Példák gyök nélküli másodfokú egyenletekre. Másodfokú egyenletek
Másodfokú egyenletek. Diszkrimináns. Megoldás, példák.
Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)
A másodfokú egyenletek típusai
Mi az a másodfokú egyenlet? Hogy néz ki? Termben másodfokú egyenlet a kulcsszó az "négyzet". Ez azt jelenti, hogy az egyenletben Szükségszerűen kell lennie egy x négyzetnek. Ezen kívül az egyenlet tartalmazhat (vagy nem!) csak X-et (az első hatványig) és csak egy számot (ingyenes tag). Kettőnél nagyobb hatványhoz pedig ne legyen X.
Beszélő matematikai nyelv, a másodfokú egyenlet a következő alakú egyenlet:
Itt a, b és c- néhány szám. b és c- abszolút bármilyen, de A– bármi más, mint nulla. Például:
Itt A =1; b = 3; c = -4
Itt A =2; b = -0,5; c = 2,2
Itt A =-3; b = 6; c = -18
Nos, érted...
Ezekben a bal oldali másodfokú egyenletekben ott van teljes készlet tagjai. X négyzet egy együtthatóval A, x az első hatványhoz együtthatóval bÉs szabad tag s.
Az ilyen másodfokú egyenleteket nevezzük tele.
Mi van ha b= 0, mit kapunk? megvan X elveszik az első hatványra. Ez akkor történik, ha megszorozzuk nullával.) Kiderül például:
5x2 -25 = 0,
2x2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Stb. És ha mindkét együttható bÉs c egyenlőek nullával, akkor még egyszerűbb:
2x2 =0,
-0,3x2 =0
Az ilyen egyenleteket, ahol valami hiányzik, nevezzük hiányos másodfokú egyenletek. Ami teljesen logikus.) Vegye figyelembe, hogy x négyzet minden egyenletben jelen van.
Apropó, miért A nem lehet egyenlő nullával? És te helyettesíted helyette A nulla.) Az X négyzetünk eltűnik! Az egyenlet lineáris lesz. És a megoldás egészen más...
Ez az összes fő típus másodfokú egyenletek. Teljes és hiányos.
Másodfokú egyenletek megoldása.
Teljes másodfokú egyenletek megoldása.
A másodfokú egyenletek könnyen megoldhatók. Képletek szerint és világos egyszerű szabályok. Az első szakaszban szükséges számára adott egyenlet vezetni standard nézet, azaz az űrlaphoz:
Ha az egyenletet ebben a formában már megadtuk, akkor nem kell elvégeznie az első lépést.) A lényeg az, hogy helyesen határozzuk meg az összes együtthatót, A, bÉs c.
A másodfokú egyenlet gyökereinek megkeresésére szolgáló képlet így néz ki:
A gyökérjel alatti kifejezést ún diszkriminatív. De róla alább bővebben. Amint látja, az X megtalálásához használjuk csak a, b és c. Azok. másodfokú egyenletből származó együtthatók. Csak óvatosan cserélje ki az értékeket a, b és c Ebbe a képletbe számolunk. Cseréljük saját jeleivel! Például az egyenletben:
A =1; b = 3; c= -4. Ide írjuk le:
A példa majdnem megoldott:
Ez a válasz.
Ez nagyon egyszerű. És mit gondolsz, lehetetlen hibázni? Hát igen, hogyan...
A leggyakoribb hibák a jelértékekkel való összetévesztés a, b és c. Vagy inkább nem a jeleikkel (hol lehet összetéveszteni?), hanem a negatív értékek helyettesítésével a gyökerek kiszámításának képletében. Ebben segít a képlet részletes rögzítése konkrét számokkal. Ha problémák vannak a számításokkal, tedd azt!
Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő példát:
Itt a = -6; b = -5; c = -1
Tegyük fel, hogy tudja, hogy az első alkalommal ritkán kap választ.
Nos, ne légy lusta. Körülbelül 30 másodpercet vesz igénybe egy extra sor írása és a hibák száma erősen csökkenni fog. Tehát részletesen írjuk, minden zárójellel és jellel:
Hihetetlenül nehéznek tűnik ilyen gondosan leírni. De csak úgy tűnik. Próbáljuk meg. Nos, vagy válassz. Mi a jobb, gyors vagy jobb?
Ráadásul boldoggá teszlek. Egy idő után nem kell mindent olyan gondosan leírni. Ez magától is működni fog. Különösen, ha az alábbiakban ismertetett gyakorlati technikákat alkalmazza. Ez a rossz példa egy rakás mínuszokkal egyszerűen és hiba nélkül megoldható!
De gyakran a másodfokú egyenletek kissé eltérően néznek ki. Például így: Felismerted?) Igen! Ez.
hiányos másodfokú egyenletek
Hiányos másodfokú egyenletek megoldása. a, b és c.
Ezek egy általános képlet segítségével is megoldhatók. Csak helyesen kell megértenie, mivel egyenlők itt. Rájöttél? Az első példában a = 1; b = -4; c A ? Egyáltalán nincs ott! Hát igen, ez így van. A matematikában ez azt jelenti c = 0 ! Ennyi. Helyettesítsd be helyette a nullát a képletben c, és sikerülni fog. Ugyanez a második példával. Csak nálunk nincs nulla Vel b !
, A De a nem teljes másodfokú egyenletek sokkal egyszerűbben is megoldhatók. Mindenféle képlet nélkül. Tekintsük az elsőt hiányos egyenlet
. Mit lehet tenni a bal oldalon? A zárójelből kiveheted az X-et! Vegyük ki. Szóval mi van ebből? És az a tény, hogy a szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha bármelyik tényező nulla! Ne higgy nekem? Oké, akkor találj ki kettőt. nem nulla számok
, amit szorozva nullát adunk!
Nem működik? Ennyi... Ezért bátran írhatjuk:, x 1 = 0.
x 2 = 4 Minden. Ezek lesznek az egyenletünk gyökerei. Mindkettő alkalmas. Ha bármelyiket behelyettesíti eredeti egyenlet , megkapjuk a helyes azonosságot 0 = 0. Mint látható, a megoldás sokkal egyszerűbb, mint az általános képlet használata. Egyébként hadd jegyezzem meg, hogy melyik X lesz az első és melyik lesz a második - teljesen közömbös. Kényelmes sorrendben írni, x 1 - mi a kisebb és x 2
A második egyenlet is egyszerűen megoldható. Mozgassa a 9-et ide jobb oldalon. Kapunk:
Már csak a gyökér 9-ből való kivonása marad, és ennyi. Ki fog derülni:
Két gyökér is . x 1 = -3, x 2 = 3.
Így oldódik meg az összes hiányos másodfokú egyenlet. Vagy úgy, hogy X-et zárójelbe tesz, vagy egyszerűen mozgatja a számot jobbra, majd kivonja a gyökeret.
Rendkívül nehéz összekeverni ezeket a technikákat. Egyszerűen azért, mert az első esetben ki kell húzni az X gyökerét, ami valahogy érthetetlen, a második esetben pedig nincs mit kivenni a zárójelből...
Diszkrimináns. Diszkrimináns képlet.
Varázsszó diszkriminatív ! Ritkán van olyan középiskolás, aki nem hallotta ezt a szót! A „diszkrimináns révén megoldjuk” kifejezés magabiztosságot és megnyugvást ébreszt. Mert nem kell trükköket várni a megkülönböztetőtől! Használata egyszerű és problémamentes.) Emlékeztetem a megoldás legáltalánosabb képletére bármilyen másodfokú egyenletek:
A gyökjel alatti kifejezést diszkriminánsnak nevezzük. A diszkriminánst általában betűvel jelöljük D. Diszkrimináns képlet:
D = b 2-4ac
És mi olyan figyelemre méltó ebben a kifejezésben? Miért érdemelt volna külön nevet? Mi a diszkrimináns jelentése? Végül is -b, vagy 2a ebben a képletben konkrétan nem nevezik semminek... Betűk és betűk.
Itt van a dolog. Másodfokú egyenlet megoldásakor ezzel a képlettel lehetséges csak három eset.
1. A diszkrimináns pozitív. Ez azt jelenti, hogy a gyökér kinyerhető belőle. Az, hogy a gyökeret jól vagy rosszul kinyerjük, az más kérdés. Az a fontos, amit elvileg kivonnak. Ekkor a másodfokú egyenletnek két gyöke van. Két különböző megoldás.
2. Diszkrimináns egyenlő nullával. Akkor lesz egy megoldás. Mivel a nulla összeadása vagy kivonása a számlálóban nem változtat semmit. Szigorúan véve ez nem egy gyökér, hanem két egyforma. De egyszerűsített változatban szokás beszélni egy megoldás.
3. A diszkrimináns negatív. Negatív szám négyzetgyöke nem vehető fel. Na jó. Ez azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.
Őszintén szólva, mikor egyszerű megoldás másodfokú egyenletek esetén a diszkrimináns fogalma nem különösebben szükséges. Az együtthatók értékeit behelyettesítjük a képletbe, és számolunk. Ott minden magától történik, két gyökér, egy és egy sem. Bonyolultabb feladatok megoldásánál azonban tudás nélkül a diszkrimináns jelentése és képlete nem tud elmenni. Főleg a paraméteres egyenletekben. Ilyen egyenletek a műrepülés az államvizsgára és az egységes államvizsgára!)
Így, hogyan kell megoldani a másodfokú egyenleteket az emlékezett diszkrimináns révén. Vagy megtanultad, ami szintén nem rossz.) Tudod, hogyan kell helyesen meghatározni a, b és c. Tudod hogyan? figyelmesen cserélje be őket a gyökérképletbe és figyelmesen számolja meg az eredményt. Megértetted ezt kulcsszó Itt - figyelmesen?
Most vegye figyelembe azokat a gyakorlati technikákat, amelyek drámaian csökkentik a hibák számát. Ugyanazok, amik a figyelmetlenségből fakadnak... Amiért később fájdalmassá és sértővé válik...
Első találkozó
. Ne légy lusta, mielőtt megold egy másodfokú egyenletet, és hozd szabványos formába. Ez mit jelent?
Tegyük fel, hogy az összes transzformáció után a következő egyenletet kapjuk:
Ne siess a gyökképlet megírásával! Szinte biztosan összekevered az esélyeket a, b és c. Szerkessze meg helyesen a példát! Először X négyzet, majd négyzet nélkül, majd a szabad tag. így:
És még egyszer: ne siess! Az X négyzet előtti mínusz nagyon felzaklathat. Könnyű elfelejteni... Szabadulj meg a mínusztól. Hogyan? Igen, ahogy az előző témában tanítottuk! A teljes egyenletet meg kell szoroznunk -1-gyel. Kapunk:
De most nyugodtan felírhatod a gyökképletet, kiszámolhatod a diszkriminánst és befejezheted a példa megoldását. Döntsd el magad.
Most már 2-es és -1-es gyökerekkel kell rendelkeznie. Fogadás második. Ellenőrizze a gyökereket! Vieta tétele szerint. Ne félj, mindent elmagyarázok! Ellenőrzés utolsó egyenlet. Azok. amelyikkel a gyökképletet felírtuk. Ha (mint ebben a példában) az együttható a = 1 , a gyökerek ellenőrzése egyszerű. Elég megsokszorozni őket. Az eredmény egy ingyenes tag legyen, pl. esetünkben -2. Figyelem, nem 2, hanem -2! Ingyenes tag a jeleddel
. Ha nem sikerül, az azt jelenti, hogy már elcsesztek valahol. Keresse meg a hibát. b Ha működik, hozzá kell adni a gyökereket. Utolsó és utolsó ellenőrzés. Az együttható legyen Vel
szemben b ismerős. Esetünkben -1+2 = +1. Egy együttható
, amely az X előtt van, egyenlő -1-gyel. Szóval minden korrekt! Kár, hogy ez csak olyan példák esetében ilyen egyszerű, ahol az x négyzet tiszta, együtthatóval a = 1.
De legalább ellenőrizze az ilyen egyenleteket! Egyre kevesebb lesz a hiba. Fogadás harmadik . Ha az egyenletednek törtegyütthatói vannak, szabadulj meg a törtektől! Szorozzuk meg az egyenletet ezzel közös nevező
, a "Hogyan oldjunk meg egyenleteket? Azonos transzformációk" című leckében leírtak szerint. Törtekkel való munka közben valamilyen oknál fogva folyamatosan jönnek a hibák...
Egyébként megígértem, hogy leegyszerűsítem a gonosz példát egy rakás mínuszokkal. Kérem! Itt van.
Annak érdekében, hogy ne keveredjünk össze a mínuszokkal, megszorozzuk az egyenletet -1-gyel. Kapunk:
Ennyi! A megoldás öröm!
Szóval, foglaljuk össze a témát.:
Gyakorlati tanácsok 1. Megoldás előtt a másodfokú egyenletet szabványos formára hozzuk és megépítjük.
Jobbra
3. Ha az együtthatók törtek, akkor a törteket úgy távolítjuk el, hogy a teljes egyenletet megszorozzuk a megfelelő tényezővel.
4. Ha x négyzet tiszta, akkor az együtthatója egyenlő eggyel, a megoldás könnyen ellenőrizhető Vieta tételével. Tedd meg!
Most dönthetünk.)
Egyenletek megoldása:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)
Válaszok (rendetlenségben):
Ezért bátran írhatjuk:
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - tetszőleges szám
x 1 = -3
x 2 = 3
nincsenek megoldások
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Minden passzol? Nagy! A másodfokú egyenletek nem a te dolgod fejfájás. Az első három működött, de a többi nem? Akkor nem a másodfokú egyenletekkel van a probléma. A probléma az egyenletek azonos transzformációiban van. Nézd meg a linket, hasznos.
Nem egészen megy? Vagy egyáltalán nem megy? Akkor az 555. szakasz segít Önnek ezek a példák. Megjelenítve fő- hibák a megoldásban. Természetesen a használatról is szó van identitás-transzformációk a határozatban különböző egyenletek. Sokat segít!
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Kopjevszkaja vidéki középiskola
10 módszer a másodfokú egyenletek megoldására
Vezető: Patrikeeva Galina Anatoljevna,
matek tanár
Kopevo falu, 2007
1. A másodfokú egyenletek kialakulásának története
1.1 Másodfokú egyenletek in Ókori Babilon
1.2 Hogyan alkotta meg és oldotta meg Diophantus másodfokú egyenleteket
1.3 Másodfokú egyenletek Indiában
1.4 Al-Khorezmi másodfokú egyenletei
1.5 Másodfokú egyenletek Európában XIII - XVII. század
1.6 Vieta tételéről
2. Másodfokú egyenletek megoldási módszerei
Következtetés
Irodalom
1. A másodfokú egyenletek kialakulásának története
1.1 Másodfokú egyenletek az ókori Babilonban
Az ókorban nemcsak az első, hanem a másodfokú egyenletek megoldásának szükségességét is a területek megtalálásával kapcsolatos problémák megoldásának igénye okozta. földterületekés katonai jellegű földmunkákkal, valamint magának a csillagászatnak és a matematikának a fejlődésével. A másodfokú egyenleteket Kr.e. 2000 körül tudták megoldani. e. babilóniaiak.
A modern algebrai jelöléssel azt mondhatjuk, hogy az ő ékírásos szövegek A hiányos egyenletek mellett vannak például teljes másodfokú egyenletek:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Ezen egyenletek megoldásának a babiloni szövegekben megfogalmazott szabálya lényegében egybeesik a modernnel, de nem ismert, hogy a babilóniaiak hogyan jutottak el ehhez a szabályhoz. Szinte minden eddig talált ékírásos szöveg csak recept formájában megfogalmazott megoldási problémákat tartalmaz, a megtalálás módját nem jelzik.
Ellenére magas szintű az algebra fejlődése Babilonban, az ékírásos szövegekből hiányzik a negatív szám fogalma és általános módszerek másodfokú egyenletek megoldása.
1.2 Hogyan alkotta meg és oldotta meg Diophantus másodfokú egyenleteket.
Diophantus aritmetikája nem tartalmazza az algebra szisztematikus bemutatását, de tartalmaz egy szisztematikus feladatsort, amelyet magyarázatok kísérnek, és amelyeket különböző fokú egyenletek megalkotásával oldanak meg.
Az egyenletek összeállítása során Diophantus ügyesen kiválasztja az ismeretleneket, hogy leegyszerűsítse a megoldást.
Itt van például az egyik feladata.
11. probléma.„Keress két számot úgy, hogy az összegük 20, a szorzatuk pedig 96”
Diophantus okok alábbiak szerint: a feladat feltételeiből az következik, hogy a szükséges számok nem egyenlőek, hiszen ha egyenlőek lennének, akkor a szorzatuk nem 96-tal lenne egyenlő, hanem 100-zal. Így az egyik több mint a fele lesz az összegüknek , azaz 10 + x, a másik kevesebb, i.e. 10-es. A különbség köztük 2x .
Ezért az egyenlet:
(10 + x) (10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2-4 = 0 (1)
Innen x = 2. A szükséges számok egyike egyenlő 12 , egyéb 8 . Megoldás x = -2 mert Diophantus nem létezik, mivel a görög matematika csak pozitív számokat ismert.
Ha ezt a feladatot úgy oldjuk meg, hogy az egyik szükséges számot ismeretlennek választjuk, akkor az egyenlet megoldásához jutunk
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Nyilvánvaló, hogy a szükséges számok különbségének fele ismeretlennek választva Diophantus leegyszerűsíti a megoldást; sikerül a problémát egy hiányos másodfokú egyenlet (1) megoldására redukálnia.
1.3 Másodfokú egyenletek Indiában
A másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémák már az „Aryabhattiam” csillagászati értekezésben is megtalálhatók, amelyet Aryabhatta indiai matematikus és csillagász állított össze 499-ben. Egy másik indiai tudós, Brahmagupta (7. század) vázolta általános szabály másodfokú egyenletek egyetlen kanonikus formára redukált megoldásai:
ah 2+ b x = c, a > 0. (1)
Az (1) egyenletben az együtthatók, kivéve A, negatív is lehet. Brahmagupta szabálya lényegében ugyanaz, mint a miénk.
IN Ősi India nyilvános volt a megoldási verseny nehéz feladatok. Az egyik régi indiai könyv a következőt írja az ilyen versenyekről: „Ahogy a nap elhomályosítja ragyogásával a csillagokat, úgy tanult ember elhomályosítja a másik dicsőségét népgyűlések, javaslatot tesz és dönt algebrai problémák" A problémákat gyakran költői formában mutatták be.
Ez a 12. század híres indiai matematikusának egyik problémája. Bhaskars.
13. probléma.
„Egy nyáj nyüzsgő majom, és tizenkettő a szőlők mentén...
A hatóságok, miután ettek, jól szórakoztak. Ugrálni kezdtek, lógtak...
Ott vannak a téren, nyolcadik rész Hány majom volt ott?
A tisztáson mulattam. Mondd, ebben a csomagban?
Bhaskara megoldása azt jelzi, hogy tudta, hogy a másodfokú egyenletek gyökerei kétértékűek (3. ábra).
A 13. feladatnak megfelelő egyenlet:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara ezt írja leple alatt:
x 2 - 64x = -768
és kiegészíteni bal oldalt ennek az egyenletnek a négyzetéhez, mindkét oldalhoz hozzáadódik 32 2 , majd megkapja:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Másodfokú egyenletek al - Khorezmiben
Al-Khorezmi algebrai értekezésében a lineáris és másodfokú egyenletek osztályozása szerepel. A szerző 6 típusú egyenletet számol meg, ezeket a következőképpen fejezi ki:
1) „A négyzetek egyenlőek a gyökekkel”, azaz. ax 2 + c = b X.
2) „A négyzetek egyenlőek a számokkal”, azaz. ax 2 = c.
3) „A gyökök egyenlőek a számmal”, azaz. ah = s.
4) „A négyzetek és a számok egyenlőek a gyökekkel”, azaz. ax 2 + c = b X.
5) „A négyzetek és a gyökök egyenlőek a számokkal”, azaz. ah 2+ bx = s.
6) „A gyökök és a számok egyenlőek a négyzetekkel”, azaz. bx + c = ax 2 .
Al-Khorezmi számára, aki kerülte a negatív számok használatát, ezen egyenletek mindegyike összeadás, nem pedig kivonható. Ebben az esetben olyan egyenletek, amelyek nem rendelkeznek pozitív döntéseket. A szerző felvázolja a megoldásokat a fenti egyenleteket, az al-jabr és az al-muqabala technikáit alkalmazva. Döntései természetesen nem teljesen esnek egybe a miénkkel. Arról nem is beszélve, hogy pusztán retorikai, meg kell jegyezni például, hogy az első típusú hiányos másodfokú egyenlet megoldásakor
al-Khorezmi, mint minden matematikus a 17. századig, nem veszi figyelembe nulla megoldás, valószínűleg azért, mert konkrét gyakorlati problémák nem számít. Teljes másodfokú egyenletek megoldásakor al-Khorezmi részlegesen számpéldák lefekteti a megoldás szabályait, majd a geometriai bizonyításokat.
14. probléma.„A négyzet és a 21-es szám egyenlő 10 gyökkel. Találd meg a gyökeret" (az x 2 + 21 = 10x egyenlet gyökére utalva).
A szerző megoldása valahogy így hangzik: oszd fel a gyökök számát, kapsz 5-öt, 5-öt megszorozod önmagával, a szorzatból kivonod a 21-et, ami marad, az 4. Vedd ki a gyökért 4-ből, kapsz 2-t. Vonsz ki 5-ből 2-t. , 3-at kap, ez lesz a kívánt gyökér. Vagy adjunk hozzá 2-t az 5-höz, ami 7-et ad, ez is egy gyökér.
Al-Khorezmi értekezése az első olyan könyv, amely eljutott hozzánk, amely szisztematikusan meghatározza a másodfokú egyenletek osztályozását, és képleteket ad megoldásukra.
1.5 Másodfokú egyenletek Európában XIII - A XVII bb
A másodfokú egyenletek al-Khorezmi mentén történő megoldására szolgáló képleteket Európában először az Abacus könyve fogalmazta meg, amelyet Leonardo Fibonacci olasz matematikus írt 1202-ben. Ez a terjedelmes munka, amely tükrözi a matematika hatását, mind az iszlám országok, mind Ókori Görögország, a bemutatás teljessége és egyértelműsége egyaránt megkülönbözteti. A szerző önállóan dolgozott ki néhány újat algebrai példák problémák megoldására, és Európában elsőként vezette be a negatív számokat. Könyve segített elterjedni algebrai ismeretek nemcsak Olaszországban, hanem Németországban, Franciaországban és más európai országokban is. A 16-17. századi európai tankönyvek szinte mindegyikében felhasználták az Abacus könyvének számos problémáját. részben pedig XVIII.
A másodfokú egyenletek megoldásának általános szabálya egyetlen kanonikus formára redukálva:
x 2+ bx = c,
az együtthatójelek összes lehetséges kombinációjára b , és sikerülni fog. Ugyanez a második példával. Csak nálunk nincs nulla Európában csak 1544-ben fogalmazta meg M. Stiefel.
Másodfokú egyenlet megoldási képletének levezetése in általános nézet Vietnek megvan, de Viet csak felismerte pozitív gyökerei. Az olasz matematikusok Tartaglia, Cardano, Bombelli az elsők között voltak a 16. században. Figyelembe veszik a pozitív mellett, ill negatív gyökerek. Csak a 17. században. Girard, Descartes, Newton és más tudósok munkájának köszönhetően a másodfokú egyenletek megoldásának módszere modern formát ölt.
1.6 Vieta tételéről
A Vietáról elnevezett másodfokú egyenlet együtthatói és gyökei közötti összefüggést kifejező tételt 1591-ben fogalmazta meg először a következőképpen: „Ha B + D, szorozva A - A 2 , egyenlő BD, Azt A egyenlő INés egyenlő D ».
Hogy megértsük Vietát, emlékeznünk kell erre A, mint minden magánhangzó, az ismeretlent jelentette (a mi X), magánhangzók IN, D- együtthatók az ismeretlenre. A modern algebra nyelvén a fenti Vieta megfogalmazás azt jelenti: ha van
(egy + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Az egyenletek gyökei és együtthatói közötti kapcsolat kifejezése általános képletek szimbólumokkal írva Viet egységességet teremtett az egyenletek megoldási módszereiben. Viet szimbolikája azonban még messze van modern megjelenés. Nem ismerte fel a negatív számokat, ezért az egyenletek megoldása során csak azokat az eseteket vette figyelembe, ahol minden gyök pozitív.
2. Másodfokú egyenletek megoldási módszerei
A másodfokú egyenletek jelentik az alapot, amelyen az algebra fenséges építménye nyugszik. Másodfokú egyenletek találhatók széles körű alkalmazás trigonometrikus, exponenciális, logaritmikus, irracionális és transzcendentális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során. Mindannyian tudjuk, hogyan kell másodfokú egyenleteket megoldani iskolai napok(8. osztály), az érettségiig.
Az egyenletek megoldása a matematikában különleges helyet foglal el. Ezt a folyamatot sok órányi elméleti tanulás előzi meg, amely során a hallgató megtanulja az egyenletek megoldását, típusának meghatározását, és készséget ad a teljes automatizáláshoz. A gyökerek keresésének azonban nem mindig van értelme, mivel előfordulhat, hogy egyszerűen nem léteznek. Vannak speciális technikák a gyökerek megtalálására. Ebben a cikkben elemezzük a fő funkciókat, azok definíciós területeit, valamint azokat az eseteket, amikor hiányoznak a gyökereik.
Melyik egyenletnek nincs gyöke?
Egy egyenletnek nincs gyökere, ha nincsenek olyan valódi x argumentumok, amelyekre az egyenlet azonosan igaz. Egy nem szakember számára ez a megfogalmazás, mint a legtöbb matematikai tételekés képletek, nagyon homályosnak és elvontnak tűnik, de ez elméletben van. A gyakorlatban minden rendkívül egyszerűvé válik. Például: a 0 * x = -53 egyenletnek nincs megoldása, mivel nincs olyan x szám, amelynek nullával való szorzata mást adna, mint nulla.
Most a legalapvetőbb egyenlettípusokat nézzük meg.
1. Lineáris egyenlet
Egy egyenletet lineárisnak nevezünk, ha a jobb és bal oldalát az alakban ábrázoljuk lineáris függvények: ax + b = cx + d vagy általánosított formában kx + b = 0. Ahol a, b, c, d - ismert számok, és x egy ismeretlen mennyiség. Melyik egyenletnek nincs gyöke? A lineáris egyenletek példáit az alábbi ábra mutatja be.
Alapvetően a lineáris egyenleteket úgy oldják meg, hogy egyszerűen átvisszük a számrészt az egyik részre, és az x tartalmát a másikba. Az eredmény egy mx = n alakú egyenlet, ahol m és n számok, x pedig ismeretlen. Az x megtalálásához csak ossza el mindkét oldalát m-rel. Ekkor x = n/m. A legtöbb lineáris egyenletnek csak egy gyöke van, de vannak esetek, amikor végtelenül sok gyök van, vagy egyáltalán nincs gyök. Ha m = 0 és n = 0, az egyenlet 0 * x = 0 alakot ölt. Egy ilyen egyenlet megoldása teljesen tetszőleges szám lehet.
De melyik egyenletnek nincs gyökere?
Ha m = 0 és n = 0, az egyenletnek nincs gyöke a halmazból valós számok. 0 * x = -1; 0 * x = 200 – ezeknek az egyenleteknek nincs gyökere.
2. Másodfokú egyenlet
A másodfokú egyenlet az ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ha a = 0. A leggyakoribb megoldás a diszkriminánson keresztül történik. A másodfokú egyenlet diszkriminánsának megkeresésére szolgáló képlet a következő: D = b 2 - 4 * a * c. Ezután két gyök következik x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.
D > 0 esetén az egyenletnek két, D = 0 esetén egy gyöke van. De melyik másodfokú egyenletnek nincs gyökere? A másodfokú egyenlet gyökeinek számát a legegyszerűbben úgy figyelhetjük meg, ha a függvényt ábrázoljuk, amely egy parabola. A > 0 esetén az ágak felfelé, a esetén az ágak irányulnak< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
A gyökerek számát vizuálisan is meghatározhatja a diszkrimináns kiszámítása nélkül. Ehhez meg kell találnia a parabola csúcsát, és meg kell határoznia, hogy az ágak melyik irányba vannak irányítva. A csúcs x koordinátája a következő képlettel határozható meg: x 0 = -b / 2a. Ebben az esetben a csúcs y koordinátáját úgy találjuk meg, hogy az x 0 értéket egyszerűen behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Az x 2 - 8x + 72 = 0 másodfokú egyenletnek nincs gyöke, mivel negatív diszkrimináns D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Ez azt jelenti, hogy a parabola nem érinti az x tengelyt és a függvény soha nem vesz fel 0 értéket, ezért az egyenletnek nincs igazi gyökerek.
3. Trigonometrikus egyenletek
A trigonometrikus függvények a trigonometrikus körön vannak figyelembe véve, de ábrázolhatók is Descartes-rendszer koordináták Ebben a cikkben két fő elemet fogunk megvizsgálni trigonometrikus függvényekés egyenleteik: sinx és cosx. Mivel ezek a függvények alkotnak trigonometrikus kör 1-es sugárral, |sinx| és |cosx| nem lehet nagyobb 1-nél. Tehát melyik sinx egyenletnek nincs gyöke? Nézzük a grafikont sinx függvények, az alábbi képen látható.
Látjuk, hogy a függvény szimmetrikus, és ismétlési periódusa 2pi. Ez alapján azt mondhatjuk maximális érték ez a függvény lehet 1, a minimum pedig -1. Például a cosx = 5 kifejezésnek nem lesz gyöke, mivel abszolút értéke nagyobb egynél.
Ez a trigonometrikus egyenletek legegyszerűbb példája. Valójában ezek megoldása sok oldalt igénybe vehet, aminek a végén rájössz, hogy rossz képletet használtál, és mindent elölről kell kezdeni. Néha még azzal is helyes hely gyökerek esetén elfelejtheti figyelembe venni az ODZ korlátozásait, ezért egy extra gyökér vagy intervallum jelenik meg a válaszban, és a teljes válasz hibás lesz. Ezért szigorúan tartsa be az összes korlátozást, mert nem minden gyökér illeszkedik a feladat körébe.
4. Egyenletrendszerek
Az egyenletrendszer göndör vagy szögletes zárójelekkel összekapcsolt egyenletkészlet. A göndör zárójelek azt jelzik, hogy az összes egyenlet együtt fut. Vagyis ha legalább az egyik egyenletnek nincs gyökere, vagy ellentmond egy másiknak, akkor az egész rendszernek nincs megoldása. Szögletes zárójelek jelzik a "vagy" szót. Ez azt jelenti, hogy ha a rendszer legalább egy egyenletének van megoldása, akkor az egész rendszernek van megoldása.
A c rendszer válasza az egyes egyenletek összes gyökének halmaza. A göndör fogszabályzós rendszerek pedig csak közös gyökerek. Az egyenletrendszerek teljesen különböző függvényeket tartalmazhatnak, így az ilyen összetettség nem teszi lehetővé, hogy azonnal megmondjuk, melyik egyenletnek nincs gyökere.
Problémás könyvekben és tankönyvekben található különböző típusok egyenletek: amelyeknek van gyökere, és amelyeknek nincs. Először is, ha nem találja a gyökereket, ne gondolja, hogy egyáltalán nincsenek ott. Lehet, hogy valahol hibát követett el, akkor csak alaposan meg kell vizsgálnia a döntését.
Megnéztük a legalapvetőbb egyenleteket és azok típusait. Most megtudhatja, hogy melyik egyenletnek nincs gyökere. A legtöbb esetben ezt nem nehéz megtenni. Az egyenletek megoldásának sikere csak odafigyelést és koncentrációt igényel. Gyakorolj többet, ez segít sokkal jobban és gyorsabban eligazodni az anyagban.
Tehát az egyenletnek nincs gyökere, ha:
- az mx = n lineáris egyenletben az érték m = 0 és n = 0;
- másodfokú egyenletben, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla;
- V trigonometrikus egyenlet cosx = m / sinx = n alakú, ha |m| > 0, |n| > 0;
- zárójeles egyenletrendszerben, ha legalább egy egyenletnek nincs gyöke, és szögletes zárójelek, ha minden egyenletnek nincs gyöke.
2. oktatóvideó: Másodfokú egyenletek megoldása
Előadás: Másodfokú egyenletek
Egyenlet
Egyenlet- ez egyfajta egyenlőség, amelynek kifejezéseiben van egy változó.
Oldja meg az egyenletet- azt jelenti, hogy olyan számot kell keresni a változó helyett, amely helyes egyenlőségbe hozza azt.
Egy egyenletnek lehet egy megoldása, több, vagy egy sem.
Bármely egyenlet megoldásához a lehető legnagyobb mértékben le kell egyszerűsíteni a következő alakra:
Lineáris: a*x = b;
Négyzet: a*x 2 + b*x + c = 0.
Vagyis minden egyenletet a megoldás előtt szabványos formára kell konvertálni.
Bármely egyenletet kétféleképpen lehet megoldani: analitikusan és grafikusan.
A grafikonon az egyenlet megoldásának azokat a pontokat tekintjük, ahol a gráf metszi az OX tengelyt.
Másodfokú egyenletek
Egy egyenletet másodfokúnak nevezhetünk, ha egyszerűsítve a következő alakot ölti:
a*x 2 + b*x + c = 0.
Egy időben a, b, c az egyenlet nullától eltérő együtthatói. A "X"- az egyenlet gyöke. Úgy gondolják, hogy a másodfokú egyenletnek két gyökere van, vagy egyáltalán nincs megoldása. A kapott gyökerek azonosak lehetnek.
"A"- a négyzetgyök előtt álló együttható.
"b"- első fokon az ismeretlen előtt áll.
"Vel" az egyenlet szabad tagja.
Ha például a következő alakú egyenletünk van:
2x 2 -5x+3=0
Ebben a „2” az egyenlet vezető tagjának együtthatója, a „-5” a második együttható, a „3” pedig a szabad tag.
Másodfokú egyenlet megoldása
Létezik hatalmas változatosság másodfokú egyenlet megoldási módjai. Azonban in iskolai tanfolyam A matematikában a megoldást Vieta tételével, valamint a diszkrimináns használatával tanulmányozzák.
Diszkrimináns megoldás:
-val megoldva ezt a módszert a diszkriminánst a következő képlet segítségével kell kiszámítani:
Ha a számítások során azt találja, hogy a diszkrimináns kisebb, mint nulla, ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása.
Ha a diszkrimináns nulla, akkor az egyenletben kettő van azonos megoldások. Ebben az esetben a polinom a rövidített szorzási képlet segítségével összecsukható az összeg vagy a különbség négyzetébe. Akkor oldd meg úgy lineáris egyenlet. Vagy használja a képletet:
Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor a következő módszert kell használnia:
Vieta tétele
Ha az egyenlet adott, azaz a vezető tag együtthatója eggyel egyenlő, akkor használhatja Vieta tétele.
Tehát tegyük fel, hogy az egyenlet:
Az egyenlet gyökerei a következők:
Hiányos másodfokú egyenlet
Számos lehetőség van egy hiányos másodfokú egyenlet előállítására, amelynek típusa az együtthatók jelenlététől függ.
1. Ha a második és a harmadik együttható nulla (b = 0, c = 0), akkor a másodfokú egyenlet így fog kinézni:
Ez az egyenlet lesz az egyetlen megoldás. Az egyenlőség csak akkor lesz igaz, ha az egyenlet megoldása nulla.
Belépő szint
Másodfokú egyenletek. Átfogó útmutató (2019)
A „másodfokú egyenlet” kifejezésben a kulcsszó a „másodfokú”. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek szükségszerűen tartalmaznia kell egy változót (ugyanazt az x-et) négyzetesen, és nem lehetnek x-ek a harmadik (vagy nagyobb) hatványhoz.
Sok egyenlet megoldása másodfokú egyenletek megoldásán múlik.
Tanuljuk meg meghatározni, hogy ez egy másodfokú egyenlet, és nem valami más egyenlet.
1. példa
Szabaduljunk meg a nevezőtől, és szorozzuk meg az egyenlet minden tagját ezzel
Tegyünk mindent a bal oldalra, és rendezzük a kifejezéseket X hatványai szerint csökkenő sorrendbe
Most már bátran kijelenthetjük, hogy ez az egyenlet másodfokú!
2. példa
Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:
Ez az egyenlet, bár eredetileg benne volt, nem másodfokú!
3. példa
Szorozzunk meg mindent a következővel:
Ijedős? A negyedik és a második fok... Ha azonban cserét végzünk, látni fogjuk, hogy van egy egyszerű másodfokú egyenletünk:
4. példa
Úgy tűnik, ott van, de nézzük meg közelebbről. Tegyünk mindent a bal oldalra:
Nézze, redukált – és most ez egy egyszerű lineáris egyenlet!
Most próbálja meg meghatározni, hogy az alábbi egyenletek közül melyik másodfokú, és melyik nem:
Példák:
Válaszok:
- négyzet;
- négyzet;
- nem négyzet alakú;
- nem négyzet alakú;
- nem négyzet alakú;
- négyzet;
- nem négyzet alakú;
- négyzet.
A matematikusok hagyományosan az összes másodfokú egyenletet a következő típusokra osztják:
- Teljes másodfokú egyenletek- olyan egyenletek, amelyekben az együtthatók és, valamint a c szabad tag nem egyenlő nullával (mint a példában). Ezenkívül a teljes másodfokú egyenletek között vannak adott- ezek olyan egyenletek, amelyekben az együttható (az első példa egyenlete nemcsak teljes, hanem redukált is!)
- Hiányos másodfokú egyenletek- olyan egyenletek, amelyekben az együttható és/vagy a c szabad tag egyenlő nullával:
Hiányosak, mert hiányzik belőlük valamilyen elem. De az egyenletnek mindig x négyzetet kell tartalmaznia!!! Ellenkező esetben ez már nem másodfokú egyenlet lesz, hanem valami más egyenlet.
Miért találtak ki ilyen felosztást? Úgy tűnik, hogy van egy X négyzet, és rendben van. Ezt a felosztást a megoldási módszerek határozzák meg. Nézzük mindegyiket részletesebben.
Hiányos másodfokú egyenletek megoldása
Először is koncentráljunk a hiányos másodfokú egyenletek megoldására – ezek sokkal egyszerűbbek!
A hiányos másodfokú egyenleteknek többféle típusa van:
- , ebben az egyenletben az együttható egyenlő.
- , ebben az egyenletben a szabad tag egyenlő.
- , ebben az egyenletben az együttható és a szabad tag egyenlő.
1. i. Mert tudjuk, hogyan kell kivonni négyzetgyök, akkor fejezzük ki ebből az egyenletből
A kifejezés lehet negatív vagy pozitív. Egy négyzetszám nem lehet negatív, mert két negatív vagy két pozitív szám szorzásakor mindig pozitív szám lesz az eredmény, tehát: ha, akkor az egyenletnek nincs megoldása.
És ha, akkor két gyökeret kapunk. Ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. A lényeg az, hogy tudnod kell, és mindig emlékezned kell arra, hogy nem lehet kevesebb.
Próbáljunk meg néhány példát megoldani.
5. példa:
Oldja meg az egyenletet
Most már csak a gyökér kivonása marad a bal és a jobb oldalról. Végül is emlékszel, hogyan kell kivonni a gyökereket?
Válasz:
Soha ne feledkezz meg a negatív előjelű gyökerekről!!!
6. példa:
Oldja meg az egyenletet
Válasz:
7. példa:
Oldja meg az egyenletet
Ó! Egy szám négyzete nem lehet negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenlet
nincsenek gyökerek!
Az ilyen egyenletekhez, amelyeknek nincs gyökere, a matematikusok egy speciális ikont találtak ki - ( üres készlet). A választ pedig így írhatjuk:
Válasz:
Így ennek a másodfokú egyenletnek két gyöke van. Itt nincsenek korlátozások, mivel nem bontottuk ki a gyökeret.
8. példa:
Oldja meg az egyenletet
Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:
Így,
Ennek az egyenletnek két gyökere van.
Válasz:
A nem teljes másodfokú egyenletek legegyszerűbb típusa (bár mindegyik egyszerű, igaz?). Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van:
Példák nélkül maradunk.
Teljes másodfokú egyenletek megoldása
Emlékeztetünk arra, hogy a teljes másodfokú egyenlet az alakegyenlet egyenlete, ahol
A teljes másodfokú egyenletek megoldása ezeknél egy kicsit nehezebb (csak egy kicsit).
Emlékezz Bármely másodfokú egyenlet megoldható diszkrimináns segítségével! Még hiányos is.
A többi módszer segít gyorsabban megtenni, de ha problémái vannak a másodfokú egyenletekkel, először sajátítsa el a megoldást a diszkrimináns segítségével.
1. Másodfokú egyenletek megoldása diszkrimináns segítségével.
A másodfokú egyenletek megoldása ezzel a módszerrel nagyon egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzünk a műveletek sorozatára és néhány képletre.
Ha, akkor az egyenletnek van gyöke. különös figyelmet tegyen egy lépést. A diszkrimináns () az egyenlet gyökeinek számát adja meg.
- Ha, akkor a lépésben szereplő képlet erre csökken. Így az egyenletnek csak gyöke lesz.
- Ha, akkor a lépésnél nem tudjuk kinyerni a diszkrimináns gyökerét. Ez azt jelzi, hogy az egyenletnek nincs gyökere.
Térjünk vissza az egyenletekhez, és nézzünk meg néhány példát.
9. példa:
Oldja meg az egyenletet
1. lépés kihagyjuk.
2. lépés
Megtaláljuk a diszkriminánst:
Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek két gyöke van.
3. lépés
Válasz:
10. példa:
Oldja meg az egyenletet
Az egyenlet szabványos formában kerül bemutatásra, tehát 1. lépés kihagyjuk.
2. lépés
Megtaláljuk a diszkriminánst:
Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek egy gyöke van.
Válasz:
11. példa:
Oldja meg az egyenletet
Az egyenlet szabványos formában kerül bemutatásra, tehát 1. lépés kihagyjuk.
2. lépés
Megtaláljuk a diszkriminánst:
Ez azt jelenti, hogy nem tudjuk kivonni a diszkrimináns gyökerét. Az egyenletnek nincsenek gyökerei.
Most már tudjuk, hogyan kell helyesen leírni az ilyen válaszokat.
Válasz: nincsenek gyökerei
2. Másodfokú egyenletek megoldása Vieta tételével.
Ha emlékszel, van egy egyenlettípus, amelyet redukáltnak neveznek (amikor az a együttható egyenlő:
Az ilyen egyenleteket nagyon könnyű megoldani Vieta tételével:
Gyökerek összege adott másodfokú egyenlet egyenlő, és a gyökök szorzata egyenlő.
12. példa:
Oldja meg az egyenletet
Ez az egyenlet megoldható Vieta tételével, mert .
Az egyenlet gyökeinek összege egyenlő, azaz. megkapjuk az első egyenletet:
És a termék egyenlő:
Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert:
- És. Az összeg egyenlő;
- És. Az összeg egyenlő;
- És. Az összeg egyenlő.
és ezek a megoldások a rendszerre:
Válasz: ; .
13. példa:
Oldja meg az egyenletet
Válasz:
14. példa:
Oldja meg az egyenletet
Az egyenlet adott, ami azt jelenti:
Válasz:
QUADRATE EGYENLETEK. KÖZÉPSZINT
Mi az a másodfokú egyenlet?
Más szavakkal, a másodfokú egyenlet olyan alakú egyenlete, ahol - az ismeretlen, - néhány szám, és.
A számot a legmagasabb ill első együttható másodfokú egyenlet, - második együttható, A - ingyenes tag.
Miért? Mert ha az egyenlet azonnal lineárissá válik, mert el fog tűnni.
Ebben az esetben és egyenlő lehet nullával. Ebben a székben az egyenletet hiányosnak nevezik. Ha az összes kifejezés a helyén van, akkor az egyenlet teljes.
Megoldások különböző típusú másodfokú egyenletekre
Nem teljes másodfokú egyenletek megoldási módszerei:
Először is nézzük meg a hiányos másodfokú egyenletek megoldásának módszereit – ezek egyszerűbbek.
A következő típusú egyenleteket különböztethetjük meg:
I., ebben az egyenletben az együttható és a szabad tag egyenlő.
II. , ebben az egyenletben az együttható egyenlő.
III. , ebben az egyenletben a szabad tag egyenlő.
Most nézzük meg az egyes altípusok megoldását.
Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van:
A négyzetes szám nem lehet negatív, mert ha két negatív vagy két pozitív számot megszorozunk, az eredmény mindig pozitív szám lesz. Ezért:
ha, akkor az egyenletnek nincsenek megoldásai;
ha két gyökerünk van
Ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. A legfontosabb, hogy ne feledje, hogy nem lehet kevesebb.
Példák:
Megoldások:
Válasz:
Soha ne feledkezz meg a negatív előjelű gyökerekről!
Egy szám négyzete nem lehet negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenlet
nincsenek gyökerei.
Ahhoz, hogy röviden leírjuk, hogy egy problémának nincs megoldása, használjuk az üres készlet ikont.
Válasz:
Tehát ennek az egyenletnek két gyökere van: és.
Válasz:
Kivesszük közös szorzó zárójelen kívül:
A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek van megoldása, ha:
Tehát ennek a másodfokú egyenletnek két gyökere van: és.
Példa:
Oldja meg az egyenletet.
Megoldás:
Tekintsük az egyenlet bal oldalát, és keressük meg a gyökereket:
Válasz:
Teljes másodfokú egyenletek megoldási módszerei:
1. Diszkrimináns
A másodfokú egyenletek megoldása így egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzünk a műveletek sorrendjére és néhány képletre. Ne feledje, hogy bármilyen másodfokú egyenlet megoldható diszkrimináns segítségével! Még hiányos is.
Észrevetted a gyökeret a diszkriminánsból a gyökérképletben? De a megkülönböztető lehet negatív is. Mit tegyek? Különös figyelmet kell fordítanunk a 2. lépésre. A diszkrimináns megmondja az egyenlet gyökeinek számát.
- Ha, akkor az egyenletnek gyökerei vannak:
- Ha akkor az egyenletnek van azonos gyökerek, de lényegében egy gyökér:
Az ilyen gyökereket kettős gyökérnek nevezzük.
- Ha, akkor a diszkrimináns gyökerét nem nyerjük ki. Ez azt jelzi, hogy az egyenletnek nincs gyökere.
Miért lehetséges különböző mennyiségben gyökerek? Térjünk rá geometriai érzék másodfokú egyenlet. A függvény grafikonja egy parabola:
Egy speciális esetben, ami egy másodfokú egyenlet, . Ez azt jelenti, hogy a másodfokú egyenlet gyökerei az abszcissza tengellyel (tengellyel) való metszéspontok. Egy parabola egyáltalán nem metszi a tengelyt, vagy egy (ha a parabola csúcsa a tengelyen van) vagy két pontban metszi azt.
Ezenkívül az együttható felelős a parabola ágainak irányáért. Ha, akkor a parabola ágai felfelé, és ha, akkor lefelé irányulnak.
Példák:
Megoldások:
Válasz:
Válasz: .
Válasz:
Ez azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.
Válasz: .
2. Vieta tétele
A Vieta-tétel használata nagyon egyszerű: csak olyan számpárt kell választani, amelynek szorzata egyenlő az egyenlet szabad tagjával, és az összeg egyenlő az ellenkező előjellel vett második együtthatóval.
Fontos megjegyezni, hogy Vieta tétele csakis alkalmazható redukált másodfokú egyenletek ().
Nézzünk néhány példát:
1. példa:
Oldja meg az egyenletet.
Megoldás:
Ez az egyenlet megoldható Vieta tételével, mert . Egyéb együtthatók: ; .
Az egyenlet gyökeinek összege:
És a termék egyenlő:
Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő, és ellenőrizzük, hogy összegük egyenlő-e:
- És. Az összeg egyenlő;
- És. Az összeg egyenlő;
- És. Az összeg egyenlő.
és ezek a megoldások a rendszerre:
Így és ezek az egyenletünk gyökerei.
Válasz: ; .
2. példa:
Megoldás:
Válasszunk ki a szorzatban szereplő számpárokat, majd ellenőrizzük, hogy összegük egyenlő-e:
és: összesen adnak.
és: összesen adnak. Megszerzéséhez elegendő egyszerűen megváltoztatni a feltételezett gyökerek jeleit: és végül is a terméket.
Válasz:
3. példa:
Megoldás:
Az egyenlet szabad tagja negatív, ezért a gyökök szorzata az negatív szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyik gyökér negatív, a másik pozitív. Ezért a gyökök összege egyenlő moduljaik különbségei.
Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek megadják a szorzatot, és amelyek különbsége egyenlő:
és: különbségük egyenlő - nem illik;
és: - nem alkalmas;
és: - nem alkalmas;
és: - alkalmas. Csak emlékezni kell arra, hogy az egyik gyökér negatív. Mivel összegüknek egyenlőnek kell lennie, a kisebb modulusú gyöknek negatívnak kell lennie: . Ellenőrizzük:
Válasz:
4. példa:
Oldja meg az egyenletet.
Megoldás:
Az egyenlet adott, ami azt jelenti:
A szabad tag negatív, ezért a gyökök szorzata negatív. Ez pedig csak akkor lehetséges, ha az egyenlet egyik gyöke negatív, a másik pedig pozitív.
Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő, majd határozzuk meg, hogy melyik gyöknek legyen negatív előjele:
Nyilvánvalóan csak a gyökerek alkalmasak az első feltételre:
Válasz:
5. példa:
Oldja meg az egyenletet.
Megoldás:
Az egyenlet adott, ami azt jelenti:
A gyökök összege negatív, ami azt jelenti, hogy legalább az egyik gyökér negatív. De mivel a termékük pozitív, ez azt jelenti, hogy mindkét gyökérnek mínusz jele van.
Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő:
Nyilvánvaló, hogy a gyökerek a számok és.
Válasz:
Egyetértek, nagyon kényelmes szóban kitalálni a gyökereket, ahelyett, hogy ezt a csúnya megkülönböztetőt számolnánk. Próbálja meg minél gyakrabban használni Vieta tételét.
De Vieta tételére azért van szükség, hogy megkönnyítsük és felgyorsítsuk a gyökerek megtalálását. Ahhoz, hogy előnyt kovácsolhasson a használatából, a műveleteket automatizálnia kell. És ehhez oldj meg még öt példát. De ne csalj: nem használhatsz megkülönböztetőt! Csak Vieta tétele:
Az önálló munkavégzés feladatainak megoldásai:
1. feladat ((x)^(2))-8x+12=0
Vieta tétele szerint:
A válogatást szokás szerint a darabbal kezdjük:
Nem alkalmas, mert az összeg;
: az összeg pont annyi, amennyire szüksége van.
Válasz: ; .
2. feladat.
És ismét a kedvenc Vieta-tételünk: az összegnek egyenlőnek kell lennie, és a szorzatnak egyenlőnek kell lennie.
De mivel nem kell, hanem, megváltoztatjuk a gyökök jeleit: és (összesen).
Válasz: ; .
3. feladat.
Hmm... Hol van az?
Az összes kifejezést egyetlen részbe kell helyeznie:
A gyökerek összege egyenlő a szorzattal.
Oké, állj! Az egyenlet nincs megadva. De Vieta tétele csak az adott egyenletekben alkalmazható. Tehát először meg kell adni egy egyenletet. Ha nem tudsz vezetni, add fel ezt az ötletet, és oldd meg más módon (például diszkrimináns segítségével). Hadd emlékeztesselek arra, hogy másodfokú egyenlet megadása azt jelenti, hogy a vezető együtthatót egyenlővé kell tenni:
Nagy. Ekkor a gyökök összege egyenlő és a szorzat.
Itt olyan egyszerű a választás, mint a körte héjánál: végül is prímszámról van szó (elnézést a tautológiáért).
Válasz: ; .
4. feladat.
Az ingyenes tag negatív. Mi ebben a különleges? És az a tény, hogy a gyökereknek különböző jelei lesznek. És most a kiválasztás során nem a gyökök összegét, hanem a moduljaik különbségét ellenőrizzük: ez a különbség egyenlő, de szorzat.
Tehát a gyökerek egyenlőek és -vel, de az egyik mínusz. Vieta tétele azt mondja, hogy a gyökök összege egyenlő a második, ellenkező előjelű együtthatóval, azaz. Ez azt jelenti, hogy a kisebb gyökérnek mínusza lesz: és, mivel.
Válasz: ; .
5. feladat.
Mit kell először csinálni? Így van, adja meg az egyenletet:
Ismét: kiválasztjuk a szám tényezőit, és különbségük egyenlő legyen:
A gyökerek egyenlőek és -vel, de az egyik mínusz. Melyik? Összegüknek egyenlőnek kell lennie, ami azt jelenti, hogy a mínusznak nagyobb gyöke lesz.
Válasz: ; .
Hadd foglaljam össze:
- Vieta tétele csak a megadott másodfokú egyenletekben használatos.
- Vieta tételét használva kiválasztással, szóban megtalálhatja a gyökereket.
- Ha az egyenlet nincs megadva, vagy nem található a szabad tag megfelelő tényezőpárja, akkor nincsenek egész gyökök, és ezt más módon kell megoldani (például diszkrimináns segítségével).
3. A teljes négyzet kiválasztásának módja
Ha az összes ismeretlent tartalmazó tagot rövidített szorzóképletekből származó tagok formájában ábrázoljuk - az összeg vagy a különbség négyzete -, akkor a változók cseréje után az egyenlet egy ilyen típusú hiányos másodfokú egyenlet formájában is bemutatható.
Például:
1. példa:
Oldja meg az egyenletet: .
Megoldás:
Válasz:
2. példa:
Oldja meg az egyenletet: .
Megoldás:
Válasz:
Általában az átalakítás így fog kinézni:
Ebből következik: .
Nem emlékeztet semmire? Ez diszkriminatív dolog! Pontosan így kaptuk a diszkriminancia képletet.
QUADRATE EGYENLETEK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL
Másodfokú egyenlet- ez egy olyan alakú egyenlet, ahol - az ismeretlen, - a másodfokú egyenlet együtthatói, - a szabad tag.
Teljes másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együtthatók nem egyenlőek nullával.
Csökkentett másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együttható, azaz: .
Hiányos másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együttható és/vagy a c szabad tag egyenlő nullával:
- ha az együttható, az egyenlet így néz ki: ,
- ha van szabad tag, akkor az egyenletnek a következő alakja van: ,
- ha és, az egyenlet így néz ki: .
1. Algoritmus hiányos másodfokú egyenletek megoldására
1.1. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:
1) Fejezzük ki az ismeretlent: ,
2) Ellenőrizze a kifejezés jelét:
- ha, akkor az egyenletnek nincs megoldása,
- ha, akkor az egyenletnek két gyöke van.
1.2. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:
1) Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelből: ,
2) A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ezért az egyenletnek két gyökere van:
1.3. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:
Ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van: .
2. Algoritmus hol alakú teljes másodfokú egyenletek megoldására
2.1. Megoldás diszkrimináns használatával
1) Tegyük szabványos alakba az egyenletet: ,
2) Számítsuk ki a diszkriminánst a következő képlettel: , amely az egyenlet gyökeinek számát jelöli:
3) Keresse meg az egyenlet gyökereit:
- ha, akkor az egyenletnek gyökei vannak, amelyeket a következő képlettel találunk meg:
- ha, akkor az egyenletnek van gyöke, amelyet a következő képlettel találunk meg:
- ha, akkor az egyenletnek nincs gyöke.
2.2. Megoldás Vieta tételével
A redukált másodfokú egyenlet (ahol alakú egyenlet) gyökeinek összege egyenlő, a gyökök szorzata pedig egyenlő, azaz. , A.
2.3. Megoldás a teljes négyzet kiválasztásának módszerével
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete