Simplex módszer lineáris programozási problémák megoldására

A szimplex módszer az elemzési módszer A grafikus módszer algoritmusát analitikusan, rajz készítése nélkül megvalósító ZLP megoldások.

A lényeg tehát az szimplex módszer megvalósítható megoldások irányított kereséséből áll, amelyben az érték célfüggvény minden lépés jobb, mint az előző. A folyamatot addig ismételjük, amíg a célfüggvény értékét tekintve optimális megoldást nem kapunk.

A szimplex módszerrel tetszőleges számú ismeretlent tartalmazó PLP-k megoldhatók.

A szimplex módszer technikai megvalósítása rendszerek megoldásához kapcsolódik lineáris egyenletek, amelyhez a Gauss-módszert alkalmazzák, táblázatos formákat és szimplex táblák konvertálására vonatkozó szabályokat dolgoztak ki.

Simplex módszer természetes alapokon akkor érvényes, ha a ZLP kanonikus jelölési formában van megadva, és a QLP-ben lévő mátrix egységnyi méretű részmátrixot tartalmaz m'm. A határozottság kedvéért tegyük fel, hogy az első m az egyenletrendszer mátrixának vektorai identitásmátrix. Majd eredeti terv van kiválasztva alábbiak szerint:

A referenciaterv optimálisságát az optimalitásjellel ellenőrizzük, az átmenetet egy másik tervre a Jordan-Gauss transzformáció segítségével végezzük a matematikai optimalitásjel segítségével. A kapott referenciaterv újraellenőrzése az optimalitás szempontjából stb.

Matematikai jellemző Az optimalitás a következő két tételből áll:

1. Ha minden vektorra A 1 , A 2 , … , A n hol teljesül a feltétel , akkor a kapott referenciaterv optimális. Összesen meghatározni Z j részt vesz m kifejezések, vagyis a célfüggvény nem minden együtthatója vesz részt benne c j, de csak az aktuális bázisvektorok számainak megfelelő számokkal A i, amelyek száma egyenlő m .

2. Ha valamelyik bázisban nem szereplő vektorra teljesül a feltétel , akkor olyan új referenciatervet kell keresnie, amelynél a CF értéke nagyobb, mint a jelenleginél. Ebben az esetben két eset lehetséges:

a) ha a vektor összes komponense A k, az alapba beírandó nem pozitív, akkor az LLP-nek nincs megoldása (nincs végső optimum);

b) ha a vektornak legalább egy pozitív komponense van A k, az alapba beírandó, akkor új referenciaterv szerezhető be.

Az optimalitási kritérium alapján egy vektort vezetünk be a bázisba A k, amely megadta a szimplex különbség minimális negatív értékét:

Annak érdekében, hogy a referenciaterv értékeinek negativitásának feltétele teljesüljön, a vektort az alapból származtatjuk. A r, ami a minimális pozitív értékelési arányt adja

Vonal A r, amelyben a régi bázisvektor található, útmutatónak, oszlopnak nevezzük A kés elem egy rk- útmutatók.

Az új szimplex táblázatban a segédvonal elemeit a következő képletekkel számítjuk ki:

és bármely más elem én sor - a képleteknek megfelelően:

Az új referenciaterv értékeit hasonló képletekkel számítják ki:

,

A folyamat addig folytatódik, amíg meg nem születik az optimális terv, vagy amíg a TF korlátlan. Ha a különbségek között Δj, j=1, 2, …, n az optimális tervből csak a bázisvektoroknak megfelelő különbségek nullák, ez jelzi az optimális terv egyediségét. Ha nulla értékelés a bázisban nem szereplő vektornak felel meg, akkor in általános eset ez azt jelenti, hogy nem az optimális terv az egyetlen.

Példa. Oldja meg a ZLP-t a következő modell segítségével:

lelet ,

korlátozások alatt

Ez a ZLP lényege kanonikus forma további változók bevezetésével x 3És x 4:

A KZLP rendelkezik szükséges mennyiség(két) nulla oszlop at x 3És x 4, azaz nyilvánvaló kezdeti referenciaterve van (0,0,300,150).

A megoldás természetes alapon szimplex módszerrel történik, szimplex táblázatokba formázott számításokkal:

Szimplex táblaszám	Alap	j-vel	j-vel					K
B	A 1	A 2	A 3	A 4
	←A 3
A 4
Δ	-		-2	-3			-
én	→A 2			1/3		1/3
←A 4			2/3		-1/3
Δ	-		-1				-
II	A 2					1/2	-1/2	-
→A 1					-1/2	3/2	-
Δ	-				1/2	3/2	-

Foglalkozzunk részletesebben a szimplex táblák kitöltésével és ennek megfelelően a KZLP megoldás megszerzésével.

A felső sorba általános táblázat együtthatók hozzáadva c j , j=1, 2, 3, 4 változókkal a CF-ben. A nulla szimplex tábla első két sora oszlopvektorokat tartalmaz B, A 1, A 2, A 3, A 4, amely megfelel a KZLP rekord vektorformájának. Mivel a kezdeti bázis egy vektorpár A 3, A 4, a nulla szimplex tábla „Alap” oszlopában szerepelnek. Egy időben, A 3 szerepel az első sorban, amelyet a vektor első elemének számító egység és a vektor határoz meg A 4- a második sorba, ennél a vektornál az egység a második sorban van. A „ c i” bevezetik a bázisvektoroknak megfelelő célfüggvény együtthatóit A 3, A 4, vagyis c 3, c 4. Mindkettő egyenlő nullával. Ezután kiszámítjuk a vektorok Δ különbségeinek értékeit B, A 1, A 2, A 3, A 4és a nulladik táblázat harmadik sorába kerülnek. A vektorhoz A 1:

vektorhoz:

Hasonlóképpen,.

A vektorhoz B a különbség kiszámítása némileg leegyszerűsödik, mivel nincs megfelelő együttható c j , j=1, 2, 3, 4 CF-ben:

Nem minden vektorhoz A 1 , A 2 , A 3 , A 4 a kapott különbségek nem negatívak, így az általunk választott referenciaterv nem optimális. Új referenciatervet kell keresnünk, ehhez pedig ki kell cserélni a bázisban szereplő vektorok egyikét A 3, A 4.

A megadandó vektor meghatározásához meg kell keresnünk azt a vektort, amelynél a különbség értéke minimális. Ez a vektor A 2, annak felel meg minimális érték különbség: -3. Azaz az index k a (8.4) képletből egyenlő 2-vel. A vektor meghatározásához, amelyet a bázisból kell származtatnunk, kiszámítjuk az értékeket K minden sorhoz a (8.5) képlet szerint, és írja be azokat az utolsó oszlopba. IN ebben az esetben minden sorban szükségünk van a vektorelem értékére B osztjuk a vektorelem nagyságával A 2. Az első sorban 300/3=100, a másodikban: 150/1=150 kapunk. Az első sorban az arány kisebb volt, a bázisvektor megfelelt neki A 3, ezért az index r a (8.5) képletben egyenlő 1-gyel, egy rk=3 (a táblázatban kerettel kiemelve), és a vektort a bázisból származtatjuk A 3(nyíl jelzi a táblázatban).

Mivel a vektor elemei között A 2, amit be kell írni az alapba, vannak pozitívak, akkor lehet kapni egy új referenciatervet és folytatni kell a megoldást.

Ezt követően a második szimplex tábla kitöltésre kerül. A vektorelemek újraszámítása B, A 1, A 2, A 3, A 4(8.6)-(8.8) képleteket használjuk. Kissé eltérnek a vezérvonal elemeinek (esetünkben az első) és más vonalak elemeinek meghatározásában. Írjuk fel több elem számítását:

Az első szimplex tábla többi elemét ugyanúgy számítjuk ki, mint a nulla táblánál. Mivel az első szimplex táblában nem minden eltérés nem negatív, szükségessé válik a számítások folytatása.

Mint látjuk, a számítások eredményeként a második szimplex tábla bázisvektorokkal A 2, A 1 minden eltérés nem negatívnak bizonyult, ami az optimális terv elérését jelenti (75; 75; 0; 0). Egy vektor szimplex különbsége IN egyenlő a kívánt maximális CF értékkel - 375.

Tétel (a szimplex algoritmus végességéről).Ha van egy optimális megoldás a ZLP-re, akkor van egy alapvető optimális megoldás is. Ez utóbbit mindig szimplex módszerrel lehet beszerezni, és bármilyen kezdeti alapról indulhat.

A statisztikában az átlagérték általános mutatója egy halmaz homogén társadalmi ill természeti jelenség, amely egy népességegységenkénti változó jellemző tipikus szintjét mutatja egy adott időpontban.

Az átlag megtalálása az egyik általános általánosítási technika. Az átlagérték azt tükrözi, ami a vizsgált sokaság összes egységére jellemző (tipikus), ugyanakkor figyelmen kívül hagyja az egyes egységek közötti különbségeket. Már mondtuk, hogy a megfigyelések számának korlátlan növekedésével (n -» oo) az átlagérték a törvény szerint nagy számok, korlátlanul megközelíti a matematikai elvárását, azaz amikor n - > oo leírható X ~ M[X], Itt X- átlagos érték. Vagyis az átlagérték becslés matematikai elvárás.

Tegyünk egy kis kitérőt és adjunk rövid tájékoztatás n kísérlet eredményeként kapott paraméterbecsléseken. Tegyük fel, hogy n kísérlet eredménye alapján meg kell határoznunk egy bizonyos d paramétert. Ennek a paraméternek a hozzávetőleges értékét becslésnek nevezzük és jelöljük d. Egy d becslésnek számos követelménynek kell megfelelnie ahhoz, hogy bármilyen értelemben „jó” becslés legyen.

Fokozat d a kísérletek számának növekedésével valószínűségében konvergálnia kell a kívánt paraméterhez, pl.

Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező becslést konzisztensnek nevezzük.

Sőt, a becslés segítségével d maga a d paraméter helyett célszerű nem követni szisztematikus hibát, azaz a becslés matematikai elvárása megegyezzen magával a paraméterrel:

Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező becslést elfogulatlannak nevezzük.

Jó lenne, ha a kiválasztott elfogulatlan becslés d a lehető legvéletlenszerűbb volt, azaz minimális eltérést mutatott a többihez képest:

Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező becslést hatékonynak nevezzük.

IN valós körülmények A fenti követelmények nem mindig teljesíthetők. Mindazonáltal, amikor bármely paraméterre becslést választunk, ajánlatos ezt a becslést a felsorolt ​​szempontok mindegyikéből figyelembe venni.

Térjünk vissza az átlagokhoz. Ha nagyszámú megfigyelésre számoljuk őket, a véletlenszerűség kioltódik (ez a nagy számok törvényéből következik), ezért elvonatkoztathatunk a vizsgált jelenség lényegtelen jellemzőitől, ill. mennyiségi értékek jelentkezzen be minden egyes kísérletbe.

A. Quetelet nagyban hozzájárult az átlagok elméletének igazolásához és fejlesztéséhez. Tanítása szerint a tömeges folyamatok két okcsoport hatására alakulnak ki. A tömegaggregátum összes egységére jellemző okok első csoportjába azok tartoznak, amelyek meghatározzák az állapotot tömeges folyamat. Tipikus szintet alkotnak egy adott homogén populáció egységei számára.

Kialakul az okok második csoportja sajátos jellemzők a tömegpopuláció egyes egységei, és ebből következően azok elterjedése a tipikus szintről.

Ezek az okok nem kapcsolódnak a vizsgált jelenség természetéhez, ezért véletlen okoknak nevezzük őket.

A teljes sokaságból kapott átlagot teljesnek, az egyes csoportokra számított átlagot csoportátlagnak nevezzük. Kétféle átlag létezik: teljesítményátlagok (számtani átlag stb.), strukturális átlagok (módus, medián).

Mérlegeljük teljesítmény átlagok. A teljesítményátlagokat a képlet alapján határozzuk meg

Ahol X- átlagérték;

X (- a vizsgált jellemző aktuális értéke;

T- átlagos fokmérő;

n - funkciók száma (opció).

A mutatótól függően T megkapjuk az átlagos diplomát a következő típusok teljesítmény átlagok:

• - harmonikus átlag x gar, Ha T = -1;
• - geometriai átlag es geom, Ha T = 0;
• - számtani átlag x ar, Ha T = 1;
• - átlagos négyzet x quad, Ha t = 2;
• - köb átlag x köbméter, Ha t = 3,
• - IT. d.

Ugyanazon adatok használata esetén annál több T a (6.4) képletben minél nagyobb az átlagérték, azaz.

Konkrét képleteket mutatunk be bizonyos típusú teljesítményátlagok kiszámításához.

at T= -1 megkapjuk a harmonikus átlagot:

Ha a forrásadatokat csoportosítják, akkor súlyozott átlagokat használnak. Súlyként a p gyakoriság (azon kísérletek száma, amelyekben a számunkra érdekes esemény megjelent) vagy a relatív gyakoriság használható

Írjuk fel a súlyozott harmonikus átlag képleteit:

at T= 0 kapjuk a geometriai átlagot:

vagyis bizonytalanságot kaptak.

Kibontásához vegyük a (6.4.) képlet mindkét oldalának logaritmusát.

akkor helyettesítjük T= 0 és azt kapjuk

azaz alaki bizonytalanságunk van. Ennek a bizonytalanságnak a feltárására alkalmazzuk a L'Hopital-szabályt. A kapott eredmény felerősödik, és végül megkapjuk

A geometriai átlagot széles körben használják a dinamikai sorozatok és az eloszlási sorozatok átlagos változási sebességének meghatározására.

Írjuk fel a súlyozott geometriai átlag képleteit.

Adjunk konkrét példa a súlyozott geometriai átlag megtalálása a (6.11) képlet segítségével.

6.1. példa

A kezdeti megfigyelési adatokat a táblázat tartalmazza. 6.1.

6.1. táblázat

táblázatban 6.1 X.- az eredményeket, amelyeket valamilyen X valószínűségi változó fogad el gm tapasztalat; r. - eseménygyakoriság - megmutatja, hogy a számunkra érdekes esemény hányszor jelent meg az összes kísérlet eredményeként. Például, X= 2 5 alkalommal jelent meg 24 kísérletben.

Egy esemény relatív gyakorisága (gyakoriság).

A (6.11) képlet segítségével megkapjuk:

A (6.12) képlet szerint megvan

at t = 1 megkapjuk a számtani átlagot:

Az aritmetikai átlag a legelosztottabb típus az összes hatványközép között. Olyan esetekben használják, amikor egy változó jellemző térfogata a teljes populációra az egyes egységek jellemzői értékeinek összege.

Íme a képletek a súlyozott számtani átlag megtalálásához:

Nagyszámú megfigyelés esetén a nagy számok törvénye szerint a (6.15) képlet határozza meg a matematikai elvárás becslését, azaz.

at t = 2 megkapjuk az átlagos négyzetet:

A négyzetegységben kifejezett átlagos terepméret kiszámítására szolgál.

A súlyozott átlagos négyzet meghatározására szolgáló képletek a következők:

Ha ga = 3, megkapjuk a köbös átlagot:

Egy jellemző átlagos méretének meghatározására szolgál, köbegységben kifejezve.

A súlyozott köbös átlag kiszámítására szolgáló képletek a következők:

Most fontoljuk meg szerkezeti átlagok: mód és medián. A statisztikában a valószínűségszámítással ellentétben ezeknek a mennyiségeknek a becsléseivel foglalkozunk. Ugyanazokkal a betűkkel fogjuk jelölni őket, mint a 2. fejezetben, de hullámvonallal.

Mode instatisztika (Mo) - jelentése valószínűségi változó, amely ben fordul elő statisztikai sorozat eloszlása ​​leggyakrabban, azaz a legmagasabb gyakorisággal vagy relatív gyakorisággal (frekvenciával) rendelkezik.

Például a táblázatban. 6.1 a legmagasabb relatív frekvencia / = 0,33, tehát a mód egyenlő Mo = 5-tel.

Ha van egy csoportosított eloszlássorozatunk egyenlő intervallumokkal, akkor a módus a képlet segítségével kereshető meg

ahol M o alsó - alsó határ modális intervallum;

g Mo - a modális intervallum hossza;

Pmo - modális intervallum gyakorisága;

M-mo_, - a modálist megelőző intervallum gyakorisága;

M-mo +1 -- a modált követő intervallum gyakorisága.

Ne feledje, hogy a relatív gyakoriságok is használhatók a számításokhoz.

A medián a statisztikában egy olyan opció, amely az eloszlás rangsorolt ​​sorozatának közepén helyezkedik el, azaz a medián értéke a sorszáma alapján helyezkedik el.

Ha az elosztási sorozat rendelkezik páratlan szám elemek, a mediánszámot a képlet szerint találjuk meg

Például a táblázatban. A 6.2. táblázat a Felsőmatematika Tanszék oktatóinak fizetését mutatja.

6.2. táblázat

A sorozat elemeinek száma 5, ezért a (6.23) képlet segítségével megtaláljuk a medián számát, tehát a réz

ana ebben az esetben egyenlő

Ha egy sor páros számú elemet tartalmaz, akkor az opció a sor közepén található két opció átlagaként jelenik meg.

Csoportos eloszlási sorozatban a medián (mivel a teljes sokaságot két egyenlő részre osztja) az egyik intervallumban található.

A kumulatív (halmozott) gyakoriság (vagy relatív gyakoriság) egyenlő vagy nagyobb, mint a sorozat összes frekvenciája összegének a fele (a relatív gyakoriságok egyenlő 1/2 vagy nagyobb, mint 1/2).

Ebben az esetben a medián értéket a képlet segítségével számítjuk ki

ahol a medián intervallum alsó határa;

A medián intervallum hossza;

A frekvenciák fele összege;

A medián intervallum kezdete előtt felhalmozott gyakoriságok összege;

Medián intervallum gyakoriság.

A variáció egy jellemző értékeinek különbsége egy adott populáció különböző egységei között ugyanabban az időszakban vagy időpontban.

Például egy vállalat alkalmazottai különböznek a jövedelem, a munkával töltött idő, a magasság, a súly, a kedvenc tevékenység tekintetében szabadidő stb.

A variáció abból adódik, hogy egy jellemző egyedi értékei különböző tényezők (feltételek) együttes hatására alakulnak ki, amelyek minden egyes esetben eltérően kombinálódnak. Így az egyes lehetőségek nagysága objektív.

A statisztika variációinak tanulmányozása nagy érték, segít megérteni a vizsgált jelenség lényegét. Különösen fontos a többszerkezetes gazdaság kialakulása során. A változatosság mérése, okának feltárása, az egyes tényezők hatásának feltárása ad fontos információkat(például az emberek várható élettartamáról, a lakosság bevételeiről és kiadásairól, pénzügyi helyzetét vállalkozások stb.), hogy tudományosan megalapozott gazdálkodási döntéseket hozzanak.

Az átlagérték általános jellemzőt ad a vizsgált populáció jellemzőire, de nem árulja el a sokaság szerkezetét, ami annak ismerete szempontjából nagyon fontos. Az átlag nem mutatja meg, hogy az átlagolt jellemző változatai hogyan helyezkednek el körülötte, hogy az átlag közelében koncentrálódnak-e, vagy jelentősen eltérnek attól. Egy jellemző átlagos értéke két populációban azonos lehet, de az egyik esetben minden egyedi érték alig tér el tőle, a másikban pedig nagyok ezek a különbségek, pl. az egyik esetben egy tulajdonság variációja kicsi, a másikban pedig nagy, ennek van egy nagyon fontos a megbízhatóság jellemzésére átlagos méret.

Minél jobban különböznek egymástól az aggregátum egyes egységeinek változatai, annál jobban eltérnek az átlaguktól, és fordítva, minél kevésbé térnek el egymástól a változatok, annál kevésbé térnek el az átlagtól, ami ebben az esetben inkább reálisan reprezentálja a teljes aggregátumot. Éppen ezért bizonyos esetekben lehetetlen egy átlag kiszámítására korlátozódni. Szükségünk van más mutatókra is, amelyek az egyes értékeknek az összátlagtól való eltérését jellemzik.

Ezt ezzel a példával meg lehet mutatni. Tegyük fel, hogy ugyanazt a munkát két, egyenként három fős csapat végzi. Legyen az egyes dolgozók által műszakonként legyártott alkatrészek darabszáma:

az első brigádban - 95, 100, 105 (= 100 egység);

a második brigádban - 75, 100, 125 (= 100 egység).

Az egy dolgozóra jutó átlagos kibocsátás mindkét brigádban azonos és = 100 egység, azonban az egyes dolgozók kibocsátásának ingadozása az első brigádban jóval kisebb, mint a másodikban.

Ezért szükség van egy tulajdonság variációjának mérésére a populációkban. Ebből a célból a statisztika számos általános mutatót használ.

• Ш A változási mutatók a következőket tartalmazzák: változási tartomány, átlagos lineáris eltérés, diszperzió és átlag szórás, variációs együttható.
• Ш Egy tulajdonság variációjának legalapvetőbb mutatója az R variáció tartománya, amely a tulajdonság maximális és minimális értéke közötti különbség:

Példánkban az alkatrészek műszakos gyártásának variációs tartománya: az első csapatban - R1 = 10 db. (azaz 105-95); a második brigádban - R2= 50 db. (azaz 125 - 75), ami 5-ször több.

Ez azt jelzi, hogy számszerű egyenlőség mellett az első brigád átlagos teljesítménye „stabilabb”. A variáció mértéke alapul szolgálhat a termelésnövekedés lehetséges tartalékainak kiszámításához. A második brigádnak több ilyen tartaléka van, hiszen ha minden dolgozó eléri a maximális alkatrészgyártást ennél a brigádnál, akkor 375 darabot tud legyártani, pl. (3x125), és az elsőben - csak 315 darab, azaz. (3 x 105).

A variációs tartomány azonban csak a tulajdonság szélsőséges eltéréseit mutatja, és nem tükrözi a sorozat összes változatának eltéréseit. A variáció tanulmányozása során nem korlátozódhatunk csak a hatókör meghatározására. A variációk elemzéséhez olyan mutatóra van szükség, amely tükrözi a változó jellemző összes ingadozását és általános jellemzőt ad. Ennek a típusnak a legegyszerűbb mutatója az átlagos lineáris eltérés

Ш Az átlagos lineáris eltérés d a számtani átlag abszolút értékeket az egyes opciók eltérései a számtani átlaguktól (mindig azt feltételezzük, hogy az átlagot kivonjuk az opcióból: ().

Átlagos lineáris eltérés:

Csoportosítatlan adatokhoz

ahol n a sorozat tagjainak száma;

Csoportosított adatokhoz

ahol a variációs sorozat frekvenciáinak összege.

Az (5.18) és (5.19) képletekben a számláló különbségeit modulo-ra vesszük (egyébként mindig nulla lesz a számlálóban - algebrai összeg opciók eltérései a számtani átlaguktól). Ezért az átlagos lineáris eltérést, mint egy jellemző változásának mértékét, ritkán használják a statisztikai gyakorlatban (csak olyan esetekben, amikor a mutatók előjelek figyelembevétele nélküli összegzése közgazdaságilag értelmes). Segítségével például a dolgozók összetételét, a termelés ritmusát, a külkereskedelmi forgalmat elemzik.

Egy jellemző szórása az opciók átlagos értékétől való eltéréseinek átlagos négyzete, amelyet az egyszerű és súlyozott szórások képletével számítunk ki (a forrásadatoktól függően):

§ egyszerű szórás csoportosítatlan adatokhoz

§ súlyozott variancia a variációs sorozatokhoz

Az (5.21) képletet akkor alkalmazzuk, ha az opcióknak saját súlyuk van (vagy a variációs sorozatok gyakorisága).

A diszperziószámítási képlet (5.20) ennek figyelembevételével átalakítható

azok. a szórás egyenlő az opciók négyzeteinek átlaga és az átlaguk négyzete közötti különbséggel.

A diszperzió kiszámításának technikája az (5.20), (5.21) képletekkel meglehetősen bonyolult, és amikor nagy értékek az opciók és a frekvenciák elsöprőek lehetnek.

A számítás leegyszerűsíthető a diszperzió tulajdonságaival (bebizonyítva matematikai statisztika). Íme kettő közülük:

először - ha az attribútum összes értéke azonos mértékben csökken vagy nő állandó értékÉs akkor a szóródás ettől nem fog változni;

másodszor, ha az attribútum összes értékét ugyanannyiszor (i-szer) csökkentjük vagy növeljük, akkor a szórás ennek megfelelően i2-szeresére csökken vagy nő. A diszperzió második tulajdonságát felhasználva, az összes lehetőséget elosztva az intervallum értékével, a következő képletet kapjuk a diszperzió kiszámításához egyenlő időközökkel, a momentumok módszerével:

ahol a nyomatékok módszerével számított diszperzió;

i - intervallumérték;

az opciók új (transzformált) értékei (A egy feltételes nulla, amelyhez kényelmes az intervallum közepét használni a legmagasabb gyakorisággal);

Másodrendű pillanat;

Elsőrendű pillanat négyzetre emelve.

A diszperzió kiszámítása az (5.23) képlettel kevésbé munkaigényes.

Fontos a diszperzió gazdasági elemzés. A matematikai statisztikában fontos szerepet minőségi jellemzők miatt statisztikai becslések szóródásuk szerepet játszik. Az alábbiakban bemutatjuk a variancia megfelelő elemekre való felbomlását, lehetővé téve a hatás értékelését. különféle tényezők, ami a tulajdonság variációját okozza; variancia felhasználásával zsúfoltsági mutatók felépítésére korrelációs kapcsolat a mintamegfigyelések eredményeinek értékelésekor.

• Ш A szórás egyenlő a variancia négyzetgyökével:
  • § szerinti csoportosítás nélküli adatokra

§-a variációs sorozatokhoz

A szórás az aggregátumban lévő jellemző változásának nagyságának általános jellemzője; megmutatja, hogy az egyes opciók átlagosan mennyivel térnek el átlagos értéküktől; egy jellemző variabilitásának abszolút mértéke, és a változatokkal azonos egységekben fejeződik ki, ezért közgazdaságilag jól értelmezhető.

Jelöljük: 1 - a minket érdeklő jellemző meglétét; 0 -- hiánya; p - az ezzel a jellemzővel rendelkező egységek aránya; q -- azon egységek aránya, amelyek nem rendelkeznek ezzel a jellemzővel; p + q = 1. Számítsuk ki az átlagértéket alternatív jelés szórása. Az alternatív attribútum átlagos értéke

variáció középérték másodfokú

mivel p + q = 1.

Alternatív tulajdonságvariancia

Behelyettesítve q = 1-р-t a diszperziós képletbe, azt kapjuk

Így = pq -- egy alternatív jellemző szórása egyenlő a jellemzővel rendelkező egységek arányának az ezzel a jellemzővel nem rendelkező egységek arányának szorzatával.

Például, ha egy kerületben 10 000 emberre 4500 férfi és 5500 nő jut, akkor

Az alternatív karakterisztika szórása = pq = 0,45*0,55 = 0,2475.

Az alternatív karakterisztika szórásának határértéke 0,25. Ezt p = 0,5-nél kapjuk.

Egy alternatív jellemző szórása

Ha például az összes alkatrész 2%-a hibás (p = 0,02), akkor 98%-a megfelelő (q = 0,98), akkor a hibás rész diszperziója

0,02- 0,98 = 0,0196.

A hibaarány szórása a következő lesz:

0,14, azaz = 14%.

Az intervallum-eloszlási sorozatok átlagértékeinek és diszperzióinak kiszámításakor az attribútum valódi értékeit az intervallumok középső (középső) értékeivel helyettesítjük, amelyek eltérnek a táblázatban szereplő értékek számtani átlagától. intervallum. Ez szisztematikus hibához vezet a variancia kiszámításában. W.F. Sheppard megállapította, hogy a csoportosított adatok felhasználása által okozott diszperzió számításánál az intervallum négyzetének 1/12-e (azaz i2/12) mind az alulbecslés, mind a szórási érték túlbecslése irányában.

A Sheppard-korrekciót akkor kell alkalmazni, ha az eloszlás közeli a normálhoz, egy folytonos ingadozású karakterisztikára vonatkozik, a szerint van megszerkesztve. nagy számban eredeti adatok (n>500). Abból a tényből kiindulva azonban, hogy bizonyos esetekben mindkét hiba, fellépés ellentétes irányokba, semlegesítik és kompenzálják egymást, néha megtagadhatja a módosítások bevezetését.

Hogyan kisebb érték variancia és szórása, minél homogénebb (mennyiségileg) a sokaság és annál jellemzőbb lesz az átlagérték.

A statisztikai gyakorlatban gyakran van szükség a különböző jellemzők variációinak összehasonlítására. Például nagy érdeklődésre tart számot a munkavállalók életkorának és képzettségüknek, szolgálati idejüknek és méretüknek az összehasonlítása bérek, költség és nyereség, szolgálati idő és munkatermelékenység stb. Az ilyen összehasonlításokhoz a jellemzők abszolút változékonyságának mutatói nem alkalmasak: nem lehet összehasonlítani a munkatapasztalat években kifejezett változékonyságát a rubelben kifejezett bérek változásával.

Az ilyen jellegű összehasonlítások elvégzéséhez, valamint ugyanazon jellemző variabilitásának összehasonlításához több populációban, eltérő számtani átlaggal, egy relatív variációs mutatót használnak - a variációs együtthatót.

A variációs együttható a szórás és a számtani átlag százalékos aránya:

A variációs együtthatót nemcsak a populációs egységek változásának összehasonlító értékelésére használják, hanem a sokaság homogenitásának jellemzőjeként is. A sokaságot akkor tekintjük mennyiségileg homogénnek, ha a variációs együttható nem haladja meg a 33%-ot.

Mutassuk meg a számítást különféle módokon variációs mutatók a csapatmunkások műszakos termelési adatainak példáján keresztül intervallum sorozat eloszlása ​​(5.7. táblázat).

Számítsuk ki az átlagos műszakteljesítményt, db:

Számítsuk ki a kimenet szórását az (5.21) szerint:

Nézzük meg a szórást, db:

Határozzuk meg a variációs együtthatót, %:

Így ez a dolgozói csapat a termelésben meglehetősen homogén, hiszen a tulajdonság eltérése mindössze 8%.

Most számítsuk ki a diszperziót az (5.22) képlet segítségével, és a momentumok módszerével az (5.23) képlet segítségével a táblázat adatait használjuk. 5.7, 8-11. oszlop.

Varianciaszámítás az (5.20) képlet segítségével:

A diszperzió kiszámítása a nyomatékok módszerével, lásd az (5.21) képletet:

ahol A = 50 a legmagasabb frekvenciájú központi opció;

i = 20 -- a sorozat intervallumának értéke;

5.7. táblázat

A munkavállalók megoszlása ​​az A termék műszakban történő gyártása között és a variációs mutatók kiszámításához szükséges számított értékek

Munkacsoportok műszakos termékek gyártásához, db.	Dolgozók száma	Középpont x	Számított értékek

Mint látható, a legkevésbé munkaigényes módszer a diszperzió kiszámítása a momentumok módszerével.

Az adatok elemzésekor statisztikai megfigyelés Gyakran szükség van a vizsgált folyamatok és jelenségek általános leírására. A statisztikai elemzés egyik legfontosabb általános jellemzője az átlagos érték. Átlagos összegben visszafizetik egyéni különbségek a populáció véletlenszerű tényezők hatására meghatározott egységei, amelyek a teljes populáció egészére jellemző általános és természeti jellemzőket fejezik ki.

Átlagos érték– egy homogén populáció egységére jutó jelenség tipikus szintjét jellemző általános mutató. Az akciót átlagértékekben fejezzük ki általános feltételek, a vizsgált jelenség mintázata. Az átlagok módszere az egyik legfontosabb statisztikai módszer. Az átlagérték helyes tudományos használatának fő feltétele ben statisztikai elemzés annak a sokaságnak a minőségi homogenitása, amelyből az átlagot számítják. Ezért az átlagértékek kiszámítása előtt a sokaság minden egységét homogén csoportokra osztják, amelyekből az átlagokat számítják. Ha nem tesz ilyen felosztást, akkor olyan eredményt kaphat, amely teljesen helytelenül jellemzi a megfigyelt populációt. Az átlagok módszere elválaszthatatlan a csoportosítási módszertől, hiszen a csoportosítások biztosítják a vizsgált statisztikai sokaság minőségi homogenitását.

Az átlagértékeket széles körben használják a társadalmi-jogi folyamatok tanulmányozásában, amelyek tükrözik az állam, a szervek és intézmények tevékenységének eredményeit, állami struktúrák(például a bûnözés volumenének vagy felderítési arányának átlagos növekedési üteme és növekedése, a prevenciós rendszer szerkezetének változása stb.).

A statisztikai elemzésben használt átlagértékek két csoportra oszthatók: hatalomátlagos és szerkezetiátlagos.

A teljesítmény átlagát a következő képlet határozza meg:

Ahol X– az átlagolt jellemző egyedi értékei;

n– lakossági egységek száma

z – átlag foka.

Amikor behelyettesítjük a képletbe különböző jelentések z kiszámításához kifejezéseket kapunk különféle típusok teljesítmény átlagok:

z = 1-nél – számtani átlag;

z = 0-nál – mértani átlag;

at z = -1 – harmonikus átlag;

z = 2-nél – négyzetes átlag.

A teljesítményátlag leggyakoribb típusa az számtani átlag. Olyan esetekben használják, amikor az átlagolt jellemző térfogatát a vizsgált populáció egyes egységeire vonatkozó értékeinek összegeként képezik.

A forrásadatok jellegétől függően a számtani átlagot kétféleképpen határozzuk meg.

Tegyük fel, hogy a bűncselekmények száma 10 települések régió egy bizonyos időszakra: 6000, 5900, 5700, 5600,5400, 5300, 4900, 4500, 3600, 3100. Ki kell számítani a régióban elkövetett bűncselekmények átlagos számát. Meghatározásához minden településre összesíteni kell a bűncselekmények számát, és az így kapott összeget el kell osztani a régió településeinek számával.

A régióban a bűncselekmények átlagos száma 5000 volt ebben a példában a képlet az úgynevezett egyszerű számtani átlag. Egyszerűnek nevezik, mert úgy számítják ki, hogy egyszerűen összeadják egy jellemző egyedi értékét, és elosztják a kapott összeget a populáció térfogatával. Ezt a képletet olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a forrásadatok nincsenek csoportosítva (nem valamilyen jellemző szerint csoportosítva) és a sokaság minden egysége a jellemző egy bizonyos értékének felel meg, vagy ha minden gyakoriság (gyakoriság) egyenlő egymással. .

Ha egyéni értékek a jellemzők nem egyszer, hanem többször és egyenlőtlenül fordulnak elő, akkor az átlagértéket a képlet segítségével számítjuk ki súlyozott számtani átlag:

A súlyozott átlag kiszámításához tegye a következőket: szekvenciális műveletek: minden opciót megszorozunk a megfelelő gyakorisággal, összeadjuk a kapott szorzatokat, és elosztjuk a kapott összeget a gyakoriságok összegével. Nézzünk egy példát a súlyozott számtani átlag használatára.

4.1. példa.

15 polgári ügyekre szakosodott városi bírósági bíró éves leterheltsége különféle irányokba, összege: 17;42;47;47;50;50;50;63;68;68;75;78;80;80;85. Számítsa ki az egy bíróra jutó átlagos éves munkaterhelést.

Megoldás.

Ebben a példában azzal foglalkozunk diszkrét sorozat, és a sorozat egyes változatai többször is megismétlődnek, például 47; 50 stb. Ezért szükséges a súlyozott átlag képlet alkalmazása a számtani átlag kiszámításához. Mutassuk be a sorozatot táblázat formájában.

4.1. táblázat

Helyettesítsük be a képletbe az opciók súlyozott értékeinek (a polgári ügyek száma) és a megfelelő gyakoriságoknak (bírák száma) számtani átlagát.

Ebből következően 15 városi bírósági bíró éves átlagos munkateherje 60 ügy.

Az átlagértékek kiszámítását gyakran intervallum eloszlási sorozatok formájában csoportosított adatok felhasználásával kell elvégezni, amikor egy jellemző értékeit intervallumok formájában mutatják be. Az átlag meghatározásához intervallum sorozat, át kell lépni egy intervallum sorozatról egy diszkrétre úgy, hogy az attribútumértékek intervallumait a felezőpontjaikra cseréljük. Zárt intervallumban (amelyben mindkét határérték fel van tüntetve - alsó és felső) a középső értéket a felső és alsó határértékek összegének feleként határozzuk meg. Néha nyitott intervallumokkal kell foglalkoznia (amelyekben csak egy határ van - felső vagy alsó). Ebben az esetben feltételezzük, hogy ennek az intervallumnak a szélessége (az intervallum határai közötti távolság) megegyezik a szomszédos intervallum szélességével. Az intervallumsorozatról a diszkrét sorozatra való áttérés után az átlagot a súlyozott számtani átlag képlettel számítjuk ki.

Nézzünk egy példát egy intervallumsorozat számtani átlagának kiszámítására.

4.2. példa.

A büntetőügyek kerületi bíróság általi elbírálásának időkeretét az alábbiak jellemzik:

legfeljebb 3 nap – 360 eset;

3-5 nap – 190 eset;

5-10 nap – 70 eset;

10-20 nap – 170 eset.

Határozza meg az eset átlagos mérlegelésének idejét.

Megoldás.

Írjuk be a statisztikai adatokat a 4.2. táblázatba. Ehhez intervallum sorozat formájában mutatjuk be őket. Ebben az esetben az első intervallum nyitva lesz - legfeljebb 3 napig, nincs alsó határa. Ezért ennek az intervallumnak a közepének megtalálásakor annak értékét kell venni egyenlő az értékkel ezt követő intervallum: 3-5 év. Így a legfeljebb 3 éves nyitott intervallum hasonló lesz az 1-3 éves zárt intervallumhoz, a közepe pedig 2 év. A súlyozott átlag kiszámításának megkönnyítése érdekében javasoljuk az előzetes számítások beírását a táblázatba, ez az opciók és a gyakoriságok szorzata - az utolsó oszlop.

2. táblázat

Most a képlet segítségével számítsuk ki a súlyozott számtani átlagot:

napokon

Mint fentebb megjegyeztük, a statisztikai elemzésben használt átlagok második csoportja az szerkezeti átlagok. Egy populáció szerkezetének jellemzésére szolgálnak. A strukturális átlagok között olyan mutatók szerepelnek, mint pl divatÉs középső.

Divat(Mo) az eredeti sokaságban leggyakrabban előforduló attribútum (változat) értéke.

IN diszkrét a variációsorozatban a Mo a legmagasabb frekvenciájú változat. Nézzük meg a mód meghatározásának eljárását egy példa segítségével:

4.3. példa.

500 csoportos bûncselekmény bûnügyének vizsgálatakor a csoport létszáma alapján a következõ nagyságrendeket állapítottuk meg - 4.3. táblázat.

4.3. táblázat

Megoldás.

A modális érték ebben a példában egy 4 főből álló bűnözői csoport lesz (Mo = 4), mivel ez az érték a diszkrét eloszlási sorozatban megfelel legnagyobb szám büntetőügyek – 250 (ez a lehetőség a legmagasabb gyakorisággal).

Az üzemmód meghatározásához intervallum Az eloszlási sorozatban először meg kell találni a modális intervallumot (az az intervallum, amelyhez a maximális frekvencia felel meg), majd a módus kiszámítása a következő képlettel történik:

Ahol x 0– a modális intervallum alsó határa;

h– a modális intervallum szélessége;

f Mo– a modális intervallum gyakorisága;

f Mo -1– a modálist megelőző intervallum gyakorisága;

f Mo +1– a modálist követő intervallum gyakorisága.

4.4. példa.

A nyomozás időtartama szerint az év során 105 büntetőeljárást osztottunk meg egy adott típusú bűncselekmény miatt - 4.4. táblázat. Találd meg a divatot.

4.4. táblázat

Megoldás.

A legmagasabb gyakoriság ebben az esetben 50 (eset), ezért a modális intervallum 3-4 hónap lesz.

Használjuk a képletet a módusz megkeresésére egy intervallum sorozatban és helyettesítsük szükséges értékeket:

Ebből következően a bűncselekmények kivizsgálásának legáltalánosabb időtartama évente 3,5 hónap volt.

Középső- ez az attribútum értéke, elfoglalva központi hely rangsorolt ​​populációban, ahol a populáció első felének a jellemző értéke kisebb a mediánnál, a második felének pedig a mediánnál nagyobb a jellemző értéke.

A medián meghatározásához egy diszkrét variációs sorozatban a következőkre van szükség:

1) Számítsa ki a felhalmozott frekvenciákat!

2) Határozza meg sorozatszámát mediánok a következő képlet alapján:

3) A felhalmozott gyakoriságok felhasználásával keresse meg annak az attribútumnak az értékét, amellyel a talált sorszámú populációs egység rendelkezik.

4.5. példa.

A büntetőügyek feldolgozási idő szerinti megoszlását a 4.5. táblázat mutatja be. Számítsa ki az esetek mérlegeléséhez szükséges idő medián értékét!

4.5. táblázat

Megoldás.

Először ki kell számítania a felhalmozott frekvenciákat – 4.5. táblázat, 3. oszlop. Megtaláljuk, hogy a felhalmozott gyakoriság értéke egyenlő vagy először haladja meg a 200-as értéket: . Ez az érték 260-as halmozott gyakoriságnak felel meg, ezért a találkozási dátumok sorozatának mediánja 4 napos periódus (Me = 4).

Annak érdekében, hogy megtalálja középső az intervallum eloszlás sorozatban szükséges:

1) Számítsa ki a felhalmozott frekvenciákat;

2) Határozza meg a medián sorszámát ugyanazzal a képlettel, mint egy diszkrét variációs sorozatnál;

3) A felhalmozott gyakoriságok felhasználásával keressük meg azt az intervallumot, amely a szükséges populációs egységet tartalmazza (medián intervallum);

4) Számítsa ki a mediánt a képlet segítségével:

Ahol x 0– a medián intervallum alsó határa;

h– a medián intervallum szélessége;

f M e– a medián intervallum gyakorisága;

– a mediánt megelőző intervallum kumulált gyakorisága;

4.6. példa

A medián intervallumsorozatban való megtalálásának szemléltetésére vegyük a 4.4. példa feltételét.

Megoldás.

Először ki kell számítania a felhalmozott frekvenciákat. Használjuk az előző példákhoz hasonlóan táblázatos formában rekordok - 4.6. táblázat.

4.6. táblázat

Ezután megtaláljuk a medián sorszámát:

Az első halmozott gyakoriság, amely egyenlő vagy nagyobb a sorozat gyakoriságainak felével (a medián sorszáma) 85 (lásd a 4.6. táblázatot). Ezért a medián intervallum ebben az esetben „3-4 hónap”.

Használjuk a képletet egy intervallumsorozat mediánjának megkeresésére:

A medián vizsgálati idő 3,35 hónap, i.e. a bûnügyek elsõ felében kevesebb mint 3,35 hónap alatt, az ügyek második felében - több mint 3,35 hónap alatt - nyomoztak.

Az átlagérték a változó jellemző általános jellemzőjét adja meg. Ez azonban számos esetben nem elegendő, és olyan eltéréseket (oszcillációkat) kell vizsgálni, amelyek az átlagértékben nem jelennek meg.

Egy adott jellemző statisztikai megfigyelésének eredményeinek tanulmányozásakor a sokaság meghatározott egységeiben szinte mindig meg lehet állapítani a köztük lévő különbséget.

Folyamatban van statisztikai kutatás Egyik vagy másik mennyiségi jellemzőtől az egyes megfigyelési egységek egy homogén populáción belül is jelentősen eltérhetnek egymástól. A statisztikában a vizsgált populáción belül egy jellemző egyéni értékeiben megfigyelt különbségeket általában nevezik egy tulajdonság variációja .

Két vagy több populáció átlagértékei megegyezhetnek, de a vizsgált populációk szignifikánsan eltérnek a variáció mértékében, pl. az egyik populációban az egyes opciók távol eshetnek az átlagos értéktől, míg egy másikban inkább az átlag körül helyezkednek el. Abban az esetben, ha egy jellemző értékei nagy ingadozást mutatnak, általában több olyan körülményről beszélhetünk, amely a vizsgált populációt érintette.

Ha a megfigyelt statisztikai sokaság egyes változatai nincsenek messze az átlagtól, akkor azt mondhatjuk, hogy ez az átlagérték teljesen tükrözi a vizsgált sokaságot, ugyanakkor maga az átlagérték nem mond semmit lehetséges variáció a vizsgált jellemző.

A vizsgált sokaság jellemzőinek eloszlásában előforduló lehetséges véletlenszerű eltérések természetének és mértékének vizsgálata a statisztika egyik kulcseleme.

A változatosság szinte minden természetes és társadalmi jelenségekés folyamatok, beleértve a jogi területet is.

Egy tulajdonság variációjának mérésére a következő mutatókat használjuk a variáció nagyságára összesen:

§ variációs tartomány,

§ átlagos lineáris eltérés,

§ szórás (átlag az eltérés négyzete),

§ szórás,

§ variációs együttható.

Variációs tartomány a variáció legegyszerűbb mértéke, és egy jellemző maximális és minimális értéke közötti különbséget jelenti az aggregátumban:

Ahol R– variációs tartomány;

x max– az attribútum maximális értéke;

x min– az attribútum minimális értéke.

A variációs tartomány csak a szélsőséges eltéréseket veszi figyelembe, és nem tükrözi az összesítésben szereplő összes opció változékonyságát.

Az eltérések eloszlásának általánosított karakterisztikájának meghatározásához számoljon átlagos lineáris eltérés, amely figyelembe veszi a sokaság összes egységének különbségét. Ez a mutató egy jellemző egyedi értékeinek a számtani átlagtól való eltérésének számtani átlaga, anélkül, hogy figyelembe venné ezen eltérések előjelét.

ahol az átlagos lineáris eltérés;

x i– a jellemző egyedi értékei;

– a jellemző átlagos értéke;

n– a lakosság mennyisége.

Ez a képlet képviseli egyszerű átlagos lineáris eltérés. Súlyozott átlagos lineáris eltérés a következőképpen van meghatározva:

Ahol f i– az ismétlések gyakorisága.

Az átlagos lineáris eltérést, mint a tulajdonságok változásának mértékét a statisztikai elemzésben meglehetősen ritkán alkalmazzák, mivel ez a mutató a legtöbb esetben nem tükrözi a tulajdonság szórásának mértékét.

Az átlagos lineáris eltérés hiányosságainak kiküszöbölésére egy olyan mutatót számítanak ki, amely a legobjektívebben tükrözi a változás mértékét - diszperzió(átlagos négyzetes eltérések). Ezt az eltérések négyzetes átlagaként határozzuk meg.

- egyszerű szórás

- súlyozott szórás

Az átlagtól való eltérések konstruálásakor számtani érték Négyzetre vetve a pozitív és negatív eltérések ugyanazt a pozitív előjelet kapják. Ezenkívül az átlagos értéktől való nagy eltérések négyzetre vetve nagyobb „ fajsúly", ami nagyobb hatással van a variációs index értékére. A variáció számtani átlagtól való eltéréseinek négyzetre emelésével azonban magát a variációs mutatót mesterségesen növeljük. Ennek a hátránynak a kiküszöbölése érdekében kiszámítjuk szórás, amelyet kinyeréssel számítanak ki négyzetgyök az átlagos négyzetes eltéréstől (varianciától).

A diszperzió és a szórás általánosan elfogadott mérőszámok egy tulajdonság variációjára.

Az adott variációs mutatókat nevesített számokkal fejezzük ki, azok mértékegységei megegyeznek a vizsgált jellemzővel, azaz. adjon ötletet abszolút érték a tulajdonság variációi.

A heterogén, jellegükben és méretükben eltérő jellemzők variabilitásának összehasonlítására egy relatív variációs mutatót használnak, amely ún. variációs együttható.

A variációs együttható lehetővé teszi ugyanazon jellemző variációjának összehasonlítását különböző statisztikai sokaságokban, valamint azonos vagy különböző statisztikai sokaságok heterogén jellemzőit.

Ahol V– variációs együttható;

– szórás;

– átlagos számtani érték jel

A sokaság homogenitását a variációs együttható nagysága alapján ítéljük meg. Ha értéke nem haladja meg a 33%-ot, akkor a populáció homogénnek minősül.

Tekintsük a változási mutatók kiszámításának eljárását a következő példa segítségével.

4.7. példa.

Elérhető adatok középfokú minősítésÁllam- és Jogtudományi Kar egyik csoportjának hallgatói.

5 5 4 4 5 5 5 2 4 4 3 5 4 4 3 5 5 5 3 2 4 3 4 5 4 5 3 5 2 2 4 5 3 3 5

Határozza meg a variációs tartományt, az átlagos lineáris eltérést, a szórást, a szórást, a variációs együtthatót! vonjon le következtetéseket.

Megoldás.

Készítsünk táblázatot a közbenső számításokhoz - 47. táblázat.

4.7. táblázat

Pontok, x i	Frekvencia, f i	x i f i	x i -	|x i - | f i	(x i - ) 2	(x i - ) 2 f i
			-2
			-1
Teljes:

1) Keressük meg GPA a súlyozott számtani átlag képlet segítségével:

pontokat

2) A variációs tartomány egyenlő egy ponttal

3) Keressük az átlagos lineáris eltérést a súlyozott lineáris eltérés képletével pontokat

4) A szórást ebben az esetben is megtaláljuk a súlyozott szórásképlet segítségével

5) Szórás

6) Variációs együttható

Következtetés: a variációs együttható kisebb, mint 33%, ezért ezt a készletet homogén.

Ebben az esetben egy példát vettünk figyelembe egy diszkrét sorozat variációs mutatóinak kiszámítására. Egy intervallum sorozat esetén a változási mutatók kiszámításának eljárása hasonló, és x i az intervallumok közepének felel meg.

Biztonsági kérdések

1. Az átlag fogalma a statisztikában.

2. Átlagok típusai. Rövid leírásuk.

3. Számtani közép. A típusai.

4. A számtani közép tulajdonságai.

5. Strukturális átlagok.

6. A módusz és medián fogalma.

7. Módus és medián meghatározása diszkrét eloszlási sorozatban.

8. Az intervallum eloszlási sorozat módusának és mediánjának meghatározása.

9. Grafikus módszer szerkezeti átlagok meghatározása.

10. Egy jellemző variációjának fogalma.

11. Abszolút mutatók egy tulajdonság variációi az aggregátumban.

12. Variációs együttható, szerepe a statisztikai elemzésben.

Feladatok

1. probléma. A különböző típusú polgári ügyekre szakosodott 20 városi bírósági bíró éves munkaterhelése: 17;42;47;47;50;50;50;63;68;68;75;78;80;80;85;72;81 ;45;55;60. Számítsa ki az egy bíróra jutó átlagos éves munkaterhelést.

2. probléma. A bűncselekményt elkövetők korösszetételét a következő adatok jellemzik: 14-15 éves korban - 69,2 ezer fő; 16-17 évesek – 138,9; 18-24 évesek – 363,3; 25-29 évesek – 231,0; 30 éves és idősebb – 791,6 ezer ember középkorú bűnözők.

3. probléma. A régió településein a bűnözés helyzetét az alábbi adatok jellemzik:

Határozza meg az elkövetett bűncselekmények számának módját és mediánját! .

4. probléma. Vannak adatok a mások tulajdonának eltulajdonítása következtében elkövetett bűncselekményekből származó átlagos kár összegére vonatkozóan:

Határozza meg az átlagos sebzés módját és mediánját.

5. probléma. A belügyi szervek két osztályának nyomozóinak munkatermelékenységét a következő adatok jellemzik:

Számítsa ki az 1. és 2. osztály kutatóinak munkatermelékenységének változási mutatóit, és vonjon le következtetéseket a számítási eredmények alapján!

6. probléma. A bűncselekmények számának alanyaik életkor szerinti megoszlására vonatkozó adatok felhasználásával határozzák meg az átlagos lineáris eltérést, szórást, szórást és variációs együtthatót. vonjon le következtetéseket.

1. STATISZTIKAI MÓDSZEREK A SZOCIÁLIS ÉS JOGI JELENSÉGEK VISZONYÁNAK ELEMZÉSÉRE

Az egyik fő feladat, amellyel minden jogász és jogtudós szembesül, a társadalmi-jogi jelenségeket vagy folyamatokat tükröző változók közötti kapcsolat felmérése. Például a fiatalok bűnözésének problémáját gyakran a munkanélküliség szintjével összefüggésben veszik figyelembe. A szociális védelmi intézmények hatástalansága összefügg a migrációs áramlásokkal, és több embernek a területre való belépésének (kilépésének) következménye, stb.

Nyilvánvalóan a kapott eredmények pontossága attól függ, hogy mennyire vesszük figyelembe az összes lehetséges változó kapcsolatát a konstrukció során. statisztikai modell a vizsgált társadalmi-jogi folyamat vagy jelenség.

A statisztikákban az összefüggéseket szorosság, irány, forma és tényezők száma szerint osztályozzuk.

Által szűkös körülmények megkülönböztetni funkcionálisÉs statisztikai kommunikáció.

at funkcionális az egyik változó értékének változásával összefüggésben, a második szigorúan meghatározott módon változik, pl. Egy tényező (független) jellemző minden értéke az eredő (függő) jellemző egy, szigorúan meghatározott értékének felel meg. A valóságban a funkcionális kapcsolatok nem léteznek, ezek csak a jelenségek elemzésében hasznos absztrakciók.

Olyan összefüggést nevezünk, amelyben egy tényezőjellemző minden értéke nem egy, hanem a kapott jellemző több értékének felel meg statisztikai(sztochasztikus).

Által irány kapcsolatok vannak osztva egyenes ( pozitív ) És fordított(negatív). at közvetlenösszefüggésben a faktorkarakterisztika változási iránya egybeesik az eredő jellemző változási irányával. at fordított A faktor értékeinek változási irányai és az eredő jellemzők közötti összefüggések ellentétesek.

Által elemző forma megkülönböztetni lineárisÉs nemlineáris kommunikáció. Lineáris a kapcsolatok közvetlenül grafikusan jelennek meg, nemlineáris- parabola, hiperbola, exponenciális függvény stb.

Az effektív tulajdonságra ható tényezők számától függően vannak páros(egytényezős) és több-(multifaktoriális) kapcsolatok. Páronkénti kapcsolat esetén a kapott jellemző értékeit egy tényező, többszörös kapcsolat esetén több tényező hatása határozza meg.

A statisztikai összefüggések tanulmányozására a módszerek egész sorát alkalmazzák: korrelációs elemzés, regressziós elemzés, diszkriminancia analízis, klaszterelemzés, faktoranalízis, stb. Maradjunk még a korrelációs és regressziós elemzésnél.

Korreláció-regresszió elemzés mint általános koncepció lehetővé teszi a következő problémák megoldását:

§ két (vagy több) változó közötti kapcsolat szorosságának mérése;

§ a kommunikáció irányának meghatározása;

§ létesítése elemző kifejezés a jelenségek közötti kapcsolatok (formái);

§ a kapcsolat szorosságának mutatóiban és a regressziós egyenletek paramétereiben előforduló lehetséges hibák meghatározása.

Statisztikai módszerek különféle általánosítások, jelezve a közvetlen ill visszacsatolás jellemzők között, nem adnak fogalmat az összefüggések mértékéről, annak mennyiségi kifejezéséről. Ezt a problémát korrelációs elemzéssel oldják meg, amely lehetővé teszi a kapcsolat jellegének megállapítását és mennyiségi mérését.

Az eredő és a faktorjellemzők közötti kapcsolat szorosságának mérésére a legszélesebb körben használják lineáris együtthatóösszefüggések, amelyet K. Pearson vezetett be. Elméletileg a képletek különféle módosításait fejlesztették ki a korrelációs együttható kiszámítására.

ahol a faktor és az eredő attribútum szorzatának számtani átlaga;

a tényezőjellemző számtani átlaga;

Az eredő előjel számtani átlaga;

A tényezőjellemző szórása;

Az eredményül kapott jellemző szórása;

n– a megfigyelések száma.

A lineáris korrelációs együttható – 1 és 1 közötti értékeket vesz fel. Minél közelebb van az abszolút értéke 1-hez, annál szorosabb kapcsolat. Jele a kapcsolat irányát jelzi: a „–” jel a visszacsatolásnak, a „+” jel a közvetlennek. A jellemzők közötti kapcsolat szorosságának fokát a korrelációs együttható függvényében az 5.1. táblázat tartalmazza.

5.1. táblázat

A korrelációs együttható jelentőségének felmérésére használjuk t-Diák t teszt. Ehhez meg kell határozni a kritérium számított (tényleges) értékét:

Hol van a lineáris pár korrelációs együtthatója;

n– a lakosság mennyisége.

Becsült érték t-kritériumot összehasonlítjuk a kritikus (táblázatos) kritériummal, amelyet a Student értékek táblázatából (1. melléklet) választunk ki a megadott szignifikanciaszinttől és a szabadságfokok számától függően k = n – 2.

Ha , akkor a korrelációs együttható értéke szignifikánsnak tekinthető.

Nézzük meg a lineáris korrelációs együttható számítását egy példa segítségével.

5.1. példa.

A rendelkezésre álló 11 adatpárból az elítéltek adataival: szolgálati idő / gyártott termékek száma az 5.2. táblázatban, számítsa ki a lineáris korrelációs együtthatót, vonjon le következtetéseket:

Regressziós elemzés lehetővé teszi olyan analitikus kapcsolat létrehozását, amelyben az eredményül kapott jellemző átlagértékének változása egy vagy több független mennyiségekés sok más tényező, amely szintén befolyásolja a teljesítményt

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete