Komplex számok megoldása. Feladatok megoldása komplex számokkal
Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. Az egyértelműség kedvéért oldjuk meg a következő problémát:
Számítsa ki \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ha \
Először is figyeljünk arra, hogy az egyik szám algebrai, a másik pedig trigonometrikus forma. Le kell egyszerűsíteni és hozni kell következő nézet
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
A \ kifejezés azt mondja, hogy először a szorzást és a 10. hatványra való emelést végezzük a Moivre-képlet segítségével. Ez a képlet egy komplex szám trigonometrikus alakjára van megfogalmazva. Kapunk:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
A komplex számok trigonometrikus formában történő szorzásának szabályait követve a következőket tesszük:
A mi esetünkben:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
A \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] tört helyesbítésével arra a következtetésre jutunk, hogy 4 fordulatot „csavarhatunk” \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Válasz: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Ez az egyenlet más módon is megoldható, ami abból áll, hogy a 2. számot algebrai formába hozzuk, majd beszorozzuk algebrai forma, alakítsa át az eredményt trigonometrikus formára, és alkalmazza a Moivre-képletet:
Hol tudok komplex számokat tartalmazó egyenletrendszert online megoldani?
Az egyenletrendszert a https://site weboldalunkon tudja megoldani. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.
Kifejezések, egyenletek és egyenletrendszerek
Val vel komplex számok
Ma az órán gyakoroljuk a tipikus műveleteket komplex számokkal, valamint elsajátítjuk az ezekben a számokban található kifejezések, egyenletek és egyenletrendszerek megoldásának technikáját. Ez a műhely a lecke folytatása, ezért ha nem ismeri a témát, kérjük, kövesse a fenti linket. Nos, a felkészültebb olvasóknak azt javaslom, hogy azonnal melegítsenek be:
1. példa
Egy kifejezés egyszerűsítése 
, Ha . Mutassa be az eredményt trigonometrikus formában, és ábrázolja összetett sík.
Megoldás: tehát be kell cserélnie a „szörnyű” törtet, egyszerűsítéseket kell végrehajtania, és az eredményt konvertálnia kell összetett szám V trigonometrikus forma. Plusz egy rajz.
Mi a legjobb módja a döntés formalizálásának? "kifinomult" algebrai kifejezés Jobb lépésről lépésre megérteni. Először is, a figyelem kevésbé elterelődik, másodszor pedig, ha nem fogadják el a feladatot, sokkal könnyebb lesz megtalálni a hibát.
1) Először is egyszerűsítsük a számlálót. Helyettesítsük be az értéket, nyissuk ki a zárójeleket és rögzítsük a frizurát:
...Igen, egy ilyen Quasimodo komplex számokból jött...
Hadd emlékeztesselek arra, hogy az átalakítások során teljesen egyszerű dolgokat alkalmaznak - a polinomok szorzásának szabályát és a már banálissá vált egyenlőséget. A lényeg az, hogy legyen óvatos, és ne keveredjen össze a jelek miatt.
2) Most jön a nevező. Ha akkor:
Figyeld meg, milyen szokatlan értelmezésben használják négyzetösszeg képlet. Alternatív megoldásként itt elvégezheti az átrendezést 
részképlet Az eredmények természetesen ugyanazok lesznek.
3) És végül az egész kifejezés. Ha akkor:
A törttől való megszabaduláshoz szorozza meg a számlálót és a nevezőt a nevező konjugált kifejezésével. Ugyanakkor az alkalmazás szempontjából négyzetkülönbség képletek először kell (és már muszáj!) negatívat tesz valódi rész a 2. helyért:
És most a legfontosabb szabály:
NINCS SIEGYÜNK! Jobb, ha biztonságosan játszol, és teszel egy plusz lépést.
Kifejezésekben, egyenletekben és komplex számrendszerekben, elbizakodott verbális számításokban telibb, mint valaha!
Az utolsó lépésben meg is történt jó vágásés ez csak egy nagyszerű jel.
jegyzet : szigorúan véve itt egy komplex szám osztása az 50-es komplex számmal történt (ne felejtsük el). Erről az árnyalatról mostanáig hallgattam, majd kicsit később beszélünk róla.
Jelöljük az elért eredményünket betűvel
Mutassuk be a kapott eredményt trigonometrikus formában! Általánosságban elmondható, hogy itt megteheti rajz nélkül, de mivel ez kötelező, valamivel ésszerűbb most megtenni: 
Számítsuk ki egy komplex szám modulusát:
Ha 1 egységnyi skálán rajzol. = 1 cm (2 notebook cella), akkor a kapott érték egy szabályos vonalzóval könnyen ellenőrizhető.
Keressünk érvet. Mivel a szám a 2. sz koordinátanegyed, Ez:
A szög könnyen ellenőrizhető szögmérővel. Ez a rajz kétségtelen előnye.
Így: – a szükséges szám trigonometrikus formában.
Ellenőrizzük:
, amit ellenőrizni kellett.
Kényelmes megtalálni a szinusz és a koszinusz ismeretlen értékeit trigonometrikus táblázat.
Válasz: 
Hasonló példa erre önálló döntés:
2. példa
Egy kifejezés egyszerűsítése 
, Ahol . Rajzolja le a kapott számot a komplex síkra, és írja fel exponenciális alakban!
Próbálj meg nem hagyni oktatási példák. Lehet, hogy egyszerűnek tűnnek, de edzés nélkül a „tócsába kerülni” nemcsak könnyű, hanem nagyon könnyű. Ezért „ráfogjuk a kezünket”.
Gyakran a feladat nem teszi lehetővé az egyetlen módja megoldások:
3. példa
Számolja ki, ha 
Megoldás: először is figyeljünk az eredeti feltételre - az egyik szám algebrai, a másik trigonometrikus formában jelenik meg, sőt fokokkal. Azonnal írjuk át egy ismertebb formába: 
.
Milyen formában kell elvégezni a számításokat? A kifejezés nyilvánvalóan magában foglalja az első szorzást és a további emelést a 10. hatványra Moivre képlete, amely egy komplex szám trigonometrikus alakjára van megfogalmazva. Tehát logikusabbnak tűnik az első szám konvertálása. Keressük meg a modulját és az argumentumát: 
A komplex számok trigonometrikus formában történő szorzására a szabályt használjuk:
ha akkor
A tört helyesbítésével arra a következtetésre jutunk, hogy 4 fordulatot tudunk „csavarni”. (örülök.):
Második megoldás az, hogy a 2. számot algebrai formává alakítsuk 
, hajtsa végre a szorzást algebrai formában, alakítsa át az eredményt trigonometrikus formára és használja a Moivre-képletet.
Amint látja, van egy „extra” művelet. Azok, akik szeretnének, követhetik a döntést, és megbizonyosodhatnak arról, hogy az eredmény ugyanaz.
A feltétel nem mond semmit a végső komplex szám alakjáról, tehát:
Válasz: 
De „a szépségért” vagy igény szerint az eredmény könnyen elképzelhető algebrai formában:
Önállóan:
4. példa
Egy kifejezés egyszerűsítése
Itt emlékeznünk kell fokozatú cselekvések, bár egy hasznos szabály Nincs benne a kézikönyvben, itt van: .
És még egy fontos megjegyzés: a példa két stílusban is megoldható. Az első lehetőség a munka kettő számok és a törtekkel való rendben tartás. A második lehetőség az, hogy minden számot mint két szám hányadosa: 
És megszabadulni a négyemeletes szerkezettől. Formai szempontból nem mindegy, hogy hogyan döntesz, de érdemi különbség van! Kérjük, alaposan gondolja át:
egy komplex szám;
két komplex szám hányadosa ( és ), de kontextustól függően ezt is mondhatjuk: két komplex szám hányadosaként ábrázolt szám.
Gyors megoldásés a válasz a lecke végén.
A kifejezések jók, de az egyenletek jobbak:
Egyenletek összetett együtthatókkal
Miben különböznek a „közönséges” egyenletektől? esély =)
A fenti megjegyzés fényében kezdjük ezzel a példával:
5. példa
Oldja meg az egyenletet 
És egy azonnali preambulum: „forró a sarka”: alapvetően jobb rész egyenlet két komplex szám (és 13) hányadosaként van elhelyezve, ezért rossz forma lenne a feltételt a számmal átírni. (bár ez nem okoz hibát). Tisztábban ezt a különbséget, egyébként a törtben látható - ha viszonylagosan szólva, akkor ez az érték elsősorban úgy értendő, mint az egyenlet "teljes" komplex gyöke, és nem egy szám osztójaként, és főleg nem egy szám részeként!
Megoldás, elvileg lépésről lépésre is rendezhető, de be ebben az esetben a játék nem éri meg a gyertyát. A kezdeti feladat az, hogy egyszerűsítsen mindent, ami nem tartalmazza az ismeretlen "z"-et, aminek eredményeként az egyenlet a következő alakra redukálódik:
Magabiztosan egyszerűsítünk középső tört: 
Az eredményt átvisszük a jobb oldalra, és megtaláljuk a különbséget: 
jegyzet
: és ismét felhívom a figyelmet az értelmes pontra - itt nem a számot vontuk ki a számból, hanem a törteket hoztuk közös nevező! Meg kell jegyezni, hogy már a megoldás folyamatában nem tilos számokkal dolgozni: 
azonban a vizsgált példában ez a stílus inkább káros, mint hasznos =)
Az arányosság szabálya szerint „zet”-t fejezünk ki:
Most újra lehet osztani és szorozni a konjugátummal, de a gyanúsan hasonló számok a számlálóban és a nevezőben a következő lépést sugallják: 
Válasz:
Az ellenőrzéshez cseréljük be a kapott értéket bal oldal eredeti egyenletés tegyünk néhány egyszerűsítést:
– megkapjuk az eredeti egyenlet jobb oldalát, így a gyökér helyesen található.
...Most, most... találok még valami érdekeset a számodra... tessék:
6. példa
Oldja meg az egyenletet 
Ez az egyenlet a formára redukálódik, ami azt jelenti, hogy lineáris. Szerintem egyértelmű a tipp – hajrá!
Persze... hogy tudsz élni nélküle:
Másodfokú egyenlet összetett együtthatókkal
A leckében Komplex számok bábukhoz ezt megtudtuk másodfokú egyenlet A valós együtthatókkal konjugált komplex gyökök lehetnek, ami után logikus kérdés merül fel: valójában miért nem lehetnek komplexek maguk az együtthatók? Hadd fogalmazzak meg egy általános esetet:
Másodfokú egyenlet tetszőleges komplex együtthatókkal (ebből 1 vagy 2 vagy mindhárom különösen érvényes lehet) Megvan kettő és csak kettő összetett gyökér (esetleg az egyik vagy mindkettő érvényes). Ugyanakkor a gyökerek (valós és nem nulla képzeletbeli résszel is) egybeeshet (többször lehet).
Egy összetett együtthatós másodfokú egyenletet ugyanazzal a sémával oldunk meg, mint "iskola" egyenlet, néhány eltéréssel a számítási technikában:
7. példa
Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit! 
Megoldás: a képzeletbeli egység az első, és elvileg meg lehet szabadulni tőle (mindkét oldalt megszorozva) erre azonban nincs különösebb szükség.
A kényelem kedvéért kiírjuk az együtthatókat:
Ne veszítsük el az ingyenes tag „mínuszát”! ...Lehet, hogy nem mindenki számára világos - átírom az egyenletet szabványos formában 
:
Számítsuk ki a diszkriminánst:
És itt van a fő akadály: 
Alkalmazás általános képlet gyökér kivonás (lásd a cikk utolsó bekezdését Komplex számok bábukhoz)
bonyolítja a radikális komplex szám argumentumával kapcsolatos komoly nehézségek (Nézd meg magad). De van egy másik, „algebrai” út is! A gyökeret a következő formában fogjuk keresni: 
Négyzetesítsük mindkét oldalt: 
Két komplex szám akkor egyenlő, ha valós és képzetes részük egyenlő. Így kapunk a következő rendszert:
A rendszer könnyebben megoldható kiválasztással (egy alaposabb módszer a 2. egyenletből történő kifejezés – behelyettesít az 1. egyenletbe, előállít és megold egy kétnegyedes egyenletet). Feltételezve, hogy a probléma szerzője nem egy szörnyeteg, feltesszük azt a hipotézist, hogy és egész számok. Az 1. egyenletből az következik, hogy „x” modulo több mint "Y". Ezenkívül a pozitív termék azt mondja nekünk, hogy az ismeretlenek azonos előjelűek. A fentiek alapján és a 2. egyenletre összpontosítva felírjuk az összes megfelelő párt: 
Nyilvánvaló, hogy a rendszer 1. egyenlete teljesül az utolsó két párra, így: 
Egy köztes ellenőrzés nem ártana: 
amit ellenőrizni kellett.
Választhat „működő” gyökérként Bármi jelentése. Nyilvánvaló, hogy jobb a „hátrányok” nélküli verziót venni:
Megtaláljuk a gyökereket, mellesleg nem feledve, hogy: 
Válasz: 
Ellenőrizzük, hogy a talált gyökök kielégítik-e az egyenletet 
:
1) Cseréljük ki: 
igazi egyenlőség.
2) Cseréljük ki: 
igazi egyenlőség.
Így a megoldás helyesen meglett.
Az imént tárgyalt probléma alapján:
8. példa
Keresse meg az egyenlet gyökereit!
Meg kell jegyezni, hogy a négyzetgyök tisztán összetett számok könnyen kinyerhetők az általános képlet segítségével 
, Ahol 
, így mindkét módszer látható a mintában. A második hasznos megjegyzés arra vonatkozik, hogy a konstans gyökének előzetes kinyerése egyáltalán nem egyszerűsíti le a megoldást.
Most már lazíthat - ebben a példában egy kis ijedtséggel megússza :)
9. példa
Oldja meg az egyenletet és ellenőrizze
Megoldások és válaszok az óra végén.
A cikk utolsó bekezdése a
egyenletrendszer komplex számokkal
Lazítsunk és... ne feszüljünk =) Nézzük a legegyszerűbb esetet - két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel:
10. példa
Oldja meg az egyenletrendszert! Mutassa be a választ algebrai és exponenciális formában, ábrázolja a gyökereket a rajzon. 
Megoldás: maga a feltétel arra utal, hogy a rendszernek egyedi megoldása van, vagyis két olyan számot kell találnunk, amelyek kielégítik mindenkinek a rendszer egyenlete.
A rendszer tényleg „gyerekesen” megoldható (az egyik változót a másikkal fejezzük ki)
, azonban sokkal kényelmesebb a használata Cramer-képletek. Számoljunk fő meghatározó rendszerek:
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.
Ismétlem, jobb, ha szánja az időt, és írja le a lépéseket a lehető legrészletesebben:
A számlálót és a nevezőt megszorozzuk egy képzeletbeli egységgel, és megkapjuk az 1. gyököt:
Hasonlóképpen: 
Megkapjuk a megfelelő jobb oldalakat stb.
Készítsük el a rajzot: 
Ábrázoljuk a gyököket exponenciális formában. Ehhez meg kell találnia a moduljaikat és argumentumaikat:
1) – a „kettő” arktangensét „rosszul” számítjuk ki, ezért hagyjuk így: 
SZÖVETSÉGI OKTATÁSI ÜGYNÖKSÉG
ÁLLAMI OKTATÁSI INTÉZMÉNY
SZAKMAI FELSŐOKTATÁS
"VORONEZI ÁLLAMI PEDAGÓGIAI EGYETEM"
AGLEBRA ÉS GEOMETRIAI TANSZÉK
Komplex számok
(kiválasztott feladatok)
VÉGZETT KÉPESÍTŐ MUNKA
szakkör 050201.65 matematika
(további szakterülettel 050202.65 számítástechnika)
Végezte: 5. éves hallgató
fizikai és matematikai
tantestület
Tudományos tanácsadó:
VORONEZH – 2008
1. Bemutatkozás……………………………………………………...…………..…
2. Komplex számok (kiválasztott feladatok)
2.1. Összetett számok algebrai formában………………….….
2.2. Komplex számok geometriai értelmezése……………..
2.3. Komplex számok trigonometrikus alakja
2.4. A komplex számok elméletének alkalmazása 3. és 4. fokú egyenletek megoldására……………..………………………………………………………………
2.5. Komplex számok és paraméterek………………………………………….
3. Következtetés…………………………………………………………………………….
4. Irodalomjegyzék………………………………………………………
1. Bemutatkozás
A matematika programban iskolai tanfolyam a számelméletet halmazokra példákon keresztül vezetjük be természetes számok, egész, racionális, irracionális, i.e. valós számok halmazán, amelyek képei kitöltik az egészet számtengely. De már a 8. osztályban nincs elegendő valós szám a másodfokú egyenletek negatív diszkrimináns megoldásánál. Ezért szükséges volt a valós számok állományának feltöltése komplex számok segítségével, amelyekhez a négyzetgyök negatív szám jelentése van.
A „Komplex számok” témát választottam érettségi témámnak minősítő munka, az, hogy a komplex szám fogalma bővíti a tanulók ismereteit arról számrendszerek, az algebrai és geometriai tartalmú feladatok széles osztályának megoldásáról, a megoldásról algebrai egyenletek bármilyen végzettséggel és a paraméterekkel kapcsolatos problémák megoldásáról.
A dolgozat 82 probléma megoldását vizsgálja.
A „Komplex számok” főrész első része megoldásokat ad az algebrai formájú komplex számokkal kapcsolatos problémákra, meghatározza az összeadás, kivonás, szorzás, osztás műveleteit, az algebrai formájú komplex számok konjugációs műveletét, a képzetes egység hatványát. , egy komplex szám modulusa, és meghatározza a komplex szám négyzetgyökének kivonására szolgáló szabályt is.
A második részben a komplex számok geometriai értelmezésével kapcsolatos feladatokat oldják meg a komplex sík pontjai vagy vektorai.
A harmadik rész a komplex számokkal végzett műveleteket vizsgálja trigonometrikus formában. A használt képletek a következők: Moivre és komplex szám gyökének kinyerése.
A negyedik rész a 3. és 4. fokú egyenletek megoldásával foglalkozik.
Az utolsó részben, a „Komplex számok és paraméterek” című részben található feladatok megoldása során az előző részekben megadott információkat használjuk fel és vonjuk össze. A fejezetben egy sor probléma foglalkozik az összetett síkban lévő vonalcsaládok meghatározásával, egyenletek által adott(egyenlőtlenségek) paraméterrel. A gyakorlatok egy részében egyenleteket kell megoldania egy paraméterrel (a C mező felett). Vannak olyan feladatok, ahol egy összetett változó egyszerre több feltételt is kielégít. A feladatok megoldásának sajátossága ebben a részben, hogy sokukat redukáljuk másodfokú, irracionális, trigonometrikus egyenletek (egyenlőtlenségek, rendszerek) megoldására egy paraméterrel.
Az egyes részek anyagának bemutatásának sajátossága a kezdeti bevitel elméleti alapok, majd gyakorlati alkalmazásukat a problémák megoldásában.
A végén tézis bemutatjuk a felhasznált irodalom jegyzékét. Legtöbbjük bemutatja a elméleti anyag, néhány probléma megoldását mérlegeljük és megadjuk gyakorlati feladatokatönálló döntésre. Speciális figyelem Ilyen forrásokra szeretnék hivatkozni:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplex számok és alkalmazásaik: Tankönyv. . Anyag oktatási segédlet előadások és gyakorlati gyakorlatok formájában mutatják be.
2. Shklyarsky D.O., Chencov N.N., Yaglom I.M. Kiválasztott feladatokés az elemi matematika tételei. Számtan és algebra. A könyv 320 algebrával, aritmetikával és számelmélettel kapcsolatos feladatot tartalmaz. Ezek a feladatok jellegükben jelentősen eltérnek a szokásos iskolai feladatoktól.
2. Komplex számok (kiválasztott feladatok)
2.1. Komplex számok algebrai formában
A matematika és a fizika számos feladatának megoldása az algebrai egyenletek megoldásán múlik, azaz. formaegyenletek
,ahol a0, a1, …, an valós számok. Ezért az algebrai egyenletek tanulmányozása a matematika egyik legfontosabb kérdése. Például, igazi gyökerek nincs másodfokú egyenlete -val negatív diszkrimináns. A legegyszerűbb ilyen egyenlet az egyenlet
.Ahhoz, hogy ennek az egyenletnek legyen megoldása, ki kell bővíteni a valós számok halmazát úgy, hogy hozzáadjuk az egyenlet gyökerét
.Jelöljük ezt a gyökeret
. Így definíció szerint, ill.ennélfogva,
. képzeletbeli egységnek nevezzük. Segítségével és egy valós számpár segítségével összeállítják a forma kifejezését.Az így kapott kifejezést komplex számoknak nevezték, mivel valós és imaginárius részeket is tartalmaztak.
Tehát a komplex számok a forma kifejezései
, és valós számok, és egy bizonyos szimbólum, amely megfelel a feltételnek. A számot a komplex szám valós részének nevezzük, a szám pedig a képzetes része. A , szimbólumok jelölésükre szolgálnak.Az űrlap összetett számai
vannak valós számokés ezért a komplex számok halmaza tartalmazza a valós számok halmazát. Az űrlap összetett számai
tisztán képzeletbelinek nevezik. Két és alakú komplex számot egyenlőnek mondunk, ha valós és képzetes részeik egyenlőek, azaz. ha egyenlőségek , .A komplex számok algebrai jelölése lehetővé teszi a műveletek végrehajtását az algebra szokásos szabályai szerint.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete