus tankönyve, most ismerkedtünk meg. Most lapozzuk át a középiskolai geometria tankönyvet (akkor 9–10. osztályos volt, most 10–11. osztályos).
A különböző matematikai tankönyvek szerzői csoportjainak kiválasztása, A.N. Kolmogorov oda utazott pedagógiai egyetemek országokban, és találkozott matematikusokkal. A Herzen Intézetbe is jött, és emlékszem, hogyan találkoztunk A.N-vel a rektori irodában. Kolmogorov, és az iskolareformról volt szó
matematika tanfolyam. Valószínűleg a mi nézeteink nem feleltek meg A.N-nek. Kolmogorov: egyetlen herzenitát sem vett be csapatába. A geometria középiskolai tankönyve, A.N. Kolmogorov a Jaroszlavli Pedagógiai Intézet professzorát utasította, hogy írjon. Skopets és a Kurszki Pedagógiai Intézet docensei V.M. Klopsky és M.I. Jagodovszkij.
A „Geometry, 9–10” (szerkesztette: Z.A. Skopets) 1974-es megjelenése előtt a középiskolásokat A.P. sztereometria tankönyve szerint tanították. Kiseleva. Az új „Geometria, 9–10” tankönyv tartalma megfelelt az 1968-as miniszteri programnak, és folytatta a „Geometria, 6–8” Kolmogorov-tankönyvben kidolgozott vonalat. A 9. osztályban három fejezet volt:
1. fejezet A sztereometria alapfogalmai. Párhuzamosság a térben;
2. fejezet A tér transzformációi. vektorok;
3. fejezet. Merőlegesség a térben. Diéderes és poliéderes szögek.
A tankönyv így kezdődik: „A sztereometria szisztematikus kurzusa ugyanazon séma szerint épül fel, mint a planimetria kurzusa:
1. Felsoroljuk azokat az alapfogalmakat, amelyek nincsenek definiálva.
2. Olyan axiómákat fogalmaznak meg, amelyekben az alapfogalmak tulajdonságai fejeződnek ki.
3. Alapfogalmak felhasználásával más geometriai fogalmak definícióit fogalmazzuk meg.
4. A tételek definíciók és axiómák alapján bizonyítottak.”
Alapfogalmak - pont, vonal, sík és távolság. Kilenc axiómát fogalmaztak meg: öt hagyományos összetartozás-axiómát, három axiómát metrikus térés 9. axióma: minden síkra teljesülnek a planimetriából ismert sorrend, síkmozgás és párhuzamos egyenesek axiómái.

Majd az 1. fejezetben a szerzők a hagyományos szintetikus módszerrel bizonyítják a sztereometria első tételeit. Azoknak a diákoknak, akik korábban három évig elmerültek egy lapos planimetrikus világban, az ilyen szigorúan axiomatikus kezdés (és A. P. Kiselev tankönyve szerint) mindig nehéz volt.
A tankönyv 2. fejezetének első bekezdései a térbeli mozgásról szólnak. Mint a Kolmogorov-tankönyvben: „Geometry, 6-8” általános tulajdonságok az elmozdulások (hogy az egyenesből egyenes, a síkból sík, stb.) csak röviden (kiemelés nélkül) szerepelnek, de nem bizonyítottak. És akkor megfogalmazódik a hírhedt definíció:
A nem egybeeső pontok (A,B) párja által meghatározott vektor (párhuzamos transzláció) olyan tértranszformáció, amelyben minden M pont egy M1 pontra van leképezve úgy, hogy az MM1 sugár az AB sugárral együtt van irányítva, és a távolság | MM1| egyenlő az |AB| távolsággal.
Ezzel a meghatározással kezdték az akadémikusok a Kolmogorov-reform kritikáját. Vladimirov, L.S. Pontrjagin és A.N. Tikhonov a "Matematika az iskolában" c. L.S. vele kezdi az SZKP Központi Bizottságának testületében, a Kommunist folyóiratban megjelent „A matematikáról és tanításának minőségéről” című cikkét (1980, 14.). Pontryagin. A Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karának dékánja olvasta fel a Szovjetunió Legfelsőbb Tanácsának emelvényéről.
A vektor meghatározásának kérdése politikai kérdéssé vált.
Itt talán érdemes megvitatni a definíciók tisztaságának kérdését, amelyre A.N. Kolmogorov és szerzőtársai és követői különös figyelmet szenteltek.
Ezt írta A.D. Alexandrov „A geometriáról” című programszerű cikkében 1980-ban a „Mathematics at School” folyóiratban:
„Elengedhetetlen a tárgy vizuális és operatív ismerete, amely tartalmazza a vizuális reprezentációkat és azok helyes működtetésének képességét. Mindenki érti, mi az a szék, és tudja, hogyan kell használni, de valószínűleg sokaknak nehéz lesz azonnal meghatározni, mint egy vizsgán: „A széket úgy hívják...” A 17. és 18. századi matematikusok nem van pontos meghatározások sem függvény, sem határérték, sem maga az x változó, de figyelemre méltó sikerrel jártak (emlékezzünk Eulerre).
Az a pedáns vágy, hogy minden fogalomnak verbális definíciót adjunk, oda vezethet, hogy a már meglévő gondolatok magyarázata és tisztázása helyett, ahelyett, hogy világos fogalmakat alkotnának bennük, valami nehezen elképzelhető vagy teljesen elképzelhetetlen, de csak kifejezett dolgot kapnak. verbális burokban, néha úgy, hogy nem tudják sem megérteni az elhangzottakat, sem alkalmazni nem tudják. Például a jelenlegi tankönyvekben a következő meghatározás szerepel: „Az irány az összes közösen irányított sugár halmaza.” És mivel a diákokat már megtanították arra, hogy a halmaz elemek halmaza, és elemeiből áll, kiderül, hogy egy irány az összes társirányított sugárból áll... Hasonló helyzetet találunk a definíciókkal is. fogalmak vektor, poliéder stb.
Aligha van ártalmasabb a lelki - szellemi és erkölcsi - fejlődésre, mint megtanítani az embert olyan szavak kiejtésére, amelyek jelentését nem igazán érti, és ha kell, más fogalmak vezérlik.”
A szerzők a vektor körülményes definíciója után továbbra is elsősorban irányított szegmensekkel dolgoznak.
A 3. fejezet befejezi az egyenesek és síkok térbeli egymáshoz viszonyított helyzetének tanulmányozását, megvizsgálja az egyenesek és síkok összes merőlegességi viszonyát, és megvizsgálja a tengelyirányú szimmetria és szimmetria egy síkhoz viszonyított transzformációit. Ezt a fejezetet a tisztán szintetikus módszerek, a vektoros módszer és a transzformációs módszerek egyidejű alkalmazása jellemzi. Nincs benne integritás.
Tehát a 9. osztályban az egyenesek és síkok térbeli egymáshoz viszonyított helyzetére vonatkozó hagyományos tételek mellett a vektoralgebrát és a térbeli elmozdulásokat is tanulmányozza a tankönyv. Nyilvánvaló, hogy azon a szigoron, amely az A. P. tankönyvében szerepelt ebben az osztályban. Kiselev, lehetetlen ilyen kiterjedt anyagot tanulmányozni.
A 10. osztályos tankönyv első fejezete egy rövid 4. fejezet. Koordináta módszer az űrben." Meghatározza az elemeket analitikus geometria a térben.
A következő 5. „Poliéderek” fejezetben már nincsenek vektorok, nincsenek koordináták – minden egészen hagyományos: prizmák, piramisok, szabályos poliéderek. Csak az utolsó bekezdésben számítják ki a piramis térfogatát a lapos szakaszok területének integrálásával. És a poliéder meghatározása az 5. fejezetben arra késztette, hogy Kr. e. Alekszandrov írjon egy kiterjedt cikket „Mi az a poliéder?” .
Végül, utolsó fejezet tankönyv – ez a 6. fejezet „Forgási ábrák”.
Hengerről, kúpról, labdáról és ezek felületéről beszél.
A 10. osztályos kurzus két fő fejezetének – az 5. és 6. fejezet – bemutatásához nincs szükség vektorokra, elmozdulásokra, koordinátákra: ebben az osztályban az első fejezet elkülönül, és kihagyható.
A „Geometry, 9–10” (szerkesztette: Z.A. Skopets) szorosan kötődött a „Geometry, 6–8” (szerkesztette: A.N. Kolmogorov) tankönyvhöz, és ugyanazokkal a hiányosságokkal rendelkezik, mint a „Geometry, 6–8” tankönyv. A munka további nehézségei abban rejlenek, hogy azokban az években a Szovjetunióban egyetemes tízéves oktatást vezettek be, és ezért a középiskolás diákok elkezdték tanulni a geometriát, akik számára még A. P. tankönyve szerint is nehéz volt. Kiszeljov, és még inkább a tankönyvet helyettesítő A. P. szerint. Kiszeljov tankönyve.
Annyira részleteztem a tankönyv tartalmát, hogy kiderüljön, miért A.D. Alexandrov, miután 1979 tavaszán megkapta az oktatási minisztertől, M.A. Prokofjev javaslata a tankönyv szerkesztésére úgy döntött, hogy új sztereometriai tankönyvet kell írni.

2. Munka a sztereometriai tankönyveken

1979. április 20-án Alekszandr Danilovics Novoszibirszkből azt írta nekem, hogy a Szovjetunió parlamenti képviselője elküldte neki a kiadásra előkészített tankönyv 4. kiadását, és véleménye szerint „könnyebb újraírni ezt a művet, mint meggyőzni a szerzőket. bármit kijavítani" És tovább: "Bevállalná, hogy részt vegyen ennek a műnek a velem való átdolgozásában?" Ekkor már volt tapasztalatom pedagógiai intézetek tankönyveinek írásában, köztük volt „ Axiomatikus felépítés geometria (Kolmogorov szerint)", 1978-ban jelent meg, és S.A.-val közösen írták. Frangulov és S.A. Juzvinszkij. Azokban az években úgy tűnt, hogy a Kolmogorov-geometria az iskolában sokáig fog tartani (pl szovjet hatalom), nekünk pedig a pedagógiai intézetekben fel kellett készítenünk a tanárokat a Kolmogorov-tankönyvek felhasználására, és meg kellett győződnünk arról, hogy logikai hibák nekik nincs. A diákoknak szóló tankönyvkészítés nehézségeit, mind tartalmi, mind technikai szempontból, már jól ismertem. Jól megértettem, hogy ezek az iskolai tankönyvekkel kapcsolatos nehézségek sokkal nagyobbak, és nem volt különösebb kedvem iskolai tankönyveken dolgozni. Ezért Alekszandr Danilovics első levelére valahogy kitérően válaszoltam, és hamarosan szigorú választ is kaptam egy 1979. május 10-i levélben. részletesebben idézem.
„Kedves Alekszej Leonidovics!
Úgy tűnik, nem fejtettem ki egyértelműen, hogy miről beszélek – mit kínálok Önnek.
A minisztérium elküldte nekem a kézikönyv új kiadásának (új verziójának) kéziratát. A miniszter ajánlatot írt nekem, hogy legyek tudományos szerkesztő.
De az esszé elolvasása után arra a következtetésre jutottam, hogy a szerkesztés hiábavaló és lehetetlen feladat; újra kell írnia az esszét - és ez könnyebb. Szóval ezt szeretném megtenni, ráadásul abszolút sürgősen.
Nem kell semmi különöset kitalálni, nem kell programot változtatni stb.
Csak meg kell próbálni változtatni ezt az esszét hogy jobb legyen, és ne tartalmazzon nyilvánvaló hibákat és hülyeségeket.
<...>
Tegyük fel, hogy május-júniusban Leningrádba jövök, hogy együtt dolgozzunk a geometrián: próbáljuk meg átírni a kézikönyvet a 9–10. mit gondolsz erről?
A középiskolai forradalom szörnyűség. Már volt egy. A második semmilyen körülmények között nem engedélyezhető. A Vinogradovo-Tikhonov forradalom vagy ellenforradalom még a Kolmogorov-forradalomnál is rosszabb lehet. Nem szabad elengednünk őket.
Ehhez pedig meg kell ragadni a kezdeményezést, i.e. el kell kezdenünk javítani a dolgokat
reálisan, sugárzott nyilatkozatok nélkül, felesleges káromkodások nélkül, stb.
Üdvözlettel: A. Alexandrov"
És elkezdtük "javítani a dolgokat". Elmeséltem a leningrádi geométereknek Alekszandr Danilovics javaslatát. Viktor Abramovics Zalgaller elmondta: „Új geometriai tankönyvet írni olyan, mint egy új autót létrehozni. Ha az állam meg akarja szerezni, akkor létre kell hoznia egy külön intézetet, amely csak ezzel a tankönyvvel fog foglalkozni.” És hozzátette: "Alexandrov olyan tankönyvet fog írni, amely túl okos." Nagyon gyakran emlékszem erre a mondatára.
Jurij Alekszandrovics Volkov ezt mondta: "Rossz az üzleted - Pogorelov már írt egy tankönyvet." De Jurij Alekszandrovics, amíg tehette (már halálosan beteg volt, és két évvel később meghalt), érdeklődéssel tárgyalta a sztereometria első fejezeteihez javasolt lehetőségeket, és sok tanácsot adott nekünk.
A sztereometria első fejezeteiben mindenekelőtt az ábrákkal, azok egymáshoz viszonyított helyzetével foglalkoztunk, és a legegyszerűbb figurákból építettünk egyre bonyolultabbakat.
Miközben az elemi geometria kurzusán dolgozott, A.D. Alekszandrov szembeállította a geometria megértését Kolmogorov felfogásával. Miután megismerkedett A.N. tankönyvével. Kolmogorov, Alekszandr Danilovics azt mondta: "Szinte nincsenek ott alakok." Tankönyvét egy történettel kezdte a sztereometria által vizsgált alakokról, arról, hogy hol találkoznak igazi életet, a gyakorlatban betöltött szerepükről.
A nehézséget az okozta, hogy meg kellett írni egy sztereometriai kurzust, amely egyrészt független lenne az előző planimetria kurzus különböző lehetséges konstrukcióitól, másrészt pedig bármely kurzus folytatása lenne. planimetria. Ezt az a tény biztosította, hogy Alekszandr Danilovics a síkot egy térbeli alakként határozta meg, amelyen euklideszi planimetriát végeznek. De a planimetria felépítésének módja nem mindegy. Az egyetlen fontos dolog az, hogy javaslatait végrehajtsák.
Természetesen nem tudtunk egy nyár alatt szövegkönyvet írni a sztereometriáról, ahogy Alekszandr Danilovics feltételezte. Csak a térbeli merőlegességről és párhuzamosságról szóló fejezetet többször átírták. És többször kellett írnom a távolság fogalmáról (amely olyan jelentős szerepet játszik Kolmogorov geometriai megközelítésében). Ezt írta nekem Alekszandr Danilovics 1980. április 20-án, i.e. pontosan egy évvel a sztereometria tankönyvről szóló első levél után.
„Kedves Alekszej Leonidovics!
Elolvastam a távolságról szóló bekezdésedet, és sírtam. Elárulod az ügyünket, visszavonulsz és behódolsz a gazembereknek. Térj észhez!
Kolmogorov és kollégái (a kollégák szót többre cseréltem erős szó Alekszandr Danilovics levelében. - A.L.) telerakták az iskolai tananyagot mindenféle hülyeséggel, tudományos gondolatokkal, tudományos szavakkal stb. stb. Határozottan fel kell lázadnunk ez ellen a szemét ellen, és folyamatosan kisöpörnünk kell. Kavar a diákok fejével! Ahelyett, hogy értelmes dolgokat tanítanának, meg kell tanulniuk (a diákoknak), hogy a Moszkva és Leningrád közötti távolság egyenlő a Leningrád és Moszkva közötti távolsággal, hogy egy pont távolsága önmagától nulla, ez egyenlő, azonos tárgyakat nem egyenlőek, de kongruensnek kell nevezni stb., stb., stb., stb., stb.
<Далее А.Д. Александров в письме две страницы анализирует аксиоматику метрического пространства>
Közelebb kell lennünk az élethez! Az életben egyértelmű, hogy |AB| > 0 és |AB| = |BA|.
Világos, külön megfogalmazás nélkül. Szükséges tehát, hogy a tanulók mindenekelőtt megértsék, hogy hétköznapi dolgokról van szó, amelyek még csak tisztázás alatt állnak.
Egyébként kiderül, hogy az életben a „távolság” egy dolog, de a geometriában más, az életben a tárgyak ugyanazok, de a geometriában egybevágóak.
Az azonos testekre és alakokra vonatkozó megjegyzése kiváló. Ezt remekül kitaláltad. A te AA."
Ebből a levélből jól látható, hogy Alexander Danilovich milyen szenvedélyesen dolgozott a tankönyveken azokban az években. Nem ok nélkül tankönyveink egyik ismertetésében N.P. Dolbilin azt írta, hogy A.D. Alekszandrov ihletetten beszél a geometriáról.
Alekszandr Danilovics geometria iránti szenvedélye egyértelműen érezhető az általa írt első tankönyvünk előszavában és bevezetőjében.
.
Íme két bekezdés a tankönyv előszavából.
"A geometria lényege a szerves vegyületben van térbeli ábrázolások szigorú logikával, amelyben kölcsönösen behatolnak és szervezik egymást. S mivel minden létező térben van, a geometriának, mint a térbeli formák és kapcsolatok elméletének egyetemes jelentősége van.
Valódi inkarnációi vesznek körül bennünket, minden technológia alapja, mindenhol megjelenik, ahol a formák és méretek meghatározásában a legkisebb pontosság is szükséges. A geometria nem létezik ezen kapcsolatok nélkül – „önmagában” véve nem lesz az, ami valójában.
Ennek megfelelően a javasolt tankönyv első jellemzője, hogy jelentős figyelmet szentel több figyelmet mint általában, a bevezetett fogalmak és a tételek közötti kapcsolatot valós dolgokkal igazolják, a mindennapi élettől a technikáig és a fizika törvényeiig."
És itt van egy részlet a tankönyv Bevezetéséből.
„A geometria eredetisége, amely megkülönbözteti a matematika többi ágától és általában minden tudománytól, az élő képzelet és a szigorú logika elválaszthatatlan szerves kombinációjában rejlik. A geometria lényegében az térbeli képzelet, áthatja és megszervezi a szigorú
logika.
Mindenesetre hiteles geometriai mondat Legyen az axióma, tétel vagy definíció, a geometriának ez a két eleme elválaszthatatlanul jelen van:
tiszta kép és szigorú megfogalmazás, szigorú logikai következtetés. Ahol nincs e két oldal egyike sem, ott nincs valódi geometria.
A vizualizáció és a képzelet inkább a művészethez tartozik, a szigorú logika a tudomány kiváltsága. A pontos következtetés szárazsága és a vizuális kép élénksége - „a jég és a tűz nem különböznek annyira egymástól”. Tehát a geometria ötvözi ezt a két ellentétet. Így kell tanulmányozni: az élénk képzelőerőt a logikával, a vizuális képeket szigorú megfogalmazással és bizonyítékokkal ötvözni.”
Alekszej Vasziljevics Pogorelov, miután elolvasta a tankönyv Bevezetését, azt mondta: „Alexander Danilovich, tudom, hogyan tudsz írni!” De általában azt mondta: "De ez egy tankönyv." A.V. véleménye szerint. Pogorelov, a geometria tankönyvnek csak rövidnek és logikusnak kell lennie.
Alekszandr Danilovics a sztereometria első fejezeteit „szerkezeti geometriának” nevezte. Beszélnek az egyenesek és síkok egymáshoz viszonyított helyzetéről a térben, az egyenesek és síkok merőlegességének és párhuzamosságának összefüggéseiről. Ebben az esetben a párhuzamosság előtt a merőlegességet vizsgáljuk, a merőlegességi összefüggések közül pedig a legfontosabb az egyenes és a sík merőlegessége közötti kapcsolat. Alekszandr Danilovics így ír a „tiszta” geometriától a „valódi dolgok felé” a merőleges jelentéséről:
„A síkra merőleges nagyon játszik fontos szerepetés amellett, hogy a sík adott pontjától a pontokig tartó szakaszok közül a legrövidebb. Magyarázzuk tovább a jelentését. A sík térbeli helyzetét úgy adhatjuk meg, hogy megjelölünk egy rá merőleges egyenest és azt a pontot, ahol ezt az egyenest metszi.
A merőleges legfontosabb tulajdonsága, hogy a sík hozzá képest szimmetrikusan helyezkedik el. Mit jelent ez? Minden adott síkban fekvő sugár vele együtt alakul egyenlő szögek- derékszögek, de ferde szögeknél ez nem így van. Merőleges körüli forgáskor a sík magához igazodik: a kereket úgy kell felszerelni a tengelyre, hogy annak síkja merőleges legyen a tengelyre. A síkra merőleges oldallal rendelkező téglalapot az adott oldal körül el lehet forgatni, és a másik oldal a sík mentén csúszik. Ez jól látható a megfelelően felakasztott ajtón. Ha a széle nem függőleges, az ajtó nem nyílik szabadon, és hozzáér a padlóhoz.
A fizikából vett példák alapján megállapítható, hogy az edény falára ható folyadék vagy gáz nyomása a falra merőlegesen irányul, ahogyan a támasztékra ható terhelés nyomása is merőlegesen irányul rá.
A felületre merőleges a fény visszaverődésének és törésének törvényeiben jelenik meg. Így a visszaverődés törvénye kimondja: „A beeső sugár és a visszavert sugár ugyanabban a síkban helyezkedik el a tükör felületére merőlegessel a beesési pontban, és egyenlő szöget zár be vele.”
De a merőleges fő jelentése a technológiában és mindannyiunk életében betöltött szerepe. Mondhatni merőlegesek vagyunk körülvéve: az asztal lábai merőlegesek a padlóra, a szekrény széle merőleges a falra stb. A függőleges merőleges a vízszintes síkra. A merőlegesség játszik főszerep az építőiparban: a padlóközi mennyezeteket az épületváz pilléreire merőlegesen fektetik le. A síkok párhuzamossága a közös merőlegesek jelenlétével függ össze. Az egyenesek és síkok merőlegessége, párhuzamossága lényeges elem az építésben, így a merőlegesek és a párhuzamosok tanát az építési geometria alapjainak nevezhetjük.”
A geometriai mennyiségek közül a fő a távolság. Hangsúlyozzák, hogy párhuzamos figurák- ezek egymástól állandó távolságra sétáló figurák (ami a gyakorlatban beigazolódik). És itt van, hogy a távolság fogalma lehetővé tette a három merőlegesre vonatkozó tétel bizonyításának egyszerűsítését: egy síkra dőlt egyenes akkor és csak akkor merőleges egy ebben a síkban fekvő egyenesre, ha a ferde egyenes vetülete merőleges ehhez az egyeneshez.
Bizonyíték. Legyen AC egy síkra dőlve, a BC vetülete erre a síkra, valamint egy a síkban fekvő és C ponton átmenő egyenes a. A tétel két állítást tartalmaz: 1) ha AC ⊥ a, akkor BC ⊥ a; 2) ha BC ⊥ a, akkor AC ⊥ a. Bizonyítsuk be őket.
Vegyünk egy a egyenes változó X pontját, és vegyünk két AX2 és BX2 mennyiséget. Az ABX háromszög derékszögű háromszög. Ezért AX2 = AB2 + BX2.
Ez azt jelenti, hogy az AX2 és BX2 mennyiségek állandó taggal különböznek. Ezért ezek az értékek a sajátjuk legkisebb értékek egyidejűleg - ugyanabban a pontban. A tétel mindkét állítása ebből következik.
A sztereometriai kurzus korszerűbbé vált: megjelent a referenciasík fogalma, figyelembe veszik a tetszőleges alappal rendelkező kúpokat és hengereket (és nem csak a kúpokat és forgóhengereket), ennek a megközelítésnek köszönhetően a piramis sokszög alappal rendelkező kúp. , a prizma pedig egy sokszög alappal rendelkező henger, piramisok és prizmák térfogatának képletei - ezek speciális esetek általános képletek a kúpok és hengerek térfogatához. A testek térfogatára vonatkozó képletek származtatásánál a derivált fogalmát használjuk.
Amikor nyár végén felmerült a problémaanyag kérdése, bemutattam Alekszandr Danilovicsot az egyik híres leningrádi tanárnak, Valerij Ideljevics Ryzhiknek. V.I. Ryzhik a Leningrádi Állami Pedagógiai Intézet Matematikai Karán szerzett diplomát. A.I. Herzen három évvel később, mint én, majd a 239-es matematikai iskolában dolgozott. Az ismerkedés a Herzen Intézet szállodájában történt, ahol azokban az években Alekszandr Danilovics gyakran a Leningrádi Állami Pedagógiai Intézet rektora, Alexander Dmitrievich Boborykin vendégeként élt. Így állt össze szerzői csapatunk: A.D. Alexandrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhik.
Miután megismerkedett a tankönyv elméletével, és ismerte a geometriatanfolyam helyzetét azokban az években, V.I. Rizsik azt mondta Alekszandr Danilovicsnak, hogy a tanárok elfelejtették, mi a geometria – az igazi geometria, amely Alekszandrov tankönyvének lapjain fog megjelenni. Ezért írnunk kell egy cikket a geometriáról a „Mathematics at School” magazinba. Ez a „A geometriáról” című cikk, amely jelentősen befolyásolta az iskolai geometriai oktatást, az 1980-as évek közepén jelent meg, még a sztereometriai tankönyv megjelenése előtt.
A sztereometriai tankönyvvel kapcsolatos munka az 1980-as évekig tartott. Intenzív volt.
Így például Alexander Danilovich írt V.I.-nek és nekem. Novoszibirszki Ryzhik a tankönyvről augusztus 22-én és 31-én, szeptember 1-jén, 2-án, 3-án és 4-én. A tankönyvet 1980 decemberében adtuk be a Prosveshchenie kiadóhoz. Már ez év nyarán kiderült, hogy a tankönyv nyomtatási megjelenéséig várni kell a kísérlet megkezdésével még egy-két év kihagyását jelenti. Megoldást találtak abban, hogy a novoszibirszki Matematikai Intézetben Alekszandr Danilovics 1980-81-ben négy előnyomatot adott ki, amelyek a 9. osztályos tankönyv fő tartalmát fedték le. Ott is megjelentek kisebb számokban problémaanyag. Ezen előnyomatok és feladatok alapján 1980-ban többben is kísérlet indult leningrádi iskolák lelkes tanárok: Larisa Petrovna Evstafieva a 210-es iskolában, Aron Iosifovich Rzhavinsky a 159-es iskolában, Anatolij Arszenyijevics Okunev az 526-os iskolában.
Dolgoztam rajtuk a 239-es iskolában és V.I. Ryzhik és Grisha Perelman az egyik osztályában tanultak ezeknek a geometriai előnyomatoknak a segítségével. Amikor azokban az években szemrehányást tettem Ryzhiknek, amiért nehéz a feladata, azt mondta nekem: „És Grisha Perelman az osztályomban ül. Valamivel le kell foglalnom a fejét. De természetesen a V.I. Ryzhika és egyszerűek, hétköznapi diákok számára is megvalósíthatók. Mindig sok volt a feladat.
Az első két tankönyvet rövidített formában egyetlen tankönyvvé, „Geometria, 9–10” címmel egyesítették, amely 1983-ban jelent meg.

3. A.D. által épített planimetriai tanfolyam. Alekszandrov

A sztereometriai tankönyv első szakaszának befejezése után Alekszandr Danilovics számára világossá vált, hogy most meg kell írni a planimetriáról szóló kurzust, hogy megjelenjen az „Aleksandrov szerint” elemi geometria. Két évig (1981-től 1983-ig) dolgozott egy planimetriai kurzuson, amelyet előzetesen publikált. Ezek az előnyomatok képezték a Geometry 6, Geometry 7 és Geometry 8 tankönyveink alapját. Ezután a három planimetria tankönyvet egy másik, ismét átdolgozott sztereometriai tankönyv egészítette ki „Geometry, 9–10” (1987, ). Így megjelent teljes tanfolyam elemi geometria „Alekszandrov szerint” a középiskolák számára.
Alekszandr Danilovics iskolai planimetriai kurzuson dolgozott, ezzel egy időben megírta a „Geometria alapjai” című könyvet (Moszkva: „Nauka”, 1987), amely – amint e könyv bevezetőjében írta – „nem csak általánosságban szól. az alapgeometria iránt érdeklődőknek, de különösen azoknak, akik szakmailag érdeklődnek azok megértésében - jelenlegi és leendő tanároknak, egyetemi és pedagógiai intézetek hallgatóinak."
A „Geometria alapjai” a geometria gyakorlati eredetéről szóló történettel kezdődik, azokról a gyakorlati problémákról, amelyek megoldása a geometria tudományként való megjelenéséhez vezetett. Az 1. fejezet neve „A geometria gyakorlati alapjai”. Ez a gyakorlatból való kilépés vágya arra késztette Alekszandr Danilovicsot, hogy egy szakaszt válasszon fő tárgynak, és ne egy egyenest, ahogy az más iskolai geometria kurzusokon szokás. Gerenda és egyenes A.D. Aleksandrov úgy definiálja, mint egy szegmens korlátlan kiterjesztését egy vagy mindkét irányban.
Ugyanezen okból a kurzusban a párhuzamosság hagyományos axiómáját felváltja a téglalap axiómája, amely feltételezi egy olyan téglalap megszerkesztésének lehetőségét, amelynek oldalai egyenlők adott szakaszokkal (az ilyen konstrukció lehetőségét a gyakorlat naponta megerősíti). .
A fő összefüggések közé tartozik a szegmensek egyenlőségének viszonya, amely lehetővé teszi a szegmensek mérésének bevezetését. Alexander Danilovich a szegmensek egyenlőségén keresztül határozza meg a szögek egyenlőségét, valamint más figurák egyenlőségét. Például a háromszögeket egyenlőnek nevezi, ha az oldalaik egyenlőek. Így a háromszögek egyenlőségének hagyományos harmadik kritériumának nehéz bizonyítása megszűnik. És a Kr. u. axiómái Aleksandrov úgy fogalmazott, hogy a háromszögek egyenlőségének másik két kritériuma ezek egyszerű következményeivé válik. Az iskolai planimetria tanfolyam kezdeti témáinál ez nagyon fontos megkönnyebbülés. Nem hiába van egy vicc egy geometriatanárral, aki először rajzolt kettőt egyenlő háromszög, majd az egész órát annak bizonyításával töltötte, hogy egyenlőek.
Hogy Alekszandr Danilovics milyen bizonyításokat tartott különösen fontosnak az iskolai kurzusban, azt jelzi megjegyzése, amelyet a Pitagorasz-tétel híres bizonyítására hivatkozva tett:
„A Pitagorasz-tétel azért is figyelemre méltó, mert önmagában egyáltalán nem nyilvánvaló. Például ha megnézed egyenlő szárú háromszög a megrajzolt mediánnal, akkor annak minden, a róla szóló tételben jelzett tulajdonsága közvetlenül látható. De bármennyire is nézel egy derékszögű háromszöget, soha nem fogod látni, hogy ilyen egyszerű kapcsolat van az oldalai között:
a 2 + b 2 = c 2 .
Ez az, amiből a legjobb matematikai stílus áll: egy ötletes konstrukció, eszköz vagy megfontolás révén, hogy nyilvánvalóvá tegyük a nem nyilvánvalót.
A Pitagorasz-tétel - a planimetria legfontosabb tétele - Alekszandrov kurzusának korai szakaszában megjelenik, mivel ebben a kurzusban közvetlenül a háromszögekre vonatkozó első tételek után (mint Eukleidészé) ott van a sokszög alakzatok területeinek mérése. A terület fogalma lehetővé teszi a szinusz és a koszinusz helyes bevezetését, valamint a szinusztétel és a koszinusztétel bizonyítását (amelyet Alexander Danilovich nevez " általánosított tétel Pythagoras" – OTP).
Ezután hasonló háromszögeket vizsgálunk, amelyeket olyan háromszögekként határozunk meg, amelyek oldalai arányosak. A háromszögek hasonlóságára vonatkozó összes tétel a szinusztétel és az OTP egyszerű következménye lett.
Általánosságban elmondható, hogy Alekszandr Danilovics planimetriai kurzusa úgy van felépítve, hogy kevés alátámasztó tétel van benne, mint például a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel, a Pitagorasz-tétel, a szinusztétel , OTP, és az ezekből származó többi eredményt meglehetősen egyszerű következményként kapjuk. Ez lehetővé teszi az elmélet fő vonalának minimalizálását a deduktivitás megőrzése mellett.
Elemi geometria„Alekszandrov szerint” a „Geometria” című tankönyvben is bemutatja, amelyet Nyikita Jurjevics Netsvetajevvel (M.: „Nauka”, 1990.) közösen írt egyetemi és pedagógiai egyetemek számára. Így kiderült, hogy az Alekszandrov által írt iskolai tankönyveket alátámasztják a leendő tanárok számára írt könyvek.
Alexander Danilovich sokat tett az iskolai geometriai oktatásért. Az általa létrehozott elemi geometria tantárgy egyszerűbb és modernebb, mint a többi hasonló kurzus. Mély pedagógiai gondolatait nem fogadja el azonnal sok, a geometria tanításának más stílusához szokott tanár. Ám miután megértették őket, a tanárok az ő elképzeléseinek elszánt híveivé válnak. Remélem, hogy az elkövetkező években az orosz iskolák tanárainak többsége elkezdi tanítani a geometriát „Alexandrov szerint”, és a geometria ilyen tanulmányozása örömet okoz nekik és diákjaiknak. Alekszandr Danilovics pontosan ezt akarta, amikor 1979-ben iskolai geometriai tankönyveken kezdett dolgozni. És most, miután Aleksandrov tankönyvei megjelentek, aligha lehet unalmas és száraz geometriai tankönyveket írni az iskolába.

4. A Kolmogorov utáni időszak: versengés a geometria tankönyvek között

A Szovjetunió oktatási miniszterének 1982-es rendelete alapján a geometria tankönyvei A.N. Kolmogorov és Z.A. Skopetsa helyébe A. V. geometriai tankönyve került. Pogorelova. Megtörtént a „Vinogradovo-Tikhonov” forradalom (vagy ellenforradalom) az iskolai geometriában! A kanyar éles volt. Sok tanár, aki tíz évig küzdött A. N. tankönyvének elsajátításával. Kolmogorovnak újra kellett tanulnia. 1982 őszén Novoszibirszkben, ahol A. D. akkor élt. Alexandrov, volt egy évfordulós geometriai konferencia, amelyet Kr. u. 70. évfordulójának szenteltek. Alexandrova. Megérkeztek a geométerek, és jött Alekszej Vasziljevics is. Megkérték, hogy beszéljen a tanárokkal. Hallgattam Alekszej Vasziljevics beszédét. A tanárok már elkezdtek dolgozni A.V. tankönyve szerint. Pogorelov és sokat kérdezett tőle sürgető kérdések: „Miért nem hozzá tartoznak a szegmens végei?”, „Miért nem használhatunk kényelmes szimbólumokat?”, „Miért kell most ennyit írni a diákoknak?” stb. Aztán az előadás után Alekszej Vasziljevics nagyon ideges volt.
A.V. Pogorelov az „Elementary Geometry” című könyvben vázolta az iskolai geometria kurzusról alkotott véleményét. Ennek a könyvnek a tanári előszavában ezt írja:
„A tanfolyam felajánlásakor abból indultunk ki, hogy fő feladata geometria tanítása az iskolában - tanítsa meg a tanulókat logikus érvelésre, állításaik indoklására és bizonyítására. Az iskolát végzők közül nagyon kevés lesz matematikus, még kevésbé geométer. Lesznek olyanok is, akik benne vannak gyakorlati tevékenységek soha ne használja a Pitagorasz-tételt.
Nem valószínű azonban, hogy lesz legalább olyan, akinek nem kell okoskodnia, elemeznie és bizonyítania.
Az elemi geometria oktatásának egész évszázados tapasztalata Eukleidész korától kezdve a hagyományos rendszer racionalitását bizonyítja. Javulása összefügg általános fejlődésÚgy tűnik számunkra, hogy a tudománynak nem szabad megérintenie ésszerű és mélyen átgondolt alapjait. Ezért a javasolt, alapvetően hagyományos kurzus csak a tárgy szigorúbb bemutatásában és egyes részei jelentőségének némi átértékelésében tér el.
A javasolt geometria kurzus alapja egy nagyon kicsi geometriai tényrendszer, amelyet a hallgató jól ismer és rögzít általános iskola iskolák. Ez a kezdeti pozíciórendszer, amelyet később axiómáknak neveztek, ennek eredményeként elszigetelődött alapos elemzés iskolai geometria tanfolyam a hagyományos bizonyítások elemeit figyelembe véve.”

Az iskolai tankönyv előtt A.V. Pogorelov a Szovjetunió MP Tartalom- és Tanítási Módszerkutató Intézetének (C&MT) matematikai laboratóriumának segítségével véglegesítette. Viktor Vasziljevics Firsov, aki akkoriban a laboratórium vezetője volt, elmondta, milyen nehéz volt rávenniük Alekszej Vasziljevicset, hogy bármit is változtasson, tegye hozzáférhetőbbé az iskolások számára. Tankönyv A.V. Pogorelovot a Steklov Matematikai Intézet és a Szovjetunió képviselője támogatta. Ez a tankönyvi összefoglaló a reprodukciós módszerekhez készült, pl. csak a zsúfolásig. A pedagógiai egyetemek matematikusainak szövetségi találkozóján ugyanebben az időben Harkovban beszélt A.V. Pogorelov így beszélt a tankönyvéből való munkáról: „Hadd tanuljon először! Akkor meg fogja érteni!” A tankönyv mellett A.V. Pogorelov nem tudott más tankönyvet ajánlani a Szteklov Matematikai Intézetből.
Ahogy az lenni szokott, nézeteltérések támadtak a győztes forradalmárok között. Andrej Nikolaevich Tikhonov és az RSFSR képviselője szerzői csoportokat hozott létre az összes iskolai matematikai tankönyv frissítésére. Először is, a geometria a projektben, A.N. A Tyihonovot Levon Szergejevics Atanászjan és Eduard Genrihovics Poznyak írta, majd szerzői csapatukat Valentin Fedorovics Butuzov, Szergej Boriszovics Kadomcev és Irina Igorevna Judina egészítette ki.
Projekt A.N. Tikhonov élvezte az RSFSR Képviselőjének Iskolák Kutatóintézetének támogatását.
Mindig is jó kapcsolatom volt az Atanasyan-Poznyak csapattal:
megbeszéltük a terveinket és kicseréltük a megjelent tankönyveket. Eduard Genrikhovich azt mondta nekem: „Egy egyszerű geometriai tankönyvet szeretnénk írni Kiselev szellemében.” E tankönyvek első változatait erősen kritizálták (beleértve Alekszandr Danilovicsot is), de L.S. Atanasyan javította a tankönyvét, és most a tankönyvek a legnépszerűbb tankönyvek az iskolában.
Leningrádban egy széles körű kísérlet kezdődött 1981-ben, amikor megjelent első tankönyvünk, a „Sztereometria alapelvei, 9”: Leningrád egyik legnagyobb kerülete, Kalininszkij kezdte használni ezt a tankönyvet.
Ebben az időben Leningrádban a fennmaradó kerületek fele A. V. tankönyve szerint tanult. Pogorelov, a másik fele pedig L.S. tankönyve szerint. Atanasyan és kollégái. Tehát Leningrádban már akkoriban három alternatív geometriai tankönyv létezett.
A próbatankönyvek ezután megjelentek a „Matematikatanári Könyvtár” sorozatban, amely aztán minden új matematikai tankönyvet kiadott.
Abban az időben, amikor Alekszandr Danilovics a planimetria tanfolyamon dolgozott, V. I. 1982 nyarán Ryzhik intenzíven dolgozott egy sztereometriai tankönyvön a matematika elmélyült tanulmányozásával foglalkozó osztályok számára. Egy ilyen tankönyv elkészítését Margarita Romanovna Leontyeva rendelte meg, aki abban az időben a Szovjetunió parlamenti képviselőjében a természettudományi tankönyvek szektorát vezette. Tankönyvekre épült, de tartalma jelentősen bővült ezekhez a tankönyvekhez képest. A sztereometria fizika és matematika tankönyvének első kiadása. osztályok 1984-ben jelentek meg. Ennek a tankönyvnek a tartalomjegyzéke lett az ilyen osztályok miniszteri tanterve.

5. Geometria tankönyvek szövetségi versenye

A 80-as évek közepére a Szovjetunióban a fő versenytársak az iskolai geometriai tankönyvek területén már közzétették elképzeléseiket erről a problémáról, lehetőségük volt többször kiadni tankönyveiket, és hagyni, hogy a tanárok és a diákok dolgozhassanak azokon az iskolákban. Ideje versenyt rendezni ezekre a tankönyvekre. 1986-ban a Szovjetunió Oktatási Minisztériuma versenyeket hirdetett középiskolai matematika tankönyvek kiírására: 1) „Matematika, 5–6”; 2) „Algebra, 7–9”; 3) „Algebra és az elemzés kezdetei, 10–11”; 4) „Geometria, 7–9”; 5) „Geometria, 10–11.”
Alekszandr Danilovicsnak nem volt különösebb vágya a versenyen való részvételre, de mégis beleegyezett, elveszítette az enyémet és V.I. Ryzhik érvei. A verseny eredménye számunkra összességében kielégítőnek mondható. Az első két helyre A.V. tankönyve feltétel nélkül magáénak vallotta magát. Pogorelov, aki élvezte a Szovjetunió parlamenti képviselőjének, a Szovjetunió Tudományos Akadémia Matematikai Osztályának és a Szovjetunió Pedagógiai Tudományok Akadémiájának Elnökségének támogatását, valamint L.S. Atanasyan és kollégái, amelyet az RSFSR képviselője támogatott. A verseny eredményeként az L.S. Atanasyan és kollégái, valamint A.V. tankönyve. Pogorelova maradt a második. Planimetria tankönyvünk harmadik helyezést ért el (A. N. Kolmogorov, V. G. Boltyansky és mások tankönyveit megelőzve híres szerzők), a sztereometria tankönyv pedig a negyedik helyet szerezte meg, V. G. tankönyvét a harmadik helyre kihagyva. Bevz és kollégái (ami váratlan volt számunkra).
A verseny körülményei kemények voltak. A tankönyvkézirat elkészítésére egy évet szántak a kéziratot mottóval a Szovjetunió országgyűlési képviselője elé terjesztették, a versengő szerzőkre vonatkozó információkat pedig lezárt borítékban jelezték. A kéziratnak alkalmasnak kell lennie rotaprint kiadásra, kötetei feltüntetve (7-9 geometriánál 20 nyomtatott ív, geometriánál 10-11 - 16 nyomtatott ív), a tartalomnak meg kellett felelnie a miniszteri programoknak.
A Szovjetunió parlamenti képviselőjénél elfogadott kéziratokat titkosították, meglehetősen nagy példányszámban rotanyomtatták, és felülvizsgálatra küldték különböző szervezeteknek: kutatóintézeteknek, oktatási intézményekben, tanárképző intézetek, módszertanosok, tanárok. Egy évvel később a Versenybizottság több mint nyolcszáz vizsgálati jelentést kapott, ill Versenybizottság elemezni kezdte őket.
Természetesen a bírálók és a Versenybizottság tagjai számára ismeretlen szerzők is részt vettek a pályázaton, de hogy „kódok alá bújjanak”, a már jól ismert (és így egyéni) tankönyvek A.V. Pogorelova, A.N. Kolmogorov és szerzőtársai, L.S. Atanasyan és szerzőtársai, A.D. Alekszandrov és szerzőtársai lehetetlenek voltak.
Abban az évben Vilniusban tartották a Szovjetunió parlamenti képviselőjének geometriájával foglalkozó bizottság ülését. A tulajdonos a híres litván geométer, Vaclovas Iono Bliznikas professzor volt. A bizottság tagjai között volt L.S. Atanasyan és én. És nekünk V.I. Bliznikas azt mondta: „Litvánia az Atanasyané lesz. A tankönyvük jobban megfelel a litván gazdaságoknak.” Világos volt, hogy A.V. tankönyvei Pogorelova és L.S. Atanasyan és szerzőtársai túl vannak a versenyen (mind a finomítás, mind az „adminisztratív tartalék”)? és ők foglalják el az első két helyet. Érdekesség, hogy a Versenybizottság a verseny eredményhirdetésekor közölte:
„A kéziratok versenybizottsági vitája során eltérésre derült fény
tagjai véleménye szerint egy középiskolai geometria tankönyvről: megengedett szint az anyag bemutatásának szigora, hely axiomatikus módszer az iskolai tanfolyamon, nyelven és prezentáción stb. Ez a szavazáson is megmutatkozott, amikor az első és a második helyen végzett tankönyvekre leadott szavazatok száma némileg eltért” (MSh. 1988. No. 5. pp. 48–50).
A „Geometria, 7–9” pályázatra 22 kézirat, a „Geometria, 10–11” pályázatra 7 kézirat érkezett.
Mindkét versenyen ("Geometry, 7-9" és "Geometry, 10-11") az első helyezést L.S. tankönyveinek kéziratai szerezték meg. Atanasyan és kollégái. A pályázati bizottság a következő jellemzőkkel ruházta fel őket: „A kéziratokat a bemutatásuk hozzáférhetősége, az önálló tanulás tanulók által készített anyag, világos gyakorlati orientációval.”
A „Geometria, 7–9” versenyen a második helyezést az A.V. tankönyve szerezte meg. Pogorelov, valamint a „Geometria, 10–11” versenyen A.V. Pogorelova megosztott a második és harmadik helyen a kijevi szerzők kéziratával, G.P. Bevza, V.G. Bevza, N.G. Vladimirova (ezek új szerzők voltak).
A.V. tankönyveinek kéziratai A Versenybizottság így jellemezte Pogorelovot: „A tankönyvi kéziratokat az jellemzi magas szintű a bemutatás szigora elméleti anyag, a nyelv rövidsége és pontossága, axiomatikus alapon egy tanfolyam felépítése.”
A.D. „Geometry, 7–9” című tankönyvének kézirata. Alexandrova, A.L. Werner és V.I. Ryzhika a harmadik helyet szerezte meg. Ezt a kéziratot a következőképpen jellemezték: „Számos kérdés nem szokványos bemutatása, a nyelv élénksége és szórakoztatósága, valamint a gyakorlatok rendszerének a tanulók fejlesztésére való összpontosítása jellemzi.”
A felsorolt ​​tankönyvkéziratokat a Prosveshchenie kiadó ítélte oda és fogadta el kiadásra.
A „Geometria, 7–9” versenyen V.G. Boltyansky, G.D. Glazer és L.M. Pashkova, és az ötödik hely - A.N. tankönyve. Kolmogorova, A.F. Semenovich és R.S. Cserkasova.
A „Geometria, 10–11” versenyen A. D. tankönyve negyedik helyezést ért el. Alexandrova, A.L. Werner és V.I. Ryzhik és ötödik hely - V.G. tankönyve. Boltyansky, G.D. Glazer és L.M. Pashkova.
Feltételezhető, hogy a verseny a Kolmogorov-féle reformok évtizedeinek eredményeit és azok kritikáját összegezte: az oroszországi iskolai geometria visszatért a hagyományos, euklideszi útra.
Ha értékeljük ennek a versenynek az eredményeit a geometria tankönyvek között, akkor azt mondhatjuk, hogy „legitimálni” látszott az addigi tankönyvek között már kialakult helyzetet:
1) a tanárok számára a legkönnyebb volt L. S. tankönyvével dolgozni. Atanasyan és szerzőtársai, akik első helyezést értek el a versenyen, és amelyet az orosz oktatási minisztérium aktívan támogatott;
2) sok tanár alkalmazkodott már A. V. tankönyvéhez-füzetéhez. Pogorelov, amelyet 1982-ben vezettek be a Szovjetunió parlamenti képviselőjének parancsára, de a versenyen második helyezést ért el L.S. tankönyve után. Atanasyan;
3) A.D. tankönyveinek rajongói megjelentek a tanárok között. Alexandrov (aki harmadik helyezést ért el a versenyen), elsősorban a matematika elmélyült tanulmányozásával foglalkozó osztályokban dolgozó tanárok körében.

6. Sándor új generációs tankönyvei

A nyolcvanas évek közepe óta megjelentek olyan iskolák, amelyekben nemcsak a két felső tagozaton, hanem a 8. évfolyamtól kezdve az egyes tantárgyak elmélyült tanulmányozása is megkezdődött. Ezekre az órákra írtunk egy „Geometria, 8–9” tankönyvet. A „Geometry, 10–11” című tankönyvvel együtt összeállította az elemi geometria teljes tanfolyamát fizikai és matematikai osztályok számára. És most folytatódik ennek az elmélyült kurzusnak a fejlesztése: már új tankönyvek is megjelentek.
Alekszandr Danilovics „A geometriáról” című cikkében azt írta, hogy az iskolai tankönyveknek különböző összetettségű, eltérő érdeklődésű és képességű tanulók számára készült anyagokat kell tartalmazniuk, és a planimetria tantárgyat ki kell egészíteni a sztereometria elemeivel.
Ezeket a problémákat oldjuk meg tankönyveink másik ciklusában.
Ezek a tankönyvek már a kilencvenes években születtek. A geometria differenciált oktatására szolgálnak, és tartalmuk három szintre oszlik: a humanitárius (általános oktatás), az alkalmazott szintjét bővítő, valamint az elmélyülő általános műveltségi szintre - a logikai (probléma) szintre.
Köszönhetően annak, hogy Alekszandr Danilovics jelentősen leegyszerűsítette és minimálisra csökkentette az elemi planimetriát, ezek a tankönyvek meglehetősen kiterjedt sztereometrikus anyagot mutatnak be vizuális szinten, amelyet a hasonló planimetrikus anyaggal párhuzamosan mutatnak be. Így e tankönyvek ciklusa megkezdi az általános iskolai geometria tankönyvek új generációját, amelyben a planimetria szisztematikus bemutatása a vizuális szinten bemutatott sztereometria elemekkel ötvöződik. Ebben az irányban halad most a geometriai oktatás Oroszországban. A múlt század 90-es éveinek végén Alexander Danilovich egészségügyi okokból már nem dolgozott iskolai tankönyveken. Nélküle, de az ő ötletei alapján készült egy újabb tankönyvsorozat, amelyben a planimetria „Aleksandrov szerint” a sztereometria elemeinek vizuális és intuitív szintű bemutatásával párosul. Ezek a tankönyvek nyertesek lettek az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma és a Nemzeti Személyzeti Képzési Alapítvány által az új generációs tankönyvek versenyében.
Az oktatási szabványok megjelenése a 21. század elején megkövetelte Alexander tankönyveinek módosítását. Az ilyen átdolgozás után a Proszvescsenie kiadó adta ki azokat az „Akadémiai Iskolai Tankönyv” sorozatban, amelyet 2005-ben alapított az Orosz Tudományos Akadémia, az Orosz Oktatási Akadémia és a Prosveshchenie kiadó. Ezek a tankönyvek már figyelembe veszik az Sándor-tankönyveket használó tanárok harminc éves tapasztalatát, valamint a szerzők tapasztalatait.
Alexander geometria-tankönyveiben a geometria a maga teljes terjedelmében és sokoldalúságában megjelenik a hallgató előtt. Ezekből a tankönyvekből minden tanár saját pedagógiai nézeteinek megfelelően tud majd dolgozni, és minden diák megtalálja a sokrétű geometria számára közel álló aspektusokat.

IRODALOM

1. Kolmogorov A.N. Új programok és néhány alapvető kérdés a középiskolai matematika kurzus fejlesztéséhez // Matematika az iskolában. 1967. No. 2. P. 4–13.
2. Kolmogorov A.N. Új matematikai programokhoz // Matematika az iskolában. 1968. 2. szám P. 21–22.
3. Kolmogorov A.N. Az iskolai kurzus alapfogalmainak és jelöléseinek rendszeréről // Matematika az iskolában. 1971. 2. szám 17–22.
4. Kolmogorov A.N. Jegyzetek a halmaz fogalmához egy iskolai matematika tanfolyamon. // Matematika az iskolában. 1984. No. 1. P. 52–53.
5. Alexandrov A.D. A geometriáról. // Matematika az iskolában. 1980. 3. szám P. 56–62.
6. Alexandrov A.D. Mi az a poliéder? // Matematika az iskolában. 1981. No. 1. P. 8–16, No. 2. P. 19–25.
7. Alexandrov A.D. A halmaz fogalmáról a geometria tanfolyamon // Matematika az iskolában. 1984. 1. szám P. 47–52.
8. Alexandrov A.D. Mi az a vektor? // Matematika az iskolában. 1984. 5. sz. 39–45.
9. Vladimirov V.S., Pontryagin L.S., Tikhonov A.N. Az iskoláról matematika oktatás. // Matematika az iskolában. 1979. 3. szám 12–14.
10. Kolmogorov A.N., Semenovich A.F., Cherkasov R.S. Geometria, 6–8. M.: „Felvilágosodás”, 1979. 384 p.
11. Klopsky V.M., Skopets Z.A., Yagodovsky M.I. Geometria, 9–10. M.: „Felvilágosodás”, 1977. szerk. 3.
12. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. A sztereometria kezdetei, 9. M.: „Prosveshcheniye”, 1981. 224 p.
13. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. A sztereometria kezdetei, 10. M.: „Felvilágosodás”, 1982. 192 p.
14. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 9–10. M.: „Felvilágosodás”, 1983. 336 p.
15. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometry, 9–10 (2. kiadás, átdolgozott). M.: „Felvilágosodás”, 1987. 272. o.
16. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 9–10 (fizika és matematika órákra). M.: „Felvilágosodás”, 1984. 480 p.
17. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria. 6. M.: „Felvilágosodás”, 1984. 176 p.
18. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria. 7. M.: „Felvilágosodás”, 1985. 192 p.
19. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria. 8. M.: „Felvilágosodás”, 1986. 192 p.
20. Pogorelov A.V. Geometria, 6–10. M.: „Felvilágosodás”, 1982. 288 p.
21. Atanasyan L.S. és mások, Geometry, 6 (4. kiadás, átdolgozva). M.: „Felvilágosodás”, 1985. 96 p.
22. Atanasyan L.S. és mások, Geometry, 8 (harmadik kiadás, átdolgozva). M.: „Felvilágosodás”, 1987. 128 p.
23. Atanasyan L.S. és mások Geometry, 9–10 (második kiadás, átdolgozva). M.: „Felvilágosodás”, 1985. 256 p.
24. Atanasyan L.S. et al., Geometry, 7–9 (14. kiadás). M.: „Felvilágosodás”, 2004. 384 p.
25. Atanasyan L.S. és mások Geometry, 10–11 (15. kiadás, kiegészítve). M.: „Felvilágosodás”, 2006. 256 p.
26. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 7–9. M.: „Felvilágosodás”, 1992. 320 p. (2. kiadás 1995, 3. kiadás, átdolgozva 2003).
27. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 10–11. M.: „Felvilágosodás”, 1998. 272. o. (2. kiadás 2001, 4. kiadás, frissítve 2006).
28. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 8–9 (emelt évfolyamokhoz). M.: „Felvilágosodás”, 1991. 416 p. (2. kiadás, átdolgozott, 1995, 3. kiadás, 1996).
29. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometry, 10–11 (Advanced Grades, 3. kiadás, átdolgozott). M.: „Felvilágosodás”, 1992. 464 p. (4. kiadás, 1994, 5. kiadás, 1995).
30. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 7. M.: MIROS, 1994. 200 p.
31. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometry, 8. M.: MIROS, St. Petersburg: Orakul, 1997. 302 p.
32. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometry, 9. M.: MIROS, CheRo., 1998. 350 p.
33. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Geometria, 7. M.: „Felvilágosodás”, 1999. 192 p. (2. kiadás, átdolgozott, 2003, 176 o.).
34. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Geometria, 8. M.: „Felvilágosodás”, 2001.
192 p.
35. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Geometria, 9. M.: „Felvilágosodás”, 2001.
208 p.
36. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Geometry, 7. M.: „Felvilágosodás”, 2008. 176 p.
37. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I.. Geometry, 8. M.: „Felvilágosodás”, 2009. 176 p.
38. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 9. M.: „Felvilágosodás”, 2010. 176 p.
39. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 8 (a mélyreható tanulmányozáshoz). M.: „Felvilágosodás”, 2002. 240 p. (2. kiadás, átdolgozott, 2008, 272 oldal).
40. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 9 (mélyreható tanulmányozáshoz). M.: „Felvilágosodás”, 2004. 240 p.
41. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 10 (a mélyreható tanulmányozáshoz). M.: „Felvilágosodás”, 1999. 240 p. (2. kiadás, 2001; 3. kiadás, 2003; 4. kiadás, átdolgozott, 2006. 272. o.).
42. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 11 (a mélyreható tanulmányozáshoz). M.: „Felvilágosodás”, 2000. 320 p. (2. kiadás, 2001; 3. kiadás, 2006).
43. Alexandrov A.D. A geometria kezdetei // Előnyomtatás. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1981. 46 p.
44. Alexandrov A.D. Mennyiségek és számadatok // Nyomtatás előtt. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1981. 48 p.
45. Alexandrov A.D. Háromszögek // Előnyomtatás. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1982. 48 p.
46. ​​Alexandrov A.D. Hasonló háromszögek // Előnyomtatás. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1982. 42 p.
47. Alexandrov A.D. Párhuzamos egyenesek és vektorok // Előnyomtatás. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1982. 50 p.
48. Alexandrov A.D. Sokszögek és körök // Preprint. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1982. 32 p.
49. Alexandrov A.D. Vektorok és koordináták // Preprint. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1983. 48.
50. Alexandrov A.D. Kör és kör // Előnyomtatás. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1983. 12.
51. Alexandrov A.D. Leképezések // Nyomtatás előtt. Novoszibirszk: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Szibériai Fiókjának Matematikai Intézete, 1983, 44.
52. Alexandrov A.D. A geometria alapjai. M.: „Nauka”, 1987. 288 p.
53. Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Geometria. M.: „Nauka”, 1990. 672 p.
54. Pogorelov A.V. Elemi geometria. Szerk. 2. M.: „Nauka”, 1974. 208 p.

I. fejezet Vektorok és koordináták 5
1. § A vektor fogalma -
1.1. Skaláris és vektoros mennyiségek. Irányított szegmensek -
1.2. A vektorok egyirányú irányítása 8
1.3. A vektorok egyenlősége 11
1.4. A 14. vektor fogalmáról
1.5. A vektorok közötti szög 16
2. § Vektorok összeadása és kivonása 18
2.1. vektor kiegészítés -
2.2. A vektorösszeadás tulajdonságai 22
2.3. Vektorok kivonása. Ellentétes vektorok 24
3. § Egy vektor szorzata 26-tal
3.1. Egy vektor szorzata egy számmal -
3.2. A vektorok 30-as számmal való szorzásának eloszlási törvényei
4. §. Vektor algebraés vektoros módszer 32
4.1. vektoros módszer -
4.2. A vektorelmélet történetéről 36
§ 5. Koordináták -
5.1. Vektorok itt koordináta tengely -
5.2. Vektorok itt koordinátasík 38
5.3. Műveletek 44 koordináta alakú vektorokkal
5.4. Koordináta módszer. Egy kör és egy egyenes egyenlete 46
6. § Vektorok skaláris szorzása 48
6.1. koszinusz -
6.2. Pontos termék vektorok 52
Problémák az I. 55. fejezethez
fejezet II. Átváltozások 57
7. § Alapfogalmak -
7.1. Az átalakítás koncepciója -
7.2. Fontos példákátalakítások 60
7.3. Kölcsönösen inverz transzformációk 63
7.4. Transzformációk összetétele 65
8. § Mozgások 67
8.1. A mozgások meghatározása és legegyszerűbb tulajdonságai -
8.2. Az alakzatok mozgás közben megőrzött tulajdonságai (mozgásinvariánsok) 70
8.3. Párhuzamos átvitel 74
8.4. Központi szimmetria 76
8.5. Axiális szimmetria a 79-es gépen
8.6. Tükör szimmetria 81
8.7. Forgatás egy síkon 83
8.8. A síkmozgások osztályozása 87
8.9. Az alakok és a mozgás egyenlősége -
9. § Az ábrák szimmetriája 88
9.1. Az ábrák szimmetriájának általános fogalma. A figurák szimmetriájának típusai
9.2. Hordozható szimmetriájú figurák 91
9.3. Az ábrák szimmetriaelemei 92
9.4. Szabályos sokszögek szimmetriája, szabályos piramisokés 95-ös prizma
9.5. Szabályos poliéder 97
10. § Hasonlóság 99
10.1. Hasonlósági transzformáció és legegyszerűbb tulajdonságai -
10.2. Homotitás 102
10.3. Tulajdonságok hasonló figurák 107
10.4. A háromszögek hasonlóságának jelei 111
Problémák a II. fejezethez 116
fejezet III. Kör geometria 118
§ 11. Akkordok, érintők, szekánsok -
11.1. Az akkordok tulajdonságai -
11.2. Egy vonal és egy kör érintése. Egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete 121
11.3. Fokozat mértéke körívek 125
11.4. Beírt szögek mérése 127
11.5. Akkordok és szekánsok szegmenseinek szorzatai 131
11.6. Két kör egymáshoz viszonyított helyzete 135
12. § Felírt és körülírt körök 138
12.1. A sokszög köré körülírt kör az
12.2. A 141-es sokszögbe írt kör
12.3. A háromszög figyelemre méltó pontjai. Euler-kör 143
13. § A kör kerülete és területe 147
13.1. Görbe hosszának mérése. kerület -
13.2. Körív hossza 151
13.3. Egy lapos alak területének mérése. Egy kör területe 153
13.4. A szám 157
13.5. Arkhimédész 158
Feladatok a III. 160. fejezethez
162. következtetés
Tárgymutató 170
A válaszok 171
Az ajánlott irodalom jegyzéke 175