Llojet e modeleve matematikore. Modelimi i matematikës
Klasa Master
"Përdorimi i simulimit në mësimdhënien e matematikës"
Synimi:
Kontribuoni në sistemimin e njohurive të mësuesve për modelimin dhe përgatitjen e edukatorëve për përdorim modelet e trajnimit V procesi arsimor matematikë.
Detyrat:
Të krijohen kushte për organizimin e punës për zhvillimin e modeleve të mësimdhënies nga mësuesit dhe përcaktimin e mundësive dhe efektivitetit të zbatimit të tyre në procesin e mësimdhënies së matematikës.
faza organizative.
Krijimi i gatishmërisë psikologjike të pjesëmarrësve të klasës master për punë e përbashkët.
– te dashur kolege, Përshëndetje! Jam i lumtur t'ju mirëpres në klasën time master.
Tema e seminarit tim "Përdorimi i simulimit në mësimdhënien e matematikës".
Ju keni një tabelë të fiksimit të njohurive para jush, ju lutemi plotësoni kolonën e dytë "Unë e di" për këtë temë dhe lëreni mënjanë.
| dua ta di |
|||
| Modelimi |
Qëllimi im: Të kontribuoj në sistemimin e njohurive të mësuesve për modelimin dhe përgatitjen e mësuesve për përdorimin e modeleve arsimore në procesin arsimor në matematikë.
Po qëllimi juaj? (përgjigjet)
2. Rëndësia.
- Pse mendoni se matematika është kaq e përfaqësuar në program? shkolle fillore?
Matematika si lëndë në Shkolla fillore Ai është krijuar për të zhvilluar sa më shumë personalitetin e një studenti më të ri, për të promovuar formimin e pavarësisë së tij në veprimtaritë edukative dhe njohëse, prandaj përfaqësohet gjerësisht në programin e arsimit fillor: 4 orë në javë ose 536 orë për një fillore. kursi shkollor. Detyra e mësuesit të shkollës fillore është të formojë te të gjithë fëmijët një nivel bazë të paraqitjet matematikore dhe metodat e veprimtarisë të nevojshme për përshtatja sociale në shoqëri. Zgjidhja e këtij problemi shpesh shkakton vështirësi të mëdha, pasi nuk ka asnjë nga objektet matematikore realitet nuk ekziston, dhe të menduarit e fëmijëve më të vegjël mosha shkollore kryesisht vizuale-figurative, aftësia për të kuptuar edhe më të thjeshtë materiali matematik janë krejt të ndryshme.
Prandaj, kërkesat moderne për formimin veprimet mendore në mësimet e matematikës kërkojnë përdorimin e më së shumti metoda efektive dhe metodat e mësimdhënies. Një prej tyre është metoda e modelimit.
Metoda e modelimit është bërë një nga metodat kryesore kërkimin shkencor. Kjo metodë, ndryshe nga të tjerat, është universale dhe përdoret në të gjitha shkencat, në të gjitha fazat e kërkimit shkencor. Ka një fuqi të madhe heuristike, ju lejon të reduktoni studimin e kompleksit në të thjeshtën, të padukshmen dhe të padukshmen në të dukshmen dhe të prekshmen, të panjohurën tek e njohura, d.m.th. bëj fenomen kompleks realitet i disponueshëm për studim të kujdesshëm dhe gjithëpërfshirës. Në këtë drejtim, përdorimi i modeleve dhe simulimi në mësimdhënie, sipas shumicës së teoricienëve, fiton kuptim të veçantë për të përmirësuar nivelin teorik të shkencës dhe praktikës pedagogjike.
Nevoja që studentët më të rinj të zotërojnë metodën e modelimit si metodë e njohjes në procesin mësimor mund të vërtetohet me pozicione të ndryshme.
- Çfarë mendoni nga çfarë?
Së pari, siç tregojnë eksperimentet, futja e koncepteve të modelit dhe simulimit në përmbajtjen e arsimit ndryshon ndjeshëm qëndrimin e studentëve ndaj subjekt, i bën ato veprimtaritë mësimore më kuptimplotë dhe më produktiv.
Së dyti, trajnimi i qëllimshëm dhe sistematik në metodën e modelimit sjell nxënës të shkollave të vogla ndaj metodave njohuritë shkencore, i siguron ato zhvillimin intelektual.
- Në përkufizimin e simulimit, futni fjalët që mungojnë.
“Modelimi është metodë njohja e ndërmjetësuar, në të cilën ne studiojmë jo objektin e interesit për ne, por zëvendësuesin e tij ( model ), i cili është në njëfarë korrespondence objektive me objektin njohës, i aftë për ta zëvendësuar atë në disa aspekte, dhe në të njëjtën kohë të japë informacione të reja rreth objektit" (L. M. Fridman)rrëshqitje 2
Kur futni modelimin në përmbajtjen e mësimdhënies së matematikës, është e rëndësishme që vetë studentët të zotërojnë metodën e modelimit, të mësojnë se si të ndërtojnë dhe transformojnë modele, duke reflektuar marrëdhënie të ndryshme dhe rregullsitë, ata vetë studiuan çdo objekt, dukuri me ndihmën e modelimit.
Kur studentët, duke zgjidhur një problem praktik matematikor, kuptojnë se ai është një model simbolik i një situate reale, hartojnë një sekuencë të modeleve të ndryshme të saj, më pas studiojnë (zgjidhin) këto modele dhe, në fund, përkthen zgjidhjen që rezulton në gjuhën e origjinalit. Në këtë mënyrë studentët zotërojnë metodën e modelimit.
Hyrje në modelet.
- Çfarë lloje modelesh njihni dhe zbatoni në praktikë? (Në rast vështirësie, propozohet të zgjidhni nga opsionet e propozuara:verbale, verbale, ilustrative, tematike, heuristike, skematike, matematikore, gjeometrike)
Llojet e modeleve: verbale, lëndore, skematike, matematikore.
Janë katër modele që përdoren kur punohet për një problem në orët e matematikës: lëndore, verbale, skematike, matematikore.
Formohet një grup. (Në fillim, në mënyrë të pavarur, por në procesin e punës ndryshon, plotësohet, defektet korrigjohen.)
Shembuj modelet e lëndëve mund të ketë ilustrime komplote, sende individuale ose imazhet e tyre. rrëshqitje 3
Tek grupi modele verbale ne i referohemi para së gjithash vetë tekstit të problemit, përveç kësaj, lloje te ndryshme shënime të shkurtra të tekstit të detyrës. Për disa probleme teksti, një formë më e përshtatshme e modelit verbal është një tabelë. rrëshqitje 4
Kolya - 3
Tanya - ?, 2 të tjera
Total - ?
Modele skematike shërbejnë për paraqitjen vizuale të situatës së detyrës, por këtu nuk përdoren objekte specifike dhe imazhet e tyre, por lloje të ndryshme simbolesh që zëvendësojnë objektet reale (për shembull, rrathë, katrorë, segmente, pika, etj.).
Modelet më të zakonshme të këtij lloji në shkollën fillore janë ilustrimet skematike dhe vizatimet skematike. Rrëshqitje 6
Nën modele matematikore duhet kuptuar shprehjet apo barazitë matematikore (3+4, 3+5=8). Rrëshqitja 7
Shprehje matematikore (për shembull, një regjistrim i formës 5 + 3);
Barazi matematikore (për shembull, shkrimi si 5+3=8).
(Fletushka për grupet "Llojet e modeleve")
4. Veprimet që mund të kryhen me modele.
Në mënyrë që procesi i kalimit nga një model në tjetrin gjatë zgjidhjes së një problemi tekstual të jetë i menduar, i mirëorganizuar dhe efikas, është e rëndësishme të zhvillohet një kompleks detyra didaktike për modelet e trajnimit.
- Le të sqarojmë se çfarë veprimesh mund të kryhen me modelet?
1) Detyrat për përputhjen e modeleve:Rrëshqitja 8
gjatë kryerjes së detyrave për korrelacioni i modeleve fëmija duhet të përcaktojë nëse modelet e propozuara për krahasim korrespondojnë me njëri-tjetrin dhe të shpjegojë pse ka ose nuk ka korrespondencë. Për shembull, jepet një vizatim, një diagram dhe një ekuacion. Nxënësi shpjegon pse diagrami i përshtatet vizatimit dhe barazisë. Rrëshqitja 9
2) Detyrat për ndërtimin e një modeli:
vetë-ndërtuar në një tavolinë nga forma gjeometrike skema që korrespondon me figurën, tekstin e problemit ose shënimi matematik, bëni një shprehje matematikore që korrespondon me vizatimin, diagramin ose tekstin e propozuar të problemit. Rrëshqitje 10
3) Detyrat për zgjedhjen e një modeli:
kur plotësojnë detyrat e këtij grupi, fëmijët nga disa opsione të propozuara zgjedhin atë që korrespondon me një model tjetër. rrëshqitje 11
4) Shembuj të detyrave për ndryshimin e modelit:
të ndryshojë skemën e propozuar në mënyrë që skemë e re korrespondonte me ilustrimin e komplotit, tekstin e detyrës, shprehje numerike ose barazi;
ndryshoni tekstin e propozuar të detyrës në mënyrë që tekst i ri korrespondonte me ilustrimin e komplotit, skemën, shprehjen numerike. rrëshqitje 12
Shumë detyra në tekstin shkollor mund të diferencohen.
Përdorimi i modeleve të trajnimit e bën më të arritshëm për fëmijën të perceptojë dhe kuptojë tekstin e detyrës, pasi modelet ndihmojnë në vizualizimin e lidhjeve dhe marrëdhënieve të fshehura në vëzhgimin e drejtpërdrejtë, të paraqitura në tekstin e detyrës.
Për shkak të aftësisë për të vizualizuar karakteristikat më domethënëse të objektit në studim, modeli shërben si një lloj vizualizimi shumë produktiv.
Duke qenë se të menduarit e fëmijëve të moshës së shkollës fillore është kryesisht vizual-figurativ, mbështetja në modele bën të mundur që nxënësit të familjarizohen me disa përgjithësime (madje edhe më të thjeshtat) teorike. Kjo është shumë domethënëse në hapat e parë të të mësuarit për të zgjidhur një problem. Megjithatë, në mënyrë që puna me modelet të çojë në "kthim" maksimal, aplikimi i tyre duhet të jetë konsistent dhe sistematik.
rrëshqitja 13 (bosh)
(Fletëpalosje "Grupet e detyrave të fokusuara në kryerjen e një prej veprimeve të mëposhtme: ...."
5. Grupet e detyrave të fokusuara në kryerjen e një prej veprimeve të mëposhtme:
- detyra për modelet që përputhen:
1. Korrelacioni i modeleve lëndore dhe verbale.
2. Korrelacioni i modeleve lëndore dhe skematike. A përputhet diagrami me vizatimin?
3. Korrelacioni i lëndës dhe modeleve matematikore.
A është i saktë ilustrimi?
4. Korrelacioni ndërmjet modeleve verbale dhe matematikore.
A e zgjidhi si duhet Vanya problemin?
5. Korrelacioni i modeleve verbale dhe skematike.
Kontrolloni nëse Petya ka hartuar saktë një diagram për problemin.
6. Korrelacioni ndërmjet modeleve skematike dhe matematikore.
A është i saktë shembulli i diagramit?
- Zgjedhja e modelit:
1. Detyrat për zgjedhjen e modelit kur krahasohen modele lëndore dhe verbale.
E cila hyrje e shkurtër përshtatet me foton?
2. Detyrat për zgjedhjen e një modeli gjatë krahasimit të modeleve lëndore dhe skematike.
Zgjidhni një diagram për vizatimin.
3. Detyrat për zgjedhjen e një modeli gjatë krahasimit të modeleve lëndore dhe matematikore.
Cili shembull i përshtatet figurës?
4. Detyrat për zgjedhjen e një modeli gjatë krahasimit të modeleve verbale dhe matematikore.
Zgjidhni vendimi i duhur detyrat.
5. Detyrat për zgjedhjen e modelit gjatë krahasimit të modeleve verbale dhe skematike.
Zgjidhni një skemë
6. Detyrat për zgjedhjen e një modeli gjatë krahasimit të modeleve skematike dhe matematikore.
Cili shembull i përshtatet diagramit?
- Ndryshimi i modelit:
1. Detyrë për të ndryshuar modelin në çiftin "Modeli i objektit - modeli verbal"
Ndryshoni figurën në mënyrë që të përputhet me tekstin e problemit. Ose anasjelltas.
Ndryshoni përmbledhjen që të përputhet me vizatimin
2. Detyrë për të ndryshuar modelin në çiftin "Modeli i objektit - modeli skematik"
Plotësoni skemën
3. Detyrë për ndryshimin e modelit në çift "Modeli i objektit - modeli matematikor"
Petya shkroi një shembull për vizatimin. Një pjesë e shembullit nuk është e dukshme. Shto një hyrje.
4. Detyrë për ndryshimin e modelit në çift "Modeli verbal - model matematik"
Ndryshoni tekstin e detyrës në mënyrë që ajo të zgjidhet si kjo:
5. Detyrë për ndryshimin e modelit në çift "Modeli verbal - model skematik"
Rregulloni skemën
6. . Detyrë për ndryshimin e modelit në çiftin "Modeli skematik - modeli matematik"
Katya bëri një diagram, korrigjoni gabimin e saj.
- Plotësoni kushtin dhe pyetjen që problemi të zgjidhet me mbledhje.
- Modifiko diagramin për ta paraqitur atë me një veprim zbritës
- modeli i ndërtesës:
1. Detyrë për ndërtimin e një modeli në çift "Modeli i objektit - model verbal"
Hartoni një detyrë sipas vizatimit ose bëni një vizatim në tekstin e detyrës (shënim i shkurtër)
2. Detyrë për ndërtimin e një modeli në çift "Modeli i objektit - modeli skematik"
Bëni një diagram në vizatimin e propozuar ose, anasjelltas, bëni një vizatim në diagramin e propozuar
3. Detyrë për ndërtimin e një modeli në çift "Modeli i objektit - modeli matematik"
Krijo një shembull për një vizatim
4. Detyrë për ndërtimin e një modeli në çift “Modeli verbal – model matematikor”
Shkruani një problem që mund të zgjidhet si kjo 5. Detyrë për ndërtimin e një modeli në çift "Modeli verbal - model skematik"
Bëni një detyrë sipas skemës
Bëni një shembull sipas skemës ose skemës së shprehjes
6. Punoni në grupe:
Detyrat për punë në grup
1) Nga diapazoni i propozuar i detyrave didaktike, zgjidhni një detyrë për lidhjen e modeleve lëndore dhe verbale kur punoni në një detyrë.
2) Nga sfera e propozuar e detyrave didaktike, zgjidhni një detyrë për lidhjen e modeleve lëndore dhe verbale kur punoni në një detyrë.
a) A përputhet diagrami me vizatimin?
b) Kontrolloni nëse Katya ka hartuar saktë një diagram për problemin?
c) Kontrolloni nëse Sergey e zgjidhi saktë problemin.
d) A përputhet përmbledhja me vizatimin?
e) A është i saktë shembulli i vizatimit?
e) A është i saktë shembulli i diagramit?
3) Nga diapazoni i propozuar i detyrave didaktike, zgjidhni një detyrë për lidhjen e modeleve të lëndës dhe skemës kur punoni në një detyrë.
a) A është i saktë shembulli i diagramit?
b) A i përshtatet vizatimi problemit?
c) Kontrolloni nëse Sergey e zgjidhi saktë problemin.
d) A përputhet diagrami me vizatimin?
e) A është i saktë shembulli i vizatimit?
f) Kontrolloni nëse Katya ka hartuar saktë një diagram për problemin?
1) Përcaktoni detyrën për zgjedhjen e një modeli. Rrëshqitja 14
Përcaktoni detyrën e përputhjes së modelit. rrëshqitje 15
3) Përcaktoni detyrën për ndërtimin e modeleve.rrëshqitje 16
7.Opsionet metodologjike për përdorimin e modeleve.Rrëshqitja 17
Opsionet metodike për përdorimin e modeleve: riprodhues-vizual, produktiv-vizual, riprodhues-praktik, produktiv-praktik. Konsideroni shembuj të përdorimit të modeleve për të gjetur një zgjidhje për një problem teksti: "Kolya ka 3 mollë dhe Lena ka 2 mollë. Sa mollë kanë fëmijët së bashku?
Opsioni 1. Riprodhues-vizual
Mësuesi/ja demonstron një model (në një dërrasë të zezë, kanavacën e shtypjes) dhe, bazuar në të, jep një shpjegim verbal se si të zgjidhet problemi. Në të njëjtën kohë, shpjegimi vepron si një transferim riprodhues i informacionit nga mësuesi te fëmijët.
Djema, unë vendos 3 rrathë në të majtë në kanavacën e radhitjes, sepse në problemin tonë thotë që Kolya kishte 3 mollë, dhe 2 rrathë në të djathtë - po aq mollë, sipas gjendjes së problemit që ka Lena. Detyra është të zbuloni sa mollë kanë fëmijët gjithsej, kështu që unë do t'i lëviz rrathët me njëri-tjetrin. Prandaj, ky problem zgjidhet duke përdorur veprimin e shtimit. Le të shkruajmë së bashku zgjidhjen e problemës: 3+2=5.
Opsioni 2. Produktiv dhe vizual
Mësuesi demonstron një model (në një dërrasë të zezë, në një kanavacë radhitjeje) dhe, në procesin e ndërtimit të tij, zhvillon një bisedë heuristike me fëmijët, në mënyrë që vetë fëmijët të "zbulojnë" një mënyrë për të zgjidhur problemin. Ai përdor një formë produktive të marrjes së njohurive.
Një shembull i shpjegimit të zgjidhjes së problemit:
Fëmijë, tani do të tregoj mollët e Kolya në të majtë, dhe mollët e Lenës në të djathtë. Sa rrathë duhet të vendos në të majtë? Pse? (Pas përgjigjeve të fëmijëve, mësuesja vendos 3 rrathë në kanavacën e radhitjes në të majtë.) Sa rrathë duhet të vendosen në kanavacën e radhitjes në të djathtë? Pse? (Pas përgjigjeve të fëmijëve, mësuesi vendos 2 rrathë në të djathtë në kanavacën e radhitjes.) Çfarë duhet bërë për të treguar se po mbledhim mollët e Kolyas dhe Lenës së bashku? (Pas përgjigjeve të fëmijëve, mësuesja zhvendos një rreth në tjetrin). Cili veprim e zgjidh problemin? Pse? Si e shkruajmë zgjidhjen e problemit?
Opsioni 3. Riprodhues-praktik
Mësuesi/ja ndërton një model (në një dërrasë të zezë, në një telajo radhitjeje) dhe në të njëjtën kohë u kërkon fëmijëve të ndërtojnë të njëjtin model në një tavolinë ose në një fletore. Gjatë ndërtimit të modelit mësuesi/ja jep një shpjegim verbal të natyrës riprodhuese për mënyrën e zgjidhjes së problemit.
Një shembull i shpjegimit të zgjidhjes së problemit:
Fëmijë, tani do të vendos 3 rrathë në të majtë në kanavacën e radhitjes, sepse, sipas gjendjes së problemit, Kolya kishte 3 mollë, dhe 2 rrathë në të djathtë - Lena kishte kaq shumë mollë. Vendos 3 rrathë me mua në tavolinë në të majtë dhe 2 rrathë në tavolinë në të djathtë. Detyra është të zbuloni sa mollë kanë fëmijët gjithsej. Prandaj, unë do t'i lëviz krikllat tek njëri-tjetri dhe ju gjithashtu, mbi tavolina, lëvizni filizat tuaja tek njëri-tjetri. Meqenëse po i lëvizim rrathët së bashku, problemi zgjidhet me mbledhje. Le të shkruajmë së bashku zgjidhjen e problemës: 3+2=5.
Opsioni 4. Produktiv - praktik
Mësuesi/ja ndërton një model (në një dërrasë, kanavacë radhitjeje) dhe në të njëjtën kohë u kërkon fëmijëve të ndërtojnë të njëjtin model në një tavolinë ose në një fletore. Në procesin e ndërtimit të një modeli, mësuesi zhvillon një bisedë heuristike me fëmijët në mënyrë që vetë fëmijët të "zbulojnë" një mënyrë për të zgjidhur problemin.
Një shembull i shpjegimit të zgjidhjes së problemit
Fëmijë, le të tregojmë mollët e Kolya në të majtë, dhe mollët e Lenës në të djathtë. Sa rrathë duhet të tregojmë në të majtë? Pse? Le ta bëjmë këtë së bashku: Unë do t'i vendos rrathët në anën e majtë të kanavacës së radhitjes dhe ju do t'i vendosni në anën e majtë të tavolinës suaj.
Sa rrathë duhet të tregojmë në të djathtë? Pse? Le ta bëjmë këtë së bashku: Unë do t'i vendos rrathët në anën e djathtë të kanavacës së radhitjes dhe ju do t'i vendosni në anën e djathtë të tavolinës suaj. Çfarë duhet bërë për të treguar se po mbledhim mollët e Kolyas dhe Lenës së bashku? Kjo është e drejtë, ju duhet të lëvizni rrathët me njëri-tjetrin. Le ta bëjmë së bashku: Unë jam në kanavacën e radhitjes, dhe ju jeni në tavolinat tuaja. Çfarë kemi bërë për të gjetur përgjigjen e problemit? Pra, çfarë veprimi e zgjidh problemin? Si e shkruajmë zgjidhjen e problemit?
Kur shpjegoni materialin që është i vështirë për fëmijët, rekomandohet të përdorni më shpesh një version produktiv - praktik të modelimit, pasi kjo siguron një formë heuristike të transferimit të informacionit ("zbulim subjektiv i njohurive") dhe aktivitetin praktik të fëmijës në ndërtimin dhe transformimin. modele, e cila është veçanërisht e rëndësishme për një fëmijë me aftësi mesatare ose të dobëta matematikore.
8. Ndërtimet e tekstit të detyrës:Rrëshqitja 18
(Fletëpalosje për mësuesit)
Kushti shprehet në formë narrative, e ndjekur nga një pyetje e shprehur në një fjali pyetëse; struktura më e zakonshme e tekstit.
Kushti shprehet në formë deklarative, e ndjekur nga një pyetje e shprehur në një fjali deklarative.
Një pjesë e kushtit shprehet në formë rrëfimi në fillim të tekstit, më pas fjali pyetëse, e cila përfshin pyetjen dhe një pjesë të kushtit.
Një pjesë e gjendjes shprehet në formë rrëfimi, pastaj vijon gjithashtu fjali deklarative, e cila përfshin pyetjen dhe një pjesë të kushtit.
Teksti i detyrës është një fjali e ndërlikuar pyetëse, në të cilën së pari është pyetja e detyrës, pastaj kushti.
9. Detyrat për punë në grupe:
1 . Për secilin grup, zgjidhni 2,3,4,5 modele nga libri shkollor ose bëni një detyrë.
2. Punëtoria "Llojet e punës në detyrë"
1) për të gjetur pjesën e mbetur ( fjalë kyçe: majtas)
bëj një detyrë
4 lloje modelesh
zgjidhni 1 nga grupet e detyrave (bllokoni "Detyrat për ndryshimin e modelit")
ndryshoni modelin e detyrës
2) për të gjetur shumën (fjala kyçe: u bë)
bëj një detyrë
4 lloje modelesh
zgjidhni 2 nga grupet e detyrave (bllokoni "Detyrat për përputhjen e modelit")
ndryshoni modelin e detyrës
3) për të gjetur ndryshimin (fjala kyçe: sa)
bëj një detyrë
4 lloje modelesh
zgjidhni 1 nga grupet e detyrave (bllokoni "Detyrat për ndërtimin e një modeli")
ndryshoni modelin e detyrës
10. Workshop "Zhvillimi i modeleve ndihmëse që përdoren në zgjidhjen e problemeve në shkollën fillore" Kombinimi i modeleve në një sistem.
1 lloj skemash
ab
2 lloj qarqesh
?, b/m
ab
3 lloje të qarqeve
ishte -
U be...
ab
4 lloj qarqesh
ishte -
majtas --
a
bc
5 lloje të qarqeve
ac
Reflektimi i klasës master
Merrni një kartë me një tabelë fiksimi, nëse keni diçka për të shtuar, futeni në kolonën e tretë. Kush mund të lexojë të dhënat e tabelave të tyre? (Përgjigjet e pjesëmarrësve)
Metoda "Valixhe, shportë, mulli mishi"
Përcaktoni tiparet dominuese të klasifikimit të objektit të lokalizimit dhe zhvilloni një model matematikor për analizën e imazheve të shprehjes së fytyrës.Detyrat
Kërkimi dhe analiza e metodave të lokalizimit të fytyrës, përkufizimi tipare dominuese klasifikimi, zhvillimi i një modeli matematikor optimal për detyrën e njohjes së lëvizjes së shprehjeve të fytyrës.Subjekti
Përveç përcaktimit të hapësirës optimale të ngjyrave për ndërtimin e objekteve të spikatura në një klasë të caktuar imazhi, e cila u krye në fazën e mëparshme të studimit, përcaktimi i veçorive dominuese të klasifikimit dhe zhvillimi i një modeli matematikor të imazheve të shprehjes së fytyrës. luajnë gjithashtu një rol të rëndësishëm.Për të zgjidhur këtë problem, është e nevojshme, para së gjithash, të vendosni veçoritë e modifikimit të detyrës së zbulimit të fytyrës nga një videokamerë në sistem, dhe më pas të kryhet lokalizimi i lëvizjes së buzëve.
Sa i përket detyrës së parë, duhet të dallohen dy lloje të tyre:
Lokalizimi i fytyrës;
Ndjekja e fytyrës.
Meqenëse ne jemi përballur me detyrën e zhvillimit të një algoritmi për njohjen e shprehjeve të fytyrës, është logjike të supozojmë se këtë sistem do të përdoret nga një përdorues që nuk e lëviz kokën shumë aktivisht. Prandaj, për të zbatuar teknologjinë e njohjes së lëvizjes së buzëve, është e nevojshme të merret si bazë një version i thjeshtuar i problemit të zbulimit, ku ka një dhe vetëm një fytyrë në imazh.
Dhe kjo do të thotë që kërkimi i fytyrës mund të kryhet relativisht rrallë (rreth 10 korniza / sek. ose edhe më pak). Në të njëjtën kohë, lëvizjet e buzëve të folësit gjatë një bisede janë mjaft aktive dhe, për këtë arsye, kontura e tyre duhet të vlerësohet me intensitet më të madh.
Problemi i gjetjes së një fytyre në një imazh mund të zgjidhet mjetet ekzistuese. Sot, ekzistojnë disa metoda për zbulimin dhe lokalizimin e një fytyre në një imazh, të cilat mund të ndahen në 2 kategori:
1. Njohja empirike;
2. Modelimi i imazhit të fytyrës. .
Kategoria e parë përfshin metodat e njohjes nga lart-poshtë bazuar në tiparet e pandryshueshme të imazheve të fytyrës, bazuar në supozimin se ka disa shenja të pranisë së fytyrave në imazh që janë të pandryshueshme në lidhje me kushtet e shkrepjes. Këto metoda mund të ndahen në 2 nënkategori:
1.1. Zbulimi i elementeve dhe veçorive (veçorive) që janë karakteristike për imazhin e fytyrës (skajet, shkëlqimi, ngjyra, formë karakteristike tiparet e fytyrës, etj.), .;
1.2. Analiza e veçorive të zbuluara, marrja e një vendimi për numrin dhe vendndodhjen e fytyrave (algoritmi empirik, statistikat pozicioni relativ veçoritë, modelimi i proceseve të imazheve vizuale, përdorimi i shablloneve të ngurtë dhe të deformueshëm, etj.), .
Për funksionimin e saktë të algoritmit, është e nevojshme të krijoni një bazë të dhënash të tipareve të fytyrës me testimin e mëvonshëm. Për një zbatim më të saktë të metodave empirike, mund të përdoren modele që lejojnë marrjen parasysh të mundësive të transformimit të fytyrës dhe, për rrjedhojë, kanë ose një grup të zgjeruar të të dhënave bazë për njohjen, ose një mekanizëm që lejon modelimin e transformimit në elementet bazë. Vështirësitë me ndërtimin e një baze të dhënash të një klasifikuesi të fokusuar në një gamë të gjerë përdoruesish me veçoritë individuale, tiparet e fytyrës etj., kontribuojnë në uljen e saktësisë së njohjes së kësaj metode.
Kategoria e dytë përfshin metodat e statistikave matematikore dhe mësimin e makinerive. Metodat në këtë kategori bazohen në mjetet e njohjes së imazhit, duke marrë parasysh problemin e zbulimit të fytyrës si rast i veçantë detyrat e njohjes. Imazhit i është caktuar një vektor i caktuar i veçorive, i cili përdoret për të klasifikuar imazhet në dy klasa: fytyrë/jo fytyrë. Mënyra më e zakonshme për të marrë një vektor të veçorive është përdorimi i vetë imazhit: çdo piksel bëhet një komponent i vektorit, duke e kthyer imazhin n×m në një vektor hapësinor R^(n×m), ku n dhe m janë numra të plotë numra pozitiv. . Disavantazhi i këtij përfaqësimi është dimensioni jashtëzakonisht i lartë i hapësirës së veçorive. Avantazhi i kësaj metode është përjashtimi nga e gjithë procedura e ndërtimit të një klasifikuesi të pjesëmarrjes njerëzore, si dhe mundësia e trajnimit të vetë sistemit për një përdorues specifik. Prandaj, përdorimi i metodave të modelimit të imazhit për të ndërtuar një model matematikor të lokalizimit të fytyrës është optimale për zgjidhjen e problemit tonë.
Sa i përket segmentimit të profilit të fytyrës dhe gjurmimit të pozicionit të pikave të buzëve në një sekuencë kornizash, atëherë duhet të përdoren edhe metodat e modelimit matematik për të zgjidhur këtë problem. Ka disa mënyra për të përcaktuar lëvizjen e shprehjeve të fytyrës, më të famshmit prej tyre janë përdorimi i një modeli matematikor të bazuar në modelet aktive të konturit:
Lokalizimi i zonës së shprehjeve të fytyrës bazuar në modelin matematikor të modeleve të konturit aktiv
Një kontur aktiv (gjarpër) është një model i deformueshëm, shablloni i të cilit vendoset në formën e një kurbë parametrike, të inicializuar manualisht nga një grup pikash kontrolli që shtrihen në një kurbë të hapur ose të mbyllur në imazhin hyrës.Për të përshtatur konturin aktiv me imazhin e shprehjeve të fytyrës, është e nevojshme të kryhet binarizimi i duhur i objektit në studim, domethënë shndërrimi i tij në një lloj dixhital. bitmaps, dhe më pas duhet të bëhet një vlerësim i duhur i parametrave të qarkut aktiv dhe llogaritja e vektorit të veçorive.
Modeli i konturit aktiv është përcaktuar si:
Komplet pikash N;
Zonat e brendshme energjia e interesit (termi i energjisë elastike të brendshme);
Rajonet e jashtme të energjisë me interes (termi i energjisë së bazuar në skajet e jashtme).
Për të përmirësuar cilësinë e njohjes, dallohen dy klasa ngjyrash - lëkura dhe buzët. Funksioni i anëtarësimit në klasën e ngjyrave ka një vlerë në rangun nga 0 në 1.
Ekuacioni i modelit të konturit aktiv (gjarpërit) përfaqësohet me formulën e shprehur v(s) si: 
Ku E është energjia e gjarprit (modeli i konturit aktiv). Dy termat e parë përshkruajnë energjinë e rregullsisë së modelit të konturit aktiv (gjarpërit). Në sistemin tonë të koordinatave polar, v(s) = , s nga 0 në 1. Termi i tretë është energjia e lidhur me forca e jashtme marrë nga imazhi, i katërti - me forcën e presionit.
Forca e jashtme përcaktohet në bazë të karakteristikave të përshkruara më sipër. Është në gjendje të zhvendosë pikat e kontrollit në një vlerë të caktuar intensiteti. Ajo llogaritet si: 
Shumëzuesi i gradientit (derivati) llogaritet në pikat serpentine përgjatë vijës radiale përkatëse. Forca rritet nëse gradienti është negativ dhe zvogëlohet ndryshe. Koeficienti para gradientit është një faktor peshimi që varet nga topologjia e imazhit. Forca e shtypjes është vetëm një konstante, përdoret ½ e faktorit minimal të peshës. Forma më e mirë e gjarprit përftohet duke minimizuar funksionalitetin e energjisë pas një numri të caktuar përsëritjesh.
Le të shqyrtojmë më në detaje operacionet bazë të përpunimit të imazhit. Për thjeshtësi, le të supozojmë se ne kemi zgjedhur tashmë zonën e gojës së folësit në një farë mënyre. Në këtë rast, operacionet kryesore për përpunimin e imazhit që rezulton, të cilat duhet të kryejmë, tregohen në Fig. 3.
konkluzioni
Për të përcaktuar tiparet dominuese të klasifikimit të imazheve gjatë punë kërkimore u zbuluan veçoritë e modifikimit të detyrës së zbulimit të fytyrës nga një videokamerë. Ndër të gjitha metodat e lokalizimit të fytyrës dhe zbulimit të zonës së studiuar të shprehjeve të fytyrës, më të përshtatshmet për detyrat e krijimit sistem universal njohje për pajisje celulare janë teknika të modelimit të imazhit të fytyrës.Zhvillimi i një modeli matematikor të imazheve të lëvizjes së shprehjeve të fytyrës bazohet në një sistem modelesh konturore aktive të binarizimit të objektit në studim. Meqenëse ky model matematikor lejon, pas ndryshimit të hapësirës së ngjyrave nga RGB në modelin e ngjyrave YCbCr, të transformojë në mënyrë efektive objektin e interesit, për analizën e tij të mëvonshme bazuar në modelet aktive të konturit dhe identifikimin e kufijve të qartë të shprehjeve të fytyrës pas përsëritjeve të përshtatshme të imazhit.
Lista e burimeve të përdorura
1. Vezhnevets V., Dyagtereva A. Zbulimi dhe lokalizimi i fytyrës në imazh. Revista CGM, 20032. Po aty.
3. E. Hjelmas dhe B.K. Low, Face detection: A sondazh, Journal of Computer vision and image understanding, vol.83, pp. 236-274, 2001.
4. G. Yang dhe T.S. Huang, Zbulimi i fytyrës njerëzore në sfond kompleks, Njohja e modelit, vëll.27, nr.1, f.53-63, 1994
5. K. Sobottka dhe I. Pitas, Një metodë e re për segmentimin automatik të fytyrës, nxjerrjen dhe gjurmimin e veçorive të fytyrës, Përpunimi i sinjalit: Komunikimi i imazhit, Vol. 12, nr 3, fq. 263-281, qershor, 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona dhe J. Big.un., Kërkimi Saccadic me veçoritë Gabor të aplikuara për zbulimin e syve dhe gjurmimin e kokës në kohë reale, Image Vision Comput. 18, fq. 323-329, 200
7. Gomozov A.A., Kryukov A.F. Analiza e empirike dhe algoritme matematikore njohje fytyrë njerëzore. rrjet-ditar. Instituti i Inxhinierisë së Energjisë në Moskë ( Universiteti Teknik). №1 (18), 2011
Vazhdon
Për zgjidhje efektive detyra të ndryshme përpunimit dhe nevojiten për to deklaratë matematikore, e cila përfshin kryesisht përshkrimi matematik, pra modeli DHE si objekt studimi. E zhvilluar deri tani linjë e tërë modele të tilla, disa prej të cilave diskutohen në këtë kapitull.
1.1. Fushat e rastësishme
Më të zakonshmet për momentin janë komplekset e informacionit, duke përfshirë sistemet hapësinore sensorë dhe kompjuterë dixhitalë. Prandaj, ne do të konsiderojmë kryesisht MI me variabla diskrete hapësinore dhe kohore. Pa humbur përgjithësinë, do të supozojmë se deputetët jepen në rrjeta drejtkëndëshe shumëdimensionale me një hap njësi. Në fig. 1.1a dhe 1.1b tregojnë rrjete dy-dimensionale dhe tre-dimensionale. NË rast i përgjithshëm Dhe jepet në nyjet e rrjetit n-dimensionale .
Varet nga natyra fizike DHE vlerat mund të jenë skalare (për shembull, shkëlqimi i një imazhi monokromatik), vektor (fusha e shpejtësisë, imazhet me ngjyra, fusha e zhvendosjes) dhe me vlerë më komplekse (për shembull, matrica). Nëse shënohet me vlerën AND në nyjë (piksel), atëherë AND është tërësia e këtyre vlerave në rrjet: 
.
Nëse të dhënat janë një sekuencë kohore e AND-ve, atëherë ndonjëherë është e përshtatshme të konsiderohet kjo sekuencë si një DHE, duke rritur dimensionin e rrjetit me një. Për shembull, një sekuencë AND-sh të sheshta (Fig. 1.1, a) mund të konsiderohet si një AND tre-dimensionale (Fig. 2.1, b).
Nëse dëshironi të nënvizoni një variabël të përkohshëm në mënyrë specifike, atëherë ne do ta shkruajmë atë nga lart: 
. Kjo është vendosur produkt i drejtpërdrejtë rrjetet dhe unë, ku unë është grupi i vlerave të indeksit të kohës. seksion kryq 
, d.m.th. grup leximesh DHE për një vlerë fikse të indeksit të kohës i, quhet korniza e i-të DHE. Çdo kornizë është vendosur në një rrjet. Për shembull, në fig. 1.1b tregon tre korniza dy-dimensionale.
Kështu, MI mund të konsiderohet si një funksion i përcaktuar në një rrjet shumëdimensional. Vlera e elementeve DHE nuk mund të parashikohet me saktësi paraprakisht (përndryshe sistemi i vëzhgimit nuk do të ishte i nevojshëm), kështu që është e natyrshme që këto vlera të konsiderohen si variablat e rastësishëm(SV), duke përdorur aparatin e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore. Pra, vijmë te modeli kryesor i MI - sistemi i SV-ve të dhëna në një rrjet shumëdimensional. Sisteme të tilla quhen fusha të rastësishme diskrete (RS) ose funksione të rastësishme të disa variablave.
Për të përshkruar SP-në, si çdo sistem tjetër VS, mund të vendosni funksionin e përbashkët të shpërndarjes së probabilitetit (DF) të elementeve të tij ose densitetin e përbashkët të shpërndarjes së probabilitetit (PDD) 
. Sidoqoftë, unë zakonisht përbëhet nga një numër shumë i madh elementësh (mijëra e miliona), kështu që DF (ose PDF) me një numër të tillë variablash bëhet i pakufishëm dhe kërkohen metoda të tjera, më pak të rënda për përshkrimin e PS.
Modelimi i matematikës
1. Çfarë është modelimi matematik?
Që nga mesi i shekullit XX. në fusha të ndryshme të veprimtarisë njerëzore, metodat matematikore dhe kompjuterët filluan të përdoren gjerësisht. Janë shfaqur disiplina të reja si "ekonomia matematike", "kimia matematikore", "gjuhësia matematikore" etj., të cilat studiojnë modele matematikore të objekteve dhe dukurive përkatëse, si dhe metoda për studimin e këtyre modeleve.
Një model matematikor është një përshkrim i përafërt i çdo klase fenomenesh ose objektesh të botës reale në gjuhën e matematikës. Qëllimi kryesor i modelimit është të eksplorojë këto objekte dhe të parashikojë rezultatet e vëzhgimeve të ardhshme. Megjithatë, modelimi është gjithashtu një metodë e njohjes së botës përreth, e cila bën të mundur kontrollin e saj.
Modelimi matematik dhe eksperimenti kompjuterik shoqërues janë të domosdoshëm në rastet kur një eksperiment në shkallë të plotë është i pamundur ose i vështirë për një arsye ose një tjetër. Për shembull, nuk mund të vendoset një eksperiment në shkallë të plotë në histori për të kontrolluar "çfarë do të ndodhte nëse..." Është e pamundur të kontrollohet korrektësia e një ose një tjetër teorie kozmologjike. Në parim, është e mundur, por vështirë se e arsyeshme, të krijohet një eksperiment për përhapjen e ndonjë sëmundjeje, si murtaja, ose të kryhet shpërthim bërthamor për të studiuar implikimet e saj. Megjithatë, e gjithë kjo mund të bëhet në një kompjuter, duke pasur më parë ndërtuar modele matematikore të fenomeneve në studim.
2. Fazat kryesore të modelimit matematik
1) Model ndërtimi. Në këtë fazë, specifikohet një objekt "jo matematikor" - një fenomen natyror, ndërtimi, plani ekonomik, procesi i prodhimit, etj. Në këtë rast, si rregull, një përshkrim i qartë i situatës është i vështirë. Së pari, identifikohen tiparet kryesore të fenomenit dhe marrëdhënia midis tyre niveli i cilësisë. Pastaj varësitë e gjetura cilësore formulohen në gjuhën e matematikës, domethënë ndërtohet një model matematikor. Kjo është pjesa më e vështirë e modelimit.
2) Zgjidhja problem matematikor, tek e cila të çon modeli. Në këtë fazë i kushtohet shumë vëmendje zhvillimit të algoritmeve dhe metodave numerike për zgjidhjen e problemit në kompjuter, me ndihmën e të cilave mund të gjendet rezultati me saktësinë e kërkuar dhe brenda një kohe të pranueshme.
3) Interpretimi i pasojave të fituara nga modeli matematik. Pasojat e nxjerra nga modeli në gjuhën e matematikës interpretohen në gjuhën e pranuar në këtë fushë.
4) Kontrollimi i përshtatshmërisë së modelit. Në këtë fazë, zbulohet nëse rezultatet e eksperimentit përputhen me pasojat teorike nga modeli brenda një saktësie të caktuar.
5) Modifikimi i modelit. Në këtë fazë, ose modeli bëhet më kompleks në mënyrë që të jetë më adekuat me realitetin, ose thjeshtohet për të arritur një zgjidhje praktikisht të pranueshme.
3. Klasifikimi i modeleve
Modelet mund të klasifikohen sipas kritereve të ndryshme. Për shembull, sipas natyrës së problemeve që zgjidhen, modelet mund të ndahen në funksionale dhe strukturore. Në rastin e parë, të gjitha sasitë që karakterizojnë një fenomen ose objekt shprehen në mënyrë sasiore. Në të njëjtën kohë, disa prej tyre konsiderohen si variabla të pavarur, ndërsa të tjerët konsiderohen si funksione të këtyre sasive. Një model matematikor është zakonisht një sistem ekuacionesh të llojeve të ndryshme (diferenciale, algjebrike, etj.) që vendosin marrëdhënie sasiore midis sasive në shqyrtim. Në rastin e dytë, modeli karakterizon strukturën e një objekti kompleks që përbëhet nga pjesë të veçanta ndërmjet të cilave ekzistojnë lidhje të caktuara. Në mënyrë tipike, këto marrëdhënie nuk janë të matshme. Për të ndërtuar modele të tilla, është e përshtatshme të përdoret teoria e grafikut. Grafiku është një objekt matematikor, i cili është një grup pikash (kulme) në një rrafsh ose në hapësirë, disa prej të cilave janë të lidhura me vija (skajet).
Sipas natyrës së të dhënave fillestare dhe rezultateve të parashikimit, modelet mund të ndahen në deterministe dhe probabiliste-statistikore. Modelet e tipit të parë japin parashikime të qarta, të paqarta. Modelet e llojit të dytë bazohen në informacion statistikor, dhe parashikimet e marra me ndihmën e tyre janë të një natyre probabiliste.
4. Shembuj të modeleve matematikore
1) Probleme rreth lëvizjes së predhës.
Konsideroni problemin e mëposhtëm në mekanikë.
Predha e gjuajtur nga Toka shpejtësia fillestare v 0 = 30 m/s në një kënd a = 45° me sipërfaqen e tij; kërkohet gjetja e trajektores së lëvizjes së saj dhe e distancës S ndërmjet pikës fillestare dhe mbarimit të kësaj trajektoreje.
Më pas, siç dihet nga kursi i fizikës shkollore, lëvizja e predhës përshkruhet me formulat:
ku t - koha, g = 10 m / s 2 - nxitimi i rënies së lirë. Këto formula japin modelin matematikor të detyrës. Duke shprehur t në terma x nga ekuacioni i parë dhe duke e zëvendësuar atë në të dytin, marrim ekuacionin për trajektoren e predhës:
Kjo kurbë (parabolë) kryqëzon boshtin x në dy pika: x 1 \u003d 0 (fillimi i trajektores) dhe 
(vendi ku ka rënë predha). Duke zëvendësuar vlerat e dhëna v0 dhe a në formulat e marra, marrim
përgjigje: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.
Vini re se një numër supozimesh janë përdorur në ndërtimin e këtij modeli: për shembull, supozohet se Toka është e sheshtë dhe ajri dhe rrotullimi i Tokës nuk ndikojnë në lëvizjen e predhës.
2) Problemi i një rezervuari me sipërfaqen më të vogël.
Kërkohet të gjendet lartësia h 0 dhe rrezja r 0 e një rezervuari kallaji me vëllim V = 30 m 3, që ka formën e një të mbyllur cilindër rrethor, në të cilën sipërfaqja e saj S është minimale (në këtë rast, sasia më e vogël e kallajit do të përdoret për prodhimin e tij).
Ne shkruajmë formulat e mëposhtme për vëllimin dhe sipërfaqen e një cilindri me lartësi h dhe rreze r:
V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).
Duke shprehur h në terma r dhe V nga formula e parë dhe duke zëvendësuar shprehjen që rezulton në të dytën, marrim:
Kështu, me pikë matematikore Nga këndvështrimi ynë, problemi reduktohet në përcaktimin e vlerës së r në të cilën funksioni S(r) arrin minimumin e tij. Le të gjejmë ato vlera të r 0 për të cilat derivati
shkon në zero: 
Mund të kontrolloni nëse derivati i dytë i funksionit S(r) ndryshon shenjën nga minus në plus kur argumenti r kalon në pikën r 0 . Prandaj, funksioni S(r) ka një minimum në pikën r0. Vlera përkatëse h 0 = 2r 0 . Duke zëvendësuar vlerën e dhënë V në shprehjen për r 0 dhe h 0, marrim rrezen e dëshiruar 
dhe lartësia 
3) Detyrë transporti.
Në qytet ka dy magazina mielli dhe dy furra buke. Nga magazina e parë eksportohen çdo ditë 50 ton miell, nga e dyta në fabrika 70 tonë, me 40 tonë në të parën dhe 80 tonë në të dytën.
Shënoni me a ij kostoja e transportit të 1 ton miell nga magazina e i-të në j-të bimë(i, j = 1,2). Le
a 11 \u003d 1.2 f., a 12 \u003d 1.6 f., a 21 \u003d 0,8 f., a 22 = 1 f.
Si duhet planifikuar transporti që kostoja e tyre të jetë minimale?
Le t'i japim problemit një formulim matematikor. Shënojmë me x 1 dhe x 2 sasinë e miellit që duhet të transportohet nga magazina e parë në fabrikën e parë dhe të dytë, dhe përmes x 3 dhe x 4 - nga magazina e dytë në fabrikën e parë dhe të dytë, përkatësisht. Pastaj:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Kostoja totale e të gjithë transportit përcaktohet nga formula
f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.
Nga pikëpamja matematikore, detyra është të gjejmë katër numra x 1, x 2, x 3 dhe x 4 që plotësojnë të gjitha kushtet e dhëna dhe japin minimumin e funksionit f. Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve (1) në lidhje me xi (i = 1, 2, 3, 4) me metodën e eliminimit të të panjohurave. Ne e kuptojmë atë
x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)
dhe x 4 nuk mund të përcaktohet në mënyrë unike. Meqenëse x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), nga ekuacionet (2) rrjedh se 30J x 4 J 70. Duke zëvendësuar shprehjen për x 1 , x 2 , x 3 në formulën për f, marrim
f \u003d 148 - 0,2x 4.
Është e lehtë të shihet se minimumi i këtij funksioni arrihet në vlerën maksimale të mundshme prej x 4, domethënë në x 4 = 70. Vlerat përkatëse të të panjohurave të tjera përcaktohen nga formula (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Problemi i zbërthimit radioaktiv.
Le të jetë N(0) numri fillestar i atomeve të substancës radioaktive dhe N(t) numri i atomeve të pazbërthyera në kohën t. Është vërtetuar eksperimentalisht se shkalla e ndryshimit në numrin e këtyre atomeve N "(t) është proporcionale me N (t), domethënë N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 është konstanta e radioaktivitetit të një lënde të caktuar. Në kursin e shkollës analiza matematikore tregohet se zgjidhja e këtij ekuacioni diferencial ka formën N(t) = N(0)e –l t . Koha T, gjatë së cilës numri i atomeve fillestare është përgjysmuar, quhet gjysmë jeta dhe është një karakteristikë e rëndësishme e radioaktivitetit të një substance. Për të përcaktuar T, është e nevojshme të futet në formulë 
Pastaj 
Për shembull, për radonin l = 2,084 10-6, dhe kështu T = 3,15 ditë.
5) Problemi i shitësit udhëtues.
Një shitës udhëtues që jeton në qytetin A 1 duhet të vizitojë qytetet A 2 , A 3 dhe A 4 , secilin qytet saktësisht një herë dhe më pas të kthehet në A 1 . Dihet se të gjitha qytetet janë të lidhura në çifte me rrugë, dhe gjatësia e rrugëve b ij ndërmjet qyteteve A i dhe A j (i, j = 1, 2, 3, 4) janë si më poshtë:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Është e nevojshme të përcaktohet rendi i vizitës së qyteteve, në të cilat gjatësia e shtegut përkatës është minimale.
Le të përshkruajmë çdo qytet si një pikë në aeroplan dhe ta shënojmë me etiketën përkatëse Ai (i = 1, 2, 3, 4). Le t'i lidhim këto pika me segmente vijash: ato do të përshkruajnë rrugët midis qyteteve. Për çdo "rrugë", ne tregojmë gjatësinë e saj në kilometra (Fig. 2). Rezultati është një grafik - një objekt matematikor i përbërë nga një grup i caktuar pikash në aeroplan (të quajtura kulme) dhe një grup i caktuar vijash që lidhin këto pika (të quajtura skaje). Për më tepër, ky grafik është etiketuar, pasi disa etiketa u caktohen kulmeve dhe skajeve të tij - numra (skajet) ose simbolet (kulmet). Një cikël në një grafik është një sekuencë kulmesh V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 e tillë që kulmet V 1 , ..., V k janë të ndryshme dhe çdo çift kulmesh V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) dhe çifti V 1 , V k lidhen me një buzë. Kështu, problemi në shqyrtim është gjetja e një cikli të tillë në grafik që kalon nëpër të katër kulmet për të cilat shuma e të gjitha peshave të skajeve është minimale. Le të kërkojmë nëpër të gjitha ciklet e ndryshme që kalojnë nëpër katër kulme dhe duke filluar nga A 1:
1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .
Tani le të gjejmë gjatësitë e këtyre cikleve (në km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Pra, rruga e gjatësisë më të vogël është e para.
Vini re se nëse ka n kulme në një grafik dhe të gjitha kulmet janë të lidhura në çift me anë (një graf i tillë quhet i plotë), atëherë numri i cikleve që kalojnë nëpër të gjitha kulmet është i barabartë. Prandaj, në rastin tonë ekzistojnë saktësisht tre cikle. .
6) Problemi i gjetjes së një lidhjeje midis strukturës dhe vetive të substancave.
Konsideroni disa komponimet kimike të quajtura alkane normale. Ato përbëhen nga n atome karboni dhe n + 2 atome hidrogjeni (n = 1, 2 ...), të ndërlidhura siç tregohet në figurën 3 për n = 3. Le të dihen vlerat eksperimentale të pikave të vlimit të këtyre përbërjeve:
y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.
Kërkohet të gjendet një marrëdhënie e përafërt midis pikës së vlimit dhe numrit n për këto përbërje. Supozojmë se kjo varësi ka formën
y » a n+b
Ku a, b - konstante që do të përcaktohen. Për gjetjen a dhe b zëvendësojmë në këtë formulë në mënyrë të njëpasnjëshme n = 3, 4, 5, 6 dhe vlerat përkatëse të pikave të vlimit. Ne kemi:
– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.
Për të përcaktuar më të mirën a dhe b ka shumë metoda të ndryshme. Le të përdorim më të thjeshtat prej tyre. Ne e shprehim b në terma të a nga këto ekuacione:
b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.
Le të marrim si b të dëshiruar mesataren aritmetike të këtyre vlerave, domethënë vendosim b » 16 - 4,5 a. Le ta zëvendësojmë këtë vlerë b në sistemin origjinal të ekuacioneve dhe, duke llogaritur a, marrim për a vlerat e mëposhtme: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a vlerën mesatare të këtyre numrave, domethënë vendosëm a» 34. Pra, ekuacioni i dëshiruar ka formën
y » 34n – 139.
Le të kontrollojmë saktësinë e modelit në katër përbërjet fillestare, për të cilat llogaritim pikat e vlimit duke përdorur formulën e marrë:
y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.
Kështu, gabimi në llogaritjen e kësaj vetie për këto komponime nuk i kalon 5°. Ne përdorim ekuacionin që rezulton për të llogaritur pikën e vlimit të një përbërjeje me n = 7, e cila nuk përfshihet në grupin fillestar, për të cilën ne zëvendësojmë n = 7 në këtë ekuacion: y р (7) = 99°. Rezultati është mjaft i saktë: dihet se vlera eksperimentale pika e vlimit y e (7) = 98°.
7) Problemi i përcaktimit të besueshmërisë së qarkut elektrik.
Këtu kemi parasysh një shembull të një modeli probabilist. Së pari, le të japim disa informacione nga teoria e probabilitetit - një disiplinë matematikore që studion modelet e fenomeneve të rastësishme të vëzhguara gjatë përsëritjes së përsëritur të një eksperimenti. Le ta quajmë një ngjarje të rastësishme A një rezultat të mundshëm të një përvoje. Ngjarjet A 1 , ..., A k formojnë një grup të plotë nëse njëra prej tyre ndodh domosdoshmërisht si rezultat i eksperimentit. Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse nuk mund të ndodhin njëkohësisht në të njëjtën përvojë. Le të ndodhë ngjarja A m herë gjatë përsëritjes n-fish të eksperimentit. Frekuenca e ngjarjes A është numri W = . Natyrisht, vlera e W nuk mund të parashikohet saktësisht derisa të kryhen një seri n eksperimentesh. Sidoqoftë, natyra e ngjarjeve të rastësishme është e tillë që në praktikë ndonjëherë vërehet efekti i mëposhtëm: me një rritje të numrit të eksperimenteve, vlera praktikisht pushon së qeni e rastësishme dhe stabilizohet rreth një numri jo të rastësishëm P(A), i quajtur probabiliteti i ngjarjes A. Për një ngjarje të pamundur (që nuk ndodh kurrë në eksperiment) P(A)=0, dhe për një ngjarje të caktuar (që ndodh gjithmonë në eksperiment) P(A)=1. Nëse ngjarjet A 1 , ..., A k formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme, atëherë P(A 1)+...+P(A k)=1.
Le të, për shembull, përvoja konsiston në hedhjen e një zari dhe vëzhgimin e numrit të pikave të hedhura X. Më pas mund të prezantojmë ngjarjet e mëposhtme të rastësishme A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Ato formojnë një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme po aq të mundshme, prandaj P(A i) = (i = 1, ..., 6).
Shuma e ngjarjeve A dhe B është ngjarja A + B, e cila konsiston në faktin se të paktën njëra prej tyre ndodh në eksperiment. Produkti i ngjarjeve A dhe B është ngjarja AB, e cila konsiston në shfaqjen e njëkohshme të këtyre ngjarjeve. Për ngjarje të pavarura A dhe B janë formula të sakta
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Konsideroni tani sa vijon detyrë. Supozoni se tre elementë janë të lidhur në seri në një qark elektrik, duke punuar në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri. Probabilitetet e dështimit të elementeve 1, 2 dhe 3 janë përkatësisht P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Ne do ta konsiderojmë qarkun të besueshëm nëse probabiliteti që nuk do të ketë rrymë në qark nuk është më shumë se 0.4. Kërkohet të përcaktohet nëse zinxhiri i dhënë është i besueshëm.
Meqenëse elementët janë të lidhur në seri, nuk do të ketë rrymë në qark (ngjarja A) nëse të paktën një nga elementët dështon. Le të jetë A i ngjarja që elementi i-të punon (i = 1, 2, 3). Pastaj P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Natyrisht, A 1 A 2 A 3 është ngjarja që të tre elementët punojnë njëkohësisht, dhe
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.
Atëherë P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, pra P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Si përfundim, vërejmë se shembujt e mësipërm të modeleve matematikore (ndër të cilët ka funksionalë dhe strukturorë, përcaktues dhe probabilistë) janë ilustrues dhe, padyshim, nuk shterojnë të gjithë shumëllojshmërinë e modeleve matematikore që dalin në shkencat natyrore dhe njerëzore.
SIMULIMI I SISTEMEVE ELEKTROMEKANIKE TË NXITJES ELEKTRIKE
Udhëzime dhe punëtori laboratorike për studentët me kohë të plotë dhe departamenti i korrespondencës
Specialiteti 140604 "Drejtim elektrik dhe automatizim instalimet industriale dhe komplekset teknologjike"
Botuar me vendim të këshillit redaktues dhe botues të Universitetit Shtetëror Vyatka
UDC 621.31112: 621.313
Recensent: kandidat shkencat teknike Profesor i Asociuar AT V. I. Semyonov
Përpiluar nga: mësuesi i departamentit të EPiAPU D.V. Ishutinovi
Nënshkruar për shtypje furrë l. 2.5
Letër ofset. Kopjues printimi Aficio 1022
Porosia nr. 340 Edicioni 52 Falas.
Teksti printohet nga faqosja origjinale e dhënë nga përpiluesi
610000, Kirov, rr. Moskë, 36.
Dizajni, prodhimi i kopertinës - PRIP VyatSU
Ó Vyatsky Universiteti Shtetëror, 2011
PREZANTIMI
Analogjia- kjo është një ngjashmëri e veçantë e dy objekteve, të cilat mund të jenë domethënëse ose më pak të rëndësishme. Rëndësia e ngjashmërisë varet nga niveli i abstraksionit dhe përcaktohet nga qëllimi i studimit.
Analogji që pasqyrojnë realen, objektivisht botën ekzistuese, kanë dukshmëri, që do të thotë se thjeshtojnë arsyetimin dhe ndihmojnë në kryerjen e eksperimenteve që sqarojnë natyrën e dukurive. Analogji të tilla quhen modele .
Modelështë një objekt zëvendësues për objektin origjinal, duke ofruar studimin e disa vetive të origjinalit.
Modelimiështë një paraqitje e një objekti fizik real nga modeli i tij për të marrë informacion rreth vetitë më të rëndësishme dhe proceset fizike që ndodhin në të, duke kryer eksperimente me modelin e tij.
Në procesin e modelimit, modeli vepron si një objekt i pavarur, duke ju lejuar të merrni disa njohuri - rezultatet e modelimit. Nëse ato konfirmohen dhe mund të shërbejnë si bazë për parashikimin e proceseve që ndodhin në objektet në studim, atëherë modeli konsiderohet adekuate Objekt. Objekte të ngjashme mund të studiohen në bazë të modeleve adekuate.
1. KLASIFIKIMI I LLOJEVE TË MODELIMIT
Kur zhvillohen dhe dizajnohen sisteme elektromekanike moderne, të cilat janë një kombinim i një motori elektrik, pjesës mekanike të një makinë elektrike dhe një sistemi kontrolli, ekziston nevoja për të zgjidhur probleme komplekse të llogaritjes. Për ta bërë këtë, në shumë raste, ata i drejtohen modelimit.
Llojet e modelimit mund të klasifikohen sipas kritereve të ndryshme. Për sa i përket llojit të modelit dhe mënyrës se si paraqitet përshkrimi matematikor, klasifikimi është paraqitur në figurën 1.1.
Kështu, modelimi mund të ndahet me kusht në dy lloje kryesore: matematikore dhe fizike.
Simulimi fizik quhet kryerja e kërkimit mbi një objekt real ose paraqitjen e tij. Gjatë kryerjes së eksperimenteve në një objekt real karakteristika të ndryshme shqyrtohen në vetë objektin ose në një pjesë të tij. Modelimi fizik mund të kryhet në objekte që funksionojnë në gjendje normale ose në mënyra të veçanta. Simulimi real është më i përshtatshmi, por aftësitë e tij janë të kufizuara nga veçoritë fizike, teknike dhe të tjera të objekteve dhe sistemeve reale.
Një lloj tjetër i modelimit fizik është modelimi i modelit, i cili përdoret kur eksperimentet me një objekt real janë të vështira, të pamundura ose të rrezikshme. Kërkimi me ndihmën e një modeli kryhet në instalime që kanë një ngjashmëri fizike dhe ruajnë natyrën e dukurive në objektin në studim.
Modelimi fizik mund të vazhdojë në një shkallë kohe reale ose arbitrare. Kompleksiteti dhe interesi më i madh është modelimi në shkallë reale koha për të marrë rezultatet më të besueshme të kërkimit.
Modelimi i matematikës mund të kryhet duke përdorur metodat analitike kërkimore, si dhe duke përdorur kompjuterë analog (AVM) dhe dixhital (kompjuter).
Kur përdorni metoda analitike, kërkimi mund të merret në pamje e përgjithshme varësi të qarta për karakteristikat e dëshiruara të objektit. Studim analitik ju lejon të përfitoni sa më shumë ide e pergjithshme në lidhje me proceset e funksionimit të sistemit, megjithatë, është e mundur për sisteme relativisht të thjeshta dhe shoqërohet me llogaritjet intensive të punës. Edhe në rastet më të thjeshta (për sistemet lineare) modelimi analitik nuk jep rezultate shteruese. Nëse në sistem ka elementë jolinearë, parametra të ndryshueshëm dhe faktorë të tjerë që ndërlikojnë llogaritjet, mundësitë e metodave analitike të llogaritjes janë edhe më të kufizuara.
Kompjuterët modernë bëjnë të mundur që të simulojnë me saktësi të mjaftueshme çdo funksion transferimi, karakteristika statike jolineare, produkte dhe koeficientë. Makinat kompjuterike, dhe, rrjedhimisht, modelet janë analoge dhe dixhitale.
Nën model analog kuptohet si ai që përshkruhet nga ekuacionet që lidhen me sasitë e vazhdueshme. Zgjidhje ekuacionet diferenciale në AVM është e vazhdueshme. Objekti fizik real zëvendësohet në simulimin analog nga një objekt fizik i ngjashëm. Në AVM, përforcuesi operativ vendimtar vepron si një objekt i tillë. Avantazhi kryesor i modelimit ABM është dukshmëria e lartë e modelit dhe aftësia për të lidhur modele të tjera me modelin. mjete teknike. Gjithashtu, përdorimi i AVM mund të përshpejtojë studimin e sistemeve mjaft të thjeshta. Nga ana tjetër, ka probleme që lidhen me vendosjen e modeleve komplekse; gabimet shfaqen për shkak të zhvendosjes së parametrave AVM dhe linearizimit pjesë-pjesë të jolineariteteve. Vlera maksimale e tensionit të daljes së amplifikatorit operativ vendimtar në AVM është i kufizuar në një vlerë prej njëqind volt. Prandaj, faktorët e shkallëzimit futen për të gjitha variablat e modelit, si rezultat i të cilave mund të grumbullohen gabime shtesë.
Nën model dixhital kuptohet si një model në të cilin zgjidhja e ekuacioneve dhe proceset që ndodhin në të janë të një natyre diskrete. Rrjedhimisht, të gjitha sasitë e llogaritura përcaktohen në disa intervale kohore diskrete. Modeli dixhital ka më pak qartësi fizike, por është i lirë nga disavantazhet e natyrshme në modelin analog. Për dizajnimin e modeleve dixhitale përdoren objekte moderne teknologjinë kompjuterike, dhe llogaritja e modeleve të tilla bazohet në përdorimin e metodave numerike.
Me ndihmën e teknologjisë kompjuterike, modelet matematikore mund të studiohen si me zgjidhje të drejtpërdrejtë të sistemeve të ekuacioneve diferenciale, ashtu edhe në bazë të modelimit sipas diagrameve bllok.
Në rastin e parë, modelimi matematik konsiston në zgjidhjen numerike të një sistemi ekuacionesh diferenciale që përshkruajnë sjelljen e objektit në studim. Një model i tillë nuk pasqyron strukturën reale të një objekti fizik. NË këtë rast për të llogaritur modelin, nuk kërkohet njohuri për sistemet e specializuara CAD, por është e vështirë të kuptohet struktura e një objekti fizik real.
Në rastin e dytë, ndërtohet një model strukturor në të cilin elementët lidhen në përputhje me strukturën e sistemit në studim. Kur përdoret metoda strukturore, modeli i sistemit paraqitet në formën e modeleve të lidhjeve tipike dinamike të TAP dhe blloqeve jolineare që simulojnë funksionimin e nyjeve individuale fizike të sistemit në studim. Aplikacion modelet strukturore ju lejon të ruani strukturën e objektit në studim gjatë modelimit, dhe për këtë arsye modeli riprodhon lehtësisht ndryshimet në parametrat dhe strukturën e një objekti fizik të vërtetë, për shembull, ndezja e pajisjeve korrigjuese, zgjedhja e një thellësie reagime, ndryshimi i momentit të inercisë së pjesës mekanike dhe ngurtësisë së karakteristikave mekanike.
Metodat e modelimit matematik
Të studiojë karakteristikat e sistemeve teknike dhe proceset fizike që ndodh gjatë funksionimit të çdo sistemi, metodat matematikore duhet të bëhet formalizimi i proceseve, d.m.th. ndërtohet një model matematikor.
Modelimi i matematikësështë procesi i vendosjes së konformitetit me realen objekt fizik ndonjë objekt matematikor (përshkrim matematik) i quajtur modeli matematik, dhe studimi i këtij modeli, i cili bën të mundur marrjen, me një farë përafrimi, të karakteristikave të objektit real në shqyrtim. Modelimi matematik mund të jetë dinamik, simulues dhe i kombinuar.
Gjatë zgjidhjes së problemeve të makinës elektrike përdoren modele dinamike objektet. Modele të tilla përshkruhen nga sisteme ekuacionesh diferenciale dhe studiohen duke përdorur metoda analitike, numerike ose cilësore.
Një studim analitik ju lejon të merrni idenë më të përgjithshme të proceseve të funksionimit të sistemit, megjithatë, është e mundur vetëm për sisteme relativisht të thjeshta ose lineare.
Metodat numerike përdoren nëse është e pamundur të zgjidhet përshkrimi matematikor i sistemit në një mënyrë të përgjithshme ose sistemi nuk është thelbësisht linear. Metodat numerike janë më efektive kur përdorni një kompjuter.
Në disa raste, metodat cilësore për analizimin e një modeli matematikor janë të mjaftueshme për të studiuar sistemin. Metoda të tilla përdoren në teorinë e kontrollit automatik dhe bëjnë të mundur që të gjykohet, për shembull, qëndrueshmëria e një sistemi nën një kontroll të caktuar.
Në përgjithësi, disa objekte dinamike përshkruhen nga një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të n-të të formës:
, (2.1)
Ku x 1, x2, … x n– variablat e objektit dinamik;
është shkalla e ndryshimit (derivativët) e variablave të objektit dinamik;
është vlera e variablave në momentin fillestar të kohës;
tështë një variabël i pavarur.
Modelimi matematik i bazuar në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme bazohet në metoda numerike. Metodat numerike bëjnë të mundur marrjen e vlerave të përafërta të reales proces i vazhdueshëm, të cilat janë të ndara nga njëra-tjetra me një interval të caktuar kohor, i quajtur hapi i integrimit. Zgjedhja e hapit të integrimit varet nga vetitë dinamike të sistemit të simuluar. Për një gamë të gjerë sistemet dinamike zgjidhja numerike është më e saktë se më pak hap integrimin. Sidoqoftë, duhet të kihet parasysh se një reduktim i tepruar i hapit të integrimit mund të çojë në një rritje të konsiderueshme të kohës së kompjuterit.
Metodat më të përdorura për integrimin numerik të ekuacioneve diferenciale përfshijnë metodën Euler (metoda e rritjes së fundme) dhe metodën Runge-Kutta të rendit të katërt.
Metoda Euler bazohet në zgjerimin e integrandit në afërsi të pikës në studim në një seri Taylor:
, (2.2)
Ku hështë një lagje e vogël e pikës në studim (hapi i integrimit);
eështë gabimi i zgjerimit në një seri Taylor.
Metoda e Euler-it merr parasysh vetëm derivatin e parë të serisë Taylor. Atëherë ekuacioni (2.2) do të duket si ky:
ku llogaritet ana e djathtë e ekuacionit diferencial në pikën .
Prandaj, për të zgjidhur një ekuacion ose një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të parë me metodën Euler, duhet të hartohet sistemin e ardhshëm ekuacionet me kushtet fillestare:
, (2.4)
Ku t i, ti +1
x j, i, x j, i+1- kuptimi j
fj– integrandi për ndryshoren j – th;
hështë hapi i integrimit;
i = 0 .. m
j = 0 .. n
Përparësitë e metodës Euler përfshijnë si më poshtë:
Me një hap mjaftueshëm të vogël integrimi, mund të arrihet një saktësi e lartë e zgjidhjes. Gabimi i metodës është afërsisht i barabartë me katrorin e hapit të integrimit: e »h 2;
Metoda Euler ka një algoritëm të qëndrueshëm të llogaritjes për zgjidhje një gamë të gjerë detyra që lidhen me studimin e sistemeve elektromekanike të makinës elektrike.
Disavantazhet e metodës Euler përfshijnë faktin se zvogëlimi i hapit të integrimit të nevojshëm për të siguruar saktësinë e kërkuar ngadalëson ndjeshëm llogaritjet.
Metoda Runge–Kutta bazohet në zgjerimin e integrandit në afërsi të pikës në studim në një seri Taylor. Koeficientët e serisë Taylor (deri në rendin e katërt) llogariten duke përdorur koeficientët e veçantë Runge-Kutta. Kjo qasje bën të mundur marrjen e një saktësie më të lartë të zgjidhjes.
Formulat për gjetjen e zgjidhjes numerike të një ekuacioni diferencial ose të një sistemi ekuacionesh diferenciale të rendit të parë me metodën Runge-Kutta janë si më poshtë:
, (2.5)
Ku t i, ti +1– vlera e ndryshores së pavarur (koha) në hapat e mëparshëm dhe të ardhshëm të integrimit;
x j, i, x j, i+1- kuptimi j– ndryshorja e objektit dinamik në hapat e mëparshëm dhe të ardhshëm të integrimit;
fjështë integranti për j– oh ndryshore;
k l i, j janë koeficientët Runge-Kutta ( l = 1 .. 4);
hështë hapi i integrimit;
i = 0 .. mështë numri i hapave të integrimit;
j = 0 .. nështë numri i variablave të objektit dinamik.
Përparësitë e metodës Runge-Kutta përfshijnë si më poshtë. Saktësia e lartë e zgjidhjes numerike. Me një hap fiks integrimi, gabimi i zgjidhjes është afërsisht i barabartë me fuqinë e pestë të hapit të integrimit: e »h 5.
Megjithatë këtë metodë jo gjithmonë ofron zgjidhje të qëndrueshme. Stabiliteti i zgjidhjes varet si nga vlera e hapit të integrimit ashtu edhe nga tiparet e dinamikës së sistemit në studim.
3. Llogaritjet dinamike të sistemeve sipas bllokskemave
duke përdorur sistemin CAD pamje e sistemit
Pamja e sistemit CAD ju lejon të kryeni llogaritjet e sistemeve dinamike në nivelin e modeleve strukturore dhe të merrni rezultate në formën e tabelave, grafikëve të proceseve kalimtare dhe karakteristikave të frekuencës, si dhe treguesve kompleksë të cilësisë së rregullimit.
Blloku diagrami shtypet në fushën e punës të dritares kryesore të paketës SV (Fig. 3.1) duke përdorur blloqe, të cilat kombinohen në katër librari për lehtësinë e përdorimit. Blloqet e mbledhjes dhe shumëzimit bëhen veçmas.
  |
| Figura 3.1 - Dritarja kryesore e Pamjes së Sistemit |
Bibliotekat e elementeve janë të vendosura në pjesën e majtë të dritares së punës SV dhe përmbajnë një grup elementësh të ndryshëm funksionalë dhe dinamikë. Elementet grafike paraqiten si një drejtkëndësh me hyrje dhe dalje. Në këndin e sipërm të majtë është shkruar numër serik element në bllok diagrami, në qendër në formën e një fotografie - lloji i elementit.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike