A ka numra kompleksë në provim. Mundësia e përdorimit të numrave kompleksë në kursin e matematikës së një shkolle të arsimit të përgjithshëm

• Ne do të bazojmë në lidhje, dhe jo në formula mekanike.
• Konsideroni numrat kompleks si një shtesë në sistemin tonë të numrave, të njëjtë me numrat zero, thyesorë ose negativë.
• I vizualizojmë idetë në grafikë për të kuptuar më mirë thelbin, dhe jo vetëm t'i deklarojmë ato në tekst të thatë.

Dhe tonën armë sekrete: studim me analogji. Ne do të arrijmë numra komplekse, duke filluar nga paraardhësit e tyre, numra negativë. Këtu është një udhëzues i vogël për ju:

Deri më tani, kjo tabelë ka pak kuptim, por le të jetë afër. Deri në fund të artikullit, gjithçka do të bjerë në vend.

Le të kuptojmë vërtet se çfarë janë numrat negativë

Numrat negativë nuk janë aq të thjeshtë. Imagjinoni që jeni një matematikan evropian në shekullin e 18-të. Ju keni 3 dhe 4 dhe mund të shkruani 4 - 3 = 1. Është e thjeshtë.

Por sa do të jetë 3 - 4? Çfarë do të thotë saktësisht kjo? Si mund të zbresësh 4 lopë nga 3? Si mund të kesh më pak se asgjë?

Numrat negativë shiheshin si absurditet të plotë, diçka që "hedhi një hije mbi të gjithë teorinë e ekuacioneve" (Francis Maceres, 1759). Sot do të ishte e pakuptimtë të mendosh për numrat negativë si diçka të palogjikshme dhe të padobishme. Pyesni mësuesin tuaj nëse numrat negativ thyejnë matematikën bazë.

Cfare ndodhi? Ne shpikëm një numër teorik që kishte veti të dobishme. Numrat negativë nuk mund të preken ose ndjehen, por ato përshkruajnë mirë disa marrëdhënie (si borxhi, për shembull). Kjo është një ide shumë e dobishme.

Në vend që të them "Të kam borxh 30" dhe të lexoj fjalët për të parë nëse jam pozitiv apo negativ, mund të shkruaj vetëm "-30" dhe të di se çfarë do të thotë kjo. Nëse fitoj para dhe shlyej borxhet e mia (-30 + 100 = 70), mund ta regjistroj lehtësisht këtë transaksion në disa karaktere. Do të më mbesin +70.

Shenjat plus dhe minus rregullojnë automatikisht drejtimin - nuk ju nevojitet një fjali e tërë për të përshkruar ndryshimet pas çdo transaksioni. Matematika është bërë më e thjeshtë, më elegante. Nuk ka më rëndësi nëse numrat negativë janë "të prekshëm" - ata kanë veçoritë e dobishme, dhe i përdorëm derisa hynë fort në jetën tonë të përditshme. Nëse dikush nga të njohurit tuaj nuk e ka kuptuar ende thelbin e numrave negativë, tani ju do ta ndihmoni atë.

Por le të mos e nënvlerësojmë vuajtjen njerëzore: numrat negativë ishin një ndryshim i vërtetë në vetëdije. Edhe Euler, gjeniu që zbuloi numrin e dhe shumë më tepër, nuk i kuptonte numrat negativë si ne sot. Ato shiheshin si rezultate "të pakuptimta" të llogaritjeve.

Është e çuditshme të kërkosh nga fëmijët që ata të kuptojnë me qetësi ide që dikur ngatërronin edhe matematikanët më të mirë.

Futja e numrave imagjinarë

E njëjta histori me numrat imagjinarë. Ne mund të zgjidhim ekuacione të tilla gjatë gjithë ditës:

Përgjigjet janë 3 dhe -3. Por imagjinoni që një djalë i zgjuar t'i atribuojë një minus këtu:

Mirë mirë. Një pyetje e tillë i bën njerëzit të mërziten herën e parë që e shohin. Dëshironi të llogaritni rrënjën katrore të një numri më të vogël se zero? Kjo është e paimagjinueshme! (Historikisht ka ekzistuar vërtet pyetje të ngjashme, por është më e përshtatshme për mua të imagjinoj një lloj djaloshi të zgjuar pa fytyrë, në mënyrë që të mos i shtyjë shkencëtarët e së kaluarës në bojë).

Duket e çmendur, ashtu si dhe numrat negativë, zero dhe numrat irracionalë(numra që nuk përsëriten). Nuk ka asnjë kuptim "të vërtetë" për këtë pyetje, apo jo?

Jo nuk është e vërtetë. Të ashtuquajturit "numra imagjinarë" janë po aq normalë sa të gjithë të tjerët (ose po aq jonormalë): ata janë një mjet për të përshkruar botën. Në të njëjtën mënyrë siç imagjinojmë se -1, 0.3 dhe 0 "ekzistojnë", le të supozojmë se ka një numër i, ku:

Me fjalë të tjera, ju e shumëzoni i me vetveten për të marrë -1. Çfarë po ndodh tani?

Epo, në fillim sigurisht që kemi një dhimbje koke. Por duke luajtur lojën "Të pretendojmë se ekzistoj" ne vërtet po e bëjmë matematikën më të lehtë dhe më elegante. Ka lidhje të reja që mund t'i përshkruajmë lehtësisht.

Ju nuk do të besoni në i, ashtu si ata matematikanët e vjetër të mërzitur nuk besuan në ekzistencën e -1. Të gjitha konceptet e reja që e kthejnë trurin në një tub janë të vështira për t'u perceptuar dhe kuptimi i tyre nuk shfaqet menjëherë, madje edhe për të shkëlqyerin Euler. Por, siç na kanë treguar numrat negativë, idetë e reja të çuditshme mund të jenë jashtëzakonisht të dobishme.

Nuk më pëlqen vetë termi "numra imagjinarë" - duket sikur është zgjedhur me qëllim për të ofenduar ndjenjat e i. Numri i është po aq normal sa të tjerët, por pseudonimi “imagjinar” i ka mbetur, ndaj do ta përdorim edhe ne.

Kuptimi vizual i numrave negativë dhe kompleksë

Ekuacioni x^2 = 9 në fakt do të thotë sa vijon:

Cili transformim i x, i aplikuar dy herë, e kthen 1 në 9?

Janë dy përgjigje: "x=3" dhe "x=-3". Kjo do të thotë, ju mund të "shkallëzoni 3 herë" ose "shkallëzoni 3 herë dhe rrokullisni" (rrotulloni ose merrni rezultat i kundërt- të gjitha këto janë interpretime të shumëzimit me një njësi negative).

Tani le të mendojmë për ekuacionin x^2 = -1, i cili mund të shkruhet kështu:

Cili transformim i x, i aplikuar dy herë, e kthen 1 në -1? Hm.

• Nuk mund të dyfishohemi numër pozitiv sepse rezultati do të jetë pozitiv.
• Ne nuk mund ta shumëzojmë një numër negativ dy herë, sepse rezultati do të jetë përsëri pozitiv.

Po... rrotullimet! Tingëllon e çuditshme, sigurisht, por çfarë nëse mendojmë për x si një "rrotullim 90 gradë", atëherë aplikimi i x dy herë do të bëjë një rrotullim 180 gradë nga boshti koordinativ, dhe 1 do të kthehet në -1!

Blimey! Dhe nëse e mendojmë pak më shumë, atëherë mund të bëjmë dy revolucione drejtim i kundërt, dhe gjithashtu shkoni nga 1 në -1. Ky është një rrotullim "negativ" ose shumëzim me -i:

Nëse shumëzojmë me -i dy herë, atëherë shumëzimin e parë marrim -i nga 1, dhe të dytin -1 nga -i. Pra, në fakt janë dy rrenja katrore-1: i dhe -i.

Është shumë e lezetshme! Ne kemi diçka si një zgjidhje, por çfarë do të thotë?

• i është "dimensioni i ri imagjinar" për të matur numrin
• i (ose -i) është ajo që numrat "bëhen" kur rrotullohen
• Shumëzimi me i është një rrotullim 90 gradë në të kundërt të akrepave të orës
• Shumëzimi me -i është një rrotullim 90 gradë në drejtim të akrepave të orës.
• Një rrotullim i dyfishtë në secilin drejtim jep -1: na kthen në dimensionin "normal" të numrave pozitivë dhe negativë (boshti x).

Të gjithë numrat janë 2-dimensionale. Po, është e vështirë të pranohet, por romakët e lashtë do të kishin qenë po aq të vështirë për t'u pranuar. dhjetore ose ndarje në një kolonë. (Si ndodh që ka ende numra midis 1 dhe 2?). Duket e çuditshme si kushdo rruge e re mendoni në matematikë.

Ne pyetëm "Si ta kthejmë 1 në -1 në dy hapa?" dhe gjeti përgjigjen: rrotullohu 1 90 gradë dy herë. Një mënyrë mjaft e çuditshme, e re e të menduarit në matematikë. Por shumë e dobishme. (Meqë ra fjala, ky interpretim gjeometrik i numrave kompleks nuk u shfaq deri në dekada pas zbulimit të vetë i.)

Gjithashtu, mos harroni se duke marrë një kthesë në të kundërt të akrepave të orës për rezultat pozitiv- kjo është një konventë thjesht njerëzore, dhe gjithçka mund të jetë krejtësisht ndryshe.

Vendosni kërkimin

Le të zhytemi pak në detaje. Kur shumëzoni numra negativë (si -1), ju merrni një grup:

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Meqenëse -1 nuk ndryshon madhësinë e numrit, por vetëm shenjën, ju merrni të njëjtin numër ose me një shenjë "+", ose me një shenjë "-". Për numrin x, ju merrni:

• x, -x, x, -x, x, -x…

Ky është një mendim shumë i dobishëm. Numri "x" mund të përfaqësojë javë të mira dhe të këqija. Le ta imagjinojmë atë javë të mbarë zëvendëson të keqen; është një javë e mirë; cila do të jetë java e 47-të?

X do të thotë që java do të jetë e keqe. Shihni se si numrat negativë "ndjekin shenjën" - ne thjesht mund të shkruajmë (-1)^47 në kalkulator në vend që të numërojmë ("Java 1 është e mirë, java 2 është e keqe...java 3 është e mirë..."). Gjërat që janë vazhdimisht të alternuara mund të modelohen në mënyrë të përsosur duke përdorur numra negativë.

Mirë, atëherë çfarë ndodh nëse vazhdojmë të shumëzojmë me i?

Shumë qesharake, le ta thjeshtojmë pak:

Këtu është e njëjta gjë e përfaqësuar grafikisht:

Ne e përsërisim ciklin çdo kthesë të 4-të. Sigurisht që ka kuptim, apo jo? Çdo fëmijë do t'ju thotë se 4 kthesat majtas janë si të mos ktheheni fare. Tani bëni një pushim nga numrat imagjinarë (i, i^2) dhe shikoni grupin total:

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Pikërisht se si modelojnë numrat negativë pasqyrim pasqyre numrat, numrat imagjinarë mund të simulojnë çdo gjë që rrotullohet midis dy dimensioneve "X" dhe "Y". Apo ndonjë gjë me një varësi rrethore, rrethore - ndonjë gjë në mendje?

Kuptimi i numrave kompleks

Ekziston edhe një detaj tjetër për t'u marrë parasysh: a mund të jetë një numër edhe "real" dhe "imagjinar"?

As mos hezitoni. Kush tha që duhet të kthehemi saktësisht 90 gradë? Nëse vendosim njërën këmbë në dimensionin "real", dhe tjetrën në "imagjinare", do të duket diçka si kjo:

Jemi në 45 gradë, ku pjesët reale dhe imagjinare janë të njëjta, dhe vetë numri është "1 + i". Është si një hot dog, ku ka edhe ketchup dhe mustardë – kush tha që duhet të zgjidhni njërën prej tyre?

Në fakt, ne mund të zgjedhim çdo kombinim të pjesëve reale dhe imagjinare dhe të bëjmë një trekëndësh nga e gjithë kjo. Këndi bëhet "këndi i rrotullimit". Një numër kompleks është një emër i zbukuruar për numrat që kanë pjesë reale dhe imagjinare. Ato shkruhen si "a + bi", ku:

• a - pjesë reale
• b - pjesa imagjinare

Jo keq. Por një pyetje e fundit mbetet: sa "i madh" është një numër kompleks? Nuk mund ta masim veçmas pjesën reale apo imagjinaren, sepse do të na mungojë pamja e madhe.

Le të bëjmë një hap prapa. Permasa numër negativështë distanca nga zero:

Është një mënyrë tjetër për të gjetur vlere absolute. Por si të maten të dy komponentët në 90 gradë për numrat kompleks?

A është zog në qiell… apo aeroplan… Pitagora është këtu për të ndihmuar!

Kjo teoremë shfaqet kudo që është e mundur, madje edhe në numra të shpikur 2000 vjet pas vetë teoremës. Po, ne po bëjmë një trekëndësh dhe hipotenuza e tij do të jetë e barabartë me distancën nga zero:

Megjithëse matja e një numri kompleks nuk është aq e lehtë sa "thjesht heqja e shenjës -", ​​numrat kompleksë kanë një aplikacione të dobishme. Le të shohim disa prej tyre.

Shembull real: Rrotullimet

Nuk do të presim një kurs universitar të fizikës për të praktikuar me numra komplekse. Ne do të merremi me këtë sot. Mund të thuhet shumë për shumëzimin e numrave kompleksë, por tani për tani ju duhet të kuptoni gjënë kryesore:

• Shumëzimi me një numër kompleks rrotullohet sipas këndit të tij

Le të shohim se si funksionon. Imagjinoni që jam në një varkë, duke shkuar 3 njësi në Lindje çdo 4 njësi në veri. Unë dua të ndryshoj drejtimin tim 45 gradë në të kundërt të akrepave të orës. Si do të jetë kursi im i ri?

Disa mund të thonë: “Është e lehtë! Llogaritni sinusin, kosinusin, kërkoni në google vlerën sipas tangjentes ... dhe më pas ... "Mendoj se kam prishur kalkulatorin tim ...

Le të marrim një rrugë më të thjeshtë: ne jemi në një kurs 3 + 4i (nuk ka rëndësi se cili është këndi, nuk na intereson tani për tani) dhe duam të kthehemi 45 gradë. Epo, 45 gradë është 1 + i (diagonalja e përsosur). Pra, ne mund ta shumëzojmë kursin tonë të këmbimit me këtë numër!

Këtu është thelbi:

• Kursi bazë: 3 njësi Lindje, 4 njësi Veri = 3 + 4i
• Rrotulloni në drejtim të kundërt të akrepave të orës me 45 gradë = shumëzoni me 1 + i

Kur shumëzojmë, marrim:

Referenca jonë e re është 1 njësi Perëndim (-1 Lindje) dhe 7 njësi Veri, ju mund të vizatoni koordinatat në tabelë dhe t'i ndiqni ato.

Por! Përgjigjen e gjetëm në 10 sekonda, pa asnjë sinus dhe kosinus. Nuk kishte as vektorë, as matrica, as gjurmim se në cilin kuadrant jemi. Ishte aritmetikë e thjeshtë dhe pak algjebër për të sjellë ekuacionin. Numrat imagjinarë bëjnë një punë të shkëlqyer me rrotullimin!

Për më tepër, rezultati i një llogaritjeje të tillë është shumë i dobishëm. Ne kemi një titull (-1, 7) në vend të një këndi (atan(7/-1) = 98,13, dhe është menjëherë e qartë se jemi në kuadrantin e dytë. Si keni planifikuar saktësisht të vizatoni dhe ndiqni këndin e specifikuar Përdorimi i një raportuesi të dobishëm?

Jo, ju do ta ktheni këndin në kosinus dhe sinus (-0.14 dhe 0.99), gjeni një raport të përafërt midis tyre (rreth 1 me 7) dhe vizatoni një trekëndësh. Dhe këtu numrat kompleksë padyshim fitojnë - mjeshtërisht, rrufe të shpejtë dhe pa kalkulator!

Nëse jeni si unë, atëherë ky zbulim do t'ju duket mahnitës. Nëse jo, kam frikë se matematika nuk të ndez fare. Më falni!

Trigonometria është e mirë, por numrat kompleksë i bëjnë llogaritjet shumë më të lehta (si gjetja e cos(a + b)). Ky është vetëm një njoftim i vogël; në artikujt e mëposhtëm, unë do t'ju ofroj një menu të plotë.

Digresioni: disa njerëz mendojnë diçka si kjo: "Hej, nuk është e përshtatshme të kesh një drejtim Veri/Lindje në vend të kënd i thjeshtë për të ndjekur anijen!

E vërteta? Mirë, shiko tënden. dora e djathtë. Cili është këndi midis bazës së gishtit tuaj të vogël dhe majës Gishti tregues? Fat i mirë me metodën tuaj të llogaritjes.

Ose thjesht mund të thoni, "Epo, maja është X inç në të djathtë dhe Y inç lart," dhe mund të bëni diçka për këtë.

A po afrohen numrat kompleksë?

Ne përshkuam si një vorbull zbulimet e mia bazë në fushën e numrave kompleksë. Shikoni ilustrimin e parë, tani duhet të bëhet më e qartë.

Ka shumë gjëra më interesante në këto numra të bukur, të mrekullueshëm, por truri im tashmë është i lodhur. Qëllimi im ishte i thjeshtë:

• Ju bindin se numrat kompleks konsideroheshin vetëm "të çmendur", por në fakt ata mund të jenë shumë të dobishëm (ashtu si numrat negativë)
• Tregoni se si numrat kompleks mund të thjeshtojnë disa detyra si rrotullimi.

Nëse më duket shumë i preokupuar me këtë temë, atëherë ka një arsye për këtë. Numrat imagjinarë kanë qenë të mitë prej vitesh obsesioni Mungesa e të kuptuarit më mërziti.

Por ndezja e një qiri është më mirë se sa të kalosh nëpër errësirë ​​totale: këtu janë mendimet e mia dhe jam i sigurt se një dritë do të ndizet në mendjet e lexuesve të mi.

Epilogu: Por ata janë ende shumë të çuditshëm!

E di që më duken ende të çuditshme. Po përpiqem të mendoj ashtu siç mendoi personi i parë që zbuloi zeron.

Zero është një ide kaq e çuditshme, "diçka" përfaqëson "asgjë" dhe kjo nuk mund të kuptohej në asnjë mënyrë në Roma e lashtë. Është e njëjta gjë me numrat kompleks - është një mënyrë e re e të menduarit. Por si numrat zero ashtu edhe ato komplekse e thjeshtojnë shumë matematikën. Nëse nuk do të kishim prezantuar kurrë gjëra të çuditshme si sistemet e reja të numrave, do të numëronim gjithçka në gishta.

E përsëris këtë analogji sepse është kaq e lehtë të fillosh të mendosh se numrat kompleksë "nuk janë normalë". Le të jemi të hapur ndaj inovacionit: në të ardhmen, njerëzit do të bëjnë vetëm shaka sesi dikush nuk besonte në numrat kompleks deri në shekullin e 21-të.

MUNDËSI PËR PËRDORIM TË NUMRAVE KOMPLEKS

NË LËNDËN E MATEMATIKËS TË SHKOLLËS GJITHËPËRFSHIRËSE

Këshilltar shkencor:

Institucion arsimor komunal

Shkolla e mesme Pervomaiskaya

Me. Kichmengskiy Gorodok

rr. Zarechnaya, 38

Puna e paraqitur i kushtohet studimit të numrave kompleks. Rëndësia: zgjidhja e shumë problemeve të fizikës dhe teknologjisë çon në ekuacione kuadratike me diskriminues negativ. Këto ekuacione nuk kanë zgjidhje në rajonin e numrave realë. Por zgjidhja e shumë problemeve të tilla ka një kuptim fizik të mirëpërcaktuar.

Rëndësia praktike: Numrat kompleksë dhe funksionet e ndryshoreve komplekse përdoren në shumë çështje të shkencës dhe teknologjisë, mund të përdoren në shkollë për të zgjidhur ekuacionet kuadratike.

Zona e objektit: matematika. Objekti i kërkimit: konceptet algjebrike dhe veprimet. Lënda e hulumtimit- numra kompleks. Problem: numrat kompleks nuk mësohen në lëndën e matematikës shkolla e mesme, edhe pse ato mund të aplikohen për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Mundësia e futjes së numrave kompleksë në PËRDORIMI i detyrave në të ardhmen. Hipoteza: ju mund të aplikoni numra kompleks për të zgjidhur ekuacionet kuadratike në një shkollë të mesme. Synimi: të studiojë mundësinë e përdorimit të numrave kompleksë në mësimin e matematikës në klasën e 10-të të një shkolle të arsimit të përgjithshëm. Detyrat: 1. Studioni teorinë e numrave kompleksë 2. Shqyrtoni mundësinë e përdorimit të numrave kompleksë në lëndën e matematikës në klasën e 10-të. 3. Zhvilloni dhe testoni detyra me numra kompleks.

Për zgjidhje ekuacionet algjebrike nuk mjaftojnë numra realë. Prandaj, është e natyrshme të përpiqemi për t'i bërë këto ekuacione të zgjidhshme, gjë që çon në një zgjerim të konceptit të numrit..gif" width="10" height="65 src=">

https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">

ne vetëm duhet të biem dakord të veprojmë në shprehje të tilla sipas rregullave të algjebrës së zakonshme dhe të supozojmë se

Në vitin 1572, u botua një libër nga algjebristi italian R. Bombelli, në të cilin u vendosën rregullat e para për veprimet aritmetike mbi numra të tillë, deri në nxjerrjen e rrënjëve të kubit prej tyre. Emri "numrat imagjinarë" u prezantua në 1637. Matematikan francez dhe filozofi R. Descartes, dhe në vitin 1777 një nga matematikanët më të mëdhenj të shekullit të 8-të X. katrori i të cilit është -1 quhet njësi imagjinare dhe shënohet i. Kështu, ..gif" width="120" height=" 27 src=">.gif" width="100" height="27 src=" >8 class" href="/text/category/8_klass/" rel="bookmark">Klasa 8 në algjebër.- M.: Iluminizmi, 1994.-f.134-139.

2. fjalor enciklopedik matematikan i ri / Komp. E-68. - M.: Pedagogji, 19s

Teksti pjesë e botimit

përmbajtja
Hyrje……………………………………………………………………………..3 Kapitulli I. Nga historia e numrave kompleks…………………………… ……… ............4 Kapitulli II. Bazat e metodës së numrave kompleks…………………………………………………6 Kapitulli III. Gjeometria e një trekëndëshi në numrat kompleks…………………….12 Kapitulli IV. Zgjidhje PËRDORNI detyrat dhe olimpiada të ndryshme me metodën e numrave kompleks................................. …………………………………………………….24 Lista bibliografike………………………………………………………..25

Prezantimi
Rëndësia e madhe e numrave kompleksë në matematikë dhe aplikimet e saj është e njohur gjerësisht. Algjebra e numrave kompleks mund të përdoret me sukses në gjeometrinë elementare, trigonometrinë, teorinë e lëvizjeve dhe ngjashmërive, si dhe në inxhinierinë elektrike, në mekanikë dhe probleme fizike. Në planimetri, metoda e numrave komplekse lejon zgjidhjen e problemeve me llogaritje të drejtpërdrejta duke përdorur formula të gatshme. Kjo është thjeshtësia e kësaj metode, krahasuar me vektorin dhe metodat e koordinatave, me metodën e transformimeve gjeometrike, të cilat kërkojnë zgjuarsi të konsiderueshme dhe kërkime të gjata nga studentët. Për disa mijëvjeçarë, trekëndëshi ka qenë një simbol i gjeometrisë. Madje mund të thuhet se trekëndëshi është një atom i gjeometrisë. Çdo shumëkëndësh mund të ndahet në trekëndësha dhe studimi i vetive të tij reduktohet në studimin e vetive të trekëndëshave të përbërësve të tij. Konsideroni se si funksionon metoda e numrit kompleks kur provoni vetitë e një trekëndëshi nga kursi shkollor planimetria, si dhe për zgjidhjen e problemave C-4 USE. 2

Kapitulli I. Nga historia e numrave kompleks,
Për herë të parë, me sa duket, sasitë imagjinare u përmendën në veprën e famshme "Arti i madh, ose rreth rregullat algjebrike» Cardano (1545), si pjesë e një zgjidhjeje formale për problemin e llogaritjes së dy numrave që mblidhen deri në 10, dhe kur shumëzohen japin 40. Ai mori një ekuacion kuadratik për këtë problem për një nga termat dhe gjeti rrënjët e tij : 5 + √ − 15 dhe 5 − √ − 15 . Në një koment për zgjidhjen, ai shkroi: "këto sasi më komplekse janë të padobishme, megjithëse shumë gjeniale" dhe "Konsideratat aritmetike bëhen gjithnjë e më të pakapshme, duke arritur kufirin sa delikate aq edhe të padobishme". Mundësia e përdorimit të madhësive imagjinare në zgjidhjen e një ekuacioni kubik, në të ashtuquajturën rast të pareduktueshëm (kur rrënjët reale të një polinomi shprehen në terma të rrënjëve kubike të madhësive imagjinare), u përshkrua për herë të parë nga Bombelli (1572). Ai ishte i pari që përshkroi rregullat e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave kompleksë, por gjithsesi i konsideronte "fiksion" të padobishëm dhe të zgjuar. Shprehjet e paraqitura si a + b √ − 1 që shfaqen gjatë zgjidhjes së katrorit dhe ekuacionet kubike, filloi të quhej "imagjinare" në shekujt XVI-XVII me sugjerimin e Dekartit, i cili i quajti kështu, duke hedhur poshtë realitetin e tyre, dhe për shumë shkencëtarë të tjerë të shquar të shekullit të 17-të, natyra dhe e drejta e ekzistencës së sasive imagjinare dukeshin shumë të dyshimta, ashtu si numrat irracionalë, madje edhe sasitë negative, ishin. gjithashtu konsiderohej e dyshimtë në atë kohë. Përkundër kësaj, matematikanët aplikuan me guxim metodat formale algjebrat e sasive reale dhe të atyre komplekse, morën rezultate reale të sakta edhe nga ato komplekse të ndërmjetme, dhe kjo nuk mund të mos fillonte të ngjallte besim. Për një kohë të gjatë nuk ishte e qartë nëse të gjitha veprimet mbi numrat kompleks çojnë në rezultate komplekse ose reale, ose, për shembull, nxjerrja e një rrënjë mund të çojë në zbulimin e disa llojeve të tjera të reja numrash. Problemi i shprehjes së rrënjëve të shkallës n nga numri i dhënë u zgjidh në veprat e De Moivre (1707) dhe Cotes (1722). Simboli për njësinë imagjinare u propozua nga Euler (1777, botim 1794), i cili mori shkronjën e parë të fjalës lat për këtë. imaginarius - imagjinar. Ai gjithashtu zgjeroi të gjitha funksionet standarde, duke përfshirë logaritmin, në domenin kompleks. Euler gjithashtu shprehu në 1751 idenë e mbylljes algjebrike të fushës së numrave kompleksë. d'Alembert (1747) doli në të njëjtin përfundim, por prova e parë rigoroze e këtij fakti i përket Gauss (1799). Gauss dhe shpiku termin "numër kompleks" në 1831, megjithëse termi ishte përdorur më parë në të njëjtin kuptim nga matematikani francez Lazar Carnot në 1803. 3
Modeli aritmetik (standard) i numrave kompleks si çifte numrash realë u ndërtua nga Hamilton (1837); kjo vërtetoi qëndrueshmërinë e vetive të tyre. Në mënyrë domethënëse më herët, në vitin 1685, në veprën e tij Algjebra, Wallis (Angli) tregoi se rrënjë komplekse ekuacioni kuadratik me koeficientë realë mund të paraqitet gjeometrikisht, me pika në një rrafsh. Por kaloi pa u vënë re. Herën tjetër një interpretim gjeometrik i numrave kompleksë dhe veprimeve mbi to u shfaq në veprën e Wessel (1799). Përfaqësimi gjeometrik modern, i quajtur ndonjëherë "diagrami Argand", hyri në përdorim pas botimit në 1806 dhe 1814 të punës së J.R. Argand, i cili përsëriti në mënyrë të pavarur përfundimet e Wessel. Termat "modul", "argument" dhe "numër i konjuguar" u prezantuan nga Cauchy. Kështu, u zbulua se numrat kompleksë janë gjithashtu të përshtatshëm për kryerjen e veprimeve thjesht algjebrike të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe ndarjes së vektorëve në rrafsh, gjë që ndryshoi shumë algjebrën vektoriale. katër

Kapitulli II. Bazat e metodës së numrit kompleks
[ 1 ]
,
[ 2 ] , [ 3 ] [ 4 ] Interpretimi gjeometrik i numrave kompleks Sistemi kartezian koordinatat në rrafsh, numri kompleks z = x + iy (i 2 = -1) mund të lidhet një me një me pikën M të planit me koordinatat x, y (Fig. 1): z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . Numri z quhet atëherë koordinata komplekse e pikës M. Meqenëse bashkësia e pikave të rrafshit Euklidian është në korrespondencë një-me-një me bashkësinë e numrave kompleksë, ky rrafsh quhet edhe rrafshi i numrave kompleks. Origjina O e sistemit koordinativ kartezian quhet pika fillestare ose zero e rrafshit të numrave kompleks. Kur y=0, numri z është real. Numrat realë përfaqësohen me pika në boshtin x, prandaj quhet bosht real. Në x=0, numri z është thjesht imagjinar: z=iy. Numrat imagjinarë përfaqësohen me pika në boshtin y, prandaj quhet bosht imagjinar. Zero është edhe reale edhe thjesht imagjinare. Largësia nga origjina O e rrafshit deri në pikën M(z) quhet modul i numrit kompleks z dhe shënohet me |z| ose r: | z | = r = | Om | = √ x 2 + y 2
prej nga x = r cos φ, y = r sin φ , dhe prandaj z = r (cos φ + sin φ) . Një paraqitje e tillë e një numri kompleks z quhet e saj
trigonometria

çeke
formë. Paraqitja origjinale z=x+iy quhet
algjebrike
formën e këtij numri. Në paraqitjen trigonometrike, këndi  quhet argument i një numri kompleks dhe shënohet gjithashtu me arg z: φ = arg z Nëse jepet një numër kompleks z = x + iy, atëherë numri ´ z = x − iy është thirrur
konjuguar kompleks
(ose thjesht
konjuguar
) në këtë numër z. Atëherë, padyshim, numri z është gjithashtu i konjuguar me numrin ´ z. Pikat M(z) dhe M 1 (´ z) janë simetrike në lidhje me boshtin x. Barazia z = ´ z nënkupton y = 0 dhe anasjelltas. Do të thotë se
një numër i barabartë me

ndaj konjugatit të tij është real dhe anasjelltas.
Pikat me koordinata komplekse z dhe -z janë simetrike në lidhje me pikën fillestare O. Pikat me koordinata komplekse z dhe − ´ z janë simetrike në lidhje me boshtin y. Barazia z = ´ z nënkupton x = 0 dhe anasjelltas. Prandaj, kushti z =− ´ z është një kriter për një numër thjesht imagjinar. Për çdo numër z, padyshim, | z | = | ´ z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
shuma dhe produkti
dy numra kompleksë të konjuguar janë numra realë: z + ´ z = 2 z , z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿ . Konjugati i shumës, produktit ose koeficientit të kompleksit 6
numrat, përkatësisht, është shuma, prodhimi ose herësi i numrave të konjuguar me numrat kompleks të dhënë: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 Këto barazi mund të verifikohen lehtësisht duke përdorur formulat për veprimet mbi numrat kompleks. Nëse a dhe b janë koordinata komplekse të pikave A dhe B, përkatësisht, atëherë numri c = a + b është koordinata e pikës C, e tillë që ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (Fig. 3). Numri kompleks d = a − b korrespondon me një pikë D të tillë që ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . Distanca ndërmjet pikave A dhe B është | BA | = | ⃗OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) Meqenëse ¿ z ∨ 2 = z ´ z , atëherë ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) . (2)
Ekuacioni
z ´ z = r 2
përcakton një rreth me qendër

Rreth rrezes

r.
Raporti AC CB = λ , (λ ≠ − 1) , në të cilin pika C ndan segmentin e dhënë AB, shprehet në terma të koordinatave komplekse të këtyre pikave si më poshtë: λ = c − a b − c , λ = ´ λ , prej nga c = a + λb 1 + λ (3) Kur λ = 1 pikë C është mesi i segmentit AB, dhe anasjelltas. Atëherë: c = 1 2 (a + b) (4) Shumëzimi i numrave kompleks Shumëzimi i numrave kompleks kryhet sipas formulës, Dmth | a b | = | dhe || b | , dhe 7
Paralelizmi dhe pinguliteti Kolineariteti i tre pikave Le të jepen pikat A(a) dhe B(b) në rrafshin e numrave kompleksë. Vektorët ⃗ OA dhe ⃗ OB janë të bashkëdrejtuar nëse dhe vetëm nëse arg a = arg b, pra për arg a – arg b=arg a b =0 (kur pjesëtohen numrat kompleks, argumenti i pjesëtuesit zbritet nga argumenti i dividendit). Është gjithashtu e qartë se këta vektorë janë të drejtuar në mënyrë të kundërt nëse dhe vetëm nëse arg a - arg b= arg a b = ± π . Numrat kompleks me argumentet 0, π, - π janë real.
Kriteri i kolinearitetit të pikave O, A, B:
Në mënyrë që pikat A(a) dhe B(b) të jenë kolineare me pikën fillestare O, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që herësi a b të jetë një numër real, d.m.th a b = ´ a ´ b ose a ´ b = ´ a b (6 ) Le të marrim tani pikat A(a), B(b), C(c), D(d). Vektorët ⃗ BA dhe ⃗ DC janë kolinear nëse dhe vetëm nëse pikat e përcaktuara nga numrat kompleks a-b dhe c-d janë kolineare me origjinën O. Shënim: 1. Bazuar në (6) kemi: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ( a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b) (c − d) ; (8) 2. Nëse pikat А, В, С, D i përkasin rrethit njësi z ´ z = 1 , atëherë ´ a = 1 a ; ´b = 1 b; ´c = 1 c; ´ d = 1 d dhe prandaj kushti (8) merr formën: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. Kolineariteti i pikave A, B, C karakterizohet nga kolineariteti i vektorëve ⃗ AB dhe ⃗ AC . Duke përdorur (8), marrim: (a − b) (´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) Ky është një kriter që pikat A, B, C t'i përkasin një vijë të drejtë. Mund të paraqitet në një formë simetrike a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8
Nëse pikat A dhe B i përkasin rrethit njësi z ´ z = 1 , atëherë ´ a = 1 a ; ´ b = 1 b dhe për këtë arsye secila nga relacionet (10) dhe (11) shndërrohet (pas reduktimit me (а-b) në sa vijon: c + ab ´ c = a + b (12) Pikat A dhe B janë fikse, dhe pikën Ne e konsiderojmë C një ndryshore, duke ridizenjuar koordinatën e saj si z. Atëherë secila nga relacionet e fituara (10), (11), (12) do të jetë ekuacioni i drejtëzës AB: (´ a − ´ b ) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0 , (10а) z + ab ´ z = a + b .(12a) Në veçanti, drejtëza OA ka ekuacionin a ´ z = ´ a z Numrat kompleks me argumentet π 2 dhe − π 2 janë thjesht imagjinarë Prandaj, OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b ose OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) Perpendikulariteti i segmenteve AB dhe CD përcaktohet nga barazia (a − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) cd = 0 (15) Prodhimi skalar i vektorëve. produkt skalar vektorët ⃗ OA dhe ⃗ OB përmes koordinatave komplekse a dhe b të pikave A dhe B. Le të a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . Atëherë a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. Pra, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
Tani le të jepen katër pika arbitrare A(a), B(b), C(c), D(d) me koordinatat e tyre komplekse. Atëherë 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Këndet AB në mënyrë që të bëhet bashkëdrejtues me vektorin ⃗ CD . Atëherë, cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | d − c || b − a | (18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | d − c || b − a | (19) Pika e kryqëzimit të sekanteve me rrethin Nëse pikat A, B, C dhe D shtrihen në rrethin z ´ z = 1, atëherë koordinata komplekse e pikës së kryqëzimit gjendet me formulën ´ z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) Nëse AB është pingul me CD, atëherë z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Pika e kryqëzimit të tangjenteve me rrethin 10
Koordinata komplekse e pikës së prerjes së tangjenteve në rrethin z ´ z =1 në pikat e tij A(a) dhe B(b) gjendet me formulën z= 2ab a + b (22) AB, ku A( a) dhe B(b) gjendet me formulën Në rastin kur A dhe B i përkasin rrethit njësi z= 1 2 (a + b + m − cb m) .
Kapitulli III.

Gjeometria e një trekëndëshi në numra kompleks
Në rrafshin e numrave kompleks, një trekëndësh jepet nga tre numra kompleks që korrespondojnë me kulmet e tij. Qendra dhe ortoqendra e një trekëndëshi. [ 2 ] Dihet se për qendrën G (pikën e prerjes së medianave) të trekëndëshit ABC dhe çdo pikë O, barazia ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC) është e vërtetë. Prandaj, koordinata komplekse g e qendrës G llogaritet me formulën g = 1 3 (a + b + c) (23) Le të shprehim h koordinatën komplekse të ortoqendrës H të trekëndëshit ABC në terma të koordinatave a. , b, c të kulmeve të tij. Le të presin drejtëzat AH, BH, CH rrethin e rrethuar rreth trekëndëshit në pikat A1, B1, C1, përkatësisht. Le të ketë ky rreth barazimin z ´ z =1, atëherë sipas (15) kemi: a 1 = − bc a , b 1 = − ca b , c 1 = − ab c Sipas formulës (20) h = (a + a 1 ) −(b + b 1) a a 1 − bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
Nga h=a+b+c. (24) Shprehja që rezulton përmban koordinatat e kulmeve të trekëndëshit në mënyrë simetrike, kështu që lartësia e tretë e trekëndëshit kalon nëpër pikën e kryqëzimit të dy trekëndëshave të parë [ 2,1 ] Trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë të ngjashëm dhe të orientuara në mënyrë të barabartë (ngjashmëria e llojit të parë) nëse 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC dhe këndet B 1 A 1 C 1 dhe BAC janë të barabarta (këndet e orientuara). Duke përdorur numrat kompleks, këto barazi mund të shkruhen si më poshtë: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg s 1 − a 1 b 1 − a 1 = arg c − a b − a . Dy barazime janë ekuivalente me një me 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) ku σ është një numër kompleks, |σ|=k-koeficienti i ngjashmërisë. Nëse σ është real, atëherë с 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a , ku AC║А 1 С 1. Prandaj, trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë homotetikë. Lidhja (25) është e nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme në mënyrë që trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 të jenë të ngjashëm dhe të orientuar njësoj. Mund t'i jepet një formë simetrike ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25а) Trekëndësha të barabartë Nëse | σ | = 1 , atëherë trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabartë. Atëherë lidhja (25) është një shenjë e barazisë së trekëndëshave të orientuar në mënyrë të barabartë, dhe relacioni (26) është një shenjë e barazisë së trekëndëshave të orientuar në mënyrë të kundërt. Trekëndëshat e rregullt Nëse kërkojmë që të orientuar trekëndëshi ABC ishte i ngjashëm me trekëndëshin e orientuar BCA, atëherë trekëndëshi ABC do të jetë i rregullt. 12
Prandaj, nga (25) marrim një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm që trekëndëshi ABC të jetë i rregullt (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) Sipërfaqja e trekëndëshi (vërtetuar nga autori) Nxjerrim formulën për sipërfaqen S të një trekëndëshi të orientuar pozitivisht ABC: S = 1 2 | AB || AC | sin ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) ose S = i 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b )) (28) Nëse trekëndëshi ABCështë brendashkruar në një rreth z ´ z = 1 , atëherë formula (28) shndërrohet në formën: S = i 4 (a − b) (b − c) (c − a) abc (29)
Teorema
. vija e mesme trekëndëshi është paralel me bazën dhe i barabartë me gjysmën e tij. Dëshmi. Le të jenë pikat M dhe N pikat e mesit të brinjëve AB dhe BC, atëherë m = b 2 ; n = b + c 2 . Meqenëse z 2 \u003d z ´ z, atëherë MN 2 \u003d (m-n) (´ m - ´ n) \u003d (b 2 - b + c 2) (´ b 2 - ´ b + ´ c 2) \u003d b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c´c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c´c, pra 4MN 2 = AC 2 ose 2MN=AC. Kushti (8) i kolinaritetit të vektorëve MN dhe AC është gjithashtu i kënaqur, dhe kështu MN ║AC. Teorema e Talesit (e vërtetuar nga autori)
Teorema
. Nëse vijat paralele presin segmente të barabarta në njërën anë të këndit, atëherë ato presin segmente të barabarta në anën tjetër të këndit. Vërtetim Le të supozojmë se c=kb. Atëherë nëse BD||CE, atëherë kemi (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) Zgjerimi i kllapave dhe zvogëlimi si terma, marrim ekuacionin b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d. Duke sjellë përsëri terma të ngjashëm dhe duke lëvizur gjithçka në një drejtim, marrim 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0. Le të nxjerrim faktor i përbashkët dhe marrim 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0 . Prandaj k=2, d.m.th. c=2b. Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se f=3b, etj. Teorema e Pitagorës ( vërtetuar nga autori) trekëndësh kënddrejtë katrori i hipotenuzës është e barabartë me shumën katrorët e këmbëve 14
Dëshmi. Distanca ndërmjet pikave B dhe C është BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b . Që nga |z| 2 = z ´ z , pastaj AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b Meqenëse b është një numër real, d.m.th. b= ´ b , atëherë -a ´ b =− ab Meqenëse pika A shtrihet në boshtin Oy, atëherë a \ u003d - ´ a, domethënë - ´ ab \u003d ab. Kështu, AB 2 \u003d a ´ a -a ´ b - ´ ab + b ´ b \u003d a ´ a + b ´ b \u003d AC 2 +BC 2 Teorema vërtetohet drejtëza e Euler-it (e vërtetuar nga autori) Le të vërtetojmë se qendra, qendra dhe qendra e rrethit të rrethuar të trekëndëshit shtrihen në të njëjtën drejtëz (kjo drejtëz quhet drejtëza e Euler-it), dhe OG=1/2GH .
Vërtetim: Pika G(g) është qendra e trekëndëshit ABC, H(h) është ortoqendra dhe O(o) është qendra e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit. Në mënyrë që këto pika të jenë kolineare, barazia (10) duhet të jetë: (g-o)(´ g - ´ h ¿ -(´ g - ´ o ¿ (g - h) =0 pastaj g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) Koordinata komplekse e ortoqendrës llogaritet sipas formulës ( 24) h=a+b+c, (30a) dhe centroidi sipas formulës (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) Zëvendësojmë në (30), marrim 1 3 (a+ b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿))=0. rrathët shtrihen në të njëjtën drejtëz OG=g= 1 3 ( a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a+b+c)= 2 3 (a+b+c) se OG= 1 2 GH Vërtetohet teorema.16
Rrethi i Euler-it (rrethi me nëntë pika). Vërtetuar nga autori Shqyrtoni trekëndëshin ABC. Le të biem dakord që‌ | O.A. | = | OB | = | OC | =1, d.m.th. të gjitha kulmet e trekëndëshit i përkasin rrethit njësi z ´ z = 1 (qendra e rrethit të rrethuar O është origjina e koordinatave, dhe rrezja është një njësi gjatësie). Le të vërtetojmë se bazat e tre lartësive trekëndësh arbitrar, mesi i tre brinjëve të tij dhe mesi i tre segmenteve që lidhin kulmet e tij me qendrën ortoqendër shtrihen në të njëjtin rreth, dhe qendra e tij është mesi i segmentit OH, ku H, kujtojmë, është ortoqendra e trekëndëshit ABC. Një rreth i tillë quhet
Rrethi i Euler-it
. Le të jenë pikat K, L dhe M mesi i brinjëve të trekëndëshit ABC, pikat Q, N, P bazat e lartësive të tij, pikat F, E, D të jenë mesi i tre segmenteve që lidhin kulmet e tij me qendrën ortoqendrën. Vërtetojmë se pikat D, E, F, K, L, M, N, P, Q i përkasin të njëjtit rreth.Pikave caktojmë koordinatat komplekse përkatëse: k = a + b 2 , l = b + c 2 ;m = a + c 2 ,o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2 ; e \u003d 2 c + a + b 2; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c − ab c) , q = 1 2 (a + c + b − ac b) , p = 1 2 (c + b + a − cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O 1 L = | o 1 − l | = | a 2 | , O 1 M = | o 1 − m | = | b 2 | O 1 D = | o 1 − d | = | a 2 | ,O 1 E = | o 1 − e | = | c 2 | ,O 1 F = | o 1 − f | = | b 2 | O 1 N= | o 1 − n | = 1 2 | ab c | = 1 2 | a || b | | c | , O 1 Q= 1 2 | a || c | | b | , O 1 F= 1 2 | b || c | | a | . 17
Sepse trekëndëshi ABC është brendashkruar në një rreth z ´ z = 1 , pastaj | a | = | b | = | c | = 1 → | a 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | a || b | | c | = 1 2 | a || c | | b | = 1 2 | b || c | | a | = 1 2 Prandaj, pikat D, E, F, K, L, M, N, Q, F i përkasin të njëjtit rreth Teorema e Gausit , C 1 , atëherë mesi i segmenteve AA 1 , BB 1 , CC 1 janë kolinear.Dëshmi. Duke përdorur (11), shkruajmë kushtet për kolinearitetin e trefishave të pikave AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                 b c a b, pika P, (3) të segmenteve AA 1 , BB 1 , CC 1 , atëherë duhet të tregojmë se 0) () () (      n m p m p n p n m (32)   atëherë barazia (31) që vërtetohet me:0) është ekuivalente (() () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                             b a c b a c b a c b a s c b a c b a c b a c b a c b a (33) tani është e lehtë të shihet se çfarë (33) fitohet nga shtimi i dheut i thellësive (31).

Kapitulli IV.

Zgjidhja e problemeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe olimpiadave të ndryshme me metodën e numrave kompleks.
Detyra 1. Provimi i Unifikuar i Shtetit -2012, C-4 Në vijën që përmban mesataren AD të një trekëndëshi kënddrejtë ABC me kënd të drejtë C, merret pika E, e cila është 4 larg nga kulmi A. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshi BCE nëse BC=6, AC= katër. Zgjidhja e parë. Sipas teoremës së Pitagorës AD=5. Atëherë ED=1 Lëreni pikën E të shtrihet në rreze AD. Mediana AD është më e gjatë se AE dhe pika E shtrihet brenda trekëndëshit ABC (Fig. 1) Le të hedhim EF pingul nga pika E në drejtëzën BC dhe të shqyrtojmë trekëndëshat kënddrejtë të ngjashëm DEF dhe DAC. Nga ngjashmëria e këtyre trekëndëshave gjejmë: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Prandaj, S pes = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4 . Le të jetë tani pika A midis E dhe D (Fig. 2). Në këtë rast ED=9 dhe EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . Atëherë S pes = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21,6 . Përgjigje: 2.4; 21.6. Zgjidhja e problemit duke përdorur numra kompleks. I rasti: pika E shtrihet në rreze AD. Meqenëse D është mesi i CB, atëherë CD=3. Dhe meqenëse CA=4, është e qartë se AD=5, d.m.th. DE=1. Le të marrim pikën C si atë fillestare, dhe drejtëzat CA dhe CB si boshtet reale dhe imagjinare. Pastaj A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). Pikat A, E dhe D janë kolineare, atëherë e − 4 3i − e = 4 dmth e= 12i + 4 5 . Sipas formulës (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 Rasti II: pika A shtrihet ndërmjet pikave D dhe E , atëherë 4 − e 3i − 4 = 4 5 , pra e= 36 − 12 i 5 S CBE = |3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5)|=21.6 Përgjigje: 2.4 dhe 21.6 Për të zgjidhur problemi në mënyrën e parë, është e nevojshme të kemi një numër supozimesh që mund të mos shfaqen menjëherë, por pas arsyetimit mjaft të gjatë. Edhe pse, nëse studenti është i përgatitur mirë, atëherë vetë zgjidhja formohet menjëherë. Kur zgjidhet problemi në Mënyra e dytë, ne përdorim formula të gatshme, duke kursyer kohë në kërkim. Megjithatë, kuptojmë se pa i njohur formulat, problemet nuk mund të zgjidhen me metodën e numrave kompleksë. Siç mund ta shihni, secila metodë ka të mirat dhe të këqijat e saj.
Detyra 2 (MIOO, 2011):
“Pika M shtrihet në segmentin AB. Një pikë C merret në një rreth me diametër AB, i cili është në një distancë prej përkatësisht 20, 14 dhe 15 nga pikat A, M dhe B. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit BMC. njëzet
Zgjidhje: Meqenëse AB është diametri i një rrethi, atëherë ∆ ABC është drejtkëndëshe, ∠ C = 90 ° Le të marrim C si pikë zero plani, pastaj A(20i), B(15), M(z). Meqenëse CM=14, atëherë barazia z ´ z = 196 është e vërtetë, d.m.th., pika M ∈ e rrethit me qendër në pikën C dhe r=14. Le të gjejmë pikat prerja e këtij rrethi me drejtëzën AB: Ekuacioni i drejtëzës AB (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 Zëvendësimi i ´ z me 196 z dhe duke shumëzuar të gjithë ekuacionin në (4 i - 3) , marrim një ekuacion kuadratik për z: 25 z 2 + 120 i (4 i - 3) z + 196 (4 i - 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 - 4 i) (6 i± √ 13) 5 Duke përdorur formulën (28), gjejmë zonën ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ z) + c (´ z − ´ b )) Ku c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15 , ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) transformimet ekuivalente, marrim S = 54 ± 12 √ 13 metra katrorë. njësi Përgjigju. 54 ± 12 √ 13 sq. njësi Nëse problemi zgjidhet me metoda gjeometrike, atëherë është e nevojshme të merren parasysh dy raste të ndryshme: 1 - pika M shtrihet midis A dhe D; 2 - midis D dhe B. 21

Duke zgjidhur problemin me metodën e numrave kompleksë, dualiteti i zgjidhjes fitohet për shkak të pranisë së dy pikave të kryqëzimit të rrethit dhe vijës. Kjo rrethanë na lejon të shmangim një gabim të zakonshëm.
Detyra 3
Medianat AA 1 , BB 1 dhe CC 1 të trekëndëshit ABC priten në pikën M. Dihet se AB=6MC 1 . Vërtetoni se trekëndëshi ABC është trekëndësh kënddrejtë. Zgjidhje: Le të jetë C pika zero e rrafshit, cakto një njësi reale pikës A. Atëherë problemi reduktohet në vërtetimin se b është një numër thjesht imagjinar. AB 2 = (b − 1) (´ b − 1) . M është një qendër, koordinata e tij është 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2) (1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) Meqenëse AB=6MC 1 , atëherë (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . Pasi kemi kryer transformimet, marrim b = − ´ b, pra b është një numër thjesht imagjinar, pra këndi С është i drejtë.
Detyra 4.
22
Si rezultat i rrotullimit 90° rreth pikës O, segmenti AB ka kaluar në segmentin A "B". Vërtetoni se medianaja OM e trekëndëshit OAB " është pingul me drejtëzën A " B . Zgjidhje: Le të jenë koordinatat O , A , B përkatësisht 0,1, b. Atëherë pikat A "dhe B" do të kenë koordinatat a "= i dhe b" = bi, dhe mesin M të segmentit AB "- koordinata m = 1 2 (1 + bi) . Gjejmë: a" − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i është një numër thjesht imagjinar. Bazuar në kriterin e pingulitetit (segmentet AB dhe CD janë pingul nëse dhe vetëm nëse numri a − b c − d është thjesht imagjinar), drejtëzat OM dhe A' B janë pingul.
Detyra 5
. 23
Perpendikularët hidhen nga baza e lartësisë së trekëndëshit në dy anët që nuk korrespondojnë me këtë lartësi. Vërtetoni se distanca ndërmjet bazave të këtyre pingulave nuk varet nga zgjedhja e lartësisë së trekëndëshit. Zgjidhje: Le të jetë dhënë trekëndëshi ABC dhe rrethi rreth tij ka ekuacionin z ´ z = 1 . Nëse CD është lartësia e trekëndëshit, atëherë d = 1 2 (a + b + c − ab c) + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) Gjejmë : m − n = 1 2 (a − b + c ´ d (b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab Që nga | a | = | b | = 1, pastaj | m − n | = | (a − b) × (b − c) (c − a) | katër. Kjo shprehje është simetrike në lidhje me a , b , c , d.m.th. distanca MN nuk varet nga zgjedhja e lartësisë së trekëndëshit.
konkluzioni
24
"Sigurisht! Të gjitha problemet mund të zgjidhen pa numra kompleksë. Por fakti i çështjes është se algjebra e numrave kompleks është një tjetër metodë efektive zgjidhjen e problemave planimetrike. Mund të bëhet fjalë vetëm për zgjedhjen e një metode që është më efikase për një detyrë të caktuar. Mosmarrëveshjet në lidhje me avantazhet e kësaj apo asaj metode janë të pakuptimta nëse i konsiderojmë këto metoda në përgjithësi, pa aplikim në një problem specifik” [2]. Një vend të madh në studimin e metodës zënë një sërë formulash. Kjo është
disavantazhi kryesor
metodë dhe në të njëjtën kohë
dinjitet
, pasi na lejon të zgjidhim mjaftueshëm detyra sfiduese sipas formulave të gatshme me llogaritje elementare. Përveç kësaj, besoj se gjatë zgjidhjes së problemeve të planimetrisë këtë metodëështë universale.
Lista bibliografike
1. Markushevich A. I. Numrat kompleksë dhe hartat konformale - M .: Shtëpia botuese shtetërore e letërsisë teknike dhe teorike, 1954. - 52 f. 25
2. Ponarin Ya. P. Algjebra e numrave kompleksë në problemet gjeometrike: Një libër për studentët e klasave matematikore të shkollave, mësuesit dhe studentët e universiteteve pedagogjike - M .: MTsNMO, 2004. - 160 f. 3. D. Shvetsov, Nga linja Simson në teorema Droz-Farney, Kvant. - Nr 6, 2009. - f. 44-48 4. Yaglom I. M. Shndërrimet gjeometrike. Shndërrimet lineare dhe rrethore. - Shtëpia botuese shtetërore e letërsisë teknike e teorike, 1956. - 612 f. 5. Yaglom I. M. Numrat kompleks dhe zbatimi i tyre në gjeometri - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 f. 6. Morkovich A.G. dhe të tjera, Algjebra dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 10. Në 2 orë Pjesa 1. Një tekst shkollor për studentët e institucioneve arsimore (niveli i profilit) - M .: Mnemozina, 2012. - 343 f. 7. Andronov I.K. Matematika e numrave realë dhe kompleksë - M.: Iluminizmi, 1975. - 158 f. 26

Aplikacion

Teoremat klasike të gjeometrisë elementare

Teorema e Njutonit.
Në një katërkëndësh të rrethuar rreth një rrethi, pikat e mesit të diagonaleve janë në linjë me qendrën e rrethit. 27
Dëshmi. Ne marrim qendrën e rrethit si origjinë, duke vendosur rrezen e tij të barabartë me një. Le t'i shënojmë pikat e kontaktit të brinjëve të këtij katërkëndëshi A o B o C o D o si A, B, C, D (në një rend rrethor) (Fig. 4). Le të jenë M dhe N përkatësisht mesi i diagonaleve A o C o dhe B o D o. Atëherë, sipas formulës së pikave të prerjes së tangjenteve në rrethin z = 2ab a + b, pikat А o , В o , С o , D o do të kenë përkatësisht koordinata komplekse: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a         d b b b b bc d a ad c                   eed.) ) ((a d c b d c b a n m       , 1, 1 d c   atëherë drejtpërsëdrejti shihet se n m n m  Në bazë të (6), pikat О, М, N janë colar.
Teorema e Paskalit

.
Pikat e kryqëzimit të vijave që përmbajnë anët e kundërta të një gjashtëkëndëshi të brendashkruar shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. 28
Dëshmi. Le të jetë i gdhendur në rreth gjashtëkëndëshi ABCDEF dhe P FA CD N EF BC M DE AB   ) () (,) () (,) () (   (Fig. 6) dhe rrezja e tij - për njësi gjatësi Atëherë sipas (17) kemi: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n de ab e d b a m )(())((ef bc de ab fa ef de cd bc e b n m           dhe të ngjashme.))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n          ) (de ab c f fa cd e b p n n m        1, 1, atëherë kontrolli verbal zbulon se shprehja e gjetur përkon me konjugatin e saj, pra është një numër real. Kjo do të thotë se pikat M, N, P janë kolineare.
Teorema e Monge.
Në një katërkëndësh të gdhendur në një rreth, vijat që kalojnë nëpër mes pikat e anëve dhe. secila diagonale pingul me anët e kundërta dhe, përkatësisht, diagonalja tjetër, kryqëzohen në një pikë. Quhet pika Monge e katërkëndëshit të brendashkruar. Dëshmi. Përgjysmuesit pingul me brinjët e katërkëndëshit ABCD kryqëzohen në qendër të rrethit të rrethuar, të cilin do ta marrim si pikënisje. Për çdo pikë M(z) mesperpendikular tek [ AB] numri b a b a z   ) (2 1 thjesht imagjinar. 29
Në veçanti, në z=0 është e barabartë me) (2) (b a b a    Për çdo pikë N(z) të drejtëzës që kalon nga mesi i anës CD pingul me (AB), numri imagjinar dhe anasjelltas. Por për z \u003d) (2 1 d c b a    është e barabartë) (2 b a b a   d.m.th. thjesht imagjinare. Prandaj, pika E me një koordinatë komplekse) (2 1 d c b a   tregon   vijë Dhe kjo shprehje është simetrike në lidhje me shkronjat a, b, c, d... Prandaj, pesë rreshtat e mbetura të ndërtuara në mënyrë të ngjashme përmbajnë pikën E. 30